2007年上海市中学生数学知识应用竞赛
2007年上海市中学生数学知识应用竞赛夏令营试题(2007.7)
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2007年上海市中学生数学知识应用竞赛夏令营试题（2007.7）
某中学图书馆准备添置一些新书。
为了满足广大学生的需求，图书馆对具有代表性的300位同学进行了调查。
要求被调查的学生在科技图书、中国小说、外国文学、教辅读物等十大类书籍中选出自己的最喜欢的三种并排出顺序。
（调查结果见附件）
假定这十种图书每册的平均价格为（元/册）
请你帮图书馆出个主意，应该按照怎样的比例添置新书。
这里，既要考虑经费、图书馆藏书量等因素，又要尽最大可能满足学生希望。
全国初中数学竞赛试题及答案(2007年)
2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为D C B A ,,,的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1. 已知z y x ,,满足x z z y x +=-=532，则z y y x 25+-的值为 （ ）（A ）1. （B ）31. （C ）31-. （D ）21. 【答】B.解 由x z z y x +=-=532得x z x y 23,3==，所以31333525=+-=+-x x x x z y y x ，故选（B ）.注：本题也可用特殊值法来判断.2．当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算代数式2211x x +-的值，将所得的结果相加，其和等于 （ ）（A ）－1. （B ）1. （C ）0. （D ）2007.【答】C.解 因为=+-++-222211)1(1)1(1n n n n 011112222=+-++-n n n n ，即当x 分别取值n 1，n n (为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0；而当1=x 时，0111122=+-.因此，当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算所得各代数式的值之和为0.故选（C ）. 3. 设c b a ,,是△ABC 的三边长，二次函数2)2(2b a cx x ba y ----=在1=x 时取最小值b 58-，则△ABC 是 （ ）（A ）等腰三角形. （B ）锐角三角形. （C ）钝角三角形. （D ）直角三角形.【答】D.解 由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=---,5822,1)2(2b b a c b a b a c 即⎪⎩⎪⎨⎧==+,53,2b c a c b 所以b c 53=，b a 54=，因此222b c a =+，所以△ABC 是直角三角形. 故选（D ）. 4. 已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（ ）（A ）30°. （B ）45°. （C ）60°. （D ）75°. 【答】C.解 锐角△ABC 的垂心在三角形内部，如图，设△ABC 的外心为O ，D 为BC 的中点，BO 的延长线交⊙O 于点E ，连CE 、AE ，则CE //AH ，AE //CH ，则OD CE AH OB 2===，所以∠OBD ＝30°，∠BOD ＝60°，所以∠A ＝∠BOD ＝60°.故选（C ）.5．设K 是△ABC 内任意一点，△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心分别为D 、E 、F，则ABC DEF S S △△:的值为 （ ）（A ）91. （B ）92. （C ）94. （D ）32. 【答】A.解 分别延长KD 、KE 、KF ，与△ABC 的三边AB 、BC 、CA 交于点M 、N 、P ，由于D 、E 、F 分别为△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心，易知M 、N 、P 分别为AB 、BC 、CA 的中点，所以ABC MNP S S △△41=.易证△DEF ∽△M N P ，且相似比为3:2，所以MNP DEF S S △△2)32(=ABC S △4194⋅=ABC S △91=. 所以:DEF S △19ABC S =△.故选（A ）. 6．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是 （ ）（A ）101. （B ）51. （C ）103. （D ）52. 【答】B.解 设摸出的15个球中有x 个红球、y 个黑球、z 个白球，则z y x ,,都是正整数，且7,6,5≤≤≤z y x ，15=++z y x .因为13≤+z y ，所以x 可取值2，3，4，5.当2=x 时，只有一种可能，即7,6==z y ；当3=x 时，12=+z y ，有2种可能，7,5==z y 或6,6==z y ；当4=x 时，11=+z y ，有3种可能，7,4==z y 或6,5==z y 或5,6==z y ；当5=x 时，10=+z y ，有4种可能，7,3==z y 或6,4==z y 或5,5==z y 或4,6==z y .因此，共有1＋2＋3＋4＝10种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种，所以所求的概率为51102=.故选（B ）. 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1. 设121-=x ，a 是x 的小数部分，b 是x -的小数部分，则=++ab b a 333____1___.解 ∵12121+=-=x ，而3122<+<，∴122-=-=x a . 又∵12--=-x ，而2123-<--<-，∴22)3(-=---=x b .∴1=+b a ，∴=++ab b a 333=++-+ab b ab a b a 3))((221)(3222=+=++-b a ab b ab a . 2. 对于一切不小于2的自然数n ，关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两个根记作n n b a ,（2≥n ），则)2)(2(122--b a )2)(2(133--+b a +)2)(2(120072007--+b a =.10034016- 解 由根与系数的关系得2+=+n b a n n ，22n n a b n ⋅=-，所以=--)2)(2(n n b a (2-n n b a 4)++n n b a 222(2)42(1)n n n n =--++=-+， 则11111()(2)(2)2(1)21n n a b n n n n =-=----++， )2)(2(122--b a )2)(2(133--+b a +)2)(2(120072007--+b a ＝11111111111003()()()()22334200720082220084016⎡⎤--+-++-=--=-⎢⎥⎣⎦. 3. 已知直角梯形ABCD 的四条边长分别为6,10,2====AD CD BC AB ，过B 、D 两点作圆,与BA 的延长线交于点E ，与CB 的延长线交于点F ，则BF BE -的值为____4_____.解 延长CD 交⊙O 于点G ，设DG BE ,的中点分别为点N M ,，则易知DN AM =.因为10==CD BC ，由割线定理，易证DG BF =，所以42)(2)(2==-=-=-=-AB AM BM DN BM DG BE BF BE .4． 若64100+a 和64201+a 均为四位数，且均为完全平方数，则整数a 的值是___17____.AB CD E F G M N解 设264100m a =+，264201n a =+，则100,32<≤n m ，两式相减得 ))((10122m n m n m n a -+=-=，因为101是质数，且101101<-<-m n ，所以101=+m n ，故1012-=-=n m n a .代入264201n a =+，整理得020*******=+-n n ，解得59=n ，或343=n （舍去）.所以171012=-=n a .第二试 （A ）一、 （本题满分20分）设n m ,为正整数，且2≠m ，如果对一切实数t ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离不小于2t n +，求n m ,的值.解 因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为3mt +.由题意，32mt t n+≥+，即22(3)(2)mt t n +≥+，即222(4)(64)90m t m n t n -+-+-≥. 由题意知，042≠-m ，且上式对一切实数t 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2mn m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m 或⎩⎨⎧==.1,6n m 二、（本题满分25分）如图，四边形ABCD 是梯形，点E 是上底边AD 上一点，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线交CD 的延长线于点M ，BM 与AD 交于点N .证明：∠AFN =∠DME . 证明 设MN 与EF 交于点P ，∵NE //BC ，∴△PNE ∽△PBC ，∴PC PE PB PN =, ∴PC PN PE PB ⋅=⋅.又∵ME //BF ，∴△PME ∽△PBF ，∴PF PE PB PM =, ∴PF PM PE PB ⋅=⋅.∴PF PM PC PN ⋅=⋅,故PFPC PN PM = 又∠FPN =∠MPE ，∴△PNF ∽△PMC ，∴∠PNF ＝∠PMC ，∴NF//MC ∴∠ANF ＝∠EDM.又∵ME//BF ，∴∠FAN ＝∠MED.∴∠ANF ＋∠FAN ＝∠EDM ＋∠MED ，∴∠AFN=∠DME.三、 （本题满分25分）已知a 是正整数，如果关于x 的方程056)38()17(23=--+++x a x a x 的根都是整数，求a 的值及方程的整数根.解 观察易知，方程有一个整数根11=x ，将方程的左边分解因式，得[]056)18()1(2=+++-x a x x因为a 是正整数，所以关于x 的方程 056)18(2=+++x a x （1）的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根.而原方程的根都是整数，所以方程（1）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即 224)18)(18(=-+++k a k a .显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以 A B D E F M N P⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a 当39=a 时，方程（1）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-.此时原方程的三个根为1，1-和56-.当12=a 时，方程（1）即056302=++x x ，它的两根分别为2-和28-.此时原方程的三个根为1，2-和28-. 第二试 （B ）一、（本题满分20分）设n m ,为正整数，且2≠m ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为1d ，二次函数nt x n t x y 2)2(2+-+-=的图象与x 轴的两个交点间的距离为2d .如果21d d ≥对一切实数t 恒成立，求n m ,的值.解 因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以31+=mt d ；一元二次方程02)2(2=+-+-nt x n t x 的两根分别为t 2和n -，所以n t d +=22.所以，21d d ≥22)2()3(23n t mt n t mt +≥+⇔+≥+⇔09)46()4(222≥-+-+-⇔n t n m t m （1）由题意知，042≠-m ，且（1）式对一切实数t 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2mn m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m 或⎩⎨⎧==.1,6n m 二、（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同. 三、（本题满分25分）设a 是正整数，二次函数a x a x y -+++=38)17(2，反比例函数xy=，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值. 解 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=,56,38)17(2x y a x a x y 消去y 得a x a x -+++38)17(2x56=，即 056)38()17(23=--+++x a x a x ，分解因式得[]056)18()1(2=+++-x a x x （1）显然11=x 是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点. 因为a 是正整数，所以关于x 的方程 056)18(2=+++x a x（2）的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根. 而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即 224)18)(18(=-+++k a k a .显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a 当39=a 时，方程（2）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-，此时两个函数的图象还有两个交点)56,1(--和)1,56(--.当12=a 时，方程（2）即056302=++x x ，它的两根分别为2-和28-，此时两个函数的图象还有两个交点)28,2(--和)2,28(--.第二试 （C ）一、（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设a 是正整数，如果二次函数a x a x y 710)232(22-+++=和反比例函数xa y 311-=的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值和对应的公共整点.解 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+++=,311,710)232(22x a y a x a x y 消去y 得a x a x 710)232(22-+++＝113a x-，即0113)710()232(223=-+-+++a x a x a x ，分解因式得 []0311)12()12(2=-+++-a x a x x （1）如果两个函数的图象有公共整点，则方程（1）必有整数根，从而关于x 的一元二次方程 0311)12(2=-+++a x a x（2）必有整数根，所以一元二次方程（2）的判别式∆应该是一个完全平方数， 而224)18(10036)311(4)12(222-+=++=--+=∆a a a a a .所以224)18(2-+a 应该是一个完全平方数，设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即224)18)(18(=-+++k a k a . 显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以 ⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a当39=a 时，方程（2）即0106512=-+x x ，它的两根分别为2和53-，易求得两个函数的图象有公共整点)53,2(-和)2,53(-.当12=a 时，方程（2）即025242=-+x x ，它的两根分别为1和25-，易求得两个函数的图象有公共整点)25,1(-和)1,25(-.。
上海市中学生历届数学知识竞赛
上海市首届“金桥杯”中学生数学知识应用竞赛(1991～1992)首届“金桥杯”中学生数学知识应用竞赛初赛于1991年10月举行．决赛于1992年3月举行．【初赛试题】初赛试题共有十五题，其中一～十题，每题满分为10分；十一～十五题，每题满分为16分．满分为180分．一、小明家前面造了一幢高层楼房，小明在自己楼房的A层测得高层楼房CD的仰角为α，俯角为β；小明又在自己楼房的B层测得高层高层楼房与小明楼房之间的距离d．二、筹建中的天然气管道网设计如图3—2所示，A，B，…，L表示压缩机站，流动主向用箭头表示，每个管道旁的数字表示管段长度．现需要求该网络从起点A到终点L的最短通道，并确定沿最优路径相应的压缩机站所处的节点．三、某厂1989年生产产值是1979年生产产值的8倍(即翻三番)，那么从1979年到1989年产值平均年增长率为多少？按这样速度发展，到了2000年的产值是1989年产值的几倍？(取整数)四、相距40公里的两个城镇A、B之间有一个圆形湖泊，它的圆心落在AB连线的中点O，半径为10公里，如图3—3所示．现要修建一条连结两城镇的公路，问应如何选择公路的路线，使公路最短，并给出证明．五、有一批1米长的合金钢材，现要截成长为23厘米和13厘米两种规格，用怎样方案截取使材料利用率为最高？并求出材料最高利用率．六、四种小商品A、B、C、D的价格分别为0.13元、0.17元、0.22元、0.35元，现在用2元钱恰好买了10件小商品，问买得小商品A、B、C、D各为多少？七、某工厂生产甲、乙两种产品，生产每一吨产品需要电力、煤、劳动力及相应产值如下表所示：该厂的劳动力满员是200人，根据限额每天用电不得超过160千度，用煤不得超过150吨．问每天生产这两种产品各几吨时，才能创造最大的经济价值？八、用两根绳子牵引重为F1＝100kg物体，两根绳子拉力分别为F2、F3，保持平衡，如图3—4所示．如果F2＝80kg，F2与F3夹角α＝135°，求F3的大小和F3与F1的夹角β值．九、在一边长为9m，一边长为16m的长方形的土地内，任意种植49颗树，试证明其中总有两颗树之间的距离不大于2.5m．十、仓库有一种堆垛方式，如图3—5所示，最高一层2盒，第二层6盒，第三层12盒，第四层20盒，第五层30盒……，当堆垛到第n层时，求出总的盒数．十一、数学竞赛给出了A、B、C三道题目，有30个学生参加，每人至少解出一道题．只解出A题的人数比其余解出A题的人数多3人；在没有解出A题的人中，解出B题人数是解出C题人数的3倍；在只解出一题的人中，解出A题的人数是没有解出A题的人数的一半，求至少解出两题的学生人数．十二、根据下列三视图(如图3—6)，画出这个立体的直观图与展开图，并求出它的体积．十三、A、B、C三个工厂，它们之间的距离为AB＝13公里、BC＝14公里、CA＝15公里，要求寻找一个供应站点H，使得它到三个工厂的距离和HA＋HB＋HC为最短，并且求出这最短距离．十四、某矿石基地A和冶炼厂B在铁路MN的两侧，A距铁路m公里，B距铁路n公里，在铁路上要建造两火车站C、D，A地矿石先用汽车由公路运到火车站C，然后用火车运输到火车站D，再用汽车运到B地，如图3—7所示，且A、B在铁路MN上投影A＇B＇距离长l公里，若汽车速度每小时u公里，火车速度每小时v公里，这里v＞u，要使运输矿石的时间最短，火车站C，D应该建立在什么地方？十五、将一个母线为2a，底面半径为a的圆锥(有底)的铁皮模型，沿着母线剪开摊平作材料做一个圆柱形罐子(有底无盖)，试问材料如何剪裁，使做出的圆柱形罐子的体积为最大？(这里圆柱侧面不能用两块材料拼接，且不考虑裁剪损耗．)【决赛试题】决赛试题共五题，其中一～三题，每题满分为32分，四、五题，每题满分为42分，总共满分为180分．一、如图3—8，有一块半径为a的圆铁皮，剪去一个圆心角α，将它卷成一个圆锥(无底)，试问：(2)求出这个圆锥的体积最大值．二、A、B、C三厂联营生产同一种产品，产品是哪个厂生产就在产品上盖上那个厂的厂名，如果产品是两个厂或三个厂联合生产，那么产品上就盖上两个厂或三个厂的厂名．今有一批产品，发现盖过A厂、B厂、C厂的厂名的产品分别为18件、24件、30件，同时盖过A、B厂，B、C厂，C、A厂的产品，分别有12件、14件，16件，问这批产品的总数最多有几件？三、某项科学实验显示：实验结果y与实验时的温度t，呈现y＝at2＋bt(a≠0)关系，由实验条件限制，温度t取值范围为｜t｜≤c(c＞0)．试问：当温度t取什么值时，实验结果y达到最小值，并求出其最小值．四、已知某工程中的重点部位计划完工期为14天，预算总费用为63000元(包括每天的管理费1000元)．若对某些工序增加一些费用的投入(如加班或技术改造等费用)，则它的完工时间可以缩短．一个工序的最短完工时间，我们称为该工序的“极限时间”．另外，如该重点部位的完工期能缩短，则相应的管理费可以节省，有关工序流程图与数据如图3—9所示．注：赶工费用率为工序每提前一天耗用的加班或技术改造等费用．试回答下列两个问题：(1)求这个重点部位工程的最低完工费用，并制定相应的施工方案(包括完工期)．(2)求这个重点部位最短完工期，并制定相应的施工方案(包括费用)．五、要对几种药品进行试验，每次选择3种药品作试验，要求这样来安排试验方案，使得任意两种药品都至少有一次被安排在同一次试验中，同时为了节省时间与费用，还要求试验次数尽可能少．我们以C(n)表示对n种药品所作符合上述要求的最少试验次数．例如：当n＝4，记所要作试验的药品为a1，a2，a3，a4，下面的分组试验方案(a1，a2，a3)，(a1，a2，a4)，(a2，a3，a4)，是符合要求的．这个方案共进行了三次试验，因此，C(4)≤3．问题：(1)证明C(4)＜3是不可能的．(2)试确定C(6)的值，并给出证明．(3)试给出C(n)的一个下界．【初赛试题解答要点与参考答案】二、最短通道：A→D→E→G→J→L．4＋3＋2＋1＋4＝14．三、(1＋x)10＝8，x＝23.11％(平均年增长率)．(1＋0.2311)21÷8＝9.48≈10．(2000年产值是1989年产值的10倍)四、过A、B在AB同侧分别作⊙O的切线AA＇、BB＇，则AA＇2)，则4×13＋2×23＝98，即截4段13厘米，2段23厘米，材料利用率为98％．六、设购买A、B、C、D商品数分别为x、y、z、w，则w只可能取0、1、2、3，相应找出z、y、x非负整数值，得到解答列表如下：七、设甲、乙产品分别生产x、y吨，则由题意得：满足上述约束条件的点在下列五条直线2x＋8y＝160，3x＋5y＝150，5x＋2y＝200，x＝0，y＝0所围成的五边形内(包括边界九、将长方形土地平分成48块相等的小长方形，每块长为2m、宽为1.5m，总有一块小长方形土地有两颗树，它的距离不大于对角线：十一、画出集合图如图3—10，只解出A题x人，只解出B题y人，只解出C题z人，解出A、B题w＋t人，解出B题、C题u＋t人，解出A 题、C题v＋t人，解出A题、B题、C题t人．根据题意可列出方程：所以 u＝5，y＝13，x＝7，z＝1．即u＋v＋w＋t＝30－x－y－z＝9(人)十二、直观图，展开图分别如图3—11，3—12．V＝(2a)3÷2＝4a3．十三、H点应取∠AHB＝∠BHC＝∠CHA＝120°时，AH＋BH＋CH为最小，由Fermat-steiner最短线定理可证得(证略)．十五、将圆锥侧面展开为半圆，半圆内裁出圆柱侧面，圆锥底改成圆柱底就可以(如图3—13所示)．【决赛试题解答要点与参考答案】二、由题意得：m(A)＝18，m(B)＝24，m(C)＝30，m(A∩B)＝12，m(B ∩C)＝14，m(C∩A)＝16．当m(A∩B∩C)≤9或m(A∩B∩C)≥13时，与题意有矛盾，所以10≤m(A∩B∩C)≤12．m(A∪B∪C)＝m(A)＋m(B)＋m(C)－m(A∩B)－m(B∩C)－m(C∩A)＋m(A∩B∩C)＝30＋m(A∩B∩C)．当m(A∩B∩C)＝12时，m(A∪B∪C)＝42(件)，故这批产品总数最多为42件．四、从工程网络列表如下：△C1＝2400－3000＝－600，△C2＝2400＋500＋1000＋2800－6000＝700．(1)最优费用方案：工序(1，3)减少3天，赶工费增加 2400，间接费用减少3000，总工期减少3天为11天完成．总费用 C＝63000＋(2400－3000)＝62400(元)．(2)最优时间方案：工序(1，3)减少3天，(3，6)，(5，6)各减少1天，(6，7)减少2天，总工期减少6天共为8天完成．总费用C＝63000＋(2400＋500 ＋ 1000＋ 2800－ 6000)＝63700(元)五、(1)设这4种药品为a1，a2，a3，a4由于每个组包含三种药品，而a1至少与a2，a3，a4相遇一次，因此至少有两个组包含a1，不妨设为｛a1a2a3｝，｛a1a2a4｝，但这里a3、a4没有相遇，因此，至少还应有一组，所以C(4)≥3．(2)设这6种药品为a1，a2，a3，a4，a5，a6，对每一个1≤i≤6，固定i，则包含a i的每次试验，正好还包含两种不同于a i的药品，而每次试验包含3种药品，因此试验总次数不小于6×3÷3＝6，即C(6)≥ 6．我们构造一个用6次试验的方案满足条件：｛a1a2a3｝，｛a1a4a5｝，｛a1a4a6｝，｛a2a3a4｝，｛a2a5a6｝，｛a3a5a6｝因此，C(6)≤6，综合之即得C(6)＝6．(3)设n种药品为a1，a2，…，a n，对任意取定a i(1≤i≤n)，则i≠j 时，a i与a j至少相遇一次，而每一个包含a i的组正好包含两个不3．2 上海市第二届“金桥杯”中学生数学知识应用竞赛(1993)上海市第二届“金桥杯”中学生数学知识应用竞赛初赛于1993年3月举行，决赛在9月举行．【初赛试题】初赛试题共有十五题，其中一～十题，每题满分为10分；十一～十五题，每题满分为16分．满分为180分．一、为测量建造中的上海东方明珠电视塔已达到的高度．小明在学校操场某一直线上选择三点A、B、C，且AB＝BC＝60米，分别在A、B、C三点观察塔的最高点，测得仰角为45°，54.2°，60°，小明身高为1.5米，试问建造中的电视塔现在已达到的高度．(结果保留一位小数)二、已知边长为a的正三角形铁皮材料，剪去三个全等的四边形，如图3—14所示，可制成无盖的正三棱柱的盒子．试问如何剪裁才能使正三棱柱的体积最大？并求出体积最大值和此时材料利用率．三、某布店的一页帐簿上沾了墨水，如下图所示：所卖呢料米数看不清楚了，但记得是卖了整数米；金额项目只看到后面三个数码7.28，但前面的三个数码看不清楚了，请您帮助查清这笔帐．四、某出口加工区总公司与下属各子公司进行信息联网，已测得各子公司A、B、C、D、E、F、G、H、J之间与总公司S联网费用如图3—15所示(单位：千元)．现拟设计一个联网优化方案，既要求各子公司之间与总公司都能连通，又要使联网费用最省，试问如何联网？费用是多少？五、在下乡劳动中，30个学生，每人拾了一篮稻穗放在田埂旁，每隔5米排成一列，不妨依次叫第1号、第2号、…、第30号，每人将篮中稻穗集中到第n号处(1≤n≤30)，放在一起，然后带着空篮走回原处，试求使大家所走路程总和最小的n值．六、一半径R＝150mm球形工件，打一斜孔如图3—16(a)所示，为了准确测量斜孔两端半径r1和r2，用两精密量球(半径R2＝100mm和R2＝80mm)以如图3—16(b)所示方式测量，测得两球外端水平距离L1＝651.40mm；再将右端量球换为半径R3＝80mm，左端量球不变仍为R2＝80mm，又测得L2＝610.17mm．(1)求r1和r2(结果保留两位小数)；(2)求小孔的斜角α的值(结果保留分)．七、A、B两个产地分别生产同一规格产品12千吨、8千吨，而D、E、F三地分别需要8千吨、6千吨、6千吨，每千吨的运价表如下：怎样确定调运方案，使总的运费为最小？八、在机械设计中，已知AB＝AC＝a，CD⊥BD，∠CAD＝θ(图3—17)，当θ为何值时，△BDC面积最大，并求出最大值．九、某一信托投资公司，考虑投资1600万元建造一座涉外宾馆，经预测，该宾馆建成后，每年底可获利600万元，试问三年内能否把全部投资收回？假设银行每年复利计息，利率为10％，若需要在三年内收回全部投资，每年至少应收益多少万元？(结果保留一位小数)十、在正方形铁皮上任意划9条直线，如果每一条直线都将正方形分成两部分面积之比为m∶n(m， n∈N)，那么这样9条直线中至少有3条直线交于一点，对吗，为什么？十一、五种商品价格如下：现在用60元恰好选购10件商品，试问有哪几种选购方式？十二、根据图3—18所示零件的视图，画出它的直观图、展开图(并要留出做成模型的粘贴处)，并求出这个零件的表面积与体积．一个供应站H的位置，使它到四个工厂距离和HA＋HB＋HC＋HD为最小，说明道理，并求出最小值．十四、一个零件模具的底面由甲、乙、丙三个边长均为a的正方形按如下要求叠合而成：甲的一个顶点落在乙的中心上，乙的一个顶点落在丙的中心上，丙的一个顶点落在甲的中心上．求这个模具底面的面积．十五、一煤粉炉球磨机衬板为圆台的侧面，上底半径R1＝270 mm，下底半径R2＝1147 mm，轴截面母线夹角为154°，这圆台侧面是由18块相同的扇环形钢板焊接而成。
上海市第05届“金桥杯”中学生数学知识应用竞赛决赛试题(Word版,含答案)
上海市第05届“金桥杯”中学生数学知识应用竞赛决赛试题一、在气象台A的正东方向300千米处有一台风中心．该台风中心正以每小时40千米的速度向西北方向移动，离台风中心250千米以内的地方将受其影响．问大约经过多少时间气象台所在地将受到台风影响？影响的持续时间将是多少？二、股票交易的开盘价是这样决定的：每天开盘前由投资者填报某种股票的意向买价或意向卖价以及相应的意向股数．然后由计算机根据这些数据确定适当的价格，使得在该价位上能够成交的股数最多．试根据以下数据，确定该种股票的开盘价以及能即时成交的股数．(注：当卖方意向价低于开盘价以及买方意向价高于开盘价时即可成交)三、水上游乐场的人工瀑布是在离地面10米处建造一段水平的水槽．在水槽的末端设置一个坡度为30°，坡长为60厘米的挑水坎．用水泵把水抽入水槽中，冲上挑水坎，最后在空中下落形成美丽的瀑布(见图3－69)．已知槽内水的流速为6米/秒，试分析出槽水流曲线的类型，并计算人工瀑布下端与水槽基底的水平距离S．四、图画挂在墙上，它的下缘在观察者的眼睛上方a米处，而上边缘在b米处，问观察者在离墙多远的地方，才能使视角最大(从而看得最清楚)？五、附表给出五位工人完成五种工作所能取得的效益，试求出分配该五位工人分别担任一项工作的方案，使取得的效益最大．六、如图3－70所示的镀锌铁皮材料ABCD，上沿AD为圆弧，其圆心O在BC上．圆半径为2米，AB、CD均垂直于BC，且BO＝CD＝1m．现要用这材料裁一个矩形做圆柱的侧面，裁一个圆做圆柱的底，做一个有底无盖的圆柱形桶(这里不考虑拚接、裁剪的损耗)．试问怎样落料能使水桶体积最大？并求出材料的利用率．七、一零件的轮廓由边长为a的正三角形ABC的等距曲线构成，等距为r(如图3－71)．为了用数控机床加工，要求出轮廓线的精确公式．设坐标原点O与三角形的重心重合，x轴与AB平行．试求曲线的七个工件安排在同一台机床上加工．设各工件的加工时间依次为14，6，24，12，6，18，12(分钟)．该机床一次只能加工一个工件，每一工件加工完毕即可运走投入下一工序．(1)试安排一个加工次序，使各工件的加工和等待时间之总和最小并说明理由．(2)若工件6，7必须先于工件2加工，工件1，2，4必须先于工件3加工，工件7必须先于工件4加工，工件3必须先于工件5加工，试找出使各工件的加工和等待时间之总和最短的加工次序．决赛试题解答要点与参考答案一、以气象台A为坐标原点，正东方向为x轴正向建立平面直角坐标系，则台风中心B坐标参数方程为时气象台将受到台风的影响．解此不等式，得即 1.99≤t≤8.61．约经过2小时后，气象台所在地将开始受到台风的影响，持续时间大约7小时．二、可确定开盘价为2.20，可能成交股数为600．三、以挑水坎末端A为坐标原点，以水平方向和垂直方向分别为x 轴和y轴建立平面直角坐标系．水离开A点时的速度Vt可由下式求得．方向沿挑水坎方向．设当时间t＝0时，某个水质点D在A处，则当时间为t时，D点坐标满足方程得人工瀑布下端与水槽基底的水平距离S＝8.3米．四、由题意，观察者的视角θ＝∠BPA＝∠BPH－∠APH．显然0＜θ＜90°，故tgθ＝tg(∠BPH－∠APH)五、首先取附表中每一列之最大值，如下页表所示．表中有“*”号的数字为所在列蝗最大值，显然．这些有“*”号的数字和(最后一列有两个带“*”号的数字，求和时取一个)是进行五项工作的最大效益．但不满足每人一项工作的要求．以此表为基础进行调整，使调整后满足每人一项工作的要求，且与上表的差值最小．容易验证下表所示为调整后的最佳方案．即最佳方案为A→4(A做第四项工作)，B→2，C→1，D→3，E→5．六、根据经验可按下图所示裁剪矩形与圆．第一种方法：以BE为圆柱底周长进行裁剪．此时应满足可见按第一种方法进行裁剪所得圆柱之体积最大．裁BE＝2.07，EG ＝1.69的矩形．剩下材料裁半径为0.33的圆．得到的圆柱体积为0.58m3．七、弧段LM由直线部分LN与圆弧NM构成．圆弧NM的表示式为八、(1)因为加工和等待时间的总和为T＝∑(8－i)Ti ，其中Ti为安排在第i位加工的工件的加工时间．因此使其总和最小的加工顺序应是2→5→4→7→1→6→3其中2和5，4和7的位置可以对调．(2)根据给出的条件可画出下面的网络：据此网络图，可先对工件1，2，4，6，7进行排序．首先，4，2，7，6这四个工件可有以下几种排序法：6→7→4→2，7→6→4→2，7→4→6→2，6→7→2→4，7→6→2→4．由于t6＝18＞t7＝12，6→7→4→2和6→7→2→4两种情况可不考虑．又因t4＝12＞t2＝6，7→6→4→2情况也可不考虑．这样就剩下以下两种情况：7→4→6→2，7→6→2→4．再考虑工件1的位置．对7→4→6→2情况，可有以下几种情形：(a)1→7→4→6→2，(b)7→1→4→6→2，(c)7→4→1→6→2，(d)7→4→6→1→2，(e)7→4→6→2→1．由于t1＝14＞t7＝12，t1＝14＞t4＝12知(b)优于(a)，(c)优于(b)；又由于t1＝14＞t2＝6，可知(e)优于(d)．比较(e)与(c)两种情况下的等待与加工的总耗时：(e)5t7＋4t4＋3t6＋2t2＋t1，(c)5t7＋4t4＋3t1＋2t6＋t2，可知(e)优于(c)也就是说情形7→4→6→2→1→3→5耗时最少．同理可判定情形7→4→6→2→1→3→5耗时也最少．最少的耗时为T＝7t7＋6t4＋5t6＋4t2＋3t1＋2t3＋t5＝366(分钟)．。
上海初一初中数学竞赛测试带答案解析
上海初一初中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.六位数由三位数重复构成，如256256，或678678等等，这类数能被何数整除(15届江苏初一2试)六位数六位数A．11;B．101;C．13;D．1001.2.两班学生参加一个测试，20名学生的一班，平均分是80分；30名学生的一班平均分是70分，两班所有学生的平均分是A．75分;B．74分;C．72分;D．77分.3.一个数被10除余9，被9除余8，被8除余7，…，被2除余1，则此数为A．59 ;B．1259;C．2519;D．非以上结论.4.0.000000375与下列数不等的是A．;B．;C．;D．.5.若1+2+3+…+k之和为一完全平方，若n小于100，则k可能的值为A．8;B．1，8 ;C．8，49;D．1,8,49.6.若，则z等于(15届江苏初二1试)若A．;B．;C．;D．.7.一同学在n天假期中观察：（1）下了7次雨，在上午或下午；（2）当下午下雨时，上午是晴天；（3）一共有5个下午是晴天；（4）一共有6个上午是晴天。
则n最小为A．7;B．9;C．10 ;D．11.8.如表所示，则x与y的关系式为（）+x+1C．y=（x2+x+1）（x-1） D．非以上结论9.在下列图形中，各有一边长为4cm的正方形与一个8cm×2cm的长方形相重叠.问哪一个重叠的面积最大（）10.运算※按下表定义，例如3※2=1，那么（2※4）※（1※3）=（）A．1 ;B．2;C．3;D．4.二、填空题1.计算： .2.(17届江苏初一1试)计算等式，式中的应为 .3.三个连续的自然数的最小公倍数是168，那么这三个自然数的和等于 .4.将1,2,3，…，49,50任意分成10组，每组5个数，在每组中取数值居中的那个数为“中位数”，则这10个中位数的最大值是 .5.(15届江苏初一1试)时钟在2点时，分针与时针所夹的角为60°.从0时到3时，会有个时刻，分针与时针也能构成60°的角.6.图中阴影部分占(15届江苏初二1试)图中图形的（填几分之几）.7.如图是由9个等边三角形拼成的六边形，已知中间最小的等边三角形的边长为1，则这个六边形的周长是 (17届江苏初一1试)如图如 .8.已知，点O在三角形内，且，则的度数是(17届江苏初一1试) 度．9.(17届江苏初三)在在在4点钟与5点钟之间，分钟与时钟成一条直线，那么此时时间是 .10.(15届江苏初一1试)一条一条直街上有5栋楼，按从左至右顺序编号为1、2、3、4、5，第k号楼恰好有k （k=1、2、3、4、5）个A厂的职工，相邻两楼之间的距离为50米.A厂打算在直街上建一车站，为使这5栋楼所有A厂职工去车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼米处.上海初一初中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.六位数由三位数重复构成，如256256，或678678等等，这类数能被何数整除(15届江苏初一2试)六位数六位数A．11;B．101;C．13;D．1001.【答案】D【解析】析：六位数由三位数重复构成，说明这类数一定能被此三位数整除，不妨用构成的六位数除以三位数得到的数即所求的数．解答：解：256256÷256=1001，678678÷678=1001，设三位数abc，则重复构成的六位数为abcabc，abcabc÷abc=1001．故选D．点评：此题考查了学生对数的整除性问题的解答与掌握，此题解答的关键是用构成的六位数除以三位数得出要求的数．2.两班学生参加一个测试，20名学生的一班，平均分是80分；30名学生的一班平均分是70分，两班所有学生的平均分是A．75分;B．74分;C．72分;D．77分.【答案】B【解析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．解答：解：根据题意得：该组数据的平均数==74．故选B．点评：本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求80，70这四个数的平均数，对平均数的理解不正确．3.一个数被10除余9，被9除余8，被8除余7，…，被2除余1，则此数为A．59 ;B．1259;C．2519;D．非以上结论.【答案】C【解析】分析：这个最小正整数加上1是2、3、4、5、…10的最小公倍数，求得最小公倍数减1即可求得答案．解答：解：由题意可知所求最小正整数是2，3，4，5，…，10的最小公倍数减去1，2，3，4，5，…，10的最小公倍数是实际就是7，8，9，10的最小公倍数为2520，则所求最小数是2520-1=2519．故选C．点评：此题考查了带余数除法，主要利用求几个数的最小公倍数的方法解决问题．4.0.000000375与下列数不等的是A．;B．;C．;D．.【答案】D【解析】分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．注意小数和分数相互间的转化．解答：解：0.000 000 375=3.75×10-7=3×10-7=≠.故选D．点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．5.若1+2+3+…+k之和为一完全平方，若n小于100，则k可能的值为A．8;B．1，8 ;C．8，49;D．1,8,49.【答案】D【解析】分析：本题直接求解难度较大，故采用代入法，间接验证．解答：解：∵1+2+3+…+k=k(k+1)∴k(k+1)=n2，当k=1时，则k(k+1)=1，n=1，显然成立．当k=8时，则k(k+1)=36，此时n=6，成立；当k=49时，则k(k+1)=25×49，n=35，成立．故答案为D．点评：本题考查完全平方数．同学们对于做选择题目，采用将选项代入验证的方法，有时候起到事半功倍的效果，本题就是这样，如直接求解，难度非常大，这样求解简单多了．6.若，则z等于(15届江苏初二1试)若A．;B．;C．;D．.【答案】D【解析】略7.一同学在n天假期中观察：（1）下了7次雨，在上午或下午；（2）当下午下雨时，上午是晴天；（3）一共有5个下午是晴天；（4）一共有6个上午是晴天。
2000-2013年历年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷（另含详解）
2000-2013年历年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷（另含详解）2013上海市初中数学竞赛(新知杯)⼀、填空题(每题10分)1) 已知721,721-=+=b a ，则.________33=-+-b b a a2) 已知43214321//////,//////m m m m l l l l ，._______,20,100===EFGH ILK J ABC D S S S 则3) 已知F E AC AB A 、，,8,690==?=∠在AB 上且3,2==BF AE 过点E 作AC 的平⾏线交BC 于D ，FD 的延长线交AC 的延长线于G ，则.__________=G F4) 已知凸五边形的边长为)(,,,,,54321x f a a a a a 为⼆次三项式；当1a x =或者5432a a a a x +++=时，5)(=x f ，当21a a x +=时，,)(p x f =当543a a a x ++=时，q x f =)(，则.________=-q p5) 已知⼀个三位数是35的倍数且各个数位上数字之和为15，则这个三位数为___________.6) 已知关于x 的⼀元⼆次⽅程0)2)(1(2=++++m m ax x 对于任意的实数a 都有实数根，则m 的取值范围是_________________.7) 已知四边形ABCD 的⾯积为2013，E 为AD 上⼀点，CD E ABE BCE ,,的重⼼分别为321,,G G G ，那么321G G G ?的⾯积为________________.8) 直⾓三⾓形斜边AB 上的⾼3=CD ，延长DC 到P 使得2=CP ，过B 作AP BF⊥交CD 于E ，交AP 于F ，则._________=D E⼆、解答题（第9题、第10题15分，第11题、第12题20分）9) 已知?=∠90BAC ，四边形ADEF 是正⽅形且边长为1，求CABC AB 111++的最⼤值.10) 已知a 是不为0的实数，求解⽅程组：=-=-a x y xy a y x xy 111) 已知：,1>n n a a a a ,,,,321 为整数且2013321321==++++n n a a a a a a a a ，求n 的最⼩值.12) 已知正整数d c a 、、、b 满⾜),13(),13(22-=+=d c b d c a 求所有满⾜条件的d 的值.答案：2012年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷（2012年12⽉9⽇上午9:00~11:00）解答本试卷可以使⽤科学计算器⼀、填空题（每题10分，共80分）1. 已知的边上的⾼为，与边平⾏的两条直线将的⾯积三等分，则直线与之间的距离为_____________。
2007年上海市中学生数学知识应用竞赛
2007年上海市中学生数学知识应用竞赛获奖名单上海市青少年科技教育中心上海市工业与应用数学学会2007年12月上海市中学生数学知识应用竞赛获奖名单（初中组）郊区组一等奖陆徐超金盟中学施嫣文淞谊中学蔡尚宁桃李园朱宇凯行知二中何廉远上宝中学李雨晴上宝中学宋思嘉堡镇中学陈骁俊育秀实验学校唐旭晨南汇一中邹晓栋平乐中学干忆楠干巷学校朱奇越活动中心莘松尤之一交大二附中二等奖孙旭东上宝中学童雯婷文来中学陈曦金盟中学张祯宇金盟中学倪俊晖实验中学印豪实验中学袁航交大二附中李家皓上宝中学陈宗涵莘松中学吴匡衡文来中学范亦唯行知二中郑瑞祥上宝中学胥昊和衷中学俞佳莹和衷中学茅婷婷东门中学戈欣港西中学陈邹裕中华中学郁雯雯民一中学潘舜智万祥学校沈依伟金盟中学唐梦飞上宝中学项嵘上海市莘光学校三等奖邴珏明和衷中学贡立凡行知二中高仕君枫泾中学沈鹤群东门中学屠雨澄上宝中学朱达民办文绮中学马玉玲民办文绮中学周晨旭汇龙学校毕杰明和衷中学周逸雯金盟中学施聪民一中学吴鑫上宝中学倪采上宝中学陈嘉懿和衷中学朱擎天民一中学章进明上宝中学夏辰鸣上宝中学唐嘉程南汇一中潘镜天尚德学校黄鸿志民一中学何俊杰上宝中学陈安芝文来中学洪琦笠莘松中学严格行知二中乔钦彧金盟中学连一鸣育秀实验学校张敏鑫实验学校陈键尚德学校王开雨尚德学校王筱骋淞谊中学张楚瑶行知二中周彦卿行知二中顾佳晖枫泾中学陆韬登瀛中学周光朕梅陇中学许怡琼文来中学张黎昇文来中学方申冬行知二中沈克罗星中学徐秋思罗星中学王爽实验中学龚军合兴中学王越文来中学谭盈蓓汇龙学校季一宝山进修附中李菲尔行知二中王晗莹行知二中梁冰尔行知二中吴冕行知二中喻世辰行知二中邵知会实验中学杜晗栩活动中心闵行五中李祺活动中心闵行五中马捷毅活动中心莘光王张宁活动中心莘光徐梦怡上宝中学田野疁城实验学校宋佳玮桃李园陆安琪和衷中学吴伊澄行知二中李昊罗星中学许昊文实验中学陆逸玮崇东中学王宇征交大二附中梅杰上宝中学王敏晟文来中学苏忆敏桃李园徐烨怀少学校王玮成桃李园周蓓三灶学校奚家昊澧溪中学吴袆松尚德学校邢怡行知二中黄煜飏东门中学陈超云洞泾学校沈晨程南汇二中市区组一等奖林一琪立达周晓晗世外中学陆宇豪市西初级张贻辰延安初中朱纪乐市北初级中学房屹东位育初级杨过超世外中学张嘉成进华中学孙毅君进华中学马莹玉民办扬波中学佘毅阳市北初级中学陆恺佶格致初级陈驰宇立达朱梦天立达周艺立达张建新市十李弘基市二初中程思愽兰生复旦柳圣云上外附中蒋若青立达二等奖赵成浩延安初中高嗣淳市北初级中学陈黎申东格致顾超格致初级黄欣桐上外附中肖阳延安初中肖佶年位育初级虞世泽华育中学潘昭市北初级中学万嘉悦立达金焘兰生复旦王鲁冰华初陆逸波立达鲍宏伟华育中学孟澄市北初级中学邓飞华育中学余盛铭位育初级余天哲市西初级胡亦知市西初级蔡一晓延安初中程淼梅陇中学周舟航市北初级中学万选青市北初级中学陆东衡位育初级余乐平华育中学张宇翔复兴王子源复兴张颖一华初顾翀上外附中陆灏川市北初级中学顾宇豪立达钱一鸣天山初中徐沁新世纪中学王逸敏延安初中张科延安初中甘全进华中学葛季敏进华中学刘天浩东格致董世豪立达徐道晨立达郑煚仁立达张言豪立达张永臻位育初级郑天铖位育初级聂子佩华育中学蔡云飞交大飞达邓永行上外附中李文祺迅行中学三等奖吕立一徐汇中学王梓璇复旦二附中王奕帆立达沈翊舟上外附中刘忆枫进华中学杨溢涵市北初级中学严小力立达陶倩芸位育初级贺秋瑞华育中学周顺帆存志中学张祺隆凯慧中学蔡磊卿兰生复旦杨奕玮上外双语曹雨晨上外附中孙懿馨立达徐俊楠市北初级中学陈闻达西南位育中学孙思情凯慧中学胡秋煜市西初级金越进华中学陆逢源进华中学恽峙泓兰生复旦田明昊进华中学张易位育初级蒋旻昊梅陇中学陆怡心民办田家炳中学袁苑彭浦初级中学宋阳市北初级中学孙哲铖市北初级中学包雪郦储能谢张圆立达韩君超立达严青明珠沈卓荟存志中学林懿上外双语曹一夫华初金晶华初陆修远上外附中郁仁余立达孙泽远延安初中刘骏祎复旦二附中郑舒文市西初级黄昕炜市西初级蔡意歆延安初中程义婷真北中学朱瀛达市北初级中学陈末立达沈理良市北初级中学梁栋华育中学沈一清复兴汪佳瑛进华中学顾思东格致周英杰应昌期钱隆西南位育中学吴恺奕位育初级张逸鸿位育初级优秀组织奖黄浦区青少年活动中心闵行区青少年活动中心崇明县青少年活动中心五四中学优秀组织教师奖徐汇区青少年活动中心周平普陀区青少年中心叶仪琳宝山区青少年科技指导站周卫平崇明县青少年活动中心刘建平闵行区青少年活动中心胡艳杨浦区青少年科技指导站杨家辉闸北区青少年科技指导站赵丽娟虹口区青少年活动中心王勇南汇区青少年科艺中心周水琴金山区第二少年宫季培康嘉定区青少年活动中心葛英姿上海市中学生数学知识应用竞赛获奖名单（高中组）团体奖第一名：位育中学第二名：嘉定一中第三名：育才中学第四名：上外附中第五名：上师大附中第六名：七宝中学第七名：交大附中第八名：曹杨二中一等奖朱俊彦交大附中顾宇丰育才中学林逸华位育中学王鹤鼎七宝中学马陆嘉定一中黄天怿上外附中二等奖沈楚雄位育中学陈中坚控江中学付冠一育才中学孙慧菱复兴高级中学王明圣育才中学潘道欣上海中学蔡迅捷格致中学黄鹏嘉定一中吴正骁曹杨二中薛纯嘉定一中秦历宽复旦附中陈鲁君育才中学郑腓力七宝中学蒋一心育才中学薛晏市西中学李庚上师大附中陈一镭西南位育李不凡格致中学钟楠位育中学刘亚儿曹杨二中三等奖陈健控江中学龚楷博建平中学刁嘉辉格致中学诸云麟交大附中沈思佳交大附中吴偲位育中学陆齐奥中国中学项宁位育中学徐栋新中高级中学陶冶位育中学严一祥市西中学王馨苑上师大附中王志宇复旦附中俞思民上师大附中蒋亦方向明中学韩笑纯上师大附中韩康育才中学高腾上师大附中周斯桐交大附中张妍圣民立中学沈之默控江中学黄旭华建平中学张讼曹杨二中江雨遥市西中学顾添逸育才中学朱晓骅上外附中邓彦桢上外附中孙裔劼上外附中魏志一交大附中丁梦婕上外附中范敏杰复旦附中李经纬七宝中学陈晟伟控江中学周正怡市二中学胡培栋新中高级中学张元闵行中学潘力萌位育中学吴佳鸣吴淞中学朱宇浩育才中学徐松大境中学王超晖市西中学杨硕华师大二附中杨轲七宝中学陈奇飞市北中学钱晨皓位育中学邵盈晋元中学魏朱晨位育中学陈婷婷市八中学刘畅流华师大二附中罗马上海中学陈晨华师大二附中金辉南汇中学石宏霄市西中学汤召君南汇中学黄尊峥育才中学沈佳骏南汇中学汪维卿位育中学张天伟上南中学蒋宇杰位育中学李翔嘉定一中杨玺控江中学张玉坚嘉定一中程九思嘉定一中尤俊杰大境中学2007年上海市中学生数学知识应用竞赛夏令营获奖名单一等奖交大附中杨奕晨王舒嶷杨扬育才中学顾宇丰孙领王明圣二等奖曹杨二中孟剑敏周楚远何骏曹杨二中张讼刘亚儿吴沐阳嘉定一中马陆郁悦朱晓燕嘉定一中陈昊朱子奇唐祎程建平中学武宁黄平俞人威交大附中诸云麟徐婷婷.控江中学陆奕骞沈之默陈健七宝中学李经纬王鹤鼎于岑宁上师大附中李思睿毛宜骏吴梦佳上外附中王瑛韫黄馨迪张集川杨浦高级中学宋家骥朱丹.上外附中刘仲林韩天宁张砾炜民立中学张妍圣李文婕吕岑麟上师大附中张丽媛段晓昕王馨苑上师大附中庄詠文姚璐王彦骏三等奖曹杨二中蒋欣怡陆悦韵薛雯莉曹杨二中郑惟达吴正骁朱书尧大境中学郭敏杰杨帆沈立扬复旦附中潘文凯傅向义范敏杰建平中学乔司雨吴晓燕王珏建平中学程业程力俞道亮建平中学朱晨祺黄旭华张钧凯交大附中邢诗萌陆笑天朱文烨控江中学陈晟伟魏传豪陈志浚控江中学戴奇骎付丽群张玮熙民立中学郭浩夏正阳鲁晓栋民立中学胡怡童丁文耀赵霁文七宝中学郑腓力杨柯鲍晨骏上师大附中宋羽希竺斌全俞筱骏上师大附中孙晓扬张驰赵雨潇上外附中黄通博许睿捷林澍坤上外附中屠思韡孙裔劼徐兆韬市三女中俞娉婷黄思颖施文君市西中学陆昱廷陶航飞王超晖市西中学陈世颖王一超薛晏位育中学汪维卿林逸华詹彦位育中学陶冶沈楚雄蒋祚赢西南位育汪濙海沈昱张隽仪向明中学陆竑斌朱恬骅汪晟骢育才中学刘雄飞王永吉姜凌霄育才中学熊建国王之骏封雪卉中国中学陆齐奥金晓峰赵嘉欣上外附中谢齐沁樊能史宇骋2007年上海市中学生数学知识应用小论文竞赛获奖名单一等奖地铁空调温度巧调节（复兴高级中学：孙慧菱）对违章鸣笛车辆的定位取证的研究（嘉定一中：程九思）（指导教师：谢锡林、徐泼）二等奖商务楼空调使用时间规划（民立中学：张妍圣）（指导教师：张向东）节能建筑之研究（上海师大附中：王馨苑）风力发电与火力发电的配置问题（七宝中学：李经纬、王鹤鼎、于岑宁）从女足世界杯谈起（建平中学：黄旭华）雨季时轮胎对安全的影响（晋元高级中学：邵盈）不可能图形的数学解析（位育中学：陶冶）三等奖图书馆新书购置的数学模型（向明中学：陆竑斌、朱恬骅、汪晟骢）补课效果的研究与探讨（中国中学：赵嘉欣、陆齐奥）最佳捕鱼方案（位育中学：吴偲）校园路灯的设计（建平中学：贺然、邓若晛）（指导教师：周宁医）电加热水的研究（嘉定一中：马陆）（指导教师：谢锡林、杨思源）五岔路口交通问题研究（市西中学：先毅昆、韩倞、胡喆之、王超珲）浅析沪深股票指数的相关性（松江二中：陈涣歆、张泓阳）。
2007年全国初中数学竞赛试题及参考答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会 2007年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。
以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里。
不填、多填或错填得零分）1、方程组⎩⎨⎧=+=+6||12||y x y x 的解的个数为（ ）A 、1B 、 2C 、3D 、4 答案：A解析：若0≥x ，则⎩⎨⎧=+=+6||12y x y x ，于是6||-=-y y ，显然不可能若0 x ，则⎩⎨⎧=+=+-6||12y x y x于是18||=+y y ，解得9=y ，进而求得3-=x 所以，原方程组的解为⎩⎨⎧=-=93y x ，只有1个解．故选（A ）．2、口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）A 、 14B 、 16C 、18D 、20答案：B解析：用枚举法：红球个数 白球个数 黑球个数 种 数 5 2，3，4，5 3，2，1，0 4 4 3，4，5，6 3，2，1，0 4 3 4，5，6，7 3，2，1，0 4 2 5，6，7，8 3，2，1，0 4 所以，共16种． 故选（B ）．3、已知ABC ∆为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ． 若⊙O 的半径与ADE ∆的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过ABC ∆的（ ）A 、内心B 、外心C 、重心D 、垂心 答案：B解析： 如图，连接BE ∵ABC ∆为锐角三角形 ∴BAC ∠，ABE ∠均为锐角又∵⊙O 的半径与ADE ∆的外接圆的半径相等，且DE 为两圆的公共弦 ∴ABE BAC ∠=∠∴BAC ABE BAC BEC ∠=∠+∠=∠2 若ABC ∆的外心为1O 则BAC C BO ∠=∠21 ∴⊙O 一定过ABC ∆的外心 故选（B ）．4、已知三个关于x 的一元二次方程02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx 恰有一个公共实数根，则abc ca b bc a 222++的值为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 答案：D解析：设0x 是它们的一个公共实数根，则02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx把上面三个式子相加，并整理得()()01020=++++x x c b a因为0432112002+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x所以0=++c b a于是()()33333333222=+-=+-+=++=++abcb a ab abc b a b a abc c b a ab c ca b bc a 故选（D ）．5、方程256323+-=++y y x x x 的整数解（x ，y ）的个数是（ ）A 、0B 、1C 、3D 、无穷多 答案：A解析：原方程可化为()()()()()2113212++-=++++y y y x x x x x因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的。
2007新知杯上海市初中数学竞赛
2007年“新知杯”上海市初中数学竞赛一、填空题（第1~5小题，每题8分，第6~10小题，每题10分，共90分）1. 已知-1<2x<1，则12-x的取值范围为______。
2. 在面积为1的ABC ∆中，P 为边BC 的中点，点O 在边AC 上，且AQ=2QC,连接AP 、BQ 交于点R ，则ABR ∆的面积是______。
3. 在ABC ∆中，∠C=90°A ∠、B ∠、C ∠的对边顺次为a 、b 、c ，若关于x 的方程c(x 2+1)-bx 22-a （x 2-1）=0的两根的平方根和为10，则ab 的值为______。
4. 数1x 、2x ……100x 满足如下条件：对于k=1、2……100。
k x 比任何其余99个数的和小k ，则25x 的值为______。
5. 已知实数a 、b 、c ，且b ≠0，若实数21,x x ，1y 、2y 满足21x ＋22ax =b ，a y x y x =-2112，c y ax y x =+2221，则2221ayy +的值为_______。
6. 如图，设P 是凸四边形ABCD 内一点，过P 分别作AB 、BC 、CD 、DA 的垂线，垂线分别为E 、F 、G 、H 。
已知AH=3，HD=4,DG=1,GC=5,CF=6,FB=4,且BE-AE=1，则四边形ABCD 的周长为______。
7. 如图， ABC ∆ 的面积为1，点D 、G 、E 和F 分别在边AB 、AC 、BC 上，BD<DA,D G ∥BC,DE ∥AC,GF ∥AB,则DEFG 面积的最大可能值为_____.8.不超过1000的正整数x,使得x 和x+1两者的数字和都是奇数，则满足条件的正整数x 有_____个。
9. 已知k 为不超过50的正整数，使得对任意正整数n ，1232136-⨯+⨯+n nk 都能被7整除，则这样的正整数k有______个。
2007年上海市初中毕业统一学业考试度试题及答案
2007年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷考生注意：1．本卷含四大题，共25题；2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须写出证明或计算的主要步骤．一、填空题：（本大题共12题，满分36分）[只要求直接写出结果，每个空格填对得3分，否则得零分]1．计算：2= ．2．分解因式：222a ab -= ．3．化简：111x x -=+ ． 4．已知函数3()2f x x =+，则(1)f = ．5．函数y =的定义域是 ．6．若方程2210x x --=的两个实数根为1x ，2x ，则12x x += ．72=的根是 ．8．如图1，正比例函数图象经过点A ，该函数解析式是 ．9．如图2，E 为平行四边形ABCD 的边BC 延长线上一点，连结AE ，交边CD 于点F ．在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形： ．10．如果两个圆的一条外公切线长等于5，另一条外公切线长等于23a +，那么a = ． 11．如图3，在直角坐标平面内，线段AB 垂直于y 轴，垂足为B ，且2AB =，如果将线段AB 沿y 轴翻折，点A 落在点C 处，那么点C 的横坐标是 ．图1图2图3图412．图4是44⨯正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图4中黑色部分是一个中心对称图形．二、选择题：（本大题共4题，满分16分）【下列各题的四个结论中，有且只有一个结论是正确的，把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分；不选、错选或者多选得零分】 13．在下列二次根式中，与a 是同类二次根式的是（ ） A ．2aB ．23aC ．3aD ．4a14．如果一次函数y kx b =+的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，那么（ ） A ．0k >，0b >B ．0k >，0b <C ．0k <，0b >D ．0k <，0b <15．已知四边形ABCD 中，90A B C ===o∠∠∠，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ） A ．90D =o∠B ．AB CD =C ．AD BC =D ．BC CD =16．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图5所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ） A ．第①块 B ．第②块 C ．第③块 D ．第④块三、（本大题共5题，满分48分） 17．（本题满分9分）解不等式组：3043326x x x ->⎧⎪⎨+>-⎪⎩，，并把解集在数轴上表示出来．18．（本题满分9分）解方程：22321011x x x x x --+=--．19．（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）如图6，在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为(100)，，点B 在第一象限内，5BO =，3sin 5BOA =∠．求：（1）点B 的坐标；（2）cos BAO ∠的值．20．（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2），（3）小题满分各3分）5- 1-4-3- 2-012 3 45图6x OBy图5初三学生小丽、小杰为了解本校初二学生每周上网的时间，各自在本校进行了抽样调查．小丽调查了初二电脑爱好者中40名学生每周上网的时间，算得这些学生平均每周上网时间为2.5小时；小杰从全体初二学生名单中随机抽取了40名学生，调查了他们每周上网的时间，算得这些学生平均每周上网时间为1.2小时．小丽与小杰整理各自样数据，如表一所示．请根据上述信息，回答下列问题：（1）你认为哪位学生抽取的样本具有代表性？答： ； 估计该校全体初二学生平均每周上网时间为 小时；（2）根据具体代表性的样本，把图7中的频数分布直方图补画完整； （3）在具有代表性的样本中，中位数所在的时间段是 小时/周．时间段 （小时／周） 小丽抽样 人数 小杰抽样 人数0～1 6 22 1～2 10 10 2～3 16 6 3～4 8 2 （每组可含最低值，不含最高值）表一21．（本题满分10分）2001年以来，我国曾五次实施药品降价，累计降价的总金额为269亿元，五次药品降价的年份与相应降价金额如表二所示，表中缺失了2003年、2007年相关数据．已知2007年药品降价金额是2003年药品降价金额的6倍，结合表中信息，求2003年和2007年的药品降价金额．年份 2001 2003 2004 2005 2007 降价金额（亿元） 54 35 40表二四、（本大题共4题，满分50分）22．（本题满分12分，每小题满分各6分）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(14)A ，，且过点(30)B ，．（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标．图7 （每组可含最低值，不含最高值） 小时/周23．（本题满分12分，每小题满分各6分）如图8，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，CA 平分BCD ∠，DE AC ∥，交BC 的延长线于点E ，2B E =∠∠． （1）求证：AB DC =； （2）若tg 2B =，AB =BC 的长．24．（本题满分12分，每小题满分各4分） 如图9，在直角坐标平面内，函数my x=（0x >，m 是常数）的图象经过(14)A ，，()B a b ，，其中1a >．过点A 作x 轴垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴垂线，垂足为D ，连结AD ，DC ，CB ．（1）若ABD △的面积为4，求点B 的坐标； （2）求证：DC AB ∥；（3）当AD BC =时，求直线AB 的函数解析式．25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2），（3）小题满分各5分） 已知：60MAN =o∠，点B 在射线AM 上，4AB =（如图10）．P 为直线AN 上一动点，以BP 为边作等边三角形BPQ （点B P Q ，，按顺时针排列），O 是BPQ △的外心． （1）当点P 在射线AN 上运动时，求证：点O 在MAN ∠的平分线上； （2）当点P 在射线AN 上运动（点P 与点A 不重合）时，AO 与BP 交于点C ，设AP x =，AC AO y =g ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）若点D 在射线AN 上，2AD =，圆I 为ABD △的内切圆．当BPQ △的边BP 或BQ 与圆I 相切时，请直接写出点A 与点O 的距离．图8图9图10备用图2007年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷答案要点与评分标准说明：1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分．2．第一大题只要求直接写出结果，每个空格填对得3分，否则得零分；第二大题每题选对得4分，不选、错选或者多选得零分；17题至25题中右端所注的分数，表示考生正确做对这一步应得分数，评分时，给分或扣分均以1分为单位． 答案要点与评分标准一、填空题（本大题共12题，满分36分） 1．3 2．2()a a b - 3．1(1)x x + 4．1 5．2x ≥ 6．2 7．3x =-8．3y x = 9．AFD EFC △∽△（或EFC EAB △∽△，或EAB AFD △∽△） 10．1 11．2- 12．答案见图1二、选择题（本大题共4题，满分16分） 13． C 14．B 15．D 16．B 三、（本大题共5题，满分48分） 17．解：由30x ->，解得3x <． ··································································· 3分由43326x x+>-，解得1x >-． ······································································· 3分 ∴不等式组的解集是13x -<<． ······································································ 1分解集在数轴上表示正确． ················································································· 2分 18．解：去分母，得23(21)(1)0x x x x -+-+=， ··············································· 3分 整理，得23210x x --=， ·············································································· 2分解方程，得12113x x ==-，． ·········································································· 2分 经检验，11x =是增根，213x =-是原方程的根，∴原方程的根是13x =-． ·············· 2分 19．解：（1）如图2，作BH OA ⊥，垂足为H ， ··············································· 1分在Rt OHB △中，5BO =Q ，3sin 5BOA ∠=，3BH ∴=．·································································································· 2分图14OH ∴=．……………………………… 1分∴点B 的坐标为(43)，．……………………2分（2）Q 10OA =，4OH =，6AH ∴=．………………1分 在Rt AHB △中，3BH =Q，AB ∴= 1分cos 5AH BAO AB ∴∠==．………………………………2分 20．（1）小杰；1.2． ············································································ 2分，2分（2）直方图正确． ························································································· 3分 （3）0~1． ··································································································· 3分 21．解：[解法一]设2003年和2007年的药品降价金额分别为x 亿元、y 亿元． ·········· 1分 根据题意，得226543540269y x x y =⎧⎨++++=⎩………………………………………………………………分………………………………………………分解方程组，得2220120x y =⎧⎨=⎩………………………………………………………………………分………………………………………………………………………分答：2003年和2007年的药品降价金额分别为20亿元和120亿元． ·························· 1分 [解法二]设2003年的药品降价金额为x 亿元， ······················································ 1分 则2007年的药品降价金额为6x 亿元． ······························································· 2分 根据题意，得5435406269x x ++++=． ························································ 2分 解方程，得20x =，6120x ∴=． ···································································· 4分 答：2003年和2007年的药品降价金额分别为20亿元和120亿元． ·························· 1分 四、（本大题共4题，满分50分）22．解：（1）设二次函数解析式为2(1)4y a x =--， ·········································· 2分Q 二次函数图象过点(30)B ，，044a ∴=-，得1a =． ········································· 3分 ∴二次函数解析式为2(1)4y x =--，即223y x x =--． ···································· 1分（2）令0y =，得2230x x --=，解方程，得13x =，21x =-． ·························· 2分∴二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别为(30)，和(10)-，．∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点． ············································· 2分平移后所得图象与x 轴的另一个交点坐标为(40)，． ··············································· 2分 23．（1）证明：DE AC Q ∥，BCA E ∴∠=∠． ·························································································· 1分 CA Q 平分BCD ∠，2BCD BCA ∴∠=∠， ···················································································· 1分 2BCD E ∴∠=∠， ························································································ 1分x又2B E ∠=∠Q ，B BCD ∴∠=∠． ·························································································· 1分 ∴梯形ABCD 是等腰梯形，即AB DC =． ························································· 2分 （2）解：如图3，作AF BC ⊥，DG BC ⊥， 垂足分别为F G ，，则AF DG ∥．在Rt AFB △中，tg 2B =，2AF BF ∴=．…………1分又AB =Q 222AB AF BF =+，2254BF BF ∴=+，得1BF =．……………………1分同理可知，在Rt DGC △中，1CG =．……………1分 AD BC Q ∥，DAC ACB ∴∠=∠．又ACB ACD ∠=∠Q ，DAC ACD ∴∠=∠，AD DC ∴=．DC AB ==QAD ∴=． ···································································· 1分AD BC Q ∥，AF DG ∥，∴四边形AFGD是平行四边形，FG AD ∴==． ···· 1分2BC BF FG GC ∴=++=+．··································································· 1分24．（1）解：Q 函数(0my x x=>，m 是常数）图象经过(14)A ，，4m ∴=． ·········· 1分 设BD AC ，交于点E ，据题意，可得B 点的坐标为4a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，D 点的坐标为40a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，E 点的坐标为41a ⎛⎫⎪⎝⎭，， ···················································································· 1分 1a >Q ，DB a ∴=，44AE a=-． 由ABD △的面积为4，即14442a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ······················································· 1分 得3a =，∴点B 的坐标为433⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ··································································· 1分 （2）证明：据题意，点C 的坐标为(10)，，1DE =，1a >Q ，易得4EC a=，1BE a =-， 111BE a a DE -∴==-，4414AE a a CEa-==-． ····················································· 2分B FG E图3BE AEDE CE∴=． ······························································································ 1分 DC AB ∴∥． ······························································································ 1分 （3）解：DC AB Q ∥，∴当AD BC =时，有两种情况： ①当AD BC ∥时，四边形ADCB 是平行四边形，由（2）得，1BE AEa DE CE==-，11a ∴-=，得2a =．∴点B 的坐标是（2，2）． ·············································································· 1分设直线AB 的函数解析式为y kx b =+，把点A B ，的坐标代入，得422k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得26.k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的函数解析式是26y x =-+． ··························································· 1分②当AD 与BC 所在直线不平行时，四边形ADCB 是等腰梯形，则BD AC =，4a ∴=，∴点B 的坐标是（4，1）． ············································ 1分 设直线AB 的函数解析式为y kx b =+，把点A B ，的坐标代入，得414.k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得15k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的函数解析式是5y x =-+． ····························································· 1分综上所述，所求直线AB 的函数解析式是26y x =-+或5y x =-+． 25．（1）证明：如图4，连结OB OP ，，O Q 是等边三角形BPQ 的外心，OB OP ∴=， ··················································· 1分 圆心角3601203BOP ∠==oo ． 当OB 不垂直于AM 时，作OH AM ⊥，OT AN ⊥，垂足分别为H T ，． 由360HOT A AHO ATO ∠+∠+∠+∠=o，且60A ∠=o，90AHO ATO ∠=∠=o ，120HOT ∴∠=o ．BOH POT ∴∠=∠． ····················································································· 1分 Rt Rt BOH POT ∴△≌△． ··········································································· 1分 OH OT ∴=．∴点O 在MAN ∠的平分线上． ···················································· 1分 当OB AM ⊥时，36090APO A BOP OBA ∠=-∠-∠-∠=oo． 即OP AN ⊥，∴点O 在MAN ∠的平分线上．综上所述，当点P 在射线AN 上运动时，点O 在MAN ∠的平分线上．（2）解：如图5，AO Q 平分MAN ∠，且60MAN ∠=o ，30BAO PAO ∴∠=∠=o ． ·············································································· 1分 由（1）知，OB OP =，120BOP ∠=o，30CBO ∴∠=o ，CBO PAC ∴∠=∠．BCO PCA ∠=∠Q ，AOB APC ∴∠=∠． ························································· 1分 ABO ACP ∴△∽△． AB AOAC AP∴=．AC AO AB AP ∴=g g ．4y x ∴=． ·············································· 1分 定义域为：0x >．························································································· 1分 （3）解：①如图6，当BP 与圆I相切时，AO = ······································· 2分 ②如图7，当BP 与圆I相切时，AO =； ··················································· 1分 ③如图8，当BQ 与圆I 相切时，0AO =． ························································ 2分M图6M图7M图8M图4M图5。
上海市第02届“金桥杯”中学生初中数学知识应用竞赛初赛试题
上海市第02届“金桥杯”中学生数学知识应用竞赛初赛试题上海市第二届“金桥杯”中学生数学知识应用竞赛初赛于1993年3月举行,决赛在9月举行．【初赛试题】初赛试题共有十五题,其中一～十题,每题满分为10分；十一～十五题,每题满分为16分．满分为180分．一、为测量建造中的上海东方明珠电视塔已达到的高度．小明在学校操场某一直线上选择三点A、B、C,且AB＝BC＝60米,分别在A、B、C三点观察塔的最高点,测得仰角为45°,54.2°,60°,小明身高为1.5米,试问建造中的电视塔现在已达到的高度．(结果保留一位小数)二、已知边长为a的正三角形铁皮材料,剪去三个全等的四边形,如图3—14所示,可制成无盖的正三棱柱的盒子．试问如何剪裁才能使正三棱柱的体积最大？并求出体积最大值和此时材料利用率．三、某布店的一页帐簿上沾了墨水,如下图所示:所卖呢料米数看不清楚了,但记得是卖了整数米；金额项目只看到后面三个数码7.28,但前面的三个数码看不清楚了,请您帮助查清这笔帐．四、某出口加工区总公司与下属各子公司进行信息联网,已测得各子公司A、B、C、D、E、F、G、H、J之间与总公司S联网费用如图3—15所示(单位:千元)．现拟设计一个联网优化方案,既要求各子公司之间与总公司都能连通,又要使联网费用最省,试问如何联网？费用是多少？五、在下乡劳动中,30个学生,每人拾了一篮稻穗放在田埂旁,每隔5米排成一列,不妨依次叫第1号、第2号、…、第30号,每人将篮中稻穗集中到第n号处(1≤n≤30),放在一起,然后带着空篮走回原处,试求使大家所走路程总和最小的n值．六、一半径R＝150mm球形工件,打一斜孔如图3—16(a)所示,为了准确测量斜孔两端半径r1和r2,用两精密量球(半径R2＝100mm和R2＝80mm)以如图3—16(b)所示方式测量,测得两球外端水平距离L1＝651.40mm；再将右端量球换为半径R3＝80mm,左端量球不变仍为R2＝80mm,又测得L2＝610.17mm．(1)求r1和r2(结果保留两位小数)；(2)求小孔的斜角α的值(结果保留分)．七、A、B两个产地分别生产同一规格产品12千吨、8千吨,而D、E、F三地分别需要8千吨、6千吨、6千吨,每千吨的运价表如下:怎样确定调运方案,使总的运费为最小？八、在机械设计中,已知AB＝AC＝a,CD⊥BD,∠CAD＝θ(图3—17),当θ为何值时,△BDC面积最大,并求出最大值．九、某一信托投资公司,考虑投资1600万元建造一座涉外宾馆,经预测,该宾馆建成后,每年底可获利600万元,试问三年内能否把全部投资收回？假设银行每年复利计息,利率为10％,若需要在三年内收回全部投资,每年至少应收益多少万元？(结果保留一位小数)十、在正方形铁皮上任意划9条直线,如果每一条直线都将正方形分成两部分面积之比为m∶n(m, n∈N),那么这样9条直线中至少有3条直线交于一点,对吗,为什么？十一、五种商品价格如下:现在用60元恰好选购10件商品,试问有哪几种选购方式？十二、根据图3—18所示零件的视图,画出它的直观图、展开图(并要留出做成模型的粘贴处),并求出这个零件的表面积与体积．一个供应站H的位置,使它到四个工厂距离和HA＋HB＋HC＋HD为最小,说明道理,并求出最小值．十四、一个零件模具的底面由甲、乙、丙三个边长均为a的正方形按如下要求叠合而成:甲的一个顶点落在乙的中心上,乙的一个顶点落在丙的中心上,丙的一个顶点落在甲的中心上．求这个模具底面的面积．＝270 mm,下底十五、一煤粉炉球磨机衬板为圆台的侧面,上底半径R1半径R＝1147 mm,轴截面母线夹角为154°,这圆台侧面是由18块相同的2扇环形钢板焊接而成。
上海市中学生数学知识应用竞赛
第一部分选择题(共50分)、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，有(A) 图 开关A 是灯泡 的充分 要条 (B) 图开关A 闭合是灯泡B 亮的充分且必要条件； B 亮的不充分又不必要条件AB 4i 2j,AC 3i 4j ，则 ABC 的面积等于(). (A)15(B)10(C) 7.5(D) 57. f X 与g X 是定义在R 上的可导函数•若f X g X ，贝U f X 与g X 满足( )8.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示， 它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一 个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为 ，大正方形的11 1 7(A)-(B)-(C)-(D)-2488112.与4 终边相冋的角为().33(A)(B)一(C)(D)4444223.已知集合S (X, y) 16y9 1 , M(X,y)X 2 y 2 1 ,则S 与M 的关系是().(A) S M (B) M S(C) S M (D) S M M且只有一项是符合题目要求的 •请将唯一正确的答案代号填在第4页的答题卷上 1•一枚硬币连掷三次至少出现一次正面朝上的概率是( ) In x 的增区间为(4•函数f(X ) 2x 2(A) [0,)(B)(冷)(C)(1(D) (0,)① 中闭合B 亮不必件；② 中6.设 i, j是平面直角坐标系内X 轴， y 轴正方向上的单位向量且(A) f X g X (B) f X g X 是常数函数 (C) f X g X 0(D) f X g X 是常数函数(C) 图③中开关A 闭合是灯泡 (D) 图④中开关A 闭合是灯泡 5•观察下列四个电路图，结论正确的是 B 亮的必要不充分条件;14.如图，在透明塑料做成的长方体封闭容器中注入一些水，固定容器的一边 随着容器的倾斜程度不同，水所构成的几何体的各个表面图形形状和大小也不同，多地找出水所构成几何体的各个表面在变化中图形的形状或大小之间所存在的各种规 律: _______________________（要求：各种规律的表述要科学 DE 将其倾斜,试尽可能 三、解答题; 16.（本题满分13分）已（第14题图1,准确•每答对1个给1分，本题满分5分） B3 Aax的解集为4, b ，求实数a, b 的值.2f X 的图象关于直线x 3对称D 当f （1cc面积为1，小正方形的面积为 ，则sin 2cos 2的值为（25 9•若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”，设a n 是公比为q 、前n 项和为S n 的无穷等比数列，下列a n 的四组量：①$!与S 2；②a 2与S 3 ；3玄!与a n ;@q 与a .中, 一定能成为该数列的“基本量”的是 （）• （A ）①②（B ） ①④（C ）③④ （D ）①②③10•已知直线m 、n 及平面 ，其中m//n ,那么在平面内到两条直线 m 、n 距离相等的点的集合可能为① 一条直线；② 一个平面；③ 一个点；④ 空集.其中正确的是（）•（A ）①②③；（B ）①②④； （C ）①④； （D ）②④.第二部分非选择题（共100分）二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，满分20分•请将答案填在第4页的答题卷中 11.如图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n n N *行，在这些数中非 1的数字之和是1 1 1 12 1 133 11 4 6 4 112•若点P 为抛物线y 2 10x 上的动点，则点P 到直线x y 513.定义在 R 上的函数fx ,对任意实数x ,都有f2，且f 11，贝U f 2005的值为(A)12 25(B) 24 25(C)7 25 (D)7 250距离的最小值（3分），此时点P 的坐标为（2 分）.F15.(本;B（2 ) 320,且3j2cosx sin x ----------- 时，试求517.（本题满分 13 分）女口图，直角梯形 OABC 中，AO 丄OC , AB // OC ,OC 2,OS OA AB 1 .SO 平面 OABC.以 OC , OA,OS 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建 立直角坐标系O-xyz .（I ）求异面直线 SC 与OB 所成角； （n ）设n 1, p,q ，满足n 平面SBC.求:①n 的坐标；② OA 与平面SBC 的夹角 （用反三角函数表 示）;③ 点O 到平面SBC 的距离.18.（本题满分14分）设x, y R , i 、j 为直 角坐标平面内 x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若 a xi （ y 2）j, b xi （y 2）j ，且（I ）求点 M （x, y ）的轨迹C 的方程;（n ）过点（0, 3）作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB ，是否存在这样 的直线I ，使得四边形 OAPB 是矩形若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 . 19.（本题满分14分）某基本系统是由四个整流二极管（串，并）联结而成 .已知每个二极管的可靠度为0.8 （即正常工作时）•若要求系统的可靠度大于 0.85，请你设计出二极管的各种 可能的联结方案（要求：画出相应的设计图形，并有相应的计算说明）20 （本题满分14分）直线x y n n 3,且n N 与x 轴、y 轴所围成区域内部 （不包 括边界）的整点个数为a n ,所围成区域（包括边界） 的整点个数为b n （整点就是横、纵坐标均为整数的 点）.（I ）求a n 及b n 的表达式；（n ）对区域内部的 a n 个整点用红、黄、蓝三色之一着色，其方法总数为 A n ，对所围区域的b n 个整点，用红、蓝两色之一着色，其方法总数为B n ，试比较A n 与B n 的大小.2005年广州市高中数学青年教师解题比赛决赛参考答案15sin 2x的值.cos x —4a b 8.zx3 2法二：.x ax依题意，上式等价于 a . x 2 \ x 、、b 0、选择题答案 题号 1 23 4 5 6 7 8 9 10 答案 D ACCDDBDBB、填空题答案11. 2n 2n 12.- -,(-,5) 13. f 2005= 20054214.⑴水面是矩形; ____________________________________________________________________⑵ 四个侧面中，一组对面是直角梯形，另一组对面是矩形; _________________________________ ⑶ 水面的大小是变化的，水面与平面CDEF 所成二面角越小，水面的面积越大; ___________⑷ 形状为直角梯形的两个侧面面积是不变的，这两个直角梯形全等; _________________________ ⑸侧面积不变; ________________________________________________________________________ ⑹ 侧面中两组对面的面积之和相等; _____________________________________________________ ⑺形状为矩形的两个侧面的面积之和为定值; ______________________________________________ ⑻AB+CD 为定值; _____________________________________________________________________ ⑼ 如果长方体的倾斜程度为a 时，则水面与与底面所成的角为 90 - a ；⑽ 底面的面积=水面的面积Xcos ( 90 - a)=水面的面积x sin a ； _____________________(11) 当倾斜程度增大，点 A 在BD 之间时，A 与B 重合时，BD= 2h (h 为水面原来的高度);(12) 若容器的高度 PD<2h ，当 A 与B 重合时，水将溢出; _________________________________ (13) 点A 在BD 内部时，△ ADC 的面积为定值.三、解答题15.(本题满分川2 /分)已知&B数a,b 的值.3的解集为4'b 法一：如图，在同一直角坐标题图中1, 作 及y = ax +小的大致设 y = ax + 2 与 Y 轴 y =• x由条件及图像可知 A ( 0, 3 ), B (4, 2), 令 C (b, b ) (b >0) 由k ABk BC8'b36分别交于A 、B 、C 点Faxy = x (x >0)a 2, b 1 - f — 3 2 a. b2 a 08 3616.(本题满分13 分)已知函数y f x 的图象关于直线x 3对称，当f ( 1) 320,且 cosx sin xcos x且 sin2x =—2515sin 2x 解：由 3血 cosx —si nx =-5可得 cos (x+ — )415 si n 2x=7cos x又••• y f x 是关于x =3对称的函数,15sin 2x=f (7)cos x=f (-1 ) =320 …17.(本题满分13分)如图，直角梯形 OABC 中，AO 丄OC , AB // OC ,OC 2, OS OA AB 1 . SO 平面 OABC.以OC ，OA,OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐 标系O-xyz.zS'(I)求异面直线SC 与OB 所成角； (U)设 n 1, p,q ，满足 n 平面 SBC. 求:过O 作OH 丄SE 于H ，则OH 丄面SBC •/ OE =、、2 :. SE= , 3•••点O 到平面SBC 的距离为空3（法二）（注：也可以利用法向量 n 求解，相应给分） ③ 延长CB 与OA 交于F ，贝U OF = 2连FH ，则/ OFH 为所求角此时sin14分）设x,y R , i , j 为直角坐标平面内x 轴，y 轴正方向上的单①n 的坐标;②OA 与平面SBC 的夹角（用反三角函数表示）③点O 到平面SBC 的距离.解：（I ）.如图：C （2 , 0 , 0） , S （0 , 0 ,1）,0 (0 , 0 , 0) , B(1 ,1 , 0),••• SC 20, 1 OB 1,10• COS SC,OB45•一 10故异面直线SC 与OB 所成的角为arccos —5(n ).①••• SB1,1, 1CB1,10平面SBCSB CB1,12 ②（法一）过 O 作OE 丄BC 于E ,连SE,贝U SE X BC , 故BC 丄面SOE18.（本题满分y■>位向量，若a xi (y 2)j,b xi (y 2)j，且 a b 8.k2214 3k23k18k4 3k2(I)求点M (x, y)的轨迹C的方程;(n)过点(0, 3)作直线I与曲线C交于A、B两点，设OP存在这样的直线I，使得四边形OAPB是矩形若存在，求出直线I的方程；若不存在，请说明理由.解：(I)(解法一)由a b 8知点M( x,y )到两个定点F l (0.-2 )、F2 (0,2 )的距离之和为82 2•••轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，它的方程是—厶112 16(解法二)：由题意得，x2 y 2 2 x2 y 2 28两次平方得4 x2y 2 28 y 22 2整理得：—J 112 16(n)V l过y轴上的点(0，3 )，若I是y轴时，则A、B两点是椭圆的顶点由OP OA OB 0知P与O重合这与四边形OAPB是矩形矛盾,•直线l是y轴不可能当直线1的斜率存在时，可设直线1的的万程是y—kx+3y kx 3由题意得 2 x2y11216此时18k2443k2210恒成立且X A X B18k212, A B24 3k 4 3k•/ OP OA OB，•••四边形OAPB是平行四边形.若存在直线l,使四边形OAPB是矩形,则OA OB,即OA OB 0 ,有X A X B gB02• 1 k x A x B 3k x A x B9 0OA OB，是否k2 2 k 空16 4.■5当k 一时，存在直线l: y一3使四边形OAPE是矩形4419. （本题满分14分）某基本系统是由四个整流二极管（串，并）联结而成•已知每个二极管的可靠度为0.8 （即正常工作时）.若要求系统的可靠度大于0.85，请你设计出二极管的各种可能的联结方案（要求：画出相应的设计图形，并有相应的计算说明）.解：⑴ 全部并联，可靠度1- 0.2 4= 0.9984 > 0.852 2⑵ 每两个串联后再并联，可靠度1 1 0.82= 0.8704 > 0.852 2⑶每两个并联后再串联，可靠度 1 0.2 =] ----- 10.9216 > 0.85⑷ 三个串联后再与第四个并联， f f 可靠度M I --------------- 1 M31-0.2 1 0.8 = 0.9024 > 0.852 c⑸ 两个串联后再与第三、第四个并联，可靠度1-0.2 1 0.82= 0.9856 > 0.8520. （本题满分14分）直线x y n n 3,且n N与x轴、y轴所围成区域内部（不包括边界）的整点个数为a n，所围成区域（包括边界）的整点个数为b n （整点就是横、纵坐标均为整数的点）.（I）求a n及b n的表达式；（U）对区域内部的a n个整点用红、黄、蓝三色之一着色，其方法总数为A n，对所围区域的b n个整点，用红、蓝两色之一着色，其方法总数为B n，试比较A n 与B n的大小.解：1 .求区域内部（不包括边界）的整点个数a n,就是求不等式x+ y v n的正整数解, 当x= 1时，当x= 2时，y= 1,2,…,(n-2 )，共n-2 个值，y= 1,2,…,(n-3 )，共n-3 个值，依此类推得：n 2 n 1 a n= 1+2+…+ (n-2 ) = 2 .求区域（包括边界）的整点个数b n ,就是求不等式x + y < n的非负整数解,同上得： , n 2 n 1 b n =( n+1) +n+…+2+1+=2n .对区域内部的a n 个整点中的每一个都有三种着色方法，由乘法原理知:A n 3an3n 1 n 2B n时有—n4 得 n215n4 n 1 n 2有n -1 n 2522 n 13n2 0… 得n 12n N• n w 12 时，A n V B n .最后，n =13、14时，比较A n 与B n 的大小 由 43366,B 13 2105有 Ig A 13 66 Ig 3 66 0.477131.4886所以 n=13 时，A n V B n . 同理，n=14 时，A n >B n故 3w n W 13 时，A n V B n . n A 14 时，A n > B n .同理B n2bn15••• n > 14 时, A n > B n⑵当A n351028102抽B n。
2000-2017年(大同杯原新知杯)历年上海市初中数学竞赛试卷和参考答案
上海市大同杯（原新知杯、宇振杯）初中数学竞赛试题和参考答案目录2017年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题 3 2017年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题参考答案 6 2016年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题11 2016年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题参考答案14 2015年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题18 2015年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题详解22 2014年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题29 2014年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试题参考答案31 2013年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题35 2013年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题参考答案38 2012年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题43 2012年上海市初中数学竞赛（新知杯）试题详解46 2011年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷50 2011年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷详解53 2010年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷59 2010年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷详解61 2009年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷68 2009年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷参考答案71 2008年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷752008年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷参考答案79 2007年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷81 2007年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷答案详解83 2006年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷87 2006年上海市初中数学竞赛（新知杯）试卷答案详解90 2005年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷94 2005年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案97 2004年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷99 2004年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案101 2003年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷104 2003年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案106 2002年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷107 2002年上海市初中数学竞赛（宇振杯）试卷参考答案108 2000年上海市初中数学竞赛（弘晟杯）试题110 2000年上海市初中数学竞赛（弘晟杯）试题参考答案1112017年上海市初中数学竞赛（大同中学杯）试卷一、 填空题（每题10分，共80分）1. 已知抛物线c bx ax y ++=2过点（0，0），（22.5，2020.5），（62.5，1812.5），则抛物线与x 轴的另一交点的横坐标为 （精确到0.001）。
2007 年上海市高中数学竞赛试卷
2007年上海市高中数学竞赛试卷（2007年3月25日星期日上午8：30~10：30）【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题（本题分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1．方程的实数解 ___________________．2．有一条长度为1的线段，其端点在边长为3的正方形的四边上滑动，当EF绕着正方形的四边滑动一周时，EF的中点所形成的轨迹的长是_____________．3．复数数列满足，，则它的前2007项的和为______________．4．已知是大小为的二面角，为二面角内一定点，且到半平面和的距离分别为和6，分别是半平面α，内的动点，则周长的最小值为_______________．5．已知平面直角坐标系中点与点的对应法则.若一段曲线在对应法则下对应椭圆的一段弧，则这段曲线的方程是___________________．6．已知，计算：___________________．7．已知数列满足，则数列{}nx的通项公式___________________．8．已知圆，过轴上的点存在⊙的割线，使得，则点的横坐标的取值范围是___________________．二、解答题9．（本题满分14分）对任意正整数，用表示满足不定方程的正整数对的个数，例如，满足的正整数对有三个，则求出使得的所有正整数．10．（本题满分14分）已知关于的方程有3个正实根，求的最小值．11．（本题满分16与轴所成的角为，求．12．（本题满分16分）求满足如下条件的最小正整数，在圆的圆周上任取个点，则在个角中，至少有2007个不超过．2007年上海市高中数学竞赛答案一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1、 2、 3、 4、 5、 6、7、 8、二、解答题9．（本题满分14分）对任意正整数n ，用()n S 表示满足不定方程n y x 111=+的正整数对()y x ,的个数，例如，满足2111=+y x 的正整数对有()()()6,3,4,4,3,6三个，则().32=S 求出使得()2007=n S 的所有正整数n ．解 由知 令，，则∴等于正整数对的个数，从而()n S 等于的正约数的个数.………………（3分） 设，其中为不同质数，且 则正约数个数为………（6分） 令，则 或，或或∴满足条件的或或或……（14分） （每个答案2分，共8分）10．（本题满分14分）已知关于x 的方程()0462sin sin 23=−++−x x x θθ有3个正实根，求()()22sin 3sin 6cos 2cos 13sin 4sin 92+−−−+−=θθθθθθu 的最大值．解 原方程为.因为原方程有三个正实根，所以关于的二次方程有两个正实根.……………………（3分）……（10分）当时，等号成立. ……………………………………………………………………………（14分）11．（本题满分16分）已知抛物线()022>=ppxy，AB是过焦点F的弦，如果AB与x轴所成的角为，求AOB∠．解以F则抛物线方程为（这里为级角）.作AM轴，其中M、N为垂足.于是…………………………………………………………（8分）又.…………………………（12分）于是.…………………………………………………………（16分）θ【另解】当时，AB，即.这个结果对也成立.………………（4分）将它代入抛物线方程，得x…………………………………………………………………（8分） 过A 、B 分别作轴的垂线AP 、BQ .连AO 、BO ，则………………………………………………………（12分）…………………………（16分）12．（本题满分16分）求满足如下条件的最小正整数n ，在圆O 的圆周上任取n 个点n A A A ,,,21⋅⋅⋅，则在2n C 个角()n j i OA A j i ≤≤≤∠1中，至少有2007D 120解 首先，当时，如图，设AB 是⊙O 的直径，在点A 和B 的附近分别取45个点.此时只有 个角不超过120°,所以不满足题意.………………………………（4分） 当时，下面证明至少有2007个角不超过 .对圆周上的91个点，若则连.这样就得到一个圆.设圆中条边， ∵当时，∴圆G 中没有三角形.若l =0，则有个角不超过D120，命题得证.……………………（8分）若l ≥1，不妨设A 1、A 2之间有边相连，因为圆中没有三角形，所以对于点，它至多于A 1、A 2中的一个有边相连，所以，其中表示从A 处引出的边数.∵,而对圆G 中每一条边的两个顶点，都有.于是上式对每一条边求和可得 ………………………………………（12分） 由柯西不等式，所以 91个顶点中，至少有个点对，它们之间没有边相连，从而对应的顶点所对应的角不超过120°. 综上所述，的最小值为91.……………………………………………………（16分）。
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第一部分选择题（共50分）一、选择都 本大题共10小腰，每小题5分，满分50分.在每小霆给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的.请将唯一正确的答案代号填在第4页的答题卷上1.一枚硬币连掷三次至少出现一次正面朝上的概率是（）.（A ）：(B) 74（C ）i（D ）；O1U2.与一终边相同的角为（).3兀(A)- —47T(B)4。
7(D)苧2 23.已知集合S={x,y)|£ +匕■ = 】}.169).Af = {.r,y)|x 2+/=!}•则S 与 M 的关系是((A) Sc A/(B)A/谿 S （c ）snM=（i ）(D)SnM=Af4.函数f （x ） = 2x 1-\nx 的增区间为（(B )(-x,l)(A) [0,+co)(C)寿+8)(D) (0,+oo)5.观察下列四个电路图，结论正确的是（ ）.□（A ） 图①中开关A 闭合是灯泡B 亮的充分不必要条件：（B ） 图②中开关A 闭合是灯泡B 亮的必要不充分条件：（C ） 图③中开关A 闭合是灯泡B 亮的充分且必要条件：（D ） 图④中开关A 闭合是灯泡B 亮的不充分又不必要条件.6.设/•,_/是平面直角坐标系内x轴，y轴正方向上的单位向量且a5=47+2J,JC=37+47,则的面枳等于().(A)15(B)10(C)7.5(D)57./(x)与g(x)是定义在R上的可导函数.若r(x)=g(),则，(r)与g(x)满足().(A)f(x)=g(x)(B)/G)-g(x)是常数函数(C)，(小g(x)=0(D)/(d+gG)是常数函数.8.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为0，大正方形的面积为1，小正方形的面积为—,则sin^O-cosZ。
的值为().25I22477(A)-—(B)—(C)—(D)-—252525259.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基木量”,设&“｝是公比为9、前n项和为S”的无穷等比数列，下列备“｝的四组量：口S］与$2；②％与$3：③0与④q与％中，一定能成为该数列的“基本量”的是().(A)(1)®(B)①(3)(C)③<3)(D)伽X§)10.已知直线”7、〃及平面a,其中mlln,那么在平面a内到两条直线〃?、〃距离相等的点的集合可能为①一条直线：②一个平面；③一个点：④空集.其中正确的是(). (A)(JX§X3)：(B)(XX§X4)：(C)Q(g)：(D)(§X3).第二部分非选择题(共100分)二、填空题：本大JK共4小题，每小题5分，滴分20分.请将答案填在第4页的答患卷中.11.如图，在杨辉三角形中，从上往下数共有行，在这些数中非1的数字之和是11112113311464112.若点户为抛物线y2=\0x上的动点，则点P到直线x+y+5=Q距离的最小值为(3分)，此时点P的坐标为(2分).13.定义在R上的函数/(x),对任意实数x,都有/(.x+3)</(x)+3和/(r+2)>/&)+2,且/(1)=1,则/(2005)的值为.【4.如图，在透明塑料做成的长方体封闭容器中注入一些水，固定容器的一边DE将其倾斜, 随着容器的倾斜程度不同，水所构成的儿何体的各个表面图形形状和大小也不同，试尽可能多地找出水所构成儿何体的各个表面在变化中图形的形状或大小之间所存在的各种规律:三、解答题：15.(本患滴分12分)已知V7>av+|的解集为佃b),求实数力的值.16.(本题滴分13分)已知函数y=f(x)的图象关于直线x=3对称，当/(-!)=320,且cosx-sin.r=的值.17.(本题满分13分)如图，直角梯形OABC中，AO1OC.AB//OC,OC=2,OS=OA=AB=\.SO L平面OABC.以OC,Q4QS分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系O-xyz.（I）求异面直线sc与Og所成角：（II）设亓=（l,p,q）,满足亓J_平面SBC.求：①亓的坐标：②Q4与平面S8C的夹角0（用反三角函数表示）：y③点O到平面S8C的距离.A18.（本题满分14分）设x,yeR.刊j为直角坐标平面内x轴、y轴正方向上的单位向量，若a=x7+（y+2）j,h=x7+（y-2）j,且\a\+|a|=8.（I）求点的轨迹C的方程：（ID过点（0,3）作直线，与曲线C交于A、B两点，设OP=OA+OB,是否存在这样的直线/，使得四边形Q4所是短形？若存在，求出直线/的方程：若不存在，请说明理由.19.（本题滴分14分）某基本系统是由四个整流二极管（串，并）联结而成.已知每个二极管的可靠度为0.8（即正常工作时）.若要求系统的可靠度大于0.85,请你设计出二极管的各种可能的联结方案（要求：画出相应的设计图形，并有相应的计算说明）.——I-----1------整流二极管20（本题滴分14分）直线x+y=n[23,且〃《N）与x轴、y轴所围成区域内部（不包括边界）的整点个数为％,所围成区域（包括边界）的整点个数为如（整点就是横、纵坐标均为整数的点）.（I）求。
2007年新知杯上海市高中数学竞赛
数（ 注意到≠ ≠
１ ＿ １
， 因为 为偶数； 又
１＿ １
２ 与 ｉ ＋１ 质 ， 一１与 ＋１互 质 ， 是 互 ｉ 也 因为 为 偶 数 ； 外 ， ＋１ ０ ， 为 ≥ 另 ＞１０ 因
１ ） 从而 ， ，》， ， ， ， ， ，》 两 Ｏ， ｎ ｎ … ｎ ６ ６ … ６
—
—
（ 一 ＿ × ＝ ． 丁（ ） ㈥ １ － ｆ ７ 一（ ． 号一 ． 吾
＝
ｚ ＿ 十 — ： １ ＋ ｇ ： ∞ ／＝ — —— ＝ ——
，
．
ｎ 十 ０
ｇ，十 ／
Ｄ
ｇ， ／
由 半
ｌ
ｎ
得
ｌ
ｎ １ ＋
一
因此 ， （／等 于 正整数 对 （ ， ） Ｓｇ ， ） ０ ６ 的个 数． 从而 ， （ ） ｓ 凡 等于 ｇ 的正约数 的个数 ． ／ ， 设 凡＝ 一 ， 中， １Ｐ ， Ｐ Ｐ・ ｌ ｐ 路 其 Ｐ ，２ …，
．
故 船 ＝
故当 ／为偶数 时， ７ ，
ｅ￣ Ｍ 一 ：Ｐ
：２ Ｂ ２ Ａ ≤ ｄ
１３ 凡１ （丢 ； ） ） （一 ＝一） “２ ）
当 ／为奇数时， ７ ，
ｌ ｌ ≤昙ｄ＊ 口 １ ＋ ６ ｅ （ 一 ） ３≤ ２
幸 １ √ ≤ ０ ＋３ ｊ． —３ ≤１ √
两不相等 ． 显然 ｍ＝１６ ｎ＝１０ ６， １ 满足 “ 大于 １０且 小 于 １０ ｍ 一／ ０ ． 外 ， 容 易验 ０ ７， １ ≥５” 另 也 证： 以上的表示方式都满足“ ２ 一ｂ，２： ｎ … ｎ 一 汁 ｂ ， ， 一６ （ … ｎ＋ ＝０ １ … ， ～ｎ 也 两 两 ，， ｍ ） 不 相 等” ． 综上所述 ， 以上 所 构 造 的 ２０ ８的表 示 ０ 式 完全 符合 题 目要 求 ， 且表 示式 有无 限多个 ． （ 吴伟 朝 广 州 大 学数 学 与信 息 科 学 学
2007年上海地区TI杯高二学年数学竞赛
108
14
王帅骏
民本中学
男
108
15
陈一镭
西南位育中学
男
108
16
张天伟
上南中学
男
108
17
顾宇丰
育才中学
男
108
18
李汝勇
行知中学
男
106
19
汤 艨
上海中学
男
105
20
陈文哲
交通大学附属中学
男
105
21
赵立毅
上海市实验学校
男
105
22
涂伟康
大同中学
男
105
23
徐 力
市西中学
男
105
24
武亦文
位育中学
35
朱 辉
闵行中学
男
102
36
朱晟祺
建平中学
男
102
37
蒋宇杰
位育中学
男
102
38
张尚骏
位育中学
女
102
39
陶 杰
进才中学
男
102
40
陈雨崴
敬业中学
男
102
41
宋家骥
杨浦高级中学
男
102
42
刘雄飞
育才中学
男
102
43
石宏霄
市西中学
男
101
44
刘基晟
上海中学
男
101
45
许 准
延安中学
男
101
46
吴 骥
格致中学
男
111
37
吕舒111
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2007年上海市中学生数学知识应用竞赛获奖名单上海市青少年科技教育中心上海市工业与应用数学学会2007年12月上海市中学生数学知识应用竞赛获奖名单（初中组）郊区组一等奖陆徐超金盟中学施嫣文淞谊中学蔡尚宁桃李园朱宇凯行知二中何廉远上宝中学李雨晴上宝中学宋思嘉堡镇中学陈骁俊育秀实验学校唐旭晨南汇一中邹晓栋平乐中学干忆楠干巷学校朱奇越活动中心莘松尤之一交大二附中二等奖孙旭东上宝中学童雯婷文来中学陈曦金盟中学张祯宇金盟中学倪俊晖实验中学印豪实验中学袁航交大二附中李家皓上宝中学陈宗涵莘松中学吴匡衡文来中学范亦唯行知二中郑瑞祥上宝中学胥昊和衷中学俞佳莹和衷中学茅婷婷东门中学戈欣港西中学陈邹裕中华中学郁雯雯民一中学潘舜智万祥学校沈依伟金盟中学唐梦飞上宝中学项嵘上海市莘光学校三等奖邴珏明和衷中学贡立凡行知二中高仕君枫泾中学沈鹤群东门中学屠雨澄上宝中学朱达民办文绮中学马玉玲民办文绮中学周晨旭汇龙学校毕杰明和衷中学周逸雯金盟中学施聪民一中学吴鑫上宝中学倪采上宝中学陈嘉懿和衷中学朱擎天民一中学章进明上宝中学夏辰鸣上宝中学唐嘉程南汇一中潘镜天尚德学校黄鸿志民一中学何俊杰上宝中学陈安芝文来中学洪琦笠莘松中学严格行知二中乔钦彧金盟中学连一鸣育秀实验学校张敏鑫实验学校陈键尚德学校王开雨尚德学校王筱骋淞谊中学张楚瑶行知二中周彦卿行知二中顾佳晖枫泾中学陆韬登瀛中学周光朕梅陇中学许怡琼文来中学张黎昇文来中学方申冬行知二中沈克罗星中学徐秋思罗星中学王爽实验中学龚军合兴中学王越文来中学谭盈蓓汇龙学校季一宝山进修附中李菲尔行知二中王晗莹行知二中梁冰尔行知二中吴冕行知二中喻世辰行知二中邵知会实验中学杜晗栩活动中心闵行五中李祺活动中心闵行五中马捷毅活动中心莘光王张宁活动中心莘光徐梦怡上宝中学田野疁城实验学校宋佳玮桃李园陆安琪和衷中学吴伊澄行知二中李昊罗星中学许昊文实验中学陆逸玮崇东中学王宇征交大二附中梅杰上宝中学王敏晟文来中学苏忆敏桃李园徐烨怀少学校王玮成桃李园周蓓三灶学校奚家昊澧溪中学吴袆松尚德学校邢怡行知二中黄煜飏东门中学陈超云洞泾学校沈晨程南汇二中市区组一等奖林一琪立达周晓晗世外中学陆宇豪市西初级张贻辰延安初中朱纪乐市北初级中学房屹东位育初级杨过超世外中学张嘉成进华中学孙毅君进华中学马莹玉民办扬波中学佘毅阳市北初级中学陆恺佶格致初级陈驰宇立达朱梦天立达周艺立达张建新市十李弘基市二初中程思愽兰生复旦柳圣云上外附中蒋若青立达二等奖赵成浩延安初中高嗣淳市北初级中学陈黎申东格致顾超格致初级黄欣桐上外附中肖阳延安初中肖佶年位育初级虞世泽华育中学潘昭市北初级中学万嘉悦立达金焘兰生复旦王鲁冰华初陆逸波立达鲍宏伟华育中学孟澄市北初级中学邓飞华育中学余盛铭位育初级余天哲市西初级胡亦知市西初级蔡一晓延安初中程淼梅陇中学周舟航市北初级中学万选青市北初级中学陆东衡位育初级余乐平华育中学张宇翔复兴王子源复兴张颖一华初顾翀上外附中陆灏川市北初级中学顾宇豪立达钱一鸣天山初中徐沁新世纪中学王逸敏延安初中张科延安初中甘全进华中学葛季敏进华中学刘天浩东格致董世豪立达徐道晨立达郑煚仁立达张言豪立达张永臻位育初级郑天铖位育初级聂子佩华育中学蔡云飞交大飞达邓永行上外附中李文祺迅行中学三等奖吕立一徐汇中学王梓璇复旦二附中王奕帆立达沈翊舟上外附中刘忆枫进华中学杨溢涵市北初级中学严小力立达陶倩芸位育初级贺秋瑞华育中学周顺帆存志中学张祺隆凯慧中学蔡磊卿兰生复旦杨奕玮上外双语曹雨晨上外附中孙懿馨立达徐俊楠市北初级中学陈闻达西南位育中学孙思情凯慧中学胡秋煜市西初级金越进华中学陆逢源进华中学恽峙泓兰生复旦田明昊进华中学张易位育初级蒋旻昊梅陇中学陆怡心民办田家炳中学袁苑彭浦初级中学宋阳市北初级中学孙哲铖市北初级中学包雪郦储能谢张圆立达韩君超立达严青明珠沈卓荟存志中学林懿上外双语曹一夫华初金晶华初陆修远上外附中郁仁余立达孙泽远延安初中刘骏祎复旦二附中郑舒文市西初级黄昕炜市西初级蔡意歆延安初中程义婷真北中学朱瀛达市北初级中学陈末立达沈理良市北初级中学梁栋华育中学沈一清复兴汪佳瑛进华中学顾思东格致周英杰应昌期钱隆西南位育中学吴恺奕位育初级张逸鸿位育初级优秀组织奖黄浦区青少年活动中心闵行区青少年活动中心崇明县青少年活动中心五四中学优秀组织教师奖徐汇区青少年活动中心周平普陀区青少年中心叶仪琳宝山区青少年科技指导站周卫平崇明县青少年活动中心刘建平闵行区青少年活动中心胡艳杨浦区青少年科技指导站杨家辉闸北区青少年科技指导站赵丽娟虹口区青少年活动中心王勇南汇区青少年科艺中心周水琴金山区第二少年宫季培康嘉定区青少年活动中心葛英姿上海市中学生数学知识应用竞赛获奖名单（高中组）团体奖第一名：位育中学第二名：嘉定一中第三名：育才中学第四名：上外附中第五名：上师大附中第六名：七宝中学第七名：交大附中第八名：曹杨二中一等奖朱俊彦交大附中顾宇丰育才中学林逸华位育中学王鹤鼎七宝中学马陆嘉定一中黄天怿上外附中二等奖沈楚雄位育中学陈中坚控江中学付冠一育才中学孙慧菱复兴高级中学王明圣育才中学潘道欣上海中学蔡迅捷格致中学黄鹏嘉定一中吴正骁曹杨二中薛纯嘉定一中秦历宽复旦附中陈鲁君育才中学郑腓力七宝中学蒋一心育才中学薛晏市西中学李庚上师大附中陈一镭西南位育李不凡格致中学钟楠位育中学刘亚儿曹杨二中三等奖陈健控江中学龚楷博建平中学刁嘉辉格致中学诸云麟交大附中沈思佳交大附中吴偲位育中学陆齐奥中国中学项宁位育中学徐栋新中高级中学陶冶位育中学严一祥市西中学王馨苑上师大附中王志宇复旦附中俞思民上师大附中蒋亦方向明中学韩笑纯上师大附中韩康育才中学高腾上师大附中周斯桐交大附中张妍圣民立中学沈之默控江中学黄旭华建平中学张讼曹杨二中江雨遥市西中学顾添逸育才中学朱晓骅上外附中邓彦桢上外附中孙裔劼上外附中魏志一交大附中丁梦婕上外附中范敏杰复旦附中李经纬七宝中学陈晟伟控江中学周正怡市二中学胡培栋新中高级中学张元闵行中学潘力萌位育中学吴佳鸣吴淞中学朱宇浩育才中学徐松大境中学王超晖市西中学杨硕华师大二附中杨轲七宝中学陈奇飞市北中学钱晨皓位育中学邵盈晋元中学魏朱晨位育中学陈婷婷市八中学刘畅流华师大二附中罗马上海中学陈晨华师大二附中金辉南汇中学石宏霄市西中学汤召君南汇中学黄尊峥育才中学沈佳骏南汇中学汪维卿位育中学张天伟上南中学蒋宇杰位育中学李翔嘉定一中杨玺控江中学张玉坚嘉定一中程九思嘉定一中尤俊杰大境中学2007年上海市中学生数学知识应用竞赛夏令营获奖名单一等奖交大附中杨奕晨王舒嶷杨扬育才中学顾宇丰孙领王明圣二等奖曹杨二中孟剑敏周楚远何骏曹杨二中张讼刘亚儿吴沐阳嘉定一中马陆郁悦朱晓燕嘉定一中陈昊朱子奇唐祎程建平中学武宁黄平俞人威交大附中诸云麟徐婷婷.控江中学陆奕骞沈之默陈健七宝中学李经纬王鹤鼎于岑宁上师大附中李思睿毛宜骏吴梦佳上外附中王瑛韫黄馨迪张集川杨浦高级中学宋家骥朱丹.上外附中刘仲林韩天宁张砾炜民立中学张妍圣李文婕吕岑麟上师大附中张丽媛段晓昕王馨苑上师大附中庄詠文姚璐王彦骏三等奖曹杨二中蒋欣怡陆悦韵薛雯莉曹杨二中郑惟达吴正骁朱书尧大境中学郭敏杰杨帆沈立扬复旦附中潘文凯傅向义范敏杰建平中学乔司雨吴晓燕王珏建平中学程业程力俞道亮建平中学朱晨祺黄旭华张钧凯交大附中邢诗萌陆笑天朱文烨控江中学陈晟伟魏传豪陈志浚控江中学戴奇骎付丽群张玮熙民立中学郭浩夏正阳鲁晓栋民立中学胡怡童丁文耀赵霁文七宝中学郑腓力杨柯鲍晨骏上师大附中宋羽希竺斌全俞筱骏上师大附中孙晓扬张驰赵雨潇上外附中黄通博许睿捷林澍坤上外附中屠思韡孙裔劼徐兆韬市三女中俞娉婷黄思颖施文君市西中学陆昱廷陶航飞王超晖市西中学陈世颖王一超薛晏位育中学汪维卿林逸华詹彦位育中学陶冶沈楚雄蒋祚赢西南位育汪濙海沈昱张隽仪向明中学陆竑斌朱恬骅汪晟骢育才中学刘雄飞王永吉姜凌霄育才中学熊建国王之骏封雪卉中国中学陆齐奥金晓峰赵嘉欣上外附中谢齐沁樊能史宇骋2007年上海市中学生数学知识应用小论文竞赛获奖名单一等奖地铁空调温度巧调节（复兴高级中学：孙慧菱）对违章鸣笛车辆的定位取证的研究（嘉定一中：程九思）（指导教师：谢锡林、徐泼）二等奖商务楼空调使用时间规划（民立中学：张妍圣）（指导教师：张向东）节能建筑之研究（上海师大附中：王馨苑）风力发电与火力发电的配置问题（七宝中学：李经纬、王鹤鼎、于岑宁）从女足世界杯谈起（建平中学：黄旭华）雨季时轮胎对安全的影响（晋元高级中学：邵盈）不可能图形的数学解析（位育中学：陶冶）三等奖图书馆新书购置的数学模型（向明中学：陆竑斌、朱恬骅、汪晟骢）补课效果的研究与探讨（中国中学：赵嘉欣、陆齐奥）最佳捕鱼方案（位育中学：吴偲）校园路灯的设计（建平中学：贺然、邓若晛）（指导教师：周宁医）电加热水的研究（嘉定一中：马陆）（指导教师：谢锡林、杨思源）五岔路口交通问题研究（市西中学：先毅昆、韩倞、胡喆之、王超珲）浅析沪深股票指数的相关性（松江二中：陈涣歆、张泓阳）。