向量内积的坐标表示
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7.3.2 内积的坐标表示
1
复习回顾
向量的内积
a b a b cos
cos a b
| a || b |
a⊥b a ·b=0 (判断两向量垂直的依据)
运算律： 1．a b b a
2．ab a b a b 3． a bc a c bc
③ j i ___0___ ④ j j __1___ 由于a=（x1，y1）， b =（x2，y2）
故ab x1i y1 j x2i y2 j
x1x2i 2 x1 y2i j x2 y1i j y1 y2 j2 x1x2 y1 y2 两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和，即
AC 2 1,5 2 3,2 ∴ AB AC 1 313 0
ABC 是直角三角形.
试一试：教材40页习题7.3第6题
分析:
例4:已知 a 1,2,b 3,2当k取何值时,
1). k a b 与 a 3b 垂直? 2).k a b 与 a 3b 平行? 平行时它们是同向还是反向?
探究新知
在直角坐标系中已知两个非零向量a=（x1，y1）， b =（x2，y2），
a b (x1 x2 , y1 y2 )
a b (x1 x2 Nhomakorabea y1 y2 )
a ( x1, y1)
如何用a 与b的坐标表示
a•
b
呢
？
向量内积的坐标表示
单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同，求 ① i i __1___ ② i j ___0___
a b x1x2 y1 y2
性质
（1）设a =（x，y），则 | a |2 x2 y2 或|a |= x2 y2 .
若设Ax1, y1、Bx2, y2 则 AB x2 x12 y2 y12
即平面内两点间的距离公式．
（2）写出向量夹角公式的坐标式，向量平行和垂直的坐
其中假命题序号是: ⑵
4.若a 0,1,b 1,1且 a b a,则实数的值是 （A）
A．-1 B.0 C.1 D.2
标表示式. cos
x1 x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
a // b x1 y2 x2 y1 0
a b x1x2 y1 y2 0
考点1：已知两向量坐标，求两向量的 内积、向量的模及夹角
r
r
r r r r rr
例1．设 a 1, 2 ， b 3,1 ，求 a •.b, a , b , a,b
B.a b
C.a平行b a b
3.设向量a x1, y1,b x2, y2 ,有下列命题: 1a
D.a b 0
x12 y12 ,
2b2 x22 y22 , 3a b x1x2 y1 y2, 4a b x1x2 y1 y2 0
解：
rr a • b 1 (3) 2 1 5
r rr a a • a (1)2 22 5 r rr b b • b (3)2 12 10
rr cos a,b
所以
x1x2 y1 y2
x12 y12 x22 y22
rr
a,b 45
由k 310 2k 2 4 0 解得k=19
2) 当ka b与a 3b平行时,存在唯一实数, 使ka b a 3b
得
k 1 3
k 1 3
因此k 1时, ka b与a 3b平行, 此时它们方向相反。
5 2 5 10 2
考点2：已知两向量坐标，判断两向量是否垂直
a b x1x2 y1 y2 0
课堂练习：教材40页练习7.3.2第1--5题
考点3：已知三角形顶点坐标，判断三角形形状
例2．已知A1,2，B2,3 ，C 2,5，求证ABC 是直角三角形. 证明：∵ AB 2 1,3 2 1,1
3
试一试
1.有四个式子: 10 a 0,20 a 0, 3a b a c b c,
4a b a b ,其中正确的个数为: D
A. 4个
B.3个
C. 2个 D.1个
2.已知a,b均为单位向量,下列结论正确的是: B
A.a b 1
2
2
由已知启发我们先用坐标表示向量k a b和a 3b
然后用两个向量平行和垂直的充要条件来解答。
解：1） ka b k1,2 3,2 k 3,2k 2
a 3b 1,233,2 10,4
当ka b a 3b 0时 这两个向量垂直
1
复习回顾
向量的内积
a b a b cos
cos a b
| a || b |
a⊥b a ·b=0 (判断两向量垂直的依据)
运算律： 1．a b b a
2．ab a b a b 3． a bc a c bc
③ j i ___0___ ④ j j __1___ 由于a=（x1，y1）， b =（x2，y2）
故ab x1i y1 j x2i y2 j
x1x2i 2 x1 y2i j x2 y1i j y1 y2 j2 x1x2 y1 y2 两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和，即
AC 2 1,5 2 3,2 ∴ AB AC 1 313 0
ABC 是直角三角形.
试一试：教材40页习题7.3第6题
分析:
例4:已知 a 1,2,b 3,2当k取何值时,
1). k a b 与 a 3b 垂直? 2).k a b 与 a 3b 平行? 平行时它们是同向还是反向?
探究新知
在直角坐标系中已知两个非零向量a=（x1，y1）， b =（x2，y2），
a b (x1 x2 , y1 y2 )
a b (x1 x2 Nhomakorabea y1 y2 )
a ( x1, y1)
如何用a 与b的坐标表示
a•
b
呢
？
向量内积的坐标表示
单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同，求 ① i i __1___ ② i j ___0___
a b x1x2 y1 y2
性质
（1）设a =（x，y），则 | a |2 x2 y2 或|a |= x2 y2 .
若设Ax1, y1、Bx2, y2 则 AB x2 x12 y2 y12
即平面内两点间的距离公式．
（2）写出向量夹角公式的坐标式，向量平行和垂直的坐
其中假命题序号是: ⑵
4.若a 0,1,b 1,1且 a b a,则实数的值是 （A）
A．-1 B.0 C.1 D.2
标表示式. cos
x1 x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
a // b x1 y2 x2 y1 0
a b x1x2 y1 y2 0
考点1：已知两向量坐标，求两向量的 内积、向量的模及夹角
r
r
r r r r rr
例1．设 a 1, 2 ， b 3,1 ，求 a •.b, a , b , a,b
B.a b
C.a平行b a b
3.设向量a x1, y1,b x2, y2 ,有下列命题: 1a
D.a b 0
x12 y12 ,
2b2 x22 y22 , 3a b x1x2 y1 y2, 4a b x1x2 y1 y2 0
解：
rr a • b 1 (3) 2 1 5
r rr a a • a (1)2 22 5 r rr b b • b (3)2 12 10
rr cos a,b
所以
x1x2 y1 y2
x12 y12 x22 y22
rr
a,b 45
由k 310 2k 2 4 0 解得k=19
2) 当ka b与a 3b平行时,存在唯一实数, 使ka b a 3b
得
k 1 3
k 1 3
因此k 1时, ka b与a 3b平行, 此时它们方向相反。
5 2 5 10 2
考点2：已知两向量坐标，判断两向量是否垂直
a b x1x2 y1 y2 0
课堂练习：教材40页练习7.3.2第1--5题
考点3：已知三角形顶点坐标，判断三角形形状
例2．已知A1,2，B2,3 ，C 2,5，求证ABC 是直角三角形. 证明：∵ AB 2 1,3 2 1,1
3
试一试
1.有四个式子: 10 a 0,20 a 0, 3a b a c b c,
4a b a b ,其中正确的个数为: D
A. 4个
B.3个
C. 2个 D.1个
2.已知a,b均为单位向量,下列结论正确的是: B
A.a b 1
2
2
由已知启发我们先用坐标表示向量k a b和a 3b
然后用两个向量平行和垂直的充要条件来解答。
解：1） ka b k1,2 3,2 k 3,2k 2
a 3b 1,233,2 10,4
当ka b a 3b 0时 这两个向量垂直