立体几何证明方法总结

一、线线平行的证明方法：

1、利用平行四边形。

2、利用三角形或梯形的中位线。

3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

（线面平行的性质定理）

4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行的性质定理）

5、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。（线面垂直的性质定理）

6、平行于同一条直线的两条直线平行。

7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。（需证明）

二、线面平行的证明方法：

1、定义法：直线与平面没有公共点。

2、如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（线面平行的判定定理）

3、两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。

三、面面平行的证明方法：

1、定义法：两平面没有公共点。

2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（面面平行的判定定理）

3、平行于同一平面的两个平面平行。

4、经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行。

5、垂直于同一直线的两个平面平行。

四、线线垂直的证明方法：

1、勾股定理。

2、等腰三角形。

3、菱形对角线。

4、圆所对的圆周角是直角。

5、点在线上的射影。

6、如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线就和这个平面内任意的直线都垂直。

7、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定理，需证明）

8、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。（三垂线逆定理，需证明）

9、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，则另一条也垂直于这条直线。

五、线面垂直的证明方法：

1、定义法：直线与平面内任意直线都垂直。

2、点在面内的射影。

3、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（线面垂直的判定定理）

4、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。（面面垂直的性质定理）

5、两条平行直线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面。

6、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则必垂直于另一个平面。

7、两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面交线垂直于第三个平面。

8、过一点，有且只有一条直线与已知平面垂直。

9、过一点，有且只有一个平面与已知直线垂直。

六、面面垂直的证明方法：

1、定义法：两个平面的二面角是直二面角。

2、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（面面垂直的判定定理）

3、如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直。

4、如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直。

一．选择题（共27小题）

1．（2010•浙江）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）

A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥

α

C．若l∥α，m⊂α，则l

∥m

D．若l∥α，m∥α，则l

∥m

2．（2006•湖南）过平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有（）

A．4条B．6条C．8条D．12条

3．“直线l与平面α无公共点”是“l∥α”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

4．已知m，n表示两条直线，α表示一个平面，给出下列四个命题：

①∥n；②∥α；③；④．

其中正确命题的序号是（）

A．①②B．②④C．②③D．①④

5．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1、CD、B1C1的中点，则下列中与直线AE有关的正确命题是（）

A．A E丄CG B．A E与CG是异面直线

C．四边形ABC

1

F是正方形D．A E∥平面BC1F

6．直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（）

A．一条直线不相交B．两条直线不相交

C．任意一条直线都不相交D．无数条直线不相交

7．α、β表示平面，a、b表示直线，则a∥α的一个充分条件是（）

A．α⊥β，且a⊥βB．α∩β=b，且a∥b C．a∥b，且b∥αD．α∥β，且a⊂β

8．已知两条直线a，b，两个平面α，β，则下列结论中正确的是（）

A．若a⊂β，且α∥β，则a∥αB．若b⊂α，a∥b，则a∥α

C．若a∥β，α∥β，则a∥αD．若b∥α，a∥b，则a∥α

9．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP 的图形的序号是（）

A．①、③B．①、④C．②、③D．②、④

10．设α、β、γ是三个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列4个命题：

①若a∥α，b∥α，则a∥b；②若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥β；③若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β；

④若a、b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b．其中正确命题是（）

A．③B．④C．①③D．②④

11．已知两条直线a，b和平面α，若b⊂α，则a∥b是a∥α的（）

A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

12．已知直线a和平面α，那么a∥α的一个充分条件是（）

A．存在一条直线b，a∥b，b⊂αB．存在一条直线b，a⊥b，b⊥α

C．存在一个平面β，a⊂β，α∥βD．存在一个平面β，a⊥β，a⊥β

13．已知α，β表示平面，a，b表示直线，则a∥α的一个充分条件是（）

A．a⊥β，α⊥βB．a⊥β=b，a∥b C．a∥b，b∥αD．α∥β，a⊂β

14．A，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合平面，现给出六个命题

①⇒a∥b ②⇒a∥b ③⇒α∥β

④⇒α∥β ⑤⇒α∥a ⑥⇒α∥a

其中正确的命题是（）

A．①②③B．①④⑤C．①④D．①③④

15．下列说法正确的是（）

A．垂直于同一平面的两平面也平行

B．与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线

C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

D．垂直于同一直线的两平面平行

16．已知两条直线m、n与两个平面α、β，下列命题正确的是（）

A．若m∥α，n∥α，则m ∥n B．若m∥α，m∥β，则α

∥β

C．若m⊥α，m⊥β，则α

∥β

D．若m⊥n，m⊥β，则n∥

β

17．已知直线a，b，平面α，β，则a∥α的一个充分条件是（）

A．a⊥b，b⊥αB．a∥β，β∥αC．b⊂α，a∥b D．a∥b，b∥α，a⊄α