第四单元 复合函数求导与高阶导数

经济数学基础 第二章 导数与微分

第四单元 复合函数求导与高阶导数

第一节 复合函数与隐函数求导法则

一、学习目标

在本节课中，我们学习复合函数求导法则和隐函数求导方法，学习之后我们要能够运用复合函数求导法则计算初等函数的导数与微分，能够计算隐函数的导数或微分.

二、内容讲解 （一）复合函数求导

1.复合函数求导问题：

（1）2)32(+=x y ，求?='y ；（2）100

)32(+=x y ，则?='y

解：第一个问题2

)32(+=x y ，求导数没有直接公式可用.

方法1：将函数展开

9124)32(2

2++=+=x x x y ，利用加法法则有128+='x y 方法2：将函数写成两个因式乘积的形式

)32)(32()32(2

++=+=x x x y ，利用四则运算法则求导数.)32(4)32(2)32(2+=+++='x x x y

第二个问题100

)32(+=x y ，展开？共101项，求导很麻烦.

写成因式乘积的形式，求导也将很麻烦. 在这节课我们将介绍复合函数求导法则.

讨论100

)32(+=x y ，引进中间变量32+=x u

9999)32(2002100d d d d d d +=⋅===

'x u x u u y x y y

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2.复合函数求导法则

定理 设y=f (u ),u=ϕ(x ),且u =ϕ(x )在点x 处可导，y=f (u )在点u=ϕ(x )处可导，则复合函数y=f (ϕ(x ))在点x 处可导，且

)

()(x u f y x φ''='或

x

u x u y y '⋅'='

3.复合函数求导步骤

（1）分清函数的复合层次，找出所有的中间变量； （2）依照法则，由外向内一层层的直至对自变量求导. 4.多层复合的函数求导数

对于多层复合的函数，即若)(),(),(x v v u u f y φϕ===，

则)()()(x v u f y φϕ'''=' 或x v u x

v u y y '⋅'⋅'=' 注意：多层复合的函数求导数仍是经过一切中间变量直至对自变量求导.

（二）隐函数求导

1.隐函数求导问题:

求由方程

12

2=+y x 所确定的隐函数)(x y y =的导数y '？ 解：先将y 从方程中解出来，得到21x y -=和2

1x y --=

分别求导

21x x y --=

'和

21x x

y -=

'，将21x y -=和2

1x y --=分别代入，

得

y x

y -

='，01232=+--y x x （1）

由（1）解得

)13(212

+-=

x x y ，

0e e =-+x

xy y （2） 在（2）中0),(=y x F 隐含)(x y y = 2.隐函数求导方法步骤

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（1）方程两边求导，)(x y y =；（2）整理方程，求出y '. 问题思考：设2

)1(e

x y -=，则2

)

1(e )1(2x x y --='

错误.正确求解过程为：

x v v u y u -===1,,e 2，x v u u x v e y )1()()(2'-''=')1(2e

2

)1(-⋅⋅=-v x =2

)1(e )1(2x x ---。注意：1)1(-='-x . 三、例题讲解

例1 求下列函数的导数或微分

（1）x

y 2e =，求.y '

解：方法一:由x x x x y e e e e )11(2⋅===+，x

x x y 222e 2e e =+='

方法二: 利用复合函数求导法则，设x u y u

2,e ==，x x u u u y 2e 2)e (='⋅'='

（2）x

y e =，求.y '

解：利用复合函数求导法则，设

x u y u

==,e ，

x

u

x u u x

x

u y e

2121e )e (⋅=

⋅

='⋅'='.

（3）x y cos ln =，求y d .

解：利用复合函数求导法则，设x u u y cos ,ln ==，

x x x x u u u y x u tan )sin (cos 1

)(cos 1)(ln -=-='=

'⋅'='，x x y d tan d -=

例2设2

1x y -=，求).0(y '

解：先求一般点上函数的导数，再将0=x 代入求得结果.

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设2

1,x u u y -==，利用复合函数求导法则，

221)2(21)1()(x x

x u

x u y x u --=

-=

'-⋅'='，.0)0(='y

例3 设函数

)2(sin 3

2x y +=，求y '. 解：（首先对函数进行分解，找出所有中间变量）

322,sin ,x v v u u y +===，

23cos 2x v u y ⋅⋅='2333)2cos()2sin(2x x x ⋅+⋅+=)2cos()2sin(6332x x x +⋅+=

例4 求函数321x y -=，求y '. 解：2

3

1

1,x u u y -==

)1()1(3121312'-⋅-='-x x y 3

2

2

)1(32---=x x

例5 设函数x

y 1

cos

3=，求y '.

解

x v v u y u 1,cos ,3=

==

x

v u u x v y )1()(cos )3(''⋅'='，[21)()1(---='='x x x ]

)1

)(sin )(3ln 3(2x v u

--=)1)(1sin )(3ln 3(21

cos x x x --=x

x x 1

cos 231sin 3ln ⋅⋅=

例6 求由方程

12

2=+y x 所确定的隐函数)(x y y =的导数y '. 解：方程两边对自变量x 求导数，此时y 是中间变量.