微观经济学数学分析方法
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
满足一阶条件是极值的必要条件?充分条件?
双变量的情形
A
A
二阶条件
d z 0是极大值的充分条件, 但非必要条件。
2
因为在d 2 z 0时,也可能为极值。
例如,y x , dy 0时,x 0,
4
d y 12x 0
2 2
二阶必要条件
函数z为极大值的二阶必要条 件是: f ( x) 0或d z 0
简化表达
2 f 2 f x x x x 1 n 1 1 2 f 2 f x2 xn x2x1 2 2 f f x x x x n n n 1
面临多个约束时的一阶条件
F F F 0, 0, , 0, x1 x2 xn F F 0, 0
B1 0, B2 0, , Bn 0
练习
( 1 )z x 2 y 2 , ( x 0, y 0) (2)z ( x 1) ( y 2) , ( x 0, y 0)
2 2
运用加边海塞矩阵检验 下列函数的拟凹、拟凸 性:
(3)z xy, ( x 0, y 0)
x
x, y xy 1, x 0, y 0
凹函数(concave)
凹函数的定义
• 以最简单的单变量函数为例来定义:
Z f x
,u 和 v 是定义域中的两个量,且u v
令 x u (1 ) v , 0 1 如果满足 f ( x) f [u (1 )v] f (u) (1 ) f (v) 则称为凹函数(小于等于,凸函数)
d 2 z dx1 , dx2 dx n
dx1 , dx2 dx n
t
海塞矩阵(二阶导数矩阵)
f11 f 1n f f 21 2n H f n1 f nn
——蒋中一
意义
• 经济分析中,常假设可行集合(约束集)为凸集。 • 约束条件下可行集是凸集保证最优解唯一的必要条件。
问题
• 经济学分析中,有哪些约束集合?
练习题:判断下列集合是否为凸集
x x , y y e
2
x, y y 13 x
x, y y e
z
自由极值
y
约束极值
x
• 多约束条件下:约束条件的数量应少于决策变量的数量
约束条件下求极值的方法
• 拉格朗日乘数法 目标函数: z f ( x1 , x2 ,......xn ) 约束条件: s.t : g ( x1, x2 ,......xn ) c 构造一个新函数:
F(x1 , x2 ,......xn )=f ( x) c g ( x)
第二章 微观经济学分析的数学方法
凸集
• 定义
如果u S , v S , 满足u (1- )v S, 0 1,则集合S为凸集
例子
• 1维空间:单个点 • 2维空间: 直线、射线、线段 圆、椭圆、矩形、梯形、三角形等
三维空间呢?
总结
• “没有任何孔,边缘不能有缩进”
该函数的一阶全微分表示为:
f f f dz dx1 dx2 dxn x1 x2 xn
二阶全微分表达式
2 2 2 f f f d 2z dx1 dx1 dx1 dx2 dx1 dxn x1x1 x1x2 x1xn
正半定:即顺序主子式值全部大于等于零
• 当(非当且仅当)海塞矩阵为正定时,该函数为严格凸函数。
正定:即即顺序主子式值全部大于零
练习
检验下列函数的凹凸性:
zx
2
z 2x xy y
2
2
z x1 x2
2
z xy
z x
4
z x
2 1
2
zx x
2 2
(使用顺序主子式方法检验)
取该函数定义域中的两 个值u , v,且f (u ) f (v),满足: f ' (u )(v u ) o
如果函数z是一阶连续可微的,则 拟凹函数的一阶导数的 定义是:
对比凹函数: f (v) f (u) f ' (u) (v u)
拟凹函数的二阶必要条件
如果函数z f ( x)是二阶连续可微的,且 x1 , x2 xn 0, 则是拟凹函数的必要条 件是: 0, 当n为奇数 B1 0, B2 0, , Bn 0,当n为偶数
即:做任何一个切面,函数值均在切面或切面之下。
对于多变量函数
z f ( x ), u 和v 均在定义域中,取 (0 1) , 若满足: f [u (1 )v ] f (u ) (1 ) f (v ),该函数为凹函数。
若满足: f [u (1 )v ] f (u ) (1 ) f (v ),该函数为严格凹函数 。
2 f 2 f 2 f dx2 dx1 dx2 dx2 dx2 dxn x2x1 x2x2 x2xn
2 f 2 f 2 f dxn dx1 dxn dx2 dxn dxn xn x1 xnx2 xnxn
'' 2பைடு நூலகம்
回忆:关于凹函数
当且仅当d 2 z 0时,z f ( x)为凹函数 所以如果该函数是凹函 数,一定满足极大值的 二阶条件。 求极大值,只需要求满 足一阶条件的点就可以 了。
所以,当求无约束条件 下的最优解时,需假定 该函数为凹函数。
等式约束条件下的最优化问题
自由极值、约束极值
• 在无约束的最优化问题中,决策变量之间是彼此独立的。 • 但是当存在约束条件时,决策变量之间就要受到相互影响。
z
图示
C B D A
y
总结
• 在曲面上,任何两点的连线均在对应的曲线的下方,则称 为凹函数。
一阶导数的定义
当且仅当:
f u1 , v1 f u2 , v2 f v f u v1 u1 v2 u2 u1 u2
拟凹函数(quasiconcave)
定义
对于函数z f ( x)定义域中的不同点 u和v, 且f (v) f (u), 取(0 1 ) , 满足:
f v f u f u 1 v f u
则该函数为拟凹函数。 若严格大于,则为严格 拟凹函数。
A N B
u
v
思考:与凹函数的关系?
• 凹函数一定是拟凹函数,但拟凹函数不一定是凹函数。 • 拟凹性是比凹性要弱的条件。
典型图示
f(x)
X
上等值集判定方法
• 如果该函数的上等值集是凸集,则该函数为拟 凹函数。 • 上等值集的定义:
x f ( x) k
取k , 满足:
例子:
一阶导数定义
顺序主子式值正负交替变化
f11 0
f11 f1n f11 f12 f 21 f 22 0,n为奇数 0 0,n为偶数 f n1 f nn f 21 f 2 n
二阶导数的判定方法
• 当且仅当海塞矩阵为正半定时,该函数为凸函数。
定义
对于函数z f ( x)定义域中的不同点 u和v, 且f (v) f (u), 取(0 1 ) , 满足:
f [u (1 )v] f (v)
则该函数为拟凸函数。 若严格大于,则为严格 拟凸函数。
图示
函数图形上任意一段弧MN,使N 点高于M点,如果除M和N点外, 该弧段上的点均高于或等于M点, 则该函数为拟凹函数。
0 f1 Bn f 2 fn
f1 f11 f 21 f n1
f2 f12 f 22 fn2
fn f1n f 2n f nn
拟凹函数的充分条件
0,当n为奇数 B1 0, B2 0, , Bn 0,当n为偶数
拟凸函数的充分条件
凹函数的定义
• 对双变量函数来说:
z f ( x, y ), 取定义域中u (u1 , u2 ), v (v1 , v2 ), 令w u (1 )v ,(0 1 ) , 则满足是凹函数的条件 是: f ( w) f [u (1 )v ] f (u ) (1 ) f (v )
对新函数F ( x1, x2 ,,xn , )求一阶偏导数,使之均 等于0
F F F ,...... 0, 0 x1 xn
面临多个约束时的一阶条件
g ( x1 , x2 ,,xn ) c, h( x1 , x2 ,,xn ) d 可引入两个乘数: ,, F ( x1 , x2 , xn , , ) f ( x1 , x2 ,,xn ) [c g ( x1 , x2 , xn )] [d h( x1 , x2 ,,xn )]
若 f ( x) f [u (1 )v] f (u) (1 ) f (v)
则称为严格凹函数(小于,严格凸函数)
直观图形
f ( x)
严 格 凹 函 数
A
C
f ( x)
D B
直观图形
非 严 格 凹 函 数
总结
• 两点间的曲线(弧)与两点间的直线重合,或在其之上。
二阶全微分的简洁表达(引入海塞矩阵)
t d z dx H dx
2
二阶导数的判定方法
• 当且仅当海塞矩阵为负半定时,该函数为凹函数。
负半定:即顺序主子式值正负交替变化,一阶小于等于零,二阶大于等于 零……
• 当(非当且仅当)海塞矩阵为负定时,该函数为严格凹函数。
负定:即即顺序主子式值正负交替变化,一阶小于零,二阶大于零……
加边海塞矩阵
0 f1 B f2 fn
f1 f11 f 21 f n1
f2 f12 f 22 fn2
fn f1n f 2n f nn
B的顺序主子式
B1 0 f1 f1 f11
f1 f11 f 21 f2 f12 f 22
0 B2 f1 f2
用一阶导数来定义
若函数存在一阶连续导 数,u和v是定义域中的两个量, 且u v,当且仅当: f (v) f (u ) f ' (u )(v u ) 该函数为凹函数。
f(x)
图示
u
v
x
总结
• 该曲线与其切线重合或者位于其切线的下方。 • 过曲线上任何一点的做切线,该曲线均在切线或切线下方。
凹函数的二阶导数的判定方法
• 若函数存在二阶连续偏微分,则:
当且仅当d z 0时,z f ( x )为凹函数。 2 当(非当且仅当) d z 0时,z f ( x )为
2
严格凹函数。
与上述判定方法等价的方法:引入海塞矩阵
• 多变量函数: z f x1 , x2 xn
无约束条件下的极值问题
最优化的一阶条件
若函数z f ( x1 , x2 ,,xn )存在一阶偏导数, 则最优化的一阶条件为 : f ( x) 0, 或dz f ( x) dx 0, dx 0
' '
dz 0, 即f1 0, f 2 0, f n 0 满足dz 0的点称为稳定点。