平面汇交力系与平面力偶系精品PPT课件
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第二章平面汇交力系及平面力偶系
一、几何法合成（作图法）
1、两力的合成方法——平行四边形法则。
2、多个力的合成。方法——力多边形法 则（依据平行四边形法则）。将汇交
力系各力平行移至首尾相接，起点至
第
终点连线为合力。
一 章
静 力 学 基 础
理论力学教学课件
第一节 平面汇交力系的合成
一、几何法（作图法）
F1
R12
O
F2
F3
R123
同理 ：Ry= F1y+ F2y+ F3y
R FX 2 Fy 2
第二节 平面汇交力系合成的解析法
例 用 解 析 法 求 三 力 的 合 力 。 已 知 F1=100N ，
F2=200N，F3=300N 。
F1
45°
O
F2
解：F1X=F1COS45°=71N F1y=F1sin45°=71N F2X=F2=200N
静 力
自行封闭。
学 基
础
第二节 平面汇交力系的合成与 平衡的解析法
一、解析法合成（计算 ） 1、力在直角坐标轴上的投影
y
a’
A
αF
B
b’
oa
b
x
ab:F在x轴上的投影（Fx). a’b’:F在y轴上的投影（Fy）。
Fx=ab=Fsinα
第
一
Fy=a’ b’= - Fcosα
章
静 力 学 基 础
第二节 平面汇交力系合成的解析法
解：据平衡方程：ΣFx=0 ΣFy=0
ΣFy=-P- FD cos30°-FCBsin30°=0 FCB=-74.6 KN （BC杆受压） ΣF x=-FAB - FD sin30°FCBcos30°=0 FAB =54.6 KN （AB杆受拉）
1、两力的合成方法——平行四边形法则。
2、多个力的合成。方法——力多边形法 则（依据平行四边形法则）。将汇交
力系各力平行移至首尾相接，起点至
第
终点连线为合力。
一 章
静 力 学 基 础
理论力学教学课件
第一节 平面汇交力系的合成
一、几何法（作图法）
F1
R12
O
F2
F3
R123
同理 ：Ry= F1y+ F2y+ F3y
R FX 2 Fy 2
第二节 平面汇交力系合成的解析法
例 用 解 析 法 求 三 力 的 合 力 。 已 知 F1=100N ，
F2=200N，F3=300N 。
F1
45°
O
F2
解：F1X=F1COS45°=71N F1y=F1sin45°=71N F2X=F2=200N
静 力
自行封闭。
学 基
础
第二节 平面汇交力系的合成与 平衡的解析法
一、解析法合成（计算 ） 1、力在直角坐标轴上的投影
y
a’
A
αF
B
b’
oa
b
x
ab:F在x轴上的投影（Fx). a’b’:F在y轴上的投影（Fy）。
Fx=ab=Fsinα
第
一
Fy=a’ b’= - Fcosα
章
静 力 学 基 础
第二节 平面汇交力系合成的解析法
解：据平衡方程：ΣFx=0 ΣFy=0
ΣFy=-P- FD cos30°-FCBsin30°=0 FCB=-74.6 KN （BC杆受压） ΣF x=-FAB - FD sin30°FCBcos30°=0 FAB =54.6 KN （AB杆受拉）
平面力系和平面力偶系课件
弹性力学问题的能量方程
应变能
物体在外力作用下产生变形时，内部 储存的能量称为应变能，单位是焦耳 (J)。
应力
胡克定律
在弹性范围内，应力与应变之间成正 比，即σ=Eε。
物体内部单位截面积上所受的力称为 应力，单位是帕斯卡(Pa)。
典型例题解析
06
固定端约束反力的计算例题
总结词
该例题主要展示了如何利用固定端约束反力的计算方法。
力的性质
力具有物质性、相互性和矢量性。力不能离开物体单独存在， 有施力物体和受力物体；两个物体之间的作用总是相互的， 存在作用力和反作用力；力用矢量表示，可以计量大小和方向。
平面力系的分类和性质
平面力系的分类
平面力系可以分为平面汇交力系、平面平行力系和任意平面力系。
平面力系的性质
平面力系中，力的合成和平衡具有特定的性质。例如，平面汇交力系合成后合力为零，即力系平衡；平面平行力 系合成后合力与原力系等效，即力系平衡；对于任意平面力系，合成后如存在合力，则合力与原力系等效，即力 系平衡。
详细描述
杠杆是一种简单机械，它可以通过放大或缩 小力臂来改变力的作用效果。在杠杆的平衡 条件中，我们需要考虑物体的质量、重力以 及支点的位置。通过计算，我们可以得到支 点的反作用力以及杠杆的平衡条件。进一步
求解可以得到物体的平衡状态。
弹性力学问题的能量方程例题
要点一
总结词
要点二
详细描述
该例题介绍了弹性力学中能量方程的建立与应用。
课程目的和内容
内容 平面力系的定义、性质和计算方法
平面力偶系的定义、性质和计算方法
课程目的和内容
平面力系和力偶系的合成与平衡 典型例题的讲解和练习
平面力系的基本概念
力学平面汇交力系与平面力偶系解析PPT学习教案
[
合力的作用线通过该三角形的几何中心。
第22页/共44页
2-4 平面力偶
1 、力偶与力偶矩
1）力偶：由两个大 小相等，方向相反且 作用线不重合的平行 力组成的力系。
第23页/共44页
2-4 平面力偶
力偶性质：
性质1：力偶在任意坐标 轴上的投影等于零。
性质2：力偶既没有合力 ，本身又不平衡，它和 力一样是静力学的一个 基本力学量。
2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。 5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果 求出负值，说明力方向与假设相反。对于二力构 件，一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体 受压力。
第16页/共44页
2-3 平面力对点之矩的概念及计算 力对物体可以产生 移动效应--取决于力的大小、方向
第2页/共44页
平面汇交力系：
各力的作用线都在 同一平面内且 汇交于一 点的力系。
研究方法：几何法，解析法 。
第3页/共44页
2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、平面汇交力系合成的几何法
任意个共点力的合成：
合 力 矢 ： 沿 反方向 连接力 多边形 ， 构 成 力 多 边 形的 封闭边 。
D
45
平衡的性质，可以判断A与B 端的约束 力FA 和FB 构成一力偶，因此有： FA = FB 。梁AB受力如图。
列平衡方程：
FA
M
A
B
M 0, M FA l cos 45 0
第19页/共44页
2-3 平面力对点之矩的概念及计算
三、力矩与合力矩的解析表达式
1、平面力矩的解析表达式
MO (F ) MO (Fy ) MO (Fx ) xF sin yF cos
合力的作用线通过该三角形的几何中心。
第22页/共44页
2-4 平面力偶
1 、力偶与力偶矩
1）力偶：由两个大 小相等，方向相反且 作用线不重合的平行 力组成的力系。
第23页/共44页
2-4 平面力偶
力偶性质：
性质1：力偶在任意坐标 轴上的投影等于零。
性质2：力偶既没有合力 ，本身又不平衡，它和 力一样是静力学的一个 基本力学量。
2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。 5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果 求出负值，说明力方向与假设相反。对于二力构 件，一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体 受压力。
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2-3 平面力对点之矩的概念及计算 力对物体可以产生 移动效应--取决于力的大小、方向
第2页/共44页
平面汇交力系：
各力的作用线都在 同一平面内且 汇交于一 点的力系。
研究方法：几何法，解析法 。
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2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、平面汇交力系合成的几何法
任意个共点力的合成：
合 力 矢 ： 沿 反方向 连接力 多边形 ， 构 成 力 多 边 形的 封闭边 。
D
45
平衡的性质，可以判断A与B 端的约束 力FA 和FB 构成一力偶，因此有： FA = FB 。梁AB受力如图。
列平衡方程：
FA
M
A
B
M 0, M FA l cos 45 0
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2-3 平面力对点之矩的概念及计算
三、力矩与合力矩的解析表达式
1、平面力矩的解析表达式
MO (F ) MO (Fy ) MO (Fx ) xF sin yF cos
第2章 平面汇交力系和平面力偶系
9
例题 1
解：
1. 选碾子为研究对象，受力分析如图b所示。
F
R O
各力组成平面汇交力系，根据平衡的几何条
件，力P ， F ， FA和FB组成封闭的力多边形。
qP
B
由已知条件可求得
A
h
cos q R h 0.866
(a)
R
q 30
FO
再由力多边形图c 中各矢量的 几何关系可得
解得
FB sin q F FA FB cosq P
（2）应用合力矩定理
MO (F ) MO (Fx ) MO (Fy )
F cosq l cosj F sinq l sinj Fl cos(q j)
22
§2—4 平面力偶 1．力偶与力偶矩
由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系，
称为力偶。如图所示，记作（F，F'）。力偶的两力之间
如图轧路碾子自重P = 20
kN，半径 R = 0.6 m，障碍物高
h = 0.08 m碾子中心O处作用一
水平拉力F，试求: (1)当水平 拉力F = 5 kN时，碾子对地面和
R
FO
障碍物的压力；(2)欲将碾子拉
q
过障碍物，水平拉力至少应为多
B
大；(3)力F 沿什么方向拉动碾
A
h
子最省力，此时力F为多大。
大小取决于力的大小与力臂的乘积，平面力对点之矩是一 个代数量。它的转向人为规定一般取逆时针转向时为正， 反之为负。
F对矩心点O之矩
MO(F) r
ห้องสมุดไป่ตู้Oh
B F A
M O (F ) Fh 2 AOAB
式中 AOAB为三角形OAB 的 面积，如图所示。单位为 N•m或kN •m。
理论力学2—平面汇交力系与平面力偶系.ppt
M
i 1
n
i
0
思考题1
刚体上A、B、C、D四点组成一个平行四边形，如在其 四个顶点作用有四个力，此四力沿四个边恰好组成封闭 的力多边形，如图所示。此刚体是否平衡？
F1
B
A
F4
D
F2
C
F3
思考题2
从力偶理论知道，一力不能与力偶平衡。图示轮子上的 力P为什么能与M平衡呢？
M
O R
FO
P
[例3] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为 m1 m2 m3 m4 15Nm ,求工件的
2. 合力矩定理与力矩的解析表达式
(1) 合力矩定理
平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于 所有各分力对于该点之矩的代数和。
M O (F R ) M O (F i )
i 1
n
y
Fy
A
O x y
F
q
(2) 力矩的解析表达式
M O ( F ) xF sin q yF cos q xFy yFx
2. 同平面内力偶的等效定理定理
定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼 此等效。 推论： (1) 任一力偶可以在它的作用面内 任意移转，而不改变它对刚体的作 用。因此，力偶对刚体的作用与力 偶在其作用面内的位置无关。 (2) 只要保持力偶矩的大小和力偶 的转向不变，可以同时改变力偶中 力的大小和力偶臂的长短，而不改 变力偶对刚体的作用。
Fi 0
在平衡的情形下，力多边形中最后一力的 终点与第一力的起点重合，此时的力多边形称 为封闭的力多边形。于是，平面汇交力系平衡 的必要与充分条件是：该力系的力多边形自行 封闭，这是平衡的几何条件。
第二章平面汇交力系与平面力偶系
F
Fr
静
力 已 知 : F , l1, l2 , α . 求: MO(F)
学
—
平
面
汇 交
MO (F) = F d
力 系
d=?
、
力
偶
系 解: MO (F) = MO (F cosα) +MO(F sin α)
静 力 例：三角形分布载荷作用在水平梁上，如图示。 学 最大载荷强度为 q，梁长l。试求该力系的合力。
—
平
面 汇
NC 2 2a − M = 0
交 力 系
NA
=
NC
=
M 2 2a
、
力
偶
系
NC
NA
静 力 例：已知力偶矩 M1 =10 N⋅ m,求系统在图示位置平衡时 学 的力偶矩 M 2 的大小，不计构件自重及摩擦。α = 45 °
—
平
面
汇
交
力
系
、
力
偶 系
(a)M 2 = M 1,
(b)M 2 = 2M 1
系 、
MO(FR) = MO(F1)+MO(F2)+
+MO(Fn)
力 =∑MO(F)
偶 系
当平面汇交力系处于平衡状态时合力为零, 则各力对任意点之矩的代数和也为零.
静
力 学
例：如图圆柱直齿轮受啮合力的作用。设F=1400N, α=20。，压力角齿轮的节圆（啮合圆）半径
r=60mm，试计算力对轴心O的力矩。
求压榨机对工件与地面的压力，以及AB杆所受的力。
—
平
面 解： 取活塞BD为研究对象并受力分
汇 交
析如图。建立坐标，由平面汇 交力系的平衡方程有：
平面汇交力系与平面力偶理论(精品资料)PPT
一、力在坐标轴上的投影
设力F作用于物体的A点。在力F作用线 所在的平面内任取直角坐标系Oxy。 力在轴上的投影是个代数量，并规定其 投影的指向与轴的正向相同时为正值， 反之为负值。那么有：
α、β分别是力F与X、Y轴的夹角
假设把力F沿X、Y轴分解，得到两个正交分力Fx、Fy。 显而易见，投影X的绝对值等于分力Fx的大小，投影X的 正负号指明力Fx是沿X轴的正向还是负向。可见利用力在 轴上的投影，可以同时说明力沿直角坐标轴分解时分力 的大小和方向。
F2= 50 N ，力的作用线也通过点A，尺寸如图。 平面汇交力系解析法作题的主要步骤：
例 如图 2-2a 所示，固定在墙壁上的圆环受3 条绳索的拉力作用，力F1 沿水平方向，力F3 沿铅直方向，力F2 与水平线成40°角。
二、平面汇交力系合成与平，F2，…，Fn个力作用的平面汇交力系同样成立。
〔1〕由几何关系数解
根据平面汇交力系平衡的几何条件P、NB和F三个力组成一 个封闭的力三角形，如下图。从图中可知，力三角形是一个 直角三角形，应用三角公式求得
由几何关系，可得
F=Ptanα NB=P/cosα
代入上式可得：
由作用力和反作用力关系可知，碾子对障碍物的压力N’B也等
于23.1kN。
〔2〕图解法
将啮合力P平正交面分解为汇圆周交力P和力径向系力Pr合，(图成(b))，的结果是一个合力，合力的作
例 物体重 P=20 kN，用绳子挂在支架的滑轮B 上，绳子的另1 端接在绞车D 上，如图a 所示。
用线通过力系的汇交点，其大小和方向可由力多 3 个力的大小分别为F1=2 000 N，F2=2 500 N，F3=1 500 N。
定 义：是指各力的作用线位于同一平面内且汇交于同一点的力系
设力F作用于物体的A点。在力F作用线 所在的平面内任取直角坐标系Oxy。 力在轴上的投影是个代数量，并规定其 投影的指向与轴的正向相同时为正值， 反之为负值。那么有：
α、β分别是力F与X、Y轴的夹角
假设把力F沿X、Y轴分解，得到两个正交分力Fx、Fy。 显而易见，投影X的绝对值等于分力Fx的大小，投影X的 正负号指明力Fx是沿X轴的正向还是负向。可见利用力在 轴上的投影，可以同时说明力沿直角坐标轴分解时分力 的大小和方向。
F2= 50 N ，力的作用线也通过点A，尺寸如图。 平面汇交力系解析法作题的主要步骤：
例 如图 2-2a 所示，固定在墙壁上的圆环受3 条绳索的拉力作用，力F1 沿水平方向，力F3 沿铅直方向，力F2 与水平线成40°角。
二、平面汇交力系合成与平，F2，…，Fn个力作用的平面汇交力系同样成立。
〔1〕由几何关系数解
根据平面汇交力系平衡的几何条件P、NB和F三个力组成一 个封闭的力三角形，如下图。从图中可知，力三角形是一个 直角三角形，应用三角公式求得
由几何关系，可得
F=Ptanα NB=P/cosα
代入上式可得：
由作用力和反作用力关系可知，碾子对障碍物的压力N’B也等
于23.1kN。
〔2〕图解法
将啮合力P平正交面分解为汇圆周交力P和力径向系力Pr合，(图成(b))，的结果是一个合力，合力的作
例 物体重 P=20 kN，用绳子挂在支架的滑轮B 上，绳子的另1 端接在绞车D 上，如图a 所示。
用线通过力系的汇交点，其大小和方向可由力多 3 个力的大小分别为F1=2 000 N，F2=2 500 N，F3=1 500 N。
定 义：是指各力的作用线位于同一平面内且汇交于同一点的力系
工学理论力学平面汇交力系与平面力偶系PPT学习教案
ctg 600
第35页/共75页
例2-8
结构如图所示，已知主动力F，确定铰 链O、B 约束力 的方向 （不计 构件自 重）
1、研究OA杆
FA A F O
Fo
2、研究AB杆
（A）
A
B
FA
F
B
O
FB
FB
Fo （B）
第36页/共75页
解题技巧及说明：
1、一般地，对于只受三个力作用的物 体，且 角度 特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。
AB 1.2 3
SCD
sin
450
P cos450
tg
4.24
kN
RA
SCD
cos450 cos
3.16
kN
第27页/共75页
例2-4
重物A质量m=10kg,悬挂在支 架铰接 点 B 处，A、C 为固定铰支座，杆件位置如图示，略去 支架杆 件重量 ，求重 物处于 平衡时 ，AB 、BC 杆的内力。
【解】
取碾子为研究对象，画其受力图(b)。 O
F O
A
F
FP
(b)
B
F
F
A
R
FP
B
h
(a)
第24页/共75页
例2-2
【解】
1、碾子拉过障碍物，应有
建立坐标系，列投影方程
，如图(c)
FB 0
X 0 : FA sin F 0 F
Y 0 : FP FA cos 0
利用上述平衡方程求得：
结论：平面汇交力系可简化为一合力 ，其合 力的大 小与方 向等于 各分力 的矢量 和(几何 和)， 合力的 作用线 通过汇 交点。 用矢量式表示为：
工程力学ppt 2平面汇交力系和平面力偶系
FR F1 F2 Fn Fi
i 1
(2-1)
a
b 图2.1
c
● 2.1.2 平面汇交力系合成的几何法
由力多边形法则知，平面汇交力系的合成结果为一合力，显然， 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力等于零。如 果用矢量形式表示，即
FR
F
i 1
n
i
0
（2-2）
由力的合成的几何法可知，平面汇交力系的合力是由力多边形 的封闭边来表示的。在平衡的情形下合力为零，也就是力多边形 中最后一力终点与第一个力的起点重合，此时的力多边形称为封 闭的力多边形。于是得到如下结论：平面汇交力系平衡的必要和 充分条件是力多边形自行封闭。这就是平面汇交力系平衡的几何 条件。 运用平面汇交力系平衡的几何条件求解问题时，需要首先按比 例画出封闭的力多边形，然后用尺和量角器在图上量得所要求的 未知量；也可根据图形的几何关系，用三角公式计算出所要求的 未知量，这种解题方法称为几何法。
FA 22.4kN，FC 28.3kN
根据作用力和反作用力的关系，作用于杆DC在端C的力FC与 FC 的大小相等，方向相反，由此可知杆DC是受压杆，如图2.3(b)所 示。
应该指出，封闭的力的多边形也可以根据三角几何关系，作成 如图2.3(d)所示的力三角形，同样可求得力 FA 和 FC ，且结果相 同。 通过以上例题，可知用几何法求解平衡问题的主要步骤如下： (1) 选取研究对象。根据题意，分析已知量与待求量，选取恰 当的平衡物体作为研究对象，并画出分离体简图。 (2) 分析研究对象的受力情况，正确地画出其相应的受力图。 在研究对象上，画出其所受的全部外力。若某个约束反力的作用 线不能根据约束特性直接确定，而物体又只受三个力作用时，则 可根据三力平衡汇交的条件来确定未知力的作用线方位。 (3) 作封闭的力多边形图，求解未知量。可以应用比例尺直接 量出待求的未知量，也可以根据几何三角关系计算出来。
i 1
(2-1)
a
b 图2.1
c
● 2.1.2 平面汇交力系合成的几何法
由力多边形法则知，平面汇交力系的合成结果为一合力，显然， 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力等于零。如 果用矢量形式表示，即
FR
F
i 1
n
i
0
（2-2）
由力的合成的几何法可知，平面汇交力系的合力是由力多边形 的封闭边来表示的。在平衡的情形下合力为零，也就是力多边形 中最后一力终点与第一个力的起点重合，此时的力多边形称为封 闭的力多边形。于是得到如下结论：平面汇交力系平衡的必要和 充分条件是力多边形自行封闭。这就是平面汇交力系平衡的几何 条件。 运用平面汇交力系平衡的几何条件求解问题时，需要首先按比 例画出封闭的力多边形，然后用尺和量角器在图上量得所要求的 未知量；也可根据图形的几何关系，用三角公式计算出所要求的 未知量，这种解题方法称为几何法。
FA 22.4kN，FC 28.3kN
根据作用力和反作用力的关系，作用于杆DC在端C的力FC与 FC 的大小相等，方向相反，由此可知杆DC是受压杆，如图2.3(b)所 示。
应该指出，封闭的力的多边形也可以根据三角几何关系，作成 如图2.3(d)所示的力三角形，同样可求得力 FA 和 FC ，且结果相 同。 通过以上例题，可知用几何法求解平衡问题的主要步骤如下： (1) 选取研究对象。根据题意，分析已知量与待求量，选取恰 当的平衡物体作为研究对象，并画出分离体简图。 (2) 分析研究对象的受力情况，正确地画出其相应的受力图。 在研究对象上，画出其所受的全部外力。若某个约束反力的作用 线不能根据约束特性直接确定，而物体又只受三个力作用时，则 可根据三力平衡汇交的条件来确定未知力的作用线方位。 (3) 作封闭的力多边形图，求解未知量。可以应用比例尺直接 量出待求的未知量，也可以根据几何三角关系计算出来。
平面力系汇交力偶PPT课件
n
MO (FR ) MO (Fi ) i 1
注：任意力系均成立
23
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§2–1 平面力对点之矩 平面力偶
2、合力矩定理与力矩的解析表达式
力矩的解析表达式
MO (F ) MO (Fy ) MO (Fx )
x F sin y F cos
x Fy y Fx
y
Fy
F
F´
F/2
F´/ 2
M
34
第34页/共55页
§2–1 平面力对点之矩 平面力偶
力与力偶的比较
P
P
C
C
F P
C
C
P′
F′
35
第35页/共55页
§2–1 平面力对点之矩 平面力偶
[ 讨论 ]
从力偶的性质知，力偶 无合力，故一个力不能与 力偶平衡。为什么图示的 轮子上作用的力偶矩M = PR的力偶能与重物的重 力P相平衡？
所以： M 2 F2d2
M 2 P2d
F '= P1 '–P2'
新力偶矩 M F d (P1 P2')d F1d F2'd M1 M 2
39
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§2–1 平面力对点之矩 平面力偶
5、平面力偶系的合成和平衡条件
（1）平面力偶系的合成
40
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§2–1 平面力对点之矩 平面力偶
18
第18页/共55页
§2–1 平面汇交力系 4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。 5、解析法解题时，力的指向可以任意设，如果求 出负值，说明力的指向与假设相反。对于二力构件， 一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。
【大学课件】平面汇交力系与平面力偶理论精品文档35页
④解平衡方程 由EB=BC=0.4m，
tg
EB AB
0.4 1.2
1 3
解得：
SCD
sin
450
P cos
450
tg
4.24
kN
；
R
A
SCD
c os 450
cos
3.16
kN
docin/sundae_meng
13
[例] 已知如图P、Q， 求平衡时 =？ 地面的反力ND=？
解：研究球受力如图，
选投影轴列方程为
F P
h(2Rh) Rh
当F P
h(2R h) 时球方能离开地面 Rh
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16
解题技巧及说明：
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度 特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或 特殊，都用解析法。
3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中 只有一个未知数。
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11
[例] 已知 P=2kN 求SCD , RA
解：①研究AB杆 ②画出受力图 ③列平衡方程
X 0
RAcos SCDcos4500
Y 0
PRA sin SCD sin450 0
docin/sundae_meng
12
RAcos SCDcos4500
PRA sin SCD sin450 0
docin/sundae_meng
17
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。 5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出
负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件， 一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压 力。
平面汇交力系与平面力偶系(工程力学课件)
F
sin
cos
F1 F cot
A
yFAB F'AB
x FDA
F
B F1 C
B F1 FCB
力对点之矩、合力矩定理
力对点之矩、合力矩定理
一、力对点之矩
M O (F ) Fd
说明：
＋
－
① 平面内力对点之矩是代数量，不仅与力的大小有关，且 与矩心位置有关。 ② 当F=0或d=0时，MO (F ) 0
C
h A
d
l Fy
F 解：1.求MA(F)
D
Fx
F力对A点力臂d的几何关系较复杂不宜确定， 用合力矩定理。
B
M A (F ) M A (Fx ) M A (Fy )
F cos h F sin l
F (cos h sin l)
力对点之矩、合力矩定理
例：图示刚架ABCD, 在D点作用F力,已知力F的方向角为。 求：1.F力对A点的力矩, 2. B点约束力对A点的力矩。
F'
d
aO
＝ MO(F，F')
F
力偶、力偶系的合成与平衡 力偶的性质
③力偶可在其作用平面内任意搬移，而不改变它对物体的转动效应。 ④只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力 的大小和力臂的长短，而不会改变力偶对物体的转动外效应。
25kN 4m
25kN
力偶、力偶系的合成与平衡
力偶的等效
Fy 0 : FBC sin 30 G 0
A
30° B FAB G 30°
B
C
FCB G
x
FBC
G sin 30
2G
210
20kN
第2章 平面汇交力系与平面力偶系
离d称为该力偶的力偶臂。
力偶的作用面：力偶所在的平面称为力偶的作用面。
力偶矩：力偶中一个力的大小与力偶臂的乘积，并 取以正负号，称为该力偶的力偶矩。
表示为： m
m Fd 2S ABC
31
§2.3 平面力偶系
2.力偶的基本特性 不能合成一个合力，本身不能平衡，也不能被一个 力平衡，它只能由力偶来平衡。 对物体只能产生转动效应，不能产生移动效应，即 只能原地转动。 组成力偶的两个力对其作用面内任一点的矩的代数 和恒等于该力偶的力偶矩。
D
6cm
DE=6 cm点E在铅直线DA上
，又B ，C ，D都是光滑铰
(a)
链，机构的自重不计。
7
§2.1 平面汇交力系的合成与平衡的几何法
例 题 2-1
解： 几何法
AF
1.取制动蹬ABD作为研究对象， 并画出受力图。
BE
O
FD
FB
D
(b)
I
F
FD
J
FB
K
(c)
2.作出相应的力多边形。
3. 由图b几何关系得：
15
§2.2 平面汇交力系的合成与平衡的解析法 1.力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解
✓力向坐标轴的投影是代数量 ✓力沿坐标轴方向的分量是矢量
16
§2.2 平面汇交力系的合成与平衡的解析法
2.合成的解析法 合力投影定理:
平面汇交力系的合力在某一轴上的投影等 于各分力在同一轴上投影的代数和。
y
F4 F1
FA=0， 得封闭力三角形abc。
a
FB G
F G tan 11.5 kN
FB
G
cos
23.09
kN
《平面力系》PPT课件_OK
解力三角形：
FN
F
cos
又：
cos
R2
(Rh)2 R
1 R
h(2Rh)
FN
FR h (2R h)
9
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
再研究球，受力如图： 作力三角形
解力三角形：
P FN sin
又sin
Rh R
FN FN
FNB= 0时为
球离开地面
P FN sin
F R R h P F(Rh)
（2）力偶对作用面内任一点的矩，与矩心的位置无关。
力偶对点O的矩为Mo（F，F′）,则
M o (F , F ) M o (F ) M o (F ) F(x d) Fx Fd
力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的 大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的 转向：一般以逆时针转向为正，反之为负。
记为M（F，F′） 简记为M。
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
[例] 已知 P=2kN ，求CD所受的力和A处的约束反力。
解：①以AB杆为研究对象 ②画受力图 ③列平衡方程求解
F x 0 RA cos SCD cos 450 0
F y 0 PRAsin SCD sin450 0
tan EB 0.4 1
AB 1.2 3
M Fd 2 AABC
力偶矩的单位：N·m。
Fix 0 Fiy 0
称为平面汇交力系的平衡方程。
14
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
例：如图所示，重物P=20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮 上，钢丝绳的另一端缠绕在铰车D上。杆AB与BC铰接，并 以铰链A、C与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略 摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。
第2章1 平面汇交力系和平面力偶系PPT课件
第二章 平面汇交力系和平面力偶系
力系：
平面力系 空间力系
平行力系
汇交力系 任意力系
本章主要介绍： ❖ 平面汇交力系的合成与平衡问题（几何法；解析法） ❖ 平面力偶系的合成与平衡问题
重点：
1、力在坐标轴上的投影，求解平面汇交力系平衡问题 的几何法和解析法
2、力偶矩的概念，平面力偶的性质和力偶等效条件
Fx Fcoθs Fy Fcoβs
2、力沿轴的分解 （矢量）
FF xF y
思考：力的合成、分解是否唯一？
二、平面汇交力系合成的解析法
FRFi
由合矢量投影定理，得合力投影定理
FRx Fix FRy Fiy
合力的大小为：
FR FRx2FRy2
方向为：
cosF(R,i)
Fix FR
cosF(R,
12
解得： FBA7.32k1N
Fiy 0
F F c3 o F 0 s c6 o 0 s
BC1
2
解得： FBC2.73k2N
例2-5 已知： F=3kN, l=1500mm, h=200mm.忽略自重； 求：平衡时，压块C对工件与地面的压力，AB杆受力.
解：AB、BC杆为二力杆.
取销钉B.
用解析法
j)
Fiy FR
作用点为力的汇交点.
三、平面汇交力系的平衡方程
平衡条件
FR 0
平衡方程
Fx 0
Fy 0
说明：平面汇交力系沿任意轴投影的代数和为零， 则该力系平衡。
例2-2
已知：图示平面共点力系； 求：此力系的合力. 解：用解析法
F R x F i x F 1 c 3 o F 2 c 0 6 s o F 3 c 0 4 s o F 4 c 5 4 s o 1 . 5 3 N s F R y F i y F 1 s 3 i F 2 n 0 s 6 i F 3 n 0 s 4 i F 4 n 5 s 4 i 1 n 5 . 3 N 1
力系：
平面力系 空间力系
平行力系
汇交力系 任意力系
本章主要介绍： ❖ 平面汇交力系的合成与平衡问题（几何法；解析法） ❖ 平面力偶系的合成与平衡问题
重点：
1、力在坐标轴上的投影，求解平面汇交力系平衡问题 的几何法和解析法
2、力偶矩的概念，平面力偶的性质和力偶等效条件
Fx Fcoθs Fy Fcoβs
2、力沿轴的分解 （矢量）
FF xF y
思考：力的合成、分解是否唯一？
二、平面汇交力系合成的解析法
FRFi
由合矢量投影定理，得合力投影定理
FRx Fix FRy Fiy
合力的大小为：
FR FRx2FRy2
方向为：
cosF(R,i)
Fix FR
cosF(R,
12
解得： FBA7.32k1N
Fiy 0
F F c3 o F 0 s c6 o 0 s
BC1
2
解得： FBC2.73k2N
例2-5 已知： F=3kN, l=1500mm, h=200mm.忽略自重； 求：平衡时，压块C对工件与地面的压力，AB杆受力.
解：AB、BC杆为二力杆.
取销钉B.
用解析法
j)
Fiy FR
作用点为力的汇交点.
三、平面汇交力系的平衡方程
平衡条件
FR 0
平衡方程
Fx 0
Fy 0
说明：平面汇交力系沿任意轴投影的代数和为零， 则该力系平衡。
例2-2
已知：图示平面共点力系； 求：此力系的合力. 解：用解析法
F R x F i x F 1 c 3 o F 2 c 0 6 s o F 3 c 0 4 s o F 4 c 5 4 s o 1 . 5 3 N s F R y F i y F 1 s 3 i F 2 n 0 s 6 i F 3 n 0 s 4 i F 4 n 5 s 4 i 1 n 5 . 3 N 1
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四块相同的均质板，各重P，长2b，叠放如图示。 在板I右端点A挂着重物B，其重2P。欲使各板都平衡， 求每块板可伸出的最大距离。
3P
P
N3
4P
P
N4
P 2P
求图示结构AB杆与AC杆所受的力，已知F力位于AD 的中点E且垂直AD。
FA FAB
A FA
FAC
45 o 45 o
F
FA
FD
450
F
B
C
D
W3
F
W2
W1
塔吊及所受荷载如图。自重P=200kN，中心 通过塔基中心。起重量W=25kN，距右轨B为 15m.平衡物重Q，距左轨A为6m，在不考虑风 荷载时， 求： （1）满载时，为了保证塔
身不至于倾覆，Q至 少应多大？ （2）空载时，Q又应该不 超过多大，才不至于 使塔身向另一侧倾覆？
如图示，一钢筋混凝土梁BC置于砖墙上，挑出1.5m， 顶端C作用一集中力P=1kN，梁自重q=1.2kN/m，取 抗倾覆安全系数κ=1.5，试求BA段的长度a。
的力矩。
抗倾覆力矩（Mk）：抵抗结构或构件倾覆
的力矩。
K=抗倾覆安全系数
K MK Mq
规范规定：钢筋砼构件的抗倾覆安全系数 K≥1.5
带有雨蓬的钢筋混凝土门顶过梁，尺寸如图示，梁 和板的长度均为4m。设在此梁上的砖砌至3m高时， 便欲将雨篷下的木支撑拆除。试验算此时雨蓬会不 会绕A点倾覆。已知钢筋混凝土容重为25kN／m3 ， 砖砌体容重为19kN/m3 ，验算时应考虑雨蓬最外边 缘B上作用有施工荷载F=1kN。
3 如果力F通过矩心O，则mo(F)=0，此时力对物体
的作用效应为移动。
4 互成平衡的二力对同一点之矩的代数和等于零。
（二）、合力矩定理
平面汇交力系的合力 对于平面内任一点之 矩等于各分力(F i) 对同一点之矩的代数 和。
Mo (R)=∑Mo(Fi)
例:重量为P的均质细杆AB可绕固定在地上的铰B转 动，为使杆在平衡状态时与竖直线成ɑ角，试求作 用在杆AB末端A且沿水平线向右的力F。
FAC
FA 450 FAB
FD
图示结构由直角弯杆ABCD与BEG及
直杆CG构成，各杆自重不计，F，a为已
知，求B处的约束力。 FE FA
F
E G
B
力偶实例 2.4 平面力偶
力 偶 实 例 F1
F2
一 力偶的定义：
作用在同一刚体上的大小相等、方向相反、作 用线又不重和的两个平行力所组成的力系称为力偶。 （F ，F′）
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
平面汇交力系是指作用于物体上的各力 的作用线位于同一平面内且汇交于一
点 的力系。
2.1平面汇交力系
合成与平衡的几何法
F1
FR
(一) 两个共点力的合成
F2
力三角形的矢序规则：分力矢 F1 F2 沿三角
形某一边界的某一方向首尾相接，而合力 FR则沿相反方向，从起点指向最后一个分 力矢的末端。
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊 时用 几 何法（解力三角形）比较简便。
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或 特殊，都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只 有一个未知数。 4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。
5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负 值，说明力方向与假设相反。对于二力构件， 一般先 设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。
FRy Y 0 平衡方程
图示，塔吊起重W=10kN的构件，已知钢 丝绳与水平线成α=45°的夹角，在构件匀
速上升时，求钢丝绳AC和BC所受的拉力。
两轮各重Q1 及Q2，用长L的细杆连接，各自放在倾 角为45°的光滑斜面上，如图示，设杆的自重不 计，轮轴光滑，求系统平衡时的距离u.
解题技巧及说明：
水平梁AB受按三角形分布的载荷作用，如图示。载 荷的最大值为q，梁长L。试求合力作用线的位置。
q1
x
dx
a
用绳索开启重为G的天窗。如图示，求在天窗 开启过程中所需绳索拉力的最大值和最小值。
Gα
T
90 0 -α 2
A
抗倾覆验算
倾覆：就是结构或构件在受到不平衡力矩
作用时发生倾翻现象。
倾覆力矩（Mq）：使结构或构件产生倾覆
图示输电线ACB架在两电线杆之间，形成一下 垂曲线，下垂距离CD＝f＝1m。两电线杆间距离 AB＝40m，电线ACB段重Q=400N，求电线的中 点和两端的拉力。
A
D
BT
f
SC G
40m
一缆绳绕过钉入墙内的钉子，缆绳的一端与水平 线成30°角固定在地板上。缆绳的另一端悬挂一 重量F=980N的重物，试求钉入钉子处的墙的反作 用力。钉子的重量忽略不计。
2.1平面汇交力系合成的几何法 及平衡的几何条件
( 二 )、任意个共点力的合成
F2 F1
F3 F4
F3
F4
F2
F1
F2
F3
F4
力多边形矢序规则：分力矢沿环绕力多边形边界
的某一方向首尾相接，而合力FR则沿相反方向连 接力多边形的缺口。
F1 F3
Fn
F2
Байду номын сангаас
FR Fi
平衡的几何条件
平衡的必要和充分条件 ： 力多边形自行封闭
FRy Y
合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。
合力的大小： FR＝ FR2x＋FR2y ＝ X2＋ Y2
方向： tg FRy
FRx
tg1 FRy tg1 Y
FRx
X
作用点： 为该力系的汇交点
三、平面汇交力系合成与平衡的解析法
FRx X 0
二 力偶对物体的作用效果： F
o
x
d
F′
力偶矩：力偶中力的大小与两力间的垂直距离的乘积。
2. 2 平面汇交力系合成与平衡的 解析法
一、力在坐标轴上的投影
X=Fx=F·cos Y=Fy=F·sin=F ·cos
F Fx 2 Fy 2
cos X Fx
FF
cos Y Fy
FF
二、合力投影定理
FRx X1 X 2 X 4 ＝ X
FRy Y1 Y2 Y3 Y4 Y FRx X
2.3 平面力对点之矩的概念及计算
（一）、力对点之矩
力对点的矩简称为 力 矩
Mo (F)= ± Fd O —— 矩心 d —— 力臂
力对点的矩是代数量。
力矩的单位是：N.m
符号规定：力 F 使物体绕矩心作逆时针方向 转动时为正，顺时针转动时为负。
力矩的性质
1 力对O点的矩不仅仅取决于力F的大小，同时与矩心 的位置有关。 2 力F对O点的矩不会因为F在其作用线上移动而改变。