超越对数

超越对数生产函数
L·christensen 、D ·jorgenson 和Lau 于1973年提出超越对数生产函数，该函数模型是一种易于估计和包容性很强的变弹性生产函数模型，它在结构上属于平方反映面模型，可有效研究生产函数中投入要素的交互影响、各种投入技术进步的差异。

通过超越对数生产函数模型，可以分析投入要素的产出弹性和要素的替代弹性。

其形式为：
t t KL t LL t KK t L t K t LnL LnK LnL LnK LnL LnK LnY •+++++=ββββββ220)()(（1）
公式中：t Y ——t 年产出；
t t L K 、——t 年资本存量、劳动力投入量；
β——需要估计的系数。

（1）要素投入的产出弹性 资本投入的产出弹性为：
t KK KL K K LnK βββη2LnL dLnK dLnY dK/K dY /Y t t
t
++===
（2） 劳动投入的产出弹性为：
t LL KL L L LnL βββη2LnK dLnL dLnY dL/L dY /Y t t
t
++===
（3） （2）要素的替代弹性 替代弹性可以定义为：在技术水平和投入要素的价格不变的情况下，边际技术替代率的相对变动所引起的生产要素投入的比例的相对变动，即投入要素比例的变动的百分比与边际技术替代率的变动百分比的比值。

要素之间可替代程度的高低可用要素替代弹性(the elasticity of substitution)来描述，其具体含义是：一种生产要素价格变化以后，它与另一种生产要素相互替代率的变化。

要素替代弹性在0与无穷大之间变化，当0时，说明两种要素之间完全不能互相替代，如固定投入比例生产函数(里昂惕夫生产函数)，当替代弹性无穷大时，说明两种要素之间可以完全替代。

资本、劳动2种投入的替代弹性计算如下：
资本和劳动的替代弹性为：
KL
()(
)(
)()()()()()L L
K K
L L K K MPP K MPP K d d d L MPP MPP L K MPP MPP K d L MPP MPP L σ== （4）
由于
L L K K MPP K
Y
Y L
K MPP L
ηη∂∂==•∂∂ （5） 结合式( 4)、式(5 )可得，
11
()()()()()()L L L L K L K KL
L K K K K MP K K d d d MP L L MP K K d d d L L MP ηηηηησηηη--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（6） 因为
(
)(
)()()
L L
K L K
K K
d d L
K K K L d d L
L
ηηηηηη=
+ （7）
21(
)()()L L K L K K K
d d d ηηηηηηη=-+ (8) 21
(
)K K d dL dK L L L
=-+ (9) 将式（8），式（9）代入式（7）得：
2
2
22()()
1
1(
)()()11()L
L L K L K L K
K K
K K d d d d d dL dL
K K K dK
d dL dK L
L L
L L dL
ηηηηηηηηηηηη-+-+=
=
-+-+
(10)
将式（10）代入（6）得资本与劳动的替代弹性：
()1
11K KL
KL LL L K L ησββηηη--⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(11)。