第四单元 复合函数求导与高阶导数
《复合函数的导数》课件
目 录
• 复合函数简介 • 复合函数的导数 • 复合函数导数的计算 • 复合函数导数的应用 • 习题与答案
01
CATALOGUE
复合函数简介
复合函数的定义
复合函数是由两个或多个函数通过复 合运算得到的函数。
设$u = f(x)$是一个函数，$y = g(u)$是另一个函数，则复合函数$y = g(f(x))$是由$f(x)$和$g(u)$复合而 成。
复合函数导数的计算
链式法则
总结词
链式法则是复合函数求导的核心，它描述了函数内部自变量对外部自变量的导数关系。
详细描述
链式法则指出，如果一个函数y是另一个函数u的复合函数，即y=f(u)，那么dy/dx等于dy/du乘以du/dx。具体 地，假设y=f(u)和u=g(x)，则dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
$f'(x) = 3x^2 + 4x + 1$
$f'(frac{pi}{2}) = cos(frac{pi}{2}) cdot frac{pi}{2} = 0$
$f'(e) = frac{2}{e}$
THANKS
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复合函数导数的应用 利用导数研究函数的单调性
总结词
利用导数研究曲线的凹凸性。
详细描述
通过求二阶导数并分析其符号，可以判断曲线的凹凸性 。二阶导数大于0的区间内，曲线为凹；二阶导数小于0 的区间内，曲线为凸。这一性质在几何和工程领域中有 重要的应用。
05
CATALOGUE
习题与答案
习题
计算复合函数$f(x) = (x^2 + 1)(x + 3)$的导数 。
乘积法则
复合导数的求导
复合导数的求导
复合函数指的是由两个或多个函数构成的函数，例如f（x）= g（h（x））就是一个复合函数。
对于复合函数的求导，我们需要运用链式法则。
链式法则：如果y = f（g（x）），那么y的导数可以表示为dy/dx = dg/dx * df/dg。
换句话说，链式法则告诉我们，如果y是由两个或多个函数g和f组合而成的，那么y 的导数可以通过对每个函数执行单独的导数计算，然后将它们相乘得到。
二、复合函数的高阶导数
复合函数的高阶导数可以通过重复应用链式法则来计算。
首先，我们需要计算的是一阶导数，然后再利用这一阶导数计算二阶导数，以此类推。
然后，二阶导数可以计算如下：
y'' = f''（g（x））* g'（x）^2 + f'（g（x））* g''（x）
依此类推，我们可以计算出更高阶的导数。
三、复合函数的实例
下面通过一个实例来演示如何求解复合函数的导数。
例： y = e^(x^2-1)
首先，我们需要将y表示为复合函数，其中一个函数为g（x）= x^2 – 1，另一个函数为f（x）= e^x。
然后，我们需要分别计算出g（x）和f（x）的导数，并带入链式法则公式中来计算y 对x的导数：
g’（x）=2x
f’（x）=e^x
因此，y对x的导数为2xe^(x^2-1)。
接下来，我们可以通过重复应用链式法则来计算复合函数的高阶导数。
例如，我们想求解y对x的二阶导数，可以进行如下计算：
y'' = 2e^(x^2-1) + 4xe^(x^2-1)
四、总结。
复合函数的导数(PPT)4-4
1. 函数的导Leabharlann 的定义与几何意义.2.常见函数的导数公式.
3.导数的四则运算法则.
4.例如求函数y=(3x-2)2的导数,那么我们可以把平方式 展开,利用导数的四则运算法则求导.然后能否用其它 的办法求导呢? 又如我们知道函数y=1/x2的导数是 y=-2/x3,那么函数 y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢?
说明:在对法则的运用熟练后,就不必再写中间步骤.
为了解决上面的问题,我们需要学习新的导数的运算 法则,这就是复合函数的导数.
一方。 【爱神】名西方神话中主宰爱情的神，罗马神话中名叫丘比特（），希腊神话中名叫厄洛斯（）。 【爱斯基摩人】īī名因纽特人的旧称。［爱斯基摩， 英］ 【爱窝窝】?同“艾窝窝”。 【爱屋及乌】《尚书大传?大战篇》：“爱人者，兼其屋上之乌。”比喻爱一个人而连带地关心到跟他有关系的人或物。 【爱惜】ī动因重视而不糟蹋；爱护； 四川高考补习班 四川高考复读学校 高考全日制补习学校； 珍惜：～时间｜～国家财物。 【爱惜羽毛】ī比喻珍重爱惜自己的名誉。 【爱小】〈方〉形好占小便宜。 【爱心】ī名指关怀、爱护他人的思想感情：老妈妈对儿童充满～。 【爱欲】名爱 的欲望，一般指男女间对情爱的欲望。 【爱重】动喜爱，尊重：他为人热情、正直，深受大家的～。 【僾】*（僾）〈书〉①仿佛：～然。②气不顺畅。 【僾尼】名部分哈尼族人的自称。 【隘】①狭窄：狭～｜林深路～。②险要的地方：关～｜要～。 【隘口】名狭隘的山口。 【隘路】名狭窄而险要的路。 【??】（薆）〈书〉①隐蔽。②草木茂盛的样子。 【碍】（礙）动妨碍；阻碍：～事｜有～观瞻｜把地下的东西收拾一下，别让它～脚。 【碍口】∥形怕难 为情或碍于情面而不便说出：求人的事，说出来真有点儿～。 【碍面子】?怕伤情面：有意见就提，别～不说。 【碍难】①动难于（旧时公文套语）：～照 办｜～从命。②〈方〉形为难。 【碍事】∥①动妨碍做事；造成不方便；有妨碍：您往边儿上站站，在这里有点儿～｜家具多了安置不好倒～。②形严重； 大有关系（多用于否定式）：他的病不～｜擦破点儿皮，不碍什么事。 【碍手碍脚】妨碍别人做事：咱们走吧，别在这儿～的。 【碍眼】∥形①不顺眼：东 西乱堆在那里怪～的。②嫌有人在跟前不便：人家有事，咱们在这里～，快走吧！ 【嗳】（噯）叹表示悔恨、懊恼：～，早知如此，我就不去了。 【嗌】
复合函数导数公式及运算法则
复合函数导数公式及运算法则1.基本公式：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的复合函数为$h(x)=f(g(x))$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$\frac{{dh}}{{dx}} = \frac{{df}}{{dg}} \cdot\frac{{dg}}{{dx}}$$或者可以写成简洁的形式：$$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$这个公式是复合函数导数的基本公式，也是后续运算法则的基础。
2.反函数法则：设有函数$y=f(x)$，如果$f(x)$的反函数存在且可导，那么反函数$f^{-1}(x)$的导数可以表示为：$$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{{f'(f^{-1}(x))}}$$3.乘积法则：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的乘积为$h(x) = f(x) \cdot g(x)$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$这个公式可以直接应用于两个或多个函数的乘积的导数运算。
4.商法则：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的商为$h(x) =\frac{{f(x)}}{{g(x)}}$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$h'(x) = \frac{{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdotg'(x)}}{{(g(x))^2}}$$这个公式可以用于计算两个函数的商的导数。
5.复合函数的高阶导数：复合函数的高阶导数是指对复合函数进行多次求导的结果。
根据基本公式，我们可以计算复合函数的高阶导数。
例如，对于三次导数，我们可以应用基本公式三次，得到如下的表达式：$$h''(x) = [f'(g(x)) \cdot g'(x)]' = f''(g(x)) \cdot(g'(x))^2 + f'(g(x)) \cdot g''(x)$$类似地，我们可以计算更高阶的导数。
复合函数导数公式及运算法则
复合函数导数公式及运算法则复合函数导数公式极其运算法则同学们还记得吗，如果不记得了，请往下看。
下面是由小编为大家整理的“复合函数导数公式及运算法则”，仅供参考，欢迎大家阅读。
复合函数导数公式.常用导数公式1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^2在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^23.y=f(x)的反函数是x=g(y)，则有y'=1/x'证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。
用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。
在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。
3.y=a^x,⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x如果直接令⊿x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^⊿x-1通过换元进行计算。
复合函数求高阶导数
复合函数求高阶导数复合函数是指由两个或多个函数组合而成的函数，它在微积分中有着广泛的应用。
在求复合函数的高阶导数时，我们可以采用链式法则来简化求导过程。
链式法则指出，如果 $y$ 是一个由 $u$ 和 $v$ 两个函数组合而成的函数，即 $y=f(u)$，其中 $u=g(x)$ 和 $v=h(u)$，那么$y$ 对 $x$ 的导数可以表示为：$$frac{dy}{dx}=frac{dy}{du}cdotfrac{du}{dx}$$其中，$frac{dy}{du}$ 表示 $y$ 对 $u$ 的导数，$frac{du}{dx}$ 表示 $u$ 对 $x$ 的导数。
这个公式可以推广到求高阶导数的情况。
例如，如果我们要求 $y$ 对 $x$ 的二阶导数，即$frac{d^2y}{dx^2}$，那么可以先求出 $frac{dy}{dx}$，再对其求导：$$frac{d^2y}{dx^2}=frac{d}{dx}left(frac{dy}{dx}right)=frac{d} {du}left(frac{dy}{dx}right)cdotfrac{du}{dx}$$其中，$frac{d}{du}$ 表示对 $u$ 求导。
同理，我们可以继续求得 $y$ 对 $x$ 的任意阶导数。
需要注意的是，在复合函数求导的过程中，我们要先对内层函数求导，再对外层函数求导。
具体来说，如果 $y=f(u)$，$u=g(x)$，$v=h(u)$，那么 $y$ 对 $x$ 的导数可以表示为：$$frac{dy}{dx}=frac{dy}{du}cdotfrac{du}{dx}=frac{df}{du}cdotf rac{dg}{dx}$$而 $y$ 对 $x$ 的二阶导数则可以表示为：$$frac{d^2y}{dx^2}=frac{d}{dx}left(frac{dy}{dx}right)=frac{d} {du}left(frac{dy}{dx}right)cdotfrac{du}{dx}=frac{d}{du}left (frac{df}{du}cdotfrac{dg}{dx}right)cdotfrac{du}{dx}=frac{d^ 2f}{du^2}cdotleft(frac{dg}{dx}right)^2+frac{df}{du}cdotfrac {d^2g}{dx^2}$$其中，$frac{d^2f}{du^2}$ 表示 $f$ 对 $u$ 的二阶导数，$frac{d^2g}{dx^2}$ 表示 $g$ 对 $x$ 的二阶导数。
复合函数求导高阶导数
(1)n1
(n 1)!
(1 x)n
规定 0 ! = 1
思考:
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例4. 设
求
解:
y
cos x
sin(x
2
)
y
cos(
x
2
)
sin(x
2
2
)
sin(x
2
2
)
y
cos( x
2
2
)
sin(x
3
2
)
一般地 ,
(sin
x)(n)
sin( x
n
2
)
类似可证:
(cos
x)(n)
cos(
解 dy = 10(x2 - 1)9 (x2 - 1) dx
= 10(x2 - 1)9 2x
这一步可省略。
= 20x(x2 - 1)9
1
例9
求函数 y = e x
-
e
x
2
的导数。
1
y = (e x ) - (e x2 )
1
= ex(
-1 x2
) - 2xe x2
=
-1 x2
1
ex
- 2xe x2
所以 k = f (0) = 3 这样所求切线方程为
16
y - 1 = 3 (x - 0) 8 16
即 16y - 3x = 2
第三节 高阶导数
第二章
一、高阶导数的概念 二、高阶导数的运算法则
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一、高阶导数的概念
引例：变速直线运动 速度
即 v s
加速度
即
a (s)
复合函数求导法【高等数学PPT课件】
y 2 u
y
u 1 (u u )
x 2
2u x 2
1 2
[(
2u
2
1 2
2u 1)
2
( 2u
1 2
2u
2
1)] 2
1 4
(2u2
2
2u
2u
2
)
x y, x2 y
y
解
求 uxx , uxy , uxz .
ux
f1
1 y
f2 z
f3 0
1 y
f1
zf2
uxx
1( y
f11
1 y
f12 z)
f
z(
f21
1 y
f22 z)
1x
2y 3z
1 y2
f11
2
z y
f12
z2
f
,
f21
2 f vu
,
f22
2 f v 2
例1 z f ( xy, x2 y2 ), f 有二阶连续偏导，
求 z xy . 解 zx f1 y f2 2x
1x
f
2y
f1
1 2
x y
f2
1 2
x y
zxy f1 y( f11 x f12 (2 y)) 2x( f21 x f22 (2 y))
第4节 多元复合函数微分法
一、多元复合函数的求导法则
一元函数：y f (u), u ( x) 都可导，则
复 合 函 数 的 求 导 法 则
复合函数的表示方法
记号表示
复合函数通常用记号F(u)来表示，其 中F表示外部函数，u表示内部函数的 输出。
具体表示
如果y=f(x)且u=g(y)，则复合函数可 以表示为z=f(g(y))或z=F(u)，其中 z=F(u)表示z是u的函数。
03
链式法则
链式法则的原理
链式法则是复合函数求导的重要法则之一，其原理是将复合 函数分解为多个基本函数，然后对每个基本函数分别求导， 再根据复合函数的复合关系，将各个基本函数的导数相乘， 得到复合函数的导数。
商的求导法则的原理
商的求导法则指出，对于两个函数的商，其 导数等于被除函数的导数除以除函数的导数 。即 (u/v)' = (u'v - uv') / v^2。
这个法则的原理基于函数的商的性质，即当 两个函数同时变化时，其商的变化率满足特
定的关系。
商的求导法则的应用示例
假设有两个函数 f(x) = x^2 和 g(x) = sin(x)，我们需要 求它们的商函数 f(g(x)) = x^2 / sin(x) 的导数。
进一步学习高阶导数、隐 函数求导等更深入的数学 知识，为后续学习打下基 础。
THANKS
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乘积法则
在求导过程中，将复合函数的中间变 量与常数相乘，并使用乘积法则进行 求导。
反函数求导法则
对于反函数，使用反函数求导法则进 行求导。
学习建议与展望
熟练掌握复合函数的求导 法则，能够快速准确地求 出复合函数的导数。
了解复合函数在实际问题 中的应用，如经济学、物 理学等领域。
ABCD
在学习过程中，多做练习 题，加深对复合函数求导 法则的理解和掌握。
表示
2,复合函数求导法则与高阶导数
e 求lim
y→ y→0
sin(x+ y )
2 2
−e
sinx
2
y
2
复习题
1, 复习基本初等函数求导 公式 2，已知f ′( x0 )存在，指出下列极限的 意义 f ( x0 + 2h) − f ( x0 ) 1 （） 1 lim (2) lim h[ f ( x0 + ) − f ( x0 )] h→0 h→∞ h h 3, y = e x (4 sin x + 3 ln x + e)求y′
二、高阶导数
仍可导， 设f ( x )的导函数f ' ( x )仍可导，则称其导数为原来函数 y = f ( x )的二阶导数，记为 的二阶导数， y′′, f ′′( x ), d2y dx 2
dy d( ) 2 d y '' ' dx = d ( dy ) 即 f ( x) = [ f ( x)] , = 2 dx dx dx dx
( n −1 )
d y d d y ( x )], ( n −1 ) = n dx dx dx
n
n −1
二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数
• 莱布尼兹公式
(uv)
(n)
= ∑c u v
k =0 k n
n
( k ) ( n−k )
y = e cos x 求y
x
( 4)
1, y = 4x + 2x +5求 y
3 2
(n)
2, y = 3x + 6,求 y
(8) 2
(10)Biblioteka 3, y = ex 求 y(n) 5, y = sinx 求 y
6.4 复合函数的求导法则
其中将偏导数记号记为
y
∂z ∂z +x = y 2 xf1′ − 2 xf 2′ + x −2 yf1′ + 2 yf 2′ ∂x ∂y
= 0.
(
) (
)
∂z ∂z = fu = f1′ , = f v = f 2′ ∂u ∂v
= f 可导，且有 g ( x ) 在点 x 可导，
dy dy du = ⋅ . dx du dx
z= f ϕ ( t ) , φ ( t )
z
u v
t t
情形2 情形2 如果 z = f ( u , v ) , u = ϕ ( x, y ) , v = φ ( x, y ) 则复合函数为二元函数
∂ 2 w ∂f1′ ∂f ′ = + yf 2′ + yz 2 ∂x∂z ∂z ∂z ′′ + xyf12 ′′ + yf 2′ + yz ( f 21 = f11 ′′ + xyf 22 ′′ )
z x = f1′ + yf 2′ ,
z
u
x
y
z xx =
∂f1′ ∂f ′ +y 2 ∂x ∂x
′′ + yf12 ′′ + y ( f 21 ′′ + yf 22 ′′ ) = f11 ′′ + 2 yf12 ′′ + y 2 f 22 ′′ = f11
x
∂z ∂z , . ∂s ∂t s
t
∂y ∂t
可写为
dy dt
s
x
∂z ∂z ∂x = ∂s ∂x ∂s y = et 1 − x2 y2
求导法则和高阶导数
f ( x x ) f ( x ) ( f ( x )) lim x 0 x 存在，则称( f ( x ))是函数f ( x )在点x处的二阶导数.
记作 f ( x ), y,
d y d f ( x) 或 . 2 2 dx dx
2
2
例如，y x
3 2
1 2
y
(n)
x y a ln a a x ln 2 a
x y a ln a
x
ln a a x ln 3 a
2
a ln a
x n
例3.
10 (n) y x y 已知 ，求 。
解.
y 10 x 9
8 y 10 9 x 7 y 10 9 8 x
dy dx d y dx
复合函数求导法则
设y f ( ( x )), y f ( u), u ( x )
f ( ( x )) f ( u) ( x )
y x yu u x
dy dy du dx du dx
求函数 y 3
解.
log ( x ) a
1 特别地， ln x ( x 0) x
六、对数求导法
回忆1 如何求y x
( 0为常数 )的导数.
解.
x 0
x x lim
x x
x
x
lim x
x 0
1
x x
1
x
关于隐函数求导问题，答案中允许既有x又有y
例6. 求由e xy 0所确定的y y ( x )的导数.
复合函数的求导法则ppt课件
1 － 2a = 2b －4
ab 5. 2
解(2): ab a b
ab (a b)2 25 .
2
2
16
16
再见!
17
eu (0.05) 0.05e0.05x1.
10
例2 求下列函数的导数
1 y 2x 32 ; 2 y e0.05x1 ; 3 y sin x 其中 ,均为常数 .
(3)函数 y sin x 可以看作函数 y sin u
13
例4.求过点P(－2,0)且与曲线y=x2＋x＋1相切的直线方程.
b=a2＋a＋1 …………(1)
y' 2x 1
kPA 2a 1
kPA
a
b
2
b
P(－2,0)
2a 1
a2
b=2a2＋5a＋2 …………(2)
A(a,b)
2a2＋5a＋2 =a2＋a＋1 a2＋4a＋1=0
和 u x 的复合函数. 由复合函数求导法则有:
y'x yu' u'x (sin u)' x ' cos u cos x .
11
4 y 2x 3 ; 5 y ln(2x 1);
(6) y ( x 2)3(3x 1)2
解出a即可。
15
例5.设抛物线C1 : y x2 - 2x 2与抛物线 C2 : y - x2 ax b在它们的交点处的切线互相垂直. (1)求a, b之间的关系.
(2)若a 0, b 0,求ab的最大值.
解(1): 设C1与C2交点P(m,n),
复合函数求导PPT课件
在书写时不要把 写成 ,两者是不完全 一样的,前者表示对自变量x的求导,而后者是对中间变 量 的求导. 3.复合函数的求导法则: 复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间 变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数. 法则可以推广到两个以上的中间变量. 求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关 系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变 量对哪个变量求导,一般地,如果所设中间变量可直接 求导,就不必再选中间变量. 复合函数的求导法则与导数的四则运算法则要有 机的结合和综合的运用.要通过求一些初等函数的导 数,逐步掌握复合函数的求导法则.
例7:求函数
的导数.
说明:这是分段函数的求导问题,先根据各段的函数表达 式,求出在各可导(开)区间的函数的导数,然后再用 定义来讨论分段点的可导性. 解 :当 x≠ 1时 , 又 而 . ,故f(x)在x=1处连续.
从而f(x)在x=1处不可导.
四、小结：
利用复合函数的求导法则来求导数时,选择中间变 量是复合函数求导的关键.必须正确分析复合函数是由 哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的,分清其间的 复合关系.要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体, 这个暂时的整体,就是中间变量.求导时需要记住中间变 量,注意逐层求导,不遗漏,而其中特别要注意中间变量 的系数,求导后,要把中间变量转换成自变量的函数.
例4:在曲线 上求一点,使通过该点的切线平行于 x轴,并求此切线的方程. 解:设所求点为P(x0,y0).则由导数的几何意义知: 切线斜率
把x0=0代入曲线方程得:y0=1. 所以点P的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.
例5:求证双曲线C1:x2-y2=5与椭圆C2:4x2+9y2=72在交 点处的切线互相垂直. 证:由于曲线的图形关于坐标轴对称,故只需证明其中一 个交点处的切线互相垂直即可. 联立两曲线方程解得第一象限的交点为P(3,2),不妨 证明过P点的两条切线互相垂直. 由于点P在第一象限,故由x2-y2=5得 同理由4x2+9y2=复合函数的概念: 对于函数y=f[ (x)],令u= (x),若y=f(u)是中间变量 u的函数, u= (x)是自变量x的函数,则称y=f[ (x)] 是自变量x的复合函数. 2.复合函数的导数: 设函数 在点x处有导数 ,函数y=f(u)在 点x的对应点u处有导数 ,则复合函数 在点x处也有导数,且 或记 如:求函数y=(3x-2)2的导数,我们就可以有,令y=u2,u =3x-2,则 从而 .结果与我 们利用导数的四则运算法则求得的结果完全一致.
复合函数高阶求导公式_复合函数求导公式有哪些
复合函数高阶求导公式_复合函数求导公式有哪些复合函数的求导是微积分中的重要内容之一，它是用于计算复杂函数的导数的方法。
在微积分中，复合函数的求导是使用链式法则的一种应用。
链式法则描述了复合函数导数与原函数导数之间的关系。
对于复合函数y=f(g(x))其中f(x)和g(x)都是可导函数，链式法则可以表达为：dy/dx = dy/dg * dg/dx其中，dy/dg 代表对 f(g(x)) 求导得到的结果，dg/dx 代表对 g(x) 求导得到的结果。
复合函数求导的一般方法是通过逐步求导的方式来计算导数。
根据链式法则，我们可以使用一些特定的公式来计算复合函数的导数。
1.复合函数导数公式：(1)若y=f(u)和u=g(x)都为可导函数，则链式法则可以写为：dy/dx = dy/du * du/dx(2)若y=f(u)和u=g(v)都为可导函数，则链式法则可以写为：dy/dx = dy/du * du/dv * dv/dx(3)若y=f(u,v)和u=g(x)和v=h(x)都为可导函数，则链式法则可以写为：∂y/∂x=∂y/∂u*∂u/∂x+∂y/∂v*∂v/∂x2.常见的复合函数求导公式：(1) 反正弦函数（arcsin）的导数：d/dx arcsin(u) = 1/√(1 - u^2) * du/dx(2) 反余弦函数（arccos）的导数：d/dx arccos(u) = -1/√(1 - u^2) * du/dx(3) 反正切函数（arctan）的导数：d/dx arctan(u) = 1/(1 + u^2) * du/dx(4)非常规复合函数求导公式：(a)e^u的导数：d/dx e^u = e^u * du/dx(b) ln(u) 的导数：d/dx ln(u) = 1/u * du/dx(c) sin(u) 的导数：d/dx sin(u) = cos(u) * du/dx(d) cos(u) 的导数：d/dx cos(u) = -sin(u) * du/dx(e) tan(u) 的导数：d/dx tan(u) = sec^2(u) * du/dx(f) cot(u) 的导数：d/dx cot(u) = -csc^2(u) * du/dx(g) sec(u) 的导数：d/dx sec(u) = sec(u)tan(u) * du/dx(h) csc(u) 的导数：d/dx csc(u) = -csc(u)cot(u) * du/dx(i)u^n的导数：d/dx(u^n) = n*u^(n-1) * du/dx(j)1/u的导数：d/dx (1/u) = -1/u^2 * du/dx(k) ln(u^c) 的导数：d/dx ln(u^c) = c*u^(c-1) * du/dx以上列举了一些常见的复合函数求导公式。
第四单元复合函数求导与高阶导数
第四单元复合函数求导与⾼阶导数经济数学基础第⼆章导数与微分第四单元复合函数求导与⾼阶导数第⼀节复合函数与隐函数求导法则⼀、学习⽬标在本节课中，我们学习复合函数求导法则和隐函数求导⽅法，学习之后我们要能够运⽤复合函数求导法则计算初等函数的导数与微分，能够计算隐函数的导数或微分.⼆、内容讲解（⼀）复合函数求导1.复合函数求导问题：（1）2)32(+=x y ，求?='y ；（2）100)32(+=x y ，则?='y解：第⼀个问题2)32(+=x y ，求导数没有直接公式可⽤.⽅法1：将函数展开9124)32(22++=+=x x x y ，利⽤加法法则有128+='x y ⽅法2：将函数写成两个因式乘积的形式)32)(32()32(2++=+=x x x y ，利⽤四则运算法则求导数.)32(4)32(2)32(2+=+++='x x x y第⼆个问题100)32(+=x y ，展开？共101项，求导很⿇烦.写成因式乘积的形式，求导也将很⿇烦. 在这节课我们将介绍复合函数求导法则.讨论100)32(+=x y ，引进中间变量32+=x u9999)32(2002100d d d d d d +=?==='x u x u u y x y y经济数学基础第⼆章导数与微分2.复合函数求导法则定理设y=f (u ),u=?(x ),且u =?(x )在点x 处可导，y=f (u )在点u=?(x )处可导，则复合函数y=f (?(x ))在点x 处可导，且)()(x u f y x φ''='或xu x u y y '?'='3.复合函数求导步骤（1）分清函数的复合层次，找出所有的中间变量；（2）依照法则，由外向内⼀层层的直⾄对⾃变量求导. 4.多层复合的函数对于多层复合的函数，即若)(),(),(x v v u u f y φ?===，则)()()(x v u f y φ?'''=' 或x v u xv u y y '?'?'=' 注意：多层复合的函数求导数仍是经过⼀切中间变量直⾄对⾃变量求导.（⼆）隐函数求导1.隐函数求导问题:求由⽅程122=+y x 所确定的隐函数)(x y y =的导数y '？解：先将y 从⽅程中解出来，得到21x y -=和2 1x y --=分别求导21x x y --='和21x xy -='，将21x y -=和21x y --=分别代⼊，得y xy -='，01232=+--y x x （1）由（1）解得)13(212+-=x x y ，0e e =-+xxy y （2）在（2）中0),(=y x F 隐含)(x y y = 2.隐函数求导⽅法步骤经济数学基础第⼆章导数与微分（1）⽅程两边求导，)(x y y =；（2）整理⽅程，求出y '. 问题思考：设2)1(ex y -=，则2)1(e )1(2x x y --='错误.正确求解过程为：x v v u y u -===1,,e 2，x v u u x v e y )1()()(2'-''=')1(2e)1(e )1(2x x ---。
复合函数求导高阶导数
解 ： 因为e2 x=exe,x 则 ( e 2 x ) = ( e x ) e x + e x ( e x )
= e x e x + e x e x = e 2 x + e 2 x = 2 e 2 x 解1是错误的。y =e2x 是复合函数。
这两个记号含义不同
f(u)ulncoesx)(
练习: 设 yf(f(f(x ),)其 ) f(x 中 )可 ,求 导 y.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例8 求 y=(x2-的1导)10数。
解 d y= 1 0 (x 2-1 )9(x 2-1 ) d x
= 1 0 (x 2-1 )92 x
这一步可省略。
例7 求 ys= insixn )(1+x3)的导数
解: y=co s(1+x 3)(1+x3 )
= 3 x 2 c o s(1 + x 3)
例5. 设
求
解:
1 cos(ex)
(sinex()) ex
extan ex)(
思考: 若
存在 , 如何求 f(ln coesx)()的导数?
d f f(ln coexs))((lcnoesx)() dx
第四节 目录 上页 下页 返回 结束
= 3 (3 2 x x + + 2 1 )2 ( 3 x + 1 2 )2= 3 ( ( 3 2 x x + + 2 1 ) ) 4 2
所以 k=f(0)= 3 这样所求切线方程为
16 y-1= 3(x-0)
8 16
即 16y-3x=2
第三节 高阶导数
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经济数学基础 第二章 导数与微分第四单元 复合函数求导与高阶导数第一节 复合函数与隐函数求导法则一、学习目标在本节课中，我们学习复合函数求导法则和隐函数求导方法，学习之后我们要能够运用复合函数求导法则计算初等函数的导数与微分，能够计算隐函数的导数或微分.二、内容讲解 （一）复合函数求导1.复合函数求导问题：（1）2)32(+=x y ，求?='y ；（2）100)32(+=x y ，则?='y解：第一个问题2)32(+=x y ，求导数没有直接公式可用.方法1：将函数展开9124)32(22++=+=x x x y ，利用加法法则有128+='x y 方法2：将函数写成两个因式乘积的形式)32)(32()32(2++=+=x x x y ，利用四则运算法则求导数.)32(4)32(2)32(2+=+++='x x x y第二个问题100)32(+=x y ，展开？共101项，求导很麻烦.写成因式乘积的形式，求导也将很麻烦. 在这节课我们将介绍复合函数求导法则.讨论100)32(+=x y ，引进中间变量32+=x u9999)32(2002100d d d d d d +=⋅==='x u x u u y x y y经济数学基础 第二章 导数与微分2.复合函数求导法则定理 设y=f (u ),u=ϕ(x ),且u =ϕ(x )在点x 处可导，y=f (u )在点u=ϕ(x )处可导，则复合函数y=f (ϕ(x ))在点x 处可导，且)()(x u f y x φ''='或xu x u y y '⋅'='3.复合函数求导步骤（1）分清函数的复合层次，找出所有的中间变量； （2）依照法则，由外向内一层层的直至对自变量求导. 4.多层复合的函数求导数对于多层复合的函数，即若)(),(),(x v v u u f y φϕ===，则)()()(x v u f y φϕ'''=' 或x v u xv u y y '⋅'⋅'=' 注意：多层复合的函数求导数仍是经过一切中间变量直至对自变量求导.（二）隐函数求导1.隐函数求导问题:求由方程122=+y x 所确定的隐函数)(x y y =的导数y '？ 解：先将y 从方程中解出来，得到21x y -=和21x y --=分别求导21x x y --='和21x xy -='，将21x y -=和21x y --=分别代入，得y xy -='，01232=+--y x x （1）由（1）解得)13(212+-=x x y ，0e e =-+xxy y （2） 在（2）中0),(=y x F 隐含)(x y y = 2.隐函数求导方法步骤经济数学基础 第二章 导数与微分（1）方程两边求导，)(x y y =；（2）整理方程，求出y '. 问题思考：设2)1(ex y -=，则2)1(e )1(2x x y --='错误.正确求解过程为：x v v u y u -===1,,e 2，x v u u x v e y )1()()(2'-''=')1(2e2)1(-⋅⋅=-v x =2)1(e )1(2x x ---。
注意：1)1(-='-x . 三、例题讲解例1 求下列函数的导数或微分（1）xy 2e =，求.y '解：方法一:由x x x x y e e e e )11(2⋅===+，xx x y 222e 2e e =+='方法二: 利用复合函数求导法则，设x u y u2,e ==，x x u u u y 2e 2)e (='⋅'='（2）xy e =，求.y '解：利用复合函数求导法则，设x u y u==,e ，xux u u xxu y e2121e )e (⋅=⋅='⋅'='.（3）x y cos ln =，求y d .解：利用复合函数求导法则，设x u u y cos ,ln ==，x x x x u u u y x u tan )sin (cos 1)(cos 1)(ln -=-='='⋅'='，x x y d tan d -=例2设21x y -=，求).0(y '解：先求一般点上函数的导数，再将0=x 代入求得结果.经济数学基础 第二章 导数与微分设21,x u u y -==，利用复合函数求导法则，221)2(21)1()(x xx ux u y x u --=-='-⋅'='，.0)0(='y例3 设函数)2(sin 32x y +=，求y '. 解：（首先对函数进行分解，找出所有中间变量）322,sin ,x v v u u y +===，23cos 2x v u y ⋅⋅='2333)2cos()2sin(2x x x ⋅+⋅+=)2cos()2sin(6332x x x +⋅+=例4 求函数321x y -=，求y '. 解：2311,x u u y -==)1()1(3121312'-⋅-='-x x y 322)1(32---=x x例5 设函数xy 1cos3=，求y '.解x v v u y u 1,cos ,3===xv u u x v y )1()(cos )3(''⋅'='，[21)()1(---='='x x x ])1)(sin )(3ln 3(2x v u--=)1)(1sin )(3ln 3(21cos x x x --=xx x 1cos 231sin 3ln ⋅⋅=例6 求由方程122=+y x 所确定的隐函数)(x y y =的导数y '. 解：方程两边对自变量x 求导数，此时y 是中间变量.经济数学基础 第二章 导数与微分022='+y y x ，解出y xy -='（与前面的结果相同）.例7 求由方程0e e =++x y xy 所确定的隐函数)(x y y =的导数y '？ 解：方程两边对自变量x 求导数，此时y 是中间变量.0e e =+'++'xy y x y y 解得x y y xx++-='e e （注意：在隐函数的导数结果中常常含有y ）. 例8 求双曲线1=xy 在点（1，1）处的切线斜率. 分析：此题是求隐函数在某点处的导数. 解：因为0='+y x y ，所以x yy -='，且在点（1，1）处的切线斜率1)1,1(-='y四、课堂练习练习1设22a x y -=，求y '. 练习2 设2e e 1x xy -+=，求y '. 练习3 设xy x y 2e 2=+，求y d ？ 练习4 求曲线x y xy x 2222=-+在2=x 处的切线方程？ 五、课后作业1.计算下列函数的导数：（1）531-=x y ；（2）x x y x+=1e ；（3）1004)13(-=x y ；（4）122e -+-=x xy ；（5）bx y ax sin e =；（6）)ln(2b ax y +=；经济数学基础 第二章 导数与微分（7）x y ln ln =；（8）xy 1sin 3=；（9）x x x y 21ln ++=；（10）xx y )(cos =2.计算下列函数的微分：（1）322)13(+=x y ；（2）2e e 1x xy --=；（3）x y x x ln 2132-=-+；（4）x y xcos e 12-= 3. 下列各方程中y 是x 的隐函数，试求y '或y d ：（1）1322=+-+x xy y x ，求y d ；（2）1e e =+-y x xy ，求y '； （3）4)sin(=++xy e y x ，求y '；（4）1ln ln =+x y y x ，求y d .经济数学基础第二章导数与微分经济数学基础 第二章 导数与微分第二节 高阶导数一、学习目标了解高阶导数的概念，掌握函数二阶导数的计算方法，会计算一些简单函数高阶导数二、内容讲解)(x f 的高阶导数：4)(x x f =，34)(d )(d x x f x x f ='=22212)(d )(d d )d )(d d(x x f x x f x x x f =''==；x x f x x f 24)(d )(d 33='''=.一般地，)(x f y =函数的n 阶导数记为)(d d )()(x f y x y n n n n ==问题：求10003223-+=x x y 的10阶导数)10(y .)10(y =0。
因为x x y 662+='，612+=''x y ，，12='''y ，0)4(=y ，0)10()5(===y y ，由此可以得出结论，n 次多项式的1+n 阶导数必为0三、例题讲解例1求函数522-+=x x y 的二、三阶导数. 解：14+='x y ，4=''y ，0='''y 。
例2 求)1ln(x y +=的二阶导数 至n 导数.解：x y +='11，经济数学基础 第二章 导数与微分2)1(1)11()(x x y y +-='+=''='' 32)1(1)!2()1(x y +-='''n n n x n y )1(1)!1()1(1)(+--=-四、课堂练习1设函数x x y -=e 2，求y ''；2设函数)1ln(2x y +=，求y ''；3求x xy -=1，求1=''x y .五、课后作业1.求下列函数的二阶导数：（1）3223+-=x x y ；（2）)1ln(2x y +=；（3）x x y ln =；（4）2)31(x y -=；（5）x x y e e +=-；（6）x x y cos sin +=.2.求下列各函数在指定点的高阶导数值：（1）1235+-=x x y ，求1-=''x y ；（2）2e x y -=，求1=''x y（3）x x y cos =，求0='''x y ；（4）3)10(+=x y ，求2='''x y 3.求函数xa y -=的n 阶导数.经济数学基础第二章导数与微分。