导数求最值(含参)

含参导数求最值问题（1—2）

编制人：闵小梅审核人：王志刚

【使用说明及学法指导】

1．完成预习案中的相关问题；

2．尝试完成探究案中合作探究部分，注意书写规范；

3．找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课堂讨论质疑。

【学习目标】

1．掌握利用导数求函数最值的方法

2．会用导数解决含参函数的综合问题

【预习案】

一、知识梳理

函数的最值与导数

(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件

如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．

(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤

①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

二、尝试练习

1．设函数f(x)＝x3－x2

2

－2x＋5，若对任意的x∈[－1，2]，都有f(x)>a，则实

数a的取值范围是________ (－∞，7 2)

2．已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对x∈(0，1]总有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是________ [4，＋∞)

【探究案】

一、合作探究：

例1. 设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a ＞0)．

(1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间； 增(0，2)，减(2，2) (2)若f (x )在(0,1]上的最大值为12，求a 的值． a ＝1

2

二、拓展探究：

例2. 已知函数f(x)＝lg(x ＋a

x －2)，其中a ＞0且为常数．

(1)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；ln a

2

(2)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)＞0，试确定实数a 的取值范围．(2，＋∞)

三、深层探究：单调性的应用 例3．求f (x )＝ax

x e -⋅ (a ＞0)在x ∈[1,2]上的最大值

【训练案】

1．设f (x )是[a ，b ]上的连续函数，且在(a ，b )内可导，则下列结论中正确的是( )

A ．f (x )的极值点一定是最值点

B ．f (x )的最值点一定是极值点

C ．f (x )在此区间上可能没有极值点

D ．f (x )在此区间上可能没有最值点

2．若函数f (x )＝3239x x x a -+++在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为( )

A ．－5

B ．7

C ．10

D ．－19

3．函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则( )

A ．0

B ．b <1

C ．b >0

D ．b <1

2

4．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若函数f (x )在(0，1)上单调，则实数a 的取值范围是( )

A ．a ≥0

B ．a <－4

C ．a ≥0或a ≤－4

D ．a >0或a <－4

5．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是( )

A ．0≤a ＜1

B ．0＜a ＜1

C ．－1＜a ＜1

D ．0＜a ＜1

2

6．已知函数f (x )＝sin x －2x －a ，若f (x )在[0，π]上的最大值为－1，则实数

a 的值是________ 1

7．若关于x 的不等式x 3－2x －a ＜0在[1,2]上恒成立，则a 的取值范围是_______(4，＋∞)

8．若不等式ln (kx )x ≤1

e 对任意的正实数x 恒成立，则实数k 的取值范围为_ _ 0＜k ≤1

9．已知函数f (x )＝2ln x ＋a

x 2(a >0)．若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥2恒成立，求实数a 的取值范围。 a ≥e

10．已知函数f (x )＝(x －k )2e x

k

.

(1)求f (x )的单调区间； 增(－∞，－k )，(k ，＋∞)；减(－k ，k )． (2)若对于任意的x ∈(0，＋∞)，都有f (x )≤1e ，求k 的取值范围．⎣⎢⎡⎭

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－12，0