人教版高中数学-特殊角(或区域角)的表示

特殊角(或区域角)的表示

在角的概念推广的题形中,对于特殊角及区域集合表示问题,学生往往感到很难动笔.下面就这个问题进行分析、归纳、整理，供参与.

一、终边相同角的集合的表示

1.终边落在以原点为端点的射线OA 上的角的集合可表示为(如图1.1)

{β|β=k·360︒+α,k ∈Z }；

其中，α为射线OA 与x 轴的非负半轴所成的最小正角.

2.终边落在过原点的直线l 上的角的集合可表示为(如图1.2)：

{β|β=k·180︒+α,k ∈Z }；

其中，α为直线l 与x 轴的非负半轴所成角的最小正角.

事实上，因为终边落在直线l 上的角可看成是终边落在直线l 的两条射线上的角的集合的并集，即

{β|β=k·360︒+α,k ∈Z }∪{β|β=k·360︒+180︒+α,k ∈Z }

={β|β=2k·180︒+α,k ∈Z }∪{β|β=(2k+1)·180︒+α,k ∈Z }

={β|β=k·180︒+α,k ∈Z }. 3.如图1.3，终边落在以原点为端点的三条两两所成角相等的射线OA 1,OA 2,OA 3上的角的集合可表示为：

{β|β=k·120︒+α,k ∈Z }；

α为三射线与x 轴的非负半轴所成角的最小正角. 事实上，终边落在三条射线OA 1,OA 2,OA 3上的角可看成是终边分别落在三条射线OA 1,OA 2,OA 3上的角的集合的并集，即

{β|β=k·360︒+α,k ∈Z }∪{β|β=k360︒+120︒+α,k ∈Z }∪{β|β=k360︒+240︒+α,k ∈Z }

={β|β=3k·120︒+α,k ∈Z }∪{β|β=(3k+1)·120︒+α,k ∈Z }∪{β|β=(3k+2)·120︒+α,k ∈Z } ={β|β=k·120︒+α,k ∈Z }

4.如图1.4，终边落在过原点的两条相互垂直的直线l 1,l 2上的角的集合可表示为：

{β|β=k·90︒+α,k ∈Z }；

α可规定为直线l 1与x 轴的非负半轴所成角的最小正角.

事实上，因为终边落在二直线l 1,l 2上的角可看成是终边分别落在两直线l 1,l 2上的角的集合的并集，即

{β|β=k·180︒+α,k ∈Z }∪{β|β=k·180︒+90︒+α,k ∈Z } ={β|β=2k·90︒α,k ∈Z }∪{β|β=(2k+1)·90︒+α,k ∈Z }

={β|β=k ·90︒+α,k ∈Z }

推广：一般地,终边落在以原点为端点的等分圆周角的射线上的角的集合可表示为:

{β|β=k·360︒n

+α,k ∈Z } 二、特殊区域角的集合表示

1.任意两条射线所形成区域角的表示

如图2.1,阴影部分的角的集合可看成是射线OA 绕原点O 逆时针方向旋转到射线OB 所成区域角.设α1是射线OA 上的最小正角,α2是射线OB 的角,α2>α1且α2-α1∈ (0︒,360︒)，则射线OA 和射线OB 所成区域的角的集合为

{β|k ·360︒+α1<β

图1.1 图1.2

图1.3

图1.4 图2.1

2.对顶角区域的角的集合的表示

如图2.2，阴影部分的角的集合可看成是直线l1绕原点O逆时针方向旋转到直线l2所成区域角,设α1是直线l1上的最小正角,α2是直线l2的角,α2>α1且α2-α1(0︒,180︒)，则

终边落在直线l1上的角的集合为：{β|β=k·180︒+α1,k∈Z},

终边落在直线l2上的角的集合为：{β|β=k·180︒+α2,k∈Z},

故阴影部分的角可表示为： {β|k·180︒+α1<β

3.如图2.3,两组三等分圆周角的三条射线所成区域角的表示

因为射线OA1,OA2,OA3和射线OB1,OB2,OB3两两所成角相等,则阴影部分的角可看成是一组三等分圆周角三射线OA1,OA2,OA3同时绕原点O逆时针方向旋转到三射线OB1,OB2,OB3所成区域角,设α1是三射线OA1,OA2,OA3与x轴非负半轴所成角中最小的正角，α2是三射线OB1,OB2,OB3角,α2>α1且α2-α1∈ (0︒,120︒)，则

终边落在三射线OA1,OA2,OA3上的角的集合为：{β|β=k·120︒+α1,k∈Z}；

终边落在三射线OB1,OB2,OB3上的角的集合为：{β|β=k·120︒+α2,k∈Z}；

故终边落在阴影部分的角可表示为：{β|k·120︒+α1<β

4.如图2.4,两组相互垂直的直线所成区域角的表示

因为l1和l2相互垂直,直线m1和m2相互垂直,则阴影部分的角可看成是相互垂直的两条直线l1,l2同时绕原点逆时针方向旋转到直线m1，m2所成区域角,设α1是直线l1,l2上角中最小的正角,α2是直线m1,m2上的角,α2>α1且α2-α1∈ (0︒,90︒)，则

终边落在直线l1,l2上的角的集合为：{β|β=k·90︒+α1,k∈Z}；

终边落在直线m1，m2上的角的集合为：{β|β=k·90︒+α2,k∈Z}；

故终边落在阴影部分的角可表示为: {β|k·90︒+α1<β

图2.3图2.4