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《测试技术与信号处理》习题答案

第二章 信号分析基础

1、请判断下列信号是功率信号还是能量信号： （1）)()(10cos

2

∞<<-∞=t e t x t

π （2）)()(||10∞<<-∞=-t e t x t

【解】（1）该信号为周期信号，其能量无穷大，但一个周期内的平均功率有限，属功率信号。 （2）信号能量：⎰

∞

∞

-=

=10

1

)(2dt t x E ，属于能量信号。

2、请判断下列序列是否具有周期性，若是周期性的，请求其周期。)8

()(π-=n j e n x

【解】设周期为N ，则有：8

)8

8()()(N j

N

n j e

n x e

N n x ⋅==+-+π

若满足)()(n x N n x =+，则有1)8/sin()8/cos(8/=-=-N j N e jN

即：k N π28/=，k N π16=，k = 0，1，2，3，… N 不是有理数，故序列不是周期性的。

3、已知矩形单脉冲信号x 0(t)的频谱为X 0(ω)=A τsinc(ωτ/2) ，试求图示三脉冲信号的频谱。

【解】三脉冲信号的时域表达式为：)()()()(000T t x t x T t x t x -+++=

根据Fourier 变换的时移特性和叠加特性，可得其频谱：

)]cos(21)[2

(

sin )()()()(000T c A e X X e X X T j T j ωωτ

τωωωωωω+=++=-

4、请求周期性三角波（周期为T ，幅值为0—A ）的概率分布函数F(x)与概率密度函数p(x) 。 【解】在一个周期T 内，变量x (t )小于某一特定值x 的时间间隔平均值为：T A

x t i =

∆ 取n 个周期计算平均值，当∞→n 时，可有概率分布函数：A

x

nT t n x F i n =∆=∞→lim

)( 概率密度函数：A

dx x dF x p 1

)()(==

t

-τ/2 0 τ/2 -T T

5、请求周期性方波的自相关函数。 （设周期为T ，幅值为0—A ）

【解】对周期函数，可取一个周期求自相关函数，但由于函数的不连续性，必须分段积分，如图：

当2/0T ≤≤τ时（图a ）

]

)()()()([1)()(1)(222

020⎰⎰⎰⎰⎰----⋅-+-⋅-+-⋅+⋅=+=T T T T T

T T T

x Adt A dt A A dt A A Adt A T dt t x t x T R ττττττ 即：)4

1()(2

T

A R x τ

τ-=

当T T ≤≤τ2/时（图b ）

])()()()([1)(2

3232/2/0⎰⎰⎰⎰-----⋅-+⋅-+⋅+-⋅=T T T

T T T T x dt A A Adt A Adt A dt A A T R ττττ

τ

即：)4

3()(2

T

A R x τ

τ--=

第三章 信息论基础知识

1、某装置的正常工作温度保持在35—40℃之间。在35 ℃以下时停止使用，等待升温；在40 ℃以上时，

也停止使用，进行强制冷却。已知25%的时间在35 ℃以下，5%的时间在40 ℃以上。求以下三种生产报告所具有的信息量：（1）“不能使用”；（2）“能使用”；（3）“因为装置在冷却中不能使用”。 【解】

（1）“不能使用”的情况所占时间为25% + 5%，故信息量为：74.13.0log )(2=-=a x I bit （2）“能使用”的情况所占时间为70%，其信息量为：51.07.0log )(2=-=b x I bit （3）“因装置冷却不能使用”所占时间为5%，其信息量：32.405.0log )(2=-=c x I bit

2、即将举行甲—乙、丙—丁两场足球赛，根据多次交锋记录，甲—乙间胜球比例为8:2，丙—丁间胜球比

例为5:5。试比较两场球赛的不确定性。你将选看哪一场比赛？为什么？ 【解】

甲-乙、丙-丁两场比赛的信源空间：2

.08

.0)()()](,[21x P x P x P X i =、5

.05

.0)()()](,[21y P y P y P X i =

信息熵分别为：

7219.02.0log 2.08.0log 8.0)(22=--=x H bit 15.0log 5.05.0log 5.0)(22=--=y H bit

丙-丁比赛的不确定性大（信息熵大），势均力敌，胜负难测，一量赛完，所获信息量大，希望看。

3、某机器的故障率为6%，其原因分析为：机械方面的占32%，电气方面的占12%，材料方面的占56%。

考查“是机械故障”这一消息的信息量以及对于预先知道有故障的人得到“是机械故障”这一消息的信息量之间的差别。 【解】

（1）事先不知道是否有故障的人得到“是机械故障”这一消息所获得的信息量：

703.5)32.006.0(log )(2=⨯-=x I bit

（2）事先知道有故障的人得到“是机械故障”这一消息所获得的信息量：

684.1)32.0(log )(2=-=y I bit

前者所获得的信息量大。

4、一帧黑白电视图像是由500行和600列的像点所组成，有10种不同的黑白亮度，如各种不同组合的图

像出现的概率相等，问出现一种图像时其熵值多大（即确定性程度）？

【解】根据题意，一幅图像有500×600个点，每个点都有均等机会出现10种不同的黑白亮度，所

以共有10500×600种可能的电视图像，每种图像出现的机会相等，其概率为P=1/10500×600

，故系统的熵为：

66005001

22210)10(log log 1

log 1)(≈===⨯=∑

N

i N N

N x H bit