人教版-数学归纳法优秀课件
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《数学归纳法》_精品课件人教版1
《 数学归 纳法》 教用课 件人教 版1-精 品课件p pt(实 用版)
《 数学归 纳法》 教用课 件人教 版1-精 品课件p pt(实 用版)
我们要证a1+a2+…+ak+ak+1≥k+1 (2) 由(1)(2)得：a1+a2-a1a2≥1. (3) 则(1)+(3)=(2). 由于a1>1,a2<1得(a1-1)(a2-1)<0, 即a1+a2-a1a2>1. 于是目标得证，即：当n=k+1时命题成立. 由(1)(2)可知，原命题成立.
纳法证明此结论. (1)当n=1时，命题成立. (2)假设当n=k(k≥1)时，命题成立.即k! ≥2k-1. 当n=k+1时，(k+1)!=k!(k+1) ≥2k-1(k+1) ≥2k. 所以，当n=k+1时，命题成立. 由(1)(2)知，命题对一切正整数成立.
《 数学归 纳法》 教用课 件人教 版1-精 品课件p pt(实 用版)
《 数学归 纳法》 教用课 件人教 版1-精 品课件p pt(实 用版)
2.用数学归纳法证明：对于任意大于1的
正整数n,不等式 1
22
1 32
...
1 n2
n 1都成立.
n
《 数学归 纳法》 教用课 件人教 版1-精 品课件p pt(实 用版)
《 数学归 纳法》 教用课 件人教 版1-精 品课件p pt(实 用版)
由(1)(2)知，n2<2n(nN+,n≥5)
所以(k+1)2<2k+1,即当n=k+1时命题成立.
例2
证明不等式│sinnθ│≤n│sinθ│(n
《 数学归 纳法》 教用课 件人教 版1-精 品课件p pt(实 用版)
我们要证a1+a2+…+ak+ak+1≥k+1 (2) 由(1)(2)得：a1+a2-a1a2≥1. (3) 则(1)+(3)=(2). 由于a1>1,a2<1得(a1-1)(a2-1)<0, 即a1+a2-a1a2>1. 于是目标得证，即：当n=k+1时命题成立. 由(1)(2)可知，原命题成立.
纳法证明此结论. (1)当n=1时，命题成立. (2)假设当n=k(k≥1)时，命题成立.即k! ≥2k-1. 当n=k+1时，(k+1)!=k!(k+1) ≥2k-1(k+1) ≥2k. 所以，当n=k+1时，命题成立. 由(1)(2)知，命题对一切正整数成立.
《 数学归 纳法》 教用课 件人教 版1-精 品课件p pt(实 用版)
《 数学归 纳法》 教用课 件人教 版1-精 品课件p pt(实 用版)
2.用数学归纳法证明：对于任意大于1的
正整数n,不等式 1
22
1 32
...
1 n2
n 1都成立.
n
《 数学归 纳法》 教用课 件人教 版1-精 品课件p pt(实 用版)
《 数学归 纳法》 教用课 件人教 版1-精 品课件p pt(实 用版)
由(1)(2)知，n2<2n(nN+,n≥5)
所以(k+1)2<2k+1,即当n=k+1时命题成立.
例2
证明不等式│sinnθ│≤n│sinθ│(n
最新人教版高中数学选修2.3《数学归纳法》ppt课件
时结论也正确． “用上假设，递推才真”
递推依据
注 意：
1、一定要用到归纳假设； 2、看清从k到k＋1中间的变化。
课堂小结
重点：两个步骤、一个结论； 注意：递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉。
课后作业
P95练习：1，2.
an an1 1 an
n N
写出: a2 , a3 , a4 , 并归纳出这个数列的通项公式
课题引入
1、数列{an},已知a1
a n 1 =1， an 1 an
n N
写出: a2 , a3 , a4 , 并归纳出这个数列的通项公式
a1 1
a2 an 1 n 1 2 a3 1 3 a4 1 4
[答案] D
[ 解析 ] 1 1 当 n ＝ k 时，等式左边＝ ＋ ＋ … ＋ 1· 2 2· 3
1 k(k＋1) 1 1 1 当 n＝k＋1 时，等式左边＝1· 2＋2· 3＋…＋k(k＋1)＋ 1 (k＋1)(k＋2) 1 两者比较需添加的项为 . (k＋1)(k＋2) 故应选 D.
1 127 1 1 3．用数学归纳法证明不等式 1＋ ＋ ＋…＋ n－1> 成 2 4 64 2 立时，起始值 n 至少应取为 A．7 C．9
练习 2．用数学归纳法证明
1 1 1 1 ＋ ＋ ＋…＋ 1· 2 2· 3 3· 4 n(n＋1)
n ＝ (n∈N*)，从“n＝k 到 n＝k＋1”时，等式左边需要增 n ＋1 添的项是 1 A. k(k＋1) B. 1 1 ＋ k(k＋1) (k＋1)(k＋2) ( )
1 C. k(k＋2) 1 D. (k＋1)(k＋2)
骨牌倒下 第1张骨牌倒下 假设第k张骨牌倒下 保证第k+1张倒下
人教课标版《数学归纳法》精品ppt课件2
：
当
n
=
1时
， s1
=
1 1× 4
=
1 4
当
n
=
1时
，
s2
=
s1
+
1 4×7
=
2 7
猜想：sn
=
n 3n+1
当
n
=
1时
，
s3
=
s2
+
1 7×10
=
3 10
当
时
， s4
=
s3
+
1 10×13
=
4 13
例例 2.3.已 知 数 列1， 1， 1 ， L 1 ， L
1447710 (3n2)(3n来自)猜 想 Sn的 表 达 式 ， 并 且 数 学 归 纳 法 证 明 进 行 证 明 。 （ 1 ）n当 1时，S 左 11 4， 边右 ＝ 31 1 边 1＝ 1 4，猜想成 （2）假设n当 k时，猜想成立，
1aa2
L
an1
1an2
,在验证
1a
n1成立时，左边是（C ）
A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3
3 . 用 数 学 归 纳 法 证 明 1 + 2 + 2 2 + L + 2 n 1 2 n 1 时 , 第二步中假设 nk时 的 等 式 为 当 n k 1 时 的 等 式 为
实践 对 于 数 列 { a n } ,已 知 a 1 1 ,a n 1 1 a n a n(n 1 ,2 ,3 ,L ),
【问题五】用刚才的设想步骤证明
an
4.4 数学归纳法课件ppt
,…的前 n 项和为 Sn,计算 S1,S2,S3,S4,
1×4 4×7 7×10
(3-2)(3+1)
根据计算结果,猜想 Sn 的表达式,并用数学归纳法进行证明.
解
1
S1=1×4
1
S2=
4
2
S3=
7
=1;ຫໍສະໝຸດ 4=2;
7
+
1
4×7
+
1
7×10
3
S4=10
+
=
1
10×13
3
;
10
=
4
.
13
可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数 n 一致,分母可用项数 n
(+1)
所以
()
=
(2+1)(2+2)
=2(2k+1).
+1
(2)证明 ①当 n=1
12
时,
1×3
=
1×2
成立.
2×3
②假设当 n=k(k∈N*)时等式成立,
12
即有1×3
+
22
2
+…+(2-1)(2+1)
3×5
则当 n=k+1
12
时,
1×3
+
=
(+1)
,
2(2+1)
22
取值是否有关,由n=k变化到n=k+1时等式两边会增加(或减少)多少项.(2)
利用归纳假设,将n=k时的式子经过恒等变形转化到n=k+1时的式子中得
到要证的结论.
变式训练 1
1
求证:12
1×4 4×7 7×10
(3-2)(3+1)
根据计算结果,猜想 Sn 的表达式,并用数学归纳法进行证明.
解
1
S1=1×4
1
S2=
4
2
S3=
7
=1;ຫໍສະໝຸດ 4=2;
7
+
1
4×7
+
1
7×10
3
S4=10
+
=
1
10×13
3
;
10
=
4
.
13
可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数 n 一致,分母可用项数 n
(+1)
所以
()
=
(2+1)(2+2)
=2(2k+1).
+1
(2)证明 ①当 n=1
12
时,
1×3
=
1×2
成立.
2×3
②假设当 n=k(k∈N*)时等式成立,
12
即有1×3
+
22
2
+…+(2-1)(2+1)
3×5
则当 n=k+1
12
时,
1×3
+
=
(+1)
,
2(2+1)
22
取值是否有关,由n=k变化到n=k+1时等式两边会增加(或减少)多少项.(2)
利用归纳假设,将n=k时的式子经过恒等变形转化到n=k+1时的式子中得
到要证的结论.
变式训练 1
1
求证:12
数学归纳法课件人教新课标
接着看看，如果第一台 推倒，第二台会不会跟 着倒。
如果第二台推倒，第三 台会不会跟着倒。
5
引入：怎样推倒一排并排的单车？
பைடு நூலகம்
第一，如果我们推倒 了第一台单车。
要是能证明 后面的单 车会一台一台接着倒那 不管有几台单车，总会 全被推倒。
即证明 “对于任一正
整数k，如果第k台倒
了，第k+1台也会跟着
倒”，那不管有几台单
完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的 所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳
法。 验证n=n0时 若当n=k(kn0 )时命题成立,
命题成立
证明当n=k+1时命题也成立
命题对从n0开始的所
有正整数n都成立。
8
例1 在数列{ }中, ＝1, (n∈ ), （1）计算 , , 的值； （2）猜想 通项的公式； （3）试用数学归纳法证明你的结论．
17
B D
18
B
10、证明：12 22
n2
n(n 1)
13 35
(2n 1)(2n 1) 2(2n 1) 19
车，总会全被推倒。
6
这种方法思想正是数学归纳法的精髓！
7
二、发掘内涵、形成概念：
证明某些与正整数n有关的命题,可用按下列步骤来
进行:
(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1，有时可能需
要前几个值)时命题成立；
【归纳奠基】
(2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立 【归纳递推】
一定
都是质数，这是他对n＝0，1，2，3，4作了验
证后得到的．后来，18世纪伟大的瑞士科学家
如果第二台推倒，第三 台会不会跟着倒。
5
引入：怎样推倒一排并排的单车？
பைடு நூலகம்
第一，如果我们推倒 了第一台单车。
要是能证明 后面的单 车会一台一台接着倒那 不管有几台单车，总会 全被推倒。
即证明 “对于任一正
整数k，如果第k台倒
了，第k+1台也会跟着
倒”，那不管有几台单
完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的 所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳
法。 验证n=n0时 若当n=k(kn0 )时命题成立,
命题成立
证明当n=k+1时命题也成立
命题对从n0开始的所
有正整数n都成立。
8
例1 在数列{ }中, ＝1, (n∈ ), （1）计算 , , 的值； （2）猜想 通项的公式； （3）试用数学归纳法证明你的结论．
17
B D
18
B
10、证明：12 22
n2
n(n 1)
13 35
(2n 1)(2n 1) 2(2n 1) 19
车，总会全被推倒。
6
这种方法思想正是数学归纳法的精髓！
7
二、发掘内涵、形成概念：
证明某些与正整数n有关的命题,可用按下列步骤来
进行:
(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1，有时可能需
要前几个值)时命题成立；
【归纳奠基】
(2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立 【归纳递推】
一定
都是质数，这是他对n＝0，1，2，3，4作了验
证后得到的．后来，18世纪伟大的瑞士科学家
4.1数学归纳法课件人教新课标2
[例 3] 平面内有 n 条直线，其中任何两条不平行，任 何三条不共点，求证：这 n 条直线把平面分割成12(n2＋n＋2) 个区域．
[思路点拨] 用数学归纳法进行证明，关键是考虑：k 条直线将平面分成的部分数与 k＋1 条直线将平面分成的部 分数之间的关系，利用该关系可以实施从假设到 n＝k＋1 时 的证明．
3．用数学归纳法证明：(3n＋1)7n－1(n∈N＋)能被9整除． 证明：①当n＝1时，4×7－1＝27能被9整除命题成立． ②假设n＝k时命题成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除， 当n＝k＋1时， [(3k＋3)＋1]·7k＋1－1＝[3k＋1＋3]·7·7k－1＝ 7·(3k＋1)·7k－1＋21·7k ＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋6·7k＋21·7k ＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋27·7k，
＝(k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k)＋2k1＋1－2k1＋2 ＝(k＋1 2＋…＋21k＋2k1＋1)＋(k＋1 1－2k1＋2) ＝k＋1 2＋…＋21k＋2k1＋1＋2k1＋2＝右边， 所以，n＝k＋1 时等式成立． 由①②知，等式对任意 n∈N＋都成立．
[例2] 求证：x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除． [思路点拨] 本题是与正整数有关的命题，直接分解出 因式(x＋y)有困难，故可考虑用数学归纳法证明． [证明] (1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)能被x＋y整 除． (2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，x2k－y2k能被x＋y整除， 那么当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2 ＝x2·x2k－y2·y2k－x2y2k＋x2y2k
＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2) ∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除， ∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除． 即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除． 由(1)(2)可知，对任意正整数n命题均成立．
第4讲1数学归纳法课件人教新课标
1234
解析 答案
2.用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋2 (n∈N＋，a≠1)，在验 1－a
证n＝1成立时，左边所得的项为
A.1
√ B.1＋a＋a2
C.1＋a
D.1＋a＋a2＋a3
解析 当n＝1时，n＋1＝2，故左边所得的项为1＋a＋a2.
1234
解析 答案
3.用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除，当n＝k＋1时，34(k ＋ 1) ＋ 1 8＋1×(3542k(＋k 1＋＋52k＋11) )－5＋6×512k＋应1(或25变×(34形k＋1＋为 _5_6_×__3_4_k_＋__1_)________5_2_k_＋__1_)＋_______________________
第四讲 用数学归纳法证明不等式
一 数学归纳法
学习目标 1.了解数学归纳法的基本原理. 2.了解数学归纳法的应用范围. 3.会用数学归纳法证明一些简单问题.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点 数学归纳法
在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果 一个同学将第一辆自行车不谨慎弄倒了，那么整排自行车就会倒下. 思考1 试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？ 答案 ①第一辆自行车倒下； ②任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下.
4.用数学归纳法证明1＋3＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N＋).
证明 (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立.
(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，
即1＋3＋…＋(2k－1)＝k2，
那么，当n＝k＋1时，
1＋3＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝k2＋[2(k＋1)－1]＝k2＋2k＋1＝(k＋
人教版数学高二《数学归纳法》精品课件
-1-
证明：①当 n＝1 时，b21＝9＝4×1＋5，即存在 p＝1， 使 a1＝b12；
②假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时，存在正整数 p，使 ap＝bk2，即 4p＋5＝9k 成立．当 n＝k＋1 时，b2k＋1＝(3k＋1)2 ＝9×9k＝9(4p＋5)＝36p＋45＝4(9p＋10)＋5，即存在 9p ＋10∈N*，使得 a9p＋10＝b2k＋1，所以当 n＝k＋1 时，存在 正实数 p∈N*，使 ap＝b2k＋1.由①②可得，对任意 n∈N*， 一定存在正整数 p，使 ap＝bn2.
• 由(1)(2)可知，这n-个1- 圆把平面分成n2－n
• 例3 对于一切n∈N*，求证：f(n)＝(2n ＋7)·3n＋9都能被36整除．
• [分析] 这是一个与正整数n有关的命题， 可以尝试用数学归纳法证明．
-1-
• [证明] (1)当n＝1时，f(1)＝(2×1＋ 7)×3＋9＝36，能被36整除．
-1-
＝(－1)k·(k＋1)－k＋22k＋2 ＝(－1)k·(k＋1)2(k＋2). 即 n＝k＋1 时结论也成立． 由(1)(2)可知，对一切正整数 n 都有此结论成立.
-1-
• 例2 平面内有n(n≥2)条直线，其中任何 两条不平行，任何三条不共点．
• 证明：n条直线交点的个数f(n)等于
• 由以上可以猜测，当n∈N*时sinnx＋cosnx ＝(－1)n.
• [点拨] 本题属归纳推理，它的正确与否 可通过数学归纳法来说明．
-1-
• 练 1 用数学归纳法证明： • 12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n
－1·
-1-
[证明] (1)当 n＝1 时，左边＝1，右边＝(－1)1－ 1×1×2 2＝1，结论成立．
证明：①当 n＝1 时，b21＝9＝4×1＋5，即存在 p＝1， 使 a1＝b12；
②假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时，存在正整数 p，使 ap＝bk2，即 4p＋5＝9k 成立．当 n＝k＋1 时，b2k＋1＝(3k＋1)2 ＝9×9k＝9(4p＋5)＝36p＋45＝4(9p＋10)＋5，即存在 9p ＋10∈N*，使得 a9p＋10＝b2k＋1，所以当 n＝k＋1 时，存在 正实数 p∈N*，使 ap＝b2k＋1.由①②可得，对任意 n∈N*， 一定存在正整数 p，使 ap＝bn2.
• 由(1)(2)可知，这n-个1- 圆把平面分成n2－n
• 例3 对于一切n∈N*，求证：f(n)＝(2n ＋7)·3n＋9都能被36整除．
• [分析] 这是一个与正整数n有关的命题， 可以尝试用数学归纳法证明．
-1-
• [证明] (1)当n＝1时，f(1)＝(2×1＋ 7)×3＋9＝36，能被36整除．
-1-
＝(－1)k·(k＋1)－k＋22k＋2 ＝(－1)k·(k＋1)2(k＋2). 即 n＝k＋1 时结论也成立． 由(1)(2)可知，对一切正整数 n 都有此结论成立.
-1-
• 例2 平面内有n(n≥2)条直线，其中任何 两条不平行，任何三条不共点．
• 证明：n条直线交点的个数f(n)等于
• 由以上可以猜测，当n∈N*时sinnx＋cosnx ＝(－1)n.
• [点拨] 本题属归纳推理，它的正确与否 可通过数学归纳法来说明．
-1-
• 练 1 用数学归纳法证明： • 12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n
－1·
-1-
[证明] (1)当 n＝1 时，左边＝1，右边＝(－1)1－ 1×1×2 2＝1，结论成立．
人教版高中数学选修第四讲《数学归纳法》ppt课件
一.用数学归纳法证明等式问题
特别提示:
数学归纳法证题的关键是“一凑假设,二凑结论”,在证题的过程中,归纳推 理一定要起到条件的作用,即证明n=k+1成立时必须用到归纳递推这一条件.
课堂练习:
C
B
B
C
B
D
B
二.用数学归纳法证明几何问题
特别提示:
用数学归纳法证几何问题,应特别注意语言叙述正确,清楚,一定要讲清从n=k 到n=k+1时,新增加量是多少.一般地,证明第二步常用的方法是加一法,即在 原来的基础上,再增加一个,也可以从k+1个中分出一个来,剩下的k个利用假 设.
在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立. 这种证明方法称为数学归纳法.
用数学归纳法证明时,要分两个步骤,两者缺一不可.
(1)证明了第一步,就获得了递推的基础,但仅靠这一步还不能说明结论的正确性. 在这一步中,只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了,没有必要验证命题 对几个正整数成立. (2)证明了第二步,就获得了推理的依据.仅有第二步而没有第一步,则失去了递推的 基础;而只有第一步而没有第二步,就可能得出不正确的结论,因为单靠第一步,我们 无法递推下去,所以我们无法判断命题对n0+1,n0+2,…,是否正确. 在第二步中,n=k命题成立,可以作为条件加以运用,而n=k+1时的情况则有待利用 命题的已知条件,公理,定理,定义加以证明. 完成一,二步后,最后对命题做一个总的结论.
对于一些与无限多个正整数相关的命题,如果不易用以前学习过的方法 证明,用数学归纳法可能会收到较好的效果.
什么是数学归纳法 ? 一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n立;
人教A版高二数学《数学归纳法》课件
作 业：
1.(1)教材第31页练习 1、2、3
(2)用数学归纳法证明等差数列的前n项和公式，
即证明：
Sn
na1
n(n 1) 2
d
2. 研究性作业： 简析我国古代烽火传递军情的合理性。 (可以上网查阅)
课堂小结：
本节课你主要学到了什么？
1. 归纳法: 完全归纳法、不完全归纳法
2. 数学归纳法（1）两个步骤、一个结论； （2）使用数学归纳法的注意点
能产生多米诺骨牌效应 多米诺骨牌的个数 条件：
1.第1个骨牌必须被推倒
命题成立
n的取值（不妨设 n 1 ）
1. 证明当n=1时命题成立；
2.假设第k个骨牌倒下， 则第k+1个骨牌也倒下。
2. 假设n=k时命题成立，则 证明n=k+1时命题也成立。
满足这两个条件命题一定成立吗？
数学归纳法的一般步骤：
如何证明与正整数n有关的命题？
找条件：
要产生“多米诺骨牌”效应，必须具备的条件是什么？
…… 1 2 3 4
k k+1
……
1.最前面的那个骨牌 必须被推倒；
2.假设前一个骨牌倒下时， 一定要碰倒后一个骨牌。
1. 第1个骨牌必须被推倒。
2.假设第k个骨牌倒下， 则第k+1个骨牌也一定倒下。
若把数学中与正整数 n 有关的命题对应于多米诺骨牌：
第5个费马数 F5 225 1 4294967297 6416700417
不是质数,从而推翻了费马的猜想。
问题3：
等差数列 {an }中，首项为 a1，公差为 d，
a3 a2 d
a4 a3 d
视察以上各式，可以归纳、猜想出：
如何证明等差数列通项公式：an a1 (n 1)d n 1,2,3,4
2.3数学归纳法课件人教新课标1
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
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2．3 数学归纳法
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
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第二章 推理与证明
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1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”
时，归纳奠基中n0的取值应为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析： 边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3. 答案： C
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
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第二章 推理与证明
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第二章 推理与证明
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用数学归纳法证明等式或不等式
用
数
学
归
纳
法
证
明
：
1 2×4
＋
1 4×6
＋
1 6×8
＋
…
＋
2n×12n＋2＝4nn＋1. [思路点拨]
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2．证明 1＋12＋13＋14＋…＋2n－1 1>n2(n∈N*)，假设 n＝k 时
第二章 推理与证明
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2．3 数学归纳法
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1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”
时，归纳奠基中n0的取值应为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析： 边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3. 答案： C
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用数学归纳法证明等式或不等式
用
数
学
归
纳
法
证
明
：
1 2×4
＋
1 4×6
＋
1 6×8
＋
…
＋
2n×12n＋2＝4nn＋1. [思路点拨]
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2．证明 1＋12＋13＋14＋…＋2n－1 1>n2(n∈N*)，假设 n＝k 时
人教版高中数学选择性必修2《数学归纳法》PPT课件
典例分析
例4 设为正实数，为大于1的正整数，若数列, + , ( + ) , … ，
+ − ， … 的前项和为 ，试比较 与的大小，并用数学归纳
法证明你的结论.
>
证明: (1)当 =2时， 不等式显然成立.
∗
(2)假设当 = ( ∈ 且>1时,不等式成立,即 >
的推理，证明n取所有正整数
都成立？
情景引入
我们先从多米诺骨牌游戏说起.码放
骨牌时,要保证任意相邻的两块骨牌,若
前一块骨牌倒下,则一定导致后块骨牌倒
下.这样,只要推倒第1块骨牌,就可导致
第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下,就可
导致第3块骨牌倒下；…….总之,不论有
多少块骨牌,都能全部倒下.
探究新知
思考1：在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
高中数学
选择性必修第二册
RJ
RJA
4.4*数学归纳法
情景引入
我是
一毛
我是
二毛
我是
三毛
我不是
四毛！我
猜：
是小明！
四毛！
我是
谁？
不完全归纳： 从一类对象中的部分对象都具有某种性质推出
这类对象全体都具有这种性质的归纳推理方法
探究新知
问题1:口袋中有4个吃的东西，如何证明它们都是糖？
把研究对象一一都考察到，而推出结论的归纳法.
n＝k＋1
推出“当__________时命题也成立”．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整
数n都成立．
这种证明方法称为数学归纳法．
思考：数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?
人教课标版《数学归纳法》PPT完美版1
Ｃ． (k 1)2
Ｄ． 1(k1)[2(k1)21] 3
4．用数学归纳法证明：
( n 1 ) ( n 2 ) L ( n n ) 2 n 1 3 L ( 2 n 1 )
（ nN）“时，从 nk到 nk1
”时，左边应增添的式子是 （ ）
A． 2k 1
Ｂ． 2(2k1)
Ｃ． 2 k 1 k 1
数学归纳法
高三备课组
基本知识：
1．数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常 采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第 一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kN*，k≥n0) 时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明 方法就叫做数学归纳法
2．数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意 义的最小的正整数n0，如果当k=n0时，命题成立， 再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命 题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出 当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所 有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.
3.用数学归纳法证明一个与正整数有关 的命题的步骤：
(1)证明：当n取第一个值n0结论正确； (2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正 确，证明当n=k+1时结论也正确. 由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所 有正整数n都正确
1．用数学归纳法证题要注意下面几点： ①证题的两个步骤缺一不可，要认真完成第一步的 验证过程； ②成败的关键取决于第二步对的证明： 1）突破对“归纳假设”的运用； 2）用好命题的条件； 3）正确选择与命题有关的知识及变换技巧.
【作业】教材闯关训练。
1、在春节图片和视频中重温春节生活 的欢快 和喜悦 ，激发 学生对 传统节 日、民 俗文化 的热爱 之情。 2、在送祝福的实践活动中对为社会服 务的劳 动者表 达感谢 之情 3、了解春节的相关习俗，感受春节的 热闹气 氛。 4、知道春节期间有很多人还在辛勤工 作，学 习用自 己的方 式表达 对他人 劳动的 感谢之 情。 5．经历三次认知冲突后意识到摆的摆 动快慢 与摆长 有关。 6．经历实验和数据分析，理解同一个 摆，摆 长越长 ，摆动 越慢， 摆长越 短，摆 动越快 。 7．用测量与比较的方法研究摆的摆动 快慢规 律。
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要 证 明 这 个 ,必问须题寻 找 一 种 有 骤,就 限 个 能 够 处 理 完 无 限 象多 的个 方. 对 法
我们先从 多米诺骨牌游 戏说起 .这是一 种码 放骨牌的游戏,码放时保证任意相邻的两块 骨 牌, 若 前 一 块 骨 牌 倒 下, 则 一 定 导 致 后 一 块 骨牌倒下.这样, 只要推倒第1块骨 牌,由于第1 块骨牌倒下,就可导致第2块骨牌倒下;而第 2 块骨牌倒下, 就可 导致第3块骨牌 倒下 最 后, 不 论 有 多 少 块 骨 牌 , 都 能 全 部 倒 下.
1 k 1 2 k 1 1 1 kk 1 k 1 2 k 1 1 . 1 k 1 k 2 k 1 1 1k1k1 右边. 所n 以 k 1 时 当 等 成 .由 式 1立 ,2可知
1 3 5 1 n 2 n 1 1 n n n N .
2若 从 "nk时 等式 成 立 "能 推"n出 k1时 等 式也 成",立 则 可 以 建 立 一诺 种骨 像牌 多那 米样
的"由 前 到 "的后自 动 递 .推 关 系
人教版-数学归纳法ppt完美课件
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综合 12,就自然地想 这到 个一 等种 式 : 证 的 首先 1 n 1 证 时明 等 成 ;式 立 然后证 2中 明的递.推关系 完 成 以 上 两 ,就步 可n后 由 1时 等式 成 立 为,起 点 递 推n出 2时 等式 成 立 ;再 由 n2时 等式 成 立 , 递 推n出 3时 等式 成 立 如 此 继 续 自 动 递 下 去 ,就 可 以:对 说于 任 意 正 n,等整式 数 成 立 .
在 高 考 中 ,这 类 问 题 也 是 经 常 出 现 ， 同 时 这 也 是 一 种 重 要 的 数 学 推 理 方 法 — — 数 学 归 纳 法 .
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故排除（A）
两个奇数的积仍是奇数，且 2n1是奇数， 故排除B、D而选（C）
人教版-数学归纳法优秀课件
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解法二：S奇=(n+1)an1 =512 S偶=nan1 =480
两式相减得： an1 =32
故选ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱC）
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例 2： 已 知 等 差 数 列 a {n }的 公 差 d0， 且 a1,a3,a9成 等 比 数 列 ， 则 a a 2 1 a a4 3 a a1 90=— — — — — — —
an1 an
qan1an1
an2(an
0)
3、等差数列{ an }的前 n 项和的最大值为Sk
ak
0
ak1 0
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4、设Sn 是数列{an }的前n 项之和，则有:
an
S1(n 1)
Sn Sn1(n2)
5、数列{an}的最大项为ak ak ak1
S1 (n 1)
S n S n1 (n 2)
研究一般数列的性质。
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例题选讲
例1、一个等差数列共有2n+1项，其奇数 项的和为512，偶数项之和为480，则中 间一项为（ ） A、30 B、31 C、32 D、33
解法一：项数为2n1,中间一项为第 n +1项， 设为an1 则由已知(2n1)an1 =512+480=992，个位数为2
也是等差（比）数列。
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二、基本技能的活用
1、注意公式的变形应用
如：等差数列的前 n 项和公式：
Sn
n(a1 an ) 2
n(a2
an1 ) 2
n(am
anm1 ) 2
Sn
na1
n(n 1)d 2
d 2
n2
(a1
d )n 2
an2
bn
等比数列的前 n 项和公式：
Sn
四 个 数 成 等 差 （ 比 ） 数 列 ， 可 设 为
a3d,ad,ad,a3d（ 或 a,a,a,a q3q ） q3 q
3、记住一些小结论
如 ： 在 等 差 数 列 { a n } 中 ， 若 a mn ,a nm , 则 a m n0， 若Smn,Sn m,则Snm(mn)
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又如：12 22 n2 1n(n1)(2n1) 6
13 23 n3 n(n21)2
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三、基本方法的总结
1 、 数 列 { a n} 成 等 差 数 列 a n 1 a n d a n 1 a n 1 2 a n
2、 数 列 {an }成 等 比 数 列
解：a1,a3,a9成等比数列 ∴ a1a9 a32 从而a1(a18d)(a12d)2
∴d2 a1d0, d0 ∴a1 d ∴a1a3a9 =3a110d13
a2 a4 a10 3a113d 16
本题如果采用特殊值法，选用符合条件的数列1， 2，3，…，10，可以通过心算迅速得解。
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易知： ak 2k 48 ,bk 4k 6 ∴ ak bk 2(21 k) 0( k 21)
∴ ak bk 即bk 为圆的直径
bk
4)若{ an }为等差数列，公差为 d 则 a1, a3 , a5 , 仍是等差数列，公差为 2 d a1, a4 , a7 , 仍是等差数列，公差为 3 d
依此类推，还可以构成许多等差数列的子数列
5)对 于 等 差 数 列 { an }：
若 项 数 为 2 n（ n N） ， 则 S 偶 S 奇 nd
ak ak1
6、错位相减法、累加法及倒序相加法
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四、重要知识点的再现
如果说首次复习的核心是夯实基础，那么本轮复习 的重心将是抓住重点，使学生的数学能力有一个较大的提 高。数列单元的重点除了两类特殊数列（等差、等比数列）
外，就是利用an
与Sn
的关系： an
a1(1 qn ) 1 q
a1 anq 1 q
a1
an1q 2 1 q
a1
am q nm1 1 q
(q 1)
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2、掌握设元的一些技巧
如 ： 三 个 数 成 等 差 （ 比 ） 数 列 ， 可 设 为
ad,a,ad（ 或 a,a,aq） ； q
若 项 数 为 2 n 1 （ n N ） ， 则 S 奇 S 偶 a n（ 中 间 项 ）
当等差数列的项数为奇数时，中间 一项既等于所有项的算术平均数，也等 于奇数项或偶数项的算术平均数。
6）等差（比）数列的等长连续片断的和组成等 差（比）数列
如：若{an }为等差（比）数列，则 a1a2ak,ak1ak2a2k, a2k1a2k2a3k,
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例 3：设{an }是首项为 50，公差为 2 的等差数列，{bn }是首项 10，
公差为 4 的等差数列，以ak 和bk 为两边的矩形内的最大圆的
面积为 S k ，如果 k 21，那么 S k 等于（ ）
A、 (k 24)2
B、 (k 12)2
C、 (2k 3)2 D、 (2k 1)2
《数列与数学归纳法》
专题复习设计
柳州地区高中 黄祖应（545005）
专题复习的目的与专题内容的确定
目的：深化对基础知识、基本技能、基 本方法的理解和掌握，提高解题的灵活 性和综合运用知识的能力并通过适当的 练习，增强应试的能力。
内容：“数列”、“数列问题的综合应 用”、“数学归纳法”
专题讲练之一：数列
复习要点： 一、基础知识的深化
1、数列的单调性、有界性和周期性。
2、归纳等差、等比数列的性质 1） 等 差 、 等 比 数 列 通 项 公 式 的 推 广 ：
anam(nm)d, anamqnm 2） {an}是 等 差 数 列 的 充 要 条 件 是
ana nb 或 Sna2 nbn
3)若 {an}是 等 差 （ 比 ） 数 列 ， 且 mnpr(mn、、 p 、 rN), 则 有 ： amanapar （ 或 amanapar） 特 别 ： a2kmam2ak （ 或 a2kmamak2）
两个奇数的积仍是奇数，且 2n1是奇数， 故排除B、D而选（C）
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解法二：S奇=(n+1)an1 =512 S偶=nan1 =480
两式相减得： an1 =32
故选ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱC）
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例 2： 已 知 等 差 数 列 a {n }的 公 差 d0， 且 a1,a3,a9成 等 比 数 列 ， 则 a a 2 1 a a4 3 a a1 90=— — — — — — —
an1 an
qan1an1
an2(an
0)
3、等差数列{ an }的前 n 项和的最大值为Sk
ak
0
ak1 0
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4、设Sn 是数列{an }的前n 项之和，则有:
an
S1(n 1)
Sn Sn1(n2)
5、数列{an}的最大项为ak ak ak1
S1 (n 1)
S n S n1 (n 2)
研究一般数列的性质。
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例题选讲
例1、一个等差数列共有2n+1项，其奇数 项的和为512，偶数项之和为480，则中 间一项为（ ） A、30 B、31 C、32 D、33
解法一：项数为2n1,中间一项为第 n +1项， 设为an1 则由已知(2n1)an1 =512+480=992，个位数为2
也是等差（比）数列。
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二、基本技能的活用
1、注意公式的变形应用
如：等差数列的前 n 项和公式：
Sn
n(a1 an ) 2
n(a2
an1 ) 2
n(am
anm1 ) 2
Sn
na1
n(n 1)d 2
d 2
n2
(a1
d )n 2
an2
bn
等比数列的前 n 项和公式：
Sn
四 个 数 成 等 差 （ 比 ） 数 列 ， 可 设 为
a3d,ad,ad,a3d（ 或 a,a,a,a q3q ） q3 q
3、记住一些小结论
如 ： 在 等 差 数 列 { a n } 中 ， 若 a mn ,a nm , 则 a m n0， 若Smn,Sn m,则Snm(mn)
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又如：12 22 n2 1n(n1)(2n1) 6
13 23 n3 n(n21)2
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三、基本方法的总结
1 、 数 列 { a n} 成 等 差 数 列 a n 1 a n d a n 1 a n 1 2 a n
2、 数 列 {an }成 等 比 数 列
解：a1,a3,a9成等比数列 ∴ a1a9 a32 从而a1(a18d)(a12d)2
∴d2 a1d0, d0 ∴a1 d ∴a1a3a9 =3a110d13
a2 a4 a10 3a113d 16
本题如果采用特殊值法，选用符合条件的数列1， 2，3，…，10，可以通过心算迅速得解。
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易知： ak 2k 48 ,bk 4k 6 ∴ ak bk 2(21 k) 0( k 21)
∴ ak bk 即bk 为圆的直径
bk
4)若{ an }为等差数列，公差为 d 则 a1, a3 , a5 , 仍是等差数列，公差为 2 d a1, a4 , a7 , 仍是等差数列，公差为 3 d
依此类推，还可以构成许多等差数列的子数列
5)对 于 等 差 数 列 { an }：
若 项 数 为 2 n（ n N） ， 则 S 偶 S 奇 nd
ak ak1
6、错位相减法、累加法及倒序相加法
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四、重要知识点的再现
如果说首次复习的核心是夯实基础，那么本轮复习 的重心将是抓住重点，使学生的数学能力有一个较大的提 高。数列单元的重点除了两类特殊数列（等差、等比数列）
外，就是利用an
与Sn
的关系： an
a1(1 qn ) 1 q
a1 anq 1 q
a1
an1q 2 1 q
a1
am q nm1 1 q
(q 1)
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2、掌握设元的一些技巧
如 ： 三 个 数 成 等 差 （ 比 ） 数 列 ， 可 设 为
ad,a,ad（ 或 a,a,aq） ； q
若 项 数 为 2 n 1 （ n N ） ， 则 S 奇 S 偶 a n（ 中 间 项 ）
当等差数列的项数为奇数时，中间 一项既等于所有项的算术平均数，也等 于奇数项或偶数项的算术平均数。
6）等差（比）数列的等长连续片断的和组成等 差（比）数列
如：若{an }为等差（比）数列，则 a1a2ak,ak1ak2a2k, a2k1a2k2a3k,
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例 3：设{an }是首项为 50，公差为 2 的等差数列，{bn }是首项 10，
公差为 4 的等差数列，以ak 和bk 为两边的矩形内的最大圆的
面积为 S k ，如果 k 21，那么 S k 等于（ ）
A、 (k 24)2
B、 (k 12)2
C、 (2k 3)2 D、 (2k 1)2
《数列与数学归纳法》
专题复习设计
柳州地区高中 黄祖应（545005）
专题复习的目的与专题内容的确定
目的：深化对基础知识、基本技能、基 本方法的理解和掌握，提高解题的灵活 性和综合运用知识的能力并通过适当的 练习，增强应试的能力。
内容：“数列”、“数列问题的综合应 用”、“数学归纳法”
专题讲练之一：数列
复习要点： 一、基础知识的深化
1、数列的单调性、有界性和周期性。
2、归纳等差、等比数列的性质 1） 等 差 、 等 比 数 列 通 项 公 式 的 推 广 ：
anam(nm)d, anamqnm 2） {an}是 等 差 数 列 的 充 要 条 件 是
ana nb 或 Sna2 nbn
3)若 {an}是 等 差 （ 比 ） 数 列 ， 且 mnpr(mn、、 p 、 rN), 则 有 ： amanapar （ 或 amanapar） 特 别 ： a2kmam2ak （ 或 a2kmamak2）