22轴对称的性质1

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轴对称的性质

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l D H
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E
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C
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F
B
G
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(5) AE与BG平行，能说明轴对称图形对称点的连线一定互相平行吗？解：(5) 不一定．如图，对称点的连线DH、CF就不互相平行，而是在同一条直线上，
从而说明轴对称图形对称点的连线互相平 l E 行或在同一条直线上． A
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C
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D
H
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F
B
G
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(6) 延长线段CA、FE，连接CB、FG并
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如图，△ABC中，∠C=900 ⑴在BC上找一点D，使点D到 AB的距离等于DC的长度； ⑵画一个三角形与△ABC关于直线AD对称.
2.下图是由半圆和三角形组成的图形,请以AB为对称轴,作出图形的另一半(用尺规作图,保留作图痕迹) A
●
B
例2 在一条笔直的河的两岸各有一个居民点A 、B两点，为方便往来，必须在河上架桥，在河的什么位置架桥，才能使A和B两地的居民走的路最短？ A
P
Q
回顾与思考
通过本节课的学习，你有什么收获？还有哪些疑惑？
迁移与应用
如图,牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河岸的距离分别为AC、BD，且AC=BD，若A到河岸CD 的中点的距离为500m,若牧童从A处将牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？ A′ 1000m D N M C
l
A′ B′
如图，再在纸上任画一点C，并仿照上面进行操作． 1. 线段AC与A′C′有什么关系? BC与B′C′呢？线段CC′与 l 有什么关系？ 2. ∠A与∠A′有什么关系？∠B与∠B′呢？ △ABC 与△A′B′C′有什么关系？为什么？

初中数学青岛版八年级上册《22轴对称的基本性质》教案

初中数学青岛版⼋年级上册《22轴对称的基本性质》教案【教学设计】轴对称的基本性质教学环节师⽣⾏为设计意图课前准备：1.请同学们准备好三⾓板，半圆仪，铅笔，⼤头针，撕下2张32开的纸。

2.预习课本34－36页。

教师展⽰幻灯⽚，学⽣做好上课准备让学⽣做好上课准备，以提⾼上课效率。

【温故知新】1.过点P作直线l的垂线2.观察下列每组全等图形，哪组变化是轴对称？3 .图中两个三⾓形关于直线L成轴对称。

如果三⾓形的部分边长和⾓的度数如图所⽰，说出未知的边长和⾓的度数。

思考：如何找出△ABC关于直线l成轴对称的图形？教师：播放幻灯⽚；学⽣：思考并回答提出的问题。

学⽣上台展⽰⾃⼰的解题思路。

教师评价学⽣的展⽰结果。

课标要求：教师不光要关注学⽣的知识本⾝，更要关注知识的前后联系，通过复习巩固，实现学⽣知识的迁移。

【创设情景】如何在⿊板上等折叠、扎孔不⽅便的情境下找出△ABC关于直线l的成轴对称的图形？图形上各对称点与对称轴之间有什么关系呢？如何利⽤轴对称的基本性质设计出漂亮的图案？教师播放幻灯⽚，学⽣欣赏图⽚，思考。

激发学⽣学习新知识的兴趣和探索欲望。

P．总结探究⽅法：想⼀想本节课和们在探究轴对称的基本性质时，运⽤了什么样的探究⽅法。

⼩测试把图中的两个三⾓形的对应顶点分别相连接，说出哪些线段被直线L垂直平分。

（课本36页练习第1题。

）师⽣共同回忆总结探究⽅法：由简单到复杂，由特殊到⼀般。

教师屏幕展⽰题⽬，学⽣思考后，先同桌交流后展⽰。

识，⽽且教给学⽣探究⽅法，为以后学⽣的探究学习打下基础。

检测评价学⽣对知识的掌握情况，以便了解学⽣的学情。

【活动⼆：交流发现】(1)如图你能利⽤轴对称的性质，画出点A关于直线MN的对称点吗？⼩组内交流你的⽅法。

(2)你能说明(1)中画⼀个已知点关于给定直线的对称点的⽅法的道理吗？变式训练：画出点A关于直线MN的对称点(3)如图，你能画出与线段AB关于直线l成轴对称的线段吗？能画出与直线AB关于直线l成轴对称的直线吗？教师：播放幻灯⽚学⽣思考后在练习本上独⽴画⼀画，然后交流⾃⼰的画法。

轴对称、中心对称图形的性质及应用

轴对称、中心对称图形的性质及应用一、轴对称图形如果把一个图形沿着某一条直线对折过来，在直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，能够重合的点互为对称点．轴对称图形具有以下的性质：(1)轴对称图形的两部分是全等的；(2)对称轴是连结两个对称点的线段的垂直平分线．在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质．譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等．另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中．例1 已知直线l外有一定点 P，试在l上求两点A、B，使AB＝m(定长)，且PA＋PB最短．分析当把P点沿l方向平移至C(如图1)，使PC＝m，那么问题就转化为在l上求一点B，使CB＋PB为最短．作法过P作PC∥l，使PC＝m，作P关于l的对称点P＇，连结CP＇交l于B．在l上作AB＝m，点A、B为所求之两点．证在l上另任取A＇B＇＝m，连PA、PA＇、PB＇，CB＇，A＇P＇，B＇P＇，则PA＇＝P＇A＇，PB＇＝P＇B＇，又PA＇B＇C 为平行四边形，∴CB＇＝PA＇．∵CB＇＋B＇P＇＞CP＇，∴ PA＇＋PB＇＞PA＋PB．例2 如图2，△ABC中，P为∠A外角平分线上一点，求证：PB＋PC＞AB＋AC．分析由于角平分线是角的对称轴，作AC关于AP的轴对称图形AD，连结DP、CP，则DP＝CP，BD＝AB＋AC．这样，把 AB＋AC、AC、PB、PC集中到△BDP中，从而由PB＋PD＞BD，可得PB＋PC＞AB＋AC．证 (略)说明通过变为轴对称图形后，起到相对集中条件的作用，又有将折线化直的作用(如AB＋AC化直为BD)．例3 等腰梯形的对角线互相垂直，且它的中位线等于m，求此梯形的高．解如图3．设等腰梯形AD∥BC，AB＝DC，对角线AC与BD相交于O，且AC⊥BD，中位线EF＝m．过AD、BC的中点M、N作直线，由等腰梯形ABCD关于直线MN成轴对称图形，∴O点在MN上，且OA＝OD，OB＝OC，AM＝DM，BN＝CN．又 AC⊥BD，故△AOD和△BOC均为等腰直角三角形．2OM＝AD，2ON＝BC．∵AD＋BC＝2EF＝2m，∴2OM＋2ON＝2m．∴OM＋ON＝m，即梯形高MN＝m．例4 凸四边形EFGH的四个顶点分别在边长为a的正方形ABCD的四条边上．证如图4，连结AA2，EE3．正方形ABCD和正方形A1BCD1关于BC对称；EFGH和E1FG1H1关于BC对称；A1BCD1和A2B1CD1关于 CD1对称；E1FG1H1和 E2F1G1H2关于CD1对称；A2B1CD1和A2B2C1D1关于A2D1对称，E2F1G1H2和E3F2G2H2关于A2D1对称．例5 如果一个四边形关于它的两组对边中点的两条连线成轴对称，则此四边形为矩形．已知如图22－5．四边形ABCD中，M、F、N、E分别为各边的中点，且MN、EF为它的对称轴．求证 ABCD是矩形．分析欲证ABCD是矩形，首先证明它是平行四边形，再证明它有一个直角即可．证∵四边形ABCD关于EF成轴对称，∴DC⊥EF，AB⊥EF，∴AB∥DC．同理AD∥BC．∴ABCD是平行四边形．∴DC＝AB．又∵DE＝DC/2，AF＝AB/2．∴DE AF，∴ADEF为平行四边形．∴AD∥EF，而DE⊥EF，∴DE⊥AD，∠D＝Rt∠．∴ABCD是矩形．二、中心对称图形如果把一个图形绕着某一点旋转180°后，能和原图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．这个点叫做对称中心，能重合的点互为对称点．中心对称图形具有以下性质：(1)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．(2)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一条直线上)且相等．平行四边形是中心对称图形．矩形、菱形、正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形．例6 如图6．已知ABCD，O是对角线 AC与BC的交点． EF过O点与AB交于E，与DC交于F．求证：OE＝OF．证∵O点是ABCD的对称中心，EF过O点与AB相交于E，与DC相交于F．故E、F两点是以点O为对称中心的对称点．∴OE＝OF．例7 △ABC中，底边BC上的两点M、N把BC三等分，BE是AC上的中线，AM、AN分BE 为a，b，c三部分，求：a∶b∶c．分析本题解法很多，我们利用中心对称图形求解．如图7，以E为中心，作已知图形的中心对称图形，则M＇C∥AM，N＇C ∥AN，于是可得a∶(2b＋2c)＝1/2，∴a＝b＋c，①(a＋b)∶2c＝DN＇∶N＇A＝2∶1，∴a＋b＝4c，②由①得，a－b＝c，③②＋③， 2a＝5c，∴a＝5c/2．②－③，2b＝3c，∴b＝3c/2．∴ a∶b∶c＝5c/2∶3c/2∶c＝5∶3∶2．解 (略)例8 若四边形的一组对边相等，延长这一组对边，使各与另一组对边的中点连线的延长线相交，则这两个交角必相等．已知如图8．四边形ABCD中， AD＝BC，E、F分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线分别与EF的延长线交于G、H．求证∠AGE＝∠BHE．分析为了使求证的两个角与已知条件发生联系，利用“旋转法”使角或线段搬家而沟通思路．证如图8，以E为对称中心，作△EBC的中心对称图形△EAM(即连结CE并延长CE到M 使EM＝EC，连结AM)．连结DM，AM＝BC＝AD，∴∠2＝∠3．∵DF＝FC，CE＝EM，∴DM∥HE，∴∠1＝∠2．∵AE＝EB， EM＝EC，∴AMBC是平行四边形．∴AM∥BH，而DA∥HE，∴∠3＝∠BHE．∴∠1＝∠BHE，即∠AGE＝∠BHE．习题1．如图9 一牧童在A处牧马，牧童家在B处．A、B处距河岸分别为300m、500m，CD ＝600m，天黑前，牧童从A点将马牵到河边去饮水后再赶回家．那么牧童最少要走多少米？2．证明：任一点关于正方形各边中点的对称点是一个正方形的顶点．3．求证：在四边形ABCD中，如果AB＝AD，CB＝CD，那么它的面积等于AC·BD/2．4．在直线MN两侧有A，B两点，在MN上求一点P，使P到A、B两点之差最大．5．等腰梯形的周长为22cm，中位线长为 7cm，两条对角线中点连线为3cm，求各边长．。

轴对称的性质

轴对称的性质xx年xx月xx日•轴对称的定义•轴对称的性质•轴对称的应用目录•轴对称的历史和发展•总结和展望01轴对称的定义轴对称的数学定义函数f(x)关于直线y=x对称：f(x)=f(y)函数f(x)在直线x=a处对称：f(a+x)=f(a-x)函数f(x)关于直线y=-x对称：f(x)=-f(y)两个点关于原点对称，满足距离和坐标的关系轴对称的几何定义点关于点对称一条直线上的点关于原点对称后，满足直线的方程和坐标的关系线关于点对称一个平面上的点关于原点对称后，满足平面的法向量和坐标的关系面关于点对称生物学人体的某些器官、肢体等结构呈轴对称分布物理学物理现象中的平衡、稳定等现象可以用轴对称来解释美学许多优美的图案都是由轴对称构成的，如自然界中的雪花、蜂巢等轴对称的应用02轴对称的性质轴对称图形沿对称轴折叠后，对称点重合。

轴对称图形中的对应线段、对应角相等。

轴对称图形的对称轴不会与图形的任何线段相交。

轴对称的特性03定理3两个图形关于直线对称，如果其中一个图形沿对称轴对折后与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称。

轴对称的定理01定理1两个图形关于直线对称，如果它们的对应线段或对应点所在的直线相交于一点，那么交点在对称轴上。

02定理2两个图形关于直线对称，如果它们的对应线段或对应点所在的直线相交于一点，那么交点到对称轴的距离相等。

轴对称的判别方法方法1观察图形的形状和结构，看是否具有轴对称图形的特点。

方法2找出图形的对称轴，判断图形沿对称轴对折后是否重合。

方法3利用轴对称的性质和定理进行判断。

03轴对称的应用轴对称在几何中的应用在平面几何中，轴对称可以用来解决一些证明和作图问题，如证明一个四边形是正方形或菱形，或者作一个已知轴对称图形的对称图形等。

在立体几何中，轴对称可以用来研究一些几何体的性质，如圆柱、圆锥、球等，以及解决一些与对称有关的问题，如最小路径问题等。

轴对称在几何中有着广泛的应用，如平面几何、立体几何等。

2.2轴对称的性质(1)

(1)2.2轴对称的性质教学目标1．知道线段垂直平分线的概念，知道成轴对称的两个图形全等，且成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；2．经历探索轴对称性质的活动过程，积累数学活动经验，进一步发展空间观念和有条理的思考和表达能力．教学重点理解“成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段相等、对应角相等”．教学难点轴对称性质的运用教学过程开场白同学们，你们喜欢照镜子吗你知道“你与镜中的你”有什么关系吗引入【一些图形也想照镜子看看自己美不美，一位数学老师就让同学们记录下圆、正方形、长方形、平行四边形照镜子的状况，你对这四位的记录有什么意见吗（投影图片）同学们的看法到底对不对通过这一节课的学习我们就有答案了（对学生的回答不予评价，探索完轴对称的性质后，让学生自评或互评）．需满足几个条件（活动说明：最好用透明纸，这样更方便观察现象）．实践探索一1．指导学生完成下边的活动（投影要求）．活动一：如图所示，把一张纸折叠后，用针扎一个孔；再把纸展开，两针孔分别记为点A、点A，折痕记为l；连接AA，AA与l相交于点O．2．探究：你有什么发现（1）通过活动一的操作，你小组探索的结果是什么你们是怎样发现的给直线l起个名字．（2）线段的垂直平分线你觉得线段的垂直平分线我们怎样定义%线段的垂直平分线的特征是什么实践探索二指导学生完成活动二（投影要求）．仿照上面的操作，在对折后的纸上再扎一个孔，把纸展开后记这两个针孔为点B、点B，连接AB、A B、BB．你有什么新的发现实践探索三（投影要求）如图，并仿照上面进行操作，扎孔、展开、标记、连线．你又有什么发现引导学生观察，形成结论．返回情景导入题（投影图片）开始同学们的回答对不对先让学生自评，再由他评．投影例题&例1 小明取一张纸，用小针在纸上扎出“4”，然后将纸放在镜子前．（1）你能画出镜子所在直线l的位置吗（2）图中点A、B、C、D的在镜中的对应点分别是，线段AC、AB 的在镜中的对应线段分别是，CD＝，∠CAB＝，∠ACD＝.（3）连接AE、BG，AE与BG平行吗为什么（4）AE与BG平行，能说明轴对称图形对称点的连线一定互相平行吗（5）延长线段CA、FE，连接CB、FG并延长，作直线AB、EG，你有什么发现吗总结轴对称在我们的生活中无处不在，通过这节课的学习，你有什么感受呢，说出来告诉大家。

2. 2轴对称的性质教案(2013年秋苏科版八年级上)

1
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探索：两针孔 A． A 和线段 A A 与折痕 l 之间有什么关系？问题 1：如果把纸重新折叠，因为 A、 A 重合，那么线段 OA、O A 呢？，此时 O 是线段 A A 的
1 1 1 1 1
。
问题 2：∠1 与∠2 有什么关系？问题 3：折痕 l 与 A A 什么关系？一、概念探究：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 1．操作：取一张长方形的纸片，按下面步骤做一做。将长方形纸片对折，折痕为 l，（1）在纸上画△ABC；（2）用针尖沿△ABC 各边扎几个小孔（3）将纸展开，连接 AA’ 、BB’ 、CC’
O · P 四、提炼总结：画轴对称图形的方法：
A
O · P
A
1．先画对称轴，再画已知点的对称 2．先画已知线段各端点的 3．先画已知三角形的各顶点的
；，再画出对称线段；，再画出对称三角形；
4．成轴对称的两个图形的对应点也成轴对称。
1．如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中是轴对称图形的有（）
.
A l B B
2．变式 1：请你分别在直线 l 上取一点 C，并作出△ABC 关于直线 l 对称的△ ABC 。问题：三角形有三个顶点，你想到了什么？你该如何做？
变式 2：已知点 P 和点 P’关于一条直线对称，请你画出这条对称轴。
P
.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
.
P’
归纳：画轴对称图形的一般步骤： 1．定好。 2．找准图形中的关键。 3．作对关键的对称，完成轴对称图形。例 2 ．四边形 ABCD 与四边形 EFGH 关于直线 l 对称。连接 AC、BD ，设它们相交于点 P。怎么样找出 P 点关于 l 的对称点 Q？

1.2 轴对称的性质(2)

C
A
B
4.思考下列问题：A、 B、C三点都在方格纸的格点位置上，请你再找一个格点D，使图中四点组成一个轴对称图形
AB 中 BC中 AC 中 AB边 AC边
C
A
B
BC边新
D A B
C
返
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C A B D
返
C
A
B D
返
D
C
A
B
返
不在格点上，舍去
C
A B
返
不在格点上，舍去
● ● ●
轴对称画图小结
• 画轴对称图形实质就是画已知图形各顶点关于某直线l（对称轴）的对称点成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称
1.如图，三角形Ⅰ的两个顶点分别在直线a 和b，且a⊥b， ⑴画三角形Ⅱ与三角形Ⅰ关于a对称； ⑵画三角形Ⅲ与三角形Ⅱ关于b对称； ⑶画三角形Ⅳ与三角形Ⅲ关于a对称； b ⑷所画的三角形Ⅳ与三角形 Ⅰ成轴对称吗？
(2) 如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线． 2. 轴对称图形对称点的连线互相平行或在同一条直线上． 3. 轴对称图形中的对称线段所在直线的交点在对称轴上或对称线段所在直线互相平行．
基础训练
(一)判断
1.若线段AB和A′B′关于l直线对称,
则AB=A′B′
(
)√
2.若线段AB和A′B′在直线l的两旁,且AB=A′B′,则线段AB和A′B′关于直线l对称( ) × A与A′到直线l的距离相等,则点A与A′关于直 3.若点线l对称 ( ) × 4.若△ABC≌△A′B′C′,则△ABC和△A′B′C′,关于某直线对称 ( ) ×

轴对称图形中心对称图形的定义及性质

轴对称图形、中心对称图形的基本概念轴对称图形的定义如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形。

轴对称图形的性质1）如果沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。

（对于一个图形来说）（2）把一格图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称。

这条直线就是对称轴。

两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫做对称点。

（对于两个图形来说）（3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段相等，对应角相等。

中心对称的定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称（central symmetry），这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。

中心对称的性质：①于中心对称的两个图形是全等形。

②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

③关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。

识别一个图形是否是中心对称图形就是看是否存在一点，使图形绕着这个点旋转180°后能与原图形重合。

中心对称是指两个图形绕某一个点旋转180°后，能够完全重合，这两个图形关于该点对称，该点称为对称中心.二者相辅相成，两图形成中心对称，必有对称中点，而点只有能使两个图形旋转180°后完全重合才称为对称中点。

既是轴对称图形又是中心对称图形的有：直线，线段，两条相交直线，矩形，菱形，正方形，圆等．只是轴对称图形的有：射线，角等腰三角形，等边三角形，等腰梯形等．只是中心对称图形的有：平行四边形等．既不是轴对称图形又不是中心对称图形有：不等边三角形，非等腰梯形等．。

轴对称的性质

● ●
B′
B A A′ l B
B′
●
O
A′
B′ A′ A l
●
l
活 1.如图，画出△ABC关于直线MN的对称图形动 Aˊ 2 M
Bˊ B A C
N
Cˊ
作法:1、作AP⊥直线m于P，延长AP至Aˊ,使 APˊ=AP,则点Aˊ就是点A关于直线m的对称点,同理点B和点C一样作. 2、连结AˊBˊ，BˊCˊ，CˊAˊ
点A，A′是对称点，设 AA′交对称轴MN于点P，将△ABC和 △A′B′C′沿直线MN折叠后，点Ａ与Ａ′ 重合，于是有：
B
M
A
P
A′
C
C′ B′
N
ＡＰ＝ＰＡ′，∠ＭＰＡ＝ ∠ＭＰＡ′＝９0° 对称轴所在的直线经过对称点所连线段的中 M 点，并且垂直于这条线段。
A
p
A′
P.
.Q
C
Q
C′
B
G
N
B′
轴对称的性质
1、轴对称图形：
如果一个图形沿某一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，对折后图形上能够互相重合的点叫对称点。 2、轴对称：如果把一个图形沿某一条直线折叠后，能够与另一个图形完全重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称。这条直线叫做它们的对称轴，折叠后两个图形上互相重合的点叫对称点。
｛｛b=4 2a+b=-8 a=6 ｛-3a=b+2 b=-20 ｛
2a+b=8 3a=b+2

a=2
■轴对称图形的对称轴的条数( A.只有1条 B.2条 C.3条 D.至少一条
)
欣赏大自然风景，说说图中的对称轴.

2.2《轴对称的基本性质(1)》参考课件

M
平分，即AO=A′O
A′ o A
N
小莹扎了三个孔，把纸展开铺平后连接各点，得到了右下图，其中直线MN为折痕。思考并交流。 (1)线段AB与线段A′B′的长度有什么关系？ AB=A′B′ M (2)△ABC与△A′B′C′的三个内角有什么关系？ A A′ △ABC与△A′B′C′ 各内角相等 B B′ (3)△ABC与△A′B′C′有什么关系？ △ABC与△A′B′C′ 重合
●
l
D H
●
E
●
C
● ●
●
F
B
G
●
2.2 轴对称的性质(1)
（2）图中点A、B、C、D的对称点分别是 E、G、F、H，线段AC、AB的对应线段分别是 EF、EG ∠CAB= ∠FEG ，CD= FH . ，，∠ACD= ∠EFH
●
A
●
l D H
●
E
●
C
● ●
●
F
B
G
●
2.2 轴对称的性质(1)
2.2 轴对称的性质(1)
回顾与思考：
通过本节课的学习，你有什么收获？还有哪些疑惑？
反馈训练
1．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（ C ）．
2. 如图，在正方形网格上有一个△ABC. （1）作△ABC关于直线MN的对称图形（不写作法）；（2）若网格上的最小正方形边长为1，求△ABC 的面积.
2.2 轴对称的性质(1)
• 自主预习课本34~36页
1、火眼金睛辨图形
2、我问你答
什么叫做轴对称、什么叫做对称轴、什么叫做对称点
如图：把一张对折后扎一个孔，然后展开铺平。连接得到的两个小孔A和A′ 线段AA′与折痕MN交点为O

2.2轴对称的性质(1)

课题：2.2 轴对称的性质（1）课型：新授主备：李祥备课组长：丁虎平教研组长：吴进【学习目标】1．知道线段的垂直平分线的概念，知道轴对称的有关性质；2．经历探索轴对称的性质的活动过程，积累数学活动经验，进一步发展空间观念及有条理地思考和表达能力.【温故知新】1. 叫做这条线段的垂直平分线.2.成轴对称的两个图形，如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对应点连线的 .3.成轴对称的两个图形的对应线段___ ___、对应角___ __. 【新知应用】操作1：在纸上任意画一点A，把纸对折，用针在点A处穿孔，再把纸展开，并连接两针孔A,A’思考：（1）两针孔A,A’与折痕之间有什么关系？线段AA’呢？（2）什么是线段的垂直平分线？操作2：在纸上再任意画一点B，同样地，折纸、穿孔、展开，并连接AB,A’B’、BB’，线段BB’与l有什么关系？线段AB与A’B’有什么关系？操作3：再在纸上任画一点C ，并仿照上面进行操作，ΔABC 与ΔA ’B ’C ’有什么关系？你能得出什么结论？结论： . 练习：1.画出图中成轴对称的两个图形的对称轴,并标出两对对称点,说说你是怎么画的？2.画出图中的对称轴,并把该图形在对称轴上的点用字母标注出来.3. 如图，线段AB 与A ′B ′关于直线l 对称.连接AA ′ 、BB ′，设它们分别与l 相交于点P 、Q.(1)在所画的图形中,相等的线段有:__________; (2) AA ′与 BB ′平行吗?为什么?C【变式训练】1.如图，哪些是轴对称图形？如果是，请画出轴对称图形的所有对称轴．2.如果△ABC 与△A ′B ′C′关于直线l 对称,且∠A=40°,∠B ′=35°,那么∠C=_______.3.如图，点A 、B 、C 都在方格纸的格点上.请你再找一个格点D ，使点A 、B 、C 、D 组成一个轴对称图形.【随堂检测】1.如果ΔABC 与ΔA ’B ’C ’关于直线l 对称，且∠A=50°，∠B ’=70°，那么∠C ’=2. ∠2＝46°,则x ＝ .3.如图，Rt △AFC 和Rt △AEB 关于虚线成轴对称，现给出下列结论：①∠1＝∠2；②△ANC ≌△AMB ；③CD ＝DB （填序号）；选个你比较喜欢的结论加以说明．方法 1 方法 2【课后作业】1．如下图，由小正方形组成的L 形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为一个轴对称图形：2．（1）观察图中点A 和点A ’的对称轴，点B 和B ’的对称轴，点C 和C ’的对称轴，你有什么发现？（2）图中的△ABC 和△A ’B ’C ’成轴对称吗？如果成轴对称，请画出它们的对称轴。

八上 1.2 轴对称的性质(1)

1.2 轴对称的性质(教案)
班级姓名学号
教学目标：
1、掌握轴对称性质；
2、会利用轴对称的性质，作对称点，对称图形等
教学重点：作已知图形的轴对称图形的一般步骤.
教学难点：怎样确定已知图形的关键点并根据这些点作出对称图形.
教学过程：
一、创设情境：
试一试
如下图，方格子内的两图形都是成轴对称的，请画出它们的对称轴．
做一做1
请试着画出下图所示图形的对称轴.
（1）（2）
你可以用折叠的方法来检验自己画的对称轴是否准确，如果准确的话，能总结你的方法吗？你是如何判断对称轴位置的呢？
做一做2
1、实践、操作：
在纸上画出线段AB 及它的中点O ，再过O 点画出与AB 垂直的直线CD ，
沿直线CD 将纸对折，看看线段OA 与OB 是否重合？
从上面的操作我们可以看出，线段是轴对称图形．
直线CD 是线段AB 的对称轴，它垂直于线段AB ，又平分线段AB ，
我们把这样垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
2、动手、操作
（1
直平分；
（2）说出图中相等的线段和角.
成轴对称的两个图形全等.
如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线
二、例题示范：
例题用针扎重叠的纸得到下面关于l 成轴对称的两个图案：
（1）找出它的两对对称点，两条对称线段；
（2）用测量的方法验证你找到的对称点所连线段被对称轴垂直平分.
F
三、课堂小结：
1、能找到轴对称中的对称点；
2、会画出对称点、对称线段；
3、能找到对称轴
四、课后作业：P13-14 1，2，3
五、教学后记：。

轴对称图形及性质

文昌院教育学科教师辅导讲义课题轴对称图形及性质教学内容轴对称图形及性质（1.1,1.2）第一节一、1. 轴对称定义：把一个图形沿一条直线这段，如果它能够和另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形轴对称。

这条直线称为对称轴（对称轴是一条直线，不是射线或线段），两个图形的对应点（即沿对称轴对折后，能够重合的点）叫做对称点。

2. 轴对称图形定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形3. 轴对称与轴对称图形的区别：（1）轴对称是两个图形的位置关系，轴对称图形是一个具有特殊形状的图形（2）轴对称涉及两个图形，轴对称是一个图形轴对称与轴对称图形的联系:（1）定义中都有一条直线，沿这条直线折叠重合。

（2）轴对称图形一定成轴对称，成轴对称的不一定是轴对称图形。

注意：轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的存在多条例1. 下列图形中是轴对称图形的是（）轴对称与轴对称图形轴对称的性质轴对称图形线段角等腰三角形等腰梯形轴对称图①②③④A．①②B．③④C．②③D．①④例2、下列轴对称图形中，对称轴最多的是（）.A、等腰直角三角形B、有一角为60的等腰三角形C、正方形D、圆例3．下列图形分别是等边三角形、直角三角形、等腰梯形和矩形，其中有且只有一条对称轴的轴对称图形是( )例4、如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个例5.剪纸是中国的民间艺术．剪纸方法很多，下面是一种剪纸方法的图示(先将纸折叠，然后再剪，展开即得到图案)：下面四个图案中，不能用上述方法剪出的是( )二、轴对称的性质：（1.2）1. （1）线段垂直平分线：垂直并且平分一条线段的直线（线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合，即①经过线段的中点 ②垂直于线段，两者缺一不可。

）（2）作线段AB 的垂直平分线： ①分别以A 、B 为圆心，大于AB 21的长为半径画弧，两弧相交于点C 、D ②过C 、D 两点作直线③直线CD 就是线段AB 的垂直平分线 2.性质：①成中轴对称的两个图形全等；②如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。

八年级数学上册 2.2 轴对称的基本性质1 青岛版

2.成轴对称的两个图形中，对称点的连线被对称轴垂直平分；对应线段相等，对应角相等。
一定要记住哟!
如果直线l外有一点A,那么怎样画出点A关于直线l的对称点A′?
l
┏
●
A
O
●
A′
过点A画直线l的垂线AO，设垂足为点O，再截取 O A′=OA 点A′就是所要画的对称点。
变:如果直线l外有线段AB,那么怎样画出线段AB 关于直线l的对称线段A′B′?
B ●
A ● O
B
B′
● B′
A A′
l●ຫໍສະໝຸດ A′BB′l
A′ A
l
例题
例1 如图，做出△BCD关于直线l的对称图形。
l
B′
B
D
C
C′
例题
例2 右图中两个三角形关于直线l成轴对称。如果三角形的部分边长(单位：厘米)和角的度数如图所示，求未知的边长和角的度数。
l
a 75°
γ
2.29
bδ
α
3.20
c
教学目标： 1.探索轴对称图形的性质，对应线段，对应角相等； 2.会用成轴对称的图形的性质解决相应问题
轴对称： • 如果把一个图形沿某一条直线折叠后，能够与另一个图形完全重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称。这条直线叫做它们的对称轴，折叠后两个图形上互相重合的点叫对称点。
轴对称的性质： 1.成轴对称的两个图形全等．
43°
β
3.44
课堂小结
通过本节课学习，我们知道：
如果两个图形关于一条直线成轴对称，那么连接对应点的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。

2.2 轴对称的性质

方法（12）
●A
l E●
C●
● D H●
●F
●B
G●
苏科数学
（2）图中点A、B、C、D的对称点分别
是 E、G、F、H，线段AC、AB的对应线段分别
是 EF、EG ，CD= FH
，
∠CAB= ∠FEG ，∠ACD= ∠EFH .
●A
l E●
C●
● D H●
●F
●B
G●
苏科数学
（3）连接AE、BG， AE与BG平行吗？为什么？
苏科数学
【探究活动三】
课本P41页操作（1）剪两个全等的三角形，并把它们叠合在一起；（2）把其中的一个三角形沿一边翻折，所成的图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴；（3）再改变其中一个三角形的位置，使这两个三角形成轴对称．
苏科数学
【课堂反馈】 1．课本P42 习题2.1第1题、第2题．
l
●
l
AO
A′
●
●
因为所以即因为所以
所以
把纸沿折痕 l 折叠时，点A、A′重合，
线段OA、OA′重合，
O是AA′的中点．
∠1＝∠2 且 ∠1＋∠2＝180°，
∠1＝∠2＝90°． l 垂直且平分AA′．
l
12
A●
o
● A′
苏科数学
垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(midpoint perpendicular).
苏科数学
例题分析例2（1）如果直线l外有线段AB，那么怎样画出线段 AB关于直线l的对称线段A′B′？
B ●
A ● O
l
苏科数学
例题分析例2（2）如果直线l外有线段AB，那么怎样画出线段 AB关于直线l的对称线段A′B′？

§2.2 轴对称的性质(1)教案

问题3：折痕与AA’什么关系？
操作2：仿照上面的操作，在对折的纸上再扎一个孔，把纸展开后记这两个针孔为点B、点B’，连接BB’、AB、A’B’,BB’与折痕有什么关系？
再仿照上面的操作，扎孔、展开、标记、连线，CC’与折痕有什么关系？
小组合作进行操作、探究．小组讨论，代表回答，形成认识
小组合作通过观察、讨论，形成结论．能用自己的语言有条理地得出结论
学段学科
初一数学
主备人
课题
§2.2轴对称的性质（1）
教学目标
1.知道线段的垂直平分线的概念，知道成轴对称的两个图形全等，对称轴是对称点的连线的垂直平分线.
2.经历探索轴对称的性质的活动的过程，进一步发展空间观念，以及有条理地思考和表达的能力.
教学重点
准确理解成轴对称的两个图形的基本性质．
教学难点
应用轴对称的性质解决一些实际问题．
【当堂练习】
1、在镜子中看到时钟显示的时间是
则实际时间是.
2、下列右侧四幅图中，平行移动到位置M后能与N成轴对称的是（）
3、如图，线段AB与关于直线对称，连接、 ,设它们分别与相交于点P、Q。
（1）所得图中，相等的线段有那几对？
（2）与平行吗？为什么程（教师）
学生活动
设计意图
【情景引入】
操作1：在纸上任意画一点A，把纸对折，用针在点A处穿孔，再把纸展开，并连接两针孔A、A’.
探索：两针孔A、A’和线段AA’与折痕之间有什么关系？
问题1：如果把纸重新折叠，因为A、A’重合，那么线段OA、OA’呢？那么O是的AA’的什么点？
问题2：∠1与∠2有什么关系？
【小结】
这节课你有什么收获？
学生自由发表意见．

轴对称的性质

●
A
●
l D H
●
E
●
C
● ●
●
F
B
G
●
2.2 轴对称的性质(1)
（3）连接AE、BG， AE与BG平行吗？为什么？解：（3）平行．因为 A和E，B和G是关于直线 l 的对称点，所以 l⊥AE ，l⊥BG．所以 AE ∥BG． l
● ●
●
A D
E
●
●
C
●
H
●
F
B
G
●
2.2 轴对称的性质(1)
A
40
D
65
B
C
F
E
2.如图,已知四边形ABCD与A1B1C1D1 成轴对称, 若∠A=95°, ∠B=145°, 则
95° 145 ° (1)∠A1=____ , ∠B1= ____ ;
3 5 (2)若AB=3cm,BC=5cm,则A1B1=___cm,B 1C1=___cm;
(3)若连结AA1、 BB1、 CC1、 DD1,则与AA1平行的线段
作出对称点可分为三步：
（1）作垂线
（2）延长（3) 截取
2.2 轴对称的性质(1)
小结
1．轴对称的性质：（1）成轴对称的两个图形全等．（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线． 2．轴对称图形对称点的连线互相平行或在同一条直线上． 3．轴对称图形中的对称线段所在直线的交点在对称轴上或对称线段所在直线互相平行．
基础训练判断
1.若线段AB和A’B’关于直线l对称,则AB=A’B’( √ ) 2.若线段AB和A’B’在直线l的两旁,且AB=A’B’,则线段AB和 A’B’关于直线l对称 (× ) 3.若点A与A’到直线l的距离相等,则点A与A’关于直线l对称 (× ) 4.若△ABC≌△A’B’C’,则△ABC和△A’B’C’关于某直线对称 ( ) ×

轴对称的基本性质

轴对称的基本性质【要点梳理】要点一、轴对称的基本性质★成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直评分★轴对称及轴对称的判定（1）如果两个图形的对应点所连线段被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线成轴对称.（2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等，并且这两个图形成轴对称.要点诠释：（1）对应点的连线是一条线段，而对称轴是一条直线.（2）两条成轴对称的线段要么平行，要么所在直线相交且交点一定在对称轴上.【例1】如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，若△A＝50°，△C′＝30°，则△B的度数为（）A．30°B．50°C．90°D．100°【变式1.1】如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA 于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是5cm，则P1P2的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【变式1.2】如图，△MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若△MON＝35°，则△GOH＝（）A．60°B．70°C．80°D．90°【变式1.3】如图，在Rt△ABC中，△BAC＝90°，△B＝50°，AD△BC，垂足为D，△ADB 与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则△CAB'的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°（1）若某点在对称轴上，则它的对称点也一定在对称轴上，并且和这个点重合.（2）如果一个点在对称轴的左侧，那么这个点的对称点一定在对称轴的右侧；反之，一个点在对称轴的右侧，则这个点的对称点一定在对称轴的左侧.要点三、平面直角坐标系中的轴对称★关于坐标轴对称的点的坐标的关系★在平面直角坐标系中作成轴对称的图形【例2】作一个图形关于x轴（或y轴）成轴对称的图形的步骤：（1）找：在原图形上找特殊点（如线段的端点）；（2）作：作各个特殊点关于对称轴的对称点；（3）连：按原图的顺序连接所作的各对称点.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上．（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；（2）将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标．【变式2.1】在下图中，画出△ABC关于直线MN的对称图形.【变式2.1】若点A（1，2），B（﹣1，2），则点A与点B的关系是（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线x＝1对称D．关于直线y＝1对称【变式2.2】已知△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A′B′C′与△ABC关于y轴对称，那么点A的对应点A′的坐标为（）A．（﹣4，2）B．（﹣4，﹣2）C．（4，﹣2）D．（4，2）【变式2.3】小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）典型例题题型一：轴对称的性质【练习1.1】如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且△A＝105°，△C′＝30°，则△B＝（）A．25°B．45°C．30°D．20°【练习1.2】如图，在△ABC中，AB＝AC，△C＝70°，△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，△CAF＝10°，连接BB′，则△ABB′的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°【练习1.3】如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则△B的度数为（）A．30°B．50°C．90°D．100°【练习1.4】如图，Rt△ABC中，△ACB＝90°，△A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则△A′DB为．【练习1.5】如图，AD是三角形ABC的对称轴，点E、F是AD上的两点，若BD＝2，AD ＝3，则图中阴影部分的面积是．【练习1.6】如图，在等边△ABC中，AB＝4，点P是BC边上的动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是．【练习1.7】如图，点P是△ACB外的一点，点D，E分别是△ACB两边上的点，点P关于CA的对称点P1恰好落在线段ED上，P点关于CB的对称点P2落在ED的延长线上，若PE＝2.5，PD＝3，ED＝4，则线段P1P2的长为．【练习1.8】如图，△BAC＝110°，若A，B关于直线MP对称，A，C关于直线NQ对称，则△P AQ的度数是．【练习1.9】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12cm2，则图中阴影部分的面积是cm2．【练习1.10】如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【练习1.11】如图的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【练习1.12】如图，在3×3的网格中，与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有（）A．5个B．6个C．7个D．8个【练习1.13】如图，是由大小一样的小正方形组成的网格，△ABC的三个顶点均落在小正方形的顶点上．在网格上能画出的三个顶点都落在小正方形的顶点上，且与△ABC成轴对称的三角形共有（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【练习1.14】如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，点B 关于AC 的对称点B '恰好落在CD 上，若∠BAD ＝α，则∠ACB 的度数为（）A ．45°B ．α﹣45°C ．12αD ．90°−12α 【练习1.15】如图，点P 关于OA 、OB 的对称点是H 、G ，直线HG 交OA 、OB 于点C 、D ，若∠HOG ＝80°，则∠CPD ＝ °．【练习1.16】在等边△ABC 外作射线AD ，使得AD 和AC 在直线AB 的两侧，∠BAD ＝α（0°＜α＜180°），点B 关于直线AD 的对称点为P ，连接PB ，PC ．（1）依题意补全图1；（2）在图1中，求∠BPC 的度数；（3）直接写出使得△PBC 是等腰三角形的α的值．【练习1.17】如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若GH的长为14，求△P AB的周长．【练习1.18】如图，等边三角形ABC中，D为边BC上的一点，点D关于直线AB的对称点为点E，连接AD，DE，在AD上取点F，使得∠EFD＝60°，射线EF与AC交于点G．（1）设∠BAD＝α，求∠AGE的度数（用含α的代数式表示）；（2）探究CG与DE之间的等量关系，并证明．【练习1.19】如图，△ABC的点C与C′关于AB对称，点B与B′关于AC对称，连结BB′、CC′，交于点O．（1）如图（1），若∠BAC＝30°，①求∠B'AC'的度数；②观察并描述：△ABC'可以由△AB'C通过什么变换得来？求出∠BOC'的角度；（2）如图（2），若∠BAC＝α，点D、E分别在AB、AC上，且C′D∥BC∥B′E，BE、CD交于点F，设∠BFD＝β，试探索α与β之间的数量关系，并说明理由．【练习1.20】如图在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为外角∠BCD平分线上一动点（不与点C重合），点E关于直线BC的对称点为F，连接BE，连接AF并延长交直线BE于点G．（1）求证：AF＝BE；（2）用等式表示线段FG，EG与CE的数量关系，并证明．【练习1.21】国庆期间，广场上设置了一个庆祝国庆70周年的造型（如图所示）．造型平面呈轴对称，其正中间为一个半径为b的半圆，摆放花草，其余部分为展板．求：（1）展板的面积是．（用含a，b的代数式表示）（2）若a＝0.5米，b＝2米，求展板的面积．（3）在（2）的条件下，已知摆放花草部分造价为450元/平方米，展板部分造价为80元/平方米，求制作整个造型的造价（π取3）．【练习1.22】如图所示，梯形ABCD关于y轴对称，点A的坐标为（﹣3，3），点B的坐标为（﹣2，0）．（1）写出点C和点D的坐标；（2）求出梯形ABCD的面积．题型二：关于x、y轴对称的点的坐标【练习2.1】在平面直角坐标中，已知点P（a，5）在第二象限，则点P关于直线m（直线m上各点的横坐标都是2）对称的点的坐标是（）A．（﹣a，5）B．（a，﹣5）C．（﹣a+2，5）D．（﹣a+4，5）【练习2.2】点M（1，4﹣m）关于直线y＝﹣3对称的点的坐标为（1，7），则m＝（）A．16B．27C．17D．15【练习2.3】如图，一束光线从y轴的点A（0，2）出发，经过x轴上的点C反射后经过点B（6，6），则光线从点A到点B所经过的路程是（）A．10B．8C．6D．4【练习2.4】如图，若△A′B′C′与△ABC关于直线AB对称，则点C的对称点C′的坐标是（）A．（0，1）B．（0，﹣3）C．（3，0）D．（2，1）【练习2.5】在坐标平面上有一个轴对称图形，其中A（3，−52）和B（3，−112）是图形上的一对对称点，若此图形上另有一点C（﹣2，﹣9），则C点对称点的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，−32）C．（−32，﹣9）D．（﹣2，﹣1）【练习2.6】甲、乙两名同学下棋，甲执圆子，乙执方子，如图，棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示，甲将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形，甲放的位置是（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）D．（﹣1，2）【练习2.7】点P（2，5）关于直线x＝1的对称点的坐标是（）A．（﹣2，5）B．（﹣3，5）C．（4，5）D．（0，5）【练习2.8】嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用（﹣1，1）表示，右下角的圆形棋子用（0，0）表示，淇淇将第4枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形．则淇淇放的方形棋子的位置可能是（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣1）C．（0，2）D．（1，3）【练习2.9】在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（√3，√2），则经过第2019次变换后所得的点A的坐标是（）A．（−√3，√2）B．（−√3，−√2）C．（√3，−√2）D．（√3，√2）【练习2.10】在平面直角坐标系中，已知点P（a2+2，5），则点P关于直线m（直线m上各点的横坐标都为﹣2）对称点的坐标是（）A．（﹣a2+6，5）B．（﹣a2﹣6，5）C．（a2﹣6，5）D．（﹣a2+4，5）【练习2.11】点（6，3）关于直线x＝2的对称点为（）A．（﹣6，3）B．（6，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣3，﹣3）【练习2.12】如图，等边△ABC的顶点A（1，1），B（3，1），规定把△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2019次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为（）A．(−2016，√3+1)B．(−2016，√3−1)C．(−2017，√3+1)D．(−2017，−√3−1)【练习2.13】平面内点A（﹣1，2）和点B（﹣1，a）关于直线y＝4对称，a＝．【练习2.14】如图，在平面直角坐标系xOy中，△DEF可以看作是由△ABC经过若干次的图形变化（轴对称、平移）得到的，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：．【练习2.15】已知△ABC关于直线y＝1对称，C到AB的距离为2，AB长为6，则点A、点B的坐标分别为．【练习2.16】如图，在直角坐标平面内，已知点A（8，0），点B（3，0），点C是点A关于点B的对称点．（1）求点C的坐标；（2）如果点P在y轴上，过点P作直线l∥x轴，点A关于直线l的对称点是点D，那么当△BCD的面积等于10时，求点P的坐标．题型三：轴对称—最短路线问题【练习3.1】如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°【练习3.2】如图，四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC 上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°【练习3.3】如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，面积是16，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点．若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则△CDM 周长的最小值为（）A ．6B ．8C ．10D ．12【练习3.4】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 、CE 是△ABC 的两条中线，P 是AD 上一个动点，则下列线段的长度等于BP +EP 最小值的是（）A ．BCB ．CEC ．AD D ．AC【练习3.5】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，AD 是∠BAC 的平分线．若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC +PQ 的最小值是（）A ．125B ．4C ．245D ．5【练习3.6】如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △P AB =13S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和P A +PB 的最小值为（）A．√29B．√34C．5√2D．√41【练习3.7】如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别是线段BC，DC上的动点．当△AEF的周长最小时，则∠EAF的度数为（）A．90°B．80°C．70°D．60°【练习3.8】如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【练习3.9】如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．2√3B．2√6C．3D．√6【练习3.10】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积是16，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A ．6B ．8C ．10D ．12【练习3.11】如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上．顶点B 的坐标为（3，√3），点C 的坐标为（12，0），点P 为斜边OB 上的一个动点，则P A +PC 的最小值为（）A ．√132B ．√312C ．3+√192D ．2√7【练习3.12】如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上一动点，则DN +MN 的最小值为（）A ．6B ．8C ．12D ．10【练习3.13】如图，在正方形ABCD 中，AB ＝8，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且BM ＝6．P 为对角线BD 上一点，则PM ﹣PN 的最大值为．【练习3.14】如图，在锐角△ABC 中，AB ＝4√2，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是．【练习3.15】如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为．【练习3.16】如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为．【练习3.17】如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝6√2，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为．【练习3.18】如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为．【练习3.19】如图所示，已知点C（1，0），直线y＝﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是．【练习3.20】如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为．【练习3.21】如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是．【练习3.22】如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是．【练习3.23】在锐角三角形ABC中，BC=4√2，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是．【练习3.24】已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值＝．【练习3.25】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，矩形内部有一动点P满足S△P AB=1 3S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和P A+PB的最小值为．【练习3.26】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1），在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小，则P点的坐标是．【练习3.27】（1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．（2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．（3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．【练习3.28】已知：如图所示，（1）作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标．（2）在x轴上画出点P，使P A+PC最小．【练习3.29】如图已知EF∥GH，AC⊥EF于点C，BD⊥EF于点D交HG于点K．AC＝3，DK＝2，BK＝4．（1）若CD＝6，点M是CD上一点，当点M到点A和点B的距离相等时，求CM的长；（2）若CD=132，点P是HG上一点，点Q是EF上一点，连接AP，PQ，QB，求AP+PQ+QB的最小值．【练习3.30】如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小；（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式√x2+4+√(12−x)2+9的最小值．【练习3.31】如图，C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问：点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？求出这个最小值．（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式√x2+4+√(12−x)2+9的最小值．【练习3.32】如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B．（4，2）、C（3，4）．（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，则△A1B1C1三个顶点坐标分别为：A1，B1，C1；（2）若P为x轴上一点，则P A+PB的最小值为；（3）计算△ABC的面积．【练习3.33】如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD 上的动点，则|P A﹣PB|的最大值为．【练习3.34】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC （即三角形的顶点都在格点上）．（1）△ABC的面积为；（2）在图中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′．（3）利用网格纸，在MN上找一点P，使得PB+PC的距离最短．（保留痕迹）【练习3.35】请阅读下列材料：问题：如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小．小明的思路是：如图2所示，先作点A关于直线l的对称点A′，使点A′，B分别位于直线l的两侧，再连接A′B，根据“两点之间线段最短”可知A′B与直线l的交点P 即为所求．请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：（1）如图3，在图2的基础上，设AA'与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D．若CP＝1，AC＝1，PD＝2，直接写出AP+BP的值；（2）将（1）中的条件“AC＝1”去掉，换成“BD＝4﹣AC”，其它条件不变，直接写出此时AP+BP的值；（3）请结合图形，求√(m−3)2+1+√(9−m)2+4的最小值．【练习3.36】在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图①，若∠ADE＝60°，AB＝AC＝2，点D在线段BC上，①∠BCE和∠BAC之间是有怎样的数量关系？不必说明理由；②当四边形ADCE的周长取最小值时，直接写出BD的长；（2）若∠BAC≠60°，当点D在射线BC上移动，如图②，则∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系？并说明理由．题型四：翻折变换（折叠问题）【练习4.1】如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿直线BE 折叠后得到△GBE ，延长BG 交CD 于点F ．若AB ＝6，BC ＝4√6，则FD 的长为（）A ．2B ．4C ．√6D ．2√3【练习4.2】如图，在△ABC 中，D 是AC 边上的中点，连结BD ，把△BDC 沿BD 翻折，得到△BDC '，DC ′与AB 交于点E ，连结AC '，若AD ＝AC ′＝2，BD ＝3，则点D 到BC ′的距离为（）A ．3√32B ．3√217C ．√7D ．√13【练习4.3】如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，连CE ，则线段CE 的长等于（）A ．2B ．54C ．53D ．75 【练习4.4】如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，再过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，折痕为BE ．若AB 的长为2，则FM 的长为（）A．2B．√3C．√2D．1【练习4.5】如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB＝2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=725．在以上4个结论中，正确的有（）A．1B．2C．3D．4【练习4.6】如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2＝40°，则图中∠1的度数为（）A．115°B．120°C．130°D．140°【练习4.7】如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF＝2BE；②PF＝2PE；③FQ＝4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①④【练习4.8】如图，Rt △ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，∠B ＝90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（）A ．53B ．52C ．4D ．5【练习4.9】如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，将矩形沿AC 折叠，点D 落在点D ′处，则重叠部分△AFC 的面积为（）A ．6B ．8C ．10D ．12【练习4.10】如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B ′处．当△CEB ′为直角三角形时，BE 的长为．【练习4.11】如图矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝7，点E 为DC 上一个动点，把△ADE 沿AE 折叠，当点D 的对应点D ′落在∠ABC 的角平分线上时，DE 的长为．【练习4.12】如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点F 在边AC 上，并且CF ＝2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P到边AB距离的最小值是．【练习4.13】折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG 翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB＝AD+2，EH＝1，则AD＝．【练习4.14】如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G 在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于．【练习4.15】如图，将正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点D落在边AB上，对应点为D′，点C落在C′处．若AB＝6，AD′＝2，则折痕MN的长为．【练习4.16】如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若AD＝8，AB＝5，则线段PE的长等于．【练习4.17】阅读理解如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C 的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠，点B n与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC 顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C 重合．探究发现（1）△ABC中，∠B＝2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？（填“是”或“不是”）．（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B ＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为．应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．【练习4.18】如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB＝∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【练习4.19】如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G．（1）求证：AG＝C′G；（2）如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM 的长．题型五：图形的剪拼【练习5.1】如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（）A．甲、乙都可以B．甲、乙都不可以C．甲不可以、乙可以D．甲可以、乙不可以【练习5.2】如图1，分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC，EG剪开，拼成如图2所示的▱KLMN，若中间空白部分四边形OPQR恰好是正方形，且▱KLMN的面积为50，则正方形EFGH的面积为（）A．24B．25C．26D．27【练习5.3】如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为2a，则纸片的剩余部分的面积为（）A．5a B．4a C．3a D．2a【练习5.4】如图，在正方形ABCD纸片上有一点P，P A＝1，PD＝2，PC＝3，现将△PCD 剪下，并将它拼到如图所示位置（C与A重合，P与G重合，D与D重合），则∠APD 的度数为（）A．150°B．135°C．120°D．108°【练习5.5】如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是（）A．√7B．2√2C．3D．√10【练习5.6】如图，有一块菱形纸片ABCD，沿高DE剪下后拼成一个矩形，矩形的相邻两边DC和DE的长分别是5，3．则EB的长是（）A．0.5B．1C．1.5D．2【练习 5.7】用两个全等的直角三角形拼成下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形．则一定可以拼成的图形是（）A．①④⑤B．②⑤⑥C．①②③D．①②⑤【练习5.8】用两个全等的直角三角形拼下面的图形：（1）平行四边形；（2）矩形；（3）菱形；（4）正方形；（5）等腰三角形；（6）等边三角形．可以拼成的图形是（）A．（1）（4）（5）B．（2）（5）（6）C．（1）（2）（3）D．（1）（2）（5）【练习5.9】如图1，将矩形ABCD和正方形EFGH的分别沿对角线AC和EG剪开，拼成图2所示的平行四边形PQMN，中间空白部分的四边形KRST是正方形．如果正方形EFGH 与正方形KRST的面积分别是16和1，则矩形ABCD的面积为（）A．15B．16C．17D．25【练习5.10】如图1，分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC，EG剪开，拼成如图2所示的四边形ALMN，若中间空白部分四边形恰好是正方形OPQR，且四边形ALMN的面积为72，则正方形的面积是（）A．34B．35C．36D．37【练习5.11】如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为．【练习5.12】如图1，分别沿矩形纸片ABCD和正方形EFGH纸片的对角线AC，EG剪开，拼成如图2所示的平行四边形KLMN，若中间空白部分恰好是正方形OPQR，且平行四边形KLMN的面积为50，则正方形EFGH的面积为．【练习5.13】有一张一个角为30°，最小边长为4的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是．【练习5.14】如图，五个全等的小正方形无缝隙、不重合地拼成了一个“十字”形，连接A．B 两个顶点，过顶点C作CD⊥AB，垂足为D．“十字”形被分割为了①、②、③三个部分，这三个部分恰好可以无缝隙、不重合地拼成一个矩形，这个矩形的长与宽的比为．【练习5.15】如图1，在大正方形中剪去一个小正方形，再将图中的阴影剪拼成一个长方形，如图2，这个长方形的长为24，宽为16，则图2中S2部分的面积是．【练习5.16】如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是．【练习5.17】有三个大小一样的正六边形，可按下列方式进行拼接：方式1：如图1；方式2：如图2；若有六个边长均为1的正六边形，采用方式1拼接，所得图案的外轮廓的周长是．有n个长均为1的正六边形，采用上述两种方式的一种或两种方式混合拼接，若得图案的外轮廓的周长为18，则n的最大值为．【练习5.18】如图，把一个半径为r厘米的圆分成若干等份，然后把它剪开，照下图的样子拼起来，拼成新的图形的周长比原来圆的周长多10厘米，则该圆的半径为厘米．【练习5.19】列网格中的六边形ABCDEF是由边长为6的正方形左上角剪去边长为2的正方形所得，该六边形按一定的方法可剪拼成一个正方形．（1）根据剪拼前后图形的面积关系求出拼成的正方形的边长；（2）如图甲，把六边形ABCDEF沿EH，BG剪成①②③三部分，请在图甲中画出将②③与①拼成的正方形，然后标出②③变动后的位置，并指出②③属于旋转、平移和轴对称中的哪一种变换；（3）在图乙中画出一种与图甲不同位置的两条裁剪线，并在图乙中画出将此六边形剪拼成的正方形．【练习5.20】在△ABC中，沿着中位线DE剪切后，用得到的△ADE和四边形DBCE可以拼成平行四边形DBCF，剪切线与拼图如图1所示．仿照上述的方法，按要求完成下列操作设计，并在规定位置画出图示．（画图工具不限，剪切线用实线表示，拼接线用虚线表示，要求写出简要的说明）（1）将平行四边形ABCD剪切成两个图形，再将它们拼成一个矩形，剪切线与拼图画在图2的位置；（2）将梯形ABCD剪切成两个图形，再将它们拼成一个平行四边形，剪切线与拼图画在图3的位置．【练习 5.21】著名台湾魔术师刘谦发明了一个道具，他把下图①中的正方形，分割成两个全等的直角三角形和直角梯形．然后拼成图②中的长方形．通过计算这两个图形的面积，证明了64＝65．请你用学过的数学知识，找到刘谦的破绽．。