任意角的三角函数-PPT课件
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任意角的三角函数-课件1PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
m5
m5
m ________．
（4）若角 旳终边过点 Pa，8，且 cos 3 ，
5
则 a ________．
（5）角 旳终边在直线 y 2x上，求 旳六个三
角函数值．
正弦上为正， 余弦右为正， 正切余切一三正， 其他为负不为正
例２:
1、判断下列各三角函数旳符号 A.260 B. 4 C. 672 10 D.11 3
2、若sin 0且 tan 0，那么是第几象限角？
3、已知是第三象限角，试判定： sin( cos ) cos(sin )的符号
练习:
（1）若角 终边上有一点P 3，0，则下列函数值不
§1.2.1 任意角旳三角函数
设 是任意角， 旳终边上任意一点 P旳坐标是x，y，
当角 在第一、二、三、四象限时旳情形，它与原点
旳距离为 r ，则 r x 2 y 2 x2 y2 0 ．
任意角旳三角函数
1、定义：
①比值 y 叫做 旳正弦，记作sin ，即 sin y ．
r
r
x
②比值
叫做
旳余弦，记作cos ，即cos
Байду номын сангаас
x
．
r
r
③比值 y 叫做 旳正切，记作tan，即 tan y ．
x
x
④比值 x 叫做 旳余切，记作cot ，则 cot x ．
y
y
⑤比值 r 叫做 旳正割，记作sec ，则 sec r ．
x
x
⑥比值 r 叫做 旳余割，记作csc ，则csc r ．
y
y
我们把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都 看成是以角为自变量，以比值为函数值旳函数，以上 六种函数统称三角函数．
任意角和弧度制及任意角的三角函数ppt课件
(2)在0～2π范围内，终边在直线y＝ 3 x上的角有两
个：π3 、4π 3 .
π 因此，终边在直线y＝ 3x上的角的集合为{α|α＝ 3 ＋2k
π，k∈Z}∪{α|α＝
4π 3
＋2kπ，k∈Z}＝{α|α＝
π 3
＋kπ，
k∈Z}．
工具
第三章 三角函数、解三角形
栏目导引
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
(1)如果角α是第三象限角，那么角－α，π－α，π ＋α的终边在第几象限？
(2)写出终边落在直线y＝ 3x上的角的集合．
工具
第三章 三角函数、解三角形
栏目导引
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
1．角的有关概念
角的特点 从运动的角度看 从终边位置来看
角的分类 角可分为 正角、 负角 和 零角 . 可分为 象限角 和轴线角
α与β角的终边相同
5 ． 若 α ＝ k·180° ＋ 45° ， k∈Z ， 则 α 为 第 ________ 象 限 角．
解析： 当k＝2n时，α＝n·360°＋45°， 当k＝2n＋1时，α＝n·360°＋225°， ∴α为第一或第三象限角． 答案： 一或三
工具
第三章 三角函数、解三角形
栏目导引
高中数学《任意角三角函数的定义》课件
二 用有向线段表示三角函数
例3求出的各三角函数在各象限内的符号可用图5.2-6来直观表示：
(1)
(2)
图5.2-6
(3)
请用三角函数的定 义说明正弦、余弦、正 切在各个象限内的符号.
二 用有向线段表示三角函数
例 4 设sin θ <0且tan θ >0，确定θ是第几象限的角. 解 因为sin θ<0，
过点P作x轴的垂线，垂足为D，则在
Rt△OPD中，三边OP，OD，DP之长分别
为r，x，y.
由锐角三角函数的定义有：
sin y ，cos x ，tan y .
r
r
x
图5.2-1
一
用比值定义三角函数
若在角α的终边OM上另取一点P′(x′，y′)，按照同样的方法构造直角三角形， 由相似三角形的知识可以知道：对于确定的角α，上述三个比值不会随点P在α的 终边上的位置的变化而变化.因此，把锐角放在直角坐标系中，锐角的三角函数 （正弦、余弦、正切）可以用终边上不同于原点的任意一点的坐标来表示.
将DP看作有方向的线段，D为起点，P为终点：当它指向y轴的正方向时，取
正实数值y；当它指向y轴的负方向时，取负实数值y；当它的长度为0时，取零
值．在所有的情况下都有
DP＝y＝sin α.
由于直角坐标系内点的 坐标与坐标轴的方向有关， 以坐标轴的方向来规定有向 线段的方向，使得它们的取 值与点P的坐标一致.
解 x＝4，y＝－3，则r＝ 42 32 ＝5，
所以 sin y 3 3 ，
r5 5
cos x 4 ，
r5
tan y 3 3 .
x4 4
图5.2-3
一
用比值定义三角函数
任意角的三角函数 课件
10m 10
当m<0时,|OP|=10 m ＝－ 10m， 则sinα= m ＝－ 10 .
－ 10m 10
【方法技巧】利用三角函数的定义求值的策略 (1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时,常 用的解题方法有以下两种: ①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后利用 三角函数的定义求出相应的三角函数值.
任意角的三角函数
1.任意角的三角函数的定义 在单位圆中,α是任意一个角,它的终边与单位圆交于 点P(x,y),如图所示:
则有sinα=_y_;cosα=_x_;tanα=__xy__.
2.三角函数值的符号 如图所示:
正弦_一__、__二__正,_三__、__四__负;余弦_一__、__四__正, _二__、__三__负;正切_一__、__三__正,_二__、__四__负.
【解析】1.tanα>0,则α为第一或第三象限 角,sinα<0,则α为第三或第四象限角或终边落在y轴 的负半轴上,所以α为第三象限角. 答案:三
2.(1)因为125°角是第二象限角,所以tan125°<0; 因为273°是第四象限角,所以sin273°<0, 所以tan125°·sin273°>0,式子符号为正.
所以sinα= 4.
5
【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处. 提示:错误的根本原因是忽视对点的坐标中的参数进行 分类讨论.实际上本题中要分x=0和x≠0两种情况讨论.
【自我纠正】点P(x,4)到原点的距离 r x2 16， (1)当x=0时,cosα=0,r=4. 由三角函数的定义,有 sin＝4 1.
(2)因为 5是第三象限角, 是4第二象限角, 是11
4
5
6
第四象限角,所以sin 5< 0,cos 4<0,tan <110,
当m<0时,|OP|=10 m ＝－ 10m， 则sinα= m ＝－ 10 .
－ 10m 10
【方法技巧】利用三角函数的定义求值的策略 (1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时,常 用的解题方法有以下两种: ①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后利用 三角函数的定义求出相应的三角函数值.
任意角的三角函数
1.任意角的三角函数的定义 在单位圆中,α是任意一个角,它的终边与单位圆交于 点P(x,y),如图所示:
则有sinα=_y_;cosα=_x_;tanα=__xy__.
2.三角函数值的符号 如图所示:
正弦_一__、__二__正,_三__、__四__负;余弦_一__、__四__正, _二__、__三__负;正切_一__、__三__正,_二__、__四__负.
【解析】1.tanα>0,则α为第一或第三象限 角,sinα<0,则α为第三或第四象限角或终边落在y轴 的负半轴上,所以α为第三象限角. 答案:三
2.(1)因为125°角是第二象限角,所以tan125°<0; 因为273°是第四象限角,所以sin273°<0, 所以tan125°·sin273°>0,式子符号为正.
所以sinα= 4.
5
【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处. 提示:错误的根本原因是忽视对点的坐标中的参数进行 分类讨论.实际上本题中要分x=0和x≠0两种情况讨论.
【自我纠正】点P(x,4)到原点的距离 r x2 16， (1)当x=0时,cosα=0,r=4. 由三角函数的定义,有 sin＝4 1.
(2)因为 5是第三象限角, 是4第二象限角, 是11
4
5
6
第四象限角,所以sin 5< 0,cos 4<0,tan <110,
任意角三角函数的定义课件(共29张PPT)
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
所以当α不变时，这三个比值 x , y , y ，不论点P在α的
rrx
终边上的位置如何，它们都是定值，只依赖于α的大小，
数学
基础模块（上册）
第五章 三角函数
5.2.1任意角三角函数的定义
人民教育出版社
第五章 三角函数 5.2.1 任意角三角函数的定义
学习目标
知识目标 能力目标
理解锐角三角函数、任意角的三角函数（余弦函数、正弦函数、正切函数） 的概念.理解单位圆、三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）的概念
学生运用分组探讨、合作学习，掌握正弦、余弦与正切在各象限的符号特征， 明确利用三角函数线求解角的正弦、余弦和正切值的方法，提高学生的数学 运算能力
2
2
2
巩固练习，提升素养 在在活初初动中中3，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
例3 求 5 正弦、余弦和正切值.
6
解 如图5-11所示，在的终边上取点P，使OP=2．作
，
cos x 2 2 13 ，
r 13 13
tan
y x
3 2
.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
例 2 求下列各角的正弦、余弦和正切值. （1）0；（2）π；（3） 3 .
任意角的三角函数PPT优秀课件
2.确定下列三角函 符数 号值 ：的
(1)sin256;
(2)cos(406);
23
(3)tan .
3
3.角 的终边 P (上 m ,5)且 ,有 co 一 sm (点 m 0),
13
求 sin co 值 s.
小结： 1．任意角的三角函数的定义； 2．三角函数的定义域； 3．正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号．
1．2．1任意角的三角函数（1）
问题1:你能回忆一下初中里学过的锐角三角函数(正弦, 余弦,正切)的定义吗?
在RtPO中 M
如何 将POM 放到平面直角 坐标系中？
sin PM
P
OP
co sOM OP
tanPM OM
O
M
锐角三角函数
问题2：将POM 放到平面直角坐， 标系中
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
(1)cos 7 ; (2)sin4(6)5; (3)tan11 .
12
3
解： (1) 7 是第二象限角 co， s7所 0.以
12
12
(2) 因为 4652360225,即465是第三象限角，所 sin(465)0.
(3) 因为 1125,即11 是第四象 ,所限 以角
中职数学4.3 任意角的三角函数课件
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
例5 已知cos＞0, 且tan ＜0, 试确定角 是第几象限角．
解 因为cos＞0, 所以角 可能是第一或第四象限角, 也
可能终边在 x 轴的正半轴上.
又因为tan＜0，所以角 可能是第二或第四象限角． 故满足cos＞0且tan＜0的角 是第四象限角．
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
0°角、180°角、270°角和360°角的正弦、余弦和正切值
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
例4 判断下列各三角函数值的符号.
解 (1) 因为−325°＝35°−360°，所以－325°角是第一象限角， 故sin(−325°)＞0； (2)
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
4.3.2 单位圆与三角函数
练习
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
1. 判断下列三角函数值的符号：
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
30°角的终边与单位圆的交点坐标可以表示为_______. 60°角的终边与单位圆的交点坐标可以表示为_______. 120°角的终边与单位圆的交点坐标可以表示为______.
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
例3 求90°角的正弦、余弦和正切. 解 90°角的终边与单位圆的角的交点坐标为(0,1) ， 所以 sin90°=1, cos90°=0, tan90°不存在.
苏教版高中数学必修第一册《7.2.1任意角的三角函数》精品课件
，是第四象限角，所以
−° < .
< .
设计意图：判断三角函数值的正负，是本章中的一项重要的知识、技能要求要引导学生
抓住定义、数形结合，利用总结出的符号法则，判断和记忆三角函数值的正负符号，这
也是理解和记忆的关键.
典例剖析
例4、画出下列角的正弦线、余弦线、正切线：
义自主探索确定三角函数的定义域，有利于在理解的基础上记住它、应用它，也增进了
对三角函数概念的掌握.
典例剖析
例1、已知角的终边经过点(, −ሻ，求的正弦值、余弦值、正切值.
分析
这是教材上的例题，是定义的直接应用若已知角的终边上一点的坐标，则可直接利用定义
求三角函数值.
解析
因为角的终边过点(, −ሻ，所以 = ， = ， =
数为自变量的函数通过分析三角函数线，让学生归纳总结出三角函数的定义域：
= sin和 = cos的定义域都为, = tan的定义域为 ∣ ≠ + , ∈ .
2
教师指出：分析sin, cos, tan的定义域时必须紧扣三角函数定义，在理解的基础上
记熟.
设计意图：定义域是函数的三要素之一，研究函数必须明确定义域.指导学生根据定
学生小组合作，作图分析.
问题4：对于确定的角，这三个比值是否与点P在的终边上的位置有关？为什么？
先让学生想象思考，作出主观判断，再进行小组交流，产生思维碰撞，联系相似三角
形知识，探索发现：对于锐角的每一个确定值，比值都是确定的，不会随点P在终边上
的移动而变化（如图）.
情境引入
得出结论（强调）：当为锐角时，比值随的变化而变化；但对于锐角的每一个确
任意角的三角函数ppt
sin MPb
OP r
MP b OP r a 2 b 2
c os OMa
OP r
y
﹒Pa,b
tan MPb
OM a
o
﹒
Mx
如果改变点Ｐ在终边上的位置， 这三个比值会改变吗？
M
﹒
P
O
x
P(a,b)
M
∽ OMP
y 探究
3.锐角三角函数（在单位圆中）
若OPr1，则
以原点O为圆心，以单位
长度为半径的圆，称为单位圆.
r
tan yx0
x
任意角 的三角函数值仅与 有关，而与P点 在
角的终边上的位置无关.
练习 1、已知角 的终边过P12,5
点
，
求
的三个三角函数值.
解：由已知可得：
rx2y212 25213
于是，sin y 5
r 13
tan y 5
x 12
c os x 12
r 13
2 、 已 知 角 的 终 边 上 一 点 P 1 5 a , 8 a a R 且 a 0 ，
的正弦、余弦和正切值 .
，求角
解:由已知可得 O0P (3)2(4)25
设角
的终边与单位圆交于 P(x, y)
y
，
分别过点
、P P0作 x 轴的垂线MPM 0 P、0
M0 M O
x
M0P0 4
OMx
Px, y
OM0 3
MPy
OMP∽ OM0P0
P03,4
于是， s in yy|M| P M 0P 04;
（2） 正弦、余弦总有意义.当 的终边在 y轴上时，点P 的
横坐标等于0， tan y 无意义，此时 k(kz).
高中数学第一章三角函数1.2.1.1三角函数的定义省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
探究二
探究三
(1)解析:依题意,x2+
5
3
2
3
α=± ,tan α=
2
3
答案:
5
±3
5
±3
思维辨析
2 2
=1,解得
3
5
x=± 3 ,于是
2
sin α=3,cos
2 5
.
5
=±
2 5
5
±
(2) 解析:由已知得 x=-6,y=8,
8
10
所以 r= 2 + 2 =10,于是 sin θ=
8
-6
4
4
一
二
三
3.做一做:求值
(1)sin 780°;
25
(2)cos 4 π;
(3)tan
15
-4π
.
3
2
解:(1)sin 780°=sin(2×360°+60°)=sin 60°= .
25
π
π
2
(2)cos 4 π=cos 3 × 2π + 4 =cos4 = 2 .
15
π
π
(3)tan - 4 π =tan -2 × 2π + 4 =tan4=1.
第27页
探究一
探究二
探究三
思维辨析
忽视对参数的分类讨论致误
【典例】 角 α 的终边过点 P(-3a,4a),a≠0,则 cos
α=
.
错解因为 x=-3a,y=4a,所以 r= (-3)2 + (4)2 =5a,于是 cos
-3 3
α= 5 =-5.
错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?
高中数学人教版A版必修4《任意角的三角函数》优质PPT课件
第一章 三角函数
§1.2 任意角的三函数
明目标、知重点
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义， 了解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、 正切函数在各象限内的符号. 3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同 角的同一三角函数值相等.
明目标、知重点
(2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°. 解 原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋ cos (－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°) ＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°
明目标、知重点
(2)cos α＝xr(r>0)，因此cos α的符号与x的符号相同，当α的终边 在第一、四象限时，cos α>0；当α的终边在第二、三象限时， cos α<0. (3)tan α＝yx，因此tan α的符号由x、y确定，当α终边在第一、三 象限时，xy>0，tan α>0；当α终边在第二、四象限时，xy<0， tan α<0.
明目标、知重点
当堂测·查疑缺
1234
1.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( D )
4
3
A.5
B.5
C.－35
D.－45
解析 因为角 α 的终边经过点(－4,3)，所以 x＝－4，y＝3，r＝5，
所以 cos α＝xr＝－45.
§1.2 任意角的三函数
明目标、知重点
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义， 了解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、 正切函数在各象限内的符号. 3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同 角的同一三角函数值相等.
明目标、知重点
(2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°. 解 原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋ cos (－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°) ＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°
明目标、知重点
(2)cos α＝xr(r>0)，因此cos α的符号与x的符号相同，当α的终边 在第一、四象限时，cos α>0；当α的终边在第二、三象限时， cos α<0. (3)tan α＝yx，因此tan α的符号由x、y确定，当α终边在第一、三 象限时，xy>0，tan α>0；当α终边在第二、四象限时，xy<0， tan α<0.
明目标、知重点
当堂测·查疑缺
1234
1.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( D )
4
3
A.5
B.5
C.－35
D.－45
解析 因为角 α 的终边经过点(－4,3)，所以 x＝－4，y＝3，r＝5，
所以 cos α＝xr＝－45.
应用数学基础课件第三章任意角的三角函数
我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度角， 记作 lrad 或 1 弧度,”弧度”用符号”rad”(radian 的缩写)来表示. 这种以”弧度”为单位来度量角的制度称为弧度制.
如图3-5所示． 设圆的半径为R, AB的长度等于
R, AD的长度等于2R, AC的长度等 于 R ,则有 :
2360 2101650944.
例6 写出终边落在下列坐标轴上的角的集合. (1) x轴的非负半轴; (2) x轴; (3) y轴的非正半轴.
解 (1) 终边落在 x轴的非负半轴上的角的集合为:
S= | k 360 , k Z ;
(2) 终边落在 x轴上的角的集合为:
S |k180,kZ;
1020 3360 60
k360 60(kZ)
我们把具有共同的始边和终边的角,称为终边相同的角.若
角 的终边绕着其顶点按逆时针方向旋转 n 圈时,就形成了 n360 的角,按顺时针方向旋转 n 圈,就形成-n360 的角,所 有这些角都具有相同的终边.因此,所有与角 终边相同的角,包
括角 在内,有无穷多个,可用统一的式子表示:k 360 (kZ) ,若
2
B D
C R
O
R
A
AB 所对的圆心角AOB1rad AD 所对的圆心角 AOD 2rad
AC所对的圆心角AOC 1rad
2
图3-5 弧度制示意
一般地, 设圆的半径为R,圆弧长为l , 该弧所对的圆心角为
,则有 :
l
R
3 1
即圆心角的弧度数的绝对值等于该角所对的弧长与圆半 径长之比.(!本公式中圆心角必须用弧度制,不能用角度制!)
如图3-4 所示
y
y
150
如图3-5所示． 设圆的半径为R, AB的长度等于
R, AD的长度等于2R, AC的长度等 于 R ,则有 :
2360 2101650944.
例6 写出终边落在下列坐标轴上的角的集合. (1) x轴的非负半轴; (2) x轴; (3) y轴的非正半轴.
解 (1) 终边落在 x轴的非负半轴上的角的集合为:
S= | k 360 , k Z ;
(2) 终边落在 x轴上的角的集合为:
S |k180,kZ;
1020 3360 60
k360 60(kZ)
我们把具有共同的始边和终边的角,称为终边相同的角.若
角 的终边绕着其顶点按逆时针方向旋转 n 圈时,就形成了 n360 的角,按顺时针方向旋转 n 圈,就形成-n360 的角,所 有这些角都具有相同的终边.因此,所有与角 终边相同的角,包
括角 在内,有无穷多个,可用统一的式子表示:k 360 (kZ) ,若
2
B D
C R
O
R
A
AB 所对的圆心角AOB1rad AD 所对的圆心角 AOD 2rad
AC所对的圆心角AOC 1rad
2
图3-5 弧度制示意
一般地, 设圆的半径为R,圆弧长为l , 该弧所对的圆心角为
,则有 :
l
R
3 1
即圆心角的弧度数的绝对值等于该角所对的弧长与圆半 径长之比.(!本公式中圆心角必须用弧度制,不能用角度制!)
如图3-4 所示
y
y
150
任意角的三角函数-优质PPT
o
X
M
栏目
导引
诱思 探究
第一章 三角函数
如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
Y
sin MP M P
OP
OP
P(a,b)
P cos OM OM
OP
OP
tan MP M P
a
OM OM
O
M
M
X
栏目
导引
第一章 三角函数
1．2.1 任意角的三角函数
栏目 导引
第一章 三角函数
3.诱导公式
终边相同的角的同一三角函数的值__相__等__， 即 sin(α＋k·2π)＝___s_i_n_α___； cos(α＋k·2π)＝___c_o_s_α___； tan(α＋k·2π)＝___t_a_n_α___，其中k∈Z.
栏目 导引
第一章 三角函数
做一做 3.已知sin 5.1°＝m，则sin365.1°＝_____． 解析：sin 365.1° ＝sin(5.1°＋360°) ＝sin 5.1°＝m. 答案：m
第一章 三角函数
1．2 任意角的三角函数
栏目 导引
新课 导入
第一章 三角函数
在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
其中:
OM a
MP b
OP r a2 b2
Y
﹒Pa, b
sin MP b（对）
OP r（斜）
c os OM a（邻）
OP
r（斜）
tan MP b（对）
OM a（邻）
栏目 导引
第一章 三角函数
诱导公式一的应用
例3 求下列三角函数值：
(1)sin－467π； (2)tan265π.
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作业：P23习题1.2A组 1、2、3
摩天轮有个美丽的传说，当摩天轮转到最高 点时许下的愿望一般能实现，你能求出小明 从最低点出发，当摩天轮逆时针转动第一次 到达最高点许愿时转过的角的正弦、余弦、 正切值吗?
6、回顾小结、建构网络
1、你学了什么？ 2、你学会了什么？ 3、你学的最好的地方？ 4、你还有哪些疑惑的地方？
解： 由已知得 x 2 y 3
op r 22 (3)2 13
y 3 3 13
sin r
13
ห้องสมุดไป่ตู้
13
x 2 2 13
cos
r 13 13
y3
tan
x2
5、归纳总结，提升认识
1.求 7 的正弦,余弦和正切值.
6
2.已知角α的终边上有一点P（2，-3），求 角α的正弦、余弦、正切值。
数学的定义要严谨， 数学的定义要科学，数学 的定义要合理， 数学概念也是有“生命的”.
问题3：随着摩天轮的转动，角度也不知不觉地推广到 了任意角，对任意角，其正弦函数sin如何定义？
探 究1
用点P(x,y)表示角α的函数，
y r
,
rx是, xy否
因为P 点在终边上的位置发生变化而变化？
y
OMP ∽ OMP
P
P1
结论:三个比值都不会
随点P在α终边上的位
置变化而改变.
o
M1 M x
探 究2
4、巩固提升，深化概念
求
5
3
的正弦,余弦和正切值.
解：设
5
3
与单位圆的交点为P
y
由已知得 OP=1
p(
1 2
,
3 2
)
sin 5 y 3
3
2
cos 5 x 1
3
2
tan 5 y 3
3x
5
3
1
O
2
r 1
60
3
2
Ax
P
(
1 2
,
3 2
)
已知角α的终边上有一点P（2，-3），求角α的正 弦、余弦、正切值。
y
o
x
1、引 入
东升西落照苍穹， 影短影长角不同。 昼夜循环潮起伏， 冬春更替草枯荣。
日出日落，冬去春来，自然界中存在许多“按一定 规律周而复始”的现象，我们把它们称为周期现象.
周期现象与周期运动有关，一个简单的例子就是： 圆周上一点的旋转运动.
2、创设情境、选择模型
2、创设情境、选择模型
y
10m
P1
30
0
MP x
20m
问题1：如图，摩天轮的半径为10m，中心O离地 面为20m，现在小明坐上了摩天轮，并从点P开始 以每秒1度的速度逆时针转动，当转动30秒后小明 离地面的高度h是多少h？ 20 +10sin
情境—选择数学模型
y
10m
0
20m
P1
MP x
问题2：设转动度后小明离地面的高度为h, 为00～ 900,试着写出h和的关系式。 h 20 +10sin
sin y α 的取值范围: R P( x, y)
α
x 叫做α的余弦
O
0
x
cos x α 的取值范围: R
y 叫做α的正切
x
tan
y x
α 的取值范围:
{
|
k
2
,
k
Z}
如果知道任意角终边上一点M(x,y),而这个点不是 终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?
r x2 y2
sin y
当点P(x,y)满足r =1时, 正弦、余弦、正切函数 值会有什么样的结果？
y 的终边
P(x,y)
O
α
M
A(1,0)
x
sin y r
cos x r
tan y
x
sin α y
r=1
cos x
tan y
x
任意角的三角函数定义
设α是一个任意角,它的终
边与单位圆交于点P(x,y)，则:
y
y 叫做α的正弦
x2 y2
cos x
x2 y2
y
M(x,y) 1
01
x
tan y
x
(x 0)
y sin x 定义域： R
y cos x y tan x
定义域： R
定义域：{x | x k , k Z}
2
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位 圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。
————三角函数
摩天轮有个美丽的传说，当摩天轮转到最高 点时许下的愿望一般能实现，你能求出小明 从最低点出发，当摩天轮逆时针转动第一次 到达最高点许愿时转过的角的正弦、余弦、 正切值吗?
6、回顾小结、建构网络
1、你学了什么？ 2、你学会了什么？ 3、你学的最好的地方？ 4、你还有哪些疑惑的地方？
解： 由已知得 x 2 y 3
op r 22 (3)2 13
y 3 3 13
sin r
13
ห้องสมุดไป่ตู้
13
x 2 2 13
cos
r 13 13
y3
tan
x2
5、归纳总结，提升认识
1.求 7 的正弦,余弦和正切值.
6
2.已知角α的终边上有一点P（2，-3），求 角α的正弦、余弦、正切值。
数学的定义要严谨， 数学的定义要科学，数学 的定义要合理， 数学概念也是有“生命的”.
问题3：随着摩天轮的转动，角度也不知不觉地推广到 了任意角，对任意角，其正弦函数sin如何定义？
探 究1
用点P(x,y)表示角α的函数，
y r
,
rx是, xy否
因为P 点在终边上的位置发生变化而变化？
y
OMP ∽ OMP
P
P1
结论:三个比值都不会
随点P在α终边上的位
置变化而改变.
o
M1 M x
探 究2
4、巩固提升，深化概念
求
5
3
的正弦,余弦和正切值.
解：设
5
3
与单位圆的交点为P
y
由已知得 OP=1
p(
1 2
,
3 2
)
sin 5 y 3
3
2
cos 5 x 1
3
2
tan 5 y 3
3x
5
3
1
O
2
r 1
60
3
2
Ax
P
(
1 2
,
3 2
)
已知角α的终边上有一点P（2，-3），求角α的正 弦、余弦、正切值。
y
o
x
1、引 入
东升西落照苍穹， 影短影长角不同。 昼夜循环潮起伏， 冬春更替草枯荣。
日出日落，冬去春来，自然界中存在许多“按一定 规律周而复始”的现象，我们把它们称为周期现象.
周期现象与周期运动有关，一个简单的例子就是： 圆周上一点的旋转运动.
2、创设情境、选择模型
2、创设情境、选择模型
y
10m
P1
30
0
MP x
20m
问题1：如图，摩天轮的半径为10m，中心O离地 面为20m，现在小明坐上了摩天轮，并从点P开始 以每秒1度的速度逆时针转动，当转动30秒后小明 离地面的高度h是多少h？ 20 +10sin
情境—选择数学模型
y
10m
0
20m
P1
MP x
问题2：设转动度后小明离地面的高度为h, 为00～ 900,试着写出h和的关系式。 h 20 +10sin
sin y α 的取值范围: R P( x, y)
α
x 叫做α的余弦
O
0
x
cos x α 的取值范围: R
y 叫做α的正切
x
tan
y x
α 的取值范围:
{
|
k
2
,
k
Z}
如果知道任意角终边上一点M(x,y),而这个点不是 终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?
r x2 y2
sin y
当点P(x,y)满足r =1时, 正弦、余弦、正切函数 值会有什么样的结果？
y 的终边
P(x,y)
O
α
M
A(1,0)
x
sin y r
cos x r
tan y
x
sin α y
r=1
cos x
tan y
x
任意角的三角函数定义
设α是一个任意角,它的终
边与单位圆交于点P(x,y)，则:
y
y 叫做α的正弦
x2 y2
cos x
x2 y2
y
M(x,y) 1
01
x
tan y
x
(x 0)
y sin x 定义域： R
y cos x y tan x
定义域： R
定义域：{x | x k , k Z}
2
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位 圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。
————三角函数