黑体辐射普朗克公式推导

普朗克黑体辐射公式推导(精.选)

普朗克黑体辐射公式的推导所谓的黑体是指能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。

黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。

辐射热平衡状态:处于某一温度T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。

实验发现：热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度T 有关而与黑体的形状和材料无关。

实验得到： 1.Wien 公式从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式：Wien 公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。

2. Rayleigh-Jeans 公式Rayleigh-Jeans 公式在低频区和实验相符，但是在高频区公式与实验不符，并且∞→=⎰∞v v d E E ，既单位体积的能量发散，而实验测得的黑体辐射的能量密度是4T E σ=，该式叫做Stefan-Bolzmann 公式，σ叫做Stefan-Bolzmann 常数。

3. Planck 黑体辐射定律1900年１２月１４日Planck 提出如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。

作为辐射原子的模型，Planck 假定：（1）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率v 振荡；（2）黑体只能以E=hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。

得到：νννπνρνd kT h C h d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1)/exp(1833该式称为Planck 辐射定律 h 为普朗克常数，h=s j .10626.634-⨯4，普朗克的推导过程：把空窖内的电磁波分解为各个频率的简振振动，简振模的形式最后为).(),(wt r K i k k e C t r -=αβψ，为常系数振方向，表示两个互相垂直的偏ααk C 2,1=每一个简振模在力学上等价于一个自由度，记频率在()νννd +,内的自由度数为()ννd g ，则（0，v ）范围内的总自由度数G(v)与g(v)的关系为()()ννννd g G ⎰=0。

普朗克黑体辐射公式推导

欢迎阅读普朗克黑体辐射公式的推导所谓的黑体是指能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。

黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。

辐射热平衡状态:处于某一温度T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。

实验发现：热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度T 有关而与黑体的形状和材料无关。

实验得到： 1.Wien 公式从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式：Wien 公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。

2. Rayleigh-Jeans 公式Rayleigh-Jeans 公式在低频区和实验相符，但是在高频区公式与实验不符，并且∞→=⎰∞v v d E E ，既单位体积的能量发散，而实验测得的黑体辐射的能量密度是4T E σ=，该式叫做Stefan-Bolzmann 公式，σ叫做Stefan-Bolzmann 常数。

3. Planck 黑体辐射定律1900年１２月１４日Planck 提出如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。

作为辐射原子的模型，Planck 假定：（1）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率v 振荡；（2）黑体只能以E=hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。

得到：νννπνρνd kT h C h d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1)/exp(1833该式称为Planck 辐射定律 h 为普朗克常数，h=s j .10626.634-⨯4，普朗克的推导过程：把空窖内的电磁波分解为各个频率的简振振动，简振模的形式最后为).(),(wt r K i k k e C t r -=αβψ，为常系数振方向，表示两个互相垂直的偏ααk C 2,1=每一个简振模在力学上等价于一个自由度，记频率在()νννd +,内的自由度数为()ννd g ，则（0，v ）范围内的总自由度数G(v)与g(v)的关系为()()ννννd g G ⎰=0。

黑体辐射公式的推导

普朗克和瑞利-金斯黑体辐射公式的推导1 引言马克斯·普朗克于1900年建立了黑体辐射定律的公式，并于1901年发表。

其目的是改进由威廉·维恩提出的维恩近似（至于描述黑体辐射的另一公式：由瑞利勋爵和金斯爵士提出的瑞利-金斯定律，其建立时间要稍晚于普朗克定律。

由此可见瑞利-金斯公式所导致的“紫外灾难”并不是普朗克建立黑体辐射定律的动机）。

维恩近似在短波范围内和实验数据相当符合，但在长波范围内偏差较大；而瑞利-金斯公式则正好相反。

普朗克得到的公式则在全波段范围内都和实验结果符合得相当好。

在推导过程中，普朗克考虑将电磁场的能量按照物质中带电振子的不同振动模式分布。

得到普朗克公式的前提假设是这些振子的能量只能取某些基本能量单位的整数倍，这些基本能量单位只与电磁波的频率有关，并且和频率成正比。

这即是普朗克的能量量子化假说，这一假说的提出比爱因斯坦为解释光电效应而提出的光子概念还要至少早五年。

然而普朗克并没有像爱因斯坦那样假设电磁波本身即是具有分立能量的量子化的波束，他认为这种量子化只不过是对于处在封闭区域所形成的腔（也就是构成物质的原子）内的微小振子而言的，用半经典的语言来说就是束缚态必然导出量子化。

普朗克没能为这一量子化假设给出更多的物理解释，他只是相信这是一种数学上的推导手段，从而能够使理论和经验上的实验数据在全波段范围内符合。

不过最终普朗克的量子化假说和爱因斯坦的光子假说都成为了量子力学的基石。

2 公式推导2.1 普朗克公式和瑞利-金斯公式的推导黑体是指在任何温度下,对于各种波长的电磁辐射的吸收系数恒等于1的物体。

黑体辐射的能量是由电磁场的本征振动引起的，为简化推导过程，在此将黑体简化为边长为L 的正方形谐振腔。

则腔内的电磁场满足亥姆霍兹方程： 2222u+k u 0 (k )ωμε∇== （1）用分离变量法，令u(x,y,z)X(x)Y(y)Z(z)=则（1）式可分解为三个方程：222222222000x y z d X k X dx d Y k Y dyd Z k Z dz⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 其中2222x y zk k k ωμε++= 得（1）式的驻波解为：112233(,,)(cos sin )(cos sin )(cos sin )x x y y z z u x y z c k x d k x c k y d k y c k z d k z =+++由在x=0,x=L,y=0,y=L,z=0,z=L 上的边界条件0n E n∂=∂及0D E ⋅=可得：123cos sin sin sin cos sin sin sin cos x x y z y x y z z x y z E A k x k y k z E A k x k y k zE A k x k y k z⎧=⎪=⎨⎪=⎩ x x k n L π=，y y k n L π=，z z k n L π= ,,0,1,2,x y z n n n= （其中1A ,2A ,3A 满足关系1230x y z k A k A k A ++=）则j k （j 表示第j 个本征态）的绝对值为： 2222222()()()j x y z j k n n n n L Lππ=++= 换成第j 个本征态的频率得：222()2j j c n Lν= 当j L λ>>时，j λ和j ν可视为连续变化，不必取分立值，即有： 222()2c n Lν= （2）（2）式表明在整数n 空间一组整数,,x y z n n n 即对应一个本征模的频率。

普朗克公式的推导过程

普朗克公式的推导过程
嘿，朋友！今天咱就来好好聊聊普朗克公式的推导过程。

先来说说黑体辐射，这就好比是一个神秘的黑盒子，不断向外辐射能量。

那怎么描述这种辐射呢？这就用到了普朗克公式 E=hf ，这里的 E 代表能量，h 是普朗克常数，f 是频率。

咱举个例子啊，就好像不同的音乐频率，高音就像高频率，能量大，低音就像低频率，能量小。

普朗克就像是发现了音乐背后的神秘规律一样了不起！
然后呢，普朗克通过一系列超级厉害的思考和计算，发现能量不是连续的，而是一份一份的，就像巧克力豆，一颗一颗的，不能再细分了。

这可真是让人大吃一惊啊！难道不是吗？
通过这一系列奇妙的推导和发现，普朗克公式就诞生啦！它就如同照亮黑暗的明灯，让我们对这个神奇的物理世界有了更深刻的理解。

哇塞，是不是超级酷？哈哈！。

普朗克黑体辐射公式推导

普朗克黑体辐射公式推导
普朗克黑体辐射公式是物理学中一个重要的公式，它描述了物体在温度T时发射的辐射量。

它是由德国物理学家Max Planck在1900年提出的，他认为，物体发射的辐射量与温度有关，并且可以用一个公式来表示。

普朗克黑体辐射公式的表达式为：
E=σT^4
其中，E表示物体发射的辐射量，σ表示普朗克常数，T表示物体的温度。

普朗克黑体辐射公式的推导过程如下：
首先，Max Planck假设物体发射的辐射量与温度有关，并且可以用一个公式来表示。

其次，Max Planck假设物体发射的辐射量与温度的四次方成正比，即E=kT^4，其中k为
一个常数。

最后，Max Planck根据实验结果，求出了k的值，即普朗克常数σ，最终得到了普朗克黑
体辐射公式：E=σT^4。

普朗克黑体辐射公式是物理学中一个重要的公式，它描述了物体在温度T时发射的辐射量，是Max Planck在1900年提出的，它的推导过程是Max Planck假设物体发射的辐射量与
温度的四次方成正比，根据实验结果，求出了普朗克常数σ，最终得到了普朗克黑体辐射
公式：E=σT^4。

它为物理学的发展做出了重要贡献，并且在现代物理学中仍然具有重要
的意义。

普朗克黑体辐射公式的详细推导

普朗克黑体辐射公式的详细推导普朗克假设黑体辐射是由一系列离散的微观振动体产生的，这些振动体能够吸收和释放以能量量子(hf)为单位的能量。

当这些振动体处于平衡状态时，设振动体的能量分布函数为Ψ(ε)，其中ε表示振动体的能量。

考虑单位体积和单位能量范围内的振动体数目，记为N(ε)dε，其中N表示单位体积内振动体的总数。

根据统计力学的理论，N(ε)dε可表达为波尔兹曼分布，即：N(ε)dε = g(ε)exp(-ε/kBT)dε其中，g(ε)表示在特定能量范围内的能量态的数目，exp(-ε/kBT)是由玻尔兹曼因子得到，k是玻尔兹曼常数，T是温度。

由于辐射的能量不连续，因此，可以将单位体积和单位频率范围内的振动体数目表示为N(v)dv，其中v表示频率，dv表示频率范围。

考虑到能量和频率之间的关系，有ε = hv，其中h是普朗克常数。

根据可加性和幂次原理，能量态的数目g(ε)应满足：g(ε)dε=4π(2m/h^2)^(3/2)ε^(1/2)dε其中，m是振动体的质量。

将ε和dε用v和dv表示，并对能量态的数目函数进行简化得到：g(v)dv = (8πv^2/c^3)dv其中，c是光速。

由于单位体积和单位能量范围内的振动体数目与单位体积和单位频率范围内的振动体数目之间有关系：N(ε)dε = N(v)dv将上述得出的g(ε)和g(v)带入上式，并整理可得：N(v) = (8πv^2/c^3)exp(-hv/kBT)dv可以将上式转化为单位面积、单位时间、单位频率范围内的能量密度u(v)：u(v) = N(v)hv代入上式并进行整理，得到：u(v) = (8πhv^3/c^3)exp(-hv/kBT)dv利用频率和波长的关系，即v=c/λ，可以将上式转化为以波长表示的能量密度：u(λ) = (8πhc/λ^5)exp(-hc/λkBT)dλ这就是普朗克黑体辐射公式的最终形式。

通过对普朗克黑体辐射公式的推导，我们可以看出，普朗克假设了黑体辐射的能量是以能量量子为单位的离散量，这个假设是量子力学发展的重要先导。

普朗克公式的推导

结果：公式中包含了能量与频率、波长的关系，与实验结果
相符
影响：为后续研究黑体辐射奠定了基础
普朗克提出能量量子化假设
能量子具有离散性，不能连续变化
普朗克提出能量量子化假设
能量子的能量与频率成正比
能量子的存在解释了黑体辐射实验的现象
时间：1900年人物：普朗克背景：为了解释黑体辐射实验结果假设内容：能量是由离散的能量子组成，而不是连续变化的
添加标题添加标题添加标题添加标题
量子力学：普朗克公式是量子力学的基础，为研究微观粒子提供了重要的理论支持。
黑体辐射：普朗克公式用于描述黑体辐射的能量分布，是理解热辐射和能量传输的重要工具。
光电效应：普朗克公式解释了光电效应中光子能量与光电子动能之间的关系，为光电器件的设计和应用提供了理论依据。
普朗克公式的推导汇报人：来自X目录普朗克公式的背景
普朗克提出能量量子化假设
普朗克公式的推导过程
普朗克公式的意义与影响
普朗克公式的应用
普朗克公式的背景
背景：19世纪末，物理学家发现经典物理学无法解释黑体辐射的实验
结果
推导过程：普朗克提出能量量子化假设，解决了黑体辐
射问题
意义：普朗克公式成为量子力学的基石之一，对物理学的发展产生了
普朗克公式的推导过程是量子力学发展的重要里程碑，为后续的量子理论奠定了基础
普朗克假设：能量只能以离散的形式发射或吸收，且其值为E=nhf，其中n为正整数。
推导过程：根据量子化条件和经典力学中的能量连续性，普朗克通过数学推导得到能量子公式E=nhf，其中h为普朗克常数。
意义：常数h的引入，使得能量不再是连续变化的，而是量子化的，从而奠定了量子力学的基础。

黑体辐射的普朗克公式推导

黑体辐射的普朗克公式推导普朗克公式描述了黑体辐射的能量分布。

为了推导普朗克公式，我们可以按照以下步骤进行。

首先，我们考虑一个处于热平衡状态的黑体辐射腔室。

由于电磁波是由光子组成的，我们可以将其视为一种粒子，具有能量E和频率ν的量子。

根据量子理论，光子的能量与其频率之间存在关系：E = hν，其中h是普朗克常数。

接下来，我们考虑在辐射腔室中的光子数目与能量之间的关系。

根据统计物理学中的玻尔兹曼分布定律，光子数目n与能量E之间满足以下关系：n(E) = (1 / (exp(E / (kT)) - 1)在这里，k是玻尔兹曼常数，T是绝对温度。

该公式描述了光子在不同能量级上的分布情况。

为了得到黑体辐射的能量分布，我们需要计算每个能量级上光子的平均能量。

因此，我们可以使用平均能量公式：<E> = Σ(n * E) / Σn其中，Σ表示对所有能量级求和。

我们将这个表达式应用到光子数目公式中，得到：<E> = Σ((E / (exp(E / (kT)) - 1)) / Σ(1 / (exp(E / (kT)) - 1))接下来，我们将求和转化为积分，以便对能量连续变化的情况进行处理。

通过引入积分变量x = E / (kT)，我们可以将上述表达式重写为：<E> = ∫((x^3 / (exp(x) - 1)) / ∫(x^2 / (exp(x) - 1))这就是普朗克公式的推导过程。

最后，我们可以根据上述公式计算不同温度下黑体辐射的能量分布。

需要注意的是，上述推导过程涉及了一些复杂的数学运算和近似方法，包括积分转换、级数展开等。

因此，要完整地推导出普朗克公式需要更详细的数学推导。

黑体辐射与普朗克定律

黑体辐射与普朗克定律黑体辐射是指处于热平衡状态的物体所产生的电磁辐射。

黑体是理想化的物体，不仅能完全吸收所有入射到其表面的辐射，还能以最大限度地发射出可见光、红外线和紫外线等多种波长的辐射。

黑体辐射的研究对于理解物体的辐射和热力学性质有着重要的意义。

普朗克定律是描述黑体辐射的基本定律之一，由德国物理学家马克斯·普朗克于1900年提出。

普朗克定律首次成功地解释了黑体辐射的频率分布与温度之间的关系，被认为是现代物理学的基石之一。

普朗克定律为后来量子力学的发展奠定了基础。

根据普朗克定律，黑体辐射的能量密度谱与频率之间的关系由普朗克辐射公式给出：E(ν,T) = (2hν^3 / c^2) / (e^(hν / kT) - 1)其中，E(ν,T)表示单位频率间隔和单位体积内的辐射能量，ν是辐射的频率，T是黑体的温度，h是普朗克常量，c是光速，k是玻尔兹曼常量。

普朗克定律的关键之处在于它引入了一个量子化的概念，即能量的取值是离散的而非连续的。

这在当时是一个非常突破性和革命性的想法，违背了当时普遍接受的经典物理学的连续性原理。

普朗克通过引入能量子，成功地解释了黑体辐射的频率分布与温度之间的实验数据，为发展量子力学奠定了基础。

普朗克定律的具体形式在不同波长范围内有着不同的表达式。

在可见光范围内，即波长在380纳米到750纳米之间，普朗克定律可以简化为普朗克-爱因斯坦公式：B(λ,T) = (2hc^2 / λ^5) / (e^(hc / λkT) - 1)这里，B(λ,T)表示单位波长间隔和单位面积内的辐射能量，λ是辐射的波长。

曲线B(λ,T)随波长变化的形状与温度有关，而随着温度的升高，峰值波长向短波方向移动。

普朗克定律的成功揭示了能量的量子性质，并激发了对于量子力学的进一步研究和发展。

它对于理解原子、分子能级结构和物质的热辐射等过程起着关键作用。

通过普朗克定律，科学家们能够更好地理解和解释光谱学、热力学、宇宙学等多个领域的现象，推动了物理学的进步。

黑体辐射普朗克公式推导

黑体普朗克公式推导1．空腔内的光波模式数在一个由边界限制的空间V 内，只能存在一系列独立的具有特定波矢k 的平面单色驻波。

这种驻波称为电磁波的模式或光波模式，以k 为标志。

设空腔为立方体，如下图x图1 立方体空腔沿三个坐标轴方向传播的波分别应满足的驻波条件是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∆=∆=∆222λλλq z n y m x (1)式中m 、n 、q 为正整数。

将xx k λπ2=代入(1)式中，有xm k x ∆=π则在x 方向上，相邻两个光波矢量的间隔为： xx m x m k x ∆=∆--∆=∆πππ)1( 同理，相邻两光波矢在三个方向的间隔为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∆=∆∆=∆∆=∆z k y k x k zy x πππ (2)因此每个波矢在波矢空间所占的体积元为 Vzy x k k k z y x 33ππ=∆∆∆=∆∆∆ (3)xk y图2 波矢空间在波矢空间中，处于k 和k d 之间的波矢k 对应的点都在以原点为圆心、k 为半径、k d 为厚度的薄球壳内，这个球壳的体积为()k k k k k d 4d 3434233πππ=-- (4) 式中k =k 、k d d =k 。

根据(1)式的驻波条件，k 的三个分量只能取正值，因此k d 和k d 之间的、可以存在于V 中的光波模式在波矢空间所占的体积只是上述球壳的第一卦限，所以2d 8d 422kk k k V k ππ== (5) 由(3)式已知每个光波矢的体积元，则在该体积内的光波模式数为V kk V V M k 223d /2ππ== (6) 式中乘以2是因为每个光波矢量k 都有两个可能的偏振方向，因此光波模式数是光波矢量数的2倍。

由于λπ2=k ，λλπd 2d 2=k ，上式可以用波长形式表示，即在体积为V 的空腔内，波长λλd +间隔的光波模式数为：λλπd 84VM = (7)2．黑体辐射公式黑体辐射是黑体温度T 和辐射场波长λ的函数。

辐射光公式

辐射光公式
辐射光公式是量子物理学中描述物体发射或吸收辐射的公式。

辐射光公式是由马克斯·普朗克于1900年提出的，并且对量子
理论的建立起到了重要的作用。

辐射光公式可以用于计算黑体辐射的能谱密度，即单位频率和单位面积的辐射能量。

公式表达式如下：
B(ν，T) = 2hv^3 / c^2 / (ehv / kT - 1)
其中B(ν，T)表示频率为ν的辐射能量密度，T表示物体的温度，h为普朗克常数，c为光速，k为玻尔兹曼常数。

这个公式的推导基于量子理论的假设，即能量是以离散的方式存在的，并且不同的能量状态之间的跃迁具有一定的概率。

根据这个假设，可以推导出物体在不同频率下的辐射能量密度。

公式中的第一项2hv^3 / c^2表示单位频率和单位面积下的辐
射能量，其中v为频率。

这个项表示了频率越高，辐射能量越大。

公式中的第二项(ehv / kT - 1)表示能量状态之间的跃迁的概率。

当hv / kT接近于1时，表示物体的温度足够高，此时物体的
发射光谱主要集中在高频率处。

当hv / kT接近于0时，表示
物体的温度足够低，此时物体的发射光谱主要集中在低频率处。

辐射光公式的应用非常广泛。

例如，可以用于计算星体的辐射
能量密度，研究物体的发光机制，以及设计热辐射材料等。

总而言之，辐射光公式是量子理论中用于描述物体发射或吸收辐射的重要公式。

通过这个公式，可以计算物体在不同频率下的辐射能量密度，从而研究物体的发光性质和热辐射特性。

普朗克黑体辐射公式的详细推导

普朗克黑体辐射公式的详细推导辐射是物体由于内部热运动而产生的电磁波。

普朗克假设黑体辐射是由许多振动的谐振子（即电磁振子）组成的，每个谐振子只能具有离散能量值。

普朗克假设这些能量是量子化的，即能量E只能取整数倍的基本能量hν，其中ν为辐射频率。

设一个振子的能量为E，频率为ν，则E=hν。

普朗克认为振子的能量只能取整数倍的基本能量hν，因此振子的能量只能是离散的。

假设在单位时间内，频率在ν到ν+dν范围内，能量在E到E+dE范围内的谐振子数为n(E,ν)。

则单位体积内频率在ν到ν+dν范围内，能量在E到E+dE范围内的谐振子数为：n(E,ν)dEdν为了求解n(E,ν)，我们需要引入玻尔兹曼分布和玻尔兹曼常数k。

在热平衡状态下，系统中具有能量E的状况数（即相同的谐振子数）为：W(E)=n(E,ν)*e^(-E/kT)其中，T为系统的温度，n(E,ν)为单位体积内频率在ν到ν+dν范围内，能量在E到E+dE范围内的谐振子数。

根据统计物理学的理论，系统的熵S与状况数W的关系为：dS = k * ln W(E)将W(E)代入上式并对E求微分，我们可以得到：dS = k * [ d(n(E,ν)) - (E/kT) * dn(E,ν) ]根据熵的最大化原理，熵是关于能量的单调递增函数，即dS>=0，即有：d(n(E,ν)) - (E/kT) * dn(E,ν) >= 0 （式1）我们将式1两边对E积分，可得：∫(d(n(E,ν)) - (E/kT) * dn(E,ν)) = ∫0到E dn(E,ν) （式2）其中，积分区间为0到E。

对式2进行变换，得到：n(E,ν) - (∫0到E (E/kT) * dn(E,ν)) = ∫0到E dn(E,ν)整理后，我们可以得到：n(E,ν)=[∫0到E(1/e^(E/kT))]*n(E,ν)令x=E/(kT)，则式子变为：n(E,ν)=[∫0到x(1/e^x)]*n(E,ν)通过计算可知，上式的积分结果为：∫0到x(1/e^x)=1-(1+x)e^(-x)将该结果代入n(E,ν)的表达式中，我们可以得到：n(E,ν)=(1-(1+x)e^(-x))*n(E,ν)（式3）进一步简化，我们可以得到：n(E,ν)=(1-(1+E/(kT))e^(-E/(kT)))*n(E,ν)（式4）根据统计物理学的经验公式，单位体积频率为ν到ν+dν范围内，能量为E到E+dE范围内的谐振子数n(E,ν)与能量E的关系为：n(E,ν)=C*E^3*1/(e^(E/(kT))-1)（式5）其中，C为常数。

证明黑体辐射的光谱能量密度

证明黑体辐射的光谱能量密度黑体辐射的光谱能量密度可以通过普朗克辐射定律进行推导和证明。

根据普朗克辐射定律，黑体辐射的光谱能量密度u(ν)与频率ν之间的关系可以表示为：u(ν) = (8πhν^3)/(c^3) * 1/(e^(hν/kT) - 1)其中，h为普朗克常数，c为光速，k为玻尔兹曼常数，T为黑体的温度。

为了证明黑体辐射的光谱能量密度，我们可以从基本的物理假设出发，即黑体在热平衡态下，其辐射能量与吸收能量达到平衡。

首先，假设黑体表面积为A，单位时间内吸收的能量为E_abs，单位时间内辐射的能量为E_rad，根据能量守恒可以得到：E_abs = E_rad在单位时间内，单位频率范围内吸收的能量为E_abs(ν)，单位频率范围内辐射的能量为E_rad(ν)，则有：E_abs(ν)dν = E_rad(ν)dν根据维恩位移定律，单位频率范围内辐射的能量E_rad(ν)与频率ν之间的关系可以表示为：E_rad(ν)dν = u(ν)dν * A * c其中，u(ν)为单位频率范围内的光谱能量密度。

将上述等式代入能量守恒的表达式中，可以得到：E_abs(ν)dν = u(ν)dν * A * c然后，根据普朗克辐射定律，可以将u(ν)根据频率ν分解为u(ν)dν，得到：E_abs(ν)dν = (8πhν^3)/(c^3) * 1/(e^(hν/kT) - 1) * dν * A * c对上式两边求积分，可以得到频率范围内吸收的能量和辐射的能量之间的关系：∫(E_abs(ν)dν) = ∫[(8πhν^3)/(c^3) * 1/(e^(hν/kT) - 1) * dν * A * c]根据能量守恒可知，∫(E_abs(ν)dν) = ∫(E_rad(ν)dν) = E_abs =E_rad将上式代入，可以得到：E_abs = E_rad = ∫[(8πhν^3)/(c^3) * 1/(e^(hν/kT) - 1) * dν * A * c]简化上式，得到：E_abs = ∫[(8πhν^3)/(c^3) * 1/(e^(hν/kT) - 1) * dν * A * c]可见，黑体辐射的光谱能量密度u(ν)与频率ν之间的关系可以由普朗克辐射定律进行推导和证明。

普朗克黑体辐射公式推导

普朗克黑体辐射公式的推导所谓的黑体是指能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。

黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。

辐射热平衡状态:处于某一温度T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。

实验发现：热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度T 有关而与黑体的形状和材料无关。

实验得到： 1.Wien 公式从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式：Wien 公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。

2. Rayleigh-Jeans 公式Rayleigh-Jeans 公式在低频区和实验相符，但是在高频区公式与实验不符，并且∞→=⎰∞v v d E E ，既单位体积的能量发散，而实验测得的黑体辐射的能量密度是4T E σ=，该式叫做Stefan-Bolzmann 公式，σ叫做Stefan-Bolzmann 常数。

3. Planck 黑体辐射定律1900年１２月１４日Planck 提出如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。

作为辐射原子的模型，Planck 假定：（1）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率v 振荡；（2）黑体只能以E=hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。

得到：νννπνρνd kT h C h d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1)/exp(1833该式称为Planck 辐射定律 h 为普朗克常数，h=s j .10626.634-⨯4，普朗克的推导过程：把空窖内的电磁波分解为各个频率的简振振动，简振模的形式最后为).(),(wt r K i k k e C t r -=αβψ，为常系数振方向，表示两个互相垂直的偏ααk C 2,1=每一个简振模在力学上等价于一个自由度，记频率在()νννd +,内的自由度数为()ννd g ，则（0，v ）范围内的总自由度数G(v)与g(v)的关系为()()ννννd g G ⎰=0。

普朗克公式推导瑞利金斯公式

普朗克公式推导瑞利金斯公式引言当人们研究物质的辐射现象时，发现黑体辐射的能量分布并不符合经典物理学的预期。

为了解释这一现象，德国物理学家马克斯·普朗克于1900年提出了普朗克公式。

普朗克公式解释了黑体辐射的能量分布，并奠定了量子理论的基础。

瑞利金斯公式则是由英国物理学家雷利和金斯利在1905年提出的，它用于描述物质微粒经过散射后的能量分布。

本文将从普朗克公式出发，推导瑞利金斯公式。

普朗克公式普朗克公式可以用来描述在特定温度下黑体辐射的能量密度分布。

该公式的表达式为：E(λ,T) = (2hc²/λ⁵) / (exp(hc/λkT) - 1)其中，E(λ,T)表示黑体辐射在波长为λ时的能量密度，T表示温度，h为普朗克常数，c为光速，k为波尔兹曼常数。

瑞利金斯公式瑞利金斯公式用于描述散射后的光的能量分布。

该公式的表达式为：I(θ) = I₀(cos(θ))²其中，I(θ)表示经过散射后的光的强度分布。

θ表示散射光与初始光的夹角。

从普朗克公式到瑞利金斯公式的推导过程为了推导瑞利金斯公式，我们需要从普朗克公式出发。

我们以散射光的波长为λ’，初始光的波长为λ，散射角为θ，初始光的能量密度为E(λ,T)。

我们要求出经过散射后的光的能量密度E’(λ’,T’)。

首先，考虑散射光在单位面积上的散射体积。

我们设单位时间内单位面积上散射出去的光子数为dN，其表达式为：dN = σnI(θ)dAdt其中，σ表示散射截面面积，n表示单位体积内散射颗粒数目，I(θ)表示初始光的强度分布，dA表示单位面积，dt表示时间间隔。

根据瑞利金斯公式的描述，散射后的光的强度分布与θ有关，可以用I(θ)表示。

因此，我们可以将上式改写为：dN = σnI(θ)dΩdt其中，dΩ表示立体角元素。

根据光学中的基本关系，散射角θ和波长λ’与初始光的波长λ之间存在关系：cos(θ) = (λ - λ’)/λ则我们可以将散射光的波长λ’表示为：λ’ = (λ - cos(θ)λ)接下来，我们要求出散射光的能量密度。

黑体辐射与普朗克公式

理学院物理系
§2.1黑体辐射与普朗克公式

dE
dV d
单色：单一波长（频率）
二.普朗克公式推导 1.普朗克光量子假说：黑体由带电谐振子组成，且这些谐振子能量取值
只能为谐振子最小能量 = h 的整数倍。 2.普朗克公式：
在温度T的热平衡状态下，黑体辐射分配到每个模式的平均能量为：
2019年11月21日星期四
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§2.1黑体辐射与普朗克公式
E

h
eh / kT
1
K=1.3810ˉ²³—玻尔兹曼常数
由（1—6）式，在ν ～ν +dν 内光波模式数为：
M

8π 2d
c3
V
故，单位体积，单位频率间隔内模式数为：
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§2.1黑体辐射与普朗克公式
第2章激光工作物质及基本原理
§2.1黑体辐射与普朗克公式
一.黑体辐射 1.热辐射：任何物体在任何温度下都在不断向外发射各种波长电磁波现象。
2.黑体：完全吸收各种波长电磁波而无反射和透射的物体。
3.单色能量密度：单位体积内，频率在ν 处的单位频率间隔内的电磁辐射能量。
2019年11月21日星期四
mυ

M
V d

8π 2
c3
—单色Байду номын сангаас式密度
黑体辐射单色能量密度为：
ρυ
mυ

E

8π h
c3
3
1 eh/kT 1
……①
—黑体辐射普朗克公式，K =1.38×10-23玻尔兹曼常数， h=6.63×10-34 普朗克常量。

普朗克黑体辐射公式推导

普朗克黑体辐射公式推导步骤1：假设黑体内的辐射能量由一系列处于不同能级上的振子所组成。

考虑到振子的能量是量子化的，那么每个振子只能具有离散的能量，即E = nhv，其中E为能量，n为量子数，v为辐射频率，h为普朗克常数。

步骤2：设想黑体内的振子可以具有不同的能量量子数n，表示各个振子能量的分布情况。

我们假设振子的能量量子数n符合玻尔兹曼分布，即n能级的占有数为exp(-E_n / kT)，其中E_n为n能级的能量，k为玻尔兹曼常数，T为黑体的温度。

步骤3：进一步假设振子的能量量子数n的平均值为，每个振子的能量为E = nhv，则黑体的总能量可以表示为U = ∑(nE) = ∑(nhvexp(-E_n / kT))。

在这里，∑代表对所有能级进行求和。

步骤4：将能量量子数n的平均值表示为，并代入总能量公式。

整理得:U = ∑((nvexp(-E_n / kT))hv步骤5：通过积分，将对所有可能的能级n进行求和替换为对能量E的积分。

利用代换关系dn = dE / hv，将求和替换为积分。

同样，将E_n也替换为E。

U = ∫(Eexp(-E / kT)) / (hv) * dE步骤6：对积分进行推导求解，得到：U = (kT)^4 / (h^3c^2) * ∫(E^3 / (exp(E / kT) - 1)) * dE这就是普朗克黑体辐射公式的具体形式，其中c为光速。

该公式描述了黑体辐射频谱与温度之间的依赖关系，表征了能量密度与频率的分布规律。

简单总结一下，普朗克黑体辐射公式的推导基于能量量子化和能级分布的假设。

通过对振子能量的分布以及总能量的计算，得到了描述黑体辐射的具体公式。

这个公式的重要性在于引入了能量的量子化概念，为后来量子力学的发展奠定了基础。

黑体辐射实验报告

黑体辐射实验报告实验目的：观察和研究黑体辐射的特性。

实验原理：黑体是指对一切入射辐射都能吸收完全的物体，不仅如此，黑体还能以极大的效率射出高温辐射，这种辐射称为黑体辐射。

根据普朗克研究黑体辐射的结果，他提出了普朗克辐射定律，即普朗克公式：E(λ，T) = [2 * π * c^2 * h] / [λ^5 * (exp(hc / λkT) - 1)]，其中，E(λ，T)表示黑体单位面积上的辐射能量密度，λ表示波长，T表示黑体的温度，c为光速，h为普朗克常量，k为玻尔兹曼常量。

实验工具：1. 黑体辐射源（如黑色金属球）2. 辐射测量器（如红外线测温仪）3. 光谱仪（用于测量不同波长的辐射强度）实验步骤：1. 将黑体辐射源加热到不同的温度（例如50℃、100℃、150℃等）。

2. 使用红外线测温仪测量黑体表面的温度，并记录数据。

3. 使用光谱仪测量黑体辐射的光谱，并记录不同波长的辐射强度数据。

4. 使用普朗克公式计算不同波长处的辐射能量密度，并绘制E-λ曲线。

5. 分析实验结果，观察不同温度下黑体辐射的特性及其变化规律。

结果分析：1. 根据实验数据绘制的E-λ曲线，可以观察到不同温度下的黑体辐射谱的变化规律。

2. 通过比较不同温度下的E-λ曲线，可以发现黑体辐射的峰值频率随温度的升高而增大，且峰值频率对应的辐射能量密度也随温度的升高而增大。

3. 根据普朗克公式，可以计算不同温度下的辐射能量密度，并观察到随着温度的增加，辐射能量密度的变化趋势。

结论：通过本实验观察和研究黑体辐射的特性，得出以下结论：1. 黑体辐射是与温度密切相关的，随着温度的升高，黑体辐射的峰值频率和辐射能量密度都增大。

2. 黑体辐射的频率分布符合普朗克公式所描述的曲线形状，即随着波长的减小，辐射能量密度增大。

3. 通过实验可以定量地研究和分析黑体辐射的特性，验证了普朗克辐射定律的有效性。

实验中可能存在的误差和改进措施：1. 温度测量误差：使用红外线测温仪对黑体表面温度的测量可能存在误差。