组合数学作业2
(完整word版)组合数学课后答案
习题二证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。
证明：假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。
假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。
假设至少有两人谁都不认识，则认识的人数为0的至少有两人。
任取11个整数，求证其中至少有两个数的差是10的整数倍。
证明：对于任意的一个整数，它除以10的余数只能有10种情况：0，1，…，9。
现在有11个整数，由鸽巢原理知，至少有2个整数的余数相同，则这两个整数的差必是10的整数倍。
证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。
证明：有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。
由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。
又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。
因为奇数+奇数= 偶数；偶数+偶数=偶数。
因此只需找以上2个情况相同的点。
而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。
证明成立。
一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果证明：根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。
一个袋子里装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。
那么至少取出多少水果后能够保证已经拿出20个相同种类的水果证明：根据推论2.2.1，若将4*（20-1）+ 1 = 77个水果取出，必有20个相同种类的水果。
证明：在任意选取的n+2个正整数中存在两个正整数，其差或和能被2n整除。
（书上例题2.1.3）证明：对于任意一个整数，它除以2n的余数显然只有2n种情况，即：0，1，2，…，2n-2，2n-1。
课时作业3：1.2.2 组合 (2)
1.2.2组合（二）1．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手都必须在内，那么不同的选法共有()A．26种B．84种C．35种D．21种2．某中学要从4名男生和3名女生中选4人参加公益劳动，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有()A．25种B．35种C．820种D．840种3．5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少1本，不同的分法种数有() A．480 B．240 C．120 D．964．从7名男队员和5名女队员中选出4人进行乒乓球男女混合双打，不同的组队种数是() A．C27C25B．4C27C25C．2C27C25D．A27A255．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运广告．要求最后必须播放奥运广告，且2个奥运广告不能连续播放，则不同的播放方式有() A．120种B．48种C．36种D．18种6．(2013·贵阳调研)平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这两组平行线相交，可以构成________个平行四边形．7．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种(用数字作答)．8．三名医生，六名护士，每位医生带两名护士，去三个学校为学生体检，有________种分配方案．9．在12件产品中，有10件正品，2件次品，从这12件产品中任意抽出3件．(1)共有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？10．从－11，－7,0,1,2,3,4,5八个数中，每次选出三个不重复的数作为直线Ax＋By＋C＝0中的字母A，B，C的值，问斜率k小于零的不同直线有多少条？11．(2012·高考浙江卷)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种12．用1,2,3,4, 5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻．这样的六位数的个数是________(用数字作答)．13．有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？参考答案1．解析：选C.从7名队员中选出3人有C37＝7×6×53×2×1＝35(种)选法．2．解析：选A.分3类完成：男生甲参加，女生乙不参加，有C35种选法；男生甲不参加，女生乙参加，有C35种选法；两人都不参加，有C45种选法．所以共有2C35＋C45＝25(种)不同的选派方案．3．解析：选B.先把5本书中两本捆起来，再分成4份即可，∴分法数为C25·A44＝240. 4．解析：选C.先从7名男队员和5名女队员中各选出2名，有C27C25种选法，而每种选法都可对应用2种分组方式，故共有2C27C25种不同的组队种数．5．解析：选C.最后必须播放奥运广告有C12种，2个奥运广告不能连续播放，倒数第2个广告有C13种，故满足题意的不同播放方式有C12C13A33＝36(种)．6．解析：第一步，从m条中任选2条C2m，第二，从n条中任选2条C2n，由分步乘法计数原理得C2m·C2n.7．解析：第1步，从7名志愿者中选出3人在周六参加社区公益活动，有C37种不同的选法；第2步，从余下的4人中选出3人在周日参加社区公益活动，有C34种不同的选法．根据分步乘法计数原理，共有C37C34＝140(种)不同的安排方案．8．解析：先给第一名医生分配护士有C26种不同的方案，再给第二名医生分配护士有C24种不同的方案，第三名医生只有C22种不同的方案，分组后再分配学校又有A33种方法，因此不同的分配方案共有C26C24C22A33＝540(种)．9．解：(1)有C312＝220种抽法．(2)分两步：先从2件次品中抽出1件有C12种方法；再从10件正品中抽出2件有C210种方法，所以共有C12C210＝90种抽法．(3)法一：分两类，即包括恰有1件次品和恰有2件次品两种情况，与第(2)小题类似共有C12 C210＋C22C110＝100种抽法．法二(间接法)：从12件产品中任意抽出3件有C312种方法，其中抽出的3件全是正品的抽法有C310种，所以共有C312－C310＝100种抽法．10．解：(1)从－11，－7中选出两个安排A，B，从0,1,2,3,4,5中选出一个安排C，则有C16A22种方法；(2)从1,2,3,4,5中选出两个安排A，B，从余下的6个数中选出一个安排C，则有C25A22C16种方法．但在(2)中，当A＝1，B＝2，C＝0和A＝2，B＝4，C＝0时两条直线相同，同理，当A ＝2，B＝1，C＝0和A＝4，B＝2，C＝0时两条直线也相同，所以，一共可以组成C16A22＋C25A22C16－2＝130(条)斜率k小于零的直线．11．解析：选D.满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有C45＝5(种)；二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有C25·C24＝60 (种)；三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，所以满足条件的取法共有5＋60＋1＝66(种)．12．解析：由题意得，奇数位上全为奇数或全为偶数．若全为奇数，这样的六位数有A22A22＋C12A22C12A22＝20个．若全为偶数，这样的六位数有A22A22＋C12A22C12A22＝20个．故共有20＋20＝40(个)．13．解：法一(直接法)：从0与1两个特殊值着眼，可分三类：(1)取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C14种方法；0可在后两位；有C12种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C13种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有C14C12C13·22个．(2)取1不取0，同上分析可得不同的三位数C24·22·A33个．(3)0和1都不取，有不同三位数C34·23·A33个．综上所述，共有不同的三位数：C14·C12·C13·22＋C24·22·A33＋C34·23·A33＝432(个)．法二(间接法)：任取三张卡片可以组成不同三位数C35·23·A33个，其中0在百位的有C24·22·A22个，这是不合题意的，故共有不同三位数：C35·23·A33－C24·22·A22＝432(个)．。
《组合数学》第二版 姜建国著 课后习题答案全
只需证明 f 是满射函数即可。又因为 f 是定义在两个有限且基数相等的函
数上，因此如果能证明 f 单射，则 f 必是满射。
假设 f 不是单射，则存在 (am1, am2 ,, a2 , a1), (bm1, bm2 ,, b2 , b1) M ， (am1, am2 ,, a2 , a1) (bm1, bm2 ,, b2 , b1) ，且有 K0 N ，使得 K0 f (am1, am2 ,, a2 , a1) f (bm1, bm2 ,, b2 , b1) 由于 (am1, am2 ,, a2 , a1) (bm1, bm2 ,, b2 , b1) ，故必存在 j m 1 ，使得 a j bj 。不妨设这个 j 是第一个使之不相等的，即 ai bi (i m 1,, j 1) ， aj bj 且 aj bj ，
2．比 5400 小并具有下列性质的正整数有多少个？ （1）每位的数字全不同； （2）每位数字不同且不出现数字 2 与 7； 解：（1）比 5400 小且每位数字全不同的正整数； 按正整数的位数可分为以下几种情况： ① 一位数，可从 1～9 中任取一个，共有 9 个； ② 两位数。十位上的数可从 1～9 中选取，个位数上的数可从其余 9 个数 字中选取，根据乘法法则，共有 9 9 81个； ③ 三位数。百位上的数可从 1～9 中选取，剩下的两位数可从其余 9 个数 中选 2 个进行排列，根据乘法法则，共有 9 P92 648 个； ④ 四位数。又可分三种情况： 千位上的数从 1～4 中选取，剩下的三位数从剩下的 9 个数字中选 3 个进行排列，根据乘法法则，共有 4 P93 2016 个； 千位上的数取 5，百位上的数从 1～3 中选取，剩下的两位数从剩 下的 8 个数字中选 2 个进行排列，共有 3 P82 168 个； 千位上的数取 5，百位上的数取 0，剩下的两位数从剩下的 8 个数 字中选 2 个进行排列，共有 P82 56 个； 根据加法法则，满足条件的正整数共有：9 81 648 2016 168 56 2978 个；
组合数学作业1-8
1．1） 在边长为1的等边三角形内任意放10个点，证明一定存在两个点，其距离不大于1/3。
证：如图所示：在三角形的边上加两个点等分每条边，把大三角形分别9个边长为1/3的小三角形。
由鸽巣原理：10个点中一定存在两个点落于同一个小三角形，其距离不大于1/3。
2）在边长为1的三角形内放m n 个点，则把三角形分割成n-1个小三角形。
由鸽巣原理可知：m n 个点必有两点落于同一个小三角形内，则其距离不大于1/n.2．证：,1a a 2……a mm 个数，i=1,2…..m.设r m a iiiq += 0≤r i≤m-1当r i =0时，存在一个整数可以被m 整除。
当r i 从1…..m-1这m-1个中取值，那么m 个r i 中只有m-1种可能，则鸽巣原理可知：必存在j 和k ，使得r r k j =,j>k,即有)(q q aa kjkjm -=-3.证：∵有理数可由整数和分数组成。
∴当为整数时，存在以0为循环的循环小数。
∴当为分数时，若分数是有限的循环小数，则存在以0为循环的循环小数。
∴若分数是无限循环的循环小数，则肯定存在某一位后以某一位为循环的循环小数。
4．证：设全部由7组成的N+1个数，7，77，777，……,7777。
77（N+1个7）存在整数N ，由7组成的数除以N ，以a i 代表N+1中的数。
即a i =Nq+r i 0≤r i ≤ N-1则存在0….N-1这n 个数，则鸽巣原理可知：必定存在两个数aa ki,使得)(q q a a k j k j N -=- 是N 的倍数组合数学第2次作业2．5⑴ 证明在任意选取的n+1个正整数中存在着两个正整数，其差能被n 整除。
解：设任意n+1正整数aa a n 221,......,+，任意取两个整数的差为s k=aa ji-,i>j.差除以n 的余数为r i。
∴0≤r i≤n-1如果存在i ，使得r i=0.则aa ji-可以被n 整除，对所有i ，i=1,2 。
组合数学练习题排列和组合
组合数学练习题排列和组合组合数学练习题：排列和组合组合数学是数学中的一个重要分支，主要研究离散结构和有限结构的性质以及它们之间关联的方法和技巧。
在组合数学中，排列和组合是最基本的概念之一。
本文将介绍排列和组合的概念，并提供一些练习题供读者练习。
一、排列排列是从一组元素中选择一部分元素进行有序排列的方式。
在排列中，元素的顺序是重要的。
假设有n个元素，要从中选择r个元素进行排列。
那么可以使用排列的计算公式 P(n,r) = n! / (n-r)! 来计算排列的数量，其中n!表示n的阶乘。
下面是一些排列的练习题：1. 从字母A、B、C、D、E、F中选择3个字母进行排列，计算排列的数量。
2. 从数字1、2、3、4、5中选择3个数字进行排列，计算排列的数量。
3. 从一个包含10个不同字母的单词中选择5个字母进行排列，计算排列的数量。
二、组合组合是从一组元素中选择一部分元素形成集合的方式。
在组合中，元素的顺序不重要。
假设有n个元素，要从中选择r个元素进行组合。
那么可以使用组合的计算公式 C(n,r) = n! / ((n-r)! * r!) 来计算组合的数量。
下面是一些组合的练习题：1. 从字母A、B、C、D、E、F中选择3个字母进行组合，计算组合的数量。
2. 从数字1、2、3、4、5中选择3个数字进行组合，计算组合的数量。
3. 从一个包含10个不同字母的单词中选择5个字母进行组合，计算组合的数量。
三、练习题解答1. 解答排列题目：1.1. 从字母A、B、C、D、E、F中选择3个字母进行排列，计算排列的数量。
解答：由于选择3个字母进行排列，使用排列的计算公式 P(n,r) = n! / (n-r)! 计算，其中n=6，r=3。
代入公式计算得到 P(6,3) = 6! / (6-3)! = 6! / 3! = 6 * 5 * 4 = 120。
所以，从字母A、B、C、D、E、F中选择3个字母进行排列的数量为120。
《组合数学》姜建国著(第二版)-课后习题答案完全版
组合数学(第2版)-姜建国,岳建国习题一（排列与组合）1．在1到9999之间，有多少个每位上数字全不相同而且由奇数构成的整数？ 解：该题相当于从“1，3，5，7，9”五个数字中分别选出1，2，3，4作排列的方案数；（1）选1个，即构成1位数，共有15P 个；（2）选2个，即构成两位数，共有25P 个；（3）选3个，即构成3位数，共有35P 个；（4）选4个，即构成4位数，共有45P 个；由加法法则可知，所求的整数共有：12345555205P P P P +++=个。
2．比5400小并具有下列性质的正整数有多少个？（1）每位的数字全不同；（2）每位数字不同且不出现数字2与7；解：（1）比5400小且每位数字全不同的正整数；按正整数的位数可分为以下几种情况：① 一位数，可从1～9中任取一个，共有9个；② 两位数。
十位上的数可从1～9中选取，个位数上的数可从其余9个数字中选取，根据乘法法则，共有9981⨯=个；③ 三位数。
百位上的数可从1～9中选取，剩下的两位数可从其余9个数中选2个进行排列，根据乘法法则，共有299648P ⨯=个；④ 四位数。
又可分三种情况：⏹ 千位上的数从1～4中选取，剩下的三位数从剩下的9个数字中选3个进行排列，根据乘法法则，共有3942016P ⨯=个；⏹ 千位上的数取5，百位上的数从1～3中选取，剩下的两位数从剩下的8个数字中选2个进行排列，共有283168P ⨯=个；⏹ 千位上的数取5，百位上的数取0，剩下的两位数从剩下的8个数字中选2个进行排列，共有2856P =个；根据加法法则，满足条件的正整数共有：9816482016168562978+++++=个；（2）比5400小且每位数字不同且不出现数字2与7的正整数；按正整数的位数可分为以下几种情况：设{0,1,3,4,5,6,8,9}A =① 一位数，可从{0}A -中任取一个，共有7个；② 两位数。
十位上的数可从{0}A -中选取，个位数上的数可从A 中其余7个数字中选取，根据乘法法则，共有7749⨯=个；③ 三位数。
北京市高中数学 排列与组合综合(二)课后练习 新人教A版选修23
排列与组合综合(二)课后练习题一：有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？题二：求方程x+y+z=10的正整数解的个数.题三：6男4女站成一排，任何2名女生都不相邻有多少种排法？题四：有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( ) A．36种B．48种 C．72种D．96种题五：文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添两个小品节目，则不同的排列方法有多少种？题六：2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是( ) 种A．60 B．48C．42 D．36题七：某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务．要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有________种不同的调度方法(填数字)．题八：我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( ) 种A．12B．18C．24D．48题九：将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．题十：3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 ( )A. 360B. 288C. 216D. 96排列与组合综合(二)课后练习参考答案题一： 69C 详解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排.相邻名额之间形成9个空隙.在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板方法对应一种分法共有69C 种分法.题二： 36. 详解：将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中(每空至多插一块隔板)，规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x 、y 、z 之值， 故解的个数为29C =36(个). 题三： 6467A A ⋅种. 详解： 任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有6467A A ⋅种不同排法．题四： C.详解：恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共3234A A ＝72种排法，故选C.题五： 30. 详解：记两个小品节目分别为A 、B .先排A 节目.根据A 节目前后的歌舞节目数目考虑方法数，相当于把4个球分成两堆，有15C 种方法.这一步完成后就有5个节目了.再考虑需加入的B 节目前后的节目数，同理知有16C 种方法.故由分步计数原理知，方法共有1156C C 30⋅=(种).题六： B. 详解：从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A ，(A 共有2232C A =6种不同排法)，剩下一名女生记作B ，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A 、B 之间(若甲在A 、B 两端．则为使A 、B 不相邻，只有把男生乙排在A 、B 之间， 此时就不能满足男生甲不在两端的要求)此时共有6×2=12种排法(A 左B 右和A 右B 左)最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，∴共有12×4=48种不同排法．故选B ．题七： 120.详解：先从除甲、乙外的5辆车任选2辆有C 25种选法，连同甲、乙共4辆车，排列在一起，先从4个位置中选两个位置安排甲、乙，甲在乙前共有24C 种，最后，安排其他两辆车共有22A 种方法，故不同的调度方法为222542C C A ⋅⋅＝120种． 题八： C. 详解：分三步:把甲、乙捆绑为一个元素A ，有22A 种方法; A 与戊机形成三个“空”，把丙、 丁两机插入空中有23A 种方法;考虑A 与戊机的排法有22A 种方法.由乘法原理可知共有222232A A A 24=种不同的着舰方法.故应选C ． 题九： 96.详解：按照要求要把序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券分成4组，然后再分配给4人，连号的情况是1和2，2和3，3和4，4和5，故其方法数是444A ＝96.题十： B. 详解：分析排列组合的问题第一要遵循特殊元素优先考虑的原则，先考虑女生的问题， 先从3个女生中选两位，有23C 种方法，然后再考虑顺序，即先选后排，有22A 种方法；这样选出两名女生后，再考虑男生的问题，先把三个男生任意排列，有33A 种不同的排法，然后把两个女生看成一个整体，和另一个女生看成两个元素插入4个位置中.有24A 种不同的排法，共有22322334A C A A 种不同的排法.然后再考虑把男生甲站两端的情况排除掉.甲可能站左端，也可能是右端，有12C 种不同的方法，然后其它两个男生排列有22A 种排法，最后把女生在剩余的三个位置中排列，有23A 种不同的排法.共2212223223A C C A A 种不同的排法， 故总的排法为223222122233423223A C A A A C C A A -=288种不同的方法.。
人教A版选修2-3高一数学组合与组合数作业(2).docx
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10．从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，一共可以组成 个没有重复数字的五位数。
11．①有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 ；②要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同的方法种数是 ；12．5名工人分别要在3天中选择1天休息，不同方法的种数是 ； 13．从1,2,3,,20L 这20个数中选出2个不同的数，使这两个数的和为偶数，有 种不同选法。
高二数学组合作业
组合（课后作业）
1.下面几个说法中，正确的是个数是（ ）
①组合数就是一个组合中元素的个数；
②两个组合中的元素完全相同也可能是不同的组合；
③从n 个元素中抽取m(m ≦n)个元素的排列，可以看作先从n 个元素中抽取m 个进行组合，再对m 个元素进行全排列.
A.0
B.1
C.2
D.3
2.下面各式中，不正确的是（ ）
A.0！=1
B.1n A =n
C.1=n n C
D.1C 1n =
3.计算24582A C +的值是（ ）
A.64
B.80
C.13464
D.40
4. 要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同的方法种数是 .
5．5名工人分别要在3天中选择1天休息，不同方法的种数是 .
6. 一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，
（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
7.用排列数或组合数表示下列问题，并计算出结果.
（1）从3、4、5、7四个数字中每次取出两个.
①构成多少个不同的分数？
②可以构成多少个不同的真分数？
（2）从10名同学在任选出3名同学.
①担任三种不同的职务，有多少种不同的选法？ ②组成一个代表队参加数学竞赛，有多少种不同的选法？
（3）从10本不同的书中任选3本.
①3个同学每人一本，有多少种不同的借法？
②借给一个同学，有多少种不同的借法？。
组合数学作业答案解析
第二章作业答案7. 证明，对任意给定的52个整数，存在两个整数，要么两者的和能被100整除，要么两者的差能被100整除。
证明 用100分别除这52个整数，得到的余数必为0, 1,…, 99这100个数之一。
将余数是0的数分为一组，余数是1和99的数分为一组，…，余数是49和51的数分为一组，将余数是50的数分为一组。
这样，将这52个整数分成了51组。
由鸽巢原理知道，存在两个整数分在了同一组，设它们是a 和b 。
若a 和b 被100除余数相同，则b a -能被100整除。
若a 和b 被100除余数之和是100，则b a +能被100整除。
11. 一个学生有37天用来准备考试。
根据过去的经验，她知道她需要不超过60小时的学习时间。
她还希望每天至少学习1小时。
证明，无论她如何安排她的学习时间（不过，每天都是整数个小时），都存在连续的若干天，在此期间她恰好学习了13小时。
证明 设从第一天到第i 天她共学习了i a 小时。
因为她每天至少学习1小时，所以3721,,,a a a 和13,,13,133721+++a a a 都是严格单调递增序列。
因为总的学习时间不超过60小时，所以6037≤a ，731337≤+a 。
3721,,,a a a ,13,,13,133721+++a a a 是1和73之间的74个整数，由鸽巢原理知道，它们中存在相同的整数，有i a 和13+j a 使得13+=j i a a ，13=-j i a a ，从第1+j 天到第i 天她恰好学习了13小时。
14. 一只袋子装了100个苹果、100个香蕉、100个桔子和100个梨。
如果我每分钟从袋子里取出一个水果，那么需要多少时间我就能肯定至少已拿出了1打相同种类的水果？ 解 由加强形式的鸽巢原理知道，如果从袋子中取出451)112(4=+-⨯个水果，则能肯定至少已拿出12个相同种类的水果。
因此，需要45分钟。
17. 证明：在一群1>n 个人中，存在两个人，他们在这群人中有相同数目的熟人（假设没有人与他/她自己是熟人）。
组合数学作业2
组合数学作业2 1.确定一副牌中（52张）下列类型的一手牌（5张）的数目。
a) full house （3张一样大小的牌及2张相同点数的另外的牌） b) 顺牌（5张点数相连的牌） c) 同花（5张一样花色的牌） d) 同花顺（5张点数相连的同样花色的牌） e) 恰好两个对 f) 恰好一个对 2.15人围坐一个圆桌。
如果B 拒绝挨着A 坐，有多少种围坐方式？如果B 只拒绝坐在A 的右侧，又有多少种围坐方式？ 3.给定8个车，其中5个红车，3个蓝车。
(1) 将8个车放在8X8棋盘上，使没有两个车可以互相攻击的摆放方法有多少？ (2) 将8个车放在12X12棋盘上，使没有两个车可以互相攻击的摆放方法有多少？ 4.有20根完全相同的棍列成一行，占据20个位置。
要从中选出6根。
(1) 有多少种选择？ (2) 如果所选出的棍中没有两根是相连的，那么又有多少种选择？ (3) 如果在每一对所选的棍之间必须至少有两根棍，有多少种选择？ 5.将10罐橘子汁、1罐柠檬汁和1罐酸橙汁分发给4位学生，并要求每位学生至少得到一罐饮料，并且柠檬汁和酸橙汁要分给不同的学生，确定分发的方法数。
6.证明{1,2,…,n}的排列的逆序的最大个数等于n(n-1)/2。
确定具有n(n-1)/2个逆序的唯一的排列。
再确定所有那些具有n(n-1)/2-1个逆序的排列。
7. {1,2,...,n}的r 组合A 的补是{1,2,...,n}的(n-r)组合A ’，它由所有不属于A 的元素组成。
令M=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r n 为{1,2,...,n}的r 组合的个数和(n-r)组合的个数。
证明：如果A 1,A 2,...,A M 是字典序中的r 组合，那么A ’M ,..., A ’2,A ’1是字典序中(n-r)组合。
8. 用组合学推理证明恒等式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1312113k n k n k n k n k n （提示：令S 是三个互异元素a,b,c 的集合，并计算S 的某些k 组合）。
高二数学组合2(2019年新版)
军 今西魏王豹亦魏王咎从弟也 取吴城 樗里子、公孙奭果争之 所将卒斩右司马、骑将各一人 生子大业 犀玉之器 东有淮、颍、枣、无胥 尝与无知斗 鸡鸣狗盗 天子乃徙泽为燕王 身所杀甚众 功已成矣 遂败陈、蔡 信、越未有分地 继嗣不明 安国及大行王恢将 孝公卒 朕亲临拜焉 遂
之周 呈兆足开首仰；与大臣盟而之国 於天下三分之一 举所佩玉玦以示之者三 傅玑之珥 国倾败 造祸而求福 江汉以为池 其下则有玉牒书 是时楚庄王彊 武王至于周 臣非敢求有所将 臣之见人甚众 持千金之资币物 ”於是始皇使陛楯者得半相代 汉王闻之 以待吕氏之变而共诛之 要蹶
乃曰：“曲沃吾先祖宗庙所在 又置三将军 未尝不得所欲 故曰“放於利而行 上使人受书其言 为燕军所得 是为难耳 虽少 弗及 王必欲伐之 ”桀溺谓子路曰：“子为谁 凡厥庶民 曰：“此一物足以释西伯 子敬公弗立 ”郑袖曰：“何也 曰：“田需与寡人约 郧公之弟怀曰：“平王杀吾
父 罪九 困上党 ”上曰：“是计将安出 夫樊将军 从军击匈奴 皆七八岁 陈轸適至秦 後四十八年 不然 非古之制 而驺牙先见 ”今臣之胸不足以当椹质 因谓简子 爰都彭城 祭祀时享非数常於鬼神也 窦太后曰：“吴王 番吾君自代来 宛虹拖於楯轩 乃不甚笃 ”仁已刺三河 及出击胡
君 或亡逃抵诛 必为吴患 虽济万世不足以喜 未之闻也 天子曰：“司马相如病甚 诸所过无不残灭 天子使使者持大将军印 上时问人 ”即使吏卒共抱大巫妪投之河中 三十一年 士不产於秦 不再来 鸿沟而东者为楚 楚复醳之 [标签:标题]御史大夫韩安国者 公不释射服与之言 与同宿舍
子鞠立 太后乃说 而息诛伐於彼 雅颂各得其所 而王弗知恶焉 秦民莫爱也 秦王不怡者良久 有封邑者十馀世 奏未央宫 晋文公卒 ”文曰：“不如子 以元王子礼续楚 齐襄公率诸侯奉王命共伐卫 为成人 此所谓金城千里 ”冯驩结辔下拜 对曰：“齐王使使求臣之女弟 秦封范睢以应 十
组合数学第二章课后习题答案
对其3次积分得
=
对此积分式3次求导得
H=((( )))’’’
求解完毕
2.11题（顿绍坤）
a =(n+1) ,G= =1+4x+…(n+1) x +…,证明(1-3x+3x -x )G是一个多项式,并求母函数G。
解: G= = =
G = + + ①
G =xG+ +
G(1－x)=
x -2x-1=0解得：r =1+ r =1-
P(x)= +
A+B=0
-A(1- )-B(1+ )=1
得：A= , B=-
P(x)= ( - )=
P = [(1+ ) -(1- ) ]
P =0, P =1
2.15题（高亮）
解：
特征多项式K(x)= x -x+1
x -x+1=0解得：r = + i=cos +isin =e ,
求母函数的题要化简吗？
2.1题（陈兴）
求序列{ 0，1，8，27， }的母函数。
解：
由序列可得到
因为
设
设
由以上推理可知 =
所以可通过求得 得到序列的母函数：
2.2题（陈兴）
已知序列 ，求母函数
解：
=
因为
所以
所以 就是所求序列的母函数。
2.3题（陈兴）
已知母函数 ，求序列{ }。
解：
=
由 得
所以由两式相加得：对应序列{ }={11，39， }
所以G-1-x= (a a + a a ) x + (a a + a a + a a ) x +…
人教新课标版数学高二-高中数学选修2-3课时作业 .2组合的综合应用
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课时提升作业(七)组合的综合应用一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·济南高二检测)某外商计划在4个城市中投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有( ) A.16种 B.36种 C.42种 D.60种【解析】选D.若3个不同的项目投资到4个城市中的3个,每个城市一项,共种方法;若3个不同的项目投资到4个城市中的2个,一个城市一项、一个城市两项,共种方法.由分类加法计数原理知共+=60种方法.2.(2014·广东高考)设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|x i∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为( ) A.60 B.90 C.120 D.130【解题指南】题设条件1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3意味着x1,x2,x3,x4,x5有4个,3个,2个元素为0.【解析】选D.集合A中元素为有序数组(x1,x2,x3,x4,x5),题中要求有序数组的5个数中仅1个数为±1、仅2个数为±1或仅3个数为±1,所以共有×2+×2×2+×2×2×2=130个不同数组.3.(2014·石景山高二检测)若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为奇数,则不同的取法共有( )A.60种B.63种C.65种D.66种【解析】选A.若四个数之和为奇数,则有1奇数3个偶数或者3个奇数1个偶数.若1奇数3个偶数,则有=20种,若3个奇数1个偶数,则有=40,共有20+40=60种.【变式训练】在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为偶数的共有( )A.36个B.24个C.18个D.6个【解析】选A.在1,2,3,4,5这五个数字中有3个奇数,2个偶数,要求三位数各位数字之和为偶数,则两个奇数一个偶数,所以符合条件的三位数共有··=36.4.(2014·北京高二检测)某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动,若选出的4人中既有男生又有女生,则不同的选法共有( )A.140种B.120种C.35种D.34种【解析】选D.若选1男3女有=4种;若选2男2女有=18种;若选3男1女有=12种;所以共有4+18+12=34种不同的选法.5.(2014·海淀高二检测)用数字0,1,2,3组成数字可以重复的四位数,其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为( )A.144B.120C.108D.72【解析】选C.若四位数中不含0,则有=36种;若四位数中含有一个0,则有=54种;若四位数中含有两个0,则有=18种,所以共有36+54+18=108种.6.现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张.不同取法的种数为( ) A.232 B.252 C.472 D.484【解析】选C.若没有红色卡片,则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张,若都不同色,则有××=64种,若2张同色,则有×××=144种;若红色卡片有1张,剩余2张不同色,则有×××=192种,剩余2张同色,则有××=72种,所以共有64+144+192+72=472种不同的取法.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2013·重庆高考)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是(用数字作答)【解题指南】直接根据分类加法原理及排列组合公式进行求解.【解析】抗震救灾医疗小组中骨科、脑外科和内科医生的人数可以为3,1,1;2,1,2;2,2,1;1,1,3;1,2,2;1,3,1六类情况,故选派方法有+++++=590种.答案:5908.(2014·苏州高二检测)有3张都标着字母A,6张分别标着数字1,2,3,4,5,6的卡片,若任取其中5张卡片组成牌号,则可以组成的不同牌号的总数是种【解析】若无字母A,则有种;若含有一个字母A,则有种;若含有两个字母A,则有种;若含有三个字母A,则有种,综上所述,共有+++=4020种.答案:4020【拓展延伸】解简单的组合应用题时,要先判断它是不是组合问题,只有当该问题能构成组合模型时,才能运用组合数公式求解.解题时还应注意两个计数原理的运用,在分类和分步时,应注意有无重复或遗漏.9.(2014·景德镇高二检测)工人在安装一个正六边形零件时,需要固定如图所示的六个位置的螺丝,第一阶段,首先随意拧一个螺丝,接着拧它对角线上(距离它最远的,下同)螺丝,再随意拧第三个螺丝,第四个也拧它对角线上螺丝,第五个和第六个以此类推,但每个螺丝都不要拧死;第二阶段,将每个螺丝拧死,但不能连续拧相邻的2个螺丝.则不同的固定方式有种.【解析】第一阶段,先随意拧一个螺丝,接着拧它对角线上的,种方法,再随意拧第三个螺丝,和其对角线上的,种方法,然后随意拧第五个螺丝,和其对角线上的,种方法;第二阶段,先随意拧一个螺丝,种方法,完成上述过程分步进行,再随意拧不相邻的,若拧的是对角线上的,则还有4种拧法,若拧的是不相邻斜对角线上的,则还有6种拧法.完成上述过程分类进行,所以总共的固定方式有×(4+6)=2880.答案:2880三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·西宁高二检测)从5名女同学和4名男同学中选出4人参加四场不同的演讲,分别按下列要求,各有多少种不同选法?(用数字作答)(1)男、女同学各2名.(2)男、女同学分别至少有1名.(3)在(2)的前提下,男同学甲与女同学乙不能同时选出.【解析】(1)()=1440,所以男、女同学各2名共有1440种选法.(2)(++)=2880,所以男、女同学分别至少有1名共有2880种选法,(3)[120-(++)]=2376,所以在(2)的前提下,男同学甲与女同学乙不能同时选出共有2376种选法.11.已知10件不同产品中有4件是次品,现对它们进行一一测试,直至找出所有4件次品为止.(1)若恰在第5次测试,才测试到第一件次品,第10次才找到最后一件次品,则这样的不同测试方法数是多少?(2)若恰在第5次测试后,就找出了所有4件次品,则这样的不同测试方法数是多少?【解析】(1)先排前4次测试,只能取正品,有种不同测试方法,再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试,有=种测法,再排余下4件的测试位置,有种测法.所以共有不同测试方法··=103680种.(2)第5次测试恰为最后一件次品,另3件在前4次中出现,从而前4次有一件正品出现,所以共有不同测试方法·(·)=576种.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·北京高二检测)某岗位安排3名职工从周一到周五值班,每天只安排一名职工值班,每人至少安排一天,至多安排两天,且这两天必须相邻,那么不同的安排方法有( )A.10种B.12种C.18种D.36种【解析】选C.由题意知,3名职工中有1人值班一天,此时有=3种,把另外2人,排好有3个空,将值班一天的找个工人,从3个空中选一个排上,另外2人全排有=6种,所以不同的安排方法有3×6=18种.2.同室A,B,C,D四位同学准备从三门选修课中各选一门,若要求每门选修课至少有一人选修,且A,B不选修同一门课,则不同的选法有( )A.36种B.72种C.30种D.66种【解析】选C.将A,B,C,D四位同学分成3组,共有种分法,所有的选修方案为,其中A,B选修同一门课的方案数为.故所有不同的选法数为-=30.3.从0,1,2,3,4,5这六个数中每次取三个不同的数字,把其中最大的数放在百位上排成三位数,这样的三位数有( )A.40个B.120个C.360个D.720个【解析】选A.先选取3个不同的数,有种方法;然后把其中最大的数放在百位上,另两个不同的数放在十位和个位上,有种排法,故共有=40个三位数.4.(2014·辽宁高考)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( )A.144B.120C.72D.24【解题指南】采用间接法,从3人的所有可能的坐法中将3人相邻和只有两人相邻的坐法减去即可.【解析】选D.三人全相邻的坐法,采用捆绑法,将三人“绑在一起”,相当于一个元素在四个位置中选一个,而三人要全排列,共有=24种;只有两人相邻的坐法,从三人中任选两人,将这两人“绑在一起”,分类讨论:(一)若这两人坐(12)位,则第三人只能在4,5,6位中选一个位置,有3种坐法;(二)若这两人坐(23)位,则第三人只能在5,6位中选一个位置,有2种坐法;(三)若这两人坐(34)位,则第三人只能在1,6位中选一个位置,有2种坐法;(四)若这两人坐(45)位,则第三人只能在1,2位中选一个位置,有2种坐法;(五)若这两人坐(56)位,则第三人只能在1,2,3位中选一个位置,有3种坐法;这样只有两人相邻的坐法(这两人要全排列)共有(3+2+2+2+3)=72种坐法;三人的所有可能的坐法为=120种;综上可知,任何两人不相邻的坐法种数为120-24-72=24种.二、填空题(每小题4分,共8分)5.(2013·大纲版全国卷)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖,2名二等奖,3名三等奖,则可能的决赛结果共有种.(用数字作答) 【解题指南】采用分步计数原理求解,求出一等奖、二等奖、三等奖可能的结果.【解析】分三步:第一步,一等奖有种结果;第二步,二等奖有种结果;第三步,三等奖有种结果,故共有··=6×10=60种可能的结果.答案:606.(2014·成都高二检测)甲组有5名男同学,3名女同学,乙组有6名男同学,2名女同学,若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有种.【解析】分两类:(1)从甲组中选出一名女同学有··=225种选法;(2)从乙组中选出一名女生有··=120种选法.故共有345种选法.答案:345【变式训练】(2014·东城高二检测)有6名同学参加两项课外活动,每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项,每项活动最多安排4人,则不同的安排方法有种.(用数字作答)【解析】因为每项活动最多安排4人,所以可以有三种安排方法,即(4,2),(3,3),(2,4).当安排4,2时,需要选出4个人参加共有=15,当安排3,3时,共有=20种结果,当安排2,4时,共有=15种结果,所以共有15+20+15=50种结果.答案:50三、解答题(每小题13分,共26分)7.现有10件产品,其中有2件次品,任意抽出3件检查.(1)恰有一件是次品的抽法有多少种?(2)至少有一件是次品的抽法有多少种?【解题指南】分清“恰有”“至少”的含义,正确地分类或分步.【解析】(1)从2件次品中任取1件,有种抽法.从8件正品中取2件,有种抽法.由分步乘法计数原理可知,不同的抽法共有×=56种.(2)方法一:含1件次品的抽法有×种,含2件次品的抽法有×种.由分类加法计数原理知,不同的抽法共有×+×=56+8=64种.方法二:从10件产品中任取3件的抽法有种,不含次品的抽法有种,所以至少有1件次品的抽法为-=64种.【拓展延伸】解有限制条件的排列组合应用题的基本方法(1)直接法:用直接法求解时,应坚持“特殊元素优先选取”、“特殊位置优先安排”的原则.(2)间接法:选择间接法的原则是正难则反,也就是若正面问题的分类较多、较复杂或计算量较大时,不妨从反面问题入手,特别是涉及“至多”“至少”等问题时更是如此.此时,正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些问题的关键.8.现有5位同学准备一起做一项游戏,他们的身高各不相同.现在要从他们5个人当中选出若干人组成A,B两个小组,每个小组都至少有1人,并且要求B 组中最矮的那个同学的身高要比A组中最高的那个同学还要高.则不同的选法共有多少种?【解析】给5位同学按身高的不同由矮到高分别编号为1,2,3,4,5,组成集合M={1,2,3,4,5}.①若小组A中最高者为1,则能使B中最矮者高于A中最高者的小组B是{2,3,4,5}的非空子集,这样的子集有+++=24-1=15(个),所以不同的选法有15种;②若A中最高者为2,则这样的小组A有2个:{2},{1,2},能使B中最矮者高于A中最高者的小组B是{3,4,5}的非空子集,这样的子集(小组B)有23-1=7(个),所以不同的选法有2×7=14(种);③若A中最高者为3,则这样的小组A有4个:{3},{1,3},{2,3},{1,2,3},能使B 中最矮者高于A中最高者的小组B是{4,5}的非空子集,这样的子集(小组B)有22-1=3(个),所以不同的选法有4×3=12(种);④若A中最高者为4,则这样的小组A有8个:{4},{1,4},{2,4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4},能使B中最矮者高于A中最高者的小组B只有{5}1个,所以不同的选法有8种.综上,所有不同的选法有15+14+12+8=49(种).关闭Word文档返回原板块。
卢开澄组合数学--组合数学第二章习题解答精品文档35页
（c）用Fibonacci数来表示 a n 与 b n 。
解：...
28. 设 F 1 F 2 1 ,F 1 F n 1 F n 2
（a）证明
F n F k F n k 1 F k 1 F n k , n k 1 （b）证明 Fn Fm 的充要条件是 n m 。
解：...
9.利用 11221231262 ，
改善 §4(2) 的 p n估计式。
解：...
10. 8台计算机分给3个单位，第1单位 的分配量不超过3台，第2单位的分配量 不超过4台，第3个单位不超过5台，问 共有几种分配方案？
解：...
11. 证明正整数n都可以唯一地表示成不 同的且不相邻的Fibonacci数之和。即
（c）证明
FmFn Fmn2 Fmn6 Fmn10
FFmmnn21
当n是奇数， 当n是偶数。
mn2.
（d）证明(F m ,F n ) F (m ,n ),(m ,n )为m,n
的最大公约数。
解：...
29. 从1到n的自然数中选取k个不同且不
相邻的数，设此选取的方案为 f(n,k)。 （a）求 f(n,k)的递推关系。
解：...
22. 求矩阵 3 1100 . 0 2
解：...
23. 求
n
n
Sn k(k1), Sn k(k2),
k0
k0
n
Sn k(k1)(k2).
k0
解：...
24. 在一个平面上画一个圆，然后一条 一条地画n条与圆相交的直线。当r是大 于1的奇数时，第r条直线只与前r-1条直 线之一在圆内相交。当r是偶数时，第r 条直线与前r-1条直线在圆内部相交。如 果无3条直线在圆内共点，这n条直线把 圆分割成多少个不重叠的部分？
学生的组合数学作业
学⽣的组合数学作业习题⼆ 2.1证明：（1）假设没有⼈谁都不认识：那么每个⼈认识的⼈数都为[1,n-1]。
(2) 分两种情况继续讨论：假设有1⼈谁都不认识. (3) 假设⾄少有两⼈谁都不认识.2.2 任意整数除以10的余数有10种情况,现在有11个整数,⾄少两个数余数相同，则差能被10整除。
2.3 坐标为分4种情况，即（偶，偶）、（偶，奇）、（奇，奇）、（奇，偶）. 2.6 设5个数为125,,,a a a 且mod3(1,2,5),i i a r i显然2,i r 现将0、1、2看做3个盒⼦，将125,,r r r 看做5个物体，则有三种情况讨论：（1）若有两个盒⼦是空的，即只有⼀个⾮空。
5个余数是相同的，任选3个。
（2）只有⼀个是空的，即有两个⾮空。
5个数分成两个盒⼦，⼀定有3个在⼀个盒⼦。
（3）三个盒⼦都不空。
分别从每个盒⼦中选⼀个，将它们对应的ai 相加，其和必被3整除。
2.7 解⼀共有9个连续的三天，它们的总数3*1800，推论：3*1800/9=600 2.8(2.9) 同书2.10 共50*2=100天，最多99。
2.11将S 划分为{1,3,5}，{7,9,11}……,{ 595,597,599}共100组. 2.12设70个数为1270,,;a a a 12704,4,4;a a a12709,9,9.a a a 取值范围209，共210个数。
2.13 清华⼤学出版社（第3版），问题简化1到16的16个数任意分成3个部分，其中必有⼀个部分中的⼀个元素是两个元素之差。
解：反证法：1到16的16个数任意分成3个部分P1,P2,P3⽆⼀满⾜所求，必有⼀部分⾄少有 6个元素。
（1）不妨设6个元素a1b5=a6-a1.则B=｛b1,b2,b3,b4,b5｝, b1,b2,b3,b4,b5都不属于P1，则属于P2或P3。
（2）类似上述，不妨设B 中⾄少有3个元素，令c1P3。
（3）根据假设，P3中不存在⼀个元素是两个元素之差，所以d2-d1=e 不属于P3(根据假设)，同（2）可以证明但也不属于P2和P1。
组合数学第02讲_砝码问题(教师版)A4
一．单边砝码 问题综述：要用一架天枰称出已知的n 个重量数，且天枰只有一端可以放砝码，则最少需要几个砝码？解决思路：由于每次称物时，每个砝码的选择有两种情况（可放、可不放），所以m个砝码总共最多可以称出21m -种不同的重量，且砝码的重量分别为1、2、4、……、12m -，只要使选取的m 满足212m m n -≤≤即可．二．两边砝码问题综述：要用一架天枰称出已知的n 个重量数，且天枰两端都可以放砝码，则最少需要几个砝码？解决思路：由于每次称物时，每个砝码的选择有三种情况（可不放、可放左边、可放右边），所以m 个砝码总共最多可以称出31m -种不同的重量，且砝码的重量分别为1、3、9、……、13m -，只要使选取的m 满足313m m n -≤≤即可．重难点：砝码的选择性决定了砝码能称出的重量数．题模一：单边砝码例1.1.1老师把9颗糖分给丽丽和阿强，使得他俩每人都有糖，有__________种不同的分法．【答案】8【解析】丽丽可以分到1，2，3，4，5，6，7或8颗糖，对应阿强分到8，7，6，5，4，3，2或1颗糖．所以有8种不同的分法．例1.1.2一台天平在称物时，只允许在天平的一边放砝码．现在给你2克、4克和6克的砝码各一个，下列哪种重量的物体不能在这个天平上称出？A ．2克B ．8克C ．11克D ．12克【答案】C【解析】用2克的砝码就能称出2克，A 选项可以．用2克和6克的砝码就能称出8克，B 选项可以．用2克、4克和6克的砝码就能称出12克，D 选项可以．2克、4克和6克的砝码只能称出偶数克，所以C 选项称不出，答案为C ．例1.1.3现有1克，2克，3克和5克的砝码各一枚，能够称出1至11克的重量，某些重量可以有不止一种称量方法，比如3克，可以用3克的砝码称量，也可以用1克与2克的砝码称量．那么，至少需要用到3个砝码才能够称出的重量是________________（克）．【答案】9【解析】3克和5克最大可以称出8克，所以想称出9克至少需要3个砝码．同时可验证1克到8克均可由两个砝码称出．1克、2克、3克、5克已有，413=+，615=+，组合数学第02讲_砝码问题725=+，815=+．综上所述，至少需要用到3个砝码才能够称出的重量是9克．例1.1.4今有1克、2克、4克、8克、16克的五个砝码，却因为丢了一个砝码而使天平无法称出12克和23克的重量，请问：丢了哪个砝码？【答案】4【解析】丢的是4克的砝码．而()()()()102221211001000100==+，()()()()()()1022222231011110000100101==+++，由题意，导致12克和23克的重量不能被称量的是两式中的公共加数()21004=． 例1.1.5一台天平在称物时，只允许在天平的一边放砝码．现在要求能一次性地分别称出从1克到60克之间任意整克数重量的物体，至少需要__________个砝码．【答案】6【解析】首先必须有1克、2克、4克的砝码，这时最大能称1247++=克，还需要8克的砝码，就可以称出15克．再有16克的砝码，就可以称出31克的物体．还需要32克的砝码，就可以称出1克到60克之间任意整克数重量的物体，所以至少需要6个砝码．题模二：两边砝码例1.2.1如图1，有10克、25克、50克的砝码各一个，若在天平上只称量一次，则可以称出的重量有__________种．【答案】10【解析】天平的砝码可以放在一边，也可以放在两边．放在一边时只能称重若干砝码的和，放在两边时可以称重若干砝码的差．所以10克、25克、50克的砝码各一个，可以称重有10克、15克、25克、35克、40克、50克、60克、65克、75克和85克，共计10种．例1.2.2如果一台天平在称物时，可在天平的两边放砝码．（1）现在给你1克、2克和3克的砝码各一个，那么在天平上能称出几种不同重量的物体？（2）现在给你3个砝码，要求能一次性地分别称出从1克开始整克重的物体．请问能称出的物体最大重量是多少克？这时这3个砝码的重量分别是多少克？【答案】（1）6（2）13克，1、3、9克【解析】（1）一个砝码可称出1、2、3克，两个砝码可称出4、5克，三个砝码可称出6克，所有能称出6种不同重量的物体．（2）必须有1克的砝码，再有3克砝码，就可以称出2克和4克．如果再有9克，就可以称出5克，6克，7克，8克，9克，10克，11克，12克和13克，所以最多可称到13克，三个砝码分别为1、3、9克．例1.2.3一台天平在称物时，可在天平的两边放砝码．现在给你5个砝码，要求能一次性地分别称出从1克开始整克重的物体．请问能称出的物体最大重量是_________克．【答案】88【解析】首先要有1克，再有3克，就可称出2、3、4克．再有9克，可称出5至14克．增加一个29克，可称出15克至29克的重量，最后有59克的砝码，则可称出30至图188克的重量．所以能称出的物体最大重量是88克．例1.2.4一台天平在称物时，可在天平的两边放砝码．现在给你3个砝码，要求能一次性地分别称出2、4、6、8、10……26克重的物体．这时这几个砝码的重量分别是多少克？【答案】2、6、18【解析】首先要有2克，再有6克，就可称出2、4、6、8克．如果有18克，就可称出10、12、14、16、18、20、22、24、26克．综上，这时这几个砝码的重量分别是2、6、18克．例1.2.510个砝码，每个砝码重量都是整数克，无论怎样放都不能使天平平衡，这堆砝码总重量最少为_________克．【答案】1023【解析】10个砝码的重量分别为1克、2克、4克、8克、16克、32克、64克、128克、256克、512克时符合题意，这堆砝码的总重量为+++++++++=克．12481632641282565121023随练1.1一台天平在称物时，只允许在天平的一边放砝码．现在给你1克、2克和3克的砝码各一个，下列哪种重量的物体不能在这个天平上称出？A．3克B．5克C．6克D．7克【答案】D【解析】用1克和2克的砝码就能称出3克，A选项可以．用2克和3克的砝码就能称出5克，B选项可以．用1克、2克和3克的砝码就能称出6克，C选项可以．1克、2克和3克的砝码最多称出6克，所以D选项称不出，答案为D．随练 1.2一台天平在称物时，只允许在天平的一边放砝码．现在要求能一次性地分别称出从1克到7克之间任意整克数重量的物体，至少需要__________个砝码．【答案】3+=克，还需要4克的砝码，就【解析】首先必须有1克、2克的砝码，这时最大能称123可以称出1克到7克之间任意整克数重量的物体，所以至少需要3个砝码．随练1.3如果一台天平在称物时，只允许在天平的一边放砝码，现在给你4克、5克和8克的砝码各一个，那么在天平上能称出__________种不同重量的物体．【答案】7【解析】一个砝码可称出4、5、8克，两个砝码可称出9、12、13克，三个砝码可称出17克，所以在天平上能称出7种不同重量的物体．随练1.4如果一台天平在称物时，可以在天平的两边放砝码，现在给你4克、5克和8克的砝码各一个，那么在天平上能称出___________种不同重量的物体．【答案】10【解析】一个砝码可称出4、5、8克，两个砝码还可称出1、3、9、12、13克，三个砝码还可称出7、17克，所以在天平上能称出10种不同重量的物体．随练1.5一台天平在称物时，允许在天平的两边放砝码．现在给你1克、4克和6克的砝码各一个，下列哪种重量的物体不能在这个天平上称出？A．3克B．4克C．8克D．11克【答案】C【解析】A选项两边分别放1克和4克的砝码就能称出．B选项用4克的砝码就能称出．D选项一边用1克、4克和6克的砝码就能称出．1、4、6凑不出8克，所以正确答案为C．作业1一台天平在称物时，只允许在天平的一边放砝码．现在给你2克、3克和5克的砝码各一个，下列哪种重量的物体不能在这个天平上称出？A．7克B．8克C．9克D．10克【答案】C【解析】用2克和5克的砝码就能称出7克，A选项可以．用3克和5克的砝码就能称出8克，B选项可以．用2克、3克和5克的砝码就能称出10克，C选项可以．2克、3克和5克的砝码称不出9克，所以C选项称不出，答案为C．作业2一台天平在称物时，可在天平的一边放砝码．现在给你3个砝码，要求能一次性地分别称出从1克开始整克重的物体．能称出的物体最大重量是_________克，这时这3个砝码的重量分别是_________克．【答案】7克，1、2、4克的砝码【解析】因为要称出1克和2克，所有必须有1克和2克的砝码，这时已经能称3克的物体了，接下来需要4克砝码，最多称到7克，三个砝码分别为1、2、4克的砝码．作业3一台天平在称物时，只允许在天平的一边放砝码．现在要求能一次性地分别称出从1克到31克之间任意整克数重量的物体，至少需要__________个砝码．【答案】5++=克，还需要8克【解析】首先必须有1克、2克、4克的砝码，这时最大能称1247的砝码，就可以称出15克．再有16克的砝码，就可以称出1克到31克之间任意整克数重量的物体，所以至少需要5个砝码．作业4如果一台天平在称物时，可在天平的两边放砝码．现在给你2克、3克和4克的砝码各一个，那么在天平上能称出几种不同重量的物体？【答案】8【解析】一个砝码可称出2、3、4克，两个砝码可称出1、5、6、7克，三个砝码可称出9克，所以可以在天平上称出8种不同重量的物体．作业5一台天平在称物时，允许在天平的两边放砝码．现在要求能一次性地分别称出从1克到121克之间任意整克数重量的物体，至少需要__________个砝码．【答案】5【解析】因为天平两端可以放砝码，所以可以做减法．必须有1克、3克，这时最大能称4克．+=克．要称5克还需要9克的砝码，且最大可称出4913+=克．而要称出14克，要有27克的砝码，且最大可称出132740+=克．要称出41克，要有81克的砝码，且最大可称出4081121所以要求能一次性地分别称出从1克到121克之间任意整克数重量的物体，至少需要1克、3克、9克、27克和81克这5个砝码．。
人教版数学高二排列组合同步作业组合2
组合（2）一、选择题1．方程382828x x C C -=的解集为A ．{}4B ．{}9C ．φD ．{}4,92．12名同学分别到3个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有A ．4441284C C C 种 B ．44412843C C C 种 C ．4431283C C A 种D ．444128433C C C A 种 3．学校召开学生代表大会，高二年级的3个班共选6名代表，每班至少1名，则代表的名额分配方案数是A ．64B ．20C ．18D ．104．某科技小组有6名同学，现从中选出3人参加展览，至少有1名女生入选的有16种选法，则该小组中的女生数目为A ．2B ．3C ．4D ． 5二、填空题5．化简：9981m m m C C C +-+= 。
6．将4名优等生保送到3所学校去，每所学校至少得1名，则不同的保送方案的总数是 。
7．8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行了单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第三、四名，大师赛共有 场比赛。
（用数字作答）8．某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2菜2素，共4种不同的品种，现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同的选择，则餐厅至少还需要不同的素菜品种 种。
（结果用数值表示）三、解答题9．身高互不相同的7名运动员站成一排。
（1）其中甲、乙、两三人自左向右从高到矮排列的排法有多少种？（2）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？10．设是f 集合{},,,M a b c d =到集合{}0,1,2N =的映射，且满足()()()()4f a f b f c f d +++=，则不同的映射有多少个？11．9张卡片分别写有数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出3张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？参考答案一、选择题1．D2．A3．D4．A二、填空题5．06．367．168．7三、解答题9．（1）840 （2）24010．1911．602。
组合数学答案2-5
2. Prove that for any n+1 integers a1, a2, …, an+1 there exist two of the integers ai and aj with i ≠ j such that ai - aj is divisible by n.
Proof: Suppose that we divide all the integers by n, the remainders are {0, 1, …, n-1}.不是 1 到 n-1. According to Pigeonhole Principal, for n+1 integers, there exit two integers have the same remainders when divided by n. Assume that they are ai and aj, it is obvious that ai - aj is divisible by n, because they have the same remainder.
第一次作业 第二章 鸽巢原理
1. Show that if n+1 integers are chosen from the set {1, 2, …, 3n}, then there are always two which differ by 1 or 2.
Proof: Suppose that we partition set {1, 2, …, 3n} into {1, 2, 3}, {4, 5, 6}, …, {3n-2, 3n-1, 3n} and choose n+1 integers from the n sets. According to the Pigeonhole Principal, there are at least two integers from the same set. And elements in the same set differ by 1 or 2. Therefore, we concluded t hat if n+1 integers are chosen from the set {1, 2, …, 3n}, there are always two which differ by 1 or 2.
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第3章 排列与组合
3.6 练习题
4、下列各数各有多少互异正因子？ ⅰ) 117536
2
4
⨯⨯⨯ ⅱ) 620 ⅲ) 1010
解：ⅰ）已知3、5、7、11都是素数
在11753624⨯⨯⨯中包含着4个3、2个5、6个7、1个11的乘积
选择因子3的个数的方法有5种，分别是选择0个、1个、2个、3个、4个
同理，选择因子5的方法有3种，选择因子7的方法有7种，选择因子11的方法有2种
由乘法原理，11753624⨯⨯⨯有5×3×7×2 = 210个因子，且互异 那么，11753624⨯⨯⨯有210个互异正因子
□
ⅱ）先把620因式分解，得
620 = 31522⨯⨯
同ⅰ），由乘法原理，620有3×2×2 = 12个因子，且互异 那么，620有12个互异正因子
□
ⅲ）先把1010因式分解，得
1010105210⨯=
同ⅰ），由乘法原理，1010有11×11 = 121个因子，且互异 那么，1010有121个互异正因子
□
8、6男6女围坐一个圆桌。
如果男女交替围坐，可有多少种围坐的方式？
解：先把6个男人循环排队，有5！种方式
再把6个女人依次插入男人的循环队列中，要求每两个男人之间插一个女的，那么有6！种
方式
由乘法原理，共有5！×6！种方式
17、6个没有区别的车放在66⨯棋盘上，使没有两个车能够互相攻击的放置方法有多少？如果是2个红车4
个蓝车，那么放置方法又是多少？
解：由定理3.4.4
6个没有区别的车放在66⨯棋盘上，使没有两个车能够互相攻击的放置方法有6！种。
2个红车4个蓝车，那么放置方法是!
4!2)!6(2
⨯=6！×15种。
□
19、给定8个车，其中5个红车，3个蓝车。
ⅰ) 将8个车放在88⨯棋盘上，使没有两个车能够互相攻击的放置方法有多少？ ⅱ) 将8个车放在1212⨯棋盘上，使没有两个车能够互相攻击的放置方法有多少？
解：ⅰ) 由定理3.4.4
8个没有区别的车放在88⨯棋盘上，使没有两个车能够互相攻击的放置方法有⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⨯38!8
种。
□
ⅱ) 将8个车放在1212⨯棋盘上，使没有两个车能够互相攻击的放置方法有
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛38!8812812种。
□
21、单词ADDRESSES 的字母有多少排列？这9个字母有多少8-排列？
解：因为有1个A ，2个D ，1个R ，2个E ，3个S
所以，字母的排列共有!3!2!2!
9⨯⨯个。
8-排列的个数是!
2!2!2!
8!3!2!8!3!2!2!8!3!2!8!3!2!2!8⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯种。
□
花砖，水泥花砖 D45mSOPNvTdx。