最新8相关与回归分析汇总
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统计学 第8章 相关与回归分析
2
-1 1 0 -1 -2 0 1 -2
4
1 1 0 1 4 0 1 4 20
6 * 20 r 1 2 1 0.8788 2 n(n 1) 10 * (10 1)
6 d 2
8.3
8.3.1 8.3.2 8.3.3 8.3.4 8.3.5
一元线性回归
一元线性回归模型 参数的最小二乘估计 回归直线的拟合优度 显著性检验 利用回归方程进行预测
共计
325
462 77
445 89
707 101
685 137
1043 149
E(Y|X) 65
Y
X=X1时Y 的分布
X=X2时Y 的分布 X=X3时Y 的分布
b0
X=X1时的E(Y)
b0+ b 1X
X=X2时的E(Y) X=X3时的E(Y)
X1=80
X2=100
X3=120
X
总体回归函数
(population regression function)
相关系数的显著性检验
(检验的步骤)
1. 检验两个变量之间是否存在线性相关关系 2. 利用样本的相关系数对总体相关系数进行 检验 3. 采用R.A.Fisher提出的 t 检验 4. 检验的步骤为
提出假设：H0： ；H1： 0
n2 计算检验的统计量： tr ~ t (n 2) 2 1 r 确定显著性水平，并作出决策
2
2
或化简为 r
n x x n y y
2 2 2
n xy x y
2
例 产品产量与单位成本相关系数
产 月 量 份 x 1 2 2 3 3 4 4 3 5 4 6 5 合 21 计 单位 成本 y 73 72 71 73 69 68
第8章相关和回归分析52页PPT
7.2 一元线性回归
7.2.1 标准的一元线性回归模型 7.2.2一元线性回归模型的估计 7.2.3一元线性回归模型的检验 7.2.4一元线性回归模型的预测
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统计学 STATISTICS
一元线性回归模型
1. 描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项 的方 程称为回归模型
表示
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统计学 STATISTICS
y
离差的分解 (图示)
(xi , yi )
{ } y yˆ
yy
} yˆ y
yˆbˆ0 +bˆ1x
y
x
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统计学 STATISTICS
离差平方和的分解
(三个平方和的关系)
n
n
n
yiy2 y ˆiy2+ yiy ˆ2
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统计学 STATISTICS
相关关系(类型)
• 按相关程度划分：
完全相关、不完全相关和不相关
• 按相关方向划分：
正相关和负相关
• 按相关形式划分：
线性相关和非线性相关
• 按变量多少划分
单相关、复相关和偏相关
• 按相关性质划分
真实相关和虚假相关
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统计学 STATISTICS
1.
总体回归参数 b
和
0
b
是未知的，必须利用样本数
1
据去估计
2.
用样本统计量
bˆ 0
和
bˆ
代替回归方程中的未知参
1
数b 0和 b 1，就得到了估计的回归方程
3.一元线性回归中估计的回归方程为
第八章相关与回归分析-资料.ppt
如果两种相关现象之间， 在图上并不表 现为直线形式而是表现为某种曲线形式 时，则称这种相关关系为非线性相关。
2021/1/4
版权所有 BY 统计学课程组
9
相关关系的种类
(四) 按相关方向划分
线性相关中按相关的方向可分为正相关 和负相关。
当一个现象的数量由小变大，另一个现 象的数量也相应由小变大，这种相关称 为正相关。
当一个现象的数量由小变大，而另一个 现象的数量相反地由大变小，这种相关 称 BY 统计学课程组
10
相关关系的种类
(五) 按相关性质划分
按相关的性质可分为“真实相关”和 “虚假相关”。
当两种现象之间的相关确实具有内在的 联系时，称之为“真实相关”。
当两种现象之间的相关只是表面存在， 实质上并没有内在的联系时，称之为"虚 假相关"。
2021/1/4
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2
本章难点
直线相关系数的涵义、计算与分析。直 线回归方程的确定与精确度的评价。
参数估计的理论方法，如最小二乘法的 基本原理等。
参数估计的显著性检验及拟合优度的检 验的基本理论。
非线性回归的转化问题。
2021/1/4
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3
学习目标
2021/1/4
版权所有 BY 统计学课程组
6
二、相关关系的种类
(一) 按变量多少划分 按相关关系涉及变量的多少可分为单相
关、复相关和偏相关。 两个现象的相关，即一个变量对另一个
变量的相关关系，称为单相关。 当所研究的是一个变量对两个或两个以
上其他变量的相关关系时，称为复相关。
2021/1/4
12
相关分析与回归分析的联系
2021/1/4
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9
相关关系的种类
(四) 按相关方向划分
线性相关中按相关的方向可分为正相关 和负相关。
当一个现象的数量由小变大，另一个现 象的数量也相应由小变大，这种相关称 为正相关。
当一个现象的数量由小变大，而另一个 现象的数量相反地由大变小，这种相关 称 BY 统计学课程组
10
相关关系的种类
(五) 按相关性质划分
按相关的性质可分为“真实相关”和 “虚假相关”。
当两种现象之间的相关确实具有内在的 联系时，称之为“真实相关”。
当两种现象之间的相关只是表面存在， 实质上并没有内在的联系时，称之为"虚 假相关"。
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2
本章难点
直线相关系数的涵义、计算与分析。直 线回归方程的确定与精确度的评价。
参数估计的理论方法，如最小二乘法的 基本原理等。
参数估计的显著性检验及拟合优度的检 验的基本理论。
非线性回归的转化问题。
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学习目标
2021/1/4
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6
二、相关关系的种类
(一) 按变量多少划分 按相关关系涉及变量的多少可分为单相
关、复相关和偏相关。 两个现象的相关，即一个变量对另一个
变量的相关关系，称为单相关。 当所研究的是一个变量对两个或两个以
上其他变量的相关关系时，称为复相关。
2021/1/4
12
相关分析与回归分析的联系
统计学 8相关与回归分析
（二）按相关的方向分
1、正相关：变量的变动方向一致（同增同减）；
2、负相关：变量的变动方向相反（一增一减）。
（三）按表现形态分
1、线性相关；
2、非线性相关。
2020/6/27
7
二、相关关系的种类
• • •
• 相关程度密切
•
• ••
相关程度不密切
•• • •
2020/6/27
••••• • •
• •• •
2020/6/27
L xx L yy
14
二、相关系数
[注解1] 协方差Cov(x,y)的作用
1、显示x与y之间的相关方向。
[正相关] Y
r Cov(x, y) sxsy
(二 )
xx (xn , yn ) (一 )
•
•
•
(三)
(四 )
•
•
•
(x1, y1)
(xx)(yy) Cov(x,y)
n1
(一 ) (三 ) (x x )(y y )
合
(元/件)
20 30 40 50 80 计
18
4 ————4
16
4 3 1 1 —9
15
1 2 3 3 1 10
14
—— 1 2 4 7
合计
9 5 5 6 5 30
2020/6/27
12
一、相关图表
（二）相关图
又称散点图，用直角坐标系的横轴代表变量x ，纵轴
代表变量y ，将两个变量间相对应的变量值用坐标点 的形式描绘出来，用以表明相关点分布状况的图形。
--------《 Alice漫游奇境记》
1
主要内容
8.1 相关关系概述
统计学--第八章相关与回归分析精选文档PPT课件
x2ˆ0ˆ1x3v ˆ
计算残差 v ˆx2ˆ0ˆ1x3
此时 vˆ 中不再含有 x 3 对 x 2 的影响。
19.07.2020
课件
33
第八章 相关与回归分析
第五节 相关分析
第三步，计算 uˆ 和 vˆ 的简单相关系数
由于 uˆ 和 vˆ 中都不再包含 x 3 的影响，因此 uˆ 和 vˆ
的简单相关系数就是 x 3 保持不变时，x 1与 x 2 之间的相关系数。
目的 检验总体两变量间线性相关性是否显著
⒈提出假设： H 0:0H 1:0
步 ⒉构造检验统计量： 骤
tr n2 1r2~t(n2 )
19.07.2020
课件
25
第八章 相关与回归分析
相关系数的显著性检验（t检验法）
步 骤
⒊ 根据给定的显著性水平，确定临界值 t
⒋ 确定原 ,表示总体两
19.07.2020
课件
5
相关关系与因果关系
案例分析
一家研究机构有一项惊 人的发现：统计数据显 示，脚长的儿童拼写能 力比脚短的儿童强。
原来他们调查的是一 群年龄不同的儿童， 脚长的儿童比脚短的 儿童年龄大！
赶快回去量一 下儿子的脚长
我要把脚拉长
19.07.2020
一课件点！
6
第八章 相关与回归分析
19.07.2020
课件
4
第八章 相关与回归分析
第一节 相关与回归分析的基本概念
一、相关关系与函数关系
（二）统计关系
统计关系不同于函数关系，当重复观测时，观测点 不是完全落在统计关系曲线上，而是围绕统计关系 曲线散布。统计关系可以表示为确定部分和随机性 部分二者之和，这是回归分析的基础。
计算残差 v ˆx2ˆ0ˆ1x3
此时 vˆ 中不再含有 x 3 对 x 2 的影响。
19.07.2020
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33
第八章 相关与回归分析
第五节 相关分析
第三步，计算 uˆ 和 vˆ 的简单相关系数
由于 uˆ 和 vˆ 中都不再包含 x 3 的影响，因此 uˆ 和 vˆ
的简单相关系数就是 x 3 保持不变时，x 1与 x 2 之间的相关系数。
目的 检验总体两变量间线性相关性是否显著
⒈提出假设： H 0:0H 1:0
步 ⒉构造检验统计量： 骤
tr n2 1r2~t(n2 )
19.07.2020
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25
第八章 相关与回归分析
相关系数的显著性检验（t检验法）
步 骤
⒊ 根据给定的显著性水平，确定临界值 t
⒋ 确定原 ,表示总体两
19.07.2020
课件
5
相关关系与因果关系
案例分析
一家研究机构有一项惊 人的发现：统计数据显 示，脚长的儿童拼写能 力比脚短的儿童强。
原来他们调查的是一 群年龄不同的儿童， 脚长的儿童比脚短的 儿童年龄大！
赶快回去量一 下儿子的脚长
我要把脚拉长
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一课件点！
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第八章 相关与回归分析
19.07.2020
课件
4
第八章 相关与回归分析
第一节 相关与回归分析的基本概念
一、相关关系与函数关系
（二）统计关系
统计关系不同于函数关系，当重复观测时，观测点 不是完全落在统计关系曲线上，而是围绕统计关系 曲线散布。统计关系可以表示为确定部分和随机性 部分二者之和，这是回归分析的基础。
第八章 相关分析与回归分析习题答案
第八章 相关分析与回归分析习题参考答案一、名词解释函数关系：函数关系亦称确定性关系，是指变量（现象）之间存在的严格确定的依存关系。
在这种关系中，当一个或几个相互联系的变量取一定的数值时，必定有另一个且只有一个变量有确定的值与之对应。
相关关系：是指变量（现象）之间存在着非严格、不确定的依存关系。
在这种关系中，当一个或几个相互联系的变量取一定的数值时，可以有另一变量的若干数值与之相对应。
这种关系不能用完全确定的函数来表示。
相关分析：相关分析主要是研究两个或者两个以上随机变量之间相互依存关系的方向和密切程度的方法，直线相关用相关系数表示，曲线相关用相关指数表示，多元相关用复相关系数表示。
回归分析：回归分析是研究某一随机变量关于另一个（或多个）非随机变量之间数量关系变动趋势的方法。
其目的在于根据已知非随机变量来估计和预测随机变量的总体均值。
单相关：单相关是指仅涉及两个变量的相关关系。
复相关：复相关是指一个变量对两个或者两个以上其他变量的相关关系。
正相关：正相关是指两个变量的变化方向是一致的，当一个变量的值增加（或减少）时，另一变量的值也随之增加（或减少）。
负相关：负相关是指两个变量的变化方向相反，即当一个变量的值增加（或减少）时，另一个变量的值会随之减少（或增加）。
线性相关：如果相关的两个变量对应值在直角坐标系中的散点图近似呈一条直线，则称为线性相关。
非线性相关：如果相关的两个变量对应值在直角坐标系中的散点图近似呈现出某种曲线形式，则为非线性相关。
相关系数：相关系数是衡量变量之间线性相关密切程度及相关方向的统计分析指标。
取值在-1到1之间。
两个变量之间的简单样本相关系数的计算公式为：()()niix x y y r --∑二、单项选择1.B;2.D;3.D;4.C;5.A;6.D 。
三、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”） 1.×; 2.×; 3.√; 4.×; 5.×; 6.×; 7.×; 8.√. 四、简答题1、什么是相关关系？相关关系与函数关系有什么区别？答：相关关系，是指变量（现象）之间存在着非严格、不确定的依存关系。
第8章 相关与回归分析
4、在相关关系中，变量之间是平等关系，不存在自变量和因变量。 、在相关关系中，变量之间是平等关系，不存在自变量和因变量。
而在回归分析中必须明确划分自变量和因变量。 而在回归分析中必须明确划分自变量和因变量。
8-9
统计学
STATISTICS
8.2 简单线性相关与回归分析
8 - 10
STATISTICS
8-5
统计学
STATISTICS
（三）从变量相关关系变化的方向看 从变量相关关系变化的方向看 变化的方向 正相关： A 正相关：变量同方向变化 ， 即同增同减 (A) 同增同减 负相关：变量反方向变化， 负相关：变量反方向变化， 即一增一减 (B) B 一增一减 从变量相关的程度 相关的程度看 （四）从变量相关的程度看
完全相关 (B) 不完全相关 (A) 不相关 (C)
8-6
25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12
25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12
C
35 30 25 20 15 10 5 0 0 5 10 15
统计学
STATISTICS
三、回归分析
回归一词的由来： 回归一词的由来：
8 - 13
见第218页例题 页例题 见第 页例
统计学
STATISTICS
相关系数的特点： 相关系数的特点：
1、r 的取值范围是 − 1 ≤ r ≤ 1 。 、 2、r<0时，β<0 为负相关；r>0时， β>0 为正相关。 为负相关； 为正相关。 、 时 时 3、|r|=1，为完全相关。r =1，为完全正相关；r = -1， 、 ，为完全相关。 ，为完全正相关； ， 为完全负正相关。 为完全负正相关。 4、r = 0，不存在线性相关。 、 线性相关。 ，不存在线性相关 5、|r|越趋于 表示两变量线性关系越密切；|r|越趋于 、 越趋于 表示两变量线性关系越密切； 越趋于 越趋于1表示两变量线性关系越密切 越趋于0 表示两变量线性关系越不密切。 表示两变量线性关系越不密切。 线性关系越不密切 6、r是一个随机变量。 、 是一个随机变量 是一个随机变量。
统计学第八章 相关与回归分析PPT课件
30.07.2020
河北工程大学经济管理学院
9
二、相关关系的种类
把握以下问题： 1、按相关程度划分； 2、按相关方向划分； 3、按相关形式划分； 4、按变量多少划分； 5、按相关性质划分。
30.07.2020
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10
1、按相关程度划分
可分为完全相关、不完全相关和不相关 （1）完全相关：当一种现象的数量变化完全
5、按相关性质划分
分为“真实相关”和“虚假相关”： （1）当两种现象间的相关确实具有内在的联 系时，称之为“真实相关”。例如消费与收入 的相关关系等。 （2）当两种现象间的相关只是表面存在，实 质没有内在联系时，称之为“虚假相关”。 判断依据是实质性科学提供的知识。
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函数关系是指变量之间存在着严格确定的依
存关系，在这种关系中，当一个或几个变
量取一定量的值时，另一变量有确定值与
之相对应，并且这种关系可以用一个数学
表达式反映出来。例如：某种产品的总成
本S与该产品的产量Q以及该产品的单位成
本P之间的关系可用S=PQ表达，这就是一
种函数关系。通常把作为影响因素的变量
称为自变量，把发生相应变化的变量称为
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一、函数关系与相关关系
▪ 客观现象总是普遍联系和相互依存的， 客观现象间的数量联系存在两种不同 类型：函数关系和相关关系。
▪ 把握三个问题：
▪ 1、函数关系；
▪ 2、相关关系；
▪ 3、二者关系。
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1、函数关系
因变量。在本例中，S是因变量，P与Q则
统计学原理第8章相关与回归分析[精]
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估计标准误差就是因变量的估计值yc与实际值y之间差异 公 的平均程度。记为Syx,它的基本公式为:
式
或
式中,Syx表示估计标准误差;下标yx表示y依x的回归方程; y是因变量的实际值;yc是因变量的估计值。
例8.4以例8.1的资料计算估计标准误差。
步骤： 1.设计一张计算表,将已知x的值代入回归方程求出对应的yc的值 2.计算离差y-yc并加以平方求和 3.求出估计标准误差Syx。
数关系。
当r=0时,表示x与y完全没有线性相关。
当0<|r|<1时,表示x与y存在着一定的线性相关。一般分四个
等级,判断标准如下:
若0<|r|<0.3,则称x与y为微弱相关;
若0.3<|r|<0.5, 则称x与y为低度相关;
若0.5<|r|<0.8, 则称x与y为显著相关;
若0.8<|r|<1, 则称x与y为高度相关。
8.3.2简单直线回归方程
a, b是待定参数 利用最小二乘法 得到a，b求值，再反解得到方程式
建立回归直线的过程：列计算表,求出∑xy,∑x2,∑y2,x,y; 计算Lxy,Lxx和Lyy的值;求出b和a的值并写出方程
例 8.2某工厂某产品的产量与单位成本资料见表8.2,试 求单位成本依产量的回归直线方程。
★ 填空题 (1) 现象之间的相关关系，从相关因素的个数看，可分为()和()；从相关的形式
的两个回归方程。() (9) 估计标准误差指的就是因变量的估计值yc与实际值y之间的平均误差程度。() (10) 在任何相关条件下，都可以用相关系数r说明变量之间相关的密切程度。() (11) 若变量x与y的相关系数r1=-0.8，变量p与q的相关系数r2=-0.92，由于r1>r2，
第8章 相关与回归分析
果关系。
8.1.1 相关关系
（3）相关分析：对于现象间是否存在相关关系、相
关关系的表现形式以及相关密切程度的分析，称为
相关分析。 2.相关关系的种类
完全相关时 是函数关系
（1）按相关关系的形式不同分：线性相关与非线性 相关
（2）按相关关系的方向不同分：正相关与负相关
（3）按相关关系涉及变量（因素）的多少分：单相 关与复相关
下图中，钢产量与吨钢利润之间存在明显的正相 关，相关形式基本呈直线形式。
相关表和相关图，只适合用来考察两个现象之间 的相关关系，不能用于考察多个变量间的相关关系。
作业1：要求手写截图，包含题目、名字、学号
1. 相关分析是研究现象(事物）间是否存在______ ， 相关 关系的______以及相关___ ___的分析。 2.变量间的关系一般分为几种？分别描述这几种关系。 3.相关关系的分类： 按相关关系的形式分为： ______与_____ ； 按相关关系的方向分为： ______与_____ ； 按相关关系的密切程度分： _____ 、 _____与_____。 4.可通过______与______方法来描述与直观判断相关关系
• 概念
因素（因子），指所要检验的对象。
水平：因子在实验中的不同状态或因素的具体表现称为水平。不同 水平可看作不同组（类）。 单因素方差分析：在实验中变化的因素只有一个。 多因素方差分析：在实验中变化的因素有两个或以上。
双因素方差分析，两个变化的因素即两个分类自变量A、B对某个
数值型因变量的影响。
• 单因素方差分 无交互作用的方差分析和有交互作用的方差分析。
8.1.2直线相关系数
1.直线相关系数的计算
直线相关系数通常采用积差法公式计算，由英国统计学
8.1.1 相关关系
（3）相关分析：对于现象间是否存在相关关系、相
关关系的表现形式以及相关密切程度的分析，称为
相关分析。 2.相关关系的种类
完全相关时 是函数关系
（1）按相关关系的形式不同分：线性相关与非线性 相关
（2）按相关关系的方向不同分：正相关与负相关
（3）按相关关系涉及变量（因素）的多少分：单相 关与复相关
下图中，钢产量与吨钢利润之间存在明显的正相 关，相关形式基本呈直线形式。
相关表和相关图，只适合用来考察两个现象之间 的相关关系，不能用于考察多个变量间的相关关系。
作业1：要求手写截图，包含题目、名字、学号
1. 相关分析是研究现象(事物）间是否存在______ ， 相关 关系的______以及相关___ ___的分析。 2.变量间的关系一般分为几种？分别描述这几种关系。 3.相关关系的分类： 按相关关系的形式分为： ______与_____ ； 按相关关系的方向分为： ______与_____ ； 按相关关系的密切程度分： _____ 、 _____与_____。 4.可通过______与______方法来描述与直观判断相关关系
• 概念
因素（因子），指所要检验的对象。
水平：因子在实验中的不同状态或因素的具体表现称为水平。不同 水平可看作不同组（类）。 单因素方差分析：在实验中变化的因素只有一个。 多因素方差分析：在实验中变化的因素有两个或以上。
双因素方差分析，两个变化的因素即两个分类自变量A、B对某个
数值型因变量的影响。
• 单因素方差分 无交互作用的方差分析和有交互作用的方差分析。
8.1.2直线相关系数
1.直线相关系数的计算
直线相关系数通常采用积差法公式计算，由英国统计学
大学统计学 ch8相关与回归分析
2
6 250.1 24 54 6 111.8 242 6 564.5 542
204.6 91.68 471
0.9846
(两者为高度正相关)
4 相关系数的显著性检验 检验两个变量之间是否存在线性相关关系，等价 于对回归系数b的检验。 步骤： 提出假设：H0： ；H1： 0 计算检验统计量：
x a y n b n nxy xy b 2 2 n x ( x )
解联立方程，得到
x a y n b n nxy xy b 2 2 n x ( x )
1 xy n x y xy x y b 2 2 1 2 2 x x x n ( x )
第八章
相关与回归分析
变量间的相关关系 一元线性回归模型
多元线性回归模型
非线性回归模型
第一节 变量间的相关关系
一、相关关系的概念
相关关系是指客观现象间确实存在的数量上不 是严格对应的依存关系。
变量之间关系 相关关系 因果关系
互为因果关系 随机性 依存关 系
共变关系
函数关系
确定性依存关系
二、相关关系的类型
令
Q ( y y ) 2 ( y a bx) 2
ˆ ) 2 min (y y
则
Q 2 ( y a bx)(1) 0 a Q 2 ( y a bx)( x) 0 b
解联立方程，得到
y na b x 2 xy a x b x
1、相关分析中，x与y对等，回 归分析中，x与y要确定自变量和 因变量； 2、相关分析中x，y均为随机变量 ，回归分析中，只有y为随机变量 3、相关分析测定相关程度和方向 ，回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以用 回归模型进行预测和控制。
6 250.1 24 54 6 111.8 242 6 564.5 542
204.6 91.68 471
0.9846
(两者为高度正相关)
4 相关系数的显著性检验 检验两个变量之间是否存在线性相关关系，等价 于对回归系数b的检验。 步骤： 提出假设：H0： ；H1： 0 计算检验统计量：
x a y n b n nxy xy b 2 2 n x ( x )
解联立方程，得到
x a y n b n nxy xy b 2 2 n x ( x )
1 xy n x y xy x y b 2 2 1 2 2 x x x n ( x )
第八章
相关与回归分析
变量间的相关关系 一元线性回归模型
多元线性回归模型
非线性回归模型
第一节 变量间的相关关系
一、相关关系的概念
相关关系是指客观现象间确实存在的数量上不 是严格对应的依存关系。
变量之间关系 相关关系 因果关系
互为因果关系 随机性 依存关 系
共变关系
函数关系
确定性依存关系
二、相关关系的类型
令
Q ( y y ) 2 ( y a bx) 2
ˆ ) 2 min (y y
则
Q 2 ( y a bx)(1) 0 a Q 2 ( y a bx)( x) 0 b
解联立方程，得到
y na b x 2 xy a x b x
1、相关分析中，x与y对等，回 归分析中，x与y要确定自变量和 因变量； 2、相关分析中x，y均为随机变量 ，回归分析中，只有y为随机变量 3、相关分析测定相关程度和方向 ，回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以用 回归模型进行预测和控制。
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第八章 相关与回归分析
总体相关系数：根据总体全部数据计算的相关 系数，记为 。
样本相关系数：根据样本数据计算的相关系数， 记为r 。
第八章 相关与回归分析
样本相关系数的计算公式为： ······①=
第八章 相关与回归分析
为了根据原始数据计算r，可由①式推导出简 化计算公式：
··········②
存在线性相关关系。
第八章 相关与回归分析
r的取值一般在-1＜r＜1之间，不同取值反映两个 变量之间的线性关系的密切程度不同：
（1） ≥0.8时，可视为高度相关； （2）0.5≤ ＜0.8时，可视为中度相关； （3）0.3≤ ＜0.5时，可视为低度相关； （4） ＜0.3时，说明两个变量之间相关程度极弱，
可视为不线性相关。 注意：以上说明必须建立在对相关系数的显著性进
行检验的基础上的。
第八章 相关与回归分析
三、相关关系的显著性检验 （一）r的抽样分布 当样本数据来自正态总体时，随n的增大，r的抽
样分布趋于正态分布，尤其是在总体相关系数很 小或接近0时，趋于正态分布的趋势很明显。 当总体相关系数远离0时，除非n非常大，否则r的 抽样分布呈一定的偏态。只有当总体相关系数接 近0，而样本容量n很大时，才能认为r是接近于正 态分布的随机变量。
第八章 相关与回归分析
例：某商品的销售额与销售量之间的关系。设 销售额为y，销售量为x，销售价格为p，则x与 y之间的关系可表示为y=px。
例：企业的原材料消耗额y与产量x1，单位产品 消耗x2、原材料价格x3之间的关系可表示为y= x1 x2 x3。
第八章 相关与回归分析
定义： 变量之间存在的不确定性数量关系，称为相
关关系。
例：子女的身高y与其父母身高x之间的关系。 例：农作物的单位面积产量y与施肥量x之间的关
系。
第八章 相关与回归分析
相关关系的特点： 一个变量的取值不能由另一个变量唯一确
定，当变量x取某个值时，变量y的取值可能有 几个。
第八章 相关与回归分析
二、相关关系的描述与测度 1、散点图 定义：
用坐标的水平轴代表变量x，纵轴代表变量y， 每组数据（xi,yi）在坐标系中用一个点表示，n 组数据在坐标系中形成的n个点称为散点，由 坐标及其散点形成的二维数据图称为散点图。
第八章 相关与回归分析
根据相关关系的形态，相关关系可分为： (1)线性相关： (a)(b) (2)非线性相关（或曲线相关）： (e) (3)完全相关： (c)、(d) (4)没有相关关系： (f)
第八章 相关与回归分析
2、相关系数 定义：
根据样本数据计算的对两个变量之间线性 关系强度的度量值，称为相关系数 （Correlation coefficient）。
利用t分布表查出 的临界值。若 ＞ 则拒绝 H0，表明总体的两个变量之间存在显著的线性 关系。
第八章 相关与回归分析
例：一家大型商业银行在多个地区设有分行， 其业务主要是进行基础设施建设，国家重点项 目投资、固定资产投资等项目的贷款。近几年， 该行的贷款额平稳增长，但不良贷款额也有较 大比例的增长，这也给银行业务的发展带来了 很大的压力。为弄清不良贷款形成的原因，希 望利用银行业务的有关数据做些定量分析，以 便找出控制不良贷款的方法。该行随机抽取了 其分行中的25家分行的有关业务数据，并测算 出样本相关系数如下表：
8相关与回归分析
第八章 相关与回归分析
第一节 变量间关系的量度
一、变量间的关系 变量之间的关系形态可以分为两类，即函
数关系和相关关系。
第八章 相关与回归分析
函数关系 设有两个变量x和y，变量y随变量x一起变化，
并完全依赖于x，当变量x取某个数值时，y依 确定的关系取相应的数值，则称y是x的函数， 记为y=f(x)，其中的x称为自变量，y称为因变 量。
0.6788
1
贷款项目个数 0.70030.8484来自0.58581
固定资产投资 额
0.5185
0.7797
0.4724
0.7466
1
第八章 相关与回归分析
r的取值范围：可以证明-1≤r≤1。 （1）0＜r≤1，——正线性相关关系； （2）-1≤r＜0，——负线性相关关系； （3）r=1，——完全正线性相关关系； （4）r=-1，——完全负线性相关关系； （5）r=0，说明y的取值与x无关，即二者之间不
第八章 相关与回归分析
表：不良贷款、贷款余额、应收贷款、贷款项目、固定资产投 资之间的相关矩阵
不良贷款
不良贷款 各项贷款余额 累计应收贷款 贷款项目个数 固定资产投资额
1 0.8436 0.7315 0.7003 0.5185
各项贷款余 来及应收贷 贷款项目个
额
款
数
1 0.6788 0.8484 0.7797
1 0.5858 0.4724
1 0.7466
固定资产投 资额
1
请检验不良贷款与贷款余额之间的相关系数是否显 著（ ）
第八章 相关与回归分析
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第八章 相关与回归分析
例：根据数据计算不良贷款、贷款余额、应收贷款、 贷款项目、固定资产投资额之间的相关系数。
表：不良贷款、贷款余额、应收贷款、贷款项目、固定资产投 资额之间的相关矩阵
不良贷款
不良贷款 1
各项贷款余 额
来及应收贷 款
贷款项目个 数
固定资产投 资额
各项贷款余额 0.8436
1
累计应收贷款 0.7315
第八章 相关与回归分析
（二）r的显著性检验
t分布检验，该检验可以用于小样本，也可以用 于大样本。检验步骤如下：
第一步：提出假设，假设样本是从一个不相关的 总体中抽出的，
即 H0： ；H1： ；
第二步：计算检验统计量
~t（n-2）
第八章 相关与回归分析
第三步：进行决策。 根据给定的显著性水平 和自由度df=n-2，