柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
(整理)柱面锥面旋转曲面与二次曲面
第4章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§ 4.1柱面1、已知柱面的准线为：⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。
解：（1）从方程⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(222=-+++--z y y z 即：0235622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。
（2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线⎩⎨⎧==c z yx 的直线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=z z t y y tx x zz t y y tx x 000000 而0M 在准线上，所以⎩⎨⎧=+--+=-++-+--02225)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：02688823222=--+--++z y x xy z y x 此即为要求的柱面方程。
2、设柱面的准线为⎩⎨⎧=+=z x z y x 222，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。
解：由题意知：母线平行于矢量{}2,0,1- 任取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 的母线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z z yy tx x tz z y y tx x 2200000而0M 在准线上，所以：⎩⎨⎧+=-++=-)2(2)2(22t z t x t z y t x 消去t ，得到：010*******22=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。
解：过原点且垂直于已知三直线的平面为0=++z y x ：它与已知直线的交点为())34,31,31(),1,0,1(,0,0,0--，这三点所定的在平面0=++z y x 上的圆的圆心为)1513,1511,152(0--M ，圆的方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-++++07598)1513()1511()152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。
解析几何第四版知识题目解析第四章
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§ 4.1柱面1、已知柱面的准线为：⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。
解：（1）从方程⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(222=-+++--z y y z即：0235622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。
（2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线⎩⎨⎧==cz yx 的直线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=z z t y y tx x zz t y y t x x 000000 而0M 在准线上，所以⎩⎨⎧=+--+=-++-+--02225)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：02688823222=--+--++z y x xy z y x此即为要求的柱面方程。
2而0M 在准线上，所以：⎩⎨⎧+=-++=-)2(2)2(22t z t x t z y t x消去t ，得到：010*******22=--+++z x xz z y x此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。
解：过又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{}1,1,1的直线方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=t z z t y y tx x tz z t y y tx x 111111 将此式代入准线方程，并消去t 得到：013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x此即为所求的圆柱面的方程。
4.1柱面
0 4 4 1 1 0 1 2 2 2 2 1
2 2
2
2 2 (1) 2 22
117 . 3
现设 P( x, y, z ) 为圆柱面上的任意点,那么 即
y 1 z 3 z 3 x 1 x 1 y 1 1 2 2 2 2 1
.
圆柱面的参数方程:
与上一节介绍的球面的参数方程一样,母线平行于轴 的圆柱面的参数方程在计算机绘图及数学分析课中 的重积分计算等应用上也是非常有效的. 在圆柱面的轴上任取一点作为坐标原点,轴的方向平 行于z轴建立直角坐标系. 设圆柱面上任一点到轴线 的距离为常数r, P( x, y, z )是圆柱面上任意一点,过P的 母线与准线圆交于M,那么 OP OM MP (r cos )i (r sin ) j uk .
故得圆柱面的参数方程是：
x r cos , y r sin , z u.
z
x
P u O r M
y
其中 , u 为参数, 0 , u
f ( x, y ) 0, z 0.
设 P( x, y, z ) 是柱面上的任意一点,过点P的母线与准线的交点为 M ( x1 , y1 , z1 ).那么 x x1 0,
y y 0, 1 z z1 u , f ( x , y ) 0, 1 1 z1 0.
2 2 2
AP d.
2 2 (1) 2 22
117 . 3
化简得所求圆柱面的方程为：
《解释几何-第四版》第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 讲解与习题柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
F1 ( x, y ) 0 F2 ( x, z ) 0
(2)
那么（2）与（1）是两个等价的方程组，也就 是（2）表示的曲线与（1）是同一条曲线。从而 曲面 F1 ( x, y) 0 与曲面 F2 ( x, z) 0 都通过已知曲线（1） 同理方程 F3 ( y, z) 0 也通过已知曲线（1）。 我们把曲面 F1 ( x, y) 0 称为空间曲线（1）对xOy坐 标面的射影柱面，而曲线
F ( x, y) 0 (1) z0 作准线，z轴的方向 0, 0,1 为母线的方向，来建立 柱面方程。 任取准线上的一点 M1 ( x1, y1, z1 ) ，过 M1 的母线 方程为 xx y y zz
1
0
1
0
1
1
即
x x1 y y1
(2)
又因为点
第四章
柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
主要内容
1、柱面 2、锥面 3、旋转曲面 4、椭球面 5、双曲面 6、抛物面 7、单叶双曲面与双曲抛物面的直母线
第一节
柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫 柱面的母线. F1 ( x, y, z ) 0 设柱面的准线为 F ( x, y, z ) 0 (1) 2 母线的方向数为X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)为准线 上一点，则过点M1的母线方程为 x x1 y y1 z z1 (2) X Y Z
f ( x 2 y 2 , z ) 0
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0绕 z 轴旋
转一周的旋转曲面方程.
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
主要内容 1、柱面 、 2、锥面 、 3、旋转曲面 、 4、椭球面 、 5、双曲面 、 6、抛物面 、
第一节
柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 所形成的曲面称为柱面. 叫柱面的准线 准线， 这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫 柱面的母线 母线. 柱面的母线 F1 ( x , y , z ) = 0 设柱面的准线为 F ( x , y , z ) = 0 (1) 2 母线的方向数为X,Y,Z。如果 1(x1,y1,z1)为准线 母线的方向数为 。如果M 为准线 上一点，则过点M 上一点，则过点 1的母线方程为 x − x1 y − y1 z − z1 = = (2) X Y Z
z = ay
z
z = a(± x 2 + y 2 )
y x
平方得: z2 = a2 ( x2 + y2 ) 该旋转曲面叫做圆锥面, 其顶点在原点.
将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 例3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程． 生成的旋转曲面的方程．
x z （1）双曲线 2 − 2 = 1分别绕 x 轴和 z 轴； ） a c
第三节 旋转曲面
一、. 旋转曲面 1、 定义 以一条平面曲线 绕其平面上的一 、 定义: 以一条平面曲线C绕其平面上的一 条直线旋转一周所成的曲面叫做旋 条直线旋转一周所成的曲面叫做 旋 转曲面, 这条定直线叫旋转曲面的 转曲面 轴. 曲线C称为放置曲面的母线 曲线 称为放置曲面的母线 称为放置曲面的 纬线
即
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) = 0 绕z 轴旋
转一周的旋转曲面方程 转一周的旋转曲面方程. 旋转曲面方程
几种常见的二次曲面
2020年5月13日星期三
21
(0,0,0) y
2、 双曲抛物面（马鞍面）
x2 y2 a2 b2 z
z
o
x
y
z xy 也是双曲抛物面。
2020年5月13日星期三
22
八、一般的二次曲面
在研究一般的二次曲面时，要利用坐标变换将其方程变为标准方程。 1、坐标系的平移
k0 k0 k0
z
xo
y
2020年5月13日星期三
19
2、双叶双曲面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
z y
0
或者
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
xzΒιβλιοθήκη o xy当 a=c 时为旋转双叶双曲面。
2020年5月13日星期三
20
七、抛物面
1、 椭圆抛物面
x2 a2
y2 b2
z
z
x
x y z a b
旋转单叶双曲面
x2 y2 z2 a2 b2 1
旋转双叶双曲面
14
例5
x2 y2 z2 1 是怎样形成的？
4 94
解：是由
x y xoy :
绕 y 轴转成
或 yoz : z2 y2 1 绕 y 轴转成 49
z
思考：方程 表示怎样的曲面？
x2
y2
R2
z
1、怎样形成？ 2、什么曲面？
解： 母线平行于 y 轴，准线为 xoz 面上的曲线（抛物线） 的抛物柱面。
x z
2020年5月13日星期三
5
G(x, z)
z
x z
xo
y
3）一般地，只含 y, z 而缺 x 的方程 H(y, z)=0在空间直角坐标系中表 示母线平行于 x 轴的柱面，其准线为 yoz 面上的曲线
4.1,4.2柱面和锥面
(6) 直线的射影式方程
X X z ( x0 z0 ) 表示的平面平行于oy轴 Z Z 在直角坐标系下又垂直 与坐标面xoz Y Y 方程 y z ( y0 z0 ) 表示的平面平行于ox轴 Z Z 在直角坐标系下又垂直 与坐标面 yoz
直线向坐标面所引的射影平面
x y a ① 例 画出 C : 2 2 x y 2 z 2 2a 2 ②
首先证: 以原点为顶点的锥面方程是 x , y , z 的齐次方程. 设锥面的准线为 C
D0
z
推论 关于 x x0 , y y0 , z z0 的齐次方程表示顶点在 ( x0 , y0 , z0 )的锥面.
F ( x, y, z ) 0 C : Ax By Cz D 0 O M ( x, y, z ) x y z 1 x1 y1 z1 t F ( x1 , y1 , z1 ) 0
为所求柱面方程
4 x 2z y 2 2 x z 5 5
2
M0 ( x0 , y0 , z0 )
C
l 考虑方程 F ( x , y ) 0 在 x y 平面上 它一般表示一条曲线C.
z
M ( x, y, z )
在空间直角坐标系中,以C为准线, 作母线平行于z轴的柱面Σ. 空间中任一点 M ( x , y , z ) M 在 x y平面上的投影为M1 ( x , y ,0)
三元方程中,如果不含z: F ( x , y ) 0 则它一定表示一个 母线平行于z轴的柱面. 反之,任何一个母线平行于z 轴的柱面, 它的方程中 一定不含z.
z
o x
y
证 设Σ是一个母线平行于z轴的柱面,
柱面锥面二次曲线
(a
x2 1 h2
y2
c2 )2 (b 1 h2
zh
1 c2 )2
无论h取何值，此方程组总表示在平面: z h
上的椭圆，它的两半轴为：a 1 h2 c2 与b 1 h2 c2
此时椭圆的两轴端点（± a 1 h2 c2 ，0， h）与
（0， ±b 1 h2 c2 ， h）分别在两条主截线（双
曲线）上，且所在平面与腰椭圆平行.
所表示的曲面，叫做单叶双曲面, 做单叶双曲面的标准方程.
此方程叫
方程
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
与
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
表示的曲面也是单叶双曲面.
二、性质
1. 对称性
x2 y2 z2 1(a,b, c 0) a2 b2 c2
中心 ：坐标原点（1个）;
主轴 ：x轴、y轴和z轴（3条）;
§4.1 柱面
定义4.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动 的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线叫
柱面的准线，
母线
动直线叫柱面
的母线.
观察柱面的形
成过程:
准
线
柱面举例：
z
M(x, y, z)
M1( x, y,0)
z
•
• x2 2y
平面
o
y
o
y
x
抛物柱面 x
y x
抛物柱面方程：
x2 2y
平面方程：
相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面形状的截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
柱面锥面旋转曲面与二次曲面
第10页/共31页
例1、柱面的准线方程为
x2 y 2 z 2 1 2x2 2 y 2 z 2 2
而母线的方向数为-1，0，1，求这柱面的方程。
例2 已知圆柱面的轴为
x y 1 z 1 1 2 2
点 （M11，-2，1）在此圆柱面上，求这个圆柱面
的方程
第11页/共31页
例3 柱面的准线是xoy平面的圆周(中心在原点，半径 为1),母线平行于直线l：x y z,求此柱面方程。
重点难点：柱面方程的求法.
空间曲线在坐标面上投影
第6页/共31页
一. 概念
z
引例. 分析方程
表示怎样的曲面 .
解:在 xoy 面上， 在圆C上任取一点
平行 z 轴的直线 l ,
M
表示圆C,
M1(x, y,0) , 过此点作
Co
M1
y
x
z 对任意 , 点M (x, y, z)
l
的坐标也满足方程
x2 y2 R2
例1: 方程 y2 =2x 表示.母线平行于 z 轴的柱面,
它的准线是xoy面上的抛物线y2 =2x,
该柱面叫做抛物柱面.
z
y
y2 =2x
o
x
第13页/共31页
例2: 方程 xy = 0表示.
母线平行于 z 轴的柱面, 它的准线是xoy面上的直线xy = 0, 所以它是过z轴 的平面.
z
o
y
xy = 0
解: 联立两个方程消去 z ,得
2x2 4( y1)2 1 2
这是母线平行于z 轴的椭圆柱面,两球面的交线C在xOy面上的投影 曲线方程为
2 x 2 4 ( y 1 ) 2 1
2
柱面的方程
M1
C
代人椭圆方程，整理得锥 x2 y 2 z 2 面方程： 2 2 2 0。 a b c
0
x
y
17
例2
例 2：已知圆锥面的顶点为A (1, 2,3)，轴垂直于平面 2x 2y z 1 0，母线与轴组成 30的夹角，求圆锥面的方程。
解1: 设M ( x, y, z)为任一母线上的点,则过M 的母线的方向为
解析几何
第四章 柱面锥面旋转曲面与二次曲面
§4.1 柱面
§4.2 锥面 §4.3 旋转曲面 §4.4 椭球面 §4.5 双曲面 §4.6 抛物面 §4.7 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线
1
第四章 柱面 锥面 旋转曲面 及二次曲面 教学安排说明
教学时数： 14课时 本章教学目标及要求：1.掌握球面、空间圆等特殊曲面、曲 线的方程及求法； 2.熟悉母线平行于坐标轴的柱面、顶点在某一 点的锥面和特殊的旋转面的方程,并能从方程判断曲面的形状； 3.能识别椭球面、双曲面、抛物面、单叶双曲面、双曲抛物面的 几何特征及方程，并能从方程中判断曲面的形状。 本章教学重点：1. 常见二次曲面的定义及标准方程； 2. 坐标面上曲线绕坐标轴旋转， 所产生的旋转曲面的方程及求法。 本章教学难点： 1.锥面方程的特征及其论证；2. 单叶双曲面的 几何性质及分析； 3. 二次曲面的直纹性及相关证明。
2 2 2
M1
过点M1且垂直于轴的平面方程为：
M0
x2 y 2 z 3 0； 它们的交线即柱面 x 2 ( y 1)2 ( z 1)2 14 的准线方程： ,轴线的方向就是 x 2 y 2z 3 0 柱面的方向，再按例1的解法即可求出柱面的方程。
7
解法2
特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面知识讲解
特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面引言空间解析几何所研究的曲面主要是二次曲面。
但是也可以研究一些非二次特殊曲面。
本论文中将利用直线或曲线适合某几何特征来建立一些曲面的方程。
主要讨论由直线产生的柱面和锥面，曲线产生的旋转曲面这三大类。
1.柱面定义1：一直线平行于一个定方向且与一条定曲线Γ相交而移动时所产生的曲面叫做柱面（图1），曲线Γ作叫做准线。
构成柱面的每一条直线叫做母线。
显然，柱面的准线不是唯一的，任何一条与柱面所有母线都相交的曲线都可以取做柱面的准线，通常取一条平面曲线作为准线。
特别地，若取准线Γ为一条直线，则柱面为一平面，可见平面是柱面的特例。
下面分几种情形讨论柱面的方程。
1.1 母线平行于坐标轴的柱面方程选取合适的坐标系，研究对象的方程可以大为化简。
设柱面的母线平行于z 轴，准线为Oxy 面上的一条曲线，其方程为：(),00f x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩图1u v又设(),,P x y z 为柱面上一动点（图2），则过点P 与z 轴平行的直线是柱面的一条母线，该母线与准线Γ的交点记为(),,0M x y ，因点M 在准线上，故其坐标应满足准线方程，这表明柱面上任一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y =反过来，若一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y =，过P 作z 轴的平行线交Oxy 面于点M ，则点M 的坐标(),,0x y 满足准线Γ的方程(),0,0f x y z ==，这表明点M 在准线Γ上，因此直线MP 是柱面的母线 (因为直线MP 的方向向量为{}{}0,0,||0,0,1z )，所以点P 在柱面上。
综上所述，我们有如下结论：母线平行上于z 轴，且与Oxy 面的交线为(),0,0f x y z ==的柱面方程为：(),0f x y = （1）它表示一个无限柱面。
若加上限制条件a z b ≤≤，变得它的一平截段面。
同理，母线平行于x 轴，且与Oyz 面的交线为(),0,0g y z x ==的柱面方程为(),0g y z =；母线平行于y 轴，且与Ozx 面的交线为(),0,0h x z y ==的柱面方程为(),0h x z =。
解析几何课4旋转面等
o
x
.
z
上一页
下一页
返回
5环面 圆 （x R) 2 y 2 r 2 ( R r 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 y
生活中见过这个曲面吗？
o
x
.
z
环面方程
上一页 下一页
( x 2 z 2 R) 2 . y 2 r 2
.
或 ( x 2 y 2 z 2 R 2 r 2 ) 2 4R 2 ( x 2 z 2 )
y
绕 y 轴一周
o
.
a
x
z
上一页
下一页
返回
2 单叶旋转双曲面
上题双曲线
x2 y2 2 2 1 b a z 0
y
绕 y 轴一周
得单叶旋转双曲面
.
.
o
x2 z2 y2 2 1 2 a b
z
a
x
.
上一页
下一页
返回
3 旋转锥面 两条相交直线
x2 y2 2 2 =0 a b z = 0
x
x
上一页
下一页
返回
y z 2 1 2 （2）yOz 面上椭圆 a c
绕 y 轴和 z 轴；
2
2
z
绕 y 轴旋转
y
2
旋 转 椭 球 面
y x z 1 2 2 a c
2 2
x z
绕 z 轴旋转
上一页
下一页
x y z 2 1 2 a c
4.1柱面
第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§4.1 柱面教学目的：1.理解柱面的定义；2.掌握求柱面方程的步骤，会求柱面的方程。
教学重点：柱面的定义；求柱面方程的步骤；会求柱面的方程教学难点：会求柱面的方程课时安排：1课时教学方法：教授法教学过程：一、柱面的定义定义4.1.1在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫做柱面.定方向叫柱面的方向，定曲线叫柱面的准线，平行直线族中的每一条都叫柱面的母线.注：一个柱面的准线不惟一。
二、柱面的方程设在给定的坐标系下，柱面S 的准线为⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x F z y x F(1)母线的方向数为X ，Y ，Z .求柱面方程的步骤： 1.写出母线方程若M 1(x 1，y 1，z 1) 为准线上任一点，则过M 1的母线方程为Z z z Y y y X x x 111-=-=- (2)2.写出关于参数x 1，y 1，z 1且、的约束条件（方程） 0),,(0),,(11121111==z y x ，F z y x F (3)3.消参从（2）与（3）两组等式中消去参数x 1，y 1，z 1，最后得一个三元方程F (x ，y ，z ) = 0就是以（1）为准线，以{X ，Y ，Z }为方向的柱面的方程.这里需要特别强调的是，消去参数的几何意义，就是让点M 1遍历准线上的所有位置，就是让动直线（1）“扫”出符合要求的柱面. 三、典型例题例1 已知一个柱面的准线方程为2222221222x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩，其母线的方向数是－1，0，1，求该柱面的方程.解 设M 1(x 1，y 1，z 1)是准线上的点，过M 1(x 1，y 1，z 1)的母线为111101x x y y z z ---==- (1)且有2221111x y z ++= (2) 222122222x y z ++= (3)由(1)得 111,,x x t y y z z t =+==- (4)将(4)代入(2)和(3)得222()()1x t y z t +++-= (5) 2222()2()2x t y z t +++-= (6)由（5）和（6）得2()0,z t t z -== (7) 将（7）代入（5）（或（6））得所求柱面方程为22()1x z y ++= 即222210x y z xz +++-=. 例2 已知圆柱面的轴为11122x y z -+==--，点M 1(1，－2，1)在此柱面上，求这个圆柱面的方程.解法一：因圆柱面的母线平行于其轴，故母线的方向数为1，－2，－2，若能求得圆柱面的准线圆，则用例1的方法即可解题.空间的圆总可看成某一球面与某一平面的交线，圆柱面的准线圆可看成以轴上的点M 0(0，1，－1)为中心，14||10==M M d 为半径的球面222(1)(1)14x y z +-++=与过已知点M 1(1，－2，1) 且垂直于轴的平面2230x y z ---=的交线，即准线圆方程为：222(1)(1)142230x y z x y z ⎧+-++=⎨---=⎩设111(,,)x y z 为上的任意点，则过111(,,)x y z 的母线为111122x x y y z z ---==--且有222111(1)(1)14x y z +-++= 1112230x y z ---=消去参数x 1，y 1，z 1，得所求圆柱面的方程为2228554481818990x y z xy xz yz y z ++-+--+-=.解法二：因轴的方向向量为v = {1，－2，－2}，轴上的定点为M 0(0，1，－1)，M 1(1，－2，1)是S 上的定点，点M 1到轴的距离10v M M d v⨯={1,2,2}{1,3,1}{1,2,2}--⨯-==--.设M (x ，y ，z ) 是圆柱面上任意一点，则M 到轴l 的距离为3117，即31173|}2,2,1{}1,1,{|||||0=--⨯+-=⨯z y x M v v化简整理就得S 的方程为0991818844558222=-+--+-++z y yz xz xy z y x四、思考证明方程222210x y z xz +++-=表示的曲面是柱面。
曲面及其方程 柱面、锥面、旋转曲面
机动
目录
上页
下页
返回
结束
二、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线. 观察柱面的形 成过程:
播放
机动
目录
上页
下页
返回
结束
考察方程 F(x,y)=0 F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面
(不含z)
z
0 2
过原点和椭圆上任一点的直线的方向向量为 v {a cos , b sin , c }
机动
目录
上页
下页
返回
结束
过原点和椭圆上任一点的直线族方程为：
x0 y0 z0 t a cos b sin c
即
x (a cos )t y (b sin )t z ct
y
x G ( y , z ) 0 准线 是 yoz 面上的曲线 z x 0 方程 H ( z , x ) 0 表示 柱面， l3 母线 平行于 y 轴; H ( z, x) 0 x 准线是 xoz 面上的曲线 y 0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
y
椭圆柱面
第六节
第七章
曲面及其方程
一、基本概念 二、柱面、锥面、旋转曲面 三、二次曲面
机动
目录
上页
下页
返回
结束
一、基本内容
曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程 F ( x , y , z ) 0 有下述关系：
(1) 曲面S 上任一点的坐标都满足方程；
(2) 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程 F ( x , y , z ) 0 就叫做曲面 S 的 方程，而曲面 S 就叫做方程的图形.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第四章柱面·锥面·旋转曲面与二次曲线教学目的:1.掌握消去参数法，能运用此法熟练地求出一般柱面、锥面、旋转曲面的方程.2.能识别母线平行于坐标轴的柱面方程,顶点在坐标原点的锥面方程,旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程.掌握求这些特殊位置的特殊曲面方程的方法,并能识别曲面的大致形状.3.掌握平行截线法,能运用此法讨论二次曲面的方程,认识曲面的形状.4.掌握椭球面、双曲面与抛物面的标准方程与主要性质.5.了解单叶双曲面与双曲抛物面的直纹性,并能掌握求直母线的方法.6.能根据给定条件,较准确地作出空间区域的简图.重点难点:1.柱面、锥面、旋转曲面的定义和一般方程的求法是重点,寻找柱面、锥面、旋转曲面的准线是难点.2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程、性质与形状是重点,一般二次曲面方程的灵活多样是难点.3.二次直纹面的性质及直母线方程求法是重点,证明单叶双曲面与双曲抛物面的一些性质难点.4.空间区域的作图是重点,其中在作空间区域时,分析并作出几个曲面的交线是难点.§4.1柱面一.柱面的定义空间中由平行于定方向且与定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫柱面.柱面的方向:定方向;准线:定曲线;母线:一族平行线中的每一条直线.柱面由其准线和定方向唯一确定,但对于一柱面,准线不唯一.二.柱面的方程在空间直角坐标系下,柱面准线Γ方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x F z y x F(1)母线的方向数X,Y,Z.即 {}Z Y X v ,,=(2)任取柱面准线Γ上一点),,(1111z y x M 则过此点的母线方程为Zz z Y y y X x x 111-=-=- 且有0),,(1111=z y x F ,0),,(1112=z y x F .从而消去参数111,,z y x 最后得到一个三元方程0),,(=z y x F ，这就是以⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x F z y x F 为准线, 母线的方向数X,Y,Z 的柱面方程.三.例题讲解例1.柱面的准线方程为⎪⎩⎪⎨⎧=++=++2221222222z y x z y x 母线的方向数为－1,0,1.求这柱面的方程.解 设),,(1111z y x M 是准线上的点,那么过),,(1111z y x M 的母线为101111z z y y x x -=-=--, 且 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++2221212121212121z y x z y x (1) 设t z z y y x x =-=-=--101111,那么 ,1t x x +=y y =1,t z z -=1, 代入(1)得⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=-+++2)(2)(21)()(222222t z y t x t z y t x 可得 0)(2=-t z ,即 z t = 求得柱面方程为 1)(22=++y t x . 例 2. 已知圆柱面的轴为 21211-+=--=z y x ,点(－1,－2,1)在此圆柱上, 求这柱面的方程.解法一 因为圆柱面的母线平行于其轴,所以母线的方向数即为轴的方向数－1,－2,－2.若能求出圆柱面的准线圆,问题即解决了.空间的圆总可以看成是某一球面与一平面的交线, 此圆柱面的准线圆可以看成是以轴上的点(0,－1,－1)为中心, 点(0,－1,－1)到已知点(－1,－2,1)的距离14=d 为半径的球面14)1()1(222=++-+z y x 与过知点(－1,－2,1)且垂直于轴的平面0322=---z y x 的交线,即准线圆的方程为⎩⎨⎧=---=-+-+032214)1()1(222z y x z y x设),,(111z y x 为准线圆上的点,那么14)1()1(212121=++-+z y x ,0322111=---z y x 且过的),,(111z y x 母线为221111--=--=-z z y y x x .消去参数111,,z y x 即得所求的圆柱面方程 0991818844558222=-+--++++z y yz xz xy z y x .解法二 将圆柱面看成是动点到轴线等距离的点的轨迹,这里的距离就是圆柱面的半径.轴的方向矢量为{}2,2,1--=v ,轴上的定点为)1,1,0(0-M ,而圆柱面上的点为)1,2,1(1-M ,所以{}2,3,110-=M M ,因此)1,2,1(1-M 到轴的距离为3117==d 再设),,(z y x M 为圆柱上任意点,那么有3117==d 即 3117)2()2(1211121221122222=-+-+--+-++--+-y x x x z y 化简整理得 0991818844558222=-+--++++z y yz xz xy z y x .定理4.1.1 在空间直角坐标系中，只含两个元（坐标）的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元(坐标)的同名坐标轴。
(即证方程0),(=y x F （11）表示的曲面是一个柱面，而且它的母线平行与z 轴)证 取曲面（11）与xOy 坐标面的交线⎩⎨⎧==00),(z y x F （12）为准线，z轴的方向0：0：1为母线方向，来建立这样的柱面方程。
设)0,,(111y x M 为准线(12)上的任意一点，那么过1M 的母线为10011zy y x x =-=-，即 ⎩⎨⎧==11y y x x （13） 又因为)0,,(111y x M 在准线（12）上，所以有0),(11=y x F （14） （13）代入（14）消去参数11,y x ，就得所求的柱面方程为0),(=y x F ，这就是方程（11），所以方程（11）就是一个母线平行于z 轴的柱面。
常见柱面方程(1) 椭圆柱面 )0(12222>>=+b a by a x(2) 圆柱面 222R y x =+(3) 双曲柱面 )0,(12222>=-b a by a x(4) 抛物柱面 px y 22=空间曲线的射影柱面通过空间曲线L 作柱面,使其母线平行于坐标轴Oz Oy Ox 或,,轴,设这样的柱面方程分别为 0),(1=z y F ,0),(2=z x F ,0),(3=y x F 这三个柱面分别叫曲线L 对xOy xOz yOz 与,坐标面的射影柱面.作业 4,3,2,1147P§4.2 锥 面一.锥面定义空间中由通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫锥面. 锥面的顶点:定点;母线:一族直线;准线:定曲线. 二.锥面的方程空间直角坐标系下,顶点为),,(000z y x A ,准线方程Γ:⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x F z y x F任取准线上一点),,(1111z y x M ,则过此点的母线方程为10010010z z z z y y y y x x x x --=--=-- 且0),,(1111=z y x F ,0),,(1112=z y x F .从而消去参数111,,z y x 最后得到一个三元方程0),,(=z y x F 这就是以⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x F z y x F 为准线,),,(000z y x A 为顶点的锥面方程.例1、 锥面的顶点在原点，且准线为⎝⎛==+c z b y a x 12222，求锥面的方程。
解 设),,(1111z y x M 为准线上的任意一点，那么过),,(1111z y x M 的母线为111z zy y x x ==， （1） 且有12222=+by a x （2）c z =1 （3）由（1）（3）的zyc y z x cx ==11, （7） （7）代入（5）得所求的锥面方程为122222222=+z b y c z a x c ，或把它改写为0222222=-+cz b y a x ，这个锥面叫做二次锥面。
二. 锥面与齐次方程定理4.2.1 一个关于x,y,z 的齐次方程总表示顶点在原点的锥面.证 设有关于关于x,y,z 的齐次方程0),,(=z y x F ,那么根据齐次方程的定义有),,(),,(z y x F t tz ty tx F λ=所以 .0)0,0,0(0==F t 有时，当曲面过原点.再设非原点),,(0000z y x M 满足方程,即有0),,(000=z y x F 那么直线0OM 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧===tz z t y y tx x 000 代入0),,(=z y x F ,即有0),,(),,(000000==z y x F t tz ty tx F λ.所以整条直线都在曲面上,因此曲面0),,(=z y x F 是由通过坐标原点的直线组成,即他是以原点为顶点的锥面.虚锥面 0222=++z y x推论 关于000,,z z y y x x ---的齐次方程表示顶点在),,(000z y x 的锥面. 作业 5,4,2,1151P§4.3 旋 转 曲 面一.旋转曲面的定义空间一条曲线Γ绕着定直线l 旋转一周所产生的曲面叫旋转曲面(回旋曲面) 母线: 曲线Γ;旋转轴(轴): 定直线l .纬线: 旋转曲面母线上任一点在旋转时所形成的一个圆,称之为线圆(纬线).经线: 以轴l 为界的每个半平面与曲面交成一条曲线,称为经线.(平面曲线) 二.旋转曲面的方程 1.一般情形下的曲面方程空间直角坐标系下,旋转曲面母线方程 Γ:⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x F z y x F轴l :Zz z Y y y X x x 000-=-=- 任取母线上一点),,(1111z y x M ,则过此点的线圆方程为:⎩⎨⎧=-+-+--+-+-=-+-+-0)()()()()()()()()(111201201201202020z z Z y y Y x x X z z y y x x z z y y x x且有0),,(1111=z y x F ,0),,(1112=z y x F .消去参数111,,z y x 最后得到一个三元方程0),,(=z y x F ,此即为以Γ为准线, l 为轴的旋转曲面的方程.例1 求直线112-==z y x 绕直线z y x ==旋转所得的旋转曲面的方程. 解 设),,(1111z y x M 是母线上的任意点,因为旋转轴通过原点,所以过1M 的纬圆方程是⎩⎨⎧++=++=-+-+-2121212221110)()()(z y x z y x z z y y x x 由于),,(1111z y x M 是母线上的点,所以又有112111-==z y x ,即1,2111==z y x .消去参数111,,z y x 最后得到旋转曲面方程为 07)()(5)(2222=-+++++-++z y x yz xz xy z y x2.以坐标面上的曲线为准线、坐标轴为轴的旋转曲面的方程旋转曲面的经线可作为母线,通常把母线所在平面取作坐标面而旋转轴取作坐标轴,此时旋转曲面的方程具有特殊的形式.设旋转曲面的母线为Γ:⎩⎨⎧==0),(x z y F ,旋转轴为y 轴, 010z y x ==若),,0(111z y M 为母线Γ上的任意点,那么过1M 的纬圆为⎩⎨⎧+=++=-212122210z y z y x y y ,且有 0),(11=z y F ,消去参数11,z y 得所求的旋转曲面的方程为0),(22=+±z x y F .同样若将曲线Γ绕z 轴旋转所得的旋转曲面的方程是0),(22=+±z y x F . 因此,当坐标轴上的曲线Γ绕此坐标平面里的一个坐标轴旋转时,为了求出这样的旋转曲面的方程,只要将曲线Γ在坐标面里的方程保留和旋转轴同名的坐标,而以其它两个坐标平方和的分方根来代替方程中的另一根.例 2 将椭圆Γ:⎪⎩⎪⎨⎧=>=+0)(02222z b a b y a x 分别绕长轴(x 轴)与短轴(y 轴)旋转,求所得旋转曲面的方程.解 旋转轴是x 轴,同名坐标是x ,在方程)(02222b a by a x >=+中保留坐标x 不变,用22y x +±代y ,便得到椭圆绕其长轴旋转的曲面方程为1222222=++bz b y a x .同样将椭圆绕其短轴旋转的曲面方程为1222222=++az b y a x .上述二曲面分别叫长形旋转椭球面,扁形旋转椭球面.例 3 将双曲线Γ: ⎪⎩⎪⎨⎧==-012222x c y b x 绕虚轴(z 轴)旋转的旋转曲面方程为 1222222=-+c z b y b x ; 绕实轴(y 轴)旋转的旋转曲面方程为1222222=--c z c y b x .分别称为单叶旋转双曲面与双叶旋转双曲面.例4 将抛物线Γ: ⎩⎨⎧==022x pxy 绕它的对称轴旋转的旋转曲面方程为px y x 222=+ 称之为旋转抛物面.例5 将圆 Γ:⎩⎨⎧=>>=+-0)0()(222x a b a z b y 绕z 轴旋转,求所得旋转曲面的方程.解 绕z 轴旋转,所以在方程222)(a z b y =+-中保留z 不变,而y 用22y x +±代替就得到旋转曲面方程22222)(a z b y x =+-+±, 或)(4)(222222222y x b a b z y x +=-+++ 作业 2,1158P§4.4 椭 球 面定义4.4.1: 在直角坐标系下,由方程 1222222=++cz b y a x (1) 所表示的曲面叫椭球面,或称椭圆面.方程称为椭球面的标准方程,其中a,b,c(a ＞b ＞c)为任意的正常数.一.椭球面性质1.当(x,y,z)满足方程时,),,(z y x ±±±也一定满足.椭球面关于三坐标平面,三坐标轴,坐标原点都对称.2.椭球面的对称平面,对称轴与对称中心分别叫它的主平面,主轴与中心.3.椭球面与它的三对对称轴即坐标轴的交点分别为)0,0,(a ±,)0,,0(b ±,),0,0(c ±,这六个点叫做椭球面的顶点.4.同一对称轴上的两顶点间的线段以及它们的长度2a,2b,2c 叫椭球面的轴.半轴,长(半)轴,中(半)轴,短(半)轴.5.任何两轴相等的椭球面一定是旋转椭球面,而三轴相等的椭球面就是球面.椭球面三轴不相等时,叫三轴椭球面.6.椭球面上任何一点的坐标总有(x,y,z),c z b y a x ≤≤≤,,,因此椭球面完全被封闭在一个长方体的内部.二.平行截线割法平行截割法是讨论二次曲面的基本方法,为了弄清楚曲面的大致形状,进而推出其性质,通常把曲面作为点的轨迹来研究,而分析其与一组平行平面的交线(截口)的形状与性质.1. 平行截割法:利用平行平面的截口来研究曲面图形的方法.2. 对曲面方程的讨论,一般分以下几项:(1)对称性 (2)顶点(对称轴与曲面的交点) (3)存在范围(4)主截线(曲面与坐标轴的交线) (5)平截线(曲面与平行平面的交线)3. 主截线: ⎪⎩⎪⎨⎧==+012222z b y a x (1),⎪⎩⎪⎨⎧==+012222y c z a x (2), ⎪⎩⎪⎨⎧==+012222x c z by (3) (椭球面的主椭圆)4. 平截线: 不妨设一组平行于xOy 坐标面的平行平面z ＝h 来截割椭球面,得截口: ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+h z c h b y a x 2222221.当c h >时,无图形; 当c h =时,表示一个点(0,0,c); 当c h <时,代表一个椭圆:两轴的端点分别为 (h c h a ,0,122-±)与),1,0(22h ch b -±.它们分别在主椭圆(2)和(3)上.综上:椭球面可视为由一个大小和位置都可改变的椭圆变动而产生的,它在变动过程中保持所在平面与xOy 坐标面平行,且两轴的端点分别在另外两定椭圆(2)和(3)上滑动.椭圆有时也用参数方程表示:)200,,(cos sin sin cos sin πϕπθϕθθϕθϕθ≤≤≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===，为参数c z b y a x例 已知椭球面的轴与坐标轴重合，且通过椭圆,116922=+y x 0=z 与点)23,2,1(M ，求这个椭球面的方程。