八年级数学特殊的平行四边形、梯形教案

特殊的平行四边形、梯形
二. 重点、难点：
1. 学习重点：
（1）理解矩形、菱形、正方形的特性。

（2）理解等腰梯形的特性。

2. 学习难点：
（1）理解几种特殊平行四边形与普通平行四边形的区别与联系。

（2）理解等腰梯形与平行四边形、等腰三角形之间的关系。

【典型例题】
一. 矩形：
1. 矩形的概念：
有一个内角是直角的特殊的平行四边形，就是矩形，也就是以前常说的长方形。

如图1： 2. 矩形的特性：
矩形是平行四边形，因此平行四边形所有的性质，矩形都有，但矩形是特殊的平行四边形。

因此，它还有一些特性。

（1）矩形是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，因此可知矩形有两条对称轴。

（2）矩形的四个角都是直角。

实际上，如图1所示，若∠BAD是直角，由AD//BC知∠ABC是直角，由AB//DC知∠ADC 是直角。

同理可知，∠DCB是直角，故矩形四个角都是直角。

（3）矩形的对角线相等且互相平分。

矩形是平行四边形，故其对角线互相平分。

在图中，矩形的四个角是直角，如果绕着对角线的交点O旋转，会发现将其旋转∠COD 的度数，AC与BD将会重合，故其长度相等。

例1. 矩形ABCD的两条对角线交于点O，且∠AOD＝120°，证明：AC＝2AB。

证明：在△AOD中，∠AOD＝120°，故其补角∠AOB＝60°
即有OA＝OB
而∠AOB＝60°
故△AOB是等边三角形
有OA＝OB＝AB
故AC＝2AO＝2AB
3. 矩形的识别方法：
（1）如果在一个平行四边形中，能找到一个角是直角，则其是矩形。

如图3，先判定四边形ABCD是平行四边形，再判定其中有一个角是直角。

（2）如果在一个平行四边形中，其对角线相等，则此平行四边形是矩形。

如图3，如果在平行四边形ABCD中，有AC＝BD，则平行四边形ABCD是矩形。

（3）如果在一个四边形中，有三个角是直角，则此四边形是矩形。

如图3，如果在四边形ABCD中，∠ABC，∠ADC，∠CBA，∠CBA，∠CDA中有三个角是直角，则四边形ABCD是矩形。

例2. 说明：平行四边形的四个内角的平分线围成的四边形是矩形。

分析：此题应先作图，再写已知，最后说明。

已知：如图4所示，在平行四边形ABCD中，AE、BF、CN、DM分别是∠DAB、∠A BC、∠BCD、∠CDA的平分线。

说明：四边形HGO K是矩形
解：在平行四边形ABCD中，AB//CD
所以∠DAB＋∠ADC＝180°
因为AE、DM是∠DAB、∠ADC的平分线
所以∠1＋∠2＝90°，所以∠AKD＝90°
所以∠OKH＝90°
同理，∠AOG＝∠CHD＝90°
故四边形HGOK是矩形
二. 菱形：
1. 菱形的概念：
四条边都相等的平行四边形就是菱形，如图5所示，四边形ABCD就是菱形。

菱形即是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为它的对角线所在的直线，共有两条对称轴。

2. 菱形的性质：
（1）菱形的对角线互相垂直平分
如图5所示，在菱形ABCD中，AO＝OC，OB＝OD，且AC⊥BD。

（2）菱形的两条对角线将其分成四个完全相等的三角形。

如图5所示：在菱形ABCD中，△ABO、△BCO、△CDO、△ADO是全等的，故四个小三角形的面积也相等。

例3. 如图6所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B，试说明△ABC是等边三角形。

解：因为四边形ABCD是菱形，所以AB＝BC
又∠B＋∠BAD＝180°
而∠BAD＝2∠B
故∠B＝60°
在等腰△ABC中，∠B＝60°
故△ABC是等边三角形
3. 菱形的识别方法：
（1）用定义识别：四条边都相等的四边形是菱形。

如图5，如果在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，则四边形ABCD是菱形。

（2）对角线识别：
如果平行四边形的对角线互相垂直平分，则四边形ABCD是菱形。

如图5，在平行四边形ABCD中，如果AC⊥BD，则四边形ABCD是菱形。

（3）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

如图5，在平行四边形ABCD中，如果AB＝AD，或AD＝DC，或DC＝CB，或CB＝AB，则四边形ABCD是菱形。

例4. 如图7，AD是△ABC的角平分线，DE//CA交AB于E，DF//BA交AC于F。

求证：四边形AEDF是菱形
证明：在四边形AEDF中，
因DE//AC，故DE//AF
因DF//AB，故DF//AE
所以四边形AEDF是平行四边形
又AD平分∠BAC，∠1＝∠2
而AB//DF，知∠1＝∠ADF
故∠2＝∠ADF
△AFD是等腰三角形，AF＝DF
由识别方法3知，四边形AEDF是菱形。

三. 正方形：
正方形是以前早就认识的特殊图形，在正方形中，四条边都相等，四个角都是直角，所以正方形可以看作：
有一角是直角的菱形。

有一组邻边相等的矩形。

它拥有菱形、矩形的一切特性。

正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，它共有四条对称轴。

在正方形中，对角线之间的夹角是90°，对角线与边的夹角是45°。

例5. 如图8，四边形ABCD是正方形，延长BC到点E，使CE＝AC，连结AE，交CD于F，求∠AFC的度数。

解：在正方形ABCD中，AC是对角线，故∠ACB＝45°
而AC＝CE，故∠CAE＝∠CEA，且∠CAE＋∠CEA＝∠BCA＝45°
故∠E＝22.5°
而∠AFC是△CEF的一个外角
故∠AFC＝∠E＋∠FCE＝22.5°＋90°＝112.5°
四. 梯形：
1. 定义：
只有一组对边平行的四边形叫梯形，即梯形中有一组对边不平行，两腰相等的梯形是等腰梯形，有一个角是直角的梯形是直角梯形。

实际上，梯形可以看作是由一个平行四边形和一个三角形组合而成。

如图9所示，梯形ABCD可看作由平行四边形ABED和△DEC组合而成。

另外，梯形也可看作是过三角形一边上一点作另一边平行而得到的，如图10。

在△ABC 中，DE//BC，可知四边形BCED是梯形。

2. 等腰梯形的性质：
（1）等腰梯形同一底边上的两个底角相等。

如图11，在等腰梯形ABCD中，∠BAD＝∠ADC，∠ABC＝∠BCD。

（2）等腰梯形的两条对角线相等。

在图11中，如果四边形ABCD是等腰梯形，则有AC＝BD。

例6. 如图12，延长等腰梯形ABCD的两腰BA与CD，相交于点E，试说明△EBC和△EAD 都是等腰三角形。

解：因为四边形ABCD是等腰梯形，所以∠B＝∠C。

在△EBC中，有EB＝EC
因此，△EBC是等腰三角形
又AB＝DC
故EB－AB＝EC－DC
即EA＝ED
故△EAD是等腰三角形
例7. 如图13，在等腰梯形ABCD中，AB//DC，CE//DA，已知AB＝8，DC＝5，DA＝6，求△CEB的周长。

解：因为AB//DC，CE//DA，故四边形AECD是平行四边形
从而CE＝DA＝CB＝6，AE＝DC＝5
EB＝AB－AE＝8－5＝3
于是△CEB的周长为CE＋EB＋BC＝6＋3＋6＝15
例8. 如图14，梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝50°，∠C＝80°，试说明BC－AD＝CD。

解：过点A作AE//DC交BC于E
所以，∠AEB＝∠C＝80°
又∠B＝50°
故∠BAE＝180°－50°－80°＝50°
∠BAE＝∠B，AE＝BE
又AD//BC，故AD//EC
四边形ADCE是平行四边形，AD＝EC，AE＝DC
故BC－AD＝BC－EC＝BE＝AE＝DC
［本课小结］
1. 本课主要讲解了矩形、菱形、正方形、梯形的特殊性质及矩形、菱形、正方形的识别
方法，在整个过程中主要以基础知识为主，希望同学们掌握这些特殊图形的基础知识。

2. 本课另外还研究了矩形、菱形、正方形及梯形之间的内在联系与区别，请同学们在学习时引起重视。

【模拟试题】
1. 矩形ABCD中对角线AC、BD相交于O，过顶点C作BD的平行线与AD的延长线相交于点E，试说明△ACE是等腰三角形。

2. 如图，菱形ABCD中，AE⊥BC于E，若∠BAE＝20°，试求∠EAC的度数。

3. 在Rt△ABC中，CF是直角平分线，FD⊥CA于D，FE⊥CB于E，四边形CDFE是什么四边形？为什么？
4. 在梯形ABCD中，AB//CD，AD＝BC，延长AB至E，使BE＝DC。

求证：AC＝CE
5. 从菱形的两条对角线的交点分别向各边作垂线，说明：连结垂足的四边形是矩形。

【试题答案】 1.
解：在矩形AB CD中，AC＝DB，故1
2
1
2
D B A C
=
即D O A O
=，有∠ODA＝∠OAD
同理，∠OCB＝∠OBC
又AD//CB，∠ADO＝∠OBC
故∠ADO＝∠DAO
而EC//DB，故∠E＝∠ADO
所以∠E＝∠DAO＝∠EAC
△EAC是等腰三角形
2.
解：因AE⊥BC，而∠BAE＝20°
故在三角形BAE中，∠B＝70°
又四边形ABCD是菱形，故BA＝BC，∠BAC＝∠BCA
又∠BAE＝20°
故∠EAC＝35°
3.
解：在四边形CDFE中，
FD⊥CA，故∠FDC＝90°
FE⊥CB，故∠FEC＝90°
又∠ECD＝90°
故四边形FECD是矩形
又CF是∠ECD是角平分线，故
∠ECF＝45°，∠CEF＝90°
故∠CFE＝45°
△CEF是等腰三角形，EC＝EF
故四边形EFDC是正方形
4.
证：在四边形BEDC中，BE＝DC，又BE//DC
故四边形BEDC是平行四边形
有CE＝BD
而在梯形ABCD中，AD＝BC，故BD＝AC
所以CE＝AC
5.
解：在菱形ABCD中BD、AC是对角线，故AC平分∠BAD 即∠EAO＝∠NAO
又∠AEO＝∠ANO＝90°
故∠AOE＝∠AON
由上面三组角的关系知道，△AON和△AOE对称。

有ON＝OE，△EON是等腰三角形
而∠NOP＝∠EOP，由三线合一知，OP⊥EN，OA⊥EN 同理：OC⊥MF，MF//EN
OB⊥EM，OD⊥NF，EM//NF
∴四边形EMFN是平行四边形
而在菱形ABCD中，
由ON＝OE的推理知：OM＝OF
故EO＋OF＝ON＋OM
EF＝MN
在平行四边形EFNM中，EF＝MN，故其是矩形。