数值分析第六章学习小结
《数值分析》第六章实验报告
U= 1.0120 0 0 -2.1320 -0.3955 0 3.1040 -0.4737 -8.9391
index = 1 >> L= 1.0000 -0.6869 0.3260 0 1.0000 -0.2142 0 0 1.0000 [L,U,P]=lu(A)
U= 3.1040 0 0 -7.0130 -0.7209 0 0.0140 -7.0034 1.5990
在命令行窗口中运行如下 >> A=[2 -1 1;3 3 9;3 3 5];[L,U,index]=LU_Decom(A) L= 1.0000 1.5000 1.5000 0 1.0000 1.0000 0 0 1.0000
U= 2.0000 0 0 -1.0000 4.5000 0 1.0000 7.5000 -4.0000
在命令窗口中运行 >> A =[3.03 -12.1 14;-3.03 12.1 -7;6.11 -14.2 21];b=[-119 120 -139]'; >> x=gauss_lie(A,b) x= 0 10.0000 0.1429 可知方程组的解为： x1=0 x2=10.0000 x3=0.1429 EXERCISE SET 6.5 P396 2、LU 分解，求 P a) A=[1 2 -1;2 4 0;0 1 -1] 编写 MATLAB 程序
8
P= 0 0 1 0 1 0 1 0 0
>> b=[1.984 -5.049 -3.895]'; >> inv(U)*inv(L)*P*b ans = 1.0000 1.0000 1.0000 可知解为 x1=1.0000 x2=1.0000 x3=1.0000
数值分析实验报告心得(3篇)
第1篇在数值分析这门课程的学习过程中，我深刻体会到了理论知识与实践操作相结合的重要性。
通过一系列的实验，我对数值分析的基本概念、方法和应用有了更加深入的理解。
以下是我对数值分析实验的心得体会。
一、实验目的与意义1. 巩固数值分析理论知识：通过实验，将课堂上学到的理论知识应用到实际问题中，加深对数值分析概念和方法的理解。
2. 培养实际操作能力：实验过程中，我学会了使用Matlab等软件进行数值计算，提高了编程能力。
3. 增强解决实际问题的能力：实验项目涉及多个领域，通过解决实际问题，提高了我的问题分析和解决能力。
4. 培养团队协作精神：实验过程中，我与同学们分工合作，共同完成任务，培养了团队协作精神。
二、实验内容及方法1. 实验一：拉格朗日插值法与牛顿插值法（1）实验目的：掌握拉格朗日插值法和牛顿插值法的原理，能够运用这两种方法进行函数逼近。
（2）实验方法：首先，我们选择一组数据点，然后利用拉格朗日插值法和牛顿插值法构造插值多项式。
最后，我们将插值多项式与原始函数进行比较，分析误差。
2. 实验二：方程求根（1）实验目的：掌握二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法等方程求根方法，能够运用这些方法求解非线性方程的根。
（2）实验方法：首先，我们选择一个非线性方程，然后运用二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法等方法求解方程的根。
最后，比较不同方法的收敛速度和精度。
3. 实验三：线性方程组求解（1）实验目的：掌握高斯消元法、矩阵分解法等线性方程组求解方法，能够运用这些方法求解线性方程组。
（2）实验方法：首先，我们构造一个线性方程组，然后运用高斯消元法、矩阵分解法等方法求解方程组。
最后，比较不同方法的计算量和精度。
4. 实验四：多元统计分析（1）实验目的：掌握多元统计分析的基本方法，能够运用这些方法对数据进行分析。
（2）实验方法：首先，我们收集一组多元数据，然后运用主成分分析、因子分析等方法对数据进行降维。
数值分析学习总结感想
数值分析学习总结感想在数值分析学习的过程中，我深刻体会到了这门学科的重要性和广泛应用的范围。
通过学习数值分析，我不仅加深了对数学理论的理解，还掌握了一些重要的数值计算方法和算法。
在此过程中，我收获了很多，也产生了许多感想。
首先，数值分析教给我了科学问题解决的方法。
在数值计算中，我们通常无法通过简单的代数运算来求解问题，而是需要借助计算机和数值算法来逼近解。
这种方法可以应用于很多实际问题，例如求解线性方程组、积分、微分方程等。
通过数值分析课程的学习，我掌握了很多常见的数值计算方法，例如高斯消元法、插值方法、数值积分等。
这些方法在实际问题中的应用非常广泛，能够帮助我们解决许多实际问题，提高计算效率和精度。
其次，数值分析也教会了我如何分析和估计误差。
在数值计算中，误差是无法避免的，而且可能会在计算过程中不断累积。
因此，我们需要了解误差的来源，能够进行误差估计和控制。
通过学习数值分析，我学会了如何使用泰勒展开式、理解截断误差和舍入误差等概念，同时也学会了如何使用残差计算和误差估计方法。
这对于判断数值结果的可靠性和计算效果的好坏非常重要，能够帮助我们找到优化方法和改进方案。
另外，数值分析还教会了我如何进行数值模拟和数据处理。
在实际工程和科学研究中，常常需要通过数值模拟来研究分析问题。
通过数值分析的学习，我学会了如何建立数学模型、选择合适的数值方法和算法来模拟求解问题，并能够对模拟结果进行合理的处理和分析。
这对于科学研究和工程设计都非常有价值，能够提高研究效率和解决复杂问题的能力。
最后，数值分析还培养了我一种严谨的科学态度和问题解决的能力。
在数值计算中，一个细微的误差可能会导致完全不同的结果，因此需要我们对问题进行仔细的分析，并保持谨慎的态度。
通过编程实现数值算法，我学会了如何调试代码和检查问题，发现解决bug的方法。
这培养了我的逻辑思维和问题解决能力，也增强了我对科学研究和工程实践的兴趣和热情。
综上所述，通过数值分析的学习，我不仅掌握了一些重要的数值计算方法和算法，还学会了科学问题解决的方法和误差估计的技巧。
数值分析总结
第一章绪论1.数值运算的误差估计2.绝对误差、相对误差与有效数字3.避免误差的相关问题病态问题与条件数算法的数值稳定性数值运算中的若干原则第二章非线性方程求根1.不动点迭代格式不动点迭代格式的构造、计算全局收敛性判断局部收敛性与收敛阶判断（两个方法）2.Newton迭代格式、计算及几何意义局部收敛性及收敛阶（单、重根）非局部收敛性判断（两个方法）3.Steffensen迭代格式及计算（具有）二阶的局部收敛性4.Newton迭代的变形求重根的迭代法（三种方法）避免导数计算的弦割法（两种方法）Newton下山法*5.二分法计算预先估计对分次数第三章解线性方程组的直接法1.矩阵三角分解法及其方程组求解 直接三角分解法及其分解的条件平方根法（Cholesky 分解）追赶法列主元三角分解法* 2.Gauss 消去法Gauss 主元素消去法（列主元素消去法、全主元素消去法） Gauss 顺序消去法3.方程组的性态与误差分析 向量和矩阵的范数（基础知识） 方程组解的相对误差估计 矩阵的条件数 病态方程组的求解*第四章解线性代数方程组的迭代法1.迭代法的基本理论简单迭代法格式的构造、收敛性判断以及方程组的求解Gauss—Seidel迭代法格式的构造、收敛性判断以及方程组的求解2.三种迭代法的构造、收敛性判断以及方程组的求解Jacobi迭代法基于Jacobi迭代法的Gauss—Seidel迭代法逐次超松弛迭代法①掌握简单迭代收敛性判断的方法。
设B为迭代矩阵，如果||B||<1，则用||B||判断迭代的收敛性比用ρ(B)<1更为方便，但此结论仅为充分条件。
如果||B||≥1，判断迭代的收敛性需考察ρ(B)<1是否成立。
如果需证明迭代发散，则需证明ρ(B)≥1。
②简单迭代法的收敛快慢，依赖于迭代矩阵谱半径的大小。
当ρ(B)<1，迭代次数k≥(mln10)/(-lnρ(B))，则迭代矩阵谱半径越小，收敛越快。
数值分析总结
数值分析总结数值分析是一门应用数学的学科，它的目标是使用数值方法来解决数学问题，尤其是那些难以使用解析方法求解的问题。
通过使用计算机来计算近似解，数值分析提供了一种实用而有效的解决方案。
在本文中，我将对我在学习数值分析过程中的一些主要收获进行总结。
一、数值方法的重要性数值方法不仅在科学计算中起着重要作用，而且在工程和实际应用领域也有广泛的应用。
无论是模拟天气预报、设计飞机的机翼，还是分析金融市场的波动，数值分析都可以提供快速、准确的结果。
因此，掌握数值方法成为了现代科学与工程领域必备的技能之一。
二、数值计算的误差与稳定性在数值计算中，我们经常会面对误差的问题。
舍入误差、截断误差和舍入误差都是我们需要关注的。
舍入误差是由于计算机在进行浮点数计算时的有限精度而引入的，而截断误差则是由于将无限精度的数学问题转化为有限精度计算引起的。
为了减小误差，我们可以使用舍入规则，并尽可能减小截断误差。
稳定性是另一个需要考虑的重要因素。
在一些计算中，输入数据的微小变化可能会导致输出结果的巨大变化。
这种情况下，我们说该算法是不稳定的。
为了确保计算的稳定性，我们需要选择合适的算法和数据结构，并且要进行合理的数值分析。
三、插值和拟合插值和拟合是数值分析的重要应用之一。
在实际问题中，我们往往只能够获得有限个数据点，但是我们需要获得一条曲线或函数来描述这些数据。
插值方法可以通过连接这些数据点来获得平滑的曲线，而拟合方法则通过选择一个合适的函数来逼近数据点。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的插值和拟合方法，并进行适当的调整和优化。
四、求解非线性方程求解非线性方程是数值分析中的一个重要问题。
在实际应用中，很多问题都可以归纳为求解非线性方程。
例如，求解光学系统中的折射问题、解微分方程等。
数值分析提供了多种求解非线性方程的方法，如牛顿法、二分法、割线法等。
这些方法有着各自的特点和适用范围，我们需要根据问题的性质选择合适的方法。
数值分析学习总结感想
数值分析学习总结感想第一篇：数值分析学习总结感想数值分析学习感想一个学期的数值分析，在老师的带领下，让我对这门课程有了深刻的理解和感悟。
这门课程是一个十分重视算法和原理的学科，同时它能够将人的思维引入数学思考的模式，在处理问题的时候，可以合理适当的提出方案和假设。
他的内容贴近实际，像数值分析，数值微分，求解线性方程组的解等，使数学理论更加有实际意义。
数值分析在给我们的知识上，有很大一部分都对我有很大的帮助，让我的生活和学习有了更加方便以及科学的方法。
像第一章就讲的误差，在现实生活中，也许没有太过于注意误差，所以对误差的看法有些轻视，但在学习了这一章之后，在老师的讲解下，了解到这些误差看似小，实则影响很大，更如后面所讲的余项，那些差别总是让人很容易就出错，也许在别的地方没有什么，但是在数学领域，一个小的误差，就很容易有不好的后果，而学习了数值分析的内容，很容易就可以将误差锁定在一个很小的范围内，在这一范围内再逼近，得出的近似值要准确的多，而在最开始的计算中，误差越小，对后面的影响越小，这无疑是好的。
数值分析不只在知识上传授了我很多，在思想上也对我有很大的影响，他给了我很多数学思想，很多思考的角度，在看待问题的方面上，多方位的去思考，并从别的例子上举一反三。
像其中所讲的插值法，在先学习了拉格朗日插值法后，对其理解透彻，了解了其中的原理和思想，再学习之后的牛顿插值以及三次样条插值等等，都很容易的融会贯通，很容易的就理解了其中所想，他们的中心思想并没有多大的变化，但是使用的方式却是不同的，这不仅可以学习到其中心内容，还可以去学习他们的思考方式，每个不同的思考方式带来的都是不同的算法。
而在看待问题上，不同的思考方式总是可以快速的全方位的去看透彻问题，从而知道如何去解决。
在不断的学习中，知识在不断的获取，能力在不断的提升，同时在老师的不懈讲解下，我逐渐的发现数值分析所涵盖的知识面特别的广泛，而我所需要学习的地方也更加的多，自己的不足也在不断的体现，我知道这只是我刚刚接触到了数学的那一角，在以后我还会接触到更多，而这求知的欲望也在不停的驱赶我，学习的越多，对今后的生活才会有更大的帮助。
数学分析第六章总结
数学分析I 第六章总结一、定义小结定义一：f 为凸函数，如果 12,,(0,1),..f I x x I s t λ∀∈∈定义在上， 1212((1))()(1)f x x f x x λλλλ+-≤+-f 为凹函数，如果 12,,(0,1),..f I x x I s t λ∀∈∈定义在上， 1212((1))()(1)f x x f x x λλλλ+-≥+-定义二：设函数f 在0x 处有穿过曲线的切线，若切点两侧的凹向性相反，则称点0x 为函数曲线的拐点二、定理小结引理：[]Fermat 定理000'(),'()=0x f f x f x 若是函数的极值点,存在导数则一定有定理一：[Rolle 中值定理],],[()()],[,..'()0f a b a b f a f b a b s t f ξξ=∃∈=在[]连续，在可导，且，那么 定理二：[Lagrange 中值定理]()(),],[],[,..'()f b f a f a b a b a b s t f b aξξ-∃∈=-在[]连续，在可导，那么 [推论：导数极限定理]0o 00()()lim ()x x f U x U x f x →在连续，在可导，且极限存在 000'()lim '()x x f x f x f x →=则在可导，且 定理三： '()0(0)f I f Iff f x ≥≤在可导，则递增(减)定理四：[]Darboux 定理++[,]'()'(),(,),'()f a b f a f b k a b f k ξξ≠∈=若在可导，且介于二者之间，则存在定理五：[]Cauchy 中值定理,,],[0()();f g a b a b g a g b ≠在[]连续，在可导，导数不同时为且 那么'()()()],[,..'()()()f f b f a a b s tg g b g a ξξξ-∃∈=-定理六：[']L Hospital 法则0000001.0(1),0, (2),'()0'()(3)lim'()()'()lim lim ()'()x x x x x x f g x x f g x g x f x A g x f x f x A g x g x →→→→→≠===型不定式极限在某个空心邻域可导，则00000+++2.(1), (2),'()0'()(3)lim'()()'()lim lim ()'()x x x x x x g x x f g x g x f x A g x f x f x A g x g x →→→∞∞→∞→≠===型不定式极限在某个空心右邻域可导，则定理七：[Taylor 公式]00 ()()(())n n f x n f x T x o x x =+-在存在直至阶导数，则有定理八：[]Taylor 定理[,] ],[1f a b n a b n +在存在直至阶导函数，在存在阶导函数(1)100(),[,],],[,()()()(1)!n n n f x x a b a b f x T x x x n ξξ++∀∈∃∈=+-+则有 定理九：[极值充分条件]1.函数f 在点0x 连续,邻域内可导。
数值分析-第六章小结
姓名班级学号第六章数值积分一、学习体会这一章主要解决的问题是定积分的数值方法——数值积分法，对于解决一些很难求解原函数或者根本就没有解析表达式的定积分，非常有用。
它直接利用求积公式来求出所给定积分的近似值，使其达到一定的求解精度。
本章第一节首先定义了数值求积公式及其代数精度，之后介绍插值型的求积公式进而引出按照节点等距求解的Newton-Cotes求积公式。
对于该公式对应不同的N那么就产生了不同的求积公式，求积公式的数值稳定性无法得到保证，而且仅适用于少节点的情形，这样就产生了另一类求积公式，即复化求积法，它将区间划分为若干子区间，在每个子区间上运用Newton-Cotes求积公式，进而使得这种方法达到了很高的精确度。
但是计算节点过多又会产生计算量大，所以为了适用最少的节点达到预先的精度，这样就产生了区间主次划分的方法，这种方法的基本思想是让步长可变。
在N个节点的求积公式中，Gauss型求积公式具有最高的求积精度，由于正交多项式随区间和权函数的不同而不同，因而就可以构造出不同类型的求积公式。
我们在进行定积分求解时，要根据求解的条件和结果不同，选择不同的求积方法，进行以得出比较准确的求解结果，这对以后工程上的求解问题有很大帮助。
二、知识梳理)]三、思考题1、推导中点求积公式3''()()()()()()224baa b b a f x dx b a f f a b ξξ+-=-+<<⎰证明：构造一次函数P （x ），使'''',()(),()02222a b a b a b a b P f P f P x ++++⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则，易求得'()()()()222a b a b a b P x f x f +++=-+ 且'()()()()222bb aa ab a b a b P x dx f x f dx +++⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰0()()()22ba ab a bf dx b a f ++=+=-⎰，令()()b a P x dx I f =⎰现分析截断误差：令'()()()()()()()222a b a b a b r x f x P x f x f x f +++=-=--+ 数值积分由'''()()()2a b r x f x f +=-易知2a bx +=为()r x 的二重零点， 所以可令2()()()2a b r x x x ϕ+=-， 构造辅助函数()()()()()2a bK t f t P t x t ϕ+=---，则易知： ()02a b K x K +⎛⎫== ⎪⎝⎭其中2a b t +=为二重根()K t ∴有三个零点 由罗尔定理，存在''''''()(,)()0()2()0()2f a b K f K x K x ηηηη∈=-=∴=使即从而可知''2()()()()()22f a b r x f x P x x η+=-=- 所以截断误差：[]''2()()()()()()()()22b bb baaa af a b R f f x dx I f f x P x dx r x dx x dx η+=-=-==-⎰⎰⎰⎰2()2a b x +-在(a,b)区间上不变号，且连续可积，由第二积分中值定理 ''''322''()()()()()()()(,)222224b b aa f ab f a b b a R f x dx x dx f a b ηξξξ++-=-=-=∈⎰⎰综上所述3''()()()()()()()224baa b b a f x dx I f R f b a f f ξ+-=+=-+⎰证毕2、构造Gauss 型求积公式的解法有哪些？ 第一种：定义法（1）利用 5.5.1小节的知识求出在区间上的带权函数()x ρ的正交多项式()()()()012,,,...,n g x g x g x g x ；（2）令方程()0n g x =，解出求积节点12,,...,n x x x ； （3）利用定义求解求积系数12,,...,n A A A ； （4）得出求积公式第二种：利用求积公式的性质()1nbi ai A x dx ρ==∑⎰和其代数精度有2N-1次（1）令()()()()221012211,,,...,n n f x f x x f x x f x x --====，（2)利用求积公式的性质()1nbi ai A x dx ρ==∑⎰和其代数精度有2N-1次，构造2n个方程；(3)求解方程中的未知数i i A 和x ； (4)得出求积公式 四、测试题对积分dx x x f ⎰-12)1)((，求构造两点Gauss 求积公式，要求：（1）在[0,1]上构造带权21)(x x -=ρ的二次正交多项式； （2）用所构造的正交多项式导出求积公式。
数值分析第六章学习小结
第六章学习小结姓名：张亚杰班级：机械1505班学号：S2*******一、本章学习体会1、在工程实际中经常会遇到一些原函数难于表出，或者原函数的表达式过于复杂，或者被积函数以离散的数值给出，这时本科时学的牛顿——莱布尼茨公式就无法计算了，本章是基于上述情况给出一个近似求解定积分的计算方法。
P x近似代替被积2、数值积分的基本思想是：用简单函数()函数，然后建立多项式的积分公式，这样就将积分求值问题转换为了被积函数数值的计算，避开了牛顿——莱布尼茨公式需要寻求原函数的困难。
3、数值积分是数值逼近的一个重要内容，也是插值函数的一个直接应用。
4、本章重点是牛顿—科特斯求积公式和高斯型求积公式。
二、知识构图：n x b <<≤为任何次数不高于m 的多项式时都成为等式(6.1)具有m 次代数精度,,m x 时都成为等式f(x)为1m x +利用前面的拉格朗日插值公式知识，出。
两个定理: 1、n+1节点的求积公式如果至少具有1,2,,n ，高斯点为切比雪夫多项式零点。
三、 思考题1、牛顿—科特斯求积和高斯求积节点分布有何不同？对同样数目的节点，两种求法哪种更精确？为什么？答：牛顿—科特斯求积时，将积分区间n 等分，求积节点是1n +个等距节点，高斯求积公式的节点称为高斯点，一般是不等距点。
对于同样数目的节点，高斯型求积公式是代数精度最高的求积公式，更精确些。
2、什么是高斯型求积公式？它的求积节点是如何确定的？它的代数精度是多少？为何称它是具有最高代数精度的求积公式？答：对于n 个求积节点，若求积公式具有21n -次代数精度，则称其节点为高斯点，相应的求积公式为高斯型求积公式。
插值型求积公式的节点011n a x x x b -≤≤≤⋅⋅⋅<≤是高斯点的充分必要条件是这些节点为零点的多项式I T <与任何次数不超过n 的多项式()p x 带权()x ρ正交，即()()()0b n ap x x x dx ωρ=⎰高斯型求积公式的代数精度是21n -，n 个求积节点的求积公式的代数精度最高为21n -次。
第六章数值积分小结
第六章数值积分小结第六章 数值积分 --------学习小结姓名 班级 学号一、 本章学习体会通过本章的学习，掌握了数值积分的基本思想和原理，深刻认识了数值积分法的意义，了解了代数精度的概念，以及数值积分精度和步长的关系，学习了Newton-Cotes 求积公式，复化求积法，Romberg 积分法，和Gauss 型求积公式。
了解了他们各自的优点和缺点及适用范围。
二、 本章知识梳理插值型求积公式()0()()nbn k k ak f x dx f x λ=≈∑⎰其中()()(0,1,...,)bn kk al x dx k n λ==⎰(1)0()[()](1)!n nbn j aj f R x x dxn ξ+==-+∏⎰其中(,)a b ξ∈定理6.1 n+1个节点的插值型求积公式至少具有n 次代数精度。
推论 对于n+1个节点的插值型求积公式的求积系数，必满足()0nn kk b aλ==-∑定理6.2 n+1个节点的求积公式如果具有n 次或者大于n 次的代数精度，则它是插值型求积公式。
6.3 Newton-Cotes 求积公式如果节点等距，且0,,(0,1,...,),n k b ax a x b x a kh k n h n -===+==，则相应的插值型求积公式称为Newton-Cotes 求积公式，相应的求积系数称为Newton-Cotes 求积系数。
令x a th =+()()()(0,1,...,)n n k k b a c k n λ∴=-=()00(1)[()]!()!n kn n n kj j kct j dt k n k n -=≠-=--∏⎰()0()()nbn k ak b af x dx f a kn λ=-≈+∑⎰2(1)00()[()](1)!n nn n n j h R f t j dt n ξ++==-+∏⎰(1)(2)(3)(4)11:,22141:,,6661331:,,,88887162167:,,,,9045154590k k k k c c c c定理6.3 当n 为偶数时，n+1个节点的Newton-Cotes 求积公式的代数精度至少是n+1。
2024年数值分析学习心得体会
2024年数值分析学习心得体会____年数值分析学习心得体会随着技术的快速发展和应用的广泛推广，数值分析作为一门重要的学科，不断地在各个领域中展现出它的价值和作用。
在____年的这段时间里，我有幸学习了数值分析这门课程，并且在学习的过程中积累了一些心得体会。
在此将我的学习心得体会整理总结，与大家分享。
首先，数值分析是一门综合性的学科。
在学习数值分析的过程中，我逐渐认识到数值分析实际上是一个综合性的学科，它涉及到数学、计算机科学、物理学等多个领域的知识。
在数值分析的学习过程中，我们需要了解和掌握各种数值计算方法、算法和技术，同时还需要对计算机的运行原理和计算机编程有所了解。
只有全面掌握了这些知识，才能更好地应用数值分析方法来解决实际问题。
其次，数值分析需要具备良好的数学基础。
数值分析是建立在数学基础之上的一门学科，对于数学的掌握程度直接影响着数值分析的学习效果和应用能力。
在学习数值分析的过程中，我们需要有扎实的数学基础，特别是在微积分、线性代数、概率论等方面。
只有通过对数学知识的深入学习和理解，才能更好地把握数值分析方法的原理和应用技巧。
再次，数值分析需要具备良好的编程能力。
在数值分析中，计算机编程是必不可少的工具。
通过编程，我们可以将数值分析的方法和算法实现为具体的程序，使得计算机能够高效地完成复杂的计算任务。
因此，作为数值分析的学习者，我们需要具备良好的编程能力。
在学习数值分析的过程中，我通过学习和实践，逐渐掌握了Python等编程语言，学会了使用计算机编程解决数值分析中的各种问题。
此外，数值分析需要具备较强的分析和抽象能力。
数值分析是一个需要深入思考和抽象问题的学科。
在解决实际问题时，我们需要从具体问题中抽象出数学模型，并通过数值分析的方法来求解。
在学习数值分析的过程中，我逐渐锻炼了自己的分析和抽象能力，学会了从问题中抽象出数学模型，并通过数值计算的方法来解决问题。
最后，数值分析需要不断实践和总结。
第六章学习小结
第六章数值积分--------学习小结姓名班级学号一、本章学习体会数值积分的解法很重要，要熟练运用并且掌握，而且该问题也是日后课题中可能遇到的。
由于在实际工作中很多被积函数是很难求出它的原函数的，甚至不能求出有限形式的原函数，即单纯的通过解析方法已经不能满足实际的应用，进而提出一种新的数值方法，数值积分法。
数值积分简单的讲就是求定积分的近似值的数值方法，即用被积函数的有限个抽样值的离散或加权平均近似值代替定积分的值。
本章主要介绍了插值型求积公式，NewtonCotes求积公式，复化求积公式以及Gauss型求积公式。
构造数值积分公式最通常的方法是用积分区间上的n次插值多项式代替被积函数，由此导出的求积公式称为插值型求积公式。
在节点分布等距的情形称为NewtonCotes公式，例如梯形公式就是最基本的近似公式。
但它们的精度较差。
当用不等距节点进行计算时，常用高斯型求积公式计算，它在节点数目相同情况下，准确程度较高，稳定性好，而且还可以计算无穷积分。
学习这一章最大的收获就是几种求积公式的应用，通过平时做习题，体会的更加深刻了。
这对于以后课题的研究会有很大的帮助。
程序的学习虽然在一点点进步，但是通过做作业感觉自己在MATLAB的软件学习方面还是有欠缺，因为本科学的不扎实，很多程序看上去很吃力，有待进一步的提升。
()()nbk kakf x dx f xλ=≈∑⎰（6.1）★定义对于求积公式（6.1），当()f x为任何次数不高于m的多项式都成为等式，而当()f x为某个m+1次多项式时不能成为等式，则称()()nk kkf x=其中代数精度只是定性地描述一个求积公式的精度高低，并不能定量的表示求积公式的误差大小。
()()(0,1,...,)bn k k al x dx k n λ==⎰★误差余项(1)0()[()](1)!n nbn j aj f R x x dx n ξ+==-+∏⎰其中(,)a b ξ∈★定理6.1 n+1个节点的插值型求积公式至少具有n 次代数精度。
数值分析总结
数值分析总结随着现代科技的不断进步，数值分析已经成为各领域中不可或缺的一部分。
其在物理学、工程学、金融学等方面的应用都得到了广泛的认可，因此，对于计算机科学专业的同学们来说，学习数值分析已经成为必修的一门课程。
在本文中，我将就自己在学习数值分析课程中所掌握的知识做一些总结。
数值分析是一门关于如何使用数字来解决近似问题的科学。
在这个科学中，有许多有用的方法可以用来解决各种数学问题，其中最为常见的方法是数值计算。
数值计算是一种使用数字来解决特定的问题的方法。
在许多情况下，使用数值计算方法可以更加准确和快速地解决问题。
在数值分析课程中，学生需要掌握许多计算方法以及相关工具的使用。
例如，学生需要了解矩阵的乘法、矩阵分解、常微分方程等。
这些工具不仅可以应用于各种物理学和工程学问题中的数值解法，而且在生物学和社会科学领域也有着广泛的应用。
生物学家可以使用数值解法来模拟生物过程，比如分子动力学模拟。
社会学家可以使用数值方法来模拟不同的人类行为，例如人口数量增长预测。
在学习这些数值方法时，学生应该注意到这些方法的局限性。
尽管数值方法可以解决许多数学和物理问题，但在某些情况下会出现误差。
例如，在矩阵乘法的过程中，如果矩阵存在着特殊条件，那么乘法会变得更加困难。
此外，在微积分应用中，数值方法有时难以确定解是真的或近似的，因为误差可以在整个过程中积累。
在课程中，我们还学会了如何在计算中减少误差。
一个有用的方法是使用不同步长的方法，从而可以确定误差的上限。
为了减小误差，我们还可以使用不同的算法和不同的计算工具。
在实际的生产中，这些方法对于确保准确和可靠的计算是非常重要的。
另外，我们也学会了如何评估一种方法或算法的优点和缺点。
我们应该选择最适合特定问题的解决方案，以确保我们的计算是正确的。
在总结中，可以看出数值分析是一个广泛应用于各个学科领域的科学。
在学习数值分析时，我们需要了解各种数学和物理工具，并学会如何选择最适合我们的问题的数值方法。
数值分析第六章小结
第6章 数值积分--------学习小结一、 本章学习体会本章主要介绍了五种计算定积分的数值积分法，分别为：插值型求积公式、Newton-Cotes 求积公式、复化梯形公式与复化Simpson 公式、Gauss 型求积公式等。
本章的重点在于掌握求积公式及其运用，并要学会求代数精度。
而通过对求积公式进行比较，会发现其方法与以前所学习的解析方法有一定的不同，它并不需要求出定积分的原函数，而是去直接利用求积公式来求出所给定积分的近似值，使其达到一定的求解精度要求，从而根据不同的题型做出不同的解答，这对于我们今后的专业研究过程也有一定的作用。
例如：高阶Newton-Cotes 公式会出现数值不稳定，而低阶Newton-Cotes 公式有时又不能满足精度要求，可将积分区间[a ，b]分成若干小区间，在每个小区间上用低阶求积公式计算，然后求和，即运用复化求积法。
通过运用matlab 软件，可以加深自己对各种求积公式的理解。
根据求解要求，充分考虑已知条件，选择简便快捷的求积方法进行定积分求解，从而得出比较准确的结果。
通过查阅相关书籍，加深对课本知识的理解，从而提高自己的自学能力。
二、本章知识梳理1 求积公式及其代数精度：求积公式的一般形式：()0()()nbn k k ak f x dx f x λ=≈∑⎰截断误差或余项：)()(0k b ank k n x f dx x f R ⎰∑=-=λ 代数精度：对于上面所列的求积公式，当()f x 为任何次数不高于m 的多项式时都成为等式，而当()f x 为某个m+1次多项式时不能成为等式，则称它具有m 次代数精度。
2 插值型求积公式：()()()nbn kk ak f x dx f x λ=≈∑⎰其中()()(0,1,...,)bn kk al x dx k n λ==⎰截断误差：(1)0()[()](1)!n nbn j aj f R x x dx n ξ+==-+∏⎰定理：n+1个节点的插值型求积公式至少具有n 次代数精度。
数值分析期末总结与体会
数值分析期末总结与体会数值分析是一门应用数学课程，主要研究数值计算方法和数值计算误差，并为实际问题提供数值计算解决方案。
在本学期的学习中，我深入学习了数值计算的基本概念与原理，并通过编程实践掌握了常见的数值计算方法。
在期末考试前夕，我对这门课的学习经历进行了总结与体会，下面是我对数值分析的期末总结与体会。
一、总结1. 知识掌握：在学习过程中，我通过系统的学习，掌握了课程中介绍的求根问题、插值问题、数值积分和数值微分等数值计算方法。
我了解了牛顿迭代法、二分法、割线法等求解非线性方程根的方法，熟悉了拉格朗日插值、牛顿插值等插值方法，学会了辛卜生插值多项式、三次样条插值等高级插值方法。
同时，我还学习了梯形法则、辛普森法则等数值积分算法，掌握了欧拉法、龙格-库塔法等数值微分算法。
2. 编程实践：在理论学习的基础上，我通过编写程序加深了对数值计算方法的理解与掌握。
我使用Python语言编写了求解非线性方程根、插值计算、数值积分和数值微分的代码，并通过实际运行验证了这些数值计算方法的正确性与有效性。
编程实践过程中，我深刻体会到了算法的重要性，不同的算法对于同一个数值计算问题，可能会有不同的效果。
3. 数值计算误差：在学习数值计算的过程中，我逐渐认识到数值计算误差的存在与产生机理。
由于计算机内部采用的是二进制表示法，而浮点数的二进制表示无法准确表示所有的实数，从而引入了舍入误差；另外，数值计算方法本身也存在精度误差，例如插值多项式的截断误差、数值积分的数值误差等。
掌握数值计算误差的产生原因和估计方法，对于正确评估数值计算结果的精度至关重要。
4. 应用实例：在学习过程中，我们还分析了各种实际问题，并通过数值计算方法得到了解决方案。
例如，在求根问题中，我们可以利用牛顿迭代法估计气体状态方程的参数；在插值问题中，我们可以使用拉格朗日插值方法恢复图像；在数值积分中，我们可以利用梯形法则或辛普森法则计算定积分；在数值微分中，我们可以应用欧拉法或者龙格-库塔法求解微分方程等。
数值分析(计算方法)总结
第一章 绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差ε(x )=|x −x ∗|是x ∗的绝对误差，e =x ∗−x 是x ∗的误差，ε(x )=|x −x ∗|≤ε，ε为x ∗的绝对误差限（或误差限） e r =ex =x ∗−x x为x ∗ 的相对误差，当|e r |较小时，令 e r =ex ∗=x ∗−x x ∗相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：εr 即：|e r |=|x ∗−x||x ∗|≤ε|x ∗|=εr绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值x ∗的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到x ∗的第一位非零数字共有n 位，则称近似值 x ∗有n 位有效数字，或说 x ∗精确到该位。
例：设x=π=3.1415926…那么x ∗=3,ε1(x )=0.1415926…≤0.5×100,则x ∗有效数字为1位，即个位上的3，或说 x ∗精确到个位。
科学计数法：记x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m (其中a 1≠0),若|x −x ∗|≤0.5×10m−n ，则x ∗有n 位有效数字，精确到10m−n 。
由有效数字求相对误差限：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）有n 位有效数字，则其相对误差限为12a 1×101−n由相对误差限求有效数字：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）的相对误差限为为12（a 1+1）×101−n 则它有n 位有效数字令x ∗、y ∗是x 、y 的近似值，且|x ∗−x|≤η(x )、|y ∗−y|≤η(y)1. x+y 近似值为x ∗+y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）和的误差（限）等于误差（限）的和2. x-y 近似值为x ∗−y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）3. xy 近似值为x ∗y ∗,η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)4. η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)|y ∗|21．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数 3．避免大数吃小数 4．尽量减少计算工作量 第二章 非线性方程求根1.逐步搜索法设f (a ) <0, f (b )> 0，有根区间为 (a , b )，从x 0=a 出发， 按某个预定步长(例如h =(b -a )/N )一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f (x k )=f (a +kh )的符号，若f (x k )>0(而f (x k -1)<0),则有根区间缩小为[x k -1,x k ] (若f (x k )=0，x k 即为所求根), 然后从x k -1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k -x k -1|< 为止，此时取x *≈(x k +x k -1)/2作为近似根。
数值分析第六章小结【计算方法】
第六章 数值积分学习小结一、本章知识梳理 求积公式及其代数精度：数值求积公式的一般形式：()0()()nbn k k ak f x dx f x λ=≈∑⎰截断误差：)()(0k bank k n x f dx x f R ⎰∑=-=λ数值求积公式是一种近似方法，因此，要求它对尽可能多的被积函数f 能准确计算积分的值，这就有了代数精度的概念。
定义：对于上面所列的求积公式，当()f x 为任何次数不高于m 的多项式时都成为等式，而当()f x 为某个m+1次多项式时不能成为等式，则称它具有m 次代数精度。
插值型求积公式：()0()()nbn k k ak f x dx f x λ=≈∑⎰其中()()(0,1,...,)bn kk al x dx k n λ==⎰截断误差：(1)0()[()](1)!n nbn j aj f R x x dx n ξ+==-+∏⎰定理：n+1个节点的插值型求积公式至少具有n 次代数精度。
Newton —Cotes 求积公式：求积公式：()0()()nbn kak b a f x dx f a k nλ=-≈+∑⎰其中()()()(0,1,...,)n n k k b a c k n λ=-=()00(1)[()]!()!n kn n n kj j kct j dt k n k n -=≠-=--∏⎰ 2(1)00()[()](1)!n n n n n j h R f t j dt n ξ++==-+∏⎰ 梯形公式(n=1)：()[()()]2bab af x dx f a f b -≈+⎰31()''(),(,)12b a R f a b ηη-=-∈Simpson 公式(n=2)：()[()4()+()]62bab a a bf x dx f a f f b -+≈+⎰5(4)2()(),(,)2880b a R f a b ηη-=-∈Simpson3/8公式(n=3)：22()[()3()3()()]833bab a a b a bf x dx f a f f f b -++≈+++⎰5(4)3()(),(,)6480b a R f a b ηη-=-∈Cotes 公式(n=4)：33()[7()32()12()32()7()]90424bab a a b a b a bf x dx f a f f f f b -+++≈++++⎰7(6)4()(),(,)1935360b a R f a b ηη-=-∈复化求积法：复化梯形公式：(0,1,...,),k b ax a kh k n h n-=+==11()[()()2()]2n bak hf x dx f a f b f a kh -=≈+++∑⎰2()''(),[,]12T b a R h f a b ηη-=-∈复化Simpson 公式：(0,1,...,2),2k b ax a kh k m h m-=+==121211()[()()4()2()]3m m bi i ai i hf x dx f a f b f x f x --==≈+++∑∑⎰4(4)()(),[,]180S b a R h f a b ηη-=-∈ Gauss 型求积公式：一般理论：1()()()nbi i ai x f x dx A f x ρ=≈∑⎰()()(1,2,...,)()'()bn i ai n i x x A dx i n x x x ρωω==-⎰()()()()!n bn af R x x dx n ξρω=⎰几种Gauss 型求积公式：Gauss-Legendre 求积公式：111()()ni i i f x dx A f x -=≈∑⎰222(1,2,...,)(1)['()]i i n i A i n x L x ==-(2)242()2(!)2(1,1)(2)![(2)!]21n n f n R n n n ηη=••∈-+， Gauss-Laguerre 求积公式：1()()nxi i i e f x dx A f x ∞-=≈∑⎰22(!)(1,2,...,)['()]i i n i n A i n x U x == 二、本章测验题已知Legendre 正交多项式)(x L n 有三项递推关系式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-++===-+ ,2,1)(1)(112)()(,1)(1110n x L n n x xL n n x L x x L x L n nn试推导两点Gauss-Legendre 求积公式)()()(221111x f A x f A dx x f +≈⎰-的求积系数和节点，并用此公式计算下列积分的近似值。
数值分析期末总结pdf
数值分析期末总结pdf一、引言数值分析指的是利用数值方法对数学问题进行计算和求解的一门学科，在科学计算和工程技术领域中具有重要的应用价值。
本学期学习了数值分析的基本理论知识和常用的数值计算方法，对于提高科学计算和工程分析的准确性和效率具有重要意义。
通过这门课程的学习，我深刻认识到数值分析在实际问题求解中的重要性，并且对于数值方法的原理和应用有了一定的了解。
下面将对本学期学习的内容进行总结和思考。
二、数值误差的分类在数值计算过程中，会产生各种不同类型的误差。
了解不同类型的误差对于评估计算结果的准确性十分重要。
常见的数值误差包括：绝对误差、相对误差、截断误差和舍入误差等。
绝对误差指的是数值计算结果与真实值之间的差距。
相对误差是绝对误差除以真实值，用来计算计算结果相对于真实值的相对准确性。
截断误差是指数值计算方法本身的误差，通常由数值逼近和离散化引起。
舍入误差是因计算机中浮点数的机器精度引起的误差，它是由于计算机在二进制下无法准确表示所有实数而引起的。
在数值计算中，为了减小舍入误差，可以采用舍入规则和舍入策略来控制舍入过程。
三、插值和拟合插值和拟合是数值分析中常用的数值逼近方法，它们可以通过已知数据点推断出未知数据点的数值。
插值是通过已知数据点构造一个函数，使得该函数在已知点上的取值与给定函数完全一致。
常见的插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值等。
拟合是通过已知数据点构造一个函数近似地表示给定函数，以最小化数据点和拟合函数之间的误差。
拟合方法包括最小二乘法和样条插值等。
在插值和拟合的过程中，需要根据实际问题选择适当的插值函数或拟合函数，并确定适当的插值节点或拟合参数。
选择不同的函数或节点参数可能会导致不同的逼近精度和计算效率。
因此，在实际问题中需要根据需求和计算资源的限制综合考虑。
四、数值微积分数值微积分是利用数值方法求解微积分问题的一门学科，常见的数值微积分问题包括数值积分和常微分方程数值解等。
数值积分是计算给定函数在给定区间上的定积分值。
数值分析课程心得体会(2篇)
第1篇随着科学技术的不断发展，计算机在各个领域中的应用越来越广泛，而数值分析作为一门研究数值计算问题的学科，其重要性不言而喻。
在我国高等教育中，数值分析课程是一门重要的基础课程，旨在培养学生运用数学方法解决实际问题的能力。
通过近一段时间的学习，我对数值分析课程有了更深入的理解和体会，以下是我对这门课程的心得体会。
一、课程内容丰富，理论与实践相结合数值分析课程涵盖了大量的数值计算方法，包括插值、逼近、数值微分、数值积分、线性方程组求解、特征值与特征向量计算、常微分方程求解等。
这些内容既有理论推导，又有实际应用，使学生在学习过程中既能掌握数学知识，又能了解这些知识在实际问题中的应用。
在学习过程中，我发现数值分析课程注重理论与实践相结合。
例如，在学习线性方程组求解时，我们不仅学习了高斯消元法、矩阵分解等方法，还通过编程实现这些算法，并分析算法的稳定性和误差。
这种理论与实践相结合的教学方式，使我对数值计算有了更深刻的认识。
二、培养严谨的数学思维和科学精神数值分析课程要求学生具备严谨的数学思维和科学精神。
在推导公式、证明定理的过程中，我们需要仔细分析问题，严谨地运用数学工具。
这种思维方式对于培养我们的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力具有重要意义。
在学习过程中，我深刻体会到严谨的数学思维和科学精神的重要性。
例如，在学习数值积分时，我们需要分析积分区间、被积函数的特性等因素，选择合适的数值积分方法。
这要求我们在处理问题时，既要考虑到理论上的合理性，又要考虑到实际应用中的可行性。
三、提高编程能力和算法设计能力数值分析课程中，编程实践是培养学生编程能力和算法设计能力的重要途径。
通过编程实现数值计算方法，我们可以更好地理解算法的原理，提高编程水平。
在学习过程中，我学会了如何使用C、C++等编程语言实现数值计算方法。
同时，我还学会了如何优化算法，提高计算效率。
这些技能对于我在今后的学习和工作中具有重要的指导意义。
数值分析总结汇报
数值分析总结汇报数值分析总结汇报数值分析是一门研究使用数值方法处理数学问题的学科，它在现代科学和工程领域中具有广泛的应用。
在这份汇报中，我将对我在数值分析课程中学到的知识和技能进行总结和归纳，同时分享我对该领域的理解和见解。
首先，在数值分析的学习过程中，我明白了数值方法是为了解决实际问题而发展起来的一套数学方法。
它利用数学模型和算法来近似求解复杂的数学问题，如线性方程组的求解、非线性方程的求根、数值积分和微分方程的数值解等。
我学会了根据实际问题的特点选择合适的数值方法，并利用计算机编程实现求解过程。
其次，我学会了如何对数值方法的误差进行分析和估计。
在数值计算中，存在着舍入误差和截断误差。
舍入误差是由于计算机只能表示有限位数的数字而导致的误差，而截断误差是由于应用了一些近似方法而产生的误差。
我学会了如何通过误差分析来评估数值方法的准确性和可靠性，并了解了误差的传播规律和控制方法。
另外，我在数值分析课程中还学习了数值线性代数的基本理论和方法。
线性代数在数值分析中起着重要的作用，它不仅可以用于描述和分析线性方程组的解空间，还可以应用于矩阵分解、特征值和特征向量的计算等问题。
我学会了使用高斯消元法、LU分解、QR分解等方法来求解线性方程组，并理解了这些方法的原理和应用条件。
此外，数值积分和数值微分也是数值分析的重要内容之一。
在数值积分方面，我学会了使用梯形公式、辛普森公式和龙贝格公式等方法进行复杂函数的数值积分，并了解了数值积分的收敛性和误差估计。
在数值微分方面，我掌握了前向差分、中心差分和后向差分等方法来计算函数的导数，并了解了数值微分的稳定性和收敛性。
最后，数值分析在实际问题中有着广泛的应用。
它可以用于求解工程问题、经济问题、物理问题等领域中的数学模型。
例如，利用有限元法可以求解结构力学中的应力、应变分布；利用数值模拟可以研究流体力学中的流动和传热问题。
我认识到数值分析是一种强有力的工具，可以帮助科学家和工程师解决很多实际问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第六章 数值积分
--------学习小结
姓名 班级 学号
一、 本章学习体会
本章主要讲授了数值积分的一些求积公式及各种求积公式的代数精度，重点应掌握插值型求积公式，什么样的求积公式可以被称为插值型求积公式，Newton-Cotes 求积公式及其收敛性与数值稳定性，复化求积公式和高斯求积公式，在本章的学习过程中也遇到不少问题，比如本章知识点多，公式多，在做题时容易张冠李戴，其次对Newton-Cotes 求积公式的收敛性与数值稳定性理解不够透彻，处理一个实际问题时，不知道选取哪一种求积公式，来达到最精确的结果。
二、 本章知识梳理
6.1求积公式及其代数精度
代数精度的概念：如果求积公式(6.1)当f(x)为任何次数不高于m 的多项式时都成为等式,而当f(x)为某个m+1次多项式时(6.1)不能成为等式,则称求积公式(6.1)具有m 次代数精度。
6.2插值型求积公式
（1）求积公式： ⎰+++=b a n n n dx x n f R )()!
1()(1)1(ωξ （2）重要的定理：n+1个节点的插值型求积公式至少具有n 次代数度。
（3）求积系数：a b A k n k -=∑=0
6.3Newton-Cotes 求积公式及其收敛性与数值稳定性
（1）公式：∑⎰=≈n k k n k
b a x f dx x f 0)()()(λ∑=-=n
k k n k x f c a b 0)()()(
（2）截断误差：⎰∏=++-+=n n j j n n n dt t t f n h R 00
)1(2)()()!1(ξ （3）重要的定理：当n 为偶数时,n+1个节点的Newton-Cotes 求积公式至少具有n+1次代数精度。
（4）常用的Newton-Cotes 求积公式
n=1 梯形公式：)]()([2
)(b f a f a b dx x f b
a +-≈⎰ 余项：),(),(12
)(3
1b a f a b R ∈''--=ηη，具有一次精度。
n=2 Simpson 公式：)]()2
(4)([6)(b f b a f a f a b dx x f b a +++-≈⎰ 余项：),(),(2880
)()4(5
2b a f a b R ∈--=ηη，具有三次精度。
6.4复化求积法
（1）复化梯形公式：
])(2)()([2)(11∑⎰
-=+++≈n k b a kh a f b f a f h dx x f
截断误差： ],[),(122b a f h a b R T ∈''--=ηη
（2）复化Simpson 公式：
])(2)(4)()([3)(111212∑∑⎰=-=-+++≈m k m k k k b
a x f x f
b f a f h dx x f
截断误差：
],[),(180)4(4b a f h a b R s ∈--=ηη
6.5Gauss 型求积公式
（1）定义：若n 个节点的插值型求积公式(6.23)具有2n-1
次代数精度,则称它为Gauss 型求积公式。
（2）定理：n 个节点的 Gauss 型求积公式的代数精度为2n-1。
（3）定理：设},1,0),({ =k x g k 是区间[a,b]上带权)(x ρ的正交多项式系,则求
积公式(6.23) 、式(6.24)是Gauss 型求积公式的充分必要条件是它的求积节点是n 次正交多项式
)(x g n 的n 个零点。
（4）求积系数
公式：
n k dx x g x x x g x A b a k n k n k ,,2,1,)()()
()( ='-=⎰ρ
性质：1.
n k A k ,,2,1,0 =>
2.⎰∑==b a n k k dx x A )(0ρ
（5）求积公式的构造
第一步：找高斯点
1）待定系数法：设
,)(,)(,1)(2210c bx x x g a x x g x g ++=+==由正交性确定待定系数a,b,c,…..
2）利用递推公式
第二步：确定求积系数
k A 1）解线性方程组
2）n k dx x l x A b a k k ,,2,1,)()( ==⎰ρ
n k x x x x x l n
k i i i k i k ,,2,1,)(0 =--=∏≠=
三、本章思考题
1.插值型求积公式有何特点？
答：插值型求积公式主要用于计算定积分的值。
数学推导中用拉格朗日插值函数代替被积函数，其表现形式是有限个函数值的线性组合，而组合系数恰好是拉格朗日插值基函数的定积分。
(n+1)个结点的插值型求积公式的代数精度一般不超过n 。
用数值求积公式计算定积分可以克服牛顿—莱布尼兹公式的弱点，但是数值计算结果带有误差。
在用数值求积公式设计算法时，一般要考虑到误差估计，还应该使所求的数据结果的误差得到控制。
2.复化求积公式的误差是如何估计的？ 答：对于复化梯形公式可根据其截断误差公式，首先求得n a b h -=，然后求)(x f 的二阶倒数，判断)(x f 的二阶倒数的单调性，然后在积分区间上求得
)(x f 的二阶倒数的最大值就可以估计复化求积公式的误差，
利用估计出的复化求积公式的误差还可以求得用复化梯形公式近似求解某一积分的有效数字有多少位。
对于复化Simpson 公式方法同估计复化梯形公式的误差，只是截断误差公式有所改变，此时需求出)(x f 的四阶倒数然后判断其最大值。
四、本章测验题
问题：如果用复化梯形公式计算定积分dx e x ⎰-1
，要求截断误差不超过
4105.0-⨯，试问n 至少取多少？ 解：复化的梯形公式的截断误差为：()η''312
f h a b R T --= )(max 12''103ηf h a b R x T ≤≤-≤，而1)(max )(max 10''10==-≤≤≤≤x x x e f η，n
h 1= 将以上各式代入)(max 12
''103ηf h a b R x T ≤≤-≤可得： 42''103105.0121)(max 12-≤≤⨯≤=-≤
n f h a b R x T η 解上述方程得8.40=n ，取41=n ，所以n 至少取41。