2013年中考压轴题复习(三)~~圆篇(教师版)

2013年中考压轴题复习(三)----圆篇(1)

1．（2012上海市14分）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB 上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．

（1）当BC=1时，求线段OD的长；

（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；

（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．

【答案】解：（1）∵点O是圆心，OD⊥BC，BC=1，∴BD=1

2BC=1

2

。

又∵OB=2，∴

2

222

115 OD=OB BD2

2

⎛⎫

-=-=

⎪

⎝⎭

。

（2）存在，DE是不变的。

如图，连接AB，则22

AB=OB+OA22

=。

∵D和E是中点，∴DE=1

AB=2

2

。

（3）∵BD=x，∴2

OD4x

=-。

∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠AOB=900。

∴∠2+∠3=45°。

过D作DF⊥OE，垂足为点F。∴DF=OF=

2

4x

2 -。

由△BOD∽△EDF，得BD OD

=

EF DF

，即

22x 4x =EF 4x

2

--，解得EF =2x 。 ∴OE =

2x+4x 2-。

∴2222

114x x+4x 4x +x 4x y DF OE =0x 22222

<<----=⋅=⋅⋅（）。

2．(2011山东潍坊,23,11分)

如图．AB 是半圆O 的直径．AB=2．射线AM 、BN 为半圆O 的切线．在AM 上取一点D ．连接BD 交半圆于点C ．连接AC ，过O 点作BC 的垂线OF ．垂足为点E ．与BN 相交于点F 。过D 点作半圆O 的切线DP ，切点为P ，与BN 相交于点 Q 。

(I) 求证：△ABC'∽△OFB ；

(2) 当△ABD 与△BFO 的面积相等时，求BQ 的长；

(3) 求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点。

练习1参考答案

（1）证明：∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，即AC⊥BC．

又∵OE⊥BC，∴OE//AC，∴∠BAC=∠FOB．

∵BN是半圆的切线，故∠BCA=∠OBF=90°．

∴△ACB∽△OBF．

（2）由△ACB∽△OBF，得∠OFB=∠DBA，∠DAB=∠OBF=90°，

∴△ABD∽△BFO，

当△ABD与△BFO的面积相等时，△ABD≌△BFO．

∴AD=BO=1

2

AB =1．

∵DA⊥AB，∴DA为⊙O的切线．

连接OP，∵DP是半圆O的切线，

∴DA=DP=1，∴DA=AO=OP=DP=1，∴四边形ADPO为正方形．

∴DP//AB，∴四边形DABQ为矩形．

∴BQ=AD=1．

（3）由（2）知，△ABD∽△BFO，

∴BF AB

OB AD

=，∴

2

BF

AD

=．

∵DPQ是半圆O的切线，∴AD=DP，QB=QP．

过点Q 作AM 的垂线QK ，垂足为K ，在Rt △DQK 中，222

DQ QK DK =+， ∴()()2222AD BQ AD BQ +=-+，

∴1BQ AD

=，∴BF =2BQ ，∴Q 为BF 的中点．

评析：在圆中，遇到圆的切线时，经常要连接切点和圆心，利用圆的切线垂直于经过切点的半径的性质；再遇到过圆外同一点的两条切线时，往往需要利用切线长定理得到相等的线段．

2013年中考压轴题复习(三)----圆篇(2)

1．（2012浙江义乌10分）在锐角△ABC 中，AB =4，BC =5，∠ACB =45°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1．

（1）如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数；

（2）如图2，连接AA 1，CC 1．若△ABA 1的面积为4，求△CBC 1的面积；

（3）如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点是点P 1，求线段EP 1长度的最大值与最小值．

【答案】解：（1）∵由旋转的性质可得：∠A 1C 1B =∠ACB =45°，BC =BC 1，

∴∠CC 1B =∠C 1CB =45°。

∴∠CC 1A 1=∠CC 1B +∠A 1C 1B =45°+45°=90°。

（2）∵由旋转的性质可得：△ABC ≌△A 1BC 1，

∴BA =BA 1，BC =BC 1，∠ABC =∠A 1BC 1。

∴11

BA BA BC BC =，∠ABC +∠ABC 1=∠A 1BC 1+∠ABC 1。∴∠ABA 1=∠CBC 1。

∴△ABA 1∽△CBC 1。∴1

122

ABA CBC S AB 416S CB 525∆∆⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。 ∵S △ABA 1=4，∴S △CBC 1=254

。 （3）过点B 作BD ⊥AC ，D 为垂足，

∵△ABC 为锐角三角形，∴点D 在线段AC 上。

在Rt △BCD 中，BD =BC ×sin 45°=522

。 ①如图1，当P 在AC 上运动至垂足点D ，△ABC 绕点B

旋转，使点P 的对应点P 1在线段AB 上时，EP 1最小。

最小值为：EP 1=BP 1﹣BE =BD ﹣BE =522

﹣2。 ②如图2，当P 在AC 上运动至点C ，△ABC 绕点B 旋转，

使点P 的对应点P 1在线段AB 的延长线上时，EP 1最大。