第十章a勒让德多项式

（2.8）
2. 勒让德多项式的应用（广义傅氏级数展开）
例2.1 将函数
f ( x) x3 按勒让德多项式形式展开.
【解】 根据 （2.5）设
x3 C0 P0 ( x) C1P1 ( x) C2 P2 ( x) C3P3 ( x)
考虑到 Pn ( x) (1)n Pn ( x) ，由(2.6)显然有
（1.3）
称为 令
l
阶连带勒让德方程. l
x cos 和 y ( x) ( x)
把自变数从 换为
x ，则方程（1.3）可以化为下列
形式的 l 阶连带勒让德方程
d2 y dy m2 (1 x 2 ) 2 2 x l (l 1) y0 2 dx dx 1 x
n 0
（2.5）
其中系数
2n 1 1 Cn 1 f ( x)Pn ( x)dx 2
(2.6)
在实际应用中,经常要作代换 x cos ,此时勒让德方程的解为
Pn (cos ) ，这时有
f (cos ) Cn Pn (cos )
n 0

(2.7)
其中系数为
2n 1 π Cn 0 f (cos )Pn (cos )sin d 2
本征值： 本征解：
或0)
l 阶勒让德多项式的定义：
不大于l/2的最大整数
2 勒让德多项式的表示
(1) 勒让德多项式的级数表示 我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解 P ( x ) l 为
(2l 2k )! Pl ( x) (1) l xl 2 k 2 k !(l k )!(l 2k )! k 0
必然以 x 1为一级零点，从而上式已积出部分的值为零
(1)1 N 2l 2 2 (l !)
2 l
d l 1 ( x 2 1)l d l 1 ( x 2 1)l dx l 1 1 dxl 1 dx
1
再进行 l 次分部积分，即得
(1) N 2l 2 2 (l !)
l 2 l
1 1 6 4 2 P6 ( x) (231x 315 x 105 x 5) (231cos 6 126cos 4 105cos 2 50) 16 512
勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真) 得到
图 6.1
计算 Pl (0) ，这应当等于多项式
2 l l
故勒让德多项式的模为
Nl 2 2l 1
(l 0,1,2,)
且有
2 1 Pl ( x)Pl ( x)dx 2l 1
1
(4) 广义傅里叶级数 定理2.1 在区间 [-1,1]上的任一连续函数 可展开为勒让德多项式的级数

f ( x),
f ( x) Cn Pn ( x)
(2) 勒让德多项式的微分表示
1 dl Pl ( x) l ( x 2 1)l 2 l ! dxl
（1.10）
上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues） 表示式．
下面证明表达式(1.10)和（1.7）是相同的．
【证明】 (略）
6.2 勒让德多项式的性质
1 勒让德多项式的性质 (1) 勒让德多项式的零点 对于勒让德多项式的零点，有如下结论： （i） Pn ( x) 的
称为正交性． 相等时可求出其模
Nl

2 1 l
1
2 P ( x)dx 2l 1
(l 0,1,2,)
(2.4)
下面给出公式（2.2），及其模(2.4)的证明 【证明】 （1）正交性 勒让德多项式必然满足勒让德方程，故有
d [(1 x 2 )Pl( x)] l (l 1)Pl ( x) 0 dx d [(1 x 2 )Pn ( x)] n(n 1)Pn ( x) 0 dx
Pl ( x) 的常数项．
如 l
为
2n 1 （即为奇数）时，则 P2 n 1 ( x)
只含奇 数次幂，不含常数项，所以
P2 n1 (0) 0
．
（１.8）
则 l 2n （即为偶数）时， P2 n ( x) 含有常数项，即 （１.7）中
P2 n (0) (1)n
k l 2n
的那一项，所以
n 个零点都是实的，且在 (1,1) 内；
（ii） Pn 1 ( x) 的零点与 Pn ( x ) 的零点互相分离． (2) 奇偶性 根据勒让德多项式的定义式，作代换 x ( x), 容易得到
Pl ( x) (1)l Pl ( x)
即当
l l
（2.1） 为偶数时，勒让德多项式 Pl ( x) 为偶函数， 为奇数时
d2 R dR 2 r 2r l (l 1) R 0 2 dr dr
和球谐函数方程
（1.1）
1 Y 1 2Y l (l 1)Y 0 sin 2 2 sin sin
(1.2)式的解
Yห้องสมุดไป่ตู้( , ) 与半径
容易看出已积出部分以 x 1 为零点． 至此，分部积分的结果是使 ( x 1) 的幂次降低一次，
( x 1) 的幂次升高一次， 且积分乘上一个相应的常数因子．
继续分部积分（计 l 次），即得
(2l )! l l 1 1 1 l N (1) 2l (1) ( x 1)0 ( x 1) 2l dx 2 (l !) 2 l 1 l 2 2l 1 1 1 2 2 l 1 1 2l ( x 1) 1 2 2l 1 2l 1
l
阶勒让德方程
则上述方程也可写为下列形式的
d 2 dy [(1 x ) ] l (l 1) y 0 dx dx
(1.6)
§10.1 勒让德多项式的定义 为常参数）
特解y0和y1的收敛半径均为：
自然边界条件：
实际问题中要求x在[-1，1]范围内，方程的解 y(x) 必须取有限值。——自然边界条件。 因此参数μ必须取某些特定值（本征值），使级数 解退化为多项式，才能得到有限值解 y(x) 。
P0 ( x) 1
P1 ( x) x cos
P2 ( x) 1 1 (3x 2 1) (3cos 2 1) 2 4
1 1 P3 ( x) (5 x3 3x) (5cos 3 3cos ) 2 8
1 1 P4 ( x) (35 x 4 30 x 2 3) (35cos 4 20 cos 2 9) 8 64 1 1 P5 ( x) (63x5 70 x3 15 x) (63cos 5 35cos 3 30 cos ) 8 128
d l 1 ( x 2 1)l d d l ( x 2 1)l 1 dxl 1 dx dxl dx
1
注意到 ( x 2 1) l ( x 1) l ( x 1) l
以 x 1 为 l 级零点，
故其 (l 1) 阶导数
d l 1 ( x 2 1)l dxl 1
1 N 2l 2 (l !)2
2 l
d l ( x 2 1)l d d l 1 ( x 2 1)l 1 dxl dx dxl 1 dx
1 1
1 d l ( x 2 1)l d l 1 ( x 2 1)l 1 2l 2l 2 2 (l !) 2 dxl dxl 1 1 2 (l !)
C0 C2 0
3 1 3 3 1 3 3 C1 x P1 ( x)dx x xdx 2 1 2 1 5
7 1 3 7 1 3 1 3 2 C3 x P3 ( x)dx x (5x -3x)dx 2 1 2 1 2 5 所以 3 2 3 x P ( x) P3 ( x) 1 5 5
无关，则
（1.4）
若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与
m 0 ，即有
（1.5）
1 d d sin l (l 1) 0 sin d d
称为 l 阶勒让德（legendre）方程．
同样若记
arc cos x
，
y( x) ( x)
(2n)! (2n 1)!! (1)n （１.9） n n 2 n !2 n ! (2n)!! 式中记号 (2n)!! (2n)(2n 2)(2n 4)6 4 2 而 (2n 1)!! (2n 1)(2n 3)(2n 5)5 3 1 因此， (2n)! (2n)!! (2n 1)!!
勒让德多项式
勒让德方程及其解的表示 1 勒让德方程 勒让德多项式
在分离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程
1 2 u 1 u 1 2u (r ) 2 (sin ) 2 2 0 2 2 r r r r sin r sin
在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程
两式相减，并在[-1,1] 区间上对x积分，得
d d 2 ( x)] Pl ( x) [(1 x 2 )Pn ( x)]}dx 1{Pn ( x) dx [(1 x )Pl dx
1
[n(n 1) l (l 1)] Pl ( x)Pn (x)dx
1
1
因为上面等式左边的积分值为
Pl ( x) 为奇函数
(3) 勒让德多项式的正交性及其模
不同阶的勒让德多项式在区间 [1,1] 上满足

其中 当
1
1
Pn ( x)Pl ( x)dx Nl2 n ,l
n ,l
1 0
1 1
(2.2)
(n l ) (n l )
(2.3)
n l 时满足 Pn ( x)Pl ( x)dx 0 ，
(1 x 2 )[Pn ( x)Pl( x) Pl ( x)Pn ( x)] |1 1 0
所以当 n l 时，必然有

1
1 l
P ( x)Pn ( x)dx 0 成立．
（2）模 （利用分部积分法证明） 根据
N [Pl ( x)]2 dx
2 l 1
1
为了分部积分的方便，把上式的 Pl (x)用微分表示给出，则有
d ( x 1) 1 ( x 1) dx2l dx
1 2l 2 l 2 l
( x 2 1) l 是
2l 次多项式，其 2l
阶导数也就是最高幂项
x 2 l 的 2l 阶导数为 (2l )! ．故
(2l )! N (1) 2l 2 2 (l !)
2 l l

1
1
( x 1)l ( x 1)l dx
再对上式分部积分一次
Nl2 (1)l
1 1 (2l )! 1 ( x 1)l ( x 1)l 1 l ( x 1)l 1 ( x 1)l 1 dx 1 22l (l !) 2 l 1 (2l )! l 1 l (1) 2l (1) ( x 1)l 1 ( x 1)l 1 dx 2 (l !) 2 l 1 1
k
l [ ] 2
（1.7）
式中
l 2, l [ ] 2 l 1 , 2
l 2n ( n 0,1,2, ) l 2n 1
上式具有多项式的形式，故称
Pl ( x)
为
l
阶勒让德多项式．勒让德多项式也称为第一类勒让德函数．
式（1.7）即为勒让德多项式的级数表示． 注意到 x cos , 故可方便地得出前几个勒让德多项式:
（１.2）
r
无关，故称为球谐函数
或简称为球函数．
球谐函数方程进一步分离变量，令
Y ( , ) ( )( )
得到关于 的常微分方程
1 d d m2 sin l (l 1) 2 0 sin d d sin