柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面

第四章柱面·锥面·旋转曲面与二次曲线
教学目的:
1.掌握消去参数法，能运用此法熟练地求出一般柱面、锥面、旋转曲面的方
程.
2.能识别母线平行于坐标轴的柱面方程,顶点在坐标原点的锥面方程,旋转轴
为坐标轴的旋转曲面的方程.掌握求这些特殊位置的特殊曲面方程的方法,并能识别曲面的大致形状.
3.掌握平行截线法,能运用此法讨论二次曲面的方程,认识曲面的形状.
4.掌握椭球面、双曲面与抛物面的标准方程与主要性质.
5.了解单叶双曲面与双曲抛物面的直纹性,并能掌握求直母线的方法.
6.能根据给定条件,较准确地作出空间区域的简图.
重点难点:
1.柱面、锥面、旋转曲面的定义和一般方程的求法是重点,寻找柱面、锥面、
旋转曲面的准线是难点.
2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程、性质与形状是重点,一般二次曲面
方程的灵活多样是难点.
3.二次直纹面的性质及直母线方程求法是重点,证明单叶双曲面与双曲抛物
面的一些性质难点.
4.空间区域的作图是重点,其中在作空间区域时,分析并作出几个曲面的交线
是难点.
§4.1柱面
一.柱面的定义
空间中由平行于定方向且与定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫柱面.
柱面的方向:定方向;准线:定曲线;母线:一族平行线中的每一条直线.
柱面由其准线和定方向唯一确定,但对于一柱面,准线不唯一.
二.柱面的方程
在空间直角坐标系下,柱面准线Γ方程 ⎩⎨⎧==0),,(0
),,(2
1z y x F z y x F
(1)母线的方向数X,Y,Z.即 {}Z Y X v ,,=
(2)任取柱面准线Γ上一点),,(1111z y x M 则过此点的母线方程为
Z
z z Y y y X x x 1
11-=
-=- 且有0),,(1111=z y x F ,0),,(1112=z y x F .从而消去参数111,,z y x 最后得到一个三元方
程0),,(=z y x F ，这就是以⎩⎨⎧==0),,(0
),,(21z y x F z y x F 为准线, 母线的方向数X,Y,Z 的柱面方
程.
三.例题讲解
例1.柱面的准线方程为⎪⎩⎪⎨⎧=++=++2
221
2
22222z y x z y x 母线的方向数为－1,0,1.求这柱面的方程.
解 设),,(1111z y x M 是准线上的点,那么过),,(1111z y x M 的母线为
101111z z y y x x -=-=--, 且 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++2
221
2
121212
12121z y x z y x (1) 设
t z z y y x x =-=-=--1
011
11,那么 ,1t x x +=y y =1,t z z -=1, 代入(1)得⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=-+++2
)(2)(21)()(2
222
22t z y t x t z y t x 可得 0)(2
=-t z ,即 z t = 求得柱面方程为 1)(22=++y t x . 例 2. 已知圆柱面的轴为 2
1
211-+=--=z y x ,点(－1,－2,1)在此圆柱上, 求这柱面的方程.
解法一 因为圆柱面的母线平行于其轴,所以母线的方向数即为轴的方向数－1,－2,－2.若能求出圆柱面的准线圆,问题即解决了.
空间的圆总可以看成是某一球面与一平面的交线, 此圆柱面的准线圆可以看成是以轴上的点(0,－1,－1)为中心, 点(0,－1,－1)到已知点(－1,－2,1)的距
离14=d 为半径的球面14)1()1(222=++-+z y x 与过知点(－1,－2,1)且垂直于
轴的平面0322=---z y x 的交线,即准线圆的方程为⎩
⎨⎧=---=-+-+032214
)1()1(222z y x z y x
设),,(111z y x 为准线圆上的点,那么14)1()1(21212
1=++-+z y x ,0322111=---z y x 且过的),,(111z y x 母线为
2
211
11--=
--=-z z y y x x .消去参数111,,z y x 即得所求的圆柱面方程 0991818844558222=-+--++++z y yz xz xy z y x .
解法二 将圆柱面看成是动点到轴线等距离的点的轨迹,这里的距离就是圆柱面的半径.
轴的方向矢量为{}2,2,1--=v ,轴上的定点为)1,1,0(0-M ,而圆柱面上的点为
)1,2,1(1-M ,所以{}2,3,110-=M M ,因此)1,2,1(1-M 到轴的距离为
3
117
=
=
d 再设),,(z y x M 为圆柱上任意点,
那么有3
117
=
=d 即 3
117
)2()2(12
1
11
2
12
2
112
22
2
2
=
-+-+--+
-++
--+-y x x x z y 化简整理得 0991818844558222=-+--++++z y yz xz xy z y x .
定理4.1.1 在空间直角坐标系中，只含两个元（坐标）的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元(坐标)的同名坐标轴。

(即证方程0),(=y x F （11）表示的曲面是一个柱面，而且它的母线平行与z 轴)
证 取曲面（11）与xOy 坐标面的交线⎩⎨⎧==00
),(z y x F （12）为准线，z
轴的方向0：0：1为母线方向，来建立这样的柱面方程。

设)0,,(111y x M 为准线(12)上的任意一点，那么过1M 的母线为
1
0011z
y y x x =-=-，即 ⎩
⎨⎧==11
y y x x （13） 又因为)0,,(111y x M 在准线（12）上，所以有0),(11=y x F （14） （13）代入（14）消去参数11,y x ，就得所求的柱面方程为0),(=y x F ，这就是方
程（11），所以方程（11）就是一个母线平行于z 轴的柱面。

常见柱面方程
(1) 椭圆柱面 )0(122
22>>=+b a b
y a x
(2) 圆柱面 222R y x =+
(3) 双曲柱面 )0,(122
22>=-b a b
y a x
(4) 抛物柱面 px y 22=
空间曲线的射影柱面
通过空间曲线L 作柱面,使其母线平行于坐标轴Oz Oy Ox 或,,轴,设这样的柱面方程分别为 0),(1=z y F ,0),(2=z x F ,0),(3=y x F 这三个柱面分别叫曲线L 对
xOy xOz yOz 与,坐标面的射影柱面.
作业 4,3,2,1147P
§4.2 锥 面
一.锥面定义
空间中由通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫锥面. 锥面的顶点:定点;母线:一族直线;准线:定曲线. 二.锥面的方程
空间直角坐标系下,顶点为),,(000z y x A ,准线方程Γ:⎩⎨⎧==0
),,(0
),,(21z y x F z y x F
任取准线上一点),,(1111z y x M ,则过此点的母线方程为
10
010010z z z z y y y y x x x x --=--=-- 且0),,(1111=z y x F ,0),,(1112=z y x F .
从而消去参数111,,z y x 最后得到一个三元方程0),,(=z y x F 这就是以⎩⎨⎧==0),,(0
),,(21
z y x F z y x F 为准线,),,(000z y x A 为顶点的锥面方程.
例1、 锥面的顶点在原点，且准线为
⎝
⎛==+c z b y a x 12222，求锥面的方程。

解 设),,(1111z y x M 为准线上的任意一点，那么过),,(1111z y x M 的母线为
1
11z z
y y x x ==， （1） 且有122
22=+b
y a x （2）
c z =1 （3）
由（1）（3）的z
y
c y z x c
x ==11, （7） （7）代入（5）得所求的锥面方程为1222
22222=+z b y c z a x c ，
或把它改写为022
2222=-+c
z b y a x ，这个锥面叫做二次锥面。

二. 锥面与齐次方程
定理4.2.1 一个关于x,y,z 的齐次方程总表示顶点在原点的锥面.
证 设有关于关于x,y,z 的齐次方程0),,(=z y x F ,那么根据齐次方程的定义有
),,(),,(z y x F t tz ty tx F λ=所以 .0)0,0,0(0==F t 有时，当曲面过原点.
再设非原点),,(0000z y x M 满足方程,即有0),,(000=z y x F 那么直线0OM 的
方程为⎪⎩
⎪⎨⎧===t
z z t y y t
x x 000 代入0),,(=z y x F ,即有0),,(),,(000000==z y x F t tz ty tx F λ
.
所以整条直线都在曲面上,因此曲面0),,(=z y x F 是由通过坐标原点的直线组成,即他是以原点为顶点的锥面.
虚锥面 0222=++z y x
推论 关于000,,z z y y x x ---的齐次方程表示顶点在),,(000z y x 的锥面. 作业 5,4,2,1151P
§4.3 旋 转 曲 面
一.旋转曲面的定义
空间一条曲线Γ绕着定直线l 旋转一周所产生的曲面叫旋转曲面(回旋曲面) 母线: 曲线Γ;旋转轴(轴): 定直线l .
纬线: 旋转曲面母线上任一点在旋转时所形成的一个圆,称之为线圆(纬线).
经线: 以轴l 为界的每个半平面与曲面交成一条曲线,称为经线.(平面曲线) 二.旋转曲面的方程 1.一般情形下的曲面方程
空间直角坐标系下,旋转曲面
母线方程 Γ:⎩⎨
⎧==0
),,(0
),,(21z y x F z y x F
轴l :
Z
z z Y y y X x x 0
00-=-=- 任取母线上一点),,(1111z y x M ,则过此点的线圆方程为:
⎩⎨⎧=-+-+--+-+-=-+-+-0)()()()()()()()()(1112
01201201202020z z Z y y Y x x X z z y y x x z z y y x x
且有0),,(1111=z y x F ,0),,(1112=z y x F .消去参数111,,z y x 最后得到一个三元方程
0),,(=z y x F ,此即为以Γ为准线, l 为轴的旋转曲面的方程.
例1 求直线
1
12-=
=z y x 绕直线z y x ==旋转所得的旋转曲面的方程. 解 设),,(1111z y x M 是母线上的任意点,因为旋转轴通过原点,所以过1M 的纬
圆方程是⎩⎨⎧++=++=-+-+-21
21212
221110
)()()(z y x z y x z z y y x x 由于),,(1111z y x M 是母线上的点,所以又有
112111-==z y x ,即1,2111==z y x .消去参数111,,z y x 最后得到旋转曲面方程为 07)()(5)(2222=-+++++-++z y x yz xz xy z y x
2.以坐标面上的曲线为准线、坐标轴为轴的旋转曲面的方程
旋转曲面的经线可作为母线,通常把母线所在平面取作坐标面而旋转轴取作坐标轴,此时旋转曲面的方程具有特殊的形式.
设旋转曲面的母线为Γ:⎩⎨
⎧==0
),(x z y F ,旋转轴为y 轴, 010z y x ==若
),,0(111z y M 为母线Γ上的任意点,那么过1M 的纬圆为⎩⎨⎧+=++=-21
212
2210
z y z y x y y ,且有 0),(11=z y F ,消去参数11,z y 得所求的旋转曲面的方程为0),(22=+±z x y F .
同样若将曲线Γ绕z 轴旋转所得的旋转曲面的方程是0),(22=+±z y x F . 因此,当坐标轴上的曲线Γ绕此坐标平面里的一个坐标轴旋转时,为了求出这样的旋转曲面的方程,只要将曲线Γ在坐标面里的方程保留和旋转轴同名的坐标,而以其它两个坐标平方和的分方根来代替方程中的另一根.
例 2 将椭圆Γ:⎪⎩
⎪⎨⎧=>=+
0)(022
22z b a b y a x 分别绕长轴(x 轴)与短轴(y 轴)旋转,求所
得旋转曲面的方程.
解 旋转轴是x 轴,同名坐标是x ,在方程)(022
22b a b
y a x >=+中保留坐标x 不
变,用2
2
y x +±代y ,便得到椭圆绕其长轴旋转的曲面方程为122
2222=++b
z b y a x .
同样将椭圆绕其短轴旋转的曲面方程为122
2222=++a
z b y a x .
上述二曲面分别叫长形旋转椭球面,扁形旋转椭球面.
例 3 将双曲线Γ: ⎪⎩
⎪⎨⎧==-01
2
2
22x c y b x 绕虚轴(z 轴)旋转的旋转曲面方程为 12
2
2222=-+c z b y b x ; 绕实轴(y 轴)旋转的旋转曲面方程为1222222=--c z c y b x .分别
称为单叶旋转双曲面与双叶旋转双曲面.
例4 将抛物线Γ: ⎩⎨⎧==0
22x px
y 绕它的对称轴旋转的旋转曲面方程为
px y x 222=+ 称之为旋转抛物面.
例5 将圆 Γ:⎩⎨⎧=>>=+-0
)
0()(222x a b a z b y 绕z 轴旋转,求所得旋转曲面的方程.
解 绕z 轴旋转,所以在方程222)(a z b y =+-中保留z 不变,而y 用2
2y x +±代替就得到旋转曲面方程
22222)(a z b y x =+-+±, 或)(4)(222222222y x b a b z y x +=-+++ 作业 2,1158P
§4.4 椭 球 面
定义4.4.1: 在直角坐标系下,由方程 122
2222=++c
z b y a x (1) 所表示的曲面叫椭
球面,或称椭圆面.方程称为椭球面的标准方程,其中a,b,c(a ＞b ＞c)为任意的正常数.
一.
椭球面性质
1.当(x,y,z)满足方程时,),,(z y x ±±±也一定满足.椭球面关于三坐标平
面,三坐标轴,坐标原点都对称.
2.椭球面的对称平面,对称轴与对称中心分别叫它的主平面,主轴与中心.
3.椭球面与它的三对对称轴即坐标轴的交点分别为)0,0,(a ±,)0,,0(b ±,
),0,0(c ±,这六个点叫做椭球面的顶点.
4.同一对称轴上的两顶点间的线段以及它们的长度2a,2b,2c 叫椭球面的轴.半轴,长(半)轴,中(半)轴,短(半)轴.
5.任何两轴相等的椭球面一定是旋转椭球面,而三轴相等的椭球面就是球
面.椭球面三轴不相等时,叫三轴椭球面.
6.椭球面上任何一点的坐标总有(x,y,z),c z b y a x ≤≤≤,,,因此椭球面
完全被封闭在一个长方体的内部.
二.平行截线割法
平行截割法是讨论二次曲面的基本方法,为了弄清楚曲面的大致形状,进而推出其性质,通常把曲面作为点的轨迹来研究,而分析其与一组平行平面的交线(截口)的形状与性质.
1. 平行截割法:利用平行平面的截口来研究曲面图形的方法.
2. 对曲面方程的讨论,一般分以下几项:
(1)对称性 (2)顶点(对称轴与曲面的交点) (3)存在范围
(4)主截线(曲面与坐标轴的交线) (5)平截线(曲面与平行平面的交线)
3. 主截线: ⎪⎩⎪⎨⎧==+
0122
22z b y a x (1),
⎪⎩⎪⎨⎧==+012222y c z a x (2), ⎪⎩
⎪⎨⎧==+01
2222x c z b
y (3) (椭球面的主椭圆)
4. 平截线: 不妨设一组平行于xOy 坐标面的平行平面z ＝h 来截割椭球面,得
截口: ⎪⎩
⎪⎨⎧=-=+
h z c h b y a x 22
22221.
当c h >时,无图形; 当c h =时,表示一个点(0,0,c); 当c h <时,代表一个椭圆:两
轴的端点分别为 (h c h a ,0,122-±)与),1,0(22
h c
h b -±.它们分别在主椭圆(2)和(3)上.
综上:椭球面可视为由一个大小和位置都可改变的椭圆变动而产生的,它在变动过程中保持所在平面与xOy 坐标面平行,且两轴的端点分别在另外两定椭圆(2)和(3)上滑动.
椭圆有时也用参数方程表示:
)200,,(cos sin sin cos sin πϕπθϕθθϕθϕ
θ≤≤≤≤⎪⎩
⎪
⎨⎧===，为参数c z b y a x
例 已知椭球面的轴与坐标轴重合，且通过椭圆,116
92
2=+
y x 0=z 与点)23,2,1(M ，求这个椭球面的方程。

解 因为所求图球面的轴与三坐标轴重合，所以设所求椭球面的方程为
12
2
22
22
=++c z b y a x ，它与xOy 面的交线为椭圆⎪⎩⎪⎨⎧==+012222z b y a x ，与已知椭圆⎪⎩⎪⎨⎧==+0
116922z y x 比较知16,922==b a 。

又因为椭球面通过点)23,2,1(M ，所以又有123
164912=++c 所
以362
=c 。

因此所求椭球面方程为136
1692
22=++z y x
作业 6,4,3,2162P
§4.5 双 曲 面
一. 单叶双曲面
1.定义: 在直角坐标系下,由方程 122
2222=-+c
z b y a x )0,,(>c b a 所表示的曲面
叫单叶双曲面.
注: 10 当b a =时, 单叶双曲面为旋转双曲面. 20 标准方程还有另外两种形式. 2.图形讨论
(1)对称性:关于三坐标面,三坐标轴,原点对称. (2)顶点: )0,0,(a ±,)0,,0(b ±
(3)存在范围:由122
22≥+b y a x 及与z 轴无交点知曲面存在与椭圆柱面外部且沿
z 轴上下伸沿到无穷远.
(4)主截线: ⎪⎩⎪⎨⎧==+
0122
22z b y a x (1)
⎪⎩
⎪⎨⎧==-0
122
22y c z a
x (2) ⎪⎩⎪⎨⎧==-012222x c y b x (3)
腰椭圆 双曲线 双曲线 (5)平截线:
a. 用一组平行xOy 坐标面的平面h z =截割,截口为椭圆:
⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+h
z c h b y a x 22
22221 两轴的端点分别为),0,1(22h c h a +±与),1,0(22h c h b +±它们分
别在双曲线(2)与(3)上.
可见:单叶双曲面可视为一个大小位置都可改变的椭圆变动而产生的,变动中保持所在平面与xOy 面平行,且两对顶点分别沿着两个定双曲线(2)与(3)滑动.
b. 用平行于xOz 面的平面h y =截割,截口为: ⎪⎩
⎪⎨⎧=-=-h y b h c z a x 22
22221 (4)
10 b h <时,(4)为双曲线,实轴平行于x 轴,虚轴平行于z 轴,(4)的顶点在腰椭圆(1)上,顶点)0,,(22h h b b
a
-±
. 20 b h >时,(4)为双曲线, 实轴平行于z 轴,虚轴平行于轴,它的顶点在双曲线(3)上,顶点),,0(22
b h b
c h -±
. 30 b h =时,(5)为两条直线(相交)
⎪⎩⎪⎨⎧==±b y c
z a x 0
或 ⎪⎩⎪⎨⎧-==±b
y c
z
a x 0
可见:单叶双曲面上有直线. 二. 双叶双曲面
1.定义:在直角坐标系下,由方程 122
2222-=-+c
z b y b x )0,,(>c b a 所表示的曲面
叫双叶双曲面.
2. 图形讨论
(1)对称性:关于三坐标面,三坐标轴,原点对称. (2)顶点:与x ,y 轴不相交,与z 轴交于点
(3)存在范围:由22c z ≥知曲面分成两叶c z c z ≤≥与.
(4)主截线:两双曲线: ⎪⎩⎪⎨⎧==-012222y a x c z (1) ⎪⎩⎪⎨⎧==-
012222x b y c z (2) 有共同实轴、顶点.
(5)平截线: 用平行平面)(c h h z ≥=截割,截口: ⎪⎩
⎪⎨⎧=-=+
h z c h b y a x 122
2222 (3)
10 c h =时, (3)表示一点),0,0(c 或),0,0(c -.
20 c h >时, (3)表示一椭圆:两轴的端点),0,1(2
2h c h a -±,),1,0(22h c
h
b -±分别在双曲线(1)与(2)上.
可见: 双叶双曲面可视为一个椭圆变动而产生的.
思考:用平行于xOz 面的平面k y =截割曲面的情况,截口:
⎪⎩
⎪⎨⎧=+=-
k y b k a x c z 22
22221
取两条双曲线,使它们对应的叶所在平面互相垂直,顶点和轴都重合,且有相同的开口方向,让一条双曲线平行于自己所在的平面,而使其顶点在另一条双曲线对应叶上滑动,则这条双曲线的运动轨迹便是一个双叶双曲面.
例题 用一组平行平面)(为任意实数h h z =,截割双曲面
122
2222=-+c
z b y b x )(b a > 得一族椭圆,求这些椭圆焦点的轨迹.
解 这一族椭圆为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+h z c h b y a x 22
22
22
1, 即⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧==+++h
z c h b y c h a x 1)
1()1(22
2
2
2222 因为b a >,所以椭圆的长半轴为221c h a +,短半轴为22
1c
h b +,从而椭圆的焦点
的坐标为 ⎪⎪
⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧==+-±=h z y c h b a x 0)
1)((222
2,消参即得⎪⎩⎪⎨⎧==--0
122222y c z b a x .
显然,这族椭圆焦点的轨迹是一条在坐标面xOz 上的双曲线,双曲线的实轴为
x 轴,虚轴为z 轴.
作业 7.4.3.2168P
§4.6 抛 物 面
一. 椭圆抛物面
1.定义:直角坐标系下,由方程z b
y a x 222
22=+( b a ,为任意常数)所表示的曲面叫
椭圆抛物面. 2.图形讨论
(1)对称性:关于yOz 、xOz 坐标面,z 轴对称,无对称中心.(无心二次曲面) (2)顶点(0,0,0)
(3)存在范围:由)(2122
22b
y a x z +=, 知曲面全部位于xOy 坐标面的0≥z 一侧.
(4)主截线:（主抛物线） ⎩⎨⎧==0222y z a x (1) ⎩
⎨⎧==0222x z
b y (2)
（有共同的轴、开口方向、顶点）
(5)平截线:
a. 用平行xOy 坐标面的平面)0(>=h h z 截割,截口为椭圆:
⎪⎩
⎪⎨⎧==+h z h b y a x 222
22（3） 椭圆的两对称点),0,2(h h a ±，),2,0(h h b ±分别在主抛物面(1)与(2)上. 可见:椭圆抛物面可视为椭圆的轨迹.
b. 用平行于xOz 面的平面t y =截割,截口为抛物线：
⎪⎩
⎪⎨⎧=-=t y b t z a x )
2(2222
2（4）
(4)与抛物线(1)有相同的焦参数与开口方向,且其顶点)2,,0(22
b
t t -在主抛
物线(2)上.
可见:椭圆抛物面可视为由两个抛物线中的一条的轨迹.
二. 双叶抛物面
1.定义:直角坐标系下,由方程z b
y a x 222
22=- )0,(>b a 所表示的曲面叫双叶抛
物面. 2.图形讨论
(1)对称性:关于yOz 、xOz 坐标面,z 轴对称,无对称中心.(无心二次曲面) (2)顶点(0,0,0) (3)存在范围:无界.
(4)主截线: ⎪⎩⎪⎨⎧==±0
z b y
a x （1）
⎩⎨
⎧==0222y z
a x （2） ⎩⎨
⎧=-=0
222x z
b y （3） 过原点两条相交直线 主抛物线 (5)平截线:
a. 用平行xOy 坐标面的平面)0(≠=h h z 截割,截口为双曲线:
⎪⎩
⎪
⎨⎧==-h z h b y h a x 12222
22（4）
1.h ＞0时,双曲线(4)实轴与x 轴平行,虚轴与y 轴平行,顶点),0,2(h h a ±在主抛物线(2)上
2.h ＜0时, 双曲线(4)顶点在主抛物线(3)上.
可见:曲面被xOy 坐标面分割为上下两部分,上部分沿x 轴的两个方向逐渐上升;下半部分沿y 轴的两个方向逐渐下降.
b. 用平行于xOz 面的平面t y =截割,截口为抛物线：
⎪⎩
⎪⎨⎧=+=t y b t z a x )
2(2222
2
抛物线(5)与主抛物线(2)有相同的焦参数与开口方向,且所在平面与(2)所
在平面平行,其顶点)2,,0(22
b
t t -在主抛物线(3)上.
椭圆抛物面与双曲抛物面统称为抛物面，它们都没有对称中心，所以又叫无心二次曲线. 三．空间区域简图
从是实例出发,研究常见的曲面与平面(包含常用的坐标面)所围成的空间区域问题.
例 1.作出球面8222=++z y x 与旋转抛物面z y x 222=+的交线.
解 两曲面的交线为)
2()1(,
2,
82
2
222⎪⎩⎪⎨⎧=+=++z y x z y x
（2）代入（1）得,0822
=-+z z 即,0)2)(4(=-+z z 所以24=-=z z 或，由（2）知,
0≥z 所以取2=z ，因此交线方程可以改为⎩⎨⎧==++,2,8222z z y x 或⎩⎨⎧==+,
2,
422z y x 这是平面2=z 上的
一个圆，圆心为)2,0,0(，半径为2。

作业 5,2,1175174-P
§4.7 单叶双曲面与双叶抛物面的直母线
柱面与锥面都可以由一族直线所构成,这种由一族直线所构成的曲面叫直纹曲面,而构成曲面的那族曲线叫这曲面的一族直母线.柱面与锥面都是直纹曲面.
在前两节看到单叶双曲面与双曲抛物面上都包含有直线.实际上,这两曲面不仅包含有直线,而且可以有一组直线构成,因而它们都是直纹曲面.
一.
u 族直母线与v 族直母线 1. u 族直母线
将单叶双曲面 122
2222=-+c
z b y b x (1) 改写成2222221b y c z a x -=-
或者)1)(1())((b
y
b y
c z a x c z a x -+=-+(2)
现引进不等于零的参数u ,并考察上式得来的方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-=-+=+)1(1)1(b y u
c z a x b
y u c z a x (3) 与两方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+010b y c z a x (4) 与⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-010b
y c
z
a x ( 4ˊ) 当(3)式中参数0→u 和∞→u 时的两种极限情形,显然不论u 取何值,(3)以及(4),( 4′)都表示直线,我们把(3) ,(4),( 4ˊ)合起来组成的一族直线叫u 族直线. 现证明由这u 族直线可以构成曲面,从而它是单叶双曲面(1)的一族直母线.
容易知道,u 族直线中的任何一条直线上的点都可以在曲面(1)上: 当0≠u 时,由(3)边边相乘即得(1),所以(3)所表示的直线上的点都在曲面(1)上;而满足(4)与( 4′)上的点显然满足(2),从而满足(1)因此直线(4)与
( 4′)上的点也都在曲面(1)上.
反之,设是),,(000z y x 曲面上的点,从而有)1)(1())((
000000b
y
b y
c z a x c z a x -+=-+ 显然)1()1(00b y b y -+
与不能同时为零,因此不失一般性,假设010≠+b
y
.
如果
000≠+c z a x 那么取u 的值,使得)1(000b
y u c z a x +=+, 由(5)便得
)1(1000b
y
u c z a x -=-,所以点),,(000z y x 在直线上. 如果
000=+c z a x 那么由(5)知必有010=-b
y ,所以点),,(000z y x 在直线(4)上.因此曲面(1)上的任一点,一定在u 族直线中的某一条直线上.
因此证明了曲面(1)是u 族直线直母线构成,因此单叶双曲面(1)是直纹曲面,而u 族直线是单叶双曲面(1)的一族直母线,称为u 族直母线. 2.v 族直母线
由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=+)1(1)1(b y v
c z a x b y v c z a x (v 为不等于零的任意实数) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+010b y c z a x 与⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-010b
y c
z
a x 合在一起组成的直线族是单叶双曲面(1)的另一族直母线,我们称它为单叶双曲面(1)的
v 族直母线.
推论 对于单叶双曲面上的点,两族直母线中各有一条直母线通过这一点. 为了避免取极限,我们常把单叶双曲面(1)的u 族直母线写成
),()1()()1()(不同时为零w u b y w c
z a x u b
y u c z
a x w ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-=-+=+. (4.7.1) 当0,0≠≠w u 时,各式除以w ,就化为(3);当,0=u 便化为(4);当0=w 时便化成( 4′).
而v 族直母线写成),()1()()1()(不同时为零t v b
y t c
z a x v b
y
v c
z
a x t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+=--=+.(4.7.2) 直线(4.7.1), (4.7.2)分别只依赖于w u :与t v :的值.
对于双曲抛物面同样地可以证明它也有两族直母线,它们的方程分别是
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-=+z
b y a x u u
b
y a x )(2 与 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-z b
y
a x v v b
y
a x )(2
推论 对于双曲抛物面上的点,两族直母线中各有一条直母线通过这一点. 定理4.7.1 单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面,而双曲抛物面上一族的任意两直母线必相交.
定理4.7.2 单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两直母线总是异面直线,而且双曲抛物面同族的全体直母线平行于同一平面.
作业 3,2,1181P。