双曲线及其性质知识点及题型归纳总结

双曲线及其性质知识点及题型归纳总结

知识点精讲

一、双曲线的定义

平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值．．．．．等于常数（大于零且小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为

{})20(22121F F a a MF MF M

<<=-.

注（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支.

（2）当212F F a =时，点的轨迹是以1F 和2F 为端点的两条射线；当02=a 时，点的轨迹是线段21F F 的垂直平分线.

（3）212F F a >时，点的轨迹不存在. 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：

①条件“a F F 221>”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定2a ，2b 的值），注意222c b a =+的应用.

二、双曲线的方程、图形及性质

双曲线的方程、图形及性质如表10-2所示.

题型归纳及思路提示

题型1 双曲线的定义与标准方程 思路提示

求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径：

（1）在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数a ，b ，c ，即利用待定系数法求方程.

（2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双曲线，然后求解方程中的参数，即利用定义法求方程.

例10.11 设椭圆1C 的离心率为

13

5

，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程为（ ）

A. 13422

22=-y x

B. 151322

22=-y x

C. 14322

22=-y x

D. 112

1322

22=-y x

解析 设1C 的方程为)0(122

22>>=+b a b

y a x ，

则⎪⎩⎪⎨⎧==13

5262a c a ，得⎩⎨⎧==513c a .

椭圆1C 的焦点为)0,5(1-F ，)0,5(2F ，因为218F F <，且由双曲线的定义知曲线2C 是以21,F F 为焦

点，实轴长为8的双曲线，故2C 的标准方程为13

422

22=-y x ，故选A.

变式 1 设命题甲：平面内有两个定点21,F F 和一动点M ，使得21MF MF -为定值，命题乙：点M 的轨迹为双曲线，则命题甲是命题乙的（ ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件变式 2 已知

)0,2(-M 和)0,2(N 是平面上的两个点，动点P 满足2=-PN PM ，求点的P 轨迹方程.

变式 3已知)0,2(-M ，)0,2(N ，动点P 满足22=-PN PM ，记动点的P 轨迹为W ，求W 的方程. 例10.12 求满足下列条件的双曲线的标准方程： （1）经过点)2,5(-，焦点为)0,6(；

（2）实半轴长为32且与双曲线14

162

2=-y x 有公共焦点； （3）经过点)72,3(P ，)7,26(-. 分析 利用待定系数法求方程.设双曲线方程为

“)0,0(12

222>>=-b a b y a x ”，或“x b

a

y =”，求双曲线方程，即求参数a ，b ，为此需要找出并解关于a ，b 的两个方程. 解析 （1）解法一：因为焦点坐标为)0,6(，焦点在x 轴上，

故可设双曲线方程为

x b a y -

=，又双曲线过点)2,5(-，所以14

2522=-b

a ，又因为6=c ，所以622=+

b a ，解得52=a ，12=b ，

故所求双曲线方程为15

22

=-y x . 解法二：由双曲线的定义a MF MF 221=-，

()

()

=+--=

+---

++-=

6103561035265265222

22

a

52530530=---.

得5=a ，6=c 故1=b ，双曲线方程为15

22

=-y x .

（2）解法一：由双曲线方程14

162

2=-y x ，得其焦点坐标为)0,52(1-F ，)0,52(2F ，由题意，可设所求双曲线方程为x b

a

y -=，由已知32=a ，52=c ，得8222=-=a c b ，故所求双曲线方程为18

122

2=-y x . 解法二：依题意，设双曲线的方程为

)164(14162

2<<-=+--k k

y k x ， 由()

k -=163

22

.得4=k ，故所求曲线的方程为18

122

2=-y x . （3）因为所求双曲线方程为标准方程，但不知焦点在哪个轴上，故可设双曲线方程为

)0(122<=+mn ny mx ，因为所求双曲线经过点)72,3(P ，)7,26(-，所以⎩⎨⎧=+=+149721

289n m n m ，解得

⎪⎩⎪⎨⎧=-=25

1751n m ，故所求双曲线方程为1752522=-x y . 评注 求双曲线的标准方程一般用待定系数法，若焦点坐标确定，一般仅有一解；若焦点坐标不能确定是在x 轴上还是在y 轴上，可能有两个解，而分类求解较为繁杂，此时可设双曲线的统一方程

)0(122<=+mn ny mx ，求出即可n m ,，这样可以简化运算.

变式 1 根据下列条件，求双曲线的标准方程：

（1）与双曲线

11692

2=-y x 有共同的渐近线，且过点)33,3(-； （2）与双曲线14

162

2=-y x 有公共焦点；且过点)2,23(.

变式 2 若动圆M 与圆()93:2

2

1=++y x C 外切，且与圆()13:2

2

2=+-y x C 内切，求动圆M 的圆

心M 的轨迹方程.