2016年考研数学一真题及详细解析

2016年考研数学一真题及详细解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛，则（ ）()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且【答案】（C ） 【解析】1(1)a bdx x x +∞+⎰1111(1)(1)a ba b dx dx x x x x +∞=+++⎰⎰ 11pdx x⎰在（1p <时收敛），可知1a <，而此时(1)bx +不影响 同理，1111(1)11ba ba b dx dx x x x x +∞+∞+=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰11p dx x +∞⎰（1p >时收敛），而此时11bx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭不影响 （2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩【答案】（D ）【解析】由已知可得，()()(ln )x C x F x x x C x ⎧-+<=⎨-++≥⎩21111111，取C =10，故选D（3）若()()222211y x y x =+-=++是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，则()q x =（ ）()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++【答案】（A ）【解析】y y -=-12是一阶齐次微分方程()y p x y '+=0的解，代入得()(p x -+-=0，所以()xp x x =-+21，根据解的性质得，y y +122是()()y p x y f x '+=的解。

所以有()()q x x x =+231.（4）已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩K ，则（ ） （A ）0x =是()f x 的第一类间断点 （B ）0x =是()f x 的第二类间断点 （C ）()f x 在0x =处连续但不可导 （D ）()f x 在0x =处可导 【答案】（D ）【解析】由于()lim x x f x-→-'==0001，()lim n n f n+→∞-'==1011,故选D 。

（5）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ） （A ）T A 与T B 相似 （B ）1A -与1B -相似 （C ）T A A +与T B B +相似 （D ）1A A -+与1B B -+相似 【答案】（C ）【解析】此题是找错误的选项。

由A 与B 相似可知，存在可逆矩阵,P 使得1P AP B -=，则111111111111111111(1)()()~,A (2)()~(3)()~, T T T T T T T T P AP B P A P B A B P AP B P A P B A B B P A A P P AP P A P B B A A B B D ------------------=⇒=⇒=⇒=⇒+=+=+⇒++故（）不选；，故（）不选；故（）不选；此外，在（C ）中，对于111()TTP A A P P AP P A P ---+=+，若1=P AP B -，则1()TTT T P A P B -=，而1T P A P -未必等于TB ，故（C ）符合题意。

综上可知，（C ）为正确选项。

（6）设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ）（A ）单叶双曲面 （B ）双叶双曲面 （C ）椭球面 （D ）柱面【答案】（B ）【解析】对于二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++， 其矩阵为122212221A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，接下来由0E A λ-=， 可得其特征值为1235,1λλλ===-（一正两负），因此其正惯性指数和负惯性指数分别为1,2.故二次型()123,,f x x x 的规范形为222123f z z z =--，即22222212321z z z --=⇒=，对应的曲面为双叶双曲面。

（7）设随机变量()()0,~2>σσμN X ，记{}2σμ+≤=X P p ，则（ ）（A ）p 随着μ的增加而增加 （B ）p 随着σ的增加而增加 （C ）p 随着μ的增加而减少 （D ）p 随着σ的增加而减少 【答案】（B ）【解析】2{}{}X P X P μμσσσ-≤+=≤所以概率随着σ的增大而增大。

（8）随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为31，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，则X 与Y 的相关系数为（ ）【解析】11(2,),(2,)33X B Y B ::24,39EX EY DX DY ====，211(1,1)9EXY P X Y =⋅⋅===所以12XY ρ==-二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）()__________cos 1sin 1ln lim200=-+⎰→x dt t t t xx【答案】21【解析】ln(sin )limx x x x x →+=31122（10）向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA【答案】()1,1,0-y【解析】由旋度公式得，{}(A),,,,R Q P R Q P rot y y z z x x y ⎧⎫∂∂∂∂∂∂=---=-⎨⎬∂∂∂∂∂∂⎩⎭011 11、设函数(,)f u v 可微，(,)z z x y =有方程()(,)x z y x f x z y +-=-221确定，则(),____dz =01． 【答案】dy dx 2+-【解析】()(,)x x y x f x z y +-=-221两边分别关于,x y 求导得()(,)(,)()()((,)()(,))x x y y z x z xf x z y x f x z y z x z y x f x z y z f x z y '''++=-+--''''+-=--+-2121212112，将,,x y z ===011代入得，(),dzdx dy =-+012（12）设函数()21arctan axxx x f +-=，且()10''=f ，则________=a 【答案】21（13）行列式1000100014321λλλλ--=-+____________.【答案】432234++++λλλλ【解析】414321001010010=01+4110++2+3+4.00132+101432+1λλλλλλλλλλλλλλ+-----⨯-=--（-） （14）设12,,...,n x x x 为来自总体()2,N μσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______. 【答案】()8.10,2.8【解析】0.0250.0250.0250.025{}{}0.95x uP u u P x u u x σ--<<=-<<+=因为0.02510.8x +=0.025 1.3,=所以置信下限0.0258.2x u -=.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭，计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.【答案】3325+π【解析】()()⎰⎰⎰⎰⎰-+-+==223cos 1222222cos 123cos cos ππθππθθθθθd r dr r d dxdy x D()⎰⎰⎰⎰----++=++=22422322222432cos 38cos 8cos 8cos cos 3cos 338ππππππππθθθθθθθθθθd d d d()⎰⎰⎰⎰------+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-++=22222232222322222cos sin 338|3sin sin 8|22sin 4sin cos 38sin sin 18212cos 8ππππππππππππθθθθθθθθθθθθθd d d d 33252sin 23324222+=-+=⎰-πθθπππd（16）（本题满分10分）设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明：反常积分0()y x dx +∞⎰收敛； ()II 若'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.【答案】()II k 3【解析】（1）特征方程为220r r k ++=，由01k <<可知，特征方程有两个不相同的特征根，1,21r ==-±1,20r <，由二阶常系数齐次线性方程的求解可知，1212()r x r xy x C e C e =+12120()r x r xy x dx C e C e dx +∞+∞⎡⎤=+⎣⎦⎰⎰12120r x r x C e dx C e dx +∞+∞=+⎰⎰121212lim 1lim 1r x r x x x C Ce e r r →+∞→+∞⎡⎤⎡⎤=-+-⎣⎦⎣⎦由于1,20r <12012()C C y x dx r r +∞=--⎰极限存在，故收敛. (2) 由1212()r x r xy x C e C e =+，(0)1,'(0)1y y ==可知，1211221,2111C C C r C r r ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪=-±⎪⎩解得1212C C == 代入1212()C C y x dx r r +∞=--⎰可知0()y x dx +∞=⎰（17）（本题满分10分）设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x -∂=+∂且(0,)1,t f y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰，并求()I t 的最小值 【答案】3【解析】(1) 由2(,)(21)x yf x y x ex-∂=+∂可知：2(,)[(21)]x yf x y x e dx -=+⎰22[2]y x xe xe dx e dx -=+⎰⎰2()y x e xe y ϕ-=+g2()x y xe y ϕ-=+又 (0,)1f y y =+ 可知 ()1y y ϕ=+因此 2(,)1x yf x y xe y -=++2(,)1x y f x y xe y-∂=-+∂ 22()(21)(1)x y x y LtI t x e dx xe dy --=++-⎰2(21)x yP x e-=+ 21x yQ xe-=-2(21)x y P x e y -∂=-+∂ 222x y x y Q e xe x --∂=--∂ P Q y x∂∂=∂∂ 因此，积分与路径无关 22()(21)(1)x y x y Lt I t x e dx xe dy --=++-⎰1220(21)(1)tx y x e dx e dy -=++-⎰⎰222t e t e e -=++- 2t t e -=+(2) 2()tI t t e-=+ 2()1tI t e-'=-()0I t '= 可知 2t = 有唯一驻点 2()tI t e-''=(2)10I ''=>因此 2t =时 ()I t 有最小值22(2)2213I e -=+=+=（18）设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成，∑为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz xI 3212+-+=⎰⎰∑【答案】21【解析】2(1)23I x dydz ydzdx zdxdy ∑=+-+⎰⎰21,2,3P x Q y R z =+=-=由高斯公式可知，()223I x dxdydz Ω=-+⎰⎰⎰()21x dxdydz Ω=+⎰⎰⎰12(21)xyy x D dxdy x dz --=+⎰⎰⎰222xy D y x x xy dxdy ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭⎰⎰11220022xy dx x x xy dy -⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭⎰⎰12=（19）（本题满分10分）已知函数()f x 可导，且(0)1f =，10'()2f x <<，设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==，证明：（I ）级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛；（II ）lim n n x →∞存在，且0lim 2n n x →∞<<.【证明】1()n n x f x +=11()()n n n n x x f x f x +--=- 1'()()n n f x x ξ-=- 112n n x x -<- 121()()2n n f x f x --=-122111212n n n x x x x ---<-<<-L显然，211112n n x x ∞-=-∑收敛因此，()11n n n xx ∞+=-∑绝对收敛；（2）()11n n n xx ∞+=-∑的前n 项和记为n S易知，11n n S x x +=-，由第一问可知n S 极限存在，因此lim n n x A →∞=存在1()()(0)1n n n x f x f x f +==-+ '()1n f x ξ=+（*）i)由已知10'()2f x <<，易知11'()112n n n x f x x ξ+=+<= 不等式两边取极限，可知112A A <+，即2A <；ii)若0A =，则（*）矛盾；iii)若0A <，则由（*）可知(1'())1f A ξ-=，而10'()2f x <<，显然矛盾 综上，02A <<（20）（本题满分11分）设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时，方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解？【答案】2-=a 时，无解；1=a 时，有无穷多解，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=21211133k k k k X ；2-≠a 且1≠a 时，有唯一解，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=01240231a a a a X【解析】（20）（本题满分11分）设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时，方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解？【答案】2-=a 时，无解；1=a 时，有无穷多解，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=21211133k k k k X ；2-≠a 且1≠a 时，有唯一解，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+=01240231a a a a X【解析】对B AX =的增广阵做初等变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+-→042132131021001),(a a a a B A，故无穷多解。