中考数学专题复习-轨迹问题

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中考数学专题复习-轨迹问题

E 中考数学核心知识专题复习----轨迹问题探究符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹六种常用的基本轨迹：①到已知线段的两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线。

②到已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线。

③到已知直线的距离等于定长的点的轨迹是与这条直线平行，且与已知直线的距离等于定长的两条直线。

④到两条平行线距离相等的点的轨迹是和这两条平行线平行且到这两条平行线距离相等的一条直线。

⑤到定点的距离等于定长的点轨迹是与定点为圆心，定长为半径的圆。

⑥和已知线段的两个端点的连线的夹角等于已知角的点的轨迹是以已知线段为弦，所含圆周角等于已知角的两段弧（端点除外）。

一、尺规作图：轨迹法确定动点位置1）已知∠AOB,求作点P，使得点P到角两边距离相等，且满足OP=22）已知∠AOB和直线L,在直线L上确定点P，使得使得点P到角两边距离相等3）已知∠AOB和线段CD,使得点P到角两边距离相等且满足PC=PD4)已知线段AB和直线L，在直线L上确定点P使得∠APB=600C AADO B OB1)2)LALO B A B3)4)二交轨法应用1.在正方形ABCD中，为AD边上一点，以BE边所在直线为折痕将∆ABE对折之∆PBE位置。

若AB=2，且PC=1.1)不全图形B2) 求 tan ∠ PCD 的值ADBC2．如图，在 △Rt ABC 中，∠CAB =90°，∠ACB=300，BC =8，D 为线段 AB 上的动点，过点 A 作 AH ⊥CD于点 H ，连接 BH ，则② 求 AB 的长②求 BH 的最小值。

AD HCB3．等边三角形 ABC 的边长为 6，在 AC ，BC 边上各取一点 E ，F ，连接 AF ，BE 相交于点 P ．且 AE =CF ；（1）求证：AF =BE ，并求∠APB 的度数；（2）若 AE =2，试求 AP AF 的值；（3）当点 E 从点 A 运动到点 C 时，试求点 P 经过的路径长．4．如图，以 G （0，1）为圆心，半径为 2 的圆与 x 轴交于 A ，B 两点，与 y 轴交于 C ，D 两点，点 E 为⊙G 上一动点， CF ⊥ AE 于 F ．当点 E 从点 B 出发顺时针运动到点 D 时，点 F 所经过的路径长yCGEAD5．如图，已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，求点G移动路径的长6.问题探究：（1）请在图①的正方形ABCD内，画出使∠APB=90°的一个点，并说明理由．（2）请在图②的正方形ABCD内（含边），画出使∠APB=60°的所有的点P，并说明理由．问题解决：（3）如图③，现在一块矩形钢板ABCD，AB=4，BC=3．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB 和△CP′D钢板，且∠APB=∠CP'D=60度．请你在图③中画出符合要求的点和，并求出△APB的面积（结果保留根号）．三、坐标系中的动点问题动点P(a,2)的运动轨迹是____________________________________________________动点P(a,a+2)的运动轨迹是__________________________________________________动点P（a,a2-2a）的运动轨迹是_________________________________________________1．在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，3），过点B作直线∥x轴，点P(a,3)是直线上的动点，以AP为边在AP右侧作等腰RtAPQ，∠APQ=90°，直线AQ交y轴于点C．yBOCPQA xD （1）当 a =1 时，求点 Q 的坐标（2）当点 P 在直线上运动时，点 Q 也随之运动．当 a = _______ 时，AQ +BQ 的值最小为 _________ ．△8．如图， AOB 是直角三角形，∠AOB =90°，OB =2OA ，1 点 A 在反比例函数 y的图象上．设点 B 的坐标xByA为 (m , n ) ，则 n 与 m 的等量关系是______________．O x3．如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点为，直线 y = kx +2 与 x 轴、y 轴分别交于 A 、B 两点，动点 D 在射线 AO 上，将线段 DB 绕着点 D 顺时针旋转 90°得到线段 DC ．设点 D 的横坐标为 m ．（1）请直接写出 B 点的坐标；（2）当 k 为何值时，四边形 ADCB 为平行四边形？yBC（△3）当 BOC 的周长最小时，求 m 的值．AO x。

中考数学复习轨迹和作图2[人教版]

4.如图，已知AB是⊙O的直径，AC 是弦，AB=2，AC=√2，在图中画出弦AD，使AD=1，并求出∠CAD的 C 度数. D’ E
A
O F
B
D
5. 如图,一根竹竿(AB)长2m,斜靠在墙壁(AC)上,∠ABC=600.如图竿端A,B分别沿AC,CB方向滑动至A’,B’,且 AA’=(√3-√2)m,问竹 A 竿的中点D随之运 A’ 动所经过的路程是多少? D D’ C
2.如图，如果⊙O的周长为20πcm，有两同样大小的小球A、B，其半径为2cm，小球A沿⊙O的内壁滚动，小球B沿⊙O外壁滚动， B 小球B转动几圈后回到原来位 A 置，小球A要转 O 不同方案，将直角三角形分割成四个小三角形，使得每个三角形与原直角三角形相似.
600
B
B’
6.如图，已知直线a和直线a外的一点 P.求作一个半径等于定长r的圆，使它过点P，并和直线a相切. r
P
a
； / 河源整形医院河源整形美容河源激光整形美容河源医学整形整容望都无法实现，冰凝真是对自己又恨又恼，但她更痛恨这受制于人的王府生活。望着跳跃的烛火，冰凝感慨万千：只壹年的时间，竟然早已物是人非，沧海桑田，自己从壹各无忧无虑的小姑娘，变成壹各处处受气的小老婆。这么大的落差，实在是需要她用很长、很长的壹段时间来消化，来适应。无论做啥啊、想啥啊，冰凝仍是无法让自己的心情好起来，于是她狠狠地甩甩头，企图把这些不愉快的事情都甩掉，因为她实在不想再在这各问题上转圈圈。那就想点儿别的事情吧！可是，无论她怎么转念，这念想都要转到宝光寺上面。去年施粥的情景还历历在目，宝光寺残垣断壁的样子时时地浮现眼前。她太惦记宝光寺咯：庙宇重建得好不好？僧人们的生活苦不苦？香客们去得多不多？越想，却越是觉得不踏实。现在的她，无论有啥啊想法都是无济于事，被禁锢在王府中，既不能送去她的关心，也无法表达她的问候，她唯壹能做的，只是在这京城里，遥遥地为宝光寺祈福而已。王爷是参惮礼佛之人，因此王府里建有专门的佛堂――万安堂。看看沙漏，三更天都快要过完咯，佛堂应该没有人咯吧。于是冰凝唤来吟雪，两各人穿戴整齐，她要去佛堂给宝光寺烧几柱香。壹路走，她壹路怀念此前三各月独住府里的生活，只有她壹各主子，不用担心遇见这各，碰见那各，不用小心翼翼地怕被人寻咯短处。哪像现在，即使去各佛堂还要小心翼翼，躲到深更半夜。自由自在的日子真是越想越惬意，越想越令她怀念。顶着寒风，主仆两人深壹脚浅壹脚，相扶相伴地来到佛堂，果然不出冰凝所料，这各时辰，佛堂里壹各人都没有。自从众人从园子里回来，也只有在深更半夜，冰凝才能自由自在地做壹回自己。虔诚地焚上香，冰凝跪拜在佛祖面前，真诚地送上自己的祝福：祈求佛祖大慈大悲，祈求菩萨格外施恩，保佑寺院，保佑僧侣，保佑香客，保佑天底下所有的生灵……远远地见到佛堂里有人影晃动，王爷很是诧异，这各时辰，居然还会有人？怀着万分诧异的心情，待走近之后仔细定睛壹看，门口站着的，居然是怡然居的大丫环吟雪！他不是冰凝，作为政治嗅觉异常灵敏的他，在生活中也将这种物质发挥到咯极至，因此每壹各人他接触过的人，都会记得很清楚，即使是各丫环，他都记得。只是这各结果实在是大大出乎他的意料：竟然会是年氏在里面！犹豫咯壹下，最终还是决定进来，他是爷，难道他还需要怕啥啊人，还需要躲着谁吗？不过，他仍是先嗽咯壹下嗓子，算是提醒壹下她吧。他没有吓唬人的嗜好，而且，隐约地，他觉得像年氏这么柔弱的人，似乎只是壹阵风就能将她吹倒，假如凭白地受咯惊吓，估计就会立即晕倒在他的眼前咯。她要是昏倒咯，就需要他去扶她，甚至

2024年中考数学复习瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题以及逆向构造(原卷版+答案解析)

瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题以及逆向构造【专题说明】近些年的中考中，经常出现动点的运动轨迹类问题，通常出题以求出轨迹的长度或最值最为常见。

很多考生碰到此类试题常常无所适从，不知该从何下手。

动点轨迹问题是中考的重要压轴点.受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚,该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎,致使该压轴点成为学生在中考中失分的一个黑洞.掌握该压轴点的基本图形,构建问题解决的一般思路,是中考专题复习的一个重要途径.本文就动点轨迹问题的基本图形作一详述.动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型.其实初中阶段如遇求轨迹长度仅有2种类型：“直线型”和“圆弧型”（两种类型中还会涉及点往返探究“往返型”），对于两大类型该如何断定，通常老师会让学生画图寻找3处以上的点来确定轨迹类型进而求出答案，对于填空选择题而言不外乎是个好方法，但如果要进行说理很多考生难以解释清楚。

瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同．只要满足：1.两“动”，一“定”；2.两动点与定点的连线夹角是定角3.两动点到定点的距离比值是定值。

【引例】（选讲）如图，△APQ是等腰直角三角形，∠P AQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段．【模型总结】必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．结论：P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠P AQ（当∠P AQ≤90°时，∠P AQ等于MN与BC夹角）P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）如图，D 、E 是边长为4的等边三角形ABC 上的中点，P 为中线AD 上的动点，把线段PC 绕C 点逆时针旋转60°，得到P ’，EP ’的最小值【分析】结合这个例题我们再来熟悉一下瓜豆模型第一层：点P ’运动的轨迹是直线吗？第二层：点P ’的运动长度和点P 的运动长度相同吗？第三层：手拉手模型怎么构造？第四层：分析∠CAP 和∠CBP ’第五层：点P 和点P ’轨迹的夹角和旋转角的关系P'P'P'总共提到了3种处理方式： 1.找始末，定轨迹2.在轨迹上找一点旋转，构造手拉手模型，再通过角度相等得到从动点轨迹.3.反向旋转相关定点，构造手拉手模型，代换所求线段，即逆向构造. 那么什么具体选择什么方法更合适呢？我们再看一道例题【例题2 宿迁中考】如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE ＝1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为．现在，我们分别用上面提到的3种策略来处理这个题目策略一：找始末，定轨迹我们分别以BE ，AE 为边，按题目要求构造等边三角形得到G 1与G 2，连接G 1与G 2得到点G 的轨迹，再作垂线CH 得到最小值.前面提到过从动点轨迹和主动点轨迹的夹角与旋转角有关，我们可以调用这个结论，得到∠AMG 1＝60°，BABABABA22进一步得到△MBG 1为等腰三角形后，求CH 就不难了.策略二：在点F 轨迹上找一点进行旋转.我们分别对A ，B 顺时针旋转60°，构造手拉手模型，再通过角度相等得到从动点轨迹，对A 点旋转会得到一个正切值为14的角，即1tan tan 4∠G M E =∠A FE=，然后进一步算出最值【简证】311202EM AE EN NEC IC ⇒°⇒∠,则5=2CH对B 点旋转得到∠EMG ＝∠FBE ＝90°，相对来说要容易一些.策略三：反向旋转相关定点，构造手拉手模型，代换所求线段.将点C 逆时针旋转60°，得到点H ，易证△CGE ≌△HFE ，则有CG ＝HF ，作MH ⊥AB 于M ，HM 即为所求．相比之下，先求轨迹后再求垂线段时，比较麻烦，而反向旋转代换所求线段感觉清爽很多.BABA如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE ＝1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为底向右侧作等腰直角△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，F 为AB 边上一点，连接EF ，以EF 为底向右侧作等腰直角△EFG ，连接CG ，则AG 的最小值为．1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边△PDQ，连接CQ．则CQ的最小值是2.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5 3,点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A 为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为3、如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P是对角线AC上的动点,连接DP,将直线DP绕点P顺时针旋转,使∠1=∠2,且过点D作DG⊥PG,连接CG.则CG最小值为瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题以及逆向构造【专题说明】近些年的中考中，经常出现动点的运动轨迹类问题，通常出题以求出轨迹的长度或最值最为常见。

中考压轴专题：轨迹圆问题

中考压轴专题：轨迹圆问题
考点考查背景：
•在强调综合能力全面发展的前提下，中学数学会越来越注重数学逻辑分析，此类问题通常需要学生能够在辨别基本模型的前提下，分析轨迹问题基本成立条件，结合基本模型的形成原理以及题目要求，综合运用最值以及轨迹长问题的解决方法完成对题目的辨别/分析/解决，从而达到最终目的；
考点辨别解析：
•定义法-平面内某一动点到定点的距离定值；
•定弦直角-动点处线段夹角90°恒成立，根据直径所对圆周角是直角，可知点的运动轨迹是以线段为直径的半圆；
•定弦定角-动点处线段夹角定值（非直角）恒成立，根据同弦所对圆周角是定值，反向推定可知点的运动轨迹是以线段为弦的半圆；
考点方法突破：
此类题型的分析推定方向界定在以下两个方向
•动点处线段长度定值-定义法轨迹圆问题；
•动点处角度定值-定弦直角/定弦定角；
考点结果导向分析：
•最值类问题-定点到动点线段长度最值；
•轨迹长问题-动点轨迹长度；。

(完整版)九年级第9讲(1)最值与轨迹问题专题

❖ 共线类最值问题 ✧ 单动点共线最值1. 如图，正△ABC 的边长为2，过点B 的直线l ⊥AB ，且△ABC 与△A ′BC ′关于直线l 对称，D 为线段BC ′上一动点，则AD+CD 的最小值是（）2．如图Rt △ABC 中，AB=BC=4，D 为BC 的中点，在AC 边上存在一点E ，连接ED,EB ，则△BDE 周长的最小值为（）A ．52B ．32C ．252+D ．232+3。

已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示,顶点A （5,0)，OB=45，点P 是对角线OB 上的一个动点，D （0，1）,当CP+DP 最短时，点P 的坐标为( )A 。

(0，0） B.（1,21） C 。

（56,53) D.(710，75）4。

如图,已知在矩形ABCD 中，AB=4,BC=2,点M ，E 在AD 上,点F 在边AB 上，并且DM=1，现将△AEF 沿着直线EF 折叠，使点A 落在边CD 上的点P 处，则当PB+PM 的和最小时，ME 的长度为( ）A ．4B ．23C ．32D ．32+A ．31B ．94C ．32D ．95✧ 多动点最值1．如图，已知等边△ABC 的边长为8，点D 为AC 的中点,点E 为BC 的中点,点P 为BD 上一动点，则PE+PC 的最小值为( )A ．3B ．24C ．32D ．342．如图，已知正比例函数y=kx （k ＞0）的图象与x 轴相交所成的锐角为70°，定点A 的坐标为(0,4），P 为y 轴上的一个动点，M 、N 为函数y=kx （k ＞0)的图象上的两个动点,则AM+MP+PN 的最小值为( ） A ．2 B ．4 C ．32 D ．3✧ 动线段类型1. 如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8,E为CD边的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ=2，当BP=________时,四边形APQE的周长最小．2．如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2,-3)，B（4，-1）．若C（a，0），D（a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a=___________时，四边形ABDC的周长最短．翻折衍生的圆弧轨迹问题1。

【中考数学专题】11 连锁轨迹—动点在直线(线段)上产生的动点轨迹类问题探究-

专题十一：连锁轨迹——动点在直线（线段）上产生的动点轨迹类问题探究专题导例已知，如图Rt△AB C中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，M是DE上一动点，点M从点D开始沿DE向终点E运动，在运动过程中AM的中点移动的路径长为．【分析】取AD的中点P，AE的中点Q，连接PQ，根据勾股定理得到AB＝5，根据三角形中位线定理计算即可．如果：①动点的初始位置②动点的中途位置③动点的终止位置三点在一条直线上，那么可以初步判断动点的运动路径是．导例答案解：取AD的中点P，AE的中点Q，连接PQ，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∵D、E分别是AC、BC的中点，∴DE＝AB＝，∵P、Q分别是AD、AE的中点，∴PQ＝DE＝，∴AM的中点移动的路径长为，故答案为：．典例剖析类型一：动点产生的路径与最值问题例1．如图，△AB C中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，D为BC边上一动点，点O是正方形ADEF的中心，当点D沿BC边从点B运动到点C时，点O运动的路径长为．【分析】以点B为原点建立如图所示坐标系，作EG⊥x轴，证△ABD≌△DGE得AB＝DG＝4、BD ＝EG＝a，从而得E（4+a，a），根据线段的中点坐标知O（，），从而知点O在直线y＝x 上，由0≤a≤4知点O的横坐标2≤x≤4、纵坐标满足2≤y≤4，根据两点间的距离公式可得答案．类型二：动点产生的路径长问题例2．如图，在Rt△AB C中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AB边上的动点，过点D作DE⊥AB 交边AC于点E，过点E作EF⊥DE交BC于点F，连接DF．（1）当AD＝4时，求EF的长度；（2）求△DEF的面积的最大值；（3）设O为DF的中点，随着点D的运动，则点O的运动路径的长度为．【分析】（1）由勾股定理可求AB＝10，通过证明△AED∽△ABC，可得＝，可求AE＝5，CE ＝3，通过△CEF∽△ACB，可得＝，即可求EF的长度；（2）设AD＝x，由相似三角形的性质可可得DE＝•BC＝x，EF＝•AB＝10﹣x，由三角形的面积公式可得S△DEF＝DE•EF＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+6，由二次函数的性质可求△DEF的面积的最大值；（3）以点A为原点，AB为x轴建立平面直角坐标系，设AD＝t，则点D坐标（t，0），点E（t，t），点F（10﹣t，t），由中点坐标公式可求点O坐标，由t的取值范围可求点O的运动路径的长度．专题突破1．如图，在△AB C中，∠B＝45°，∠C＝60°，且AB＝，M是边BC上的一个动点，连接AM，P 为AM的中点，当M点从点B运动到点C的过程中，P点的运动路线长为（）A．1+B．1﹣πC．+D．2. 如图，在矩形ABC D中，已知AB＝2cm，BC＝4cm，现有一根长为2cm的木棒EF紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中点P在运动过程中所围成的图形的面积为（）A．（8﹣π）cm2B．4cm2C．（3+π）cm2D．8cm23.已知线段AB＝12，C、D是AB上两点，且AC＝DB＝2，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为4.如图，等腰直角△AB C中，AC＝BC＝3，P为斜边AB上一动点，D为BC延长线上一点，以点D为直角顶点作直角△PQD，并且使∠DPQ＝30°，则当点P从点A运动到点B时，点Q运动的路径长为．5.如图，矩形ABC D中，AB＝4，AD＝6，点E在边AD上，且AE：ED＝1：2．动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F．设点M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M的运动路径长为．6．如图，在△AB C中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿着CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．（1）x为何值时，PQ∥BC；（2）是否存在某一时刻，使△APQ∽△CQB？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由；7.如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．（1）若AP＝1，则AE＝；（2）①求证：点O一定在△APE的外接圆上；②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；（3）在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．8．如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从点A出发，沿边AB﹣BC向终点C运动，以DE为边作正方形DEFG（点D、E、F、G按顺时针方向排列）．设点E运动的速度为每秒1个单位，运动的时间为x秒．（1）如图1，当点E在AB上时，求证：点G在直线BC上；（2）设正方形ABCD与正方形DEFG重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式；（3）直接写出整个运动过程中，点F经过的路径长．9．如图，平面直角坐标系中，直线AB：y＝﹣x+b交y轴于点A（0，1），交x轴于点B．过点E （1，0）作x轴的垂线EF交AB于点D，P是直线EF上一动点，且在点D的上方，设P（1，n）．（1）直线AB的表达式为；（2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；（3）当S△ABP＝2时，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，请直接写出点C的坐标．10．如图，在矩形ABC D中，AB＝2，BC＝4，M是AD的中点，动点E在线段AB上，连接EM并延长交射线CD于点F，过点M作EF的垂线交BC于点G，连接EG、FG．（1）求证：△AME≌△DMF；（2）在点E的运动过程中，探究：①△EGF的形状是否发生变化？若不变，请判断△EGF的形状，并说明理由；②线段MG的中点H运动的路程最长为多少？（直接写出结果）（3）设AE＝x，△EGF的面积为S．①当S＝6时，求x的值；②直接写出点E的运动过程中S的变化范围．11．如图，正方形ABCD的边长为4，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止．（1）如图1，当E是AB的中点，F是AD上的一点，且AF＝AD，求证：CE平分∠BCF．（2）如图2，若点Q是AD的中点，连接EQ并延长交射线CD于点G，过Q作EG的垂线交射线BC于点P，连接PE、PG．①设AE＝x时，△PEG的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．②若点M是PQ的中点，请直接写出点M的运动的路线的长．12．在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，3），过点B作直线l∥x轴，点P（a，3）是直线上的动点，以AP为边在AP右侧作等腰Rt△APQ，∠APQ＝Rt∠，直线AQ交y轴于点C．（1）当a＝时，求点Q的坐标．（2）当P A+PO最小时，求a．专题十一答案：轨迹之点在直线（线段）上运动问题探究例1．解：如图，以点B为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，过点E作EG⊥x轴于点G，连接AE，根据题意知，点A（0，4）、C（4，0），∵∠ABD＝∠ADE＝∠DGE＝90°，∴∠ADB+∠EDG＝∠ADB+∠DAB＝90°，∴∠DAB＝∠EDG，在△ABD和△DGE中，∵，∴△ABD≌△DGE（AAS），∴AB＝DG＝4，BD＝EG，设BD＝EG＝a，则BG＝BD+DG＝4+a，∴点E（4+a，a），∵点O为正方形ADEF的中心，即点O为AE的中点，∴点O（，），即O（，），则无论a为任意实数，点O的横纵坐标相等，即点O在直线y＝x上，∵0≤a≤4，∴2≤≤4，即点O的横坐标2≤x≤4、纵坐标满足2≤y≤4，则点O的运动路径长为＝2，故答案为：2．例2．解：（1）∵在Rt△AB C中，∠C＝90°，∴AB＝＝10．∵DE⊥AB，∴∠EDA＝90°．∵∠A＝∠A，∠EDA＝∠C＝90°，∴△AED∽△ABC，∴＝．∴AE＝•AB＝5．∴CE＝AC﹣AE＝8﹣5＝3．∵DE⊥AB，∴∠DEF＝90°．∵∠EDA＝∠DEF＝90°，∴EF∥A B．∴△CEF∽△ACB，∴＝．∴EF＝•AB＝．（2）设AD＝x．∵△AED∽△ABC，∴＝＝．∴DE＝•BC＝x，AE＝•AB＝x．∴CE＝AC﹣AE＝8﹣x．∵△CEF∽△ACB，∴＝．∴EF＝•AB＝10﹣x．∴S△DEF＝DE•EF＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+6．∴当x＝时，S△DEF取最大值为6．因此，△DEF的面积的最大值为6．（3）如图，以点A为原点，AB为x轴建立平面直角坐标系，设AD＝t，则点D坐标（t，0），点E（t，t），点F（10﹣t，t）∵点O是DF的中点，∴点O（5+t，t）∴点O在直线y＝上运动，∵过点D作DE⊥AB交边AC于点E，∴0≤t≤∴当t＝0时，点O坐标为（5，0）当t＝时，点O坐标为（，）∴点O的运动路径的长度＝＝故答案为：专题突破答案1.解：如图作AH⊥BC于H．在Rt△ABH中，∵AB＝，∠B＝45°，∴AH＝BH＝1，在Rt△ACH中，∵AH＝1，∠C＝60°，∴CH＝＝，∴BC＝1+当点M与B重合时，点P与A B中点E重合，当点M与C重合时，点P与F重合，∴点P的运动轨迹是△ABC的中位线EF，∴EF＝BC＝+．故选：C．2. 解：如图，∵P是EF的中点，∴BP＝EF＝×2＝1（cm），∵AB＝2，∴点P在运动过程中所围成的图形的面积为长方形的面积减去四个扇形的面积，：又∵四个扇形的面积正好等于一个相同半径的圆的面积，∴4×2﹣π•12＝8﹣π（cm2）．故选：A．3.解：如图，分别延长AE、BF交于点M，∵∠A＝∠DPF＝60°，∴AM∥PF，∵∠B＝∠EP A＝60°，∴BM∥PE，∴四边形PEMF为平行四边形，∴EF与MP互相平分．∵G为EF的中点，∴G正好为PM的中点，即在P的运动过程中，G始终为PM的中点，∴G的运行轨迹为△MCD的中位线H I，∵H I＝CD＝×（12﹣2﹣2）＝4，∴G点移动的路径长度为4．故答案为：44.解：如图，过点D作DK⊥AD，使得∠DAK＝30°，连接AK，KQ．∵∠ADK＝90°，∠DAK＝30°，∴＝，∵∠PDQ＝90°，∠DPQ＝30°，∴＝，∴＝，∵∠ADK＝∠PDQ＝90°，∴∠ADP＝∠KDQ，∴△ADP∽△KDQ，∴＝＝，∠DAP＝∠DKQ，∴当则当点P从点A运动到点B时，点Q运动的轨迹是线段KQ，∵点P的运动路径是3，∴点Q的运动路径是3÷＝．故答案为．5.解：如图，当P与A重合时，点F与K重合，此时点M在H处，当点P与B重合时，点F与G重合，点M 在N处，点M的运动轨迹是线段HN．在Rt△AE B中，AE＝2，AB＝4，∴BE＝＝2，∵△AEB∽△EBG，∴＝，∴BG＝＝10，∵BK＝AE＝2，∴KG＝BG﹣BK＝8，∴HN＝KG＝4，∴点M的运动路径的长为4．故答案为4．6．解：(1)∵PQ∥BC，∴∠AQP＝∠C.又∵∠A＝∠A，∴△APQ∽△ABC，∴＝，即＝，解得x＝.即当x＝时，PQ∥B C.(2)能相似．∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，∴△APQ和△CQB相似可能有以下两种情况：①△APQ∽△CQB，可得＝，即＝，解得x＝.经检验，x＝是上述方程的解．∴当AP＝4x＝cm时，△APQ∽△CQB；②△APQ∽△CBQ，可得＝，即＝，解得x＝5或x＝－10(舍去)．经检验，x＝5是上述方程的解．∴当AP＝4x＝20 cm时，△APQ∽△CBQ.综上所述，当AP的长为cm或20 cm时，△APQ与△CQB相似．7.（1）解：∵四边形ABCD、四边形PEFG是正方形，∴∠A＝∠B＝∠EPG＝90°，PF⊥EG，AB＝BC＝4，∠OEP＝45°，∴∠AEP+∠APE＝90°，∠BPC+∠APE＝90°，∴∠AEP＝∠BPC，∴△APE∽△BCP∴，即，解得：AE＝；故答案为：；（2）①证明：如图3，取PE的中点Q，连接AQ，OQ，∵∠POE＝90°，∴OQ＝PE，∵△APE是直角三角形，∴点Q是Rt△APE外接圆的圆心，∴AQ＝PE，∴OQ＝AQ，∴点O一定在△APE的外接圆上；（到圆心的距离等于半径的点必在此圆上）②解：连接OA、AC，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∠BAC＝45°，∴AC＝＝4，∵A、P、O、E四点共圆，∴∠OAP＝∠OEP＝45°，∴点O在AC上，当P运动到点B时，O为AC的中点，OA＝AC＝2，即点O经过的路径长为2；（3）解：设△APE的外接圆的圆心为M，作MN⊥AB于N，如图2所示：则MN∥AE，∵ME＝MP，∴AN＝PN，∴MN＝AE，设AP＝x，则BP＝4﹣x，由（1）得：△APE∽△BCP，∴，即，解得：AE＝x﹣x2＝﹣（x﹣2）2+1，∴x＝2时，AE的最大值为1，此时MN的值最大＝×1＝，即△APE的圆心到AB边的距离的最大值为．8．（1）证明：∵四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形，∴AD＝CD，DE＝DG，∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠CDG＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠DCG＝∠DAE＝90°，∵∠DCB＝90°，∴∠DCG+∠DCB＝180°，∴点G在直线BC上；（2）解：①当点E在AB边上时，过点E作EK∥AD，交CD于点K，如图1所示：则AC∥EK∥AD，∴∠HEK＝∠EHB，∠DEK＝∠EDA，∵∠EHB+∠BEH＝90°，∠EDA+∠AED＝90°，∠HEK+∠DEK＝90°，∴∠EDA＝∠BEH，∠AED＝∠EHB，∴△ADE∽△BEH，∴＝，即＝，∴BH＝，S＝正方形ABCD的面积﹣△ADE的面积﹣△BEH的面积＝2×2﹣×2×x﹣×（2﹣x）×＝；②当点E在BC边上时，S＝△DEC的面积＝×2×（4﹣x）＝4﹣x；（3）解：由（1）知，当点E在AB上时，点G在直线BC上，当点E与B点重合时，点F的位置如图2所示：点F运动的路径为BF；同理，点E在BC上时，当点E与C点重合时，点F运动的路径为FG；∵BD＝＝＝2，∴BF+FG＝2BD＝4，∴点F运动的路径长为4．9．解：（1）∵y＝﹣x+b经过A（0，1），∴b＝1，∴直线AB的解析式是y＝﹣x+1；故答案为：y＝﹣x+1；（2）过点A作AM⊥PD，垂足为M，则有AM＝1，∵x＝1时，y＝﹣x+1＝，P在点D的上方，∴PD＝n﹣，S PD•AM＝，由点B（3，0），可知点B到直线x＝1的距离为2，即△BDP的边PD上的高长为2，∴S△BPD＝PD×2＝n﹣，∴S△P AB＝S△APD+S△BPD＝n﹣+n﹣＝n﹣1；（3）当S△ABP＝2时，n﹣1＝2，解得n＝2，∴点P（1，2）．∵E（1，0），∴PE＝BE＝2，∴∠EPB＝∠EBP＝45°．第1种情况，如图1，∠CPB＝90°，BP＝PC，过点C作CN⊥直线x＝1于点N．∵∠CPB＝90°，∠EPB＝45°，∴∠NPC＝∠EPB＝45°，在△CNP与△BEP中，，∴△CNP≌△BEP，∴PN＝NC＝EB＝PE＝2，∴NE＝NP+PE＝2+2＝4，∴C（3，4）．第2种情况，如图2∠PBC＝90°，BP＝BC，过点C作CF⊥x轴于点M．∵∠PBC＝90°，∠EBP＝45°，∴∠CBM＝∠PBE＝45°，在△CBP与△PBE中，，∴△CBM≌△PBE．∴BF＝CF＝PE＝EB＝2，∴OF＝OB+BF＝3+2＝5，∴C（5，2）．第3种情况，如图3，∠PCB＝90°，CP＝EB，∴∠CPB＝∠EBP＝45°，在△PCB和△PE B中，，∴△PCB≌△PEB（SAS），∴PC＝CB＝PE＝EB＝2，∴C（3，2）．∴以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，点C的坐标是（3，4）或（5，2）或（3，2）．10．解：（1）在矩形ABC D中，AB∥CD，∴∠A＝∠FDM＝90°，∠AEM＝∠DFM，又∵M是AD的中点，∴AM＝DM，∴△AME≌△DMF（AAS）；（2）①△EGF的形状不发生变化，是等腰直角三角形，理由如下：如图1，过点M作MN⊥BC于点N，则∠NMD＝∠FMG＝90°，MN＝AB＝AD＝MD，∴∠NMD﹣∠MDG＝∠FMG﹣∠MDG，即∠FMD＝∠GMN，又∵∠MNG＝∠MDF＝90°，∴△MNG≌△MDF（ASA），∴MG＝MF，∴∠MGF＝45°，∵MG垂直平分EF，∴GF＝GE，∴∠EGM＝∠MGF＝45°，∴∠EGF＝90°，∴△EGF的形状不发生变化，是等腰直角三角形；②如图2，由题意知，MG的运动路线是从MN开始，至MC结束，∴点H的运动路程是如图所示的HO，∵H是MN的中点，O是MC的中点，∴HO＝NC＝1，∴线段MG的中点H运动的路程最长为1；（3）①由（1）和（2）知，△AME≌△DMF≌△NMG，∴AE＝NG＝x，BE＝2﹣x，∴EG2＝BE2+BG2＝（2﹣x）2+（2+x）2＝8+2x2，∴S△EGF＝EG2＝（8+2x2）＝x2+4，∴当S＝6时，x＝（取正值）；②由题意知，0≤x≤2，∴当x＝0时，S有最小值4；当x＝2时，S有最大值8，故S的取值范围为：4≤S≤8．11．解：（1）过点E作EG⊥CF于G，连接EF，∵AF＝AD，E是AB的中点，AB＝AD＝4，∴AF＝1，FD＝3，AE＝BE＝2，∴CF＝＝＝5，∵S△EFC＝4×4﹣×4×2﹣×2×1﹣×3×4＝5，∴S△EFC＝×CF×EG＝5，∴EG＝2＝BE，且EG⊥CF，EB⊥BC，∴CE平分∠BCF；（2）设CP＝a，∵四边形ABCD是正方形，∴∠GDQ＝∠BAQ＝90°，∵点Q是AD的中点，∴DQ＝AQ，∵∠DQG＝∠AQB，∴△GDQ≌△BAQ（ASA），∴DG＝AB＝4，∴CG＝CD+DG＝4+x，在Rt△BPE中，PE2＝BE2+BP2＝（4﹣x）2+（4+a）2，在Rt△GCP中，GP2＝CP2+CG2＝（4+x）2+a2，∵PE＝PG，∴a＝2x﹣2，PQ2＝PE2﹣QE2＝4x2+16，∴PQ＝，∴S＝y＝××＝2x2+8（其中0≤x≤4）（3）如图，MM′即为M点运动的距离；当点E与点A重合时，∵PQ⊥EQ，∠BAQ＝∠ABP＝90°，∴四边形ABPQ是矩形，∴BP＝AQ＝2，当点E与点B重合时，由（2）可得P'E'＝P'G，DG＝AB＝4，∴CG＝8，∵P'G2＝P'C2+CG2，∴P'E'2＝（P'E'﹣4）2+64，∴P'E'＝10，∴P'P＝8，∵点M，点M'分别是QP，QP'的中点，∴MM'＝PP'＝4，∴点M的运动的路线的长为4．12．解：（1）过点P作PE⊥OA，垂足为E，过点Q作QF⊥BP，垂足为F，如图1．∵BP∥OA，PE⊥OA，∴∠EPF＝∠PEO＝90°．∵∠APQ＝90°，∴∠EP A＝∠FPQ＝90°﹣∠APF．在△PEA和△PFQ中，∴△PEA≌△PFQ．∴PE＝PF，EA＝QF．∵a＝，∴P（，3）．∴OE＝BP＝，PE＝3．∵A（2，0），∴OA＝2，∴EA＝0.5．∴PF＝3，QF＝0.5．∴点Q的坐标为（4.5，3.5）．（2）如图2，作O点关于直线l的对称点O′，连接AO′，交直线l于点P，此时OP＝O′P，∴P A+PO＝P A+PO′，∴AO′是P A+PO的最小值，∵点B的坐标为（0，3）．∴点O′（0，6），．设直线AO′为y＝kx+6，代入A（2，0）得，0＝2k+6，解得k＝﹣3，∴直线AO′为y＝﹣3x+6，把y＝3代入得，3＝﹣3x+6，解得x＝1，∴P（1，3），∴当P A+PO最小时，a＝1．。

中考数学复习轨迹问题的解题策略

轨迹问题的解题策略对于初中数学中动点轨迹的问题，一般有两种情况：线段或圆弧．在研究动点问题时，可以在运动中寻找不变的量，即不变的数量关系或位置关系．如果动点的轨迹是一条线段，那么其中不变的量便是该动点到某条直线的距离始终保持不变；如果动点的轨迹是一段圆弧，那么其中不变的量便是该动点到某个定点的距离始终保持不变．因此，解决此类动点轨迹问题便可转化为寻找定直线或定点，下面就以原文中两个例题来阐明这类动点轨迹问题的解题策略．一、运动路径是线段例1（2012年张家界中考题）如图1，已知线段AB＝6，C、D是AB上两点，且AC ＝DB＝1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为_______．解析此题中主动点是P，动点G是因点P的变化而变化，动点P在运动过程中始终保持不变的量是AP＋BP＝6．另外，题中还有不变的量是△APE和△PBF始终为等边三角形．解答此问题需牢牢把握住这两个不变的量，而既然是求动点G的运动轨迹，则需考虑点G是到某条直线的距离保持不变，还是到某个定点的距离保持不变，显然此题首先考虑的是点G是否到直线AB的距离保持不变，因此尝试作GQ⊥AB，垂足为Q．又根据△APE 和△PBF均是等边三角形这一性质，不难想到分别作EM⊥AB和FN⊥AB，垂足分别为M，N（如图2）．此时容易得到EM ＝2AP ，FN ＝2BP ，所以EM ＋FN （AP ＋BP ）＝．再根据梯形中位线的性质，可得到CQ ＝12（EM ＋FN ．因此得到点G 到直线AB 的距离始终保持不变，从而得证点G 的运动轨迹是一条线段．而此时就点G 的运动路径长，便可转化为求点Q 的运动路径长，这时只要分别求出点P 在C 点和D 点时AQ 的长度即可．当点P 在点C 时（如图3），MQ 1＝12MN ＝32，所以AQ 1＝AM ＋MQ 1＝12＋32＝2．当点P 在点D 时（如图4），MQ 2＝12MN ＝32，所以AQ 2＝AM ＋MQ 2＝5322 ＝4．所以点G 运动的路径长为4－2＝2．事实上，点G 在运动过程中，MQ 的长度也是始终保持不变，因此G 的运动路径长度就是M 点的运动路径长度，而整个运动过程中M 点是从AC 的中点运动到AD 的中点，即M 1M 2(如图5)．笔者认为，如果用这样的方式去分析问题，那么最终学生头脑中对整个变化过程会有一个全面而清晰的了解．此题的解题思路中还体现了转化思想，对培养学生的数学思维是有积极作用的．二、运动路径是圆弧例2（2011年湖州中考题）如图6，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0，m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．(1)求点D的坐标（用含m的代数式表示）；(2)当△APD是等腰三角形时，求m的值；(3)设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交予点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H(如图7)．当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动，请直接写出点H所经过的路径长．（不必写解答过程）解析(1)、(2)略．(3)此题中主动点是P，动点H是因点P的变化而变化．动点P在运动过程中始终保持不变的量是OH始终垂直ME，即日始终为垂足．而求动点H的运动轨迹，则需考虑点H 是到某条直线的距离始终不变，还是到某个定点的距离始终保持不变．由于OH⊥ME，连结OM后，△AMH始终为直角三角形，而斜边OM不变，因此根据直角三角形的性质容易得到动点日到DM的中点的距离始终不变，从而可得到点H的运动轨迹是一段圆弧．下面只需确定圆弧的度数即可，即要找到动点H的始点和终点，根据图形的变化容易分析得动点H无限接近点C，因此可将点C定为动点H的终点．当点P在O点时，点H 在始点，记为H1，由对称性可知，此时点E的坐标为(3，0)，作MN⊥OE，垂足为N，取DM的中点F，再连结FC、F H1（如图8）．因为M点的坐标为(1，2)，所以可得MN＝NE＝2，所以得到∠MEN＝45°，所以∠H1OE ＝45°，所以∠H1OC＝45°．因为C，D，H1，M四点共圆，所以∠CFH1＝90°．又因为FC＝OM，所以弧CH1的长为：902180π∙，所以点H所经过．以上两个例题刚好反映了初中数学轨迹问题中的两种典型情况．此类问题的解题策略便是确定动点到定直线的距离保持不变，还是到定点的距离保持不变．沿着这个思路走下去，便能找到变化过程中不变的量，从而找到解题的突破口．。

初中数学竞赛中考讲义之轨迹问题之直线轨迹

第23讲轨迹问题之直线轨迹点的轨迹问题近年来在考试中经常出现，解决这类问题，首先得要了解，哪些条件会产生这类轨迹？模型讲解模型一：轨迹为直线动点P到定直线距离保持不变，点P的轨迹为一直线点P与定线段一端点连接后，与该线段所夹角保持不变，点P的轨迹为一直线【例题讲解】例题1、如图，已知A＝10，点C、D在线段AB上，且AC＝DB＝2，P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G，当点P从点C 运动到点D时，则点G移动路径的长是.【解析】延长AE、BF，相交于点H，连接HP易得△HAB为等边三角形，四边形HEPF为平行四边形∵平行四边形的对角线互相平分，且G为FE中点∴G在HP上，且G为HP的中点∴当P从点C运动到点D时，G始终为HP的中点∴G到AB的距离始终为点H到AB的距离的半∴点G的轨迹为直线∴MN即为G点运动的路径长例题2、如图，边长为2a的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN.则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是.【解析】连接AN易证△ANB≌△CMB∴∠BAN＝∠BCM＝30°∵AB边为定边∴N在与AB夹角为30°的直线上运动∴当HN⊥AN时，HN最短（即为图中N′点）∵∠BAN＝30°，AH＝12AB＝a∴HN′＝12AH＝12a例题3、在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，2），点M的坐标为（m－1，－34m－94）（其中m为实数），则PM的最小值为.【解析】∵点M的坐标为（m－1，－34m－94）∴设x＝m－1，y＝－34m－94……①∴m＝x＋1……②将②式代入①式化简得y＝－34x－3∴点M在函数y＝－34x－3上运动，轨迹为直线∴当PM⊥AB时，PM最小根据△PMB∽△AOB，即可得PM＝4∴PM的最小值为4【巩固训练】1、等边三角形ABC中，BC＝6，D、E是边BC上两点，且BD＝CE＝1，点P是线段DE上的一个动点，过点P分别作AC、AB的平行线交AB、AC于点M、N，连接MN、AP交于点G，则点P由点D移动到点E的过程中，线段BG扫过的区域面积为.2、如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC＝DB＝1，点P是线段CD 上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BROP，E、F分别为MN、QR 的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为.3、如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，且AE:ED＝1：3.动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止.过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为.4、在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2cm，线段BC上一动点P从C点开始运动，到B点停止，以AP为边在AC的右侧做等边△APQ，则Q点运动的路径长为cm.5、如图，在平面直角坐标系中，A（1，4），B（3，2），C（m，－4m＋20），若OC恰好平分四边形OACB的面积，则C点坐标为.6、如图1是用钢丝制作的一个几何探究工具，其中△ABC内接于⊙G，AB是⊙G的直径，AB＝6，AC＝2，现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图2），然后点A在射线Ox上由点O开始向右滑动，点B在射线OY上也随之向点O滑动（如图3），当点B滑动至与点O重合时运动结束.在整个运动过程中，点C运动的路程是.图1图2图37、在直角梯形ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，AB＝3，CD＝4，在BC上取点P（P与B、C不重合），连接PA延长至E，使PA＝2AE，连接PD并延长到F，使PD＝4FD，以PE、PF为边作平行四边形，另一个顶点为G，则PG长度的最小值为.8、如图，已知点A3AC⊥x轴于点M，交直线y＝－x于点N.若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动，求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是.9、如图，边长为4的等边三角形AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限.一动点P从O点出发沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒.将线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C，点C随点P的运动而运动，连接CP，CA，过点P作PD⊥OB于点D.（1）填空：PD的长为（用含t的代数式表示）；（2）求点C的坐标（用含t的代数式表示）；（3）在点P从O向A运动的过程中，求点C运动路线的长.10、如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD ∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）.（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝，PD＝.（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长.图1图2参考答案1.【解答】解：∵PM∥AC，PN∥AB，∴四边形AMPN是平行四边形，∵MN与AP相交于点G，∴G是AP的中点，∴如图点G的运动路线是△APP′的中位线，∵BC＝6，BD＝CE＝1，∴GG′＝＝2，∵BC＝6，∴△BGG′的底边GG′上的高＝×（6×）＝，∴线段BG扫过的区域面积＝×2×＝．故答案为：．2.【解答】解：如图，设KH的中点为S，连接PE，PF，SE，SF，PS，∵E为MN的中点，S为KH的中点，∴A，E，S共线，F为QR的中点，S为KH的中点，∴B、F、S共线，由△AME∽△PQF，得∠SAP＝∠FPB，∴ES∥PF，△PNE∽△BRF，得∠EPA＝∠FBP，∴PE∥FS，则四边形PESF为平行四边形，则G为PS的中点，∴G的轨迹为△CSD的中位线，∵CD＝AB﹣AC﹣BD＝6﹣1﹣1＝4，∴点G移动的路径长．故答案为：2．3.【解答】解：如图所示：过点M作GH⊥AD．∵AD∥CB，GH⊥AD，∴GH⊥BC．在△EGM和△FHM中，∴△EGM≌△FHM．∴MG＝MH．∴点M的轨迹是一条平行于BC的线段．当点P与A重合时，BF1＝AE＝2，当点P与点B重合时，∠F2+∠EBF1＝90°，∠BEF1+∠EBF1＝90°，∴∠F2＝∠EBF1．∵∠EF1B＝∠EF1F2，∴△EF1B∽△∠EF1F2．∴，即：，∴F1F2＝18，∵M1M2是△EF1F2的中位线，∴M1M2＝F1F2＝9．故答案为：9．4.【解答】解：如图，Q点运动的路径为QQ′的长，∵△ACQ和△ABQ′是等边三角形，∴∠CAQ＝∠BAQ′＝60°，AQ＝AC＝AQ′＝2cm，∵∠BAC＝90°，∴∠QAQ′＝90°，由勾股定理得：QQ′＝＝＝2，∴Q点运动的路径为2cm；故答案为：2．5.【解答】解：AB的中点D的坐标是：（，），即（2，3），设直线OD的解析式是y＝kx，则2k＝3，解得：k＝，则直线的解析式是：y＝x，根据题意得：，解得：，则C的坐标是：（，）．故答案是：（，）．6.【解答】解：如图3，连接OG．∵∠AOB是直角，G为AB中点，∴GO＝AB＝半径，∴原点O始终在⊙G上．∵∠ACB＝90°，AB＝6，AC＝2，∴BC＝4．连接OC．则∠AOC＝∠ABC，∴tan∠AOC＝＝，∴点C在与x轴夹角为∠AOC的射线上运动．如图4，C1C2＝OC2﹣OC1＝6﹣2＝4；如图5，C2C3＝OC2﹣OC3＝6﹣4；∴总路径为：C1C2+C2C3＝4+6﹣4＝10﹣4．故选：D．7.分析与解答8.【解答】解：由题意可知，OM＝，点N在直线y＝﹣x上，AC⊥x轴于点M，则△OMN为等腰直角三角形，ON＝OM＝×＝．如答图①所示，设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B0，动点P在N点（终点）时，点B的位置为B n，连接B0B n∵AO⊥AB0，AN⊥AB n，∴∠OAC＝∠B0AB n，又∵AB0＝AO•tan30°，AB n＝AN•tan30°，∴AB0：AO＝AB n：AN＝tan30°（此处也可用30°角的Rt△三边长的关系来求得），∴△AB0B n∽△AON，且相似比为tan30°，∴B0B n＝ON•tan30°＝×＝．现在来证明线段B0B n就是点B运动的路径（或轨迹）．如答图②所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为B i，连接AP，AB i，B0B i∵AO⊥AB0，AP⊥AB i，∴∠OAP＝∠B0AB i，又∵AB0＝AO•tan30°，AB i＝AP•tan30°，∴AB0：AO＝AB i：AP，∴△AB0B i∽△AOP，∴∠AB0B i＝∠AOP．又∵△AB0B n∽△AON，∴∠AB0B n＝∠AOP，∴∠AB0B i＝∠AB0B n，∴点B i在线段B0B n上，即线段B0B n就是点B运动的路径（或轨迹）．综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B0B n，其长度为．故选：C．9.【解答】解：（1）∵△AOB是等边三角形，∴OB＝OA＝AB＝4，∠BOA＝∠OAB＝∠ABO＝60°．∵PD⊥OB，∴∠PDO＝90°，∴∠OPD＝30°，∴OD＝OP．∵OP＝t，∴OD＝t，在Rt△OPD中，由勾股定理，得PD＝故答案为：（2）如图（1）过C作CE⊥OA于E，∴∠PEC＝90°，∵OD＝t，∴BD＝4﹣t．∵线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C，∴∠BPC＝60°．∵∠OPD＝30°，∴∠BPD+∠CPE＝90°．∴∠DBP＝∠CPE∴△PCE∽△BPD∴，∴，，∴CE＝，PE＝，OE＝，∴C（，）．（3）如图（3）当∠PCA＝90度时，作CF⊥PA，∴△PCF∽△ACF，∴，∴CF2＝PF•AF，∵PF＝2﹣t，AF＝4﹣OF＝2﹣tCF＝，∴（）2＝（2﹣t）（2﹣t），求得t＝2，这时P是OA的中点．如图（2）当∠CAP＝90°时，C的横坐标就是4，∴2+t＝4∴t＝（4）设C（x，y），∴x＝2+t，y＝，∴y＝x﹣，∴C点的运动痕迹是一条线段（0≤t≤4）．当t＝0时，C1（2，0），当t＝4时，C2（5，），∴由两点间的距离公式得：C1C2＝2．故答案为：2．10.【解答】解：（1）根据题意得：CQ＝2t，PA＝t，∴QB＝8﹣2t，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，PD∥BC，∴∠APD＝90°，∴tan A＝＝，∴PD＝t．故答案为：（1）8﹣2t，t．（2）不存在在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10∵PD∥BC，∴△APD∽△ACB，∴，即，∴AD＝t，∴BD＝AB﹣AD＝10﹣t，∵BQ∥DP，∴当BQ＝DP时，四边形PDBQ是平行四边形，即8﹣2t＝，解得：t＝．当t＝时，PD＝＝，BD＝10﹣×＝6，∴DP≠BD，∴▱PDBQ不能为菱形．设点Q的速度为每秒v个单位长度，则BQ＝8﹣vt，PD＝t，BD＝10﹣t，要使四边形PDBQ为菱形，则PD＝BD＝BQ，当PD＝BD时，即t＝10﹣t，解得：t＝当PD＝BQ，t＝时，即＝8﹣，解得：v＝当点Q的速度为每秒个单位长度时，经过秒，四边形PDBQ是菱形．（3）如图2，以C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系．依题意，可知0≤t≤4，当t＝0时，点M1的坐标为（3，0），当t＝4时点M2的坐标为（1，4）．设直线M1M2的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线M1M2的解析式为y＝﹣2x+6．∵点Q（0，2t），P（6﹣t，0）∴在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标（，t）．把x＝代入y＝﹣2x+6得y＝﹣2×+6＝t，∴点M3在直线M1M2上．过点M2作M2N⊥x轴于点N，则M2N＝4，M1N＝2．∴M1M2＝2∴线段PQ中点M所经过的路径长为2单位长度．。

初三轨迹问题解题技巧

初三轨迹问题解题技巧如下：
1. 直接法：根据动点所满足的等量关系列出方程，通过化简得到轨迹方程。

2. 定义法：根据各种已知曲线（直线、圆、圆锥曲线等）的定义，结合题意直接设出这些曲线的方程，再利用已知条件求出方程中各项系数的方法。

3. 相关点法：当曲线上一个动点的变动与另外一个动点相关时，可用曲线上该动点的坐标表示出另外一个点的坐标，把此点的坐标代入制约条件就可得到所求曲线的方程，这种方法就叫相关点法（又叫代入法）。

4. 参数法：参数法就是把曲线上动点的坐标先用相关参数表示出来，然后消去参数就得到。

以上是初三轨迹问题解题的一些技巧，希望对解决您的问题有所帮助。

中考数学轨迹问题汇总-共8页

中考数学轨迹问题1、如图1，已知线段AB＝6，C、D是AB上两点，且AC＝DB＝1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为_______．2、正△ABC的边长为3cm，边长为1cm的正△RPQ的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将△RPQ沿着边AB，BC，CA逆时针连续翻转（如图所示），直至点P第一次回到原来位置，则点P运动的路径长为_______ cm．（结果保留π）3、如图，AB为⊙O的直径，AB=8，点C为圆上任意一点，OD⊥AC于D，当点C在⊙O上运动一周，点D运动的路径长为_______4、如图，一块边长为6cm的等边三角形木板ABC，在水平桌面上绕C点按顺时针方向旋转到△A′B′C′的位置，则边AB的中点D运动的路径长是_______5、如图所示，扇形OAB从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③，∠O=60°，OA=1．（1）求O点所运动的路径长；（2）O点走过路径与直线L围成图形的面积．6、如图，OA⊥OB，垂足为O，P、Q分别是射线OA、OB上两个动点，点C是线段PQ的中点，且PQ=4．则动点C运动形成的路径长是______7、如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P．从点P向半径OA引垂线PH 交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为______ ．8．如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P 是CD 上一动点，分别以AP 、PB 为边向上、向下作正方形APEF 和PHKB ，设正方形对角线的交点分别为O 1、O 2，当点P 从点C 运动到点D 时，线段O 1O 2中点G 的运动路径的长是．9、如图，已知点A 是第一象限内横坐标为2的一个定点，AC ⊥x 轴于点M ，交直线y=﹣x 于点N ．若点P 是线段ON 上的一个动点，∠APB=30°，BA ⊥PA ，则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动．求当点P 从点O 运动到点N 时，点B 运动的路径长是．10.如图，正方形ABCD 的边长是2，M 是AD 的中点，点E 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止．连接EM 并延长交射线CD 于点F ，过M 作EF 的垂线交射线BC 于点G ，连结EG 、FG ．（1）设AE ＝x 时，△EGF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）P 是MG 的中点，请直接写出点P 运动路线的长．11.如图，直线y=﹣x+4与两坐标轴交A 、B 两点，点P 为线段OA 上的动点，连接BP ，过点A作AM 垂直于直线BP ，垂足为M ，当点P 从点O 运动到点A 时，则点M 运动路径的长为．12．如图，抛物线y=x 2﹣x ﹣与直线y=x ﹣2交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），动点P 从A 点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E ，再到达x 轴上的某点F ，最后运动到点B ．若使点P 运动的总路径最短，则点P 运动的总路径的长为（）．．点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）．．如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF．（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值．（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由．问题拓展：（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8．若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向点D运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长．（4）如图3，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G、H分别是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值．15、如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=____ ,PD=____（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．16、在直角坐标系中，O是坐标原点，点A坐标为（0，-1），点C是x轴上一个动点。

专题3、中考专题模型瓜豆原理练习题(经典)

教师姓名杨老师学生姓名年级初三上课时间学科数学课题名称轨迹问题解决方法之瓜豆原理教学目标1、掌握圆形轨迹最值问题2、掌握直线型轨迹最值问题3、掌握瓜豆原理勾画轨迹的问题轨迹问题解决方法之瓜豆原理【知识要点】在辅助圆问题中，我们了解了求关于动点最值问题的方式之一——求出动点轨迹，即可求出关于动点的最值．所以寻找到动点的轨迹，然后在计算，是一种不错的解决最值问题的方法。

本文讨论另一类动点引发的最值问题，在此类题目中，题目或许先描述的是动点P，但最终问题问的可以是另一点Q，当然P、Q之间存在某种联系，从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值，为常规思路【例题精讲】知识点一、轨迹是圆1、如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ 是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放2、如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．2、如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．模型总结为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”．【条件】两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．思考1如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边△APQ．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为斜边作等腰直角△APQ．考虑：当点P在圆O上运动时，如何作出Q点轨迹？真题战场余姚模拟1.如图，点P（3,4），圆P半径为2，A（2.8,0），B（5.6,0），点M是圆P上的动点，点C是MB 的中点，则AC的最小值是_______．2.如图，点A、B的坐标分别是A（2，0），B（0,2）点C为坐标平面内一点，BC=1，点M为线段AC的中点，链接OM，则OM的最大值是多少（）4.如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2倍根号2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC 的中点，当半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为________．南通中考如图，正方形ABCD中，AB=2倍根号5，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．求线段OF长的最小值．【课堂总结】1.2.3.4.【课后练习】一条隐藏的瓜豆△ABC中，AB=4，AC=2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为______．【真题战场】27．（2021天府新区2诊）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点F为DE中点，连接CF．（1）如图1所示，若点D正好在BC边上，求证：∠B＝∠ACE；（2）如图2所示，点D在BC边上，分别延长CF，BA，相交于点G，当tan∠EDC＝3，CG＝5时，求线段BG的长度；（3）如图3所示，若AB＝4，AE＝2，取CF的中点N，连接BN，在△ADE绕点A逆时针旋转过程中，求线段BN的最大值．QPyxOABC24．（2021青羊2诊）如图，在平面直角坐标系中，点Q 是一次函数142y x =-+的图象上一动点，将Q 绕点C （2，0）顺时针旋转90°到点P ，连接PO ，则PO+PC 的最小值_______________．25．（成外二诊B 卷4分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，∠ABC ＝45°，点E 为射线AD 上一动点，连接BE ，将BE 绕点B 逆时针旋转60°得到BF ，连接AF ，则AF 的最小值是．7．如图，一块∠BAC 为30°的直角三角板ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合，点E 在量角器的圆弧边缘处从A 到B 运动，连接CE ，交直径AB 于点D ． (1)当点E 在量角器上对应的刻度是90°时，则∠ADE 的度数为多少？(2)若AB=8，P 为CE 的中点，当点E 从A 到B 的运动过程中，点P 也随着运动，则点P 所走过的路线长为多少？27．（10分）问题背景如图（1），△ABD，△AEC都是等边三角形，△ACD可以由△AEB通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小．尝试应用如图（2），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边，作等边△ACD和等边△ABE，连接ED，并延长交BC于点F，连接BD．若BD⊥BC，求的值．拓展创新如图（3），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，连接PB，直接写出PB的最大值．。

中考数学压轴题轨迹问题

与路径有关的问题姓名1．如图，已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，⊥x轴于点M，交直线﹣x于点N．若点P是线段上的一个动点，∠30°，⊥，则点P在线段上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径是．2.如图，E，F是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为2，则线段长度的最小值是．3．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点，与y 轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF AE⊥于F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）A．32πB．33π C．34πD．36πyxGFOEDCBA5．如图，正方形的边长是2，M 是的中点，点E 从点A 出发，沿运动到点B 停止．连接并延长交射线于点F ，过M 作的垂线交射线于点G ，连结、．（1）设＝x 时，△的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）P 是的中点，请直接写出点P 运动路线的长．6x上，＝4，＝2．点P 从点O A 匀速运动，当点P到达点A 时停止运动，设点P 运动的时间是t 秒．将线段的中点绕点P 按顺时针方向旋转90°得点D ，点D 随点P 的运动而运动，连接、．（1）请用含t 的代数式表示出点D 的坐标；（2）求t 为何值时，△的面积最大，最大为多少？（3）在点P 从O 向A 运动的过程中，△能否成为直角三角形？若能，求t 的值；若不能，请说明理由；（4）请直接写出随着点P 的运动，点D 运动路线的长.7.如图，直角坐标系中，已知点A（2，4），B（5，0），动点P从B点出发沿向终点O运动，动点Q从A点出发沿向终点B运动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了x秒．（1）Q点的坐标为( , )（用含x的代数式表示）；（2）当x为何值时，△是一个以为腰的等腰三角形？（3）记的中点为G．请你直接写出点G随点P，Q运动所经过的路线的长度．G G9.如图1，已知正方形的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是的中点．P(0，m)是线段上一个动点(点C除外)，直线交的延长线于点D．(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示)；(2)当△是等腰三角形时，求m的值；(3)设过点P、M、B的抛物线与x轴的正半轴交于点E，过点O作直线图1图2备用图1备用图2的垂线，垂足为H (如图2)．当点P 从原点O 向点C 运动时，点H 也随之运动．请直接写出点H 所经过的路径长(不写解答过程)．10、问题探究：（1）请在图①的正方形内，画出使∠90°的一个点，并说明理由．（2）请在图②的正方形内（含边），画出使∠60°的所有的点P，并说明理由．问题解决：（3）如图③，现在一块矩形钢板，4，3．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△和△′D钢板，且∠∠'60度．请你在图③中画出符合要求的点和，并求出△的面积（结果保留根号）．。

2024年中考数学复习几何专项练习：动点运动路径之瓜豆原理(含答案解析)

2024年中考数学复习几何专项练习：动点运动路径之瓜豆原理（含答案解析）一、填空题1．如图，等边三角形ABC 中，AB =4，高线AHD 是线段AH 上一动点，以BD 为边向下作等边三角形BDE ，当点D 从点A 运动到点H 的过程中，点E 所经过的路径为线段CM ，则线段CM 的长为，当点D 运动到点H ，此时线段BE 的长为．【答案】2【分析】由“SAS ”可得△ABD ≌△CBE ，推出AD =EC ，可得结论，再由勾股定理求解2,BH =当,D H 重合时，2,BE BH ==从而可得答案.【详解】解：如图，连接EC ．∵△ABC ，△BDE 都是等边三角形，∴BA =BC ，BD =BE ，∠ABC =∠DBE =60°，∴∠ABD =∠CBE ，在△ABD 和△CBE 中，BA BC ABD CBE BD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△CBE （SAS ），∴AD =EC ，∵点D 从点A 运动到点H ，∴点E的运动路径的长为CM AH ==，当,D H 重合，而BDE △（即BHE ）为等边三角形，,BE BH \=4,,AB AH AH BC ==^Q2,BH ==2,BE ∴=故答案为：．【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，动点的轨迹等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．2．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且1BE =，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边EFG∆，连接CG ，则CG 的最小值为．【答案】52【分析】由题意分析可知，点F 为主动点，G 为从动点，所以以点E 为旋转中心构造全等关系，得到点G 的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG 最小值．【详解】由题意可知，点F 是主动点，点G 是从动点，点F 在线段上运动，点G 也一定在直线轨迹上运动将EFB ∆绕点E 旋转60︒，使EF 与EG 重合，得到EFB EHG ∆≅∆，从而可知EBH ∆为等边三角形，点G 在垂直于HE 的直线HN 上，作CM HN ⊥，则CM 即为CG 的最小值，作EP CM ⊥，可知四边形HEPM 为矩形，则1351222CM MP CP HE EC =+=+=+=.故答案为52．【点睛】本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G 的运动轨迹，是本题的关键．3．如图，等边ABC 中，8AB =，O 是BC 上一点，且14BO BC =，点M 为AB 边上一动点，连接OM ，将线段OM 绕点O 按逆时针方向旋转60︒至ON ，连接BN CN 、，则BCN △周长的最小值为．【答案】8+8【分析】过点N 作ND BC ⊥于点D ，过点O 作OH BM ⊥于点H ，则90OHM ODN ∠=∠=︒，证明HOM DNO ≌，可得DN OH =，从而得到点N 的运动轨迹是直线，且该直线与直线BC 平行，在BC 的左侧，与BCC 关于该直线的对称点E ，连接BE 交该直线于N ，即当点B ，N ，E 三点共线时，BCN △的周长最小，连接CE 交该直线于G ，则22CE CG DN ===CE BC ⊥，求出BE ，即可求解．【详解】解：如图，过点N 作ND BC ⊥于点D ，过点O 作OH BM ⊥于点H ，则90OHM ODN ∠=∠=︒，∵ABC 为等边三角形，∴60ABC ∠=︒，8BC AB ==，∴120BMO BOM ∠+∠=︒，根据题意得：60MON ∠=︒，OM ON =，∴120NOD BOM ∠+∠=︒，∴NOD BMO ∠=∠，∴HOM DNO ≌，∴DN OH =，∵14BO BC =，∴2BO =，∵60ABC ∠=︒，∴30BOH ∠=︒，∴112BH OB ==，∴DN OH ==∴点N 的运动轨迹是直线，且该直线与直线BC 平行，在BC 的左侧，与BC作点C 关于该直线的对称点E ，连接BE 交该直线于N ，即当点B ，N ，E 三点共线时，BCN △的周长最小，连接CE 交该直线于G ，则22CE CG DN ===，CE BC ⊥，∴BE =∴△ACN 的周长的最小值为8+故答案为：8+．【点睛】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，轴对称，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．4．如图，正方形ABCD 的边长为P 是CD 边上的一动点，连接AP ，将AP 绕点A 顺时针方旋转60︒后得到AQ ，连接CQ ，则点P 在整个运动过程中，线段CQ 所扫过的图形面积为．【答案】3-【分析】根据题意画出点P 在CD 上移动的过程，线段CQ 所扫过的面积就是COQ 的面积，根据正方形的性质，等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，得出线段CQ 所扫过的图形面积()12ACQ AOQ S S S =- ，再根据等边三角形，等腰直角三角形面积的计算方法进行计算即可．【详解】解：如图，当点P 在点D 时，相应的点Q 落在点O ，当点P 移动到点C 时，相应的点Q 在点Q ，CQ 扫过的面积就是COQ 的面积，由题意可知，AOD △、ACQ 都是等边三角形，AO DO AD ∴===AQ CQ AC ====，四边形ABCD 是正方形，AOD △是等边三角形，906030ODC ∴∠=︒-︒=︒，45ACD ∠=︒，OD CD = ，18030752DOC DCO ︒-︒∴∠=∠==︒，754530ACO ∴∠=︒-︒=︒，45607530QCO QCD DCO ∠=∠-∠=︒+︒-︒=︒，ACO QCO ∴∠=∠，AC QC = ，CO CO =，AOC ∴ ≌()SAS QOC ，AO QO ∴=，604515CQO CAO ∠=∠=︒-︒=︒，()3601801530290AOQ ∴∠=︒-︒-︒-︒⨯=︒，即AOQ △是等腰直角三角形，∴线段CQ 所扫过的图形面积()12ACQ AOQ S S S =- 111222⎛=⨯⨯⨯ ⎝3=，故答案为：3．【点睛】本题考查正方形、等边三角形，等腰直角三角形以及全等三角形的判定和性质，掌握正方形、等边三角形，等腰直角三角形以及全等三角形的判定和性质是正确解答的前提．5．如图，点D 是等边ABC 边AB 上的一动点(不与端点重合)，点D 绕点C 引顺时针方向旋转60 得点E ，所得的CDE 边DE 与BC 交于点F ，则CF DE的最小值为．【分析】由旋转的性质得CDE 为等边三角形，由CEF CAD ∽△△得到CF CE CD AC =，即CF CD DE AC =，从而得到当CD 最小时，比值最小，再由“垂线段最短”得到当CD AB ⊥时，CD 值最小，作出对应图形，利用“ACD 是含30︒角的直角三角形”求出CD AC，从而得解．【详解】解：由旋转的性质得：CD CE =，60DCE ∠=︒，CDE ∴ 为等边三角形，DE CD CE ∴==，60A DEC ∠=∠=︒60ACD DCB ∠+∠=︒60DCB ECF ∠+∠=︒ACD ECF∴∠=∠∵60A DEC ∠=∠= ，ACD ECF∠=∠CEF CAD∴ ∽CF CE CD AC ∴=，即CF CD DE AC=AC 为定值，∴当CD 最小时，比值最小．根据“垂线段最短”可知：当CD AB ⊥时，CD 值最小，过点C 作CD AB ⊥于D ，并补全图形如下：ABC 是等边三角形，CD AB ⊥，60ACB ∠=︒∴1302ACD ACB ∠=∠=︒设AC 2a =，则12AD AC a ==∴CD ==，∴此时CF CD DE AC ==即CF DE 的最小值为2．故答案为：2．【点睛】此题考查图形的旋转变化与性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，含30︒角的直角三角形的性质，垂线段最短，理解“垂线段最短”和利用相似三角形的性质将CF DE转化为CD AC 是解题的关键．6．如图，在ACB △中，60ACB ∠=︒，75BAC ∠=︒，12AC =，点D 是边BC 上的一动点，连接AD ，将线段AD 绕点A 按逆时针方向旋转75︒得到线段AE ，连接CE ，则线段CE 长度的最小值是．【答案】/-【分析】过点A 作AF BC ⊥于点F ，在AB 上取点N ，使12AN AC ==，连接DN ，过点N 作点NM BD ⊥于点M ，证明()SAS NAD DAE ≌，求出CE DN =，得出当DN 最小时，CE 最小，根据垂线段最短，得出当点D 与点M 重合时，DN 最小，则CE 最小，求出最小结果即可．【详解】解：过点A 作AF BC ⊥于点F ，在AB 上取点N ，使12AN AC ==，连接DN ，过点N 作点NM BD ⊥于点M ，如图所示：根据旋转可知，AD AE =，75DAE ∠=︒，∵75BAC DAE ==︒∠∠，∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠，即NAD CAE =∠∠，∵AN AC =，AD AE =，∴()SAS NAD CAE ≌，∴CE DN =，∴当DN 最小时，CE 最小，∵垂线段最短，∴当点D 与点M 重合时，DN 最小，则CE 最小，∵90AFC ∠=︒，60BCA ∠=︒，∴906030CAF ∠=︒-︒=︒，∴162CF AC ==，∴AF ==，∵45BAF BAC CAF =-=︒∠∠∠，90AFB ∠=︒，∴904545B ∠=︒-︒=︒，∴B BAF ∠=∠，∴BF AF ==∴AB ==∴12BN AB AN =-=-，∵90BMN ∠=︒，45B ∠=︒，∴904545BNM =︒-︒=︒∠，∴B BNM =∠∠，∴BM NM =，∵222BN NM BM =+，∴()22212NM =-，解得：NM =-，∴CE 的最小值为-．故答案为：【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判断和性质，直角三角形的性质，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明CE DN =．7．如图，点A 的坐标为3⎫⎪⎪⎝⎭，点B 是x 轴正半轴上的一点，将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转60︒得到线段AC ．若点C 的坐标为(,4)k ，则k 的值为．【分析】连接BC ，过A 点作AF x ⊥轴于F ，C 作CD x ⊥轴于点D ，CE AF ⊥于点E ，则四边形DCEF 是矩形，根据将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转60︒得到线段AC ，可得ABC 是等边三角形，AB AC BC ==，由点A 的坐标为，(,4)C k ，有AC ==，而BD ==FB ==OF BF BD OD k ++==，可得k =，解方程可得答案．【详解】解：连接BC ，过A 点作AF x ⊥轴于F ，C 作CD x ⊥轴于点D ，CE AF ⊥于点E ，则四边形DCEF 是矩形，如图：∵将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转60︒得到线段AC ，∴AB AC =，60BAC ∠=︒，∴ABC 是等边三角形，∴AB AC BC ==，∵点A 的坐标为，(,4)C k ，，∴3CE k FD =-=，4CD =，3AF =，∴1AE EF AF CD AF =-=-=，∴AC BC AB ====，在Rt BCD 中，BD =，在Rt AFB 中，FB =∵OF BF BD OD k ++==，∴3k =，设k x =x =，化简变形得：42346490x x -=-，解得21x =-（舍去）或2493x =，∴3x =或3x =-（不符合题意，舍去），∴k ，∴k =，．【点睛】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含k 的代数式表示相关线段的长度．8．如图，在边长为6的等边ABC 中，直线AD BC ⊥，E 是AD 上的一个动点连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针方向旋转60︒得到FC ，连接DF ，则点E 运动过程中，DF 的最小值是．【答案】32【分析】取线段AC 的中点G ，连接EG ，根据等边三角形的性质可得出CD CG =以及FCD ECG Ð=Ð，由旋转的性质可得出EC FC =，由此即可利用全等三角形的判定定理SAS 证出FCD ≌ECG ，进而即可得出DF GE =，再根据点G 为AC 的中点，即可得出EG 的最小值，此题得解．【详解】解：取线段AC 的中点G ，连接EG ，如图所示．ABC 为等边三角形，6AC BC ==，且AD 为ABC 的对称轴，132CD CG AB ∴===，60ACD ∠=︒，60ECF =︒∠ ，FCD ECG \Ð=Ð．FCD ∴ ≌()ECG SAS ，DF GE ∴=．当EG BC ∥时，EG 最小，点G 为AC 的中点，∴此时1133222EG DF CD ===⨯=．故答案为：32．【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出DF GE =．9．如图，在ABC ∆中，90ACB ︒∠=，点D 在BC 边上，5BC =，2CD =，点E 是边AC 所在直线上的一动点，连接DE ，将DE 绕点D 顺时针方向旋转60︒得到DF ，连接BF ，则BF 的最小值为．【答案】72【分析】当E 与点C 重合时，点F 与等边三角形CDG 的点G 重合，当点F 开始运动时，△ECD ≌△FGD ，故点F 在线段GF 上运动，根据垂线段最短原理，当BF ⊥GF 时，BF 有最小值，根据直角三角形的性质计算即可．【详解】当E与点C重合时，点F与等边三角形CDG的点G重合，∵DE绕点D顺时针方向旋转60 得到DF，∴△DEF是等边三角形，∴∠GDC=∠FDE=60°，ED=FD，∴∠GDC-∠GDE=∠FDE-∠GDE，∴∠EDC=∠FDG，∵△DEF是等边三角形，∴CD=GD，∴△ECD≌△FGD，∴EC=GF，∠ECD=∠FGD=90°，∴点F在线段GF上运动，根据垂线段最短原理，当BF⊥GF时，BF有最小值，如图，当旋转到BF∥DG 时,BF⊥GF，垂足为F，过点D作DH⊥BF，垂足为H，∵∠FGD=90°，∴四边形FGDH是矩形，∴∠GDH=90°，GD=FH=2，∵∠GDC=60°，∴∠BDH=30°，∵BD=BC-CD=5-2=3，∴BH=1232 BD=，∴BF=FH+BH=2+32=72，故答案为：7 2．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，垂线段最短，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定，灵活运用直角的判定和直角三角形的性质是解题的关键．10．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且1BE=，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF 烧点E顺时什旋转60°得到EG，连接CG，则CG的最小值为．【答案】5 2【分析】由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G 的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．【详解】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EBH为等边三角形，△EBF≌△EHG，∴∠EHG=∠ABC=90°，HE=BE=1，∠BEH=60°，∴点G在垂直于HE的直线HN上．作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，∴∠CEP=180°-60°-90°=30°，∴CP=12CE=12×(4-1)=32，则CM=MP+CP=35122 HE PC+=+=，即CG的最小值为5 2．故答案为5 2．【点睛】本题考查了旋转的性质，线段最值问题，全等三角形的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，以及垂线段最短等知识，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型．11．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是AB上异于A，B的一动点，将△ACD绕点C逆时针旋转60°得△BCE，则旋转过程中△BDE周长的最小值【答案】．【分析】由旋转的性质得到BE=AD，于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD ，由垂线段最短得到当CD ⊥AB 时，△BDE 的周长最小，于是得到结论．【详解】∵将△ACD 绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE ，∴∠DCE=60°，DC=EC ，∴△CDE 是等边三角形，由旋转的性质得，BE=AD ，∴C △DBE =BE+DB+DE=AB+DE=4+DE ，∵△CDE 是等边三角形，∴DE=CD ，∴C △DBE =CD+4，由垂线段最短可知，当CD ⊥AB 时，△BDE 的周长最小，此时，∴△BDE 的最小周长，故答案为．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．12．如图，在ABC 中，8AC BC ==，60BCA ∠= ，直线AD BC ⊥，E 是AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 按逆时针方向旋转60 得到FC ，连接DF ，则点E 运动过程中，DF 的最小值是．【答案】2【分析】根据题意取线段AC 的中点G ，连接EG ，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出CD=CG 以及∠FCD=∠ECG ，由旋转的性质可得出EC=FC ，由此即可利用全等三角形的判定定理SAS 证出△FCD ≌△ECG ，进而即可得出DF=GE ，再根据点G 为AC 的中点，即可得出EG 的最小值．【详解】取线段AC 的中点G ，连接EG，如图所示．8AC BC == ，60BCA ∠= ，ABC ∴为等边三角形，且AD 为ABC 的对称轴，142CD CG AB ∴===，60ACD ∠= ，60ECF ∠= ，FCD ECG ∴∠=∠．在FCD 和ECG 中，FC EC FCD ECG DC GC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，FCD ∴ ≌()ECG SAS ，DF GE ∴=．当//EG BC 时，EG 最小，点G 为AC 的中点，∴此时11224EG DF CD BC ====．故答案为2．【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出.DF GE =本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边是关键．13．如图，等边△AOB 的边长为4，点P 从点O 出发，沿OA 以每秒1个单位的速度向点A 匀速运动，当点P 到达点A 时停止运动，设点P 运动的时间是t 秒．将线段BP 的中点绕点P 按顺时针方向旋转60°得点C ，点C 随点P 的运动而运动，连接CP 、CA ．在点P 从O 向A 运动的过程中，当△PCA 为直角三角形时t 的值为.【答案】2或83【详解】如图（1）过点P 作PD ⊥OB 于点D ，过C 作CE ⊥OA 于E ，∴∠PDO=∠PEC=90°，∵∠O=60°，∴∠OPD=30°，∴OD=12t ，∴BD=4-12t ，，∵线段BP 的中点绕点P 按顺时针方向旋转60°得点C ，∴∠BPC=60°，BP=2PC ，∵∠OPD=30°，∴∠BPD+∠CPE=90°，∴∠DBP=∠CPE ，∴△PCE ∽△BPD ，∴CE PE PC PD BD PB==，11242PE t ==-，∴，PE=2-14t ，OE=2+34t ，如图（2）当∠PCA=90度时，作CF ⊥PA ，∴△PCF ∽△ACF ，∴△PCF ∽△ACF ，∴PF CF CF AF =，∴CF 2=PF•AF ，∵PF=2-14t ，AF=4-OF=2-34t ，，）2=（2-14t ）（=2-34t ），∴t=2，这时P 是OA 的中点；如图（3）当∠CAP=90°时，此时OA=OE ，∴2+34t=4，∴t=83，故答案为2或83.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，等边三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质等，正确地添加辅助线，求出OE 的长是解题的关键.二、解答题14．在平面直角坐标系中，A （a ，0）、B （b ，0），且a ，b 满足26930a a b -+++=，C 、D 两点分别是y 轴正半轴、x 轴负半轴上的两个动点；（1）如图1，若C （0，4），求△ABC 的面积；（2）如图1，若C （0，4），BC =5，BD=AE ，且∠CBA=∠CDE ，求D 点的坐标；（3）如图2，若∠CBA =60°，以CD 为边，在CD 的右侧作等边△CDE ，连接OE ，当OE 最短时，求A ，E 两点之间的距离．【答案】（1）△ABC 的面积为12；（2）D 点的坐标为（-2，0）；（3）A ，E 两点之间的距离为32【分析】（1）利用完全平方式和绝对值的性质求出a ，b ，然后确定A 、B 两点坐标，从而利用三角形面积公式求解即可；（2）根据题意判断出CBD DAE △≌△，从而得到CB AD =，然后利用勾股定理求出CB ，及可求出结论；（3）首先根据“双等边”模型推出DCB ECA ≌，得到120DBC EAC ∠=∠=︒，进一步推出AE BC ∥，从而确定随着D 点的运动，点E 在过点A 且平行于BC 的直线PQ 上运动，再根据点到直线的最短距离为垂线段的长度，确定OE 最短时，各点的位置关系，最后根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）∵26930a a b -+++=，∴()2330a b -++=，由非负性可知，3030a b -=⎧⎨+=⎩，解得：33a b =⎧⎨=-⎩，∴()3,0A ，()3,0B -，()336AB =--=，∵()0,4C ，∴4OC =，∴11641222ABC S AB OC ==⨯⨯= ；（2）由（1）知()3,0A ，()3,0B -，∴OA OB =，∵OC AB ⊥，∴90AOC BOC ∠=∠=︒，在AOC 和BOC 中，OA OB AOC BOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AOC BOC SAS △≌△，∴CBO CAO ∠=∠，∵CDA CDE ADE BCD CBA ∠=∠+∠=∠+∠，CBA CDE ∠=∠，∴ADE BCD ∠=∠，在BCD △和ADE V 中，BCD ADE CBD DAE BD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BCD ADE AAS ≌，∴CB AD =，∵()3,0B -，()0,4C ，∴3OB =，4OC =，∴5BC ==，∴5AD BC ==，∵()3,0A ，∴()2,0D -；（3）由（2）可知CB =CA ，∵∠CBA =60°，∴△ABC 为等边三角形，∠BCA =60°，∠DBC =120°，∵△CDE 为等边三角形，∴CD =CE ，∠DCE =60°，∵∠DCE =∠DCB +∠BCE ，∠BCA =∠BCE +∠ECA ，∴∠DCB =∠ECA ，在△DCB 和△ECA 中，CD CE DCB ECA CB CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()DCB ECA SAS ≌，∴120DBC EAC ∠=∠=︒，∵12060180EAC ACB ∠+∠=︒+︒=︒，∴AE BC ∥，即：随着D 点的运动，点E 在过点A 且平行于BC 的直线PQ 上运动，∵要使得OE 最短，∴如图所示，当OE ⊥PQ 时，满足OE 最短，此时∠OEA =90°，∵120DBC EAC ∠=∠=︒，60CAB ∠=︒，∴60OAE EAC CAB ∠=∠-∠=︒，30AOE ∠=︒，∵()3,0A ，∴3OA =，∴1322AE OA ==，∴当OE 最短时，A ，E 两点之间的距离为32．【点睛】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形和等边三角形的判定与性质等，理解平面直角坐标系中点坐标的特征，掌握等腰或等边三角形的性质，熟练使用全等三角形的判定与性质是解题关键．15．在▱ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝6．点E'在BC边上且BE'＝4，将B E'绕点B逆时针旋转a°得到BE（0°＜a＜180°）．(1)如图1，当∠EBA＝90°时，求S△BCE；(2)如图2，在旋转过程中，连接CE，取CE中点F，作射线BF交直线AD于点G．①求线段BF的取值范围；②当∠EBF＝120°时，求证：BC﹣DG＝2BF；(3)如图3．当∠EBA＝90°时，点S为线段BE上一动点，过点E作EM⊥射线AS于点M，N为AM中点，直接写出BN的最大值与最小值．=6；【答案】(1)S△BCE(2)①1＜BF＜5；②证明见解答；(3)BNBN的最大值为【分析】（1）如图1，过点E 作EF ⊥BC 交CB 的延长线于点F ，根据题意求得∠EBF =180°-∠EBA -∠ABC =180°-90°-60°=30°，再根据特殊直角三角形的性质进而求得BC 上的高EF =2，代入面积公式算出结果；（2）①如图，在线段FG 上截取FK =BF ，连接EK 、CK ，可证得四边形BCKE 是平行四边形，得出：BE =CK =BE '=4，BC =6，再运用三角形三边关系即可求得答案；②可证△EKB ≌△BGA （AAS ），得出BK =AG ，由AG =AD -DG ，即可推出结论；（3）连接AE ，取AE 的中点P ，PA 的中点Q ，连接BP 、NP 、NQ 、BQ ，可证△ABE 是等腰直角三角形，得出：AE AB P 是AE 的中点，可得：BP ⊥AE ，且BP =AP =EP ，利用勾股定理得BQ，当B 、Q 、N 三点共线时，BN 的最小值=BQ -NQ，当点S 与点E 重合时，EM =0，PN =0，此时，BN 的最大值=BP 【详解】（1）解：如图1，过点E 作EH ⊥BC 交CB 的延长线于点H ，∴∠EHC =90°，∵∠ABC =60°，∠EBA =90°，∴∠EBH =180°-∠EBA -∠ABC =180°-90°-60°=30°，∵点E '在BC 边上且BE '=4，将B E '绕点B 逆时针旋转α°得到BE ，∴BE =B E '=4，∴EH =12BE =12×4=2，又∵BC =6，∴S △BCE =12BC •EH =12×6×2=6；（2）解：①如图，在线段FG 上截取FK =BF ，连接EK 、CK ，∵EF=FC，BF=FK，∴四边形BCKE是平行四边形，∴BE=CK=BE'=4，BC=6，在△BCK中，BC-CK＜BK＜BC+CK，∴6-4＜BK＜6+4，即2＜2BF＜10，∴1＜BF＜5；②证明：∵四边形ABCD是平行四边形，且∠ABC=60°，AB=4，∴∠A=180°-∠ABC=180°-60°=120°，AD∥BC，AD=BC，BE=AB，∵∠EBF=120°，即∠EBK=120°，∴∠EBK=∠A，∵EK∥BC，∴EK∥AD，∴∠EKB=∠BGA，在△EKB和△BGA中，EKB BGAEBK ABE AB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EKB≌△BGA（AAS），∴BK=AG，由①知：BK=2BF，又∵AG=AD-DG，∴2BF =BC -DG ；（3）解：连接AE ，取AE 的中点P ，PA 的中点Q ，连接BP 、NP 、NQ 、BQ ，∵∠ABE =90°，AB =BE =4，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AE ，∵点P 是AE 的中点，∴BP ⊥AE ，且BP =AP =EP ，∵N 是AM 的中点，P 是AE 的中点，∴PN 是△AEM 的中位线，∴PN ∥EM ，∴∠ANP =∠AME =90°，∵点Q 是AP 的中点，∴QN =PQ =12AP在Rt △BPQ 中，BQ =当B 、Q 、N 三点共线时，BN 的最小值=BQ -NQ 当点S 与点E 重合时，EM =0，PN =0，此时，BN 的最大值=BP 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．16．如图，线段AB ＝10cm ，C 是线段AB 上的一个动点（不与A 、B 重合），在AB 上方分别以AC 、BC 为边作正△ACD 和正△BCE ，连接AE ，交CD 于M ，连接BD ，交CE 于N ，AE 、BD 交于H ，连接CH .(1)求sin ∠AHC ；(2)连接DE ，设AD ＝x ，DE ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式；(3)把正△BCE 绕C 顺时针旋转一个小于60°的角，在旋转过程中H 到△DCE 的三个顶点距离和最小，即HC +HD +HE 的值最小，HC +HD +HE 的值总等于线段BD 的长.若AC ＝，旋转过程中某一时刻2AH ＝3DH ，此刻△ADH 内有一点P ，求PA +PD +PH 的最小值.【答案】(1)2；(2)y0＜x ＜10）；【分析】（1）过点C 作CT ⊥AE 于点T ，CR ⊥BD 于点R ，先证△ACE ≌△DCB 得∠CAM ＝∠HDM ，由直角三角函数可得sin sin ＝CT CA CAM CD HDM CR ∠=∠= ，从而得CH 平分∠AHB ，进而求得∠AHC ＝∠BHC ＝60°即可求解；（2）如图2中，如图，过点D 作DP ⊥CE 于点P ，先由三角函数求得CP ＝12CD ＝12x ，DP ＝2x ，又由AB ＝10cm ，得CE ＝CB ＝（10﹣x ）cm ，进而得PE ＝|10﹣x ﹣12x |＝|10﹣32x |，最后由勾股定理即可求得y 与x 之间的函数关系式；（3）如图3中，以AD 为边向外作等边△ADW ，连接WH ，由题意WH 是PA +PD +PH ．过点D 作DS ⊥AH 于H ，过点W 作WG ⊥AD 于点G ，过点H 作HK ⊥AD 于K ，过点W 作WQ ⊥HK 于点Q ．假设AH ＝3k ，DH ＝2k ，由勾股定理得AH ＝6，DH ＝4，DSHKDKWQ ＝KGGW ＝KWHQWH 的长即PA +PD +PH 的最小值．【详解】（1）解：过点C 作CT ⊥AE 于点T ，CR ⊥BD 于点R．∵△ADC ，△ECB 都是等边三角形，∴CA ＝CD ，CE ＝CB ，∠ACD ＝∠ECB ＝60°，∴∠ACE ＝∠DCB ，在△ACE 和△DCB 中，CA CD ACE DCB CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△DCB （SAS ），∴∠CAM ＝∠HDM ，∵CT ⊥AE ，CR ⊥BD ，∴sin sin ＝CT CA CAM CD HDM CR ∠=∠= ，∴CH 平分∠AHB ，∵∠AMC ＝∠DMH ，∴∠AHM ＝∠ACM ＝60°，∴∠AHC ＝∠BHC ＝60°，∴sin ∠AHC ＝2；（2）解：如图2中，如图，过点D 作DP ⊥CE 于点P ．∵AC ＝CD ＝x （cm ），∠DCE ＝60°，∴CP ＝12CD ＝12x ，DP ，∵AB ＝10cm ，∴BC ＝AB ﹣AC ＝（10﹣x ）cm ，∴CE ＝CB ＝（10﹣x ）cm ，∴PE ＝|10﹣x ﹣12x |＝|10﹣32x |，∴y ＝DE （0＜x ＜10）；（3）解：如图3中，以AD 为边向外作等边△ADW ，连接WH ，由题意WH 是PA +PD +PH ．过点D 作DS ⊥AH 于H ，过点W 作WG ⊥AD 于点G ，过点H 作HK ⊥AD 于K ，过点W 作WQ ⊥HK 于点Q ．∵2AH ＝3DH ，∴可以假设AH ＝3k ，DH ＝2k ，∵∠DHS ＝60°，DS ⊥AH ，∴SH ＝12DH ＝k ，DS ，AM ＝2k ，∵AD 2＝AS 2+DS 2，∴（）2＝（2k ）2+）2，∴k ＝2（负根已经舍弃），∴AH ＝6，DH ＝4，DS∵12•AH •DS ＝12•AD •HK ，∴HK ＝7，DK 7，∵AG ＝DG WQKG 是矩形，∴WQ ＝KG GW ＝KW∴HQ ＝KH +KQ ＝7，∴WH ＝∴PA +PD +PH 的最小值为【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题是解本题的关键．17．在学习了图形的旋转知识后，某数学兴趣小组对教材中有关图形旋转的问题进行了进一步探究．（1）问题梳理，问题呈现：如图1，点D 在等边ABC 的边BC 上，过点C 画AB 的平行线l ，在l 上取CE BD =，连接AE ，则在图1中会产生一对旋转图形．请结合问题中的条件，证明：ABD ACE ≌△△；（2）初步尝试：如图2，在ABC 中，AB AC =，点D 在BC 边上，且BD DC <，将ABD △沿某条直线翻折，使得AB 与AC 重合，点D 与BC 边上点F 重合，再将ACF △沿AC 所在直线翻折，得到ACE △，则在图2中会产生一对旋转图形．若30BAC ∠=︒，6AD =，连接DE ，求ADE V 的面积；（3）深入探究：如图3，在ABC 中，60ACB ∠=︒，75BAC ∠=︒，6AC =，点D 是边BC 上的任意一点，连接AD ，将线段AD 绕点A 按逆时针方向旋转75°，得到线段AE ，连接CE ，求线段CE 长度的最小值．【答案】（1）见解析；（2）9；（3）【分析】（1）根据△ABC 是等边三角形，可得AB ＝AC ，∠BAC ＝∠B ＝60°，进而利用SAS 可证明△ABD ≌△ACE ．（2）如图2，过点E 作EH ⊥AD 于H ，由翻折可得△ACE ≌△ABD ≌△ACF ，可得AE ＝AD ＝6，EH ＝3，再运用S △ADE ＝12×AD ×EH ，即可求得答案．（3）如图3中，在AB 上截取AN ＝AC ，连接DN ，作NH ⊥BC 于H ，作AM ⊥BC 于M ．利用SAS 证明△EAC ≌△DAN ，推出当DN 的值最小时，EC 的值最小，求出HN 的值即可解决问题．【详解】（1）如图1，∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ，∠BAC ＝∠B ＝60°，∵CE ∥AB ，∴∠ACE ＝∠BAC ＝60°，∴∠B ＝∠ACE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC B ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ）；（2）如图2，过点E 作EH ⊥AD 于H，∵由翻折可得：△ACF ≌△ABD ，△ACE ≌△ACF ，∴△ACE ≌△ABD ≌△ACF ，∴AE ＝AD ＝6，∠CAE ＝∠BAD ，∴∠DAE ＝∠BAC ＝30°，∵EH ⊥AD ，∴EH ＝12AE ＝3，∴S △ADE ＝12×AD ×EH ＝12×6×3＝9；（3）如图3中，在AB 上截取AN ＝AC ，连接DN ，作NH ⊥BC 于H ，作AM ⊥BC 于M．∵∠CAB ＝∠DAE ，∴∠EAC ＝∠DAN ，∵AE ＝AD ，AC ＝AN ，∴△EAC ≌△DAN （SAS ），∴CE ＝DN ，∴当DN 的值最小时，EC 的值最小，在Rt △ACM 中，∵∠ACM ＝60°，AC ＝6，∴30CAM ∠=︒,∴132CM AC ==,∴AM∵∠MAB ＝∠BAC −∠CAM ＝75°−30°＝45°，∴AMB 为等腰直角三角形，∴AB=，∴NB ＝AB −AN ＝−6，在Rt △NHB 中，∵∠B ＝45°，∴NBH △为等腰直角三角形，∴NH根据垂线段最短可知，当点D 与H 重合时，DN 的值最小，∴CE 的最小值为．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．18．（一）发现探究在△ABC中AB＝AC，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AQ，连接BQ；【发现】如图1如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是；【探究】如图2，如果点P为平面内任意一点．前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）；（二）拓展应用【应用】如图3，在△DEF中，DE＝6，∠EDF＝60°，∠DEF＝90°，P是线段EF上的任意一点连接DP，将线段DP绕点D顺时针方向旋转60°，得到线段DQ，连接EQ请求出线段EQ长度的最小值．【答案】【发现】BQ＝PC；【探究】BQ＝PC仍然成立，证明见解析；【应用】线段EQ长度的最小值为3．【分析】[发现]先判断出∠BAQ＝∠CAP，进而用SAS判断出△BAQ≌△CAP，即可得出结论；[探究]结论BQ＝PC仍然成立，理由同【发现】的方法；[应用]在DF上取一点H，使DH＝DE，连接PH，过点H作HM⊥EF于M，构造出△DEQ≌△DHP，得出EQ＝HP，当HP⊥EF（点P和点M重合）时，EQ最小，求HM即可．【详解】[发现]由旋转知，AQ＝AP，∵∠PAQ＝∠BAC，∴∠PAQ﹣∠BAP＝∠BAC﹣∠BAP，∴∠BAQ＝∠CAP，∵AB＝AC，∴△BAQ≌△CAP（SAS），∴BQ＝CP，故答案为：BQ＝PC；【探究】结论：BQ＝PC仍然成立，理由：由旋转知，AQ＝AP，∵∠PAQ＝∠BAC，∴∠PAQ﹣∠BAP＝∠BAC﹣∠BAP，∴∠BAQ＝∠CAP，∵AB＝AC，∴△BAQ≌△CAP（SAS），∴BQ＝CP，【应用】如图3，在DF上取一点H，使DH＝DE，连接PH，过点H作HM⊥EF于M，由旋转知，DQ＝DP，∠PDQ＝60°，∵∠EDF＝60°，∴∠PDQ＝∠EDF，∴∠EDQ＝∠HDP，∴△DEQ≌△DHP（SAS），∴EQ＝HP，求EQ最小，就是求HP最小，当HP⊥EF（点P和点M重合）时，HP最小，最小值为HM，∵∠EDF＝60°，∠DEF＝90°，∴∠F＝30°，∵DE＝6，∴DF＝2DE＝12，∵DH＝DE=6，∴FH＝6，∵∠F＝30°，∴HM=3．线段EQ长度的最小值为3．．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，恰当的作辅助线，把所求线段转化为与动点P有关的线段，根据垂线段最短确定线段位置是解本题的关键．。

2024贵阳中考数学二轮中考题型研究微专题轨迹问题中的“瓜豆原理”模型 (课件)

例 1 如图，P 为线段 BC 上一动点，A 为定点，连接 AP，取 AP 中点 Q，当点 P 在 BC 上运动时，画出点 Q 的运动轨迹．
例1题图
【作图提示】如解图，分别过点A、点Q作AM⊥BC于点M，QN⊥BC 于点N，在运动过程中，∵AP＝2AQ，∴QN 始终为 AM 的一半，即点 Q 到 BC 的距离是定值．
NM
例1题图
∟∟
解：如解图，线段 EF 即为点 Q 的运动轨迹．
E
F
例1题图
例 2 如图，△APQ 是等腰直角三角形，∠PAQ＝90°且 AP＝AQ，当点 P 在线段 BC 上运动时，画出点 Q 的运动轨迹．
例2题图
【作图提示】∵AP 与 AQ 夹角固定且 AP∶AQ 为定值，∴点 P、Q 的轨
运动轨迹是个圆．如解图，连接 AO，构造∠OAM ＝45°且 AO∶AM ＝
2∶1.
点 M 即为点 Q 轨迹圆心，
此时任意时刻均有△AOP∽△AMQ，
M
OP∶MQ＝AO∶AM＝ 2∶1，
即可得到点 Q 轨迹圆半径，
即可确定点 Q 的轨迹圆．
例5题图
解：如解图，⊙M 即为点 Q 的运动轨迹．
M
例5题图
9 中，点 M 运动的路径长为 2 ．
第 1 题图
模型二圆轨迹结论：1.主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角： ∠PAQ＝∠OAM； 2．主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比，也等于两圆半径之比，即 AP∶AQ＝AO∶AM＝OP∶MQ.
例 3 如图， P 是⊙O 上一个动点，A 为定点，连接 AP，Q 为 AP 的中点，当点 P 在⊙O 上运动时，画出点 Q 的运动轨迹．

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中考数学核心知识专题复习
----轨迹问题探究
符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹
六种常用的基本轨迹：
①到已知线段的两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线。

②到已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线。

③到已知直线的距离等于定长的点的轨迹是与这条直线平行，且与已知直线的距离等于定长的两条直线。

④到两条平行线距离相等的点的轨迹是和这两条平行线平行且到这两条平行线距离相等的一条直线。

⑤到定点的距离等于定长的点轨迹是与定点为圆心，定长为半径的圆。

⑥和已知线段的两个端点的连线的夹角等于已知角的点的轨迹是以已知线段为弦，所含圆周角等于已知角的两段弧（端点除外）。

一、尺规作图：轨迹法确定动点位置
1）已知AOB ∠,求作点P ，使得点P 到角两边距离相等，且满足OP=2
2）已知AOB ∠和直线L,在直线L 上确定点P ，使得使得点P 到角两边距离相等 3）已知AOB ∠和线段CD,使得点P 到角两边距离相等且满足PC=PD 4) 已知线段AB 和直线L ，在直线L 上确定点P 使得0
60=∠APB 1) 2)
4)
O
B
O
O
B
A B
2
二交轨法应用
1.在正方形ABCD 中，E 为AD 边上一点，以BE 边所在直线为折痕将ABE ∆对折之PBE ∆位置。

若AB=2，且PC=1.
1) 不全图形
2) 求tan ∠PCD 的值
2．如图，在Rt △ABC 中，∠CAB =90°，∠ACB=300，BC =8，D 为线段AB 上的动点，过点A 作AH ⊥CD 于点H ，连接BH ，则 ② 求AB 的长
②求BH 的最小值。

3．等边三角形ABC 的边长为6，在AC ，BC 边上各取一点E ，F ，连接AF ，BE 相交于点P ．且AE =CF ；（1）求证：AF =BE ，并求∠APB 的度数；（2）若AE =2，试求AP •AF 的值；
（3）当点E 从点A 运动到点C 时，试求点P 经过的路径长．
B C A D A
B C D
H
4．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G 上一动点，CF AE
于F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长
5．如图，已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、
PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接
CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，
求点G移动路径的长
6.问题探究：
（1）请在图①的正方形ABCD内，画出使∠APB=90°的一个点，并说明理由．
（2）请在图②的正方形ABCD内（含边），画出使∠APB=60°的所有的点P，并说明理由．
问题解决：
（3）如图③，现在一块矩形钢板ABCD，AB=4，BC=3．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB 和△CP′D钢板，且∠APB=∠CP'D=60度．请你在图③中画出符合要求的点和，并求出△APB的面积（结果保留根号）．
y
x
G
F
O
E
D
C
B
A
3
三、坐标系中的动点问题
动点P(a,2)的运动轨迹是____________________________________________________
动点P(a,a+2)的运动轨迹是__________________________________________________
动点P（a,a2-2a）的运动轨迹是_________________________________________________
1．在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，3），Array a是直线上的
过点B作直线∥x轴，点P(,3)
动点，以AP为边在AP右侧作等腰Rt APQ，
∠APQ=90°，直线AQ交y轴于点C．
（1）当a=1时，求点Q的坐标
（2）当点P在直线上运动时，点Q也随之运
动．当a=_______时，AQ+BQ的值最小为_________．
4。

中考数学专题复习-轨迹问题