黑体辐射普朗克公式推导

黑体普朗克公式推导

1． 空腔内的光波模式数

在一个由边界限制的空间V 内，只能存在一系列独立的具有特定波矢k 的平面单色驻波。这种驻波称为电磁波的模式或光波模式，以k 为标志。

设空腔为立方体，如下图

x

图1 立方体空腔

沿三个坐标轴方向传播的波分别应满足的驻波条件是

⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧

=∆=∆=∆222λλλq z n y m x (1)

式中m 、n 、q 为正整数。 将x

x k λπ

2=

代入(1)式中，有

x

m k x ∆=

π

则在x 方向上，相邻两个光波矢量的间隔为： x

x m x m k x ∆=∆--∆=

∆π

ππ)1( 同理，相邻两光波矢在三个方向的间隔为：

⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧∆=∆∆=∆∆=∆z k y k x k z

y x πππ (2)

因此每个波矢在波矢空间所占的体积元为 V

z

y x k k k z y x 3

3

ππ=

∆∆∆=

∆∆∆

(3)

x

k y

图2 波矢空间

在波矢空间中，处于k 和k d 之间的波矢k 对应的点都在以原点为圆心、k 为半径、k d 为厚度的薄球壳内，这个球壳的体积为

()k k k k k d 4d 3

4

34233πππ=-- (4) 式中k =k 、k d d =k 。

根据(1)式的驻波条件，k 的三个分量只能取正值，因此k d 和k d 之间的、可以存在于V 中的光波模式在波矢空间所占的体积只是上述球壳的第一卦限，所以

2

d 8d 422k

k k k V k ππ== (5) 由(3)式已知每个光波矢的体积元，则在该体积内的光波模式数为

V k

k V V M k 2

23

d /2ππ== (6)

式中乘以2是因为每个光波矢量k 都有两个可能的偏振方向，因此光波模式数是光波矢量数的2倍。

由于λ

π

2=

k ，λλ

π

d 2d 2

=

k ，上式可以用波长形式表示，即在体积为V 的空腔内，波

长λλd +间隔的光波模式数为：

λλπd 84

V

M = (7)

2． 黑体辐射公式

黑体辐射是黑体温度T 和辐射场波长λ的函数。可用单色能量密度λρ来描述，其定义为：在单位体积内，波长λ附近的单位波长间隔中的电磁辐射能量，量纲为J •m -4。

根据量子化假设和玻色-爱因斯坦统计规律，在温度T 的热平衡情况下，黑体辐射分配到腔内每个模式上的平均能量为

1

/-=T

K hc e

c

h

E λλ

(8)

因此单色能量密度为

1

1

8d /5-==

T

K hc e hc E V M λλλπλρ (9) 即如在空腔上有一单位面积的开口，则在单位时间，半球空间辐射到此单位面积的能量为

λρ4

c 附录1

。 按照(9)式，从黑体腔上的开口向半球空间辐射出的单色能量为

1

1

24/52-==T K hc e hc c P λλλπρ (10)

这就是温度T 的黑体的光谱辐出度公式。 附录1

对于作用在如图1的空腔表面的驻波，设垂直于面积A ，且立体角为d Ω的方向上，光通量（单位时间通过的波的能量）为I 和-I ，如图3。

A

图3

设光速为c ，光运动单位距离的时间为1/c ，则在立体角内的光能密度（单位体积的光能量）P 为

cA

I

P 2

= (1) 在谐振腔内，光辐射强度是各向同性的，因此对与面积A 法线夹角为θ的入射光，光通量仍为I ，而该方向的通量为

θθ

θcos cos I A

A I

I == (2) 因此在整个2π半球空间，一个小面积上通过的光通量如图4

图4 作用在一个小面积上的所有方向的光辐射

则在面积A 上的总光通量为

π

φ

θθθπ

πI I M ==⎰⎰

20

2

/0

d d sin cos

将(1)代入有

ππP cA

I M 2

=

= (3) 因为腔内各方向的辐射是均匀分布的，所以任意方向立体角d Ω的能量密度P 与腔内的总能量密度ρ的关系为

π

ρ

2=P (4) 代入(3)得

ρ4

c

A M = (5) 即如在空腔上有一开口，则在单位时间，单位面积辐射到半球空间的能量为ρ4

c

。