解析几何测试题及答案解析

2013届高三数学章末综合测试题（15）平面解析几何（1）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知圆x 2

＋y 2

＋Dx ＋Ey ＝0的圆心在直线x ＋y ＝1上，则D 与E 的关系是( )

A ．D ＋E ＝2

B ．D ＋E ＝1

C ．

D ＋

E ＝－1

D ．D ＋

E ＝－2X k b 1 . c o m

解析 D 依题意得，圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫

－D 2，－E 2在直线x ＋y ＝1上，因此有－D 2－E

2＝1，即D

＋E ＝－2.

2．以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)为直径的圆的方程为( )

A ．(x ＋1)2

＋(y ＋1)2

＝2 B ．(x －1)2＋(y －1)2

＝2 C ．(x ＋1)2

＋(y ＋1)2

＝8

D ．(x －1)2

＋(y －1)2

＝8

解析 B 直径的两端点为(0,2)，(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径为2，圆的方程为(x －1)2

＋(y －1)2

＝2.

3．已知F 1、F 2是椭圆x 2

4＋y 2

＝1的两个焦点，P 为椭圆上一动点，则使|PF 1|·|PF 2|取最

大值的点P 为( )

A ．(－2,0)

B ．(0,1)

C ．(2,0)

D ．(0,1)和(0，－1)

解析 D 由椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝

⎛⎭

⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝4，

当且仅当|PF 1|＝|PF 2|，即P (0，－1)或(0,1)时，取“＝”．

4．已知椭圆x 216＋y 2

25＝1的焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上一点，若连接F 1、F 2、P 三点

恰好能构成直角三角形，则点P 到y 轴的距离是( ) B ．3 C.16

3

解析 A 椭圆x 216＋y 2

25＝1的焦点分别为F 1(0，－3)、F 2(0,3)，易得∠F 1PF 2<π

2，∴

∠PF 1F 2＝π2或∠PF 2F 1＝π2，点P 到y 轴的距离d ＝|x p |，又|y p |＝3，x 2

p 16＋y 2

p

25＝1，解得|x P |

＝16

5

，故选A.

5．若曲线y ＝x 2

的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )

A ．4x ＋y ＋4＝0

B ．x －4y －4＝0

C ．4x －y －12＝0

D ．4x －y －4＝0

解析 D 设切点为(x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0， ∴2x 0＝4，即x 0＝2， ∴切点为(2,4)，方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.

6．“m >n >0”是“方程mx 2

＋ny 2

＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

解析 C 方程可化为x 21m

＋y 21n

＝1，若焦点在y 轴上，则1n >1

m

>0，即m >n >0.

7．设双曲线x 2a 2－y 2b

2＝1的一条渐近线与抛物线y ＝x 2

＋1只有一个公共点，则双曲线的离

心率为( )

B ．5 C.

5

2

解析 D 双曲线的渐近线为y ＝±b a

x ，由对称性，只要与一条渐近线有一个公共点

即可由⎩⎪⎨⎪

⎧

y ＝x 2

＋1，y ＝b

a

x ，得x 2

－b

a

x ＋1＝0.

∴Δ＝b 2a

2－4＝0，即b 2＝4a 2

，∴e ＝ 5.

8．P 为椭圆x 24＋y 2

3＝1上一点，F 1、F 2为该椭圆的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则PF 1→·PF 2

→

＝( )

A ．3 C ．2 3

D ．2

解析 D ∵S △PF 1F 2＝b 2

tan 60°2＝3×tan 30°＝3＝12|PF 1→|·|PF 2→|·sin 60°，

∴|PF 1→||PF 2→|＝4，∴PF 1→·PF 2→

＝4×12

＝2.

9．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2

＝8x 的焦点相同，离心率为12

，则

此椭圆的方程为( )

＋y 216＝1 ＋y 212＝1 ＋y 2

64

＝1 ＋

y 2

48

＝1 解析 B 抛物线的焦点为(2,0)，∴由题意得⎩⎪⎨⎪

⎧

c ＝2，c m ＝1

2

，

∴m ＝4，n 2

＝12，∴方程为x 216＋y 2

12＝1.

10．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )

C ．2

D ．3

解析 B 设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，焦点F (－c ，0)，将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2

b 2＝

1可得y 2

＝b 4a 2，∴|AB |＝2×b 2a ＝2×2a ，∴b 2＝2a 2，c 2＝a 2＋b 2＝3a 2

，∴e ＝c a

＝ 3.

11．已知抛物线y 2

＝4x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的左顶点，且此双曲线的

一条渐近线方程为y ＝2x ，则双曲线的焦距为( )

B ．2 5

D ．23

解析 B ∵抛物线y 2

＝4x 的准线x ＝－1过双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的左顶点，

∴a ＝1，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±b

a

x ＝±bx .∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，∴

b ＝2，∴

c ＝a 2＋b 2＝5，∴双曲线的焦距为2 5.

12．已知抛物线y 2

＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a

－y

2

＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值为( )

解析 A 由于M (1，m )在抛物线上，∴m 2

＝2p ，而M 到抛物线的焦点的距离为5，