中考数学培优专题复习锐角三角函数练习题及答案
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【解析】 【分析】 （1）如图 1，先由勾股定理求得 AB 的长，根据点 A、E 关于直线 CD 的对称，得 CD 垂直
平分 AE，根据线段垂直平分线的性质得：AD=DE，所以 AD=DE=BD，由 AB=3 3 ，可得 t
的值；
（2）分两种情况：
①当∠ DEB=90°时，如图 2，连接 AE，根据 AB=3t=3 3 ，可得 t 的值；
EM FP ，再根据点 P 是 BF 的中点，可得 EM=MC，据此得到 PC=PE． MC PB
（2）过点 F 作 FD⊥AC 于点 D，过点 P 作 PM⊥AC 于点 M，连接 PD，先证
△ DAF≌ △ EAF，即可得出 AD=AE；再证△ DAP≌ △ EAP，即可得出 PD=PE；最后根据
的面积为
S1，四边形
BCMD
的面积为
S2，当
17
S2=
S1
时，求
cos∠
ABC
的
5
值．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）cos∠ ABC= 5 . 7
【解析】
【分析】
（1）易证∠ DME=∠ CBA，∠ ACB=∠ MED=90°，从而可证明△ MED∽ △ BCA；
（2）由∠ ACB=90°，点 M 是斜边 AB 的中点，可知 MB=MC=AM，从而可证明
BC
BC
多少即可．
【详解】
解：（1）PC=PE 成立，理由如下：
如图 2，过点 P 作 PM⊥CE 于点 M，∵ EF⊥AE，BC⊥AC，∴ EF∥ MP∥ CB，
∴ EM FP ，∵ 点 P 是 BF 的中点，∴ EM=MC，又∵ PM⊥CE，∴ PC=PE； MC PB
（2）PC=PE 成立，理由如下： 如图 3，过点 F 作 FD⊥AC 于点 D，过点 P 作 PM⊥AC 于点 M，连接 PD，∵ ∠ DAF=∠ EAF， ∠ FDA=∠ FEA=90°，在△ DAF 和△ EAF 中 ，∵ ∠ DAF=∠ EAF，∠ FDA=∠ FEA，AF=AF， ∴ △ DAF≌ △ EAF（AAS）， ∴ AD=AE，在△ DAP 和△ EAP 中， ∵ AD=AE，∠ DAP=∠ EAP，AP=AP， ∴ △ DAP≌ △ EAP（SAS）， ∴ PD=PE， ∵ FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC， ∴ FD∥ BC∥ PM，
②当∠ EDB=90°时，如图 3，根据△ AGC≌ △ EGD，得 AC=DE，由 AC∥ ED，得四边形 CAED 是平行四边形，所以 AD=CE=3，即 t=3； （3）△ BCE 中，由对称得：AC=CE=3，所以点 D 在运动过程中，CE 的长不变，所以△ BCE 面积的变化取决于以 CE 作底边时，对应高的大小变化， ①当△ BCE 在 BC 的下方时， ②当△ BCE 在 BC 的上方时， 分别计算当高为 3 时对应的 t 的值即可得结论． 【详解】 解：（1）如图 1，连接 AE， 由题意得：AD=t， ∵ ∠ CAB=90°，∠ CBA=30°， ∴ BC=2AC=6，
∴ MB=MC=AM，
∴ ∠ MCB=∠ MBC，
∵ ∠ DMB=∠ MBC，
∴ ∠ MCB=∠ DMB=∠ MBC，
∵ ∠ AMD=180°﹣∠ DMB， ∠ CMD=180°﹣∠ MCB﹣∠ MBC+∠ DMB=180°﹣∠ MBC， ∴ ∠ AMD=∠ CMD， 在△ AMD 与△ CMD 中，
∴ AB=3t=3 3 ，
∴ t= 3 ；
②当∠ EDB=90°时，如图 3， 连接 CE， ∵ CD 垂直平分 AE， ∴ CE=CA=3， ∵ ∠ CAD=∠ EDB=90°， ∴ AC∥ ED， ∴ ∠ CAG=∠ GED，
∵ AG=EG，∠ CGA=∠ EGD， ∴ △ AGC≌ △ EGD， ∴ AC=DE， ∵ AC∥ ED， ∴ 四边形 CAED 是平行四边形， ∴ AD=CE=3，即 t=3；
（1）若△ BDE 是以 BE 为底的等腰三角形，求 t 的值；
（2）若△ BDE 为直角三角形，求 t 的值；
（3）当 S△ BCE≤ 9 时，所有满足条件的 t 的取值范围 2
（所有数据请保留准确值，参考
数据：tan15°=2﹣ 3 ）．
【答案】（1） 3 3 ；（2） 3 秒或 3 秒；（3）6﹣3 3 ≤t≤3 2
∠ AMD=∠ CMD，从而可利用全等三角形的判定证明△ AMD≌ △ CMD；
（3）易证 MD=2AB，由（1）可知：△ MED∽ △
BCA，所以 S1 S ACB
MD AB
2
1 4
，所以
1
S△ MCB=
2
S△ ACB=2S1，从而可求出 S△ EBD=S2﹣S△ MCB﹣S1= 2 5
S1，由于
MD MD AMD CMD ， AM CM
∴ △ AMD≌ △ CMD（SAS）； （3）∵ MD=CM， ∴ AM=MC=MD=MB， ∴ MD=2AB， 由（1）可知：△ MED∽ △ BCA，
∴
S1 S ACB
MD AB
2
1， 4
∴ S△ ACB=4S1，
∵ CM 是△ ACB 的中线，
∴ AB= 62 32 =3 3 ，
∵ 点 A、E 关于直线 CD 的对称， ∴ CD 垂直平分 AE， ∴ AD=DE， ∵ △ BDE 是以 BE 为底的等腰三角形， ∴ DE=BD， ∴ AD=BD，
∴ t=AD= 3 3 ； 2
（2）△ BDE 为直角三角形时，分两种情况： ①当∠ DEB=90°时，如图 2，连接 AE， ∵ CD 垂直平分 AE， ∴ AD=DE=t， ∵ ∠ B=30°， ∴ BD=2DE=2t，
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知：如图，在 Rt△ ABC 中，∠ ACB=90°，点 M 是斜边 AB 的中点，MD∥ BC，且
MD=CM，DE⊥AB 于点 E，连结 AD、CD．
（1）求证：△ MED∽ △ BCA；
（2）求证：△ AMD≌ △ CMD；
（3）设△
MDE
【点睛】 本题考查三角形综合题、平行四边形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形的面积问 题、轴对称等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题， 学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．
∴ DM FP ， MC PB
∵ 点 P 是 BF 的中点， ∴ DM=MC，又∵ PM⊥AC， ∴ PC=PD，又∵ PD=PE， ∴ PC=PE；
（3）如图 4，∵ △ CPE 总是等边三角形， ∴ ∠ CEP=60°， ∴ ∠ CAB=60°， ∵ ∠ ACB=90°， ∴ ∠ CBA=90°﹣∠ ACB=90°﹣60°=30°，
综上所述，△ BDE 为直角三角形时，t 的值为 3 秒或 3 秒；
（3）△ BCE 中，由对称得：AC=CE=3，所以点 D 在运动过程中，CE 的长不变，所以△ BCE 面积的变化取决于以 CE 作底边时，对应高的大小变化， ①当△ BCE 在 BC 的下方时，过 B 作 BH⊥CE，交 CE 的延长线于 H，如图 4，当 AC=BH=3 时，
∵ AC k ， AC =tan30°，
BC
BC
∴ k=tan30°= 3 ， 3
∴ 当 k 为 3 时，△ CPE 总是等边三角形． 3
【点睛】 考点：1．几何变换综合题；2．探究型；3．压轴题；4．三角形综合题；5．全等三角形的 判定与性质；6．平行线分线段成比例．
3．如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼 AB 的高度，由于教学楼底部不能直接到 达，故兴趣小组在平地上选择一点 C，用测角器测得主教学楼顶端 A 的仰角为 30°，再向主 教学楼的方向前进 24 米，到达点 E 处（C，E，B 三点在同一直线上），又测得主教学楼顶 端 A 的仰角为 60°，已知测角器 CD 的高度为 1.6 米，请计算主教学楼 AB 的高
2．在 Rt△ ACB 和△ AEF 中，∠ ACB＝∠ AEF＝90°，若点 P 是 BF 的中点，连接 PC，PE. 特殊发现： 如图 1，若点 E、F 分别落在边 AB，AC 上，则结论：PC＝PE 成立（不要求证明）． 问题探究： 把图 1 中的△ AEF 绕点 A 顺时针旋转． (1)如图 2，若点 E 落在边 CA 的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若 不成立，请说明理由； (2)如图 3，若点 F 落在边 AB 上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成 立，请说明理由；
∴ t=6﹣3 3 ，
由图形可知：0＜t＜6﹣3 3 时，△ BCE 的 BH 越来越小，则面积越来越小，
②当△ BCE 在 BC 的上方时，如图 3，CE=ED=3，且 CE⊥ED，
此时 S△ BCE= 1 CE•DE= 1 ×3×3= 9 ，此时 t=3，
2
2
2
综上所述，当 S△ BCE≤ 9 时，t 的取值范围是 6﹣3 3 ≤t≤3． 2
(3)记 AC ＝k，当 k 为何值时，△ CPE 总是等边三角形？（请直接写出后的值，不必说） BC
【答案】 1 PC PE 成立 2 ， PC PE 成立 3 当 k 为 3 时， CPE 总是等边三
3
角形
【解析】
【分析】
（1）过点 P 作 PM⊥CE 于点 M，由 EF⊥AE，BC⊥AC，得到 EF∥ MP∥ CB，从而有
度．（ 3 ≈1.73，结果精确到 0.1 米）
【答案】22.4m 【解析】 【分析】 首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构 造等量关系，进而求解． 【详解】
解：在 Rt△ AFG 中，tan∠ AFG= 3 ，
∴ FG= AG AG ， tan AFG 3
∴ S△ MCB= 1 S△ ACB=2S1， 2
∴ S△ EBD=S2﹣S△ MCB﹣S1= 2 S1， 5
Biblioteka Baidu
∵ S1 ME ， S EBD EB
∴
S1
2 5
S1
ME EB
，
∴ ME 5 ， EB 2
设 ME=5x，EB=2x， ∴ MB=7x， ∴ AB=2MB=14x，
∵ MD ME 1 ， AB BC 2
此时 S△ BCE= 1 AE•BH= 1 ×3×3= 9 ，
2
2
2
易得△ ACG≌ △ HBG，
∴ CG=BG，
∴ ∠ ABC=∠ BCG=30°，
∴ ∠ ACE=60°﹣30°=30°，
∵ AC=CE，AD=DE，DC=DC，
∴ △ ACD≌ △ ECD ，
∴ ∠ ACD=∠ DCE=15°，
tan∠ ACD=tan15°= t =2﹣ 3 ， 3
在 Rt△ ACG 中，tan∠ ACG= AG ， CG
∴ CG= AG = 3 AG． tan ACG
又∵ CG﹣FG=24m，
AG
即 3 AG﹣
=24m，
3
∴ AG=12 3 m，
∴ AB=12 3 +1.6≈22.4m．
4．如图，在△ ABC 中，∠ A=90°，∠ ABC=30°，AC=3，动点 D 从点 A 出发，在 AB 边上以每 秒 1 个单位的速度向点 B 运动，连结 CD，作点 A 关于直线 CD 的对称点 E，设点 D 运动时 间为 t（s）．
S
S1
EBD
ME EB
，从而可
知 ME 5 ，设 ME=5x，EB=2x，从而可求出 AB=14x，BC= 7 ，最后根据锐角三角函数的
EB 2
2
定义即可求出答案．
【详解】
（1）∵ MD∥ BC，
∴ ∠ DME=∠ CBA，
∵ ∠ ACB=∠ MED=90°，
∴ △ MED∽ △ BCA；
（2）∵ ∠ ACB=90°，点 M 是斜边 AB 的中点，
FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC，可得 FD∥ BC∥ PM，再根据点 P 是 BF 的中点，推得 PC=PD，
再根据 PD=PE，即可得到结论．
（3）因为△ CPE 总是等边三角形，可得∠ CEP=60°，∠ CAB=60°；由∠ ACB=90°，求出
∠ CBA=30°；最后根据 AC k ， AC =tan30°，求出当△ CPE 总是等边三角形时，k 的值是
∴ BC=10x，
∴ cos∠ ABC= BC 10x 5 . AB 14x 7
【点睛】 本题考查相似三角形的综合问题，涉及直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质与
判定，相似三角形的判定与性质，三角形面积的面积比，锐角三角函数的定义等知识，综 合程度较高，熟练掌握和灵活运用相关的性质及定理进行解题是关键.
平分 AE，根据线段垂直平分线的性质得：AD=DE，所以 AD=DE=BD，由 AB=3 3 ，可得 t
的值；
（2）分两种情况：
①当∠ DEB=90°时，如图 2，连接 AE，根据 AB=3t=3 3 ，可得 t 的值；
EM FP ，再根据点 P 是 BF 的中点，可得 EM=MC，据此得到 PC=PE． MC PB
（2）过点 F 作 FD⊥AC 于点 D，过点 P 作 PM⊥AC 于点 M，连接 PD，先证
△ DAF≌ △ EAF，即可得出 AD=AE；再证△ DAP≌ △ EAP，即可得出 PD=PE；最后根据
的面积为
S1，四边形
BCMD
的面积为
S2，当
17
S2=
S1
时，求
cos∠
ABC
的
5
值．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）cos∠ ABC= 5 . 7
【解析】
【分析】
（1）易证∠ DME=∠ CBA，∠ ACB=∠ MED=90°，从而可证明△ MED∽ △ BCA；
（2）由∠ ACB=90°，点 M 是斜边 AB 的中点，可知 MB=MC=AM，从而可证明
BC
BC
多少即可．
【详解】
解：（1）PC=PE 成立，理由如下：
如图 2，过点 P 作 PM⊥CE 于点 M，∵ EF⊥AE，BC⊥AC，∴ EF∥ MP∥ CB，
∴ EM FP ，∵ 点 P 是 BF 的中点，∴ EM=MC，又∵ PM⊥CE，∴ PC=PE； MC PB
（2）PC=PE 成立，理由如下： 如图 3，过点 F 作 FD⊥AC 于点 D，过点 P 作 PM⊥AC 于点 M，连接 PD，∵ ∠ DAF=∠ EAF， ∠ FDA=∠ FEA=90°，在△ DAF 和△ EAF 中 ，∵ ∠ DAF=∠ EAF，∠ FDA=∠ FEA，AF=AF， ∴ △ DAF≌ △ EAF（AAS）， ∴ AD=AE，在△ DAP 和△ EAP 中， ∵ AD=AE，∠ DAP=∠ EAP，AP=AP， ∴ △ DAP≌ △ EAP（SAS）， ∴ PD=PE， ∵ FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC， ∴ FD∥ BC∥ PM，
②当∠ EDB=90°时，如图 3，根据△ AGC≌ △ EGD，得 AC=DE，由 AC∥ ED，得四边形 CAED 是平行四边形，所以 AD=CE=3，即 t=3； （3）△ BCE 中，由对称得：AC=CE=3，所以点 D 在运动过程中，CE 的长不变，所以△ BCE 面积的变化取决于以 CE 作底边时，对应高的大小变化， ①当△ BCE 在 BC 的下方时， ②当△ BCE 在 BC 的上方时， 分别计算当高为 3 时对应的 t 的值即可得结论． 【详解】 解：（1）如图 1，连接 AE， 由题意得：AD=t， ∵ ∠ CAB=90°，∠ CBA=30°， ∴ BC=2AC=6，
∴ MB=MC=AM，
∴ ∠ MCB=∠ MBC，
∵ ∠ DMB=∠ MBC，
∴ ∠ MCB=∠ DMB=∠ MBC，
∵ ∠ AMD=180°﹣∠ DMB， ∠ CMD=180°﹣∠ MCB﹣∠ MBC+∠ DMB=180°﹣∠ MBC， ∴ ∠ AMD=∠ CMD， 在△ AMD 与△ CMD 中，
∴ AB=3t=3 3 ，
∴ t= 3 ；
②当∠ EDB=90°时，如图 3， 连接 CE， ∵ CD 垂直平分 AE， ∴ CE=CA=3， ∵ ∠ CAD=∠ EDB=90°， ∴ AC∥ ED， ∴ ∠ CAG=∠ GED，
∵ AG=EG，∠ CGA=∠ EGD， ∴ △ AGC≌ △ EGD， ∴ AC=DE， ∵ AC∥ ED， ∴ 四边形 CAED 是平行四边形， ∴ AD=CE=3，即 t=3；
（1）若△ BDE 是以 BE 为底的等腰三角形，求 t 的值；
（2）若△ BDE 为直角三角形，求 t 的值；
（3）当 S△ BCE≤ 9 时，所有满足条件的 t 的取值范围 2
（所有数据请保留准确值，参考
数据：tan15°=2﹣ 3 ）．
【答案】（1） 3 3 ；（2） 3 秒或 3 秒；（3）6﹣3 3 ≤t≤3 2
∠ AMD=∠ CMD，从而可利用全等三角形的判定证明△ AMD≌ △ CMD；
（3）易证 MD=2AB，由（1）可知：△ MED∽ △
BCA，所以 S1 S ACB
MD AB
2
1 4
，所以
1
S△ MCB=
2
S△ ACB=2S1，从而可求出 S△ EBD=S2﹣S△ MCB﹣S1= 2 5
S1，由于
MD MD AMD CMD ， AM CM
∴ △ AMD≌ △ CMD（SAS）； （3）∵ MD=CM， ∴ AM=MC=MD=MB， ∴ MD=2AB， 由（1）可知：△ MED∽ △ BCA，
∴
S1 S ACB
MD AB
2
1， 4
∴ S△ ACB=4S1，
∵ CM 是△ ACB 的中线，
∴ AB= 62 32 =3 3 ，
∵ 点 A、E 关于直线 CD 的对称， ∴ CD 垂直平分 AE， ∴ AD=DE， ∵ △ BDE 是以 BE 为底的等腰三角形， ∴ DE=BD， ∴ AD=BD，
∴ t=AD= 3 3 ； 2
（2）△ BDE 为直角三角形时，分两种情况： ①当∠ DEB=90°时，如图 2，连接 AE， ∵ CD 垂直平分 AE， ∴ AD=DE=t， ∵ ∠ B=30°， ∴ BD=2DE=2t，
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知：如图，在 Rt△ ABC 中，∠ ACB=90°，点 M 是斜边 AB 的中点，MD∥ BC，且
MD=CM，DE⊥AB 于点 E，连结 AD、CD．
（1）求证：△ MED∽ △ BCA；
（2）求证：△ AMD≌ △ CMD；
（3）设△
MDE
【点睛】 本题考查三角形综合题、平行四边形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形的面积问 题、轴对称等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题， 学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．
∴ DM FP ， MC PB
∵ 点 P 是 BF 的中点， ∴ DM=MC，又∵ PM⊥AC， ∴ PC=PD，又∵ PD=PE， ∴ PC=PE；
（3）如图 4，∵ △ CPE 总是等边三角形， ∴ ∠ CEP=60°， ∴ ∠ CAB=60°， ∵ ∠ ACB=90°， ∴ ∠ CBA=90°﹣∠ ACB=90°﹣60°=30°，
综上所述，△ BDE 为直角三角形时，t 的值为 3 秒或 3 秒；
（3）△ BCE 中，由对称得：AC=CE=3，所以点 D 在运动过程中，CE 的长不变，所以△ BCE 面积的变化取决于以 CE 作底边时，对应高的大小变化， ①当△ BCE 在 BC 的下方时，过 B 作 BH⊥CE，交 CE 的延长线于 H，如图 4，当 AC=BH=3 时，
∵ AC k ， AC =tan30°，
BC
BC
∴ k=tan30°= 3 ， 3
∴ 当 k 为 3 时，△ CPE 总是等边三角形． 3
【点睛】 考点：1．几何变换综合题；2．探究型；3．压轴题；4．三角形综合题；5．全等三角形的 判定与性质；6．平行线分线段成比例．
3．如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼 AB 的高度，由于教学楼底部不能直接到 达，故兴趣小组在平地上选择一点 C，用测角器测得主教学楼顶端 A 的仰角为 30°，再向主 教学楼的方向前进 24 米，到达点 E 处（C，E，B 三点在同一直线上），又测得主教学楼顶 端 A 的仰角为 60°，已知测角器 CD 的高度为 1.6 米，请计算主教学楼 AB 的高
2．在 Rt△ ACB 和△ AEF 中，∠ ACB＝∠ AEF＝90°，若点 P 是 BF 的中点，连接 PC，PE. 特殊发现： 如图 1，若点 E、F 分别落在边 AB，AC 上，则结论：PC＝PE 成立（不要求证明）． 问题探究： 把图 1 中的△ AEF 绕点 A 顺时针旋转． (1)如图 2，若点 E 落在边 CA 的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若 不成立，请说明理由； (2)如图 3，若点 F 落在边 AB 上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成 立，请说明理由；
∴ t=6﹣3 3 ，
由图形可知：0＜t＜6﹣3 3 时，△ BCE 的 BH 越来越小，则面积越来越小，
②当△ BCE 在 BC 的上方时，如图 3，CE=ED=3，且 CE⊥ED，
此时 S△ BCE= 1 CE•DE= 1 ×3×3= 9 ，此时 t=3，
2
2
2
综上所述，当 S△ BCE≤ 9 时，t 的取值范围是 6﹣3 3 ≤t≤3． 2
(3)记 AC ＝k，当 k 为何值时，△ CPE 总是等边三角形？（请直接写出后的值，不必说） BC
【答案】 1 PC PE 成立 2 ， PC PE 成立 3 当 k 为 3 时， CPE 总是等边三
3
角形
【解析】
【分析】
（1）过点 P 作 PM⊥CE 于点 M，由 EF⊥AE，BC⊥AC，得到 EF∥ MP∥ CB，从而有
度．（ 3 ≈1.73，结果精确到 0.1 米）
【答案】22.4m 【解析】 【分析】 首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构 造等量关系，进而求解． 【详解】
解：在 Rt△ AFG 中，tan∠ AFG= 3 ，
∴ FG= AG AG ， tan AFG 3
∴ S△ MCB= 1 S△ ACB=2S1， 2
∴ S△ EBD=S2﹣S△ MCB﹣S1= 2 S1， 5
Biblioteka Baidu
∵ S1 ME ， S EBD EB
∴
S1
2 5
S1
ME EB
，
∴ ME 5 ， EB 2
设 ME=5x，EB=2x， ∴ MB=7x， ∴ AB=2MB=14x，
∵ MD ME 1 ， AB BC 2
此时 S△ BCE= 1 AE•BH= 1 ×3×3= 9 ，
2
2
2
易得△ ACG≌ △ HBG，
∴ CG=BG，
∴ ∠ ABC=∠ BCG=30°，
∴ ∠ ACE=60°﹣30°=30°，
∵ AC=CE，AD=DE，DC=DC，
∴ △ ACD≌ △ ECD ，
∴ ∠ ACD=∠ DCE=15°，
tan∠ ACD=tan15°= t =2﹣ 3 ， 3
在 Rt△ ACG 中，tan∠ ACG= AG ， CG
∴ CG= AG = 3 AG． tan ACG
又∵ CG﹣FG=24m，
AG
即 3 AG﹣
=24m，
3
∴ AG=12 3 m，
∴ AB=12 3 +1.6≈22.4m．
4．如图，在△ ABC 中，∠ A=90°，∠ ABC=30°，AC=3，动点 D 从点 A 出发，在 AB 边上以每 秒 1 个单位的速度向点 B 运动，连结 CD，作点 A 关于直线 CD 的对称点 E，设点 D 运动时 间为 t（s）．
S
S1
EBD
ME EB
，从而可
知 ME 5 ，设 ME=5x，EB=2x，从而可求出 AB=14x，BC= 7 ，最后根据锐角三角函数的
EB 2
2
定义即可求出答案．
【详解】
（1）∵ MD∥ BC，
∴ ∠ DME=∠ CBA，
∵ ∠ ACB=∠ MED=90°，
∴ △ MED∽ △ BCA；
（2）∵ ∠ ACB=90°，点 M 是斜边 AB 的中点，
FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC，可得 FD∥ BC∥ PM，再根据点 P 是 BF 的中点，推得 PC=PD，
再根据 PD=PE，即可得到结论．
（3）因为△ CPE 总是等边三角形，可得∠ CEP=60°，∠ CAB=60°；由∠ ACB=90°，求出
∠ CBA=30°；最后根据 AC k ， AC =tan30°，求出当△ CPE 总是等边三角形时，k 的值是
∴ BC=10x，
∴ cos∠ ABC= BC 10x 5 . AB 14x 7
【点睛】 本题考查相似三角形的综合问题，涉及直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质与
判定，相似三角形的判定与性质，三角形面积的面积比，锐角三角函数的定义等知识，综 合程度较高，熟练掌握和灵活运用相关的性质及定理进行解题是关键.