2016年考研数学一真题及详细解析

2016年考研数学一真题及详细解析

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分

()

11b

a

dx x x +∞

+⎰

收敛，则（ ）

()()()()11111111

A a b

B a b

C a a b

D a a b <>>><+>>+>且且且且

【答案】（C ） 【解析】

1

(1)

a b

dx x x +∞

+⎰

1

111(1)(1)a b

a b dx dx x x x x +∞=+++⎰

⎰ 1

1p

dx x

⎰

在（1p <时收敛），可知1a <，而此时(1)b

x +不影响 同理，

1

11

1(1)11b

a b

a b dx dx x x x x +∞

+∞+=+⎛⎫

+ ⎪

⎝⎭

⎰

⎰

1

1p dx x +∞

⎰

（1p >时收敛），而此时11b

x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭

不影响 （2）已知函数()()21,1

ln ,1

x x f x x x -<⎧⎪=⎨

≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）

()()()()()()()()()()()()()()()()22

22

1,11,1ln 1,1ln 11,1

1,11,1

ln 11,1ln 11,1

x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪

==⎨⎨

-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨

++≥-+≥⎪⎪⎩⎩

【答案】（D ）

【解析】由已知可得，()()(ln )x C x F x x x C x ⎧-+<=⎨-++≥⎩21111

111

，取C =10，故选D

（3）若(

)

(

)2

2

2

211y x y x =+-=++是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，则

()q x =（ ）

()()()()()

()222

2

313111x

x A x x B x x C D x x +-+-

++

【答案】（A ）

【解析

】y y -=-12是一阶齐次微分方程()y p x y '+=0的解，代入

得

()(p x -+-=0，所以()x

p x x =-

+2

1，根据解的性质得，y y +122是

()()y p x y f x '+=的解。所以有()()q x x x =+231.

（4）已知函数(),0

111

,,1,2,1

x x f x x n n n n ≤⎧⎪

=⎨<≤=⎪+⎩K ，则（ ） （A ）0x =是()f x 的第一类间断点 （B ）0x =是()f x 的第二类间断点 （C ）()f x 在0x =处连续但不可导 （D ）()f x 在0x =处可导 【答案】（D ）

【解析】由于()lim x x f x

-→-'==0001，()lim n n f n

+→∞-'==1

011,故选D 。 （5）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ） （A ）T A 与T B 相似 （B ）1A -与1

B -相似 （

C ）T A A +与T B B +相似 （

D ）1A A -+与1

B B -+相似 【答案】（

C ）

【解析】此题是找错误的选项。由A 与B 相似可知，存在可逆矩阵,P 使得1

P AP B -=，则

111111111111111111(1)()()~,A (2)()~(3)()~, T T T T T T T T P AP B P A P B A B P AP B P A P B A B B P A A P P AP P A P B B A A B B D ------------------=⇒=⇒=⇒=⇒+=+=+⇒++故（）不选；，故（）不选；

故（）不选；

此外，在（C ）中，对于1

1

1

()T

T

P A A P P AP P A P ---+=+，若1

=P AP B -，则1

()

T

T

T T P A P B -=，

而1T P A P -未必等于T

B ，故（

C ）符合题意。综上可知，（C ）为正确选项。

（6）设二次型()2

2

2

123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，则()123,,2f x x x =在空间直角坐

标下表示的二次曲面为（ ）

（A ）单叶双曲面 （B ）双叶双曲面 （C ）椭球面 （D ）柱面