大学物理习题集答案3-4

说明：字母为黑体者表示矢量
一、选择题
1.关于静电场中某点电势值的正负，下列说法中正确的是： [ C ] (A) 电势值的正负取决于置于该点的试验电荷的正负;
(B) 电势值的正负取决于电场力对试验电荷作功的正负;
(C) 电势值的正负取决于电势零点的选取;
(D) 电势值的正负取决于产生电场的电荷的正负。

2. 真空中一半径为R 的球面均匀带电Q ，在球心O 处有一带电量为q 的点电荷，如图所示。

设无穷远处为电势零点，则在球内离球心O 距离为r 的P 点处电势为： [ B ] (A)
r
q 04πε (B)
)(41
0R
Q r q +πε (C)
r Q q 04πε+ (D)
)(410R
q
Q r q -+πε 3. 在带电量为－Q 的点电荷A 的静电场中，将另一带电量为q 的点电荷B 从a 点移到b 点，a 、b 两点距离点电荷A 的距离分别为r 1和r 2，如图所示。

则在电荷移动过程中电场力做的功为 [ C ] (A)
)11(4210r r Q --πε； (B) )1
1(4210r r qQ -πε； (C)
)11(42
10r r qQ --πε； (D) )(4120r r qQ
--πε。

4.以下说法中正确的是
[ A ] (A) 沿着电力线移动负电荷,负电荷的电势能是增加的；
(B) 场强弱的地方电位一定低,电位高的地方场强一定强； (C) 等势面上各点的场强大小一定相等；
(D) 初速度为零的点电荷, 仅在电场力作用下,总是从高电位处向低电位运动； (E) 场强处处相同的电场中,各点的电位也处处相同.
二、填空题 1．电量分别为q 1, q 2, q 3的三个点电荷位于一圆的直径上, 两个在圆周上,一个在圆心.如图所示. 设无穷远处为电势零点，圆半径为R ，则b 点处的电势U =
）（23
102
41
q q q R
++πε .
2．如图所示，在场强为E 的均匀电场中，A 、B 两点间距离
为d ，AB 连线方向与E 的夹角为α. 从A 点经任意路径到B
-•
• • q 1 q 2
q 3 R
O
b
B
点的场强线积分l E d ⎰
⋅AB = αcos Ed .
3．如图所示, BCD 是以O 点为圆心,以R 为半径的半圆弧,在A 点有一电量为-q 的点电荷,O 点有一电量为+q 的点
电荷. 线段BA = R .现将一单位正电荷从B 点沿半圆弧轨道 BCD 移到D 点，则电场力所作的功为 R
q 06πε- .
三、计算题
1.电量q 均匀分布在长为l 2的细杆上，求： （1）在杆延长线上与杆较近端距为a 处的电势； （2）在杆中垂线上与杆距为a 处的电势。

解：（1）电荷线密度l
q
2=
λ，坐标如图(a)所示，距原点O 为x 处取电荷元x q d d λ=，它在a 点的电势)
(d 41d 0.x r x
u -=λπε
a 点的总电势
⎰⎰
-==-x
r x
u u l
l
d 41d 0λπε
l
r l
r -+=
ln 40πελ
l
r l
r l
q -+=
ln 80πε （2）坐标图(b)所示，电荷元x q d d λ=在Q 点的电势
2
2
d 41d x
a x
u +=
λπε
R -q
+q A
B
C
D
O • •
Q 点的总电势
⎰
⎰++=+==l
r a l x a dx
du u 0
220220
1ln 2412πελλπε
r
r l l q
2
20ln
4++=πε
2. 图示为一个均匀带电的球层，其电荷体密度为ρ，球层内表面半径为1R ，外表面半径为
2R 。

设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势。

解：
空腔内任一点的电势：
⎰⎰⎰⎰⋅+⋅+⋅=⋅=∞
∞
r
R R R R r dr E dr E dr E dl E U 1
312
221
1
1εq dS E =
⋅⎰ 又：(
)
3
13213
4
R R q -⋅=πρ
所以，()2
0313213r
R R E ερ-= 同理：0
2
2εq dS E =
⋅⎰
()
31323
4
R r q -⋅
=πρ 得到，()
2
031323r
R r E ερ-=
在球壳的内部，没有电电荷，所以，03=E
综上，()023213221231220023132+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-++-=R R R R R R R U ερερ 即： ()212
20
2R R U -=
ερ
一、 选择题
1. 如图4.1,真空中有一点电荷Q 及空心金属球壳A, A 处于静电平衡, 球内有一点M, 球壳中有一点N, 以下说法正确的是
[ E ] (A) E M ≠0, E N =0 ,Q 在M 处产生电场,而在N 处不产生电场；
(B) E M =0, E N ≠0 ,Q 在M 处不产生电场,而在N 处产生电场； (C) E M = E N =0 ,Q 在M 、N 处都不产生电场；
(D) E M ≠0,E N ≠0,Q 在M 、N 处都产生电场；
•Q
图4.1,
(E) E M = E N =0 ,Q 在M 、N 处都产生电场.
2.如图4.3,原先不带电的金属球壳的球心处放一点电荷q 1 , 球外放一点电荷q 2 ,设q 2 、金属内表面的电荷、外表面的电荷对q 1的作用力分别为F 1、F 2、F 3 , q 1受的总电场力为F , 则 [ C ] (A) F
1=F 2=F 3=F =0.
(B) F 1= q 1 q 2 / ( 4 π ε0 d 2 ) , F 2 = 0 , F 3 = 0 , F =F 1 .
(C) F 1= q 1 q 2 / ( 4 π ε0 d 2 ) , F 2 = 0 ,F 3 =- q 1 q 2 / ( 4 π ε0 d 2 ) (即与F 1反
向), F =0 .
(D) F 1= q 1 q 2 / ( 4 π ε0 d 2 ) , F 2 = - q 1 q 2 / ( 4 π ε0 d 2 ) (即与F 1反
向) ,F 3 =0, F =0 .
(E) F 1= q 1 q 2 / ( 4 π ε0 d 2 ) , F 2=- q 1 q 2 / ( 4 π ε0 d 2 ) (即与F 1反向), F 3 = 0, F =0 .
二.填空题
地球表面附近的电场强度约为100N/C ,方向垂直地面向下,假设地球上的电荷都均匀分布在地表面上,则地面的电荷面密度σ = 0100ε- , 地面电荷是 负 电荷（填正或负）.
三.计算题
1. C （（ （1）A AB 、
AC
AB
E E q q =21 依题意 C A B A u u u u -=- AC AC AB AB E d E d = 可得
2
1
d d ==AB AC AC AB E E ∴ C 100.2C
10
0.1727
1--⨯=⨯=q q
即B 板上感应电荷为C 100.17
1-⨯-=-q ,C 板上感应电荷为C 10
0.27
2-⨯-=-q
q 图4.2
A 板的电势
AB AB AB A S
q E u d d 01
ε=
= V 103.210
2001085.8100.4100.13
4
1237⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=----
2. 点电荷+Q 处于导体球壳的中心，壳的内外半径分别为R 1和R 2，求电场强度分布和电势分布。

静电平衡时，导体球壳内、外表面均有感应电荷，由于带电系统具有球对称性，所以内表面均匀分布有-q 电荷，外表面均匀分布+q 电荷，可判断电场分布具有球对称性，以任意半径r 作一与球壳同心的高斯球面S ，由高斯定理可得
⎰
∑==⋅0
24d επi q E r S E ϖϖ 2
04r q E i
πε∑=
当q q R r i =∑<1 ∴ 2
014r
q E πε=
021=-+=∑<<q q q R r R i ∴ 02=E q q R r i =∑≥2
∴ 2
034r
q E πε=
由电势定义式可求得电势分布
1R r <
⎰⎰⎰∞
++=12
1
2
d d d 3211R r
R R R r E r E r E u
2
0102
02
041114d 4d 41
2
R q R r q r
r q r r q R r
R πεπεπεπε+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
+=⎰
⎰
∞
21R r R <<
⎰⎰∞
+=2
2
d d 322R r
R r E r E u
2
2
041d 42
R q
r r
q R ⋅
==
⎰
∞
πεπε
2R r >
⎰⎰
∞
∞
==r r
r r r E u d 41d 2
033πε
r
q 041
πε=
3．半径为R1=1.0cm 的导体球带电量C q 10
10
0.1-⨯=，球外有个内外半径分别为R 2=3.0cm
和R 3=4.0cm 的同心导体球壳，壳上带有电量C Q 10
1011-⨯=。

求：
（1）两球电势，（2）若用导线把两球连接起来时两球的电势，（3）若外球接地时，两球的电势各为多少？ （1）内球电荷q 均匀分布在外表面，外球内表面均匀感应电荷-q ，外表面均匀分布电荷q+Q ，由高斯定理可求得电场分布（略） 011=<E R r 2
022141
r q E R r R πε=
<< 0332=<<E R r R
2
043
41
r
Q
q E R r +=
>πε 由电势定义可求得内球电势
⎰
⎰∞++=2
1
3d 41d 41
202
0R R R r r Q q r r q u πεπε内 V
1030.304.010*******.0101.01100.1109411142109
1093
0210⨯=⨯⨯
⨯+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯=++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
--R Q q R R q πεπε ⎰∞
-⨯⨯
⨯=+=+=304
.010*******d 41
109
3020R R Q q r r Q q u πεπε外 V 1070.22
⨯=
（2）用导线把两球连接起来时，内球和外球内表面电荷中和，这时只有外球的外表面
带有q+Q 电荷，外球壳外场强不变，外球电势不变，这时两球是等势体，其电势均为原外
球壳电势270V 。

（3）若外球壳接地，外球电势为零，外球外表面电荷为零，内球的电荷以及外球内表面电荷分布不变，所以内球的电势
⎰
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=
=2
1
21
20114d 41
R R R R q r r q u πεπε内
V 6003.0101.01
100.110910
9
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯⨯=-。