第10章 静电场-1作业答案

§10.2 电场 电场强度
一．选择题和填空题
1. 下列几个说法中哪一个是正确的？
（A ）电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向.
（B ）在以点电荷为中心的球面上， 由该点电荷所产生的场强处处相同．
(C) 场强可由q F E / =定出，其中q 为试验电荷，q 可正、可负，F
为 试验电荷所受
的电场力．
(D) 以上说法都不正确． [ C ]
2. 如图所示，在坐标(a ，0)处放置一点电荷+q ，在坐标(-a ，0)处放置另一点电荷－q ．P 点是x 轴上的一点，坐标为(x ，0)．当x >>a 时，该点场强的大小为： (A)
x q 04επ． (B) 3
0x
qa
επ． (C) 302x qa επ． (D) 2
04x q επ． [ B ]
3. 两个平行的“无限大”均匀带电平面， 其电荷面密度分别为＋σ和＋2 σ，如图所示，则A 、B 、C 三个区域的电场强度分别为：
E A ＝－3σ / (2ε0)_，E B ＝_－σ / (2ε0) ，
E C ＝_3σ / (2ε0)_ (设方向向右为正)．
4. d (d<<R)q ，
如图所示．则圆心O 处的场强大小E ＝
()3
0220824R qd
d R R qd εεπ≈-ππ，场强方向为
_____从O 点指向缺口中心点_________________．
二．计算题
1. 如图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电荷为q ，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d
的P 点的电场强度．
１、解：设杆的左端为坐标原点O ，x 轴沿直杆方向．带
电直杆的电荷线密度为λ=q / L ，在x 处取一电荷元d q =
λd x = q d x / L ，它在P 点的场强： ()204d d x d L q E -+π=
ε()2
04d x d L L x
q -+π=ε 总场强为 ⎰+π=L
x d L x
L q E 020)
(d 4－ε()d L d q +π=04ε 方向沿x 轴，即杆的延长线方向．
+σ +2σ
A B C
L
O
2．一环形薄片由细绳悬吊着，环的外半径为R ，内半径为R /2，并有电荷Q 均匀分布在环面上．细绳长3R ，也有电荷Q 均匀分布在绳上，如
图所示,试求圆环中心O 处的电场强度(圆环中心在细绳延长线上)．
解：先计算细绳上的电荷在O 点产生的场强．选细绳顶端作坐标原点O ，x 轴向下为正．在x 处取一电荷元
d q = λd x = Q d x /(3R ) 它在环心处的场强为 ()
2
01
44d d x R q
E -π=ε ()
2
0412d x R R x
Q -π=
ε 整个细绳上的电荷在环心处的场强
()2
03020116412R Q
x R dx R Q E R εεπ=-π=⎰
圆环上的电荷分布对环心对称，它在环心处的场强
E 2=0
由此，合场强 i R Q
i E E
2
0116επ=
=
方向竖直向下．
三．理论推导与证明题
一半径为R 的均匀带电圆环，总电荷为Q . 选x 轴沿圆环轴线, 原点在环心. 证明其轴线上任一点的场强为:
()
2
/32204x
R Qx
E +=
πε 并说明在什么条件下, 带电圆环可作为点电荷处理.
证：选环心作原点，x 轴沿圆环轴线方向，y 、z 轴如图所示．在环上任取一电荷
元d q =(Q d θ) / (2π)，设P 点位于x 处，从电荷元d q 到P 点的矢径为r
，它在P 点产生的场强为
r r Q r r q E ˆ8d ˆ4d d 2
0220εθεπ=π=
r ˆ为矢径r 方向上的单位矢量．d E 沿x 轴的分量为 d E x =d E cos φ (φ为矢径r 与x 轴正向夹角) 由对称性容易证明 E y =0 E z =0 因而有 E =E x 20202024cos d 8cos r Q r Q εφθεθππ=π=⎰()
2
/32204x R Qx
+π=ε 当x >>R 时，可得 E ≈Q / (4πε0x 2)
这相当于一个位于原点O 的带电量为Q 的点电荷在P 点产生的场强．
R
3x x
§10.3 电通量 高斯定理
一. 选择题和填空题
1.一电场强度为E 的均匀电场，E
的方向与沿x 轴正向，如图所示．则通过图中一半径为R 的半球面的电场强度通量为
(A) πR 2E ． (B) πR 2E / 2． (C) 2πR 2E ． (D) 0． [ D ]
2. 两个同心均匀带电球面，半径分别为R a 和R b (R a ＜R b ), 所带电荷分别为Q a 和
Q b ．设某点与球心相距r ，当R a ＜r ＜R b 时，该点的电场强度的大小为： (A) 2041r Q Q b a +⋅πε． (B) 2
041r Q Q b
a -⋅πε． (C)
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+⋅π220
41b b a R Q r Q ε． (D) 2041r Q a
⋅πε． [ D ] 3. 根据高斯定理的数学表达式⎰∑⋅=S
q S E 0/d ε
可知下述各种说法中，正确的
是：
(A) 闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强一定为零． (B) 闭合面内的电荷代数和不为零时，闭合面上各点场强一定处处不为零． (C) 闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强不一定处处为零．
(D) 闭合面上各点场强均为零时，闭合面内一定处处无电荷． [ C ]
4. 图示为一具有球对称性分布的静电场的E ～r 关系曲线．请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的． (A) 半径为R 的均匀带电球面． (B) 半径为R 的均匀带电球体． (C) 半径为R 的、电荷体密度为ρ＝A r (A 为常数)的非均匀带电球体． (D) 半径为R 的、电荷体密度为ρ＝A/r (A 为常数)的非均匀带电
球体 ． [ B ]
5. 如图所示，在边长为a 的正方形平面的中垂线上，距中心O
点a /2处，有
一电荷为q 的正点电荷，则通过该平面的电场强度通量为 q/(6ε0) ．
6. 一半径为R 的均匀带电球面，其电荷面密度为σ．该球面内、外的场强分布为(r
表示从球心引出的矢径)：
()r E ＝ 0 (r <R )， ()r E ＝0202302ˆr r
R r r R εσεσ= (r >R )． 7. 有一个球形的橡皮膜气球，电荷q 均匀地分布在表面上，在此气球被吹大的过
程中，被气球表面掠过的点(该点与球中心距离为r )，其电场强度的大小将由
2
04r q επ变为_
_0．
x
O
E
O R r
E E ∝1/r 2
a q a/2
O
二. 计算题
1.一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为 ρ =Ar (r ≤R ) ， ρ =0 (r ＞R ) A 为一常量．试求球体内外的场强分布．
解：在球内取半径为r 、厚为d r 的薄球壳，该壳内所包含的电荷为
r r Ar V q d 4d d 2π⋅==ρ
在半径为r 的球面内包含的总电荷为
403d 4Ar r Ar dV q r
V
π=π==⎰⎰ρ (r ≤R)
以该球面为高斯面，按高斯定理有 0421/4εAr r E π=π⋅ 得到
()0214/εAr E =， (r ≤R )
方向沿径向，A >0时向外, A <0时向里．
在球体外作一半径为r 的同心高斯球面，按高斯定理有 0422/4εAR r E π=π⋅ 得到 ()20424/r AR E ε=， (r >R ) 方向沿径向，A >0时向外，A <0时向里．
2. 两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为1R 和2R （21R R <），
单位长度上的电荷为λ。

求离轴线为R 处的电场强度：（1）1R r <；（2）21R r R <<；
（3）2R r >。

解：由高斯定理
⎰=
⋅S
q
S d E 0
ε 得
0/2επq rl E =⋅
r q E 02πε=
⎪⎩
⎪⎨⎧<<><=2
1021,2,,0R r R r R r R r E πελ
3.一球体内均匀分布着电荷体密度为ρ的正电荷,若保持电荷分布不变,
在该球体挖去半径为r 的一个小球体,球心为O ',两球心间距离d O O =',如图所示. 求:
(1) 在球形空腔内,球心O '处的电场强度0E
.
(2) 在球体内P 点处的电场强度E
.设O '、O 、P 三点在同一直径上，且d OP =.
解：
挖去电荷体密度为ρ 的小球，以形成球腔时的求电场问题，可在不挖时求出电场1E ，而另在挖去处放上电荷体密度为－ρ的同样大小的球体，求出电场2E
，并令任意点的场强为此二者的叠加，即可得
210E E E
+=
在图(a)中，以O 点为球心，d 为半径作球面为高斯面S ，则可求出O '与P 处场强的大小.
ρε302
11
3
414d d d E S E S π⋅=π⋅=⋅⎰
有 E 1O’＝E 1P =d E 0
13ερ
=
方向分别如图所示.
在图(b)中，以O '点为小球体的球心，可知在O '点E 2=0. 又以O ' 为心，2d 为半径作球面为高斯面S ' 可求得P 点场强E 2P
()
032223/)(4)(24d ερ-π=π⋅='⋅⎰
'
r d E S E S
2
03212d
r E P
ερ
-= (1) 求O '点的场强'O E
. 由图(a)、(b)可得
E O ’ = E 1O’ =0
3ερd
， 方向如图(c)所示.
(2)求P 点的场强P E .由图(a)、(b)可得
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=+=230
2143d r d E E E P P P ερ 方向如(d)图所示.
E 1P
ρ P
E 2P
E P 图(d)
O
O '
P E 1O’ ρ
图(a)
O ρ O '
d
E O’=E 1 O’
图(c)
O P E 2P
-ρ O ' r
2O’=0
图(b)
E 1P。