数值积分矩形公式的复化及误差分析
关于定积分近似计算中矩形法的误差估计
b
[ f ( x ) - f ( a) ] dx =
a
b
f ∀( ) ( x - a) dx #
a
M
b
( x - a) dx
a
=
M 2
(
b
-
a) 2 .
定理 2 设 f ( x ) 在[ a, b] 上连续, 在[ a, b] 上的
至多有限个点之外有连续导数, 且存在正常数 M 使
| f ∀( x ) | # M . 对区间[ a, b] 进行 n 等分划分:
[ 3] 关治, 陆金甫. 数值 分析基础[ M ] . 北京: 高等教育出 版 社, 1998: 183 188.
[ 4] Ro ss L F inny, M aur ice D Weir, F rank R G ior dano. T homas( Calculus: tenth editio n[ M ] . 影印. 北京: 高等 教育出版社, 2004: 376 378.
算定积分值的算法公式, 该公式来源于文献[ 1] .
设 f ( x) 在[ a, b] 上连续, 在区间[ a, b] 中插入分点
a = x 0 < x 1 < < x n- 1 < x n = b, 将其划分成 n 等分, 并记
f ( x i- 1 ) = y i- 1 , 则复合左矩形公式为
b
f
于复合矩形法, 而复合抛物线法优于复合梯形法. 因
此在实际中, 计算定积分近似值时经常使用复合抛 物线法. 但是复合矩形法作为定积分近似计算的一
种朴素思想, 对理解其它方法具有启发作用, 因此重
要性是不言而喻的.
文[ 5] 给出的误差公式只需用到一阶导数, 计算 量较少, 也方便对三种算法的误差进行比较. 而文[ 4]
数值积分公式误差复习
n
舍入误差是稳定的
若CK 0, 则
n k 0
n
n
b a | Ckn |b a Ckn b a
k 0
舍入误差不稳定
所以n<8,公式都是稳定的，n≥8，稳定性无法保证，所以 出现了所谓的龙格现象
n 证明 CK 1
i 0
n
i 0
（n次的Newton-Cotes求积公式至少有n次代数精 确度）
截断误差
截断误差：真实值与近似计算值的差
b
a
f ( x)dx n ( x)dx
a
b
b
a
f ( n1) n ( x)dx (n 1)!
积分的第一中值定理：
f xg xdx f g xdx·
数值积分公式的误 差估计
目 录
代数精确度 截断误差
舍入误差
Lagrange插值余项
f ( n1) Rn ( x) f ( x) n ( x) n ( x) (n 1)!
( x x i ) n ( x) 其中 ξ∈(a,b)且依赖于x， i 0
n
a a
b
b
两种情况： 当n为奇数时，具有n次代数精度； 当n为偶数时，具有n+1次代数精度.
梯形求积公式余项 1 b RT [ f ] f ( )( x a)( x b)dx 2 a 由积分的第一中值定理得
b 1 1 RT [ f ] f ( ) ( x a)( x b)dx (b a) 3 f ( ) a 2 12
k 0
n
b
a
f ( x)dx Ai yi (b a ) Ci( n ) yi
矩形公式近似计算Cauchy主值积分的误差
Ｅｒ ｏ ｓｉ ａ ｉｎ ｆｒ ｃ ａ ｇ ｅ ｒ ｌ ｏ ａ ｒ ｘ ｍ ａ ｅ Ｃａ ｃ ｒ ｒ ｅ ｔｍ ｔｏ ｏ ｅ ｔ ｎ ｌ ｕ ｅ ｔ ｐｐ ｏ ｉ ｔ ｕ ｈｙ ｐｒｎｃｐ ｌｖ ｌ ｎ ｅ ｒ ｓ ｉ ｉ ａ ａｕｅ ｉ ｔ ｇ ａ ｌ
ｚｒ ｅ ｏ，ｔ ｅ ｓ ｐ ｒ ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ｈ ｎ ｍｅ ｏ ｓ ｏ ｔｉ ｅ ｈ ｕ ｅ ｃ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ｐ ｅ ｏ ｎ ｎ ｉ ｂ ａｎ ｄ，ａ ｄ ｔ ｅ ｃ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ｏ ｄ ｒ ｏ ｅ ｓ ｐ ｒ ｏ ｖ ｒ ｎ ｈ ｏ ｖ ｒｅ ｃ ｒ ｅ ｆｔ ｕ ｅ ｃ ｎ ｅ － ｈ
第２ ７卷 第 ３期
２ ２正 ０１
山 东 建 筑 大 学 学 报
Ｊ ０ＵＲ ＮＡＬ Ｆ ＨＡ Ｏ Ｓ ＮＤＯＮＧ Ｉ ＪＡＮＺ ＵＮＩ ＥＲ Ｉ ＨＵ Ｖ ＳＴＹ
Ｖｏ ． ７ １ ２ ＮＯ ３ ．
６月
Ｊｎ ｕｅ
２ ２ ０１
文 章 编 号 ：６ ３— ６４ ２ １ ）３— ２９— ３ １７ ７ ４ （０ ２ ０ ０ ５ ０
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｂａ ｅ ｎ ｔｅ ｃ ａ ｓｃ ｌｒ ｃａ ｇｅ ｒ ｌ ｈｅ ｐ ｐ ｒｐ ｏ ｏ ｅ ｈ ｐ ｒ ｘｍａｉｎ ｍｅｈｏ ｏ ｃ ｒ － ｓ ｒ ｃ ： ｓ ｄ ｏ ｈ ｌｓ ｉａ ｅ ｔｎ ｌ ｕ ｅ，ｔ ａ ｅ ｒ ｐ ｓ ｄ ｔ ｅ ａ ｐ ｏ ｉ ｔｏ ｔ ｄ ｔ ｏ ｎ ｐ ｔ ｈ ｕ ｈ ｒｎ ｉ ａ ａｕｅｉ ｔ ｇａ ｓｗｈ ｃ ｒ ｓ ｌｙ ｅ ｃ ｕｎｅ ｅ ｎ ｂ ｕ ｄ ｒ ｌ ｍｅ ｔｍｅ ｈ ｄ ． ｕ ｅ ｔ ｅ Ｃａ ｃ ｙ ｐ ｃ ｐ ｌｖ ｌ ｎ ｅ ｒ ｌ ｉ ｈ ａ ｅ ｕ ｕａｌ ｎ ｏ ｔｒ ｄ ｉ ｏ ｎ ａ ｙ ｅｅ ｎ ｔ ｏ ｓ ｉ
定积分的近似计算以及误差估计
定积分的近似计算方法与误差估计作者: 操乐青 指导老师: 邢抱花摘要 本文主要讨论了一元函数常见的数值积分方法,例如插值型求积公式，高斯求积公式等近似计算方法,在用这些方法计算定积分时,会产生一些误差,为了减少误差, 可以利用复化求积公式、复化高斯公式等.本文围绕这些方法,系统介绍它们的计算公式以及截断误差,并用例题分析它们产生误差的大小、计算量等.关键词 插值型积分 高斯积分 误差分析 近似计算1引言在计算定积分的值()ba I f x dx =⎰时,常常根据微积分学基本定理求出)(x f 的一个原函数)(x F ,再用牛顿-莱布尼茨公式求得积分,()()()baI f x dx F b F a ==-⎰.但这种方法只限于解决一小部分定积分的求值问题.当函数没有具体表达式,只是一些实验测得数据形成的表格或图形或者是()F x 无法用初等函数表示,例如,2bx ae dx ⎰,2sin ba x dx ⎰等等,这就需要我们用一些近似方法来求积分值.与数值积分一样,把积分区间细分,在每个小区间上,找到简单函数)(x ϕ来近似代替()f x ,且()bax dx ϕ⎰的值容易求的.这样就把计算复杂的()b af x dx ⎰转化为求简单的积分值()bax dx ϕ⎰.因此,定积分的近似计算实质上就是被积函数的近似计算问题.2 定积分的近似计算——常见数值方法 2.1 矩形公式根据定积分的定义，每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值，即1()d ()nbi i ai f x x f x ς==∆∑⎰在几何意义上，这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果，所以把这个近似计算方法称为矩形法．不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度． 针对不同i ς的取法，计算结果会有不同，常见的取法有：（1）左端点法，即1-=i i x ς,i abni i x x f dx x f ⎰∑=-∆≈11)()(（2）右端点法，即 i i x =ς,i ni i abx x f dx x f ∆≈∑⎰=1)()(（3）中点法，即12i i i x x ς-+=,i ni i i ab x x x f dx x f ∆+≈∑⎰=-11)2()(例1 用矩形公式近似计算积分 12 0d 1xx +⎰（取100=n ）.解 对[]1,0作n 等分b x i nab a x x a x n i =<<-+=<<<= 10，由定义知： ∑∑⎰===∆=+ni i ni i f n x f x dx 11110)(1)(1ςς(1)左点法：在区间],[1i i x x -上取左端点，即取1-=i i x ς，n i 2,1=12 01d ()1ni i i xf x x ς==∆≈+∑⎰0.78789399673078， 理论值12 0d 14x x π=+⎰，此时计算的相对误差0.7878939967307840.0031784ππ-=≈（2）右点法：在区间],[1i i x x -上取右端点，即取i i x =ς，n i 2,1=12 01d ()1ni i i xf x x ς==∆≈+∑⎰0.78289399673078， 理论值12 0d 14x x π=+⎰，此时计算的相对误差0.7828939967307840.0031884ππ-=≈（3）中点法：取 在区间1[,]i i x x -上取中点，即取12i ii x x ς-+=，n i 2,1= 12 01d ()1ni i i xf x x ς==∆≈+∑⎰0.78540024673078， 理论值12 0d 14x x π=+⎰，此时计算的相对误差60.7854002467307842.653104ππ--=≈⨯如果在分割的每个小区间上采用一次或二次多项式来近似代替被积函数，那么可以期望得到比矩形法效果好得多的近似计算公式．下面介绍的梯形法和抛物线法就是这一指导思想的产物．2.2梯形公式等分区间b x i n a b a x x a x n i =<<-+=<<<= 10，nab x -=∆相应函数值为n y y y ,,,10 （n i x f y i i ,,1,0),( ==）． 曲线)(x f y =上相应的点为n P P P ,,,10 （n i y x P i i i ,,1,0),,( ==） 将曲线的每一段弧i i P P 1-用过点1-i P ，i P 的弦i i P P 1-（线性函数）来代替，这使得每个],[1i i x x -上的曲边梯形成为真正的梯形，其面积为x y y ii ∆⨯+-21，n i ,,2,1 =． 于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，11 11()d ()22nnbi i i i a i i y y x f x x x y y --==+∆≈⨯∆=+∑∑⎰即11 ()d ()22bnn ay y b a f x x y y n --≈++++⎰称此式为梯形公式．例2 用梯形公式近似计算定积分 12 0d 1xx +⎰（取100=n ）.解1112 0d ()122n n y yx b a y y x n --≈++++=+⎰0.78539399673078，理论值 12 0d 14x x π=+⎰，此时计算的相对误差 60.7853939967307845.305104ππ--=≈⨯很显然，这个误差要比简单的矩形左点法和右点法的计算误差小得多.2.3 抛物线公式由梯形法求近似值，当)(x f y =为凹曲线时，它就偏小；当)(x f y =为凸曲线时，它就偏大．若每段改用与它凸性相接近的抛物线来近似时，就可减少上述缺点，这就是抛物线法．将积分区间],[b a 作n 2等分，分点依次为b x i n a b a x x a x n i =<<-+=<<<=2102 ，nab x 2-=∆， 对应函数值为n y y y 210,,, （n i x f y i i 2,,1,0),( ==）， 曲线上相应点为n P P P 210,,, （n i y x P i i i 2,,1,0),,( ==）． 现把区间],[20x x 上的曲线段)(x f y =用通过三点),(000y x P ，),(111y x P ，),(222y x P 的抛物线)(12x p x x y =++=γβα来近似代替，然后求函数)(1x p 从0x 到2x 的定积分：21 ()d x x p x x =⎰22 ()d x x x x x αβγ++=⎰)()(2)(30220223032x x x x x x -+-+-γβα]4)(2)()()[(62022022202002γβαγβαγβα++++++++++-=x x x x x x x x x x 由于2201x x x +=，代入上式整理后得 21 ()d x x p x x ⎰)](4)()[(612122202002γβαγβαγβα++++++++-=x x x x x x x x )4(621002y y y x x ++-=)4(6210y y y nab ++-= 同样也有422 ()d x x p x x ⎰)4(6432y y y nab ++-=……222()d nn x n x p x x -⎰)4(621222n n n y y y nab ++-=-- 将这n 个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值：22222212 11()d ()d (4)6ii nnbx i i i i ax i i b af x x p x x y y y n---==-≈=++∑∑⎰⎰， 即021******* ()d [4()2()]6bn n n ab af x x y y y y y y y y n---≈++++++++⎰这就是抛物线公式，也称为辛卜生（Simpson ）公式． 例3 用抛物线公式近似计算积分 12 0d 1xx +⎰(取100=n ).解102132124222 0d [4()2()]16n n n x b ay y y y y y y y x n ---≈+++++++++⎰=0.78539816339745，理论值12 0d 14x x π=+⎰，此时计算的相对误差160.7853981633974542.827104ππ--=≈⨯2.4 几种近似计算定积分方法的比较分析及误差估计例4 计算积分211ln 2dx x=⎰，精确到0.001.解 方法(一) 利用矩形公式计算, 因为对于x x f 1)(=,有320()2f x x''<=<(如果1<x <2),所以按照公式0)2(=+-⎰dx ba x ab. 0<n R <2112n . 如果取n =10,则我们公式的余项的余数得31010.84101200R -<<⨯,我们还必须加进由于在计算函数值实行四舍五入所产生的误差的界限相差于0.16⨯310-,为了这个目的只要计算1x的值到四位小数精确到0.00005就够了.我们有123252729213152172192 1.051.151.251.351.551.651.751.851.95x x x x x x x x x =========5128.05405.05714.06061.06897.07407.08.08696.09524.0219172152132927252321=========y y y y y y y y y Y 的和计算6.9284 故计算结果为 69284.0109284.6=。
中矩形公式的误差
中矩形公式的误差中矩形公式的误差是：在3%以内。
中矩形公式为：∫abf(x)dx=f(a+b2)(b−a)分别令 f(x)=1,x,x2 可知该公式具有1次代数精度因此该积分公式对任意1次多项式恒成立，那么不妨考虑满足下面条件的一次插值多项式：H(a+b2)=f(a+b2)H′(a+b2)=f′(a+b2)则根据多项式插值的余项通用表达式可知，f(x)−H(x)=f(2)(ξ)2!(x−a+b2)2因此，中矩形公式的余项为：积分第二中值定理∫abf(x)dx−f(a+b2)(b−a)=∫ab[f(x)−H(x)]dx=∫abf(2)(ξ)2(x−a+b2)2dx=f(2)(ζ)2∫ab(x−a+b2)2dx(积分第二中值定理)=124(b−a)3f(2)(ζ)由 Taylor 中值定理，有f(x)=f(a+b2)+∑n=1∞f(n)(a+b2)n!(x−a+b2)n.其中ξ∈(a,b).于是中矩形公式的余项为R(f)=∫ab[f(x)−f(a+b2)(b−a)]dx=∫ab∑n=1∞f(n)(a+b2)n!(x −a+b2)ndx=∑n=1∞f(n)(a+b2)n!∫ab(x−a+b2)ndx=∑n=1∞f(n)(a+b2)n!∫ab∑k=0n(nk)(−)k(a+b2)kxn−kdx=∑n=1∞f(n)(a+b2)n!∑k=0n(nk)(−)k(a+b2)k∫abxn−kdx=∑n=1∞f(n)(a+b2)n!∑k=0n(nk)(−)k(a+b2)kbn−k+1−an−k+1n−k+1.由上也容易得到中矩形公式的截断误差，只需令f(x)=f(a+b2)+f′(a+b2)(x−a+b2)+f′′(ξ)2(x−a+b2)2.其中ξ∈(a,b). 则截断误差为E(f)=∫ab[f(x)−f(a+b2)(b−a)]dx=f′(a+b2)∫ab(x−a+b2)dx+∫abf′′(ξ)2(x−a+b2)2dx=f′′(η)24(b−a)3.其中η∈(a,b).。
数值分析复化Simpson积分公式和复化梯形积分公式计算积分的通用程序
数值分析第五次程序作业PB09001057 孙琪【问题】分别编写用复化Simpson 积分公式和复化梯形积分公式计算积分的通用程序；用如上程序计算积分： I (f )=∫sin (x )dx 40取节点x i ， i =0,…,N,N 为2k ,k =0,1,…,12，并分析误差；简单分析你得到的数据。
【复化Simpson 积分公式】Simpson 法则：∫f (x )dx ≈b −a 6[f (a )+4f (a +b 2)+f (b )]b a 使用偶数个子区间上的复合Simpson 法则：设n 是偶数，x i =a +ih , h =b−a n ,(0≤i ≤n) 则有∫f (x )dx =∫f (x )dx +∫f (x )dx +⋯+∫f (x )dx =∑∫f (x )dx x 2i x 2i−2n 2i=1x n x n−2x 4x 2x 2x 0b a 将Simpson 法则应用于每一个区间，得到复合Simpson 法则：∫f (x )dx ≈h 3b a [f (x 0)+2∑f (x 2i−2)n 2i=2+4∑f (x 2i−1)n 2i=1+f (x n )] 公式的误差项为：−1180(b −a )h 4f (4)(δ) 其中δ∈(a,b)【复化梯形积分公式】梯形法则：对两个节点相应的积分法则称为梯形法则：∫f (x )dx ≈b −a 2b a [f (a )+f (b )] 如果划分区间[a,b]为：a =x 0<x 1<⋯<x n =b那么在每个区间上可应用梯形法则，此时节点未必是等距的，由此得到复合梯形法则：∫f (x )dx =∑∫f (x )dx x i x i−1n i=1b a ≈12∑(x i −x i−1)[f (x i−1)+f (x i )]ni=1 对等间距h=(b-a)/n 及节点x i =a +ih ，复合梯形法则具有形式：∫f (x )dx ≈h 2[f (a )+2∑f (a +ih )n−1i=1+f (b )]b a 误差项为：−112(b −a )h 2f ′′(δ)【算法分析】复合Simpson 法则和复合梯形法则的算法上述描述中都已介绍了，在此不多做叙述。
数值分析中的复化梯形法误差分析
数值分析中的复化梯形法误差分析数值分析中的复化梯形法误差分析在数值分析中，复化梯形法是一种常用的数值积分方法。
它使用梯形规则进行近似求解定积分，通过将定积分区间分割成若干个小区间，并在每个小区间上使用梯形规则进行求解，最后将各个小区间上的积分结果相加得到整个定积分的近似值。
本文将对复化梯形法进行误差分析。
1. 复化梯形法原理复化梯形法的原理是将定积分区间[a, b]等分为n个小区间，令h=(b-a)/n为小区间长度，梯形法的近似结果T可以表示为：T = h/2 * (f(a) + 2*f(x1) + 2*f(x2) + ... + 2*f(x(n-1)) + f(b))其中，f(x)为被积函数在x点处的取值。
2. 复化梯形法误差分析复化梯形法的误差主要包括局部误差和全局误差。
2.1 局部误差在每个小区间上，我们使用梯形规则进行积分计算，其误差可以通过泰勒展开进行推导。
设f(x)在[a, b]区间上具有充分高阶连续导数，则对于每个小区间[xk, x(k+1)]，我们有如下局部误差公式：E_local = - (h^3/12) * f''(ξ)其中，ξ为[xk, x(k+1)]上的某点，f''(ξ)为f(x)的二阶导数在ξ点的取值。
2.2 全局误差全局误差是指整个区间[a, b]上的积分近似与真实积分之差。
复化梯形法的全局误差可以通过对各个小区间上的局部误差进行累加得到。
假设积分的真实值为I，则全局误差E_global可以表示为：E_global = (b-a) * (h^2/12) * f''(ξ)其中，ξ为[a, b]区间上的某点，f''(ξ)为f(x)的二阶导数在ξ点的取值。
3. 误差分析实例为了更好地理解复化梯形法的误差特点，我们以一个具体的例子进行分析。
考虑定积分∫(0, 1)sin(x)dx的近似求解，将积分区间等分为4个小区间进行计算。
matlab软件求解数值积分及复化梯形公式、复化公式估计误差的方法心得
MATLAB软件是数值计算和科学计算的强大工具，尤其在数值积分和数值微积分中，它提供了许多内置函数，可以快速有效地解决各种问题。
以下是我使用MATLAB求解数值积分，以及使用复化梯形公式和复化公式估计误差的一些心得：1. 数值积分：MATLAB的内置函数`integral`可以用于数值积分。
这个函数使用自适应Simpson方法，可以处理复杂函数的积分。
我发现，对于一些非标准函数，`integral`函数能够给出相当精确的结果。
2. 复化梯形公式：复化梯形公式是一种数值积分的方法，它通过把积分区间分成许多小的子区间，然后在每个子区间上应用梯形法则来近似积分。
在MATLAB中，我们可以使用梯形法则的公式来实现这个方法。
值得注意的是，为了得到更精确的结果，我们需要将子区间的数量增加。
3. 复化公式估计误差：估计复化梯形公式的误差是重要的，因为它可以帮助我们了解我们的近似有多准确。
误差可以通过比较复化梯形公式的近似值和真实值来估计。
在MATLAB中，我们可以使用try-catch语句来捕获可能的错误，并据此调整我们的近似。
4. 细心和耐心：在使用MATLAB进行数值计算时，细心和耐心是关键。
我们需要仔细检查我们的代码，确保所有的变量都被正确地定义和使用。
同时，由于数值计算可能会产生一些意想不到的结果，我们需要有耐心去调试和优化我们的代码。
5. 理解你的算法：对于任何数值方法，理解其背后的数学原理是非常重要的。
这不仅可以帮助你理解你的代码是如何工作的，而且当出现问题时，你可以更有效地找到问题的根源。
6. 使用MATLAB的文档和社区：MATLAB的文档非常全面，对于不熟悉某个函数或方法的人来说，查阅文档是非常有帮助的。
此外，MATLAB的社区也非常活跃，当你遇到问题时，你可以在这里寻求帮助。
以上就是我在使用MATLAB求解数值积分以及使用复化梯形公式和复化公式估计误差的一些心得。
总的来说，MATLAB是一个功能强大的工具，但是要充分利用它，我们需要理解其背后的数学原理，耐心地调试我们的代码，并善于利用其文档和社区资源。
几种数值积分算法的误差分析
一、几种数值积分的算法
1、Newton-Cotes求积公式
（1）梯形公式（n=1）
b f (x)dx T b af (a) f (b)
a
2
（2）Simpson（辛普森）公式（n=2）
b
f (x)dx S
a
b
6
a
f
(a)
4
f
(a
2
b)
f
(b)
（3）Cotes公式（n=4）
b
f (x)dx C
1
n
f (x，)dx
1
Ak f (xk )
k 0
1 1
f (x) 1 x2
dx
n
Ak
k 0
f (xk )
ex f (x)dx
0
n
Ak f (xk )
k 0
e x2 f (x)dx
n
Ak f (xk )
k 0
二、数值积分方法的误差比较及算例
1、Newton-Cotes求积公式的误差分析
收敛的快.
余项为：
b
Rm,k ( f ) a f (x)dx Tm,k
B2m2
(b a)2m3 f (2m2) ( )
2 ! (m1)(m2k ).2m
Romberg积分法高速有效，易于编程，适合于计算机计算.但它 有一个主要的缺点是，每当把区间对分后，就要对被积函数 f (x) 计算它在 新分点处的值，而这些函数值的个数是成倍的增加的.
a
b a 90
7
f
(
x0
)
32
f
(
x1
)
12
f
(
x2
数值积分矩形公式的复化及误差分析
数值积分矩形公式的复化及误差分析张晓霞（西北师范大学 数学与信息科学学院 甘肃 兰州 730070）摘 要： 先推导得出中矩形公式、左矩形公式,然后对其进行复化，但由于结果不理想,再对两个公式进行递推,求出它们的递推化公式以及对其误差进行分析,最后举例说明几种逼近公式误差的变化情况;关键词：中矩形公式,左矩形公式,误差分析,复化公式,公式递推化1 引言以前我们在进行积分运算时,都是先对被积函数求出其原函数,然后代值进行计算,但不是每个被积函数都是能轻易找到其原函数的,有的甚至找不到它的原函数,这就要求我们找出另外一种方法来研究积分运算．首先我们来定义即将用到的左矩形公式和中矩形公式： 对于积分dx x f I ba⎰=)(,由积分中值定理知,∃一点ξ∈),(b a ,使得⎰bax d x f )()(=(b-a)f (ξ)A ． 若用区间左端点a 的函数值f (a)作为f (ξ)的近似值,则得到我们熟悉的左矩形公式：)()(a f a b J -=,其积分余项 2)(2)(a b f J I R J -'=-=η （1） B ． 若改用区间中点2b a c +=的函数值)2(ba f +作为)(ξf 的近似值,则得到中矩形公式： )2()(b a f a b R +-=,其积分余项 3)(24)(a b f J I R R-''=-=η （2） 由于我们导出的左矩形公式和中矩形公式对积分值的近似估计误差很大,所以我们采用复化求积公式来近似估计积分的准确值．2复化公式所谓复化[1]就是指将一个积分的积分区间[]b a ,划分为n 等分,在每一个小区间[]1,+k k x x 上应用左、中矩形公式求出积分值),,2,1(n k I k =,然后对k I 求和,近似估计出积分I 的积分值的算法．2．1复化左矩形公式将积分区间[]b a ,划分为n 等分,步长nab h -=,分点.,,1,0,n k kh a x k =+=对每一个小区间[]1,+k k x x 采用左矩形公式有J x x x x n n k k k n k k k n k baf h f dx x x x f dx x f I k k ==-≈==∑∑∑⎰⎰-=-=+-=+110110)()()()()(1（3）Jn称为复化左矩形求积公式,下标n 表示将区间[]b a ,划分为n 等分．2．2复化中矩形公式类似于复化左矩形公式,对每一个小区间[]1,+k k x x 采用中矩形公式,且令2121+++=k k k x x x ,则有 R x x x x n n k k k n k k k n k baf h f dx x x x f dx x f I k k ==-≈==∑∑∑⎰⎰-=++-=+-=+1212110110)()()()()(1（4）n R 称为复化中矩形求积公式,下标n 表示将区间[]b a ,划分为n 等分．[3]3复化公式的误差分析3．1 复化左矩形公式的误差估计公式由(1)式对每个小区间有误差估计式22112)()()(2)()()()(1h f x hf x x f x f x x dx x f I k k k k k k k k x x k k kηη'+=-'+-==++⎰+其中k η介于k x ,1+k x 之间,将上式代入(3)中则有∑∑∑⎰∑⎰-=+-=+-=-='-+-====+1211111)()(21)()()()(1n k k k k n k k k k n k x x n k k baf x x x f x x dx x f I dx x f I k kη∑∑-=-='+=1021)(2)(n k k n k k f h x f h η从而复化左矩形公式的误差估计式为∑∑-=-='⋅-==-=1012)(12)()(2)(n k k n k k n n f n a b h f h J I f R ηη 由于)(x f '在[]b a ,上连续,k η均为[]b a ,的内点,所以由中值定理知,存在一点[]b a ,∈η,使得)()(11ηηf f n n k k '='⋅∑-=,所以有 )(2)()(ηf a b h J I f R n n '-=-= ,[]b a ,∈η （5）)(f R n 称为复化左矩形公式的误差估计式,下标n 表示将区间[]b a ,划分为n 等分．3．2复化中矩形公式的误差估计公式类似于复化左矩形的误差公式,同样可得复化中矩形公式的误差估计公式∑∑-=-=''⋅-=''=-=12103)(124)()(24)(n k k n k k n n f n a b h f h R I f E ξξ其中),(1+∈k k k x x ξ,由于)(x f ''在[]b a ,上连续,k ξ均为[]b a ,的内点,所以由中值定理知,存在一点[]b a ,∈ξ,使得 )()(11ξξf f n n k k ''=''⋅∑-=,所以有)(24)()(2ξf a b h R I f E n n ''-=-=, []b a ,∈ξ （6）4矩形公式的递推化虽然复化求积方法对提高精度是行之有效的,但在使用求积公式之前必须给出合适的步长,步长太长,精度难以保证,步长太小,又会导致计算量的增加．而事先给出一个合适的步长往往是困难的,那到底怎样选取步长才是合适的呢？实际计算中常常采用变步长的方案,即在步长逐次分半（即步长二分）的过程中,反复利用复化求积公式进行计算,直至所求得的积分值满足精度要求为止．4．1左矩形公式的递推公式及误差变步长过程中左矩形的计算规律：将求积区间[]b a ,分成n 等份,则一共有1+n 个分点,按左矩形公式计算n J ,需要提供n 个函数值,如果将积分区间再分一次,则分点增至12+n 个,将二分前后两个积分值联系起来加以考虑,注意到每个子区间[]1,+k k x x 经过二分只增加了一个分点2121+++=k k k x x x ,利用复化的左矩形公式求得该子区间上的积分值为[])()(221++k k x f x f h ,其中代na b h -=表二分前的步长,将每个子区间上的积分值相加得[]n n n k k n k k n k k k nR J x f h x f h x f x f h J 2121)(2)(2)()(210101022121+=+=+=∑∑∑-=+-=-=+ （7）从而根据左矩形公式的误差公式[])()(2)(2a f b f hdx x f h J I b a n -='≈-⎰得,积分值的截断误差大致与h 成正比,因此当步长二分后,误差将减至原有误差的2/1,即有212≈--n n J I J I ,移项整理得n n n J J J I -≈-22,由此可见只要二分前后的两个积分值n J 与n J 2相当接近,就可以保证计算结果误差很小,积分近似值n J 2的误差大致等于n n J J -2,因此,如果用这个误差值作为n J 2的一种补偿,可以期望得到的n n n n n J J J J J J -≈-+='2222可能是更好的结果．4．2中矩形公式的递推公式及误差同理对中矩形公式也一样,将求积区间[]b a ,分成n 等份,则一共有1+n 个分点,按中矩形公式计算n R ,需要提供1+n 个函数值,如果将积分区间再分一次,则分点增至2n +1个,将二分前后两个积分值联系起来加以考虑,注意到每个子区间[]1,+k k x x 经过二分只增加了一个分点2121+++=k k k x x x ,在上述二分后的子区间上利用复化的中矩形公式求得该子区间上的积分值为[])()(24341+++k k x f x f h ,同样na b h -=代表二分前的步长,将每个子区间上的积分值相加,得[]∑-=+++=12)()(24341n k k k n x f x f h R （8）根据中矩形公式的误差公式[])()(2)(222b f a f h dx x f h R I ban '-'=''≈-⎰得,积分值的截断误差大致与2h 成正比,因此当步长二分后,误差将减至原有误差的4/1,即有412≈--n n R I R I ,移项整理得)(3122n n n R R R I -≈-,同样,当二分前后的两个积分值n R 与n R 2相差很近时,就可以保证计算结果误差很小,积分近似值n R 2的误差大致等于)(312n n R R -,因此,如果用这个()k f x 误差值作为n R 2的一种补偿,则可以得到n n n n n R R R R R R 3134)(31222-=-+='可能结果比较理想．5矩圆公式由右图可见,这样分割后,形成一些小网格,以上一些工作我们就是通过计算这些小的矩形条的面积之和进而估计出曲线)(x f 在[]b a ,上所围 的面积．那么除此之外还有无别的近似计算方法呢？首先,我们试想,如右图所示,把网格顶端的一些剩下的不全的网格 近似为底为h ,高为)()(1k k x f x f -+的三角形,那么前面我们按照左矩形公式 算得的矩形条的面积就为[])()(2)(1k k k x f x f hx hf -++,整理后为)(2)(21++k k x f h x f h ,那么 ∑∑⎰⎰-=++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-≈==+101110))()((2)()()()(1n k k k k k k n k bax f x f h f dx x x x f dx x f I x x x k k[]I x f f h n k k k x '=+=∑-=+11)()(2 (9) 这就是我们所熟知的梯形公式,而梯形公式对准确值的逼近程度要优于左矩形公式和右矩形公式,所以这样的假设与估计是成立的,同理我们对上面算得的中矩形公式也可以加上这个小三角形的面积而得到与准确值更为近的值．∑∑⎰⎰-=+++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-≈==+10121110))()((2)()()()(1n k k k k k k n k bax f x f h f dx x x x f dx x f I x x x k kI x f f x f h n k k k k x ''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∑-=++10211)()(2)(2 (10) 下面我们来讨论另一种情形:即把上述所描写的三角形换成半径为h (或[])()(1k k x f x f -+),为了计算方便,可以直接看成半径为h )的圆,那么按照前面我们推导得到的左矩形公式,计算得到小矩形条的面积为241)(h x hf k π+,用它来近似积分的准确值可得到 ∑∑⎰⎰-=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≈==+10211041)()()()(1n k k k k n k b ah f dx x x x f dx x f I x x x k k πP h f h n k k x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∑-=1041)(π （11）这就是我们所得到的左矩圆公式．同理按照中矩形公式得到的小矩形条的面积为241)(21h x hf k π++,用它来近似积分的准 )(k x f)(1+k x f确值可得到∑∑⎰⎰-=++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≈==+1022111041)()()()(1n k k k k n k bah f dx x x x f dx x f I x x x k k πQ h f h n k k x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∑-=+102141)(π （12） 这就是我们所得到的中矩圆公式．例 应用复化矩形公式（3）和（4）计算以及递推公式（7）与（8）和矩圆公式（11）与（12）计算积分dx e I x ⎰=21的近似值,并与其准确值作相应的比较．解： 设x e x f =)(,2/1,0==b a ,分点个数8,,2,1 =n ; ∑-==10)(n k k n x f hJ ∑-=+=1)(21n k k n x f h R )()(a f a b J -= )2()(ba f ab R +-= n n nR J J 21212+= []∑-=+++=12)()(24341n k k k n x f x f h R∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=1041)(n k k h f h P x π ∑-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=102141)(n k k h f h Q x πnn a b h 21=-=),2,1,0(,n k kh x k == 当h 取不同值时各种算法对积分的估计值与近似解的比较J 0.500000 0.500000 0.500000 0.500000 0.500000 0.500000 0.500000 0.500000 R0.642012 0.642012 0.642012 0.642012 0.642012 0.642012 0.642012 0.642012 n J 0.500000 0.596162 0.560453 0.609021 0.616826 0.622067 0.625828 0.628660 n R 0.642012 0.647034 0.647971 0.648299 0.648451 0.648534 0.648583 0.648616 n J 2 0.571006 0.60902 0.604212 0.62866 0.632639 0.635301 0.637206 0.638638 n R 20.647035 0.648299 0.648534 0.648616 0.648654 0.648674 0.648687 0.648695 P0.6963500.6200930.6179790.6212930.6246800.6275210.6298350.631728Q0.838362 0.696121 0.669788 0.660571 0.656305 0.653988 0.652590 0.651684精确解I0.648721 0.648721 0.648721 0.648721 0.648721 0.648721 0.648721 0.648721通过上表容易看出，当步长h 逐渐变小时，不论是复化公式还是递推公式，它们对准确值的逼近效果都显著提高，即h 越小，逼近效果越好；另一方面容易看出，中矩形公式比左矩形对准确值的近似程度更高，当然其复化公式的近似程度也比左矩形复化公式的精确度高；还有我们最后推出的(7)式与(8)式，它比起各自的复化公式来，逼近效果也相对较好，同样地中矩形公式的复化公式比(7)式的逼近效果要好．由(11)的结果可知在除1 n 之外，它的计算结果是比较理想的；明显的问题是(12)式的计算结果与准确值的差距特别大，因为对于复化的中矩形公式而言，精确度已经是比较好的了，那么，如果我们再去作(12)式那样的逼近，势必导致出现大的波动．这样的公式是不完美的，所以对这样的公式完全可以舍去．只要我们选取合适的步长，分别利用它们各自的递推公式算出的近似值比它们自己的复化公式精确度要高很多．6结论：通过本文的论述，得出复化求积公式比原近似公式的精确度高；同样地，复化中矩形公式的逼近效果比复化左矩形公式对准确值的逼近效果好;另外，通过公式的递推化之后，我们得出递推化的公式比复化求积公式的精确度高;理所当然，随着n 的不断增大，误差逐渐减小，当n 到一定程度大时，会无限接近准确值．参考文献：[1]李庆杨，王能超，易大义.数值分析[M].4版.武汉:华中科技大学出版社，2006. [2]王仁宏.数值逼近[M].北京:高等教育出版社，1999.[3]李岳生，黄友谦.数值逼近[M]. 北京:人民教育出版社，1978.[4]李晓红，堵秀风，张永胜，王延臣.计算方法[M]. 北京:北京航空航天大学出版社，2006. [5]马东升，雷永军.数值计算方法[M].2版. 武汉:机械工业出版社，2001.[6]张韵华，奚梅成，陈效群.数值计算方法与算法[M].2版.北京:科学出版社，2000.Numerical integration of rectangular complex formula and error analysisZhang Xiaoxia(College of Mathematics and Information Sciences Northwest Normal University LanzhouGansu 730070)Abstract: Firstly, we deduced in the rectangle formula, the left rectangle formula, and then carry out restoration of them. Because the result is not satisfied with our expectations, so we try to find their recursive formulas and analyze their errors. Finally, we give an example of the some appropriate formulas for the change of error;Keywords:the rectangle formula;the left rectangle formula; error analysis; complex formula; the formula of recurrence。
复化Newtonian—Cote's公式及其误差
＋ｌ ４｜ 一
ｊｌ ＝
］
（ ２ ７ 喜 ， （
， 『’０＋ （ ＋ ｙ） ｌ
＋ｌ ４
一 ．
ｉｌ ｉ ｆ
］
再将 Ｙ当作常 数，在 方向上计算上式 中每一 项的积分，有
麟ｒ ＇ 霎 ｙ ） 掀
）
其中 数 ＝ ｉ ｊ ＝ｕ “ ４ ＝７ ２２ ２４ ２ ４ ２ ２ ２４ ）， 系 ・ ， ｛ ， ， ｛ ３１３，， ， ， ，， ，， ｒ ＶＵ ０ ） ， ，， １３…１３ １ ３１ ７
： ，，， ） ｛３ １３１３…１３ １３１７ ， …ｖ ：７２２２４ ２ ，，，，，，ｒ ４ ，，，，， ， ４２２２４）
Ｎｅ ｔｎａ． ｏｅ 数值积分公式， ｗ ｏ ｉ Ｃ ｔ’ ｎ ｓ 则可得复化 的 Ｎ ｗ ｏｉ ．ｏｅｓ ｅ ｔｎ ｎＣ ｔ 公式： 的光滑 性，有
， ｒ （ ，＋－ ＋ ”１，２ｍ ７］） （ ， ， ［ｎ２ （ ， ） ＋１）（ ， （ ） ７） “（］ｍ ＋ － ＋ ） ＝ （３【 ） ＋－ ） ， ， ＝ ｍ Ｉ ， ２（ （ Ｉ
ｍ －Ｉ
ｌ （， ４ ｘ ∑ｆ
ｉ ＝１
＋Ｘｙ ７ｎ＋ 厂， ４ Ｙ］ ２
ｍ－Ｉ
Ｎｅ ｔｎａ— ｏ ’ 数 值 积 分 公 式 （） 算 积 分 ｗｏｉ Ｃ ｔｓ ｎ ｅ １计
ｒ（） （ 常 ） ， ｙｙ视 为 数 有 五ａ
３ ２ ｒ 茎 薹 薹，Ｙ＋２ （『， ） （ＸＪ３∑ｆｘ＋Ｙ ７ｏ￣ ４ｌ４ ｃ４ ， ＋ ４ ｃ＋ＩＹ ｋ ３ （ ） ［， ２ｘ ７ ， ， ｎ４ ∑ 川 ｊ 搴 － ０ ｆ
对于一元函数的情形， 把积分区间［，】 ａｂ 分成４ 等分，记 ｎ＝４ ，其中ｎ 是节点总数，４ 是 ｍ ｍ ＋１ ｍ
三种复化求积分算法的精度分析
【摘要】分别利用复化梯形公式、复化simpson公式和复化gauss-legendre i型公式对定积分进行运算，得到近似数值解，并对各算法的精度和计算复杂度进行了比较与分析。
数值举例结果表明，三种复化求积分算法的运算结果均在绝对误差限ε=5e-8内，并且在相同的精度下，复化gauss-legendre i型公式的步长和计算量最小。
【关键词】复化梯形公式；复化simpson公式；gauss-legendre公式1 引言数值积分是计算数学的基本内容，在工程技术和科学计算中起着十分重要的作用，当积分的精确值不能不能求出时，数值积分就变得越来越重要。
通常数值积分的计算常利用机械积分来实现，其基本思想为：（1）2 理论模型2.1 复化梯形求积公式将区间[a，b]划分成n等分，分点xk=a+kh（，k=1，2，3…n），在每个子区间[xk，xk+1] （k=1，2，3 …n-1）上采用梯形式，则得到（2）记（3）上式（3）为复化梯形公式，其余项可由式，（a≤η≤b）（4）得，ηk∈[xk，xk+1] （5）由于f（x）∈c2[a，b]且，（0≤k≤n-1）（6）所以?∈（a，b），使（7）于是复化梯形公式余项为（8）2.2 复化simpson求积公式将区间[a，b]划分为n等分，在每个子区间[xk，xk+1]上采用simpson式，若记，则得（9）记（10）上式（10）为复化simpson求积公式，其余项可由式，（a≤η≤b）（11）得，ηk∈[xk，xk+1] （12）于是当f（x）∈c4[a，b]时，与复化梯形公式相似有，η∈[a，b] （13）2.3 复化gauss-legendre i型求积公式gauss型求积公式是具有最高代数精度的插值求积公式。
通过适当选取求积公式（1）的节点ε=5e-8和求积系数ak≥0和xk∈[a，b] （k=1，2，3…n），可使其代数精度达到最高的2n+1次。
利用特殊区间[-1，1]上n+1次legendre正交多项式的根作为节点，我们可以建立gauss-legendre型求积公式。
矩形面积中误差计算公式
矩形面积中误差计算公式
矩形的面积计算公式是A = 长× 宽。
如果要计算矩形面积的误差，通常会使用微积分中的线性近似来进行估算。
假设矩形的长和宽分别为L和W，那么面积A = L × W。
现在我们引入长度和宽度的误差，分别记为ΔL和ΔW。
我们可以使用微积分中的偏导数来计算误差的影响。
首先，我们计算面积A关于L的偏导数，记为∂A/∂L。
这个偏导数表示了当L发生变化时，面积A的变化率。
类似地，我们计算A关于W的偏导数，记为∂A/∂W，表示了当W发生变化时，面积A 的变化率。
然后，我们可以使用偏导数来估算面积的误差。
假设ΔL和
ΔW分别是长度和宽度的误差，那么面积的误差ΔA可以用以下公式估算：
ΔA ≈ (∂A/∂L) × ΔL + (∂A/∂W) × ΔW.
这个公式表示了当长度和宽度发生变化时，面积的变化情况。
这种线性近似的方法在实际工程和科学计算中经常被使用，可以帮
助我们估算误差对结果的影响。
需要注意的是，这里使用的是一阶偏导数来进行线性近似，对于更复杂的情况或者更高阶的误差估算，可能需要使用更复杂的数学方法来进行分析和计算。
数值分析数值积分教程文件
类似地，在两相邻对角线值充分接近时，比如| S1 T1 | ，| C1 S1 | ，| R1 C1 | 充分
小时，即可停止加密过程。
高斯型求积公式
b
n
目标：求数值积分公式 (x) f (x)dx a
Ak f (xk ) ，其中 (x) 为给定的权函数。
k 0
给定插值节点 a x0 x1 L xn b ，
k 0
Newton-Cotes公式
Newton-Cotes 公式的稳定性：
n
n
设 I Ak f (xk ) ， I% Ak ( f (xk ) òk ) ，
k 0
k 0
n
n
n
则| I I%|| Ak蝌k | | Ak ||
k 0
k 0
_k |
?|
k 0
Ak
|
，这里假设了 max k
Newton-Cotes公式
当节点为等距节点时，对应的插值型求积公式称为 Newton-Cotes 公式。
梯形公式：最简单的 Newton-Cotes 公式
取n
1 ，节点为
x0
a
，
x1
b
。有 l0 (x)
b b
x a
,
l1 ( x)
x b
a a
.
因此，
A0
b a
l0
(x)dx
1 2
(b
a)
若 f "(x) C[a,b] ，有
E f ()
b
(x a)(x b)dx
f () (b a)3
2a
12
辛普森公式：
辛普森公式
取
n
2 ，节点为
牛顿-柯特斯公式
牛顿-柯特斯公式牛顿-柯特斯公式是数值分析中重要的求积公式之一，它可以用于近似计算定积分的值。
牛顿-柯特斯公式是利用插值多项式的积分公式，在积分节点选取相同的情况下，通过不同的插值多项式形式，可以达到不同的精度要求。
牛顿-柯特斯公式的一般形式可以表示为：∫[a,b]f(x)dx = w_0f(x_0)+w_1f(x_1)+...+w_nf(x_n)+R_n其中，x_0, x_1,...,x_n 是n+1个等距节点，a = x_0 < x_1< ... < x_n = b，f(x)是要求积分的函数，w_i是相应的权重系数，R_n是余项，用于表示估计误差。
牛顿-柯特斯公式的权重系数w_i和余项R_n与插值多项式的形式有关。
下面将介绍牛顿-柯特斯公式的一些常见形式。
1. 矩形公式当n = 0时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)f(a)这个公式称为矩形公式或矩形法则。
它的准确度为一阶，即误差为O((b-a)^2)。
2. 梯形公式当n = 1时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)[(f(a)+f(b))/2]这个公式称为梯形公式或梯形法则。
它的准确度为一阶，即误差为O((b-a)^2)。
3. 辛普森公式当n = 2时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)[(f(a)+4f((a+b)/2)+f(b))/6]这个公式称为辛普森公式或辛普森法则。
它的准确度为二阶，即误差为O((b-a)^3)。
4. 三点闭合公式当n = 3时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)[(f(a)+3f(a+h)+3f(b-h)+f(b))/8]其中，h = (b-a)/3。
这个公式的准确度为三阶，即误差为O((b-a)^4)。
通过不断增加插值节点的数量n，可以得到更高阶的牛顿-柯特斯公式。
复化中矩形求积公式余项
复化中矩形求积公式余项复化中矩形求积公式余项，这可真是个有点复杂但又超级有趣的数学概念啊！咱们先来说说啥是复化中矩形求积公式。
想象一下，你有一条弯弯曲曲的曲线，就像你在公园里走的那种没有规律的小道。
现在你想知道这条小道下面的面积大概是多少。
那咱们就把这条小道切成好多好多的小段，每一小段都近似看成一个矩形。
比如说，把区间 [a, b] 分成 n 等分，每个小区间的长度就是 h = (b - a) / n 。
然后在每个小区间的中点找一个点，以这个点的函数值乘以小区间的长度，把所有这些乘积加起来，这就是复化中矩形求积公式啦。
但是，这里面就有个小问题，咱们这样算出来的面积并不是完全准确的，总会有那么一点点误差，这就是余项啦。
我记得有一次给学生们讲这个的时候，有个小家伙特别较真儿。
他瞪着大眼睛问我：“老师，为啥就不能完全算准呢？”我笑着跟他说：“这就好比你用尺子量一个弯弯曲曲的线，尺子是直的，线是弯的，怎么可能量得一点不差呀！”这小家伙似懂非懂地点点头。
那这个余项到底咋算呢？其实它跟函数的高阶导数有关系。
简单来说，函数越弯曲，余项就可能越大。
咱们来举个例子，假如有个函数 f(x) = x²，要在区间 [0, 1] 上用复化中矩形求积公式来算面积。
分成 10 等分，算出来的结果和准确值一比较，就能看到那个小小的误差。
在实际应用中，了解这个余项很重要哦。
比如说在工程计算里，如果对精度要求很高，就得搞清楚这个余项有多大，看看咱们用的方法合不合适。
再比如说，在做科学研究的时候，一点点误差可能就会导致完全不同的结论。
所以得把这个余项控制在一个能接受的范围内。
总之，复化中矩形求积公式余项虽然有点复杂，但只要咱们认真琢磨，就能搞清楚它的门道，让数学为咱们的学习和生活服务！怎么样，这下对复化中矩形求积公式余项是不是有点感觉啦？。
数值分析实验 复化求积公式(改进版)
3
2
1 1 1 d x (2) 4 dx 2 2 0 x 1 1 x
(4) e xe x dx
2 1
2
实验要求 : (1) 若用复化梯形公式、 复化 Simpson 公式和复化 Gauss-Legendre 型 公式做计算，要求绝对误差限为 107 ，分别利用它们的余项 对每种算法做出步长的事前估计。 (2) 分别用复化梯形公式、 复化 Simpson 公式和复化 Gauss-Legendre 型公式作计算。 (3) 将计算结果与精确解做比较，并比较各种算法的计算量。
Rn ( f ) b a h 4 (4) (1 0)h 4 1 ( ) f ( ) 3(ln 3)4 = 10-7 4 180 2 180 2 2
ba 1 n 2457
所以
h ba 1 7.58 10-2 n n n 13.19
因此 取节点数 n=14 步长 h
xk 1
xk
f ( x) dx
b
a
f ( x) dx
h n 1 h h [ f (x 1 )+f ( x 1 )] k k 2 k 0 2 3 2 3 2 2
上式称为复化Gauss-Legendre I 型求积公式。 ba 于是当f ( x) C 4 [a, b]，h 时，复化Gauss-Legendre I 型求积公式的余项表达式为 n (b a )h 4 (4) Rn ( f )= f ( ), [a, b] 4320
Rn ( f ) (b a) 2 '' (1 0)h2 2 1 h f ( ) 4e = 10-7 12 12 2
复化中矩形公式及外推加速算法
目录复化中矩形公式及外推加速算法 (1)1 引言 (1)1.1 问题背景 (1)1.2 数值求积的基本思想 (2)2 复化求积法及其复化中矩形公式 (3)2.1 复化求积法 (3)2.2 复化中矩形公式 (3)2.2.1 复化中矩形公式的形式 (3)2.2.2 复化中矩形公式的几何意义 (3)3 中矩形公式的余项展开式 (4)3.1 泰勒中值定理 (4)3.2 中矩形法的余项展开式 (4)4 外推加速法 (7)4.1 外推法的基本思想 (7)4.2 中矩形外推加速算法 (7)5 数值实验 (9)6 总结 (12)致 谢 (13)参考文献 (13)复化中矩形公式及外推加速算法摘 要 本文首先概述了数值求积的基本思想，并提出了一种求积方法——中矩形法；然后求出中矩形法的余项展开式 ()2462123ii h I h h h h αααα=++++++""Z ，接着根据这个定理进行外推，得到中矩形公式的外推加速算法()()14141241m m m m m h h −⎛⎞=−⎜⎟−−⎝⎠Z Z Z 1m h −，最后将这个算法用于实际应用，验证了这个算法的可行性.关键词 中矩形公式；数值积分；外推1 引言1.1 问题背景实际问题当中常常需要计算积分.有些数值方法，如微分方程和积分方程的求解，也都和积分计算相联系.依据人们所熟知的微积分基本定理，对于积分()baI f x dx =∫只要找到被积函数()f x 的原函数，便有下列牛顿—莱布尼兹（Newton-Leibniz ）公式 ()F x()()()baf x dx F b F a =−∫但对很多实际问题，这种方法已无能为力，常常遇到的主要问题有：（1） 找不到被积函数()f x 的原函数()F x ，如 ()sin x f x x =，()1ln f x x=，()2x f x e −=，()f x =，()2211sin f x k x=−.（2） 虽然找到了原函数，但因表达式过于复杂而不便于计算，例如从通常的积分 表中可以查到=(2324ln 28b ac cx b c c−−+++原函数复杂性大大超过被积函数的复杂性.（3） 被积函数没有有限的解析表达式，而是由测量数据或数值计算给出的数据表示. 例如：一块铝合金薄板的横断面为正弦波，要求原材料铝合金板的长度，也就是()sin f x x =从到0x =x b =的曲线弧长，可用积分表示为LL ==∫∫，这是一个椭圆计算问题[1]~[5].牛顿—莱布尼兹公式都不能直接运用.因此有必要研究积分的数值计算问题.1.2 数值求积的基本思想积分()baI f x dx =∫在几何上可以解释为由x a =，x b =，0y =以及这四条曲线所围成的曲边梯形的面积.而这个面积之所以难于计算，是因为它有一条曲边.()y f x =()y f x =由积分中值定理可知，对于连续的函数()f x ，在积分区间[],a b 内存在一点ζ，使得()()()baf x dx b a f ζ=−∫即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为b a −而高为()fζ的矩形面积.问题在于点ζ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出()f ζ的值，我们将()f ζ称为区间[],a b 上的平均高度.这样，只要对平均高度()fζ提供一种算法，相应地获得一种数值求积方法.中矩形公式实质上就是以函数()f x 在区间[],a b 的中点2a bc +=处的函数值()f c 近似地取代平均高度()f ζ，这样导出的求积公式()2a b b a f +⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠Z就是所谓的中矩形公式[6]~[9].2 复化求积法及其复化中矩形公式2.1 复化求积法求积公式的误差与求积区间的长度有关，积分区间越小，误差一般也小，因此将积分区间分成若干小区间，在每个小区间上用低阶求积公式，然后将这些小区间上的积分值相加作为函数在整个区间上的积分近似值，这就是复化求积的思想.即将积分区间[],a b 划分为等分，步长n b ah n−=，分点为,0,1,2i x a ih i n =+="，求得每个子区间[]1,i i x x +上的积分值i I ，然后再求和，用1n ii I−=∑作为所求积分I 的近似值[10]~[12].2.2 复化中矩形公式2.2.1 复化中矩形公式的形式将区间等分等份，步长n b ah n−=，分点为,0,1,2i x a ih i n =+="，其中，，在每个子区间[0a x =n b x =]1,i i x x +上用中矩形公式，有()1110121222n h f x h f x h f x h f x h +++−+⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞=++++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠"Z 12 1102n i i f x −+=⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∑h （1） 2.2.2 复化中矩形公式的几何意义其几何意义是曲边梯形的面积()baf x dx ∫近似的用许多小的细条矩形来代替.越大，则越小，实际面积与近似面积的差，即求积误差就越小.n h3 中矩形公式的余项展开式3.1 泰勒中值定理如果函数()f x 在含有0x 的某个开区间(),a b 内具有直到()1n +阶的导数，则当x 在内时，(,a b )()f x 可以表示为(0)x x −的一个次多项式与一个余项n ()n R x 之和：()()()()()()2000002!f x f x f x f x x x x x ′′′=+−+−+" ()()()(00!n nn f x )x x R n −+x其中()()()()()1101n n n f R x x x n ζ++=−+这里ζ是x 与0x 之间的某个值.3.2 中矩形法的余项展开式运用泰勒展开方法，将()f x 在子区间[]1,i i x x +的中点(11212i i i )xx x ++=+展开，有 ()2121112222!i i i i x x f x f x x x f x f x ++++⎛⎞−⎜⎟⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎝⎠′′=+−+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠12i +′()341142211223!4!i i i i x x x x f x f x ++++⎛⎞⎛⎞−−⎜⎟⎜⎟⎛⎞⎛⎞⎝⎠⎝⎠′′′++⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠()()561156221225!6!i i i i x x x x f x f x ++++⎛⎞⎛⎞−−⎜⎟⎜⎟⎛⎞⎛⎞⎝⎠⎝⎠++⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠"1+ （2） 另一方面，将式（2）在子区间[]1,i i x x +上求积分()1111122i i i iii x x x x x x i i 12i f x dx f x dx x x f x dx +++++⎛⎞⎛⎞⎛⎞′=+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠∫∫∫+1212122!i i i x x i x x f x dx +++⎛⎞−⎜⎟⎛⎞⎝⎠′′+⎜⎟⎝⎠∫1312123!i ii x x i x x f x dx +++⎛⎞−⎜⎟⎛⎞⎝⎠′′′++⎜⎟⎝⎠∫" 其中令12i t x x+=−，则dt dx =12122i inhx nh x i x x dx t d +−+⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠t ∫∫当为奇数时，n 220hn h t dt −=∫，当为偶数时，n 22h n h t dt −∫202h n t dt =∫1221h n tn +=⋅+ ()121n n h n +=+即()1112021i inx n x i n n x x dx h n +++⎧⎛⎞⎪−=⎨⎜⎟⎝⎠⎪+⎩∫为奇数n为偶数因此()()13541122223!25!2i ix x i i h h f x dx hf x f x f x +++⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞′′=++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠∫12i +()761227!2i h f x +⎛⎞⎛⎞++⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠"然后再关于i 从0到求和得1n −()()11i in bx ax i I f x dx f x dx +−===∑∫∫3111120223!2n n i i i i h hf x f x −−++==⎛⎞⎛⎞′′=+⎜⎟⎜⎟⋅⎝⎠⎝⎠∑∑()()5711461460225!27!2n n i i i i h h fx f x −−++==⎛⎞⎛⎞++⎜⎟⎜⎟⋅⋅⎝⎠⎝⎠∑∑"1+ （3）将（1）式代入（3）式中消去项1102n i i hf x −+=⎛⎞⎜⎝⎠∑⎟，得 ()()()3571114611246223!25!27!2n n n i i i i i h h h h I f x fx f x −−−++===⎛⎞⎛⎞⎛⎞′′=−−−+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⋅⋅⋅⎝⎠⎝⎠⎝⎠∑∑∑"Z 12i + （4）又对()f x ′′应用（3）式，并注意到()()()baf x dx f b f a ′′′′=−∫()31141120223!2n n i i i i h hf x f x −−++==⎛⎞⎛⎞′′=+⎜⎟⎜⎟⋅⎝⎠⎝⎠∑∑()()57116811460225!27!2n n i i i i h h fx f x −−++==⎛⎞⎛⎞++⎜⎟⎜⎟⋅⋅⎝⎠⎝⎠∑∑"+则1102n i i hf x −+=⎛⎞′′⎜⎟⎝⎠∑()()()31412023!2n i i h f b f a f x −+=⎛⎞′′=−−⎜⎟⋅⎝⎠∑()()5711681460225!27!2n n i i i i h h fx fx −−++==⎛⎞⎛⎞1−−⎜⎟⎜⎟⋅⋅⎝⎠⎝⎠∑∑"+ （5） 代入（4）式，整理得()()()()()335114611224223!23!25!2n n i i i i h h h h I f b f a fx fx −−++==⎡⎤⎛⎞⎛⎞′′=−−−−+⎢⎥⎜⎟⎜⎟⋅⋅⋅⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦∑∑"Z()()57114611460225!27!2n n i i i i h h fx f x −−++==⎛⎞⎛⎞−−⎜⎟⎜⎟⋅⋅⎝⎠⎝⎠∑∑"+()()()()711462511246002273!23!2605!27n n i i i i f b f a h I h h f x f x −−++==′′⎛⎞⎛⎞−=−+++⎜⎟⎜⎟⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎠⎝⎠∑∑" （6）同样地对()()4f x 应用（3）式有()()()()4baf x dx f b f a ′′′′′′=−∫()()311461120223!2n n i i i i h hfx fx −−++==⎛⎞⎛⎞=+⎜⎟⎜⎟⋅⎝⎠⎝⎠∑∑ ()()571181011460225!27!2n n i i i i h h fx f x −−++==⎛⎞⎛⎞++⎜⎟⎜⎟⋅⋅⎝⎠⎝⎠∑∑"+则()14102n i i hfx −+=⎛⎞⎜⎟⎝⎠∑()()()31612023!2n i i h f b f a f x −+=⎛⎞′′′′′′=−−⎜⎟⋅⎝⎠∑()()5711810146225!27!2n n i i i i h h fx f x −−++==⎛⎞⎛⎞−−⎜⎟⎜⎟⋅⋅⎝⎠⎝⎠∑∑"1+ （7）代入（6）式，整理得()()()()()242473!23!260f b f a f b f a h I h h ′′′′′′−⎡⎤′′−⎣⎦=−+⋅⋅⋅Z()7161602315!2126n i i h f x −+=⎛⎞−⎜⎟⋅⋅⎝⎠∑"+"1,2,i i α="h （8） 反复施行上述手续，即可得到下列余项公式（9）()2462123ii h I h h h h αααα=++++++"Z 式中系数与无关.()4 外推加速法4.1 外推法的基本思想在科学与工程计算中，很多算法与步长h 有关，特别是数值积分、数值微分和微分方程数值解的问题.对于这些算法，我们可以通过外推技巧提高计算精度.“外推”一词虽无明确定义，但其含义可理解为，由一些低阶量的适当组合得到高阶量的过程[3].4.2 中矩形外推加速算法上述推理过程可得到如下定理 定理：设()[],f x Ca b ∞∈，则成立()2462123ii h I h h h h αααα=++++++""Z 式中系数与无关. ()1,2,i i α="h 按（9）式，取步长的一半有246312241664h I h h h ααα⎛⎞=++++⎜⎟⎝⎠"Z （10） 注意，这里的i α与将要出现的i β，i γ等均为与无关的系数h 为了消去余项展开式中误差的主要部分项，我们将（9）式与（10）式按以下方式作线性组合：2h ()()141323h h ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠Z Z Z h ， （11） 从而得到()24631214341664h I h h h ααα⎛⎞=++++⎜⎟⎝⎠"Z ()246212313i i I h h h h αααα−++++++"" 462315416I h h αα⎛⎞⎛⎞=+−+−+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠" 468123I h h h βββ=++++" （12） 又根据（12）式取步长的一半有 468312121664256h I h h h βββ⎛⎞=+++⎜⎟⎝⎠"Z 若令 ()()2116115215h h ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠Z Z Z 1h ， （13） 则又可进一步从余项展开式中消去项，从而有 4h ()468312216151664256h I h h h βββ⎛⎞=+++⎜⎟⎝⎠"Z ()468123115I h h h βββ−++++" 6823112016I h h ββ⎛⎞⎛⎞=+−+−+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠"6812I h h γγ=+++"如此继续下去，每加速一次，误差的量级便提高二阶，由()2iO h变为，这样(22i O h +)的算法为外推法.一般地，将()()0h =Z Z h 按公式()()14141241m m m m m h h −⎛⎞=−⎜⎟−−⎝⎠Z Z Z 1m h −) （14）经过次加速后，余项便取下列形式： m (1,2,m =" ()()()212212m m m h I hh δδ++=+++"Z （15）上述方法就是我们所要求的中矩形公式外推加速算法.设以()0i Z 表示二分i 次后求得的中矩形值，且以()i m Z 表示序列(){}0iZ 的m 次加速值，则依递推公式（14），即()()()111414141m i i m m m m+−−=−−−Z Z im Z ()1,2,i =" （16） 可以逐行构造出下列三角形数表，我们称之为Z 数表：()()()()()()()()()()0010012100123210123""""Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z 0可以证明，如果()f x 充分光滑，那么Z 数表每一列的元素及对角线元素均收敛到所求的积分值I ，即()lim i m i I →∞=Z （固定），m ()0lim m m I →∞=Z .5 数值实验例1 对于函数()cos f x =x ，用中矩形外推加速算法计算积分值2cos I xdx π=∫.解 精确值为20sin 1I x π==， 我们先对整个区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦使用中矩形公式，对于函数()cos f x =x ，它在4x π=的定义值为0.70710684f π⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，根据中矩形公式计算得 ()00 1.110720724f ππ⎛⎞==⎜⎟⎝⎠Z 然后将区间二等分，再求出两个新分点的函数值，0.92387958f π⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，30.38268348f π⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，从而计算得 ()103 1.02617214848f f ππππ⎛⎞⎛⎞=+=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠Z . 我们进一步二分求积区间，并计算新分点上的函数值，从而有()20357 1.0064545816161616f f f f πππππ⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+++=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦Z . 再二分一次有()303579163232323232f f f f f πππππ⎡⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛=++++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎢⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎣Z π⎞⎟⎠111315323232f f f πππ⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞+++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎦1.0016082=我们用外推公式（11）可得()()()010100410.997989233=−=Z Z Z()()()121100410.999882033=−=Z Z Z()()()232100410.999992833=−=Z Z Z我们用外推公式（13）可得()()()010211161 1.00000821515=−=Z Z Z ()()()121211161 1.00000021515=−=Z Z Z再外推一次有()()()010322641 1.00000016363=−=Z Z Z 这样我们可以逐行构造出下列三角形数表1.11072071.02617210.99798921.00645450.9998820 1.00000821.00160820.9999928 1.0000002 1.0000001可以看到数表每一列的元素及对角线元素均收敛到所求积分值I .另外，在数学分析中有些函数找不到被积函数()f x 的原函数()F x ，积分值难以求出，我们可以用中矩形外推加速算法求出来，下面给出一个例子.例2 对于函数()sin xf x x =，用中矩形外推加速算法计算积分值10sin x I dx x=∫.解 我们先对整个区间[]0,1使用中矩形公式，对于函数()sin x f x x=，它在12x =的定义值为10.95885102f ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，根据中矩形公式计算得 ()00110.95885102f ⎛⎞=⋅=⎜⎟⎝⎠Z然后将区间二等分，再求出两个新分点的函数值，10.98961584f ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，30.90885164f ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，从而计算得 ()1011130.94923372424f f ⎛⎞⎛⎞=+=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠Z . 我们进一步二分求积区间，并计算新分点上的函数值，从而有()20113570.946868148888f f f f ⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+++=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦Z . 再二分一次有()3011357911131581616161616161616f f f f f f f f ⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+++++++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦Z .0.9462792=我们用外推公式（11）可得()()()010100410.946027933=−=Z Z Z()()()121100410.946079633=−=Z Z Z()()()232100410.946082933=−=Z Z Z我们用外推公式（13）可得 ()()()010*******.94608301515=−=Z Z Z ()()()1212111610.94608311515=−=Z Z Z再外推一次有 ()()()010*******.94608316363=−=Z Z Z 积分I 的准确值为，我们外推了三次得到这个结果. 0.9460831这样我们可以逐行构造出下列三角形数表0.95885100.94923370.94602790.94686810.94607960.94608300.94608290.946083100.9462.9479260831可以看到数表每一列的元素及对角线元素均收敛到所求积分值I通过上述例子，我们可以知道这个外推法所求的序列是收敛的，该方法是可行的.6 总结外推原理是提高计算精度的一种重要技巧，应用很广泛，特别适用于数值积分、数值微分、常微分方程数值解等问题.中矩形外推加速算法，由于程序简单，精度较高，每加速一次，误差的量级便提高二阶，由()2iO h变为()22i O h +，因而是一个可选取的方法.前面计算的结果可以为后面的计算使用，因此对减少计算量很有好处，并且能够准确的求出积分值.所求数表每一列的元素及对角线元素均收敛到所求的积分值I .致谢经过四年紧张而充满乐趣的学习和奋斗，我终于完成了大学阶段的生活.最重要的一点就是从老师那里学到了学习和分析问题的方法.对于我来说，学习知识是次要的，学习方法才是立身之本.在论文完成之际，我衷心地感谢所有关心与爱护我的老师、同学、亲人.首先感谢带我走向美好殿堂的龙爱芳老师.本课题在选题及研究过程中得到龙老师的悉心指导.她渊博的知识、在学术上不断创新的思想方法、敏锐的洞察力和深邃独到的见解给了我莫大的启迪；她高尚的品德、忘我的工作热情、严谨求实的治学风范都给我以极大的教育；她在做学问做人方面都为我树立了实实在在的榜样.这都激励我在今后的学习工作中不懈努力、不断进取. 再次，我要感谢我们计算机学院的老师在学习生活方面的指导.最后，我将感谢我的母校—中南民族大学，四年的学习生活中，我对校园的一草一木都产生可深深的感情，我愿为母校的发展而努力奋斗！参考文献[1] 李庆扬,王能超,易大义. 数值分析[M]. 武汉:华中科技大学出版社,1986,83~96[2] 韩旭里. 数值分析[M]. 长沙:中南大学出版社,2003,69~72[3] 冯天祥. 数值计算方法理论与实践研究[M]. 成都:西南交通大学出版社,2005,172[4] 肖筱南,赵来军,党林立. 现代数值计算方法[M]. 北京:北京大学出版社,2003,203~210[5] Davis P J and Rabinowwitz P. Methods of numerical integration[M]. New York:Academ icpress,1984.134~142.[6] 颜庆津. 数值分析[M]. 北京:北京航空航天大学出版社,2004,226~237[7] 孙志忠,袁慰平,闻震初. 数值分析[M]. 上海:东南大学出版社,2002,191~195[8] 关治,陆金甫. 数值方法[M]. 北京:清华大学出版社,2006,237~245[9] [美] Richard L.Burden, J.Douglas Faires. NUMERICAL ANALYSIS[M]冯烟利,朱海燕译. 数值分析[M]. 北京:高等教育出版社,2005,157~171[10] 丁丽娟. 数值计算方法[M]. 北京:北京理工大学出版社,2001,162~165[11] 李乃成,邓建中. 数值计算方法[M]. 西安:西安交通大学出版社,2002,66~67[12] 奚梅成. 数值分析方法[M]. 北京:中国科学技术大学出版社,2004,132附录function Z=zhongjuxing(n,a,b)h=b-a;s=0;for i=1:nfor j=1:ix(j)=a+(j-1)*h;s=h*f(x(j)+h/2)+s;endZ(i)=s;h=h/2;s=0;endfunction W=WT1Z=zhongjuxing(n,a,b)for i=1:3w(i)=4/3*Z(i+1)-1/3*Z(i);endfunction H=WT2W=WT1for i=1:2H(i)=16/15*w(i+1)-1/15*w(i);endfunction T=WT3H=WT2for i=1:1T(i)=64/63*H(i+1)-1/63*H(i);EndRecombination Intermediary Rectangle Formula and Extrapolate the Algorithm of AcceleratingCollege of Computer Science Lei Ya-ting Instructor Long Ai-fangAbstract In this thesis ,at first I introduce the basic idea of numerical integrationand propose the method of intermediate rectangle.Then obtain the remainder formula()2462123i i h I h h h h αααα=++++++""Z ,According to the theorem,I get the extrapolated accelerated algorithm ofintermediate rectangle formula ()()114141241m m m m m h h h −−⎛⎞=−⎜⎟−−⎝⎠Z Z Z m .Finally,some examples are supplied to verify the feasibility of this algprithm.Keywords Intermediary rectangle formula; Numerical integration; Extrapolation。
中矩形公式的误差
中矩形公式的误差
程昌年
【期刊名称】《天津职业技术师范大学学报》
【年(卷),期】1991(000)002
【摘要】本文给出了中矩形数值积分方法的误差式,并由此导出了两种改进的中矩形积分公式。
其一是带导数修正项的中矩形积分公式,其二是中矩形三分加速公式。
试算结果表明本文提出的方法比熟知的梯形法,具有收敛较快,运算量较小的优点。
【总页数】3页(P43-45)
【作者】程昌年
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】C
【相关文献】
1.矩形公式近似计算Cauchy主值积分的误差 [J], 李金;王兆清
2.误差传递公式在系统误差分析中的应用 [J], 姜玉生
3.关于平差后测角单位权中误差略大于按菲列罗公式求得的中误差问题 [J], 刘文北;韩德海
4.中矩形公式与梯形公式的注记 [J], 苏化明;黄有度
5.图斑形状特征对原面积中误差公式的修正——一个面积中误差估算模型 [J], 柯
正谊;李子川
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4矩形公式的递推化
虽然复化求积方法对提高精度是行之有效的,但在使用求积公式之前必须给出合适的步长,步长太长,精度难以保证,步长太小,又会导致计算量的增加．而事先给出一个合适的步长往往是困难的,那到底怎样选取步长才是合适的呢
实际计算中常常采用变步长的方案,即在步长逐次分半（即步长二分）的过程中,反复利用复化求积公式进行计算,直至所求得的积分值满足精度要求为止．
由于 在 上连续, 均为 的内点,所以由中值定理知,存在一点 ,使得 ,所以有
, （5）
称为复化左矩形公式的误差估计式 ,下标 表示将区间 划分为 等分．
3．2复化中矩形公式的误差估计公式
类似于复化左矩形的误差公式,同样可得复化中矩形公式的误差估计公式
其中 ,由于 在 上连续, 均为 的内点,所以由中值定理知,存在一点 ,使得 ,所以有
4．1左矩形公式的递推公式及误差
变步长过程中左矩形的计算规律：
将求积区间 分成 等份,则一共有 个分点,按左矩形公式计算 ,需要提供 个函数值,如果将积分区间再分一次,则分点增至 个,将二分前后两个积分值联系起来加以考虑,注意到每个子区间 经过二分只增加了一个分点 ,利用复化的左矩形公式求得该子区间上的积分值为 ,其中代 表二分前的步长,将每个子区间上的积分值相加得
（8）
根据中矩形公式的误差公式 得,积分值的截断误差大致与 成正比,因此当步长二分后,误差将减至原有误差的 ,即有 ,移项整理得 ,同样,当二分前后的两个积分值 与 相差很近时,就可以保证计算结果误差很小,积分近似值 的误差大致等于 ,因此,如果用这个 误差值作为 的一种补偿,则可以得到
可能结果比较理想．
Keywords:the rectangle formula;the left rectangle formula; error analysis; complex formula; the formula of recurrence
1引言
以前我们在进行积分运算时,都是先对被积函数求出其原函数,然后代值进行计算,但不是每个被积函数都是能轻易找到其原函数的,有的甚至找不到它的原函数,这就要求我们找出另外一种方法来研究积分运算．
首先我们来定义即将用到的左矩形公式和中矩形公式：
对于积分 ,由积分中值定理知, 一点 ,使得 =(b-a) ( )
（7）
从而根据左矩形公式的误差公式 得,积分值的截断误差大致与h成正比,因此当步长二分后,误差将减至原有误差的 ,即有 ,移项整理得 ,由此可见只要二分前后的两个积分值 与 相当接近,就可以保证计算结果误差很小,积分近似值 的误差大致等于 ,因此,如果用这个误差值作为 的一种补偿,可以期望得到的
可能是更好的结果．
5矩圆公式
由右图可见,这样分割后,形成一些小网格,以上一些工作我们就是
通过计算这些小的矩形条的面积之和进而估计出曲线 在 上所围
的面积．那么除此之外还有无别的近似计算方法呢
首先,我们试想,如右图所示,把网格顶端的一些剩下的不全的网格
近似为底为 ,高为 的三角形,那么前面我们按照左矩形公式
算得的矩形条的面积就为 ,整理后为 ,那么
所谓复化[1]就是指将一个积分的积分区间 划分为 等分,在每一个小区间 上应用左、中矩形公式求出积分值 ,然后对 求和,近似估计出积分 的积分值的算法．
2．1复化左矩形公式
将积分区间 划分为 等分,步长 ,分点
对每一个小区间 采用左矩形公式有
（3）
称为复化左矩形求积公式,下标 表示将区间 划分为 等分．
．若用区间左端点a的函数值 (a)作为 ( )的近似值,则得到我们熟悉的左矩形公式：
,其积分余项 （1）
．若改用区间中点 的函数值 作为 的近似值,则得到中矩形公式：
,其积分余项 （2）
由于我们导出的左矩形公式和中矩形公式对积分值的近似估计误差很大,所以我们采用复化求积公式来近似估计积分的准确值．
2复化公式
（11）
这就是我们所得到的左矩圆公式．
同理按照中矩形公式得到的小矩形条的面积为 ,用它来近似积分的准
确值可得到
（12）
这就是我们所得到的中矩圆公式．
例应用复化矩形公式（3）和（4）计算以及递推公式（7）与（8）和矩圆公式（11）与（12）计算积分 的近似值,并与其准确值作相应的比较．
解：设 , ,分点个数 ;
当 取不同值时各种算法对积分的估计值与近似解的比较
所用
公式
精确解
通过上表容易看出，当步长 逐渐变小时，不论是复化公式还是递推公式，它们对准确值的逼近效果都显著提高，即 越小，逼近效果越好；另一方面容易看出，中矩形公式比左矩形对准确值的近似程度更高，当然其复化公式的近似程度也比左矩形复化公式的精确度高；还有我们最后推出的(7)式与(8)式，它比起各自的复化公式来，逼近效果也相对较好，同样地中矩形公式的复化公式比(7)式的逼近效果要好．由(11)的结果可知在除 之外，它的计算结果是比较理想的；明显的问题是(12)式的计算结果与准确值的差距特别大，因为对于复化的中矩形公式而言，精确度已经是比较好的了，那么，如果我们再去作(12)式那样的逼近，势必导致出现大的波动．这样的公式是不完美的，所以对这样的公式完全可以舍去．只要我们选取合适的步长，分别利用它们各自的递推公式算出的近似值比它们自己的复化公式精确度要高很多．
(9)
这就是我们所熟知的梯形公式,而梯形公式对准确值的逼近程度要优于左矩形公式和右矩形公式,所以这样的假设与估计是成立的,同理我们对上面算得的中矩形公式也可以加上这个小三角形的面积而得到与准确值更为近的值．
(10)
下面我们来讨论另一种情形:即把上述所描写的三角形换成半径为 (或 ),为了计算方便,可以直接看成半径为 )的圆,那么按照前面我们推导得到的左矩形公式,计算得到小矩形条的面积为 ,用它来近似积分的准确值可得到
4．2中矩形公式的递推公式及误差
同理对中矩形公式也一样,将求积区间 分成 等份,则一共有 个分点,按中矩形公式计算 ,需要提供 个函数值,如果将积分区间再分一次,则分点增至2 +1个,将二分前后两个积分值联系起来加以考虑,注意到每个子区间 经过二分只增加了一个分点 ,在上述二分后的子区间上利用复化的中矩形公式求得该子区间上的积分值为 ,同样 代表二分前的步长,将每个子区间上的积小区间 采用中矩形公式,且令 ,则有
（4）
称为复化中矩形求积公式,下标 表示将区间 划分为 等分．[3]
3复化公式的误差分析
3．1复化左矩形公式的误差估计公式
由(1)式对每个小区间有误差估计式
其中 介于 , 之间,将上式代入(3)中则有
从而复化左矩形公式的误差估计式为
[6]张韵华，奚梅成，陈效群.数值计算方法与算法[M].2版.北京:科学出版社，2000.
Numerical integration of rectangular complex formula and error analysis
Zhang Xiaoxia
(CollegeofMathematicsandInformationSciencesNorthwestNormalUniversityLanzhouGansu730070)
[2]王仁宏.数值逼近[M].北京:高等教育出版社，1999.
[3]李岳生，黄友谦.数值逼近[M].北京:人民教育出版社，1978.
[4]李晓红，堵秀风，张永胜，王延臣.计算方法[M].北京:北京航空航天大学出版社，2006.
[5]马东升，雷永军.数值计算方法[M].2版.武汉:机械工业出版社，2001.
Abstract:Firstly, wededuced in therectangleformula,the left rectangle formula,and then carry out restoration ofthem. Becausethe result is notsatisfied with our expectations, so wetry to find theirrecursive formulas andanalyze theirerrors. Finally, wegiveanexample ofthe some appropriateformulas for the change of error;
数值积分矩形公式的复化及误差分析
张晓霞
（西北师范大学数学与信息科学学院甘肃兰州730070）
摘要：先推导得出中矩形公式、左矩形公式,然后对其进行复化，但由于结果不理想,再对两个公式进行递推,求出它们的递推化公式以及对其误差进行分析,最后举例说明几种逼近公式误差的变化情况;
关键词：中矩形公式,左矩形公式,误差分析,复化公式,公式递推化
6结论：
通过本文的论述，得出复化求积公式比原近似公式的精确度高；同样地，复化中矩形公式的逼近效果比复化左矩形公式对准确值的逼近效果好;另外，通过公式的递推化之后，我们得出递推化的公式比复化求积公式的精确度高;理所当然，随着 的不断增大，误差逐渐减小，当 到一定程度大时，会无限接近准确值．
参考文献：
[1]李庆杨，王能超，易大义.数值分析[M].4版.武汉:华中科技大学出版社，2006.