2020-2021学年浙江省东阳中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)

2020-2021学年浙江省东阳中学高一上学期期中考试数学试
题
一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A ＝{x ∈N |0＜x ＜6}，B ＝{2，4，6}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，1，3，5}
B ．{0，2，4，6}
C ．{1，3，5}
D ．{2，4}
2．下列命题为真命题的是（ ） A ．∃x ∈Z ，1＜4x ＜3 B ．∃x ∈Z ，15x +1＝0
C ．∀x ∈R ，x 2﹣1＝0
D ．∀x ∈R ，x 2+x +2＞0
3．已知f （x ﹣2）＝4x +6，则f （x ）＝（ ） A ．4x ﹣4 B ．4x +14 C ．4x +4
D ．4x ﹣8
4．函数
的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．若a ＝log 30.5，b ＝30.2，c ＝0.20.3，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a ＞c ＞b
B ．b ＞c ＞a
C ．c ＞a ＞b
D ．b ＞a ＞c
6．方程03log 3=-+x x 的零点所在区间是（ ） A ．（1，2）
B ．（0，2）
C ．（2，3）
D ．（3，4）
7．已知偶函数f （x ）在[0，+∞）上为增函数，若关于x 的方程f （b ）＝f （|2x ﹣1|）有且只有一个实根，则实数b 的取值范围是（ ） A ．b ≥2
B ．b ≥0
C ．b ≤﹣1或b ＝0
D ．b ≥1或b ≤﹣1或b ＝0
8．若x ＞0，y ＞0，且
12111=+++y
x x ，则2x +y 的最小值为（ ） A ．2
B ．32
C ．
32
1
+ D ．324+
二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分） 9．下列函数中，值域为[0，4]的是 （ ） A ．f （x ）＝x ﹣1，x ∈[1，5] B ．f （x ）＝﹣x 2+4 C ．216)(x x f -=
D ．f （x ）＝)0(21
>-+
x x
x 10．已知幂函数a x x f =)(的图象经过函数2
1
)(2
-
=-x a x g )1,0(≠>a a 的图象所过的定点，则幂函数f （x ）具有的特性是（ ） A ．在定义域内单调递减 B ．图象过定点（1，1） C ．是奇函数
D ．其定义域是R
11．对任意实数a ，b ，c ，下列命题中真命题是（ ） A ．“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件
B ．“a +5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件
C ．“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的充分条件
D ．“a ＜5”是“a ＜3”的必要条件
12．设函数x x f 2
1log )(=，下列四个命题正确的是（ ）
A ．函数)(x f 为偶函数
B ．若)()(b f a f =其中a ＞0，b ＞0，a ≠b ，则ab ＝1
C ．函数()
x x f 22+-在()3,1上为单调递增函数
D ．若0＜a ＜1，则)1()1(a f a f -<+
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．命题“∀x ∈R ，x 2+1≤3x ”的否定是 ．
14．设函数⎩⎨⎧><=-1
,log 1
,2)(4x x x x f x ，则满足2)(=x f 的x 的值是 ．
15．已知函数⎩⎨⎧≤-+>=0
,830
,)(x a ax x a x f x 是()+∞∞-,上的增函数，那么实数a 的取值范围
是 ．
16．已知函数)2(log )(2+=x x f 与()1)(2
+-=a x x g ，若对任意的[)6,21∈x ，都存在
[]2,02∈x ，使得)()(21x g x f =，则实数a 的取值范围是 ．
四、解答题（共6小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知集合A ＝{x |m ﹣5＜x ＜m ﹣1}，函数f （x ）＝lg （﹣x 2+x +6），记f （x ）的定义域为B ．
（Ⅰ）当m ＝2时，求A ∪B ，A ∩B ； （Ⅱ）若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围．
18．（12分）（1）已知31=+-x x ，求21
2
1
-
+x x 的值；
（2）计算：()2
2lg 20lg 5lg 8lg 3
225lg +⋅++．
19．（12分）已知函数4
)(2
-=
x x
x f ． （1）判断函数f （x ）在（2，+∞）上的单调性并证明；
（2）判断函数f （x ）的奇偶性，并求f （x ）在区间[﹣6，﹣3]上的最大值与最小值．
20．（12分）已知函数f （x ）＝2x 2﹣kx +8．
（1）若函数g （x ）＝f （x ）+2x 的对称轴为y 轴，求k 的值；
（2）若函数y ＝f （x ）在[1，2]上，f （x ）≥2恒成立，求k 的取值范围．
21. （12分）2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年
产量）x 万件与年促销费用m 万元（m ≥0）满足1
4+-
=m k
x （k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按
x
x
168+元来计算） （1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； （2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
22．（12分）已知函数⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=11log )(2a x x f 是奇函数，a ∈R ．
（1）求a 的值；
（2）对任意的()0,∞-∈x ，不等式()()
x
x m f 2log 122->+恒成立，求实数m 的取值
范围．
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A＝{x∈N|0＜x＜6}，B＝{2，4，6}，则A∩B＝（）
A．{0，1，3，5}B．{0，2，4，6}C．{1，3，5}D．{2，4}
【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，4，6}，
∴A∩B＝{2，4}．
故选：D．
【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．下列命题为真命题的是（）
A．∃x∈Z，1＜4x＜3B．∃x∈Z，15x+1＝0
C．∀x∈R，x2﹣1＝0D．∀x∈R，x2+x+2＞0
【分析】求解不等式判断A；方程的解判断B；反例判断C；二次函数的性质判断D；
【解答】解：1＜4x＜3，可得＜x＜，所以不存在x∈Z，1＜4x＜3，所以A不正确；
15x+1＝0，解得x＝，所以不存在x∈Z，15x+1＝0，所以B不正确；
x＝0，x2﹣1≠0，所以∀x∈R，x2﹣1＝0不正确，所以C不正确；
x∈R，y＝x2+x+2，开口向上，△＝﹣7＜0，所以y＞0，恒成立，所以∀x∈R，x2+x+2＞0正确．
故选：D．
【点评】本题考查命题的真假的判断，不等式的解法以及方程的解，是基础题．
3．已知f（x﹣2）＝4x+6，则f（x）＝（）
A．4x﹣4B．4x+14C．4x+4D．4x﹣8
【分析】利用配凑法求解即可．
【解答】解：f（x﹣2）＝4（x﹣2）+14，
∴f（x）＝4x+14．
故选：B．
【点评】本题考查函数解析式的求法，属于基础题．
4．函数的图象大致为（）
A．B．
C．D．
【分析】根据函数的对称性，结合函数值的符号进行排除即可．
【解答】解：函数f（﹣x）＝≠f（x），函数图象关于y轴不对称，排除C，D，当x＞1时，f（x）＜0，排除B，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用对称性，函数值的符号，结合排除法是解决本题的关键，比较基础．
5．若a＝log30.5，b＝30.2，c＝0.20.3，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．b＞a＞c
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得到．
【解答】解：∵a＝log30.5＜0，b＝20.2＞1，0＜c＝0.20.3＜1，
∴a＜c＜b．
故选：B．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．
6．方程log3x+x﹣3＝0的零点所在区间是（）
A．（1，2）B．（0，2）C．（2，3）D．（3，4）
【分析】由题意，根据函数零点的判定定理求选项中区间的端点函数值，从而得到．【解答】解：令f（x）＝log3x+x﹣3，
f（1）＝1﹣3＜0，
f（2）＝log32﹣1＜0，
f（3）＝1＞0，
故所在区间是（2，3），
故选：C．
【点评】本题考查了函数零点的判定定理的应用，属于基础题．
7．已知偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，若关于x的方程f（b）＝f（|2x﹣1|）有且只有一个实根，则实数b的取值范围是（）
A．b≥2B．b≥0
C．b≤﹣1或b＝0D．b≥1或b≤﹣1或b＝0
【分析】作函数y＝|2x﹣1|的图象，方程的根化为交点的个数，从而求解．
【解答】解：y＝|2x﹣1|的图象如下，
由图知，b≤﹣1或b≥1或b＝0；
故选：D．
【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的联系与应用，属于基础题．
8．若x＞0，y＞0，且＝1，则2x+y的最小值为（）
A．2B．2C．D．4+2
【分析】法一：原式变形为，则2x+y可化为（4x+2y）＝[（3x+3）+（x+2y）]﹣＝[（3x+3）+（x+2y）]（）﹣，利用基本不等式即可求得其最小值；
法二：原式变形为y＝，则2x+y可化为，利用基本不等式即可【解答】解：（法一）＝1可变形为，
所以2x+y＝（4x+2y）＝[（3x+3）+（x+2y）]﹣＝[（3x+3）+（x+2y）]（）﹣
＝[4+]﹣≥﹣＝，
当且仅当x+2y＝3x+3即x＝，y＝时取等号，
（法二）原式可得y＝，则2x+y＝2x+＝≥2+＝+，
当且仅当，即x＝时取“＝”
故选：C．
【点评】本题考查柯西不等式的应用，关键是对＝1，和2x+y的变形，属于难题，可作为章节的压轴题．
二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）
9．下列函数中，值域为[0，4]的是（）
A．f（x）＝x﹣1，x∈[1，5]B．f（x）＝﹣x2+4
C．f（x）＝D．f（x）＝x+﹣2（x＞0）
【分析】由函数定义域以及单调性即可求解．
【解答】解：A，函数是单调递增的一次函数，所以在[1，5]上值域是[0，4]，故A正确，B，因为﹣x2≤0，所以﹣x2+4≤4，所以函数值域是（﹣∞，4]，故B错误，
C，因为﹣x2≤0，所以16﹣x2≤16，又16﹣x2≥0，所以0≤，即函数值域为[0，4]，故C正确，
D，因为x＞0，所以x+≥2，所以x+，故函数值域为[0，+∞），故D错误，故选：AC．
【点评】本题考查了函数的单调性，值域的问题，属于基础题．
10．已知幂函数f（x）＝x a的图象经过函数且a≠1）的图象所过的定点，则幂函数f（x）具有的特性是（）
A．在定义域内单调递减B．图象过定点（1，1）
C．是奇函数D．其定义域是R
【分析】根据指数函数的性质求得g（x）的图象恒过的定点，可得f（x）的解析式，再
判断f（x）具有的性质即可．
【解答】解：在函数g（x）＝a x﹣2﹣中，
令x﹣2＝0，解得x＝2，
所以y＝g（2）＝1﹣＝，
所以函数g（x）的图象过定点P（2，）；
把点P的坐标代入幂函数f（x）的解析式中，
得2a＝，解得a＝﹣1；
所以f（x）＝x﹣1；
所以f（x）在定义域内的每个区间上是单调减函数，所以选项A错误；
函数f（x）的图象经过定点（1，1），且为奇函数，所以选项B、C正确；
函数的定义域是{x|x≠0}，所以选项D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查了指数函数和幂函数的图象与性质的应用问题，也考查了推理与思维能力，是基础题．
11．对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是（）
A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件
B．“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件
C．“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件
D．“a＜5”是“a＜3”的必要条件
【分析】本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断及不等式的性质，我们根据充要条件的定义对题目中的四个答案逐一进行分析即可得到答案．
【解答】解：∵中“a＝b”⇒“ac＝bc”为真命题，
但当c＝0时，“ac＝bc”⇒“a＝b”为假命题，
故“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，故A为假命题；
∵中“a+5是无理数”⇒“a是无理数”为真命题，
“a是无理数”⇒“a+5是无理数”也为真命题，
故“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故B为真命题；
∵中“a＞b”⇒“a2＞b2”为假命题，
“a2＞b2”⇒“a＞b”也为假命题，
故“a＞b”是“a2＞b2”的即充分也不必要条件，故C为假命题；
∵中{a|a＜5}⊉{a|a＜3}，故“a＜5”是“a＜3”的必要条件，故D为真命题．
故选：BD．
【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤
判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
12．设函数f（x）＝x，下列四个命题正确的是（）
A．函数f（|x|）为偶函数
B．若f（a）＝|f（b）|其中a＞0，b＞0，a≠b，则ab＝1
C．函数f（﹣x2+2x）在（1，3）上为单调递增函数
D．若0＜a＜1，则|f（1+a）|＜|f（1﹣a）|
【分析】A由f（|﹣x|）＝f（|x|），即可得出f（|x|）为偶函数；B若f（a）＝|f（b）|其中a＞0，b＞0，∵a≠b，可得f（a）＝|f（b）|＝﹣f（b），利用对数的运算性质可得：
（ab）＝0，可得ab＝1．C函数f（﹣x2+2x）＝，由﹣x2+2x＞0，解出可得函数的定义域为（0，2），即可判断出正误；D由0＜a＜1，可得1+a＞1﹣a，f（1+a）＜0＜f（1﹣a），作差|f（1﹣a）|﹣|f（1﹣a）|＝﹣f（1+a）﹣f（1﹣a），化简即可得出正误．
【解答】解：f（x）＝x，x＞0．
函数f（|x|）＝|x|，∵f（|﹣x|）＝f（|x|），∴f（|x|）为偶函数，A正确；
若f（a）＝|f（b）|其中a＞0，b＞0，∵a≠b，∴f（a）＝|f（b）|＝﹣f（b），
∴a+b＝（ab）＝0，∴ab＝1．因此B正确．
函数f（﹣x2+2x）＝＝，由﹣x2+2x＞0，解得0＜x＜2，
∴函数的定义域为（0，2），因此在（1，3）上不具有单调性，C不正确；
若0＜a＜1，∴1+a＞1﹣a，∴f（1+a）＜0＜f（1﹣a），故|f（1﹣a）|﹣|f（1﹣a）|＝﹣f（1+a）﹣f（1﹣a）＝﹣＜0，即|f（1+a）|＜|f（1﹣a）|，因此D正确．故选：ABD．
【点评】本题考查了对数函数的奇偶性、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．命题“∀x∈R，x2+1≤3x”的否定是∃x∈R，x2+1＞3x．
【分析】全称命题，其否定一定是一个存在性（特称）命题，根据全称命题的否定的方法，我们易得结论．
【解答】解：∵命题p：∀x∈R，x2+1≤3x，
命题p的否定是∃x∈R，x2+1＞3x
故答案为：∃x∈R，x2+1＞3x．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
14．设函数f（x）＝，则满足f（x）＝2的x的值是﹣1或16．【分析】根据题意，由函数的解析式分2种情况讨论，即当x＜1时，f（x）＝2﹣x＝2，当x＞1时，f（x）＝log4x＝2，解可得x的值，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，
若f（x）＝2，
当x＜1时，f（x）＝2﹣x＝2，解可得x＝﹣1；
当x＞1时，f（x）＝log4x＝2，解可得x＝16；
综合可得：x＝﹣1或16；
故答案为：﹣1或16
【点评】本题考查分段函数函数值的计算，注意此类问题要分段讨论，属于基础题．15．已知函数f（x）＝是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么实数a的取值范围是（1，3]．
【分析】由题意可得a＞1且a0≥3a﹣8，由此求得实数a的取值范围．
【解答】解：∵函数是（﹣∞，+∞）上的增函数，∴a＞1且a0≥3a﹣8，
解得1＜a≤3，故实数a的取值范围是（1，3]，
故答案为（1，3]．
【点评】本题主要考查指数函数的单调性的应用，得到a＞1且a0≥3a﹣8，是解题的关键，属于中档题．
16．已知函数f（x）＝log2（x+2）与g（x）＝（x﹣a）2+1，若对任意的x1∈[2，6），都存在x2∈[0，2]，使得f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是[﹣1，2﹣]∪[，3]．
【分析】分别求出f（x1）和g（x2）的值域，令f（x1）的值域为g（x2）的值域的子集列出不等式解出a．
【解答】解：∵x1∈[2，6），∴f（2）≤f（x1）＜f（6），即2≤f（x1）＜3，∴f（x1）的值域为[2，3）．
g（x）的图象开口向上，对称轴为x＝a，
（1）若a≤0，则g（x）在[0，2]上是增函数，∴g（0）≤g（x2）≤g（2），即g（x2）的值域为[a2+1，a2﹣4a+5]，
∴，解得﹣1≤a≤0．
（2）若a≥2，则g（x）在[0，2]上是减函数，∴g（2）≤g（x2）≤g（1），即g（x2）的值域为[a2﹣4a+5，a2+1]，
∴，解得2≤a≤3．
（3）若0＜a≤1，则g min（x）＝g（a）＝1，g max（x）＝g（2）＝a2﹣4a+5，∴g（x）的值域为[1，a2﹣4a+5]，
∴，解得0．
（4）若1＜a＜2，则g min（x）＝g（a）＝1，g max（x）＝g（0）＝a2+1，∴g（x）的值域为[1，a2+1]，
∴，解得a＜2．
综上，a的取值范围是[﹣1，0]∪[2，3]∪（0，2﹣）∪（，2）＝[﹣1，2﹣]∪[，3]．
故答案为[﹣1，2﹣]∪[，3]．
【点评】本题考查了二次函数的值域，对数函数的单调性与值域，集合间的关系，分类讨论思想，属于中档题．
四、解答题（共6小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知集合A＝{x|m﹣5＜x＜m﹣1}，函数f（x）＝lg（﹣x2+x+6），记f（x）的定义域为B．
（Ⅰ）当m＝2时，求A∪B，A∩B；
（Ⅱ）若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．
【分析】（Ⅰ）当m＝2时，求出集合A，B，由此能求出A∪B，A∩B．
（Ⅱ）由A∩B≠∅，得，由此能求出实数m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当m＝2时，得A＝{x|﹣3＜x＜1}，
由﹣x2+x+6＞0，得B＝{x|﹣2＜x＜3}，
于是A∪B＝{x|﹣3＜x＜3}，A∩B＝{x|﹣2＜x＜1}．
（Ⅱ）若A∩B≠∅，则，
解得﹣1＜m＜8．
∴实数m的取值范围是（﹣1，8）．
【点评】本题考查交集、并集的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【分析】（1）利用指数性质、运算法则直接求解．
（2）利用对数性质、运算法则直接求解．
【解答】解：（1）∵x﹣1+x＝3，
∴x＞0，∴＝＝＝．
（2）
＝2lg5+2lg2+lg5（2lg2+lg5）+（lg2）2
＝2（lg5+lg2）+lg5+2lg5lg2+（lg5）2+（lg2）2
＝2+（lg5+lg2）2
＝2+1＝3．
【点评】本题考查指数式、对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意指数、对数性质、运算法则的合理运用．
19．已知函数．
（1）判断函数f（x）在（2，+∞）上的单调性并证明；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并求f（x）在区间[﹣6，﹣3]上的最大值与最小值．【分析】（1）判断函数的单调性，利用函数的单调性的定义，证明即可．
（2）利用函数的奇偶性以及函数的单调性，转化求解函数的最值即可．
【解答】解：（1）f（x）在（2，+∞）单调递减．
证明：任取x1，x2∈（2，+∞）且x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）＝
＝
＝，
∵x2＞x1＞2，
∴x2﹣x1＞0，x1x2+4＞0，
，
∴f（x1）＞f（x2）即f（x）在（2，+∞）单调递减．
（2）由，
所以f（x）为奇函数，
又由（1）知f（x）在（2，+∞）单调递减，
所以f（x）在（﹣∞，﹣2）也单调递减，
所以．
【点评】本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
20．已知函数f（x）＝2x2﹣kx+8．
（1）若函数g（x）＝f（x）+2x的对称轴为y轴，求k的值；
（2）若函数y＝f（x）在[1，2]上，f（x）≥2恒成立，求k的取值范围．
【分析】（1）首先写出函数的解析式，然后结合二次函数的对称轴即可求得实数k的值，（2）首先写出函数的解析式，然后分类讨论处理轴动区间定问题即可求得实数k的取值范围．
【解答】解：（1）由题意g（x）＝2x2﹣kx+8+2x＝2x2+（2﹣k）x+8，
∵对称轴为y轴，∴，即k＝2．
（2）由题意可得：2x2﹣kx+8≥2恒成立，整理可得：恒成立，
由于，当且仅当时等号成立，
则的最小值为，实数k的取值范围是．
【点评】本题主要考查二次函数的对称轴，二次函数恒成立问题，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
21．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m万元（m≥0）满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）
（1）将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
【分析】（1）根据年利润＝年销售量×销售价格﹣成本﹣年促销费用即可列出y 与m 的函数关系；
（2）结合（1）中所得的函数关系和均值不等式即可得解．
【解答】解：（1）∵不搞促销活动，该产品的年销售量只能是2万件，即m ＝0时，x ＝2， ∴2＝4﹣，解得k ＝2，∴x ＝4﹣
＞0，
∴y ＝
×1.5x ﹣（8+16x ）﹣m ＝36﹣
﹣m （m ≥0）．
（2）y ＝36﹣﹣m ＝37﹣
﹣（m +1）
≤37﹣2＝29，
当且仅当
＝m +1，即m ＝3时，等号成立，
故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大．
【点评】本题考查函数的实际应用，主要利用了均值不等式求函数的最值，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 22．已知函数⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=11log )(2a x x f 是奇函数，a ∈R ．
（1）求a 的值；
（2）对任意的x ∈（﹣∞，0），不等式恒成立，求实数m
的取值范围．
【分析】本题第（1）题根据函数f （x ）是奇函数，有f （﹣x ）＝﹣f （x ）恒成立，代入表达式进行计算可得a 的值；第（2）题根据第（1）题的结论代入f （2x +1）进行化简整理，再根据对数性质，分离参变量将m 与x 的表达式分离开来，通过换元法关于x 的表达式的值域，然后与m 比较，计算可得实数m 的取值范围． 【解答】解：（1）由题意，⎪⎭
⎫
⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=a x a x a x x f 1log 11log )(22， ∵函数f （x ）是奇函数，
∴∀x ∈A ，有f （﹣x ）＝﹣f （x ）恒成立，
即
()
1
log
1
log
1
log
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
2
=
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
-
-
=
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
-
+
+
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
+
-
=
-
+
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
x
f
x
f，
整理，得（1-a）2﹣x2＝a2﹣x2，
解得a＝．
（2）解：由题意，
，
令，
∵x∈（﹣∞，0），∴，
∴，．
易知，当且仅当u＝，即u＝1时等号成立，
∴，
又∵m﹣2x＞0，
∴m＞2x，则m≥1，
∴．
∴实数m的取值范围为[1，）．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，转化思想的应用，换元法的应用，不等式的计算能力．本题属较难题．。