2021年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测：30 平面向量的数量积(学生版)

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(
)
A．1
B．2
C． 1 2
D． 1 2
【跟踪训练
2-9】（2020
春•垫江县校级期末）已知
|
a
|
2
，
|
b
|
2
，且
b
(a
b)
，则
|
a
b
|
．
【跟踪训练 2-10】（2020•徐州模拟）已知 AB (2,3) ， AC (1, m) ，若 AB BC ，则实数 m 的值为
【跟踪训练 2-7】（2020 春•咸阳期末）已知向量 OA (1,1) ， OB (3, m) ，若 OA AB ，则实数 m 的值为 (
)
A． 1
B．1
C． 2
D．2
【跟踪训练
2-8】（2020
春•密云区期末）已知向量
a
与
b
的夹角为
60
，
|
a
|
1，
|
b
|
2
，当
b
(2a
b)
时，实数
结论
几何表示
模 夹角 a⊥b 的充 要条件
|a|＝ a·a a·b
cos θ＝|a||b|
a·b＝0
高考复习·归纳训练
坐标表示 |a|＝ cos θ＝ x1x2＋y1y2＝0
题型归纳
题型 1 平面向量数量积的运算
【例
1-1】（2020
春•南岗区校级期末）已知向量
a
，
b
满足
|
a
|
1
，
ab
1
，则
a(2a
『高考复习·精推资源』
『题型归纳·高效训练』
高考复习·归纳训练
精品资源·备战高考
2
思维导图
高考复习·归纳训练
第 30 讲 平面向量的数量积（讲）
知识梳理
1．向量的夹角
O→ A
O→ B
(1)定义：已知两个非零向量 a 和 b，作 ＝a， ＝b，则∠AOB 就是向量 a 与 b 的夹角．
(2)范围：设 θ 是向量 a 与 b 的夹角，则 0°≤θ≤180°.
D． 3
【例
2-3】（2020•太原二模）已知
a,
b
是两个非零向量，其夹角为
，若
(a
b)
(a
b)
，且
|
a
b
|
2
|
a
b
|
，则
cos
(
)
A． 1 2
B． 3 5
C． 1 2
D． 3 2
【跟踪训练
2-1】（2020
春•黔南州期末）已知向量
a
，b
满足 |
a
|
3|
b
|
，
ab
6
，
a
，b
2-1】（2020
春•北海期末）已知向量
a
，
b
的夹角为
60
，
ab
3
，
|
b
|
3
，则
|
a
|
(
)
2
A．1
B． 3 3
C．3
D．2
精品资源·备战高考
5
高考复习·归纳训练
【例
2-2】（2020
春•广东期末）已知平面向量
a
(3,
0)
，
b
(
2，
6
)
，则
a
与
b
的夹角为
(
)
A． 12
B． 6
C． 4
几何意义
数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向 上的投影|b|cos_θ 的乘积
精品资源·备战高考
3
3.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ.
b)
(
)
A．0
B．2
C．3
D．4
【例 1-2】（2020 春•临渭区期末）在 ABC 中， D 为线段 BC 的中点， AD 1 ， BC 3 ，则 AB AC ( )
精品资源·备战高考
4
高考复习·归纳训练
A． 1 3
B． 5 4
C．3
D．4
【跟踪训练 1-1】（2020 春•泉州期末）平行四边形 ABCD 中， AB 4 ， AD 2 2 ， BAD 3 ， E 是线 4
，则
3
| a | ( )
A．2
B．3
C．4
D．6
【跟踪训练 2-2】（2020 春•赤峰期末）已知 e1 ， e2 是单位向量，若 | 3e1 4e2 | 37 ，则 e1 与 e2 的夹角为 (
)
A． 30
B． 60
C． 90
D．120
【跟踪训练
2-3】（2020
春•新余期末）已知向量 a
．
【跟踪训练
2-11】（2020•江苏模拟）在
ABC
中， ( AB
AC)
BC(
1)
，若角
A
的最大值为
，则实
6
数 的值是 ．
【名师指导】
1.求平面向量模的 2 种方法
公式 法
利用|a|＝ a·a及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算转化为数量积运算
几何 利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向 法 量，再利用余弦定理等方法求解
，
b
(1,
m)
，且
(a
b)
a
，则
m
(
)
A． 8
B． 6
C．6
D．8
【跟踪训练
2-6】（2020•临汾模拟）已知向量
b
(
1
，
3
)
，向量
a
在向量
b
方向上的投影为
2
．若
22
精品资源·备战高考
6
(a
b)
b
，则实数
的值为
(
)
高考复习·归纳训练
A． 1 4
B． 1 4
C． 1 2
D． 1 2
、b
满足 |
a
| 1， | b
|
2
，向量
a
，b
的夹角为
，则
3
|
2a
b
|
的值为
(
)
A．4
B．3
C．2
D． 3
【跟踪训练
2-4】（2020
春•广州期末）已知
a
(2,
1)
，
b
(1,
t)
，若
(2a
b)
a
，则
|
b
|
．
【跟踪训练
2-5】（2020
春•金安区校级期末）已知向量
a
(3,
2)
精品资源·备战高考
7
高考复习·归纳训练
2.求平面向量夹角的 2 种方法
(3)共线与垂直：若 θ＝0°，则 a 与 b 同向；若 θ＝180°，则 a 与 b 反向；若 θ＝90°，则 a 与 b 垂直．
2．平面向量的数量积
定义
设两个非零向量 a，b 的夹角为 θ，则 |a||b|·cos_θ 叫做 a 与 b 的数量积，记作 a·b
投影
|a|cos_θ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影， |b|cos_θ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影
基底法
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适的一组基底，利用平面 向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积 的运算律和定义求解
坐标法
①已知或可求两个向量的坐标；
②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用 坐标法求数量积
题型 2 平面向量数量积的应用
【例
段 CD 的中点，则 AE AC ( )
A．0
B．2
C．4
D． 4 2
【跟踪训练
1-2】（2020
春•道里区校级期末）已知
a
，
b
满足
|
a
||
b
|
2
，
a
，
b
的夹角为
120
，则
ab
．
【名师指导】
求非零向量 a，b 的数量积的 3 种方法
方法
适用范围
定义法
已知或可求两个向量的模和夹角