(优选)自考线性代数教案第一章行列式
线性代数教案-行列式
线性代数教学教案第1章行列式授课序号01那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数，排列二．二阶、三阶行列式123nnn n n n nn a a a a 23n n n n nna a a +21222,12123231323,1313331212,1131)+n n n n n n n n n n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a --+-+阶行列式（递归定义）.余子式与代数余子式：由行列式D 中划去ij a i 行和第j 列后，余下的元素按照原来的顺序构阶行列式定义为 2123n nn n n n nna a a a a 表示对所有的列标排列12n j j j 求和.12x =0n nn nn a . 11121,1,11,210000n n n n a a a a a a ---，1112300000n n n nn a a a a a a ，112200000000nna a a .授课序号020ni nj a A =,n ，i ≠, ,i j =, =D A ⎧授课序号030000000x y yx.行列式11111231n n n n nD x x x ----==111111n a +3434a a x x a ++的根.0000003200013.122110000nn n x a x ---.00000000000000000000b a b c d c dc d.1114，证明：()0f x '=有且仅有两个实根授课序号04a x +11122212n n n n nna a a a a a a 122n n D D Dx x D D D==，，，, 1,1,1n n n n j nn j nnb a a a b a a -+12n n x b x b a x ==+当12,,,n b b b 全为0时，得到1111221122a x a a x a a x +⎧⎪+⎪⎨+3511x =-1n a x -=互相关联，X 公司持有持有Z 公司20%a x +a x a x ++。
考研辅导--线性代数--第1章行列式
第一章 行列式◆ 基础知识概要1.n 阶行列式的定义二阶行列式2112221122211211a a a a a a a a -=.三阶行列式.333231232221131211a a a a a a a a a 112233122331132132112332122133132231a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---.对角线法则：n 阶行列式的定义()1212111212122212,,,121...n nn tnj j nj j j j n n nna a a a a a D aa a a a a ⋅⋅⋅==-∑ ,它是取自不同行不同列的n 个数的乘积1212...n j j nj a a a 的代数和（共!n 项），其中各项的符号为()1t-，t 代表排列12,,,n j j j ⋅⋅⋅的逆序数，简记为()det ij a .n 阶行列式也可定义为()121212,,,1...nnt i i i n i i i D a a a ⋅⋅⋅=-∑，其中t 为行标12,,,n i i i ⋅⋅⋅排列的逆序数.例1.1 计算行列式（1）12n λλλ；（2）12nλλλ.练习：计算下列行列式（1）234134201300400； （2）111212220n nnna a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（上三角形行列式）；（3）11212212n n nna a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ （下三角形行列式）.2. 行列式的性质与计算 2.1行列式的性质（1）行列式与其转置行列式相等；（2）互换行列式的某两行(列)得到新行列式则新行列式应反号；特别地：若行列式中有两行(列)对应元素相等，则行列式等于零； （3）行列式中某一行(列)的所有元素的公因数可以提到行列式的外面； 即以数k 乘以行列式等于用数k 乘以行列式的某一行或某一列； 特别地：若行列式中有一行(列)的元素全为零，则行列式等于零； （4）行列式中如果有某两行(列)对应元素成比例，则行列式的值为零； 特别地：比例系数为1（5）若行列式的某一列（行）的元素是两数之和，例如，第i 列的元素都是两数之和：()()()1112111212222212i i n i i nn n ni ninn a a a a a a a a a a D a a a a a '⋅⋅⋅+⋅⋅⋅'⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅'⋅⋅⋅+⋅⋅⋅，则D 等于如下两个行列式之和：1112111112112122222122221212i n i n i n i n n n ninnn n ninn a a a a a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a '⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅'⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅'⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅.（6）把行列式的某一行(列)的各元素的k 倍加到另一行(列)的对应元素上，行列式的值不变.注：（1）交换行列式的第,i j 两行（或列），记作i i r r ↔（或i j c c ↔）； （2）第i 行（列）提出公因子k ，记作i r k ÷（或i c k ÷）；（3）以数k 乘第j 行（列）加到第i 行（列）上，记作i j r kr +（或i j c kc +）.范德蒙（Vandermonde ）行列式()3122222123111111231111nn i j nj i nn n n n nx x x x V x x x x x x x x x x ≤<≤----⋅⋅⋅⋅⋅⋅==-⋅⋅⋅⋅⋅⋅∏注 右边是“大指标减小指标”.例1.2 计算行列式111311212524131122D ---=.（答：332）练习：计算行列式（1）3112513420111533D ---=---；（答：40）（2）3111131111311113D =；（答：48） (3) 1234234134124123D =；（答：160） （4）2324323631063a b c d aa b a b c a b c d D a a b a b c a b c d aa b a b c a b c d++++++=++++++++++++；（答：4a ）（5）222111a ab acD ab b bc acbcc +=++；（答：2221a b c +++） （6）1234000000a x a a a x xD x x x x +-=--；（答：431i i x x a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑） （7）222b c c aa b D ab c a b c +++=； （8）()()()()()()()()()()()()2222222222222222123123123123a a a a b b b b D cc c cd d d d ++++++=++++++.2.2行列式依行（列）展开余子式：ij M ，代数余子式：()1i jij ij A M +=-定理1.1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即()112211,2,,ni i i i in in ik ik k D a A a A a A a A i n ==++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅∑，或()112211,2,,nj j j j nj nj kj kj k D a A a A a A a A j n ==++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅∑.注：此定理的主要作用是——降阶.推论 行列式的任一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式乘积之和等于零，即()112210ni j i j in jn ik jk k D a A a A a A a A i j ==++⋅⋅⋅+==≠∑，或()112210ni j i j ni nj ki kj k D a A a A a A a A i j ==++⋅⋅⋅+==≠∑.例1.3 用降阶的方法解例1.2.练习：用降阶的方法求解上面练习第（1）题.例1.4 设1121234134124206A --=-，求（1）12223242234A A A A -+-； （2）3132342A A A ++.解 （1）1222324212122122313241422340A A A A a A a A a A a A -+-=+++=. （2）因为ij A 的大小与元素ij a 无关，因此，313234112111214132341410322121401201120142642064206A A A -----++===-=---.练习：（1）设1234511122321462221143156，则（a ）313233A A A ++=？（b ）3435?A A +=（c ）5152535455?A A A A A ++++=（答：0，0，0）（2）设,ij ij M A 分别为行列式3010222202001201D =--中元素ij a 的余子式和代数余子式，试求（a ）31323334A A A A +++； （b ）41424344M M M M +++； （c ）14244432M M M -++.2.3拉普拉斯（Laplace ）展开定理定义 在一个n 阶行列式D 中，任意选定k 行（比如第12,,k i i i ⋅⋅⋅行）和k 列比如12,,k j j j ⋅⋅⋅列）（k n ≤）.位于这些行和列的交点上的2k 个元素按照原来的位置组成一个k 阶行列式，称为行列式D 的一个k 阶子式，记作1212k k i i i A j j j ⋅⋅⋅⎛⎫⎪⋅⋅⋅⎝⎭，划去12,,k i i i ⋅⋅⋅行和12,,k j j j ⋅⋅⋅列后余下的元素按照原来的位置组成的n k -阶行列式，称为k 阶子式1212k k i i i A j j j ⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭的余子式，记作1212k c k i i i A j j j ⋅⋅⋅⎛⎫⎪⋅⋅⋅⎝⎭.在余子式前面加上符号()()()12121k k i i i j j j ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-后被称之为的代数余子式.记作()121212121s t k k c c k k i i i i i i A A j j j j j j +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭，这里1212,k k s i i i t j j j =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+.定理1.2 在n 阶行列式D 中，任意选定k 列121k j j j n ≤<<⋅⋅⋅<≤，则12121211212k k k c i i i nk k i i i i i i D A A j j j j j j ≤<<⋅⋅⋅<≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭∑. 类似地，任意选定k 行121k i i i n ≤<<⋅⋅⋅<≤，则12121211212k k k c j j j nk k i i i i i i D A A j j j j j j ≤<<⋅⋅⋅<≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭∑.证 （略）注 这是定理1.2的推广，它仍然是一种——降阶的思想.例1.4 在行列式1214012110130131D -=中取定1，2行，得到6个子式1,21211,201A ⎛⎫==- ⎪-⎝⎭， 1,21121,302A ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 1,21411,401A ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 1,22152,312A ⎛⎫== ⎪-⎝⎭， 1,22462,411A ⎛⎫== ⎪-⎝⎭， 1,21473,421A ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 对应的代数余子式分别是()()()12121,213181,231c A +++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ()()()12131,203131,311c A +++⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ()()()12141,201111,413c A +++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ()()()12231,213112,301c A +++⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ()()()12241,211132,403c A +++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ()()()12341,210113,401c A +++⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 由Laplace 展开定理可知()()()()()1823115163717D =-⨯-+⨯+⨯-+⨯+⨯-+-⨯=-.例1.5 证明111111111111111111110000k k r k kk k r k kk r rrr rkr rra a a ab b a ac c b b a a b b c c b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅. 证 由Laplace 定理展开，选定第1,2,,k ⋅⋅⋅行，得12112121,2,1,2,,k c j j j nk k k k D A A j j j j j j ≤<<⋅⋅⋅<≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭∑1,2,1,2,,1,2,,1,2,,c k k A A k k ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭()()()1111111212111k rk k k kk r rra ab b a a b b ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅11111111k rk kk r rra ab b a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅.注 例1.5的结论可以简记为A ABC B=⋅.练习：1.计算（1）123451234512121200000000a a a a ab b b b bc cd de e ； （2）1111111111110000k kk krk kk rr rrc c a a c c a a b b b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅.2. 设A 为n 阶方阵，A a =，B 为m 阶方阵，B b =，则23O AB O为（ ）（A ）6ab -, （B ）23n mab -, （C ）()123mnn m ab -, （D ）()123m nn m ab +-.◆ 行列式的计算举例例1.6 计算n 阶行列式n x a a a a x a aD a a x a a a a x=解法1112,3,2,3,(1)(1)(1)000(1)000(1)000i i C C r r ni ni nx n a a a a x n a aa a x n a x a a x a D x n a a x a x a x n a a a x x a+-==+-+-+--==+--+-- []()1(1)n x n a x a -=+--.解法212,3,11111100010000100001i r r n i n nn n a a a a a a a a xaa axaa ax aa x a aa x a a x a D aa x a a a x a x a a a a x aaa xx a -=+++----===----①如果x a =，则1110000100000100001n n a a a a D +--==--②如果x a ≠，则12,3,11100000000(1)()0000C i x anax aC n nanx ai n n a a a a x a x a D x a x a x a --+-=+++--==+--- .综合①、②有：()()11n n D x n a x a -=+--⎡⎤⎣⎦.例1.7 计算行列式1221100001000000001n nn n xx x xa a a a x a ----∆=-+.解 按第一列展开，12321100001000001n n n n x x x x a a a a xa -----∆=-+110001000(1)01000001n n xa x x +--+---()121n n n n n x a x x a a ---=∆+=∆++221n n n x a x a --=∆++== 12121n n n n x a x a x a ---∆++++又111x a x a ∆=+=+，11n n n n x a x a -∴∆=+++ .例1.8 计算2n a ba bab Dcd c dcd=.解法1 依第一行展开12200(1)00000000n n a ba b ab a b D ab cdc dcdcdd c +=+-2112(1)2(1)2(1)(1)()n n n n adD bc D ad bc D -+---=--=-,222(1)2(2)112()()()()().n n n n n n D ad bc D ad bc D a b ad bc D ad bc ad bc cd----=-=-==-=-=-解法2 利用Laplace 展开定理，选定第1行和第2n 行展开，则1221212121,21,2,,c n j j nn n D A A j j j j ≤<≤⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑1,21,21,21,2c n n A A n n ⎛⎫⎛⎫=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()()1212211n n n a b D c d+++-=⋅-()()21n ad bc D -=-⋅=⋅⋅⋅ 1()n ab ad bc cd-=- ().n ad bc =-练习：计算n 阶行列式（1）122222222232222n D n=；（答：()22!n --）（2）01211111001001n n a a a D a -=，其中110n a a -⋅⋅⋅≠；（答：111011n n i i a a a a --=⎛⎫⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭∑）（3）2222212121212naa aa aDaaa a=；（答：()1nn a+）（4）()()()()111111111n nnn nnna a a na a a nDa a a n----⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅；（5）1231110000220000011 nn n Dn n⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅--。
线性代数课件第一章 行列式
an1 an2
ann
0
0
(1) a a ( j1 j2 jn ) 1 j1 2 j2
j1 j2 jn
ann
(1) (1 j2
a a jn ) 11 2 j2
1 j2 jn
(1) (123 n) a11a22 ann
a11a22 ann
anjn anjn
a11 0
0
计算主对角线行列式 0 a22
a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
23
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列．
= 1 + 4 + 0 + 0 + 1+ 0 = 6 14
τ(314625)=5，314625是奇排列。 τ(314652)=6，314652是偶排列。
逆序数的性质
(12n) 0，
(n(n 1)321) n(n 1)
2
0 (i1i2
in )
n(n 1) 2
15
定义2.3 把一个排列中两个数i , j的位置互换而保持 其余数字的位置不动，则称对这个排列施 行了一个对换，记作(i , j). 两个相邻位置 数字的对换称为相邻对换，否则称为一般 对换。
数的排列称为奇排列。逆序数为偶数的排列称为偶排列。
如：314652中， 31是逆序，65是逆序，32是逆序，42是逆序 62是逆序，52是逆序数。逆序数τ(314652)=6
记τk = 排列j1j2…jn中数字k前面比k大的数的个数。则 τ(314652)= τ1 + τ2 + τ3 + τ4 + τ5 + τ6
(完整版)第一章自考线性代数精讲
10 2020/6/16 线性代数 Hainan University
第一章 行列式
二、三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(5)
记
a31 a32 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
类似地，消去 x1，得 （a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21,
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 ， a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 . a12a21
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（3）
由方程组的四个系数确定.
3 2020/6/16 线性代数 Hainan University
D2
a11 a21
b1 . b2
8 2020/6/16 线性代数 Hainan University
第一章 行列式
第一章 行列式
则二元线性方程组的解为
b1
x1
D1 D
b2 a11
a21
a12 a22 , a12 a22
a11
x2
D2 D
a21 a11
a21
b1 b2 . a12 a22
注意 分母都为原方程组的系数行列式.
a11 x1 a12 x2 b1, a21x1 a22 x2 b2 .
D a11 a12 , a21 a22
自考线性代数(经管类)第1-6章教案(已排版)
线性代数（经管类）第一章 行列式（一）行列式的定义行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数.1．二阶行列式由4个数)2,1,(=j i a ij 得到下列式子：11122122aa a a 称为一个二阶行列式，其运算规则为2112221122211211a a a a a a a a -=2．三阶行列式由9个数)3,2,1,(=j i a ij 得到下列式子：333231232221131211a a a a a a a a a称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念.3．余子式及代数余子式设有三阶行列式 3332312322211312113a a a a a a a a a D =对任何一个元素ij a ，我们划去它所在的第i 行及第j 列，剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，称它为元素ij a 的余子式，记成ij M例如 3332232211a a a a M =，3332131221a a a a M =，2322131231a a a a M =再记 ij j i ij M A +-=)1( ，称ij A 为元素ij a 的代数余子式.例如 1111M A =，2121M A -=，3131M A = 那么 ，三阶行列式3D 定义为我们把它称为3D 按第一列的展开式，经常简写成∑∑=+=-==3111131113)1(i i i i i i i M a A a D4．n 阶行列式 一阶行列式 11111a a D ==n 阶行列式 1121211111212222111211n n nnn n n n n A a A a A a a a a a a a a a a D +++==其中(,1,2,,)ij A i j n =为元素ij a 的代数余子式. 5．特殊行列式上三角行列式111212221122000n n nn nn a a a a a a a a a =下三角行列式1122112212000nn n n nna a a a a a a a a =213131212111113332312322211312113A a A a A a a a a a a a a a a D ++==对角行列式112211220000nn nna a a a a a =（二）行列式的性质性质1 行列式和它的转置行列式相等，即T D D =性质2 用数k 乘行列式D 中某一行（列）的所行列式等于kD ，也就是说，行列式可以按行和列提出公因数.有元素所得到的性质3 互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号. 推论1 如果行列式中有某两行（列）相同，则此行列式的值等于零.推论2 如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零.性质4 行列式可以按行（列）拆开.性质5 把行列式D 的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为D.定理1（行列式展开定理）n 阶行列式n ij a D =等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即),,2,1(2211n i A a A a A a D in in i i i i =+++=或),,2,1(2211n j A a A a A a D nj nj j j j j =+++=前一式称为D 按第i 行的展开式，后一式称为D 按第j 列的展开式.本定理说明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值.定理2 n 阶行列式n ij a D =的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.即)(02211k i A a A a A a kn in k i k i ≠=+++或)(02211s j A a A a A a ns nj s j s j ≠=+++ （三）行列式的计算行列式的计算主要采用以下两种基本方法：（1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时要注意的是，在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（－1），在按行或按列提取公因子k 时，必须在新的行列式前面乘上k.（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按这一行或这一列展开：例1 计算行列式 52072325121314124-=D解：观察到第二列第四行的元素为0，而且第二列第一行的元素是112=a ，利用这个元素可以把这一列其它两个非零元素化为0，然后按第二列展开.42141214156231212115062150********3(2)1725025********312251100813757375D -+⨯=---+-⨯+⨯=行行按第二列展开行行7 列列按第二行展开例2 计算行列式 ab b b b a b b b b a b bb b a D =4解：方法1 这个行列式的元素含有文字，在计算它的值时，切忌用文字作字母，因为文字可能取0值.要注意观察其特点，这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为b a 3+（我们把它称为行和相同行列式），我们可以先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因子b a 3+，再将后三行都减去第一行：3131(3)31311000(3)000000a b b b a b b b b b b bb a b b a b a b b a b ba b b b a b a b b a b b a b b b b aa b b b ab b ab b ba b a b a b a b++==+++-=+-- 3))(3(b a b a -+=方法2 观察到这个行列式每一行元素中有多个b ，我们采用“加边法”来计算，即是构造一个与4D 有相同值的五阶行列式11234541101000010000100001000b b b b b bb b a b b ba b b b a b b a b b D b a b b a b b b a bb b a b a b b b bab b b a a b⨯-+--===------行（），，，行 这样得到一个“箭形”行列式，如果b a =，则原行列式的值为零，故不妨假设b a ≠，即0≠-b a ，把后四列的ba -1倍加到第一列上，可以把第一列的（－1）化为零.4410000400001()(3)()00000bbbbb a b a b b a b a b a b a b a b a b a b3+--⎛⎫=-=+-=+- ⎪-⎝⎭-- 例3 三阶范德蒙德行列式))()((1112313122322213213x x x x x x x x x x x x V ---== （四）克拉默法则定理1（克拉默法则）设含有n 个方程的n 元线性方程组为11112211211222221122,,n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 如果其系数行列式0≠=n ij a D ，则方程组必有唯一解：n j DD x j j ,,2,1, ==其中j D 是把D 中第j 列换成常数项n b b b ,,,21 后得到的行列式. 把这个法则应用于齐次线性方程组，则有定理2 设有含n 个方程的n 元齐次线性方程组1111221211222211220,0,0n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩如果其系数行列式0≠D ，则该方程组只有零解：021====n x x x换句话说，若齐次线性方程组有非零解，则必有0=D ，在教材第二章中，将要证明，n 个方程的n 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零.第二章 矩阵（一）矩阵的定义 1．矩阵的概念由n m ⨯个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==排成的一个m 行n 列的数表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A212222111211 称为一个m 行n 列矩阵或n m ⨯矩阵当n m =时，称()n n ij a A ⨯=为n 阶矩阵或n 阶方阵 元素全为零的矩阵称为零矩阵，用n m O ⨯或O 表示 2．3个常用的特殊方阵：①n 阶对角矩阵是指形如 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn a a a A 0000002211的矩阵②n 阶单位方阵是指形如 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010001 n E 的矩阵③n 阶三角矩阵是指形如 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n nn n n a a a a a a a a a a a a2122211122*********,000的矩阵 3．矩阵与行列式的差异矩阵仅是一个数表，而n 阶行列式的最后结果为一个数，因而矩阵与行列式是两个完全不同的概念，只有一阶方阵是一个数，而且行列式记号“*”与矩阵记号“()*”也不同，不能用错.（二）矩阵的运算 1．矩阵的同型与相等设有矩阵n m ij a A ⨯=)(，λ⨯=k ij b B )(，若k m =，λ=n ，则说A 与B 是同型矩阵.若A 与B 同型,且对应元素相等，即ij ij b a =，则称矩阵A 与B 相等，记为B A =因而只有当两个矩阵从型号到元素全一样的矩阵，才能说相等. 2．矩阵的加、减法设n m ij a A ⨯=)(，n m ij b B ⨯=)(是两个同型矩阵则规定n m ij ij b a B A ⨯+=+)( n m ij ij b a B A ⨯-=-)(注意：只有A 与B 为同型矩阵，它们才可以相加或相减. 由于矩阵的相加体现为元素的相加，因而与普通数的加法运算有相同的运算律. 3．数乘运算设n m ij a A ⨯=)(，k 为任一个数，则规定n m ij ka kA ⨯=)(故数k 与矩阵A 的乘积就是A 中所有元素都乘以k ，要注意数k 与行列式D 的乘积，只是用k 乘行列式中某一行或某一列，这两种数乘截然不同.矩阵的数乘运算具有普通数的乘法所具有的运算律. 4．乘法运算设k m ij a A ⨯=)(，n k ij b B ⨯=)(，则规定n m ij c AB ⨯=)(其中kj ik j i j i ij b a b a b a c +++= 2211 ),,2,1;,,2,1(n j m i == 由此定义可知，只有当左矩阵A 的列数与右矩阵B 的行数相等时，AB 才有意义，而且矩阵AB 的行数为A 的行数，AB 的列数为B 的列数，而矩阵AB 中的元素是由左矩阵A 中某一行元素与右矩阵B 中某一列元素对应相乘再相加而得到.故矩阵乘法与普通数的乘法有所不同，一般地： ①不满足交换律，即BA AB ≠②在0=AB 时，不能推出0=A 或0=B ，因而也不满足消去律. 特别，若矩阵A 与B 满足BA AB =，则称A 与B 可交换，此时A 与B 必为同阶方阵.矩阵乘法满足结合律，分配律及与数乘的结合律. 5．方阵的乘幂与多项式方阵 设A 为n 阶方阵，则规定m A AA A =m 个特别E A =0又若1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++，则规定1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++++称)(A f 为A 的方阵多项式，它也是一个n 阶方阵 6．矩阵的转置设A 为一个n m ⨯矩阵，把A 中行与列互换，得到一个m n ⨯矩阵，称为A 的转置矩阵，记为T A ，转置运算满足以下运算律：A A T =T )(，T T TB A B A +=+)(，T T kA kA =)(，T T T A B AB =)(由转置运算给出对称矩阵，反对称矩阵的定义设A 为一个n 阶方阵，若A 满足A A T =，则称A 为对称矩阵，若A 满足A A T -=，则称A 为反对称矩阵.7．方阵的行列式矩阵与行列式是两个完全不同的概念，但对于n 阶方阵，有方阵的行列式的概念.设)(ij a A =为一个n 阶方阵，则由A 中元素构成一个n 阶行列式nij a ，称为方阵A 的行列式，记为A 方阵的行列式具有下列性质：设A ，B 为n 阶方阵，k 为数，则 ①A A T =； ②A k kA n = ③B A AB ⋅= （三）方阵的逆矩阵 1．可逆矩阵的概念与性质设A 为一个n 阶方阵，若存在另一个n 阶方阵B ，使满足E BA AB ==，则把B 称为A 的逆矩阵，且说A 为一个可逆矩阵，意指A 是一个可以存在逆矩阵的矩阵，把A 的逆矩阵B 记为1-A ，从而A 与1-A 首先必可交换，且乘积为单位方阵E.逆矩阵具有以下性质：设A ，B 为同阶可逆矩阵，0≠k 为常数，则①1-A 是可逆矩阵，且A A =--11)(；②AB 是可逆矩阵，且111)(---=A B AB ；③kA 是可逆矩阵，且111)(--=A kkA④T A 是可逆矩阵，且T T A A )()(11--=⑤可逆矩阵可从矩阵等式的同侧消去，即设P 为可逆矩阵，则B A PB PA =⇔= B A BP AP =⇔= 2．伴随矩阵设)(ij a A =为一个n 阶方阵，ij A 为A 的行列式nij a A =中元素ij a 的代数余子式，则矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn nn n n A A A A A A A A A 212221212111称为A 的伴随矩阵，记为*A （务必注意*A 中元素排列的特点）伴随矩阵必满足E A A A AA ==**1*-=n A A （n 为A 的阶数）3．n 阶阵可逆的条件与逆矩阵的求法定理：n 阶方阵A 可逆⇔0≠A ，且*11A AA =-推论：设A ，B 均为n 阶方阵，且满足E AB =，则A ，B 都可逆，且B A =-1，A B =-1例1 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A （1）求A 的伴随矩阵*A（2）a ，b ，c ，d 满足什么条件时，A 可逆？此时求1-A解：（1）对二阶方阵A ，求*A 的口诀为“主交换，次变号”即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a c b d A *（2）由bc ad d c b a A -==，故当0≠-bc ad 时，即0≠A ，A 为可逆矩阵 此时⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-a c b d bc ad A A A 11*1 (四)分块矩阵1.分块矩阵的概念与运算 对于行数和列数较高的矩阵，为了表示方便和运算简洁，常用一些贯穿于矩阵的横线和纵线把矩阵分割成若干小块，每个小块叫做矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵叫做分块矩阵.在作分块矩阵的运算时，加、减法，数乘及转置是完全类似的，特别在乘法时，要注意到应使左矩阵A 的列分块方式与右矩阵B 的行分块方式一致，然后把子块当作元素来看待，相乘时A 的各子块分别左乘B 的对应的子块.2．准对角矩阵的逆矩阵形如 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r A A A 21的分块矩阵称为准对角矩阵，其中r A A A ,,,21 均为方阵空白处都是零块.若r A A A ,,,21 都是可逆矩阵，则这个准对角矩阵也可逆，并且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----11211121r r A A A A A A ( 五)矩阵的初等变换与初等方阵1.初等变换对一个矩阵A 施行以下三种类型的变换，称为矩阵的初等行（列）变换，统称为初等变换，（1）交换A 的某两行（列）；（2）用一个非零数k 乘A 的某一行（列）；（3）把A 中某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上.注意：矩阵的初等变换与行列式计算有本质区别，行列式计算是求值过程，用等号连接，而对矩阵施行初等变换是变换过程用“→”连接前后矩阵.初等变换是矩阵理论中一个常用的运算，而且最常见的是利用矩阵的初等行变换把矩阵化成阶梯形矩阵，以至于化为行简化的阶梯形矩阵.2.初等方阵由单位方阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵. 由于初等变换有三种类型，相应的有三种类型的初等方阵，依次记为ij P ，)(k D i 和)(k T ij ，容易证明，初等方阵都是可逆矩阵，且它们的逆矩阵还是同一类的初等方阵.3．初等变换与初等方阵的关系设A 为任一个矩阵，当在A 的左边乘一个初等方阵的乘积相当于对A 作同类型的初等行变换；在A 的右边乘一个初等方阵的乘积相当于对A 作同类型的初等列变换.4．矩阵的等价与等价标准形若矩阵A 经过若干次初等变换变为B ，则称A 与B 等价，记为B A ≅ 对任一个n m ⨯矩阵A ，必与分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O O O E r 等价，称这个分块矩阵为A 的等价标准形.即对任一个n m ⨯矩阵A ，必存在n 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，使得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O O O E PAQ r 5．用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵设A 为任一个n 阶可逆矩阵，构造n n 2⨯矩阵（A ，E ）然后 ),(),(1-→A E E A注意：这里的初等变换必须是初等行变换.例2 求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=421412311A 的逆矩阵解：()()()122113211311213322113100113100(,)214010012210124001011101101110100421012210010412001311001311A E ⨯-+⨯+⨯+⨯-+⨯-+⨯+--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭行行行行行行行行行行行行 则 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-1132141241A例3 求解矩阵方程⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----213411421412311X解：令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=213411,421412311B A ，则矩阵方程为B AX =，这里A 即为例2中矩阵，是可逆的，在矩阵方程两边左乘1-A ，得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----==-2052032134111132141241B A X也能用初等行变换法，不用求出1A -，而直接求B A 1-),(201005201003001214213441211311),(1B A E B A -=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=则 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-2052031B A X（六）矩阵的秩1.秩的定义设A 为n m ⨯矩阵，把A 中非零子式的最高阶数称为A 的秩，记为秩)(A 或)(A r零矩阵的秩为0，因而{}n m A ,m in )(0≤≤秩，对n 阶方阵A ，若秩n A =)(，称A 为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵.1.秩的求法由于阶梯形矩阵的秩就是矩阵中非零行的行数，又矩阵初等变换不改变矩阵的秩.对任一个矩阵A ，只要用初等行变换把A 化成阶梯形矩阵T ，则秩(A)=秩(T)=T 中非零行的行数.3．与满秩矩阵等价的条件n 阶方阵A 满秩⇔A 可逆，即存在B ，使E BA AB ==⇔A 非奇异，即0≠A⇔A 的等价标准形为E⇔A 可以表示为有限个初等方阵的乘积⇔齐次线性方程组0=AX 只有零解⇔对任意非零列向量b ，非齐次线性方程组b AX =有唯一解⇔A 的行（列）向量组线性无关⇔A 的行（列）向量组为n R 的一个基⇔任意n 维行（列）向量均可以表示为A 的行（列）向量组的线性组合，且表示法唯一.⇔A 的特征值均不为零⇔A A T 为正定矩阵.（七）线性方程组的消元法.对任一个线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a22112222212111212111 可以表示成矩阵形式b AX =，其中n m ij a A ⨯=)(为系数矩阵，T m b b b b ),,,(21 =为常数列矩阵，T n x x x X ),,,(21 =为未知元列矩阵.从而线性方程组b AX =与增广矩阵),(b A A =一一对应.对于给定的线性方程组，可利用矩阵的初等行变换，把它的增广矩阵化成简化阶梯形矩阵，从而得到易于求解的同解线性方程组，然后求出方程组的解.第三章 向量空间（一）n 维向量的定义与向量组的线性组合1.n 维向量的定义与向量的线性运算由n 个数组成的一个有序数组称为一个n 维向量，若用一行表示，称为n 维行向量，即n ⨯1矩阵，若用一列表示，称为n 维列向量，即1⨯n 矩阵与矩阵线性运算类似，有向量的线性运算及运算律.2．向量的线性组合设m ααα,,,21 是一组n 维向量，m k k k ,,,21 是一组常数，则称m m k k k ααα+++ 2211为m ααα,,,21 的一个线性组合，常数m k k k ,,,21 称为组合系数.若一个向量β可以表示成m m k k k αααβ+++= 2211则称β是m ααα,,,21 的线性组合，或称β可用m ααα,,,21 线性表出.3．矩阵的行、列向量组设A 为一个n m ⨯矩阵，若把A 按列分块，可得一个m 维列向量组称之为A 的列向量组.若把A 按行分块，可得一个n 维行向量组称之为A 的行向量组.4．线性表示的判断及表出系数的求法.向量β能用m ααα,,,21 线性表出的充要条件是线性方程组βααα=+++m m x x x 2211有解，且每一个解就是一个组合系数. 例1 问T )5,1,1(-=β能否表示成T )3,2,1(1=α，T )4,1,0(2=α，T )6,3,2(3=α的线性组合？解：设线性方程组为 βααα=++332211x x x对方程组的增广矩阵作初等行变换：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==110020101001564313121201),,,(),(321βαααβA则方程组有唯一解1,2,1321-===x x x所以β可以唯一地表示成321,,ααα的线性组合，且3212αααβ-+=（一）向量组的线性相关与线性无关1.线性相关性概念设m ααα,,,21 是m 个n 维向量，如果存在m 个不全为零的数m k k k ,,,21 ，使得02211=+++m m k k k ααα ，则称向量组m ααα,,,21 线性相关，称m k k k ,,,21 为相关系数.否则，称向量m ααα,,,21 线性无关.由定义可知，m ααα,,,21 线性无关就是指向量等式02211=+++m m k k k ααα 当且仅当021====m k k k 时成立.特别 单个向量α线性相关⇔0=α；单个向量α线性无关⇔0≠α2．求相关系数的方法设m ααα,,,21 为m 个n 维列向量，则m ααα,,,21 线性相关⇔m 元齐次线性方程组02211=+++m m x x x ααα 有非零解，且每一个非零解就是一个相关系数⇔矩阵),,,(21m A ααα =的秩小于m例2 设向量组123(2,1,7),(1,4,11),(3,6,3)T T T ααα=-==-，试讨论其线性相关性.解：考虑方程组0332211=++αααx x x其系数矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==0001102013117641312),,(321αααA于是，秩32)(<=A ，所以向量组线性相关，与方程组同解的方程组为⎩⎨⎧=-=+0023231x x x x 令13=x ，得一个非零解为1,1,2321==-=x x x则02321=++-ααα3．线性相关性的若干基本定理定理1 n 维向量组m ααα,,,21 线性相关⇔至少有一个向量是其余向量的线性组合.即m ααα,,,21 线性无关⇔任一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.定理2 如果向量组m ααα,,,21 线性无关，又m αααβ,,,,21 线性相关，则β可以用m ααα,,,21 线性表出，且表示法是唯一的.定理3 若向量组中有部分组线性相关，则整体组也必相关，或者整体无关，部分必无关.定理4 无关组的接长向量组必无关.（三）向量组的极大无关组和向量组的秩1．向量组等价的概念若向量组S 可以由向量组R 线性表出，向量组R 也可以由向量组S 线性表出，则称这两个向量组等价.2．向量组的极大无关组设T 为一个向量组，若存在T 的一个部分组S ，它是线性无关的，且T 中任一个向量都能由S 线性表示，则称部分向量组S 为T 的一个极大无关组.显然，线性无关向量组的极大无关组就是其本身.对于线性相关的向量组，一般地，它的极大无关组不是唯一的，但有以下性质：定理1 向量组T 与它的任一个极大无关组等价，因而T 的任意两个极大无关组等价.定理2 向量组T 的任意两个极大无关组所含向量的个数相同.3．向量组的秩与矩阵的秩的关系把向量组T 的任意一个极大无关组中的所含向量的个数称为向量组T 的秩.把矩阵A 的行向量组的秩，称为A 的行秩，把A 的列向量组的秩称为A 的列秩.定理：对任一个矩阵A ，A 的列秩=A 的行秩=秩（A ）此定理说明，对于给定的向量组，可以按照列构造一个矩阵A ，然后用矩阵的初等行变换法来求出向量组的秩和极大无关组.例3 求出下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表出：)3,4,4,2(),3,4,1,2(),6,6,1,1(),9,2,,2,1(),7,2,1,1(54321==--=---=-=ααααα解：把所有的行向量都转置成列向量，构造一个54⨯矩阵，再用初等行变换把它化成简化阶梯形矩阵()B A TT T T T =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------==1000001100010100000133697446224112122111,,,,54321ααααα易见B 的秩为4，A 的秩为4，从而秩{}4,,,,54321=ααααα，而且B 中主元位于第一、二、三、五列，那么相应地5321,,,αααα为向量组的一个极大无关组，而且324ααα--=（四）向量空间1．向量空间及其子空间的定义定义1 n 维实列向量全体（或实行向量全体）构成的集合称为实n 维向量空间，记作n R定义2 设V 是n 维向量构成的非空集合，若V 对于向量的线性运算封闭，则称集合V 是n R 的子空间，也称为向量空间.1.向量空间的基与维数设V 为一个向量空间，它首先是一个向量组，把该向量组的任意一个极大无关组称为向量空间V 的一个基，把向量组的秩称为向量空间的维数.显然，n 维向量空间n R 的维数为n ，且n R 中任意n 个线性无关的向量都是n R 的一个基.3. 向量在某个基下的坐标设r ααα,,,21 是向量空间V 的一个基，则V 中任一个向量α都可以用r ααα,,,21 唯一地线性表出，由r 个表出系数组成的r 维列向量称为向量α在此基下的坐标.第四章 线性方程组（一）线性方程组关于解的结论定理1 设b AX =为n 元非齐次线性方程组，则它有解的充要条件是)(),(A r b A r =定理2 当n 元非齐次线性方程组b AX =有解时，即r A r b A r ==)(),(时，那么（1）b AX =有唯一解⇔n r =； （2）b AX =有无穷多解⇔n r <.定理3 n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解的充要条件是n r A r <=)(推论1 设A 为n 阶方阵，则n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解⇔0=A推论2 设A 为n m ⨯矩阵，且n m <，则n 元齐次线性方程组必有非零解（二）齐次线性方程组解的性质与解空间首先对任一个线性方程组，我们把它的任一个解用一个列向量表示，称为该方程组的解向量，也简称为方程组的解.考虑由齐次线性方程组0=AX 的解的全体所组成的向量集合{}0==ξξA V显然V 是非空的，因为V 中有零向量，即零解，而且容易证明V 对向量的加法运算及数乘运算封闭，即解向量的和仍为解，解向量的倍数仍为解，于是V 成为n 维列向量空间n R 的一个子空间，我们称V 为方程组0=AX 的解空间（三）齐次线性方程组的基础解系与通解把n 元齐次线性方程组0=AX 的解空间的任一个基，称为该齐次线性方程组的一个基础解系.当n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解时，即n r A r <=)(时，就一定存在基础解系，且基础解系中所含有线性无关解向量的个数为r n -求基础解系与通解的方法是：对方程组0=AX 先由消元法，求出一般解，再把一般解写成向量形式，即为方程组的通解，从中也能求出一个基础解系.例1 求⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+-+0022*********43214321x x x x x x x x x x x x 的通解解：对系数矩阵A ，作初等行变换化成简化阶梯形矩阵：12212310341034321211110145111111110000A ⨯⨯⨯⨯---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭行(-1)+2行行(-1)+3行3行(-1)+1行1行(-1)+2行 42)(<=A r ，有非零解，取43,x x 为自由未知量，可得一般解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+-=-=4433432431,54,43x x x x x x x x x x 写成向量形式，令13k x =，24k x =为任意常数，则通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1054014321k k X可见，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1054,014321ξξ为方程组的一个基础解系.（四） 非齐次线性方程组1.非齐次线性方程组与它对应的齐次线性方程组（即导出组）的解之间的关系设b AX =为一个n 元非齐次线性方程组，0=AX 为它的导出组，则它们的解之间有以下性质：性质1 如果21,ηη是b AX =的解，则21ηηξ-=是0=AX 的解 性质2 如果η是b AX =的解，ξ是0=AX 的解，则ηξ+是b AX =的解由这两个性质，可以得到b AX =的解的结构定理：定理 设A 是n m ⨯矩阵，且r A r b A r ==)(),(，则方程组b AX =的通解为r n r n k k k X --++++=ξξξη 2211*其中*η为b AX =的任一个解（称为特解）,r n -ξξξ,,,21 为导出组0=AX 的一个基础解系.2．求非齐次线性方程组的通解的方法对非齐次线性方程组b AX =，由消元法求出其一般解，再把一般解改写为向量形式，就得到方程组的通解.例2 当参数a ，b 为何值时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=--+-=++=+++1232)3(122043214324324321ax x x x b x x a x x x x x x x x有唯一解？有无穷多解？无解？在有无穷多解时，求出通解. 解：对方程组的增广矩阵施行初等行变换，把它化成阶梯形矩阵：()()23424111110111100122101221(,)01320010132110123110111012210010100010A b a b a b a a a b a +⨯++⨯+⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪=→⎪⎪----+ ⎪⎪-----⎝⎭⎝⎭---⎛⎫⎪⎪→ ⎪-+ ⎪-⎝⎭行行１行-3行行行2行-1行当1≠a 时，4)(),(==A r b A r ，有唯一解； 当1,1≠=b a 时，3),(=b A r ，2)(=A r ，无解； 当1,1-==b a 时，2)(),(==A r b A r ，有无穷多解.此时，方程组的一般解为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--=++-=44334324312211x x x x x x x x x x 令2413,k x k x ==为任意常数，故一般解为向量形式，得方程组通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10210121001121k k X第五章 特征值和特征向量I 考试大纲要求1、考试内容：矩阵的特征值和特征向量的概念、性质、计算方法和相似变换；矩阵的相似关系及性质；矩阵可对角化的判别及相似对角矩阵；实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。
线性代数自考(经管类)
3．对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开.
4．行列式中各行元素之和为一个常数的类型.
5.范德蒙行列式的计算公式
例6求4阶行列式的值.
测试点 行列式的计算
解
测试点 个维向量线性无关相应的行列式;
解
所以 且.
答案 且.
2. 关于线性相关的几个定理
1) 如果向量组线性无关,而线性相关,则可由线性表示,且表示法唯一.
矩阵的加、减、乘有意义的充分必要条件
例1设矩阵,， ，则下列矩阵运算中有意义的是（ ）
A． B．
C． D．
测试点: 矩阵相乘有意义的充分必要条件
答案: B
例2设矩阵， ，则 =_____________.
测试点: 矩阵运算的定义
解 .
例3设矩阵， ，则____________.
3．转置 对称阵和反对称阵
1）转置的性质
2）若，则称为对称（反对称）阵
例4矩阵为同阶方阵，则=（ ）
A． B．
C． D．
答案: B
例5设令,试求.
测试点 矩阵乘法的一个常用技巧
解 因为,所以
答案
例6为任意阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ ）
1．向量组的线性相关性的定义和充分必要条件：
1）定义: 设是一组维向量.如果存在个不全为零的数，使得
,
则称向量组线性相关，否则，即如果，必有
，则称向量组线性无关.
2) 个维向量线性相关的充分必要条件是至少存在某个是其余向量的线性组合.即线性无关的充分必要条件是其中任意一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.
线性代数教案第一章第一节
计
（15 分钟） （3 分钟）
a 13 a 23 a 33
（2）给出一个三元线性方程组，引导学生，让学生自己用行列式的形式写出
其解的形式。
（5 分钟） （7 分钟）
（3）给出计算三阶行列式的方法（对角线法则）
a 11 a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
简介本课程的基本情况 ↓ 由引例引出二阶行列式 ↓
教 学 过 程 示 意 图
给出二阶行列式的定义 ↓ 举例、练习 ↓ 给出三阶行列式的定义 ↓ 练习、交流 ↓ 师生总结
1 简介本ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程的基本情况
（20 分钟）
（1）介绍本课程的知识结构、教学要求及重点难点。 （15 分钟） 目的是让学生对该课程有个大体的认识，学习的时候做到心中有数。 （2）提出本学期对大家的一些基本要求。 分钟） （5 2 二阶行列式的引入 （20 分钟） （1）给出一个引例：用消元法解二元一次线性方程组
山西农业大学信息学院《线性代数》教案
编 号
章 节 教学目的 课 时
第一章 行列式 第一节 二阶、三阶行列式 了解二阶、三阶行列式的定义；掌握对角线法则；掌握运用二、三阶行列式 求解二、三元线性方程组的方法。 2 学时
教学方法
讲授
教具
粉笔
黑板擦
彩色粉笔
重点：二、三阶行列式的定义；对角线法则
重点 难点
难点：对角线法则
a 13 a 23 a 33
7 举例、练习、交流、反馈 给出指导。
（30 分钟）
（1）举例，练习。给学生一定的思考时间，教师随堂检查，与学生进行交流， （2）针对发现的问题，随堂进行讲解。 8 小结 （5 分钟） (1) 用提问互动的方式，和学生共同对本节课的知识进行归纳概括。 (2)布置作业 1 引例 3 三阶行列式 3.1 定义 3.2 计算 4 练习 画图
(完整word版)线性代数行列式教案-
教案教学教案设计(续页）第一 章 行列式 §1。
1 n 阶行列式定义教学目的：使学生了解和掌握n 级排列、逆序逆序数奇排列偶排列n 阶行列式定义及行列式的计算教学重点:n 阶行列式定义及计算 教学难点:n 阶行列式定义一、导入 线性方程组和矩阵在工程技术领域里有着广泛的应用，而行列式就是研究线性方程组的求解理论和矩阵理论的重要工具。
二、新授(一) 二阶、三阶行列式对于二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a （1.1） 采用加减消元法从方程组里消去一个未知量来求解，为此： 第一个方程乘以a 22与第二个方程乘以a 12相减得(a 11a 22－a 21a 12）x 1= b 1a 22- b 2a 12第二个方程乘以a 11与第一个方程乘以a 21相减得（a 11a 22－a 21a 12)x 2=a 11b 2—a 21b 1若a 11a 22－a 21a 12≠0,方程组的解为122122111122211a a a a a b a b x --=122122*********a a a a b a b a x --= （1。
2）容易验证(1.2）式是方程组(1.1）的解.称a 11a 22－a 21a 12为二阶行列式,它称为方程组（1.1）的系数行列式，记为D 。
我们若记 2221211a b a b D =2211112b a b a D =方程组的解（1.2)式可写成 D D x 11=DDx 22=对三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （1.3） 与二元线性方程组类似，用加减消元法可求得它的解： D D x 11=D Dx 22= DD x 33= 111213212223313233112233122331132132112332122133132231a a a Da a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a （1。
线性代数教案_第一章_行列式
授课章节行列式§1.1 n阶行列式目的要求理解二阶与三阶行列式,了解全排列及其逆序数。
重点二阶与三阶行列式计算，行列式的性质，克拉默法则难点n阶行列式的计算，克拉默法则行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，是线性代数中的一个基本概念，它在线性代数、其他数学分支以及在自然科学的许多领域中上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问题：(1) 行列式的定义；(2) 行列式的基本性质及计算方法；(3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)．本章的重点是行列式的计算，要求在理解n阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n阶行列式．计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法．行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件．§1 n阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式解方程是代数中一个基本的问题，行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题．下面考察二元一次方程组（1.1）当时，由消元法知此方程组有唯一解，即（1.2）可见，方程组的解完全可由方程组中的未知数系数以及常数项表示出来，这就是一般二元线性方程组的解公式。
但这个公式很不好记忆，应用时十分不方便。
由此可想而知，多元线性方程组的解公式肯定更为复杂。
因此，我们引进新的符号来表示上述解公式，这就是行列式的起源。
1、二阶行列式：由4个数及双竖线组成的符号称为二阶行列式。
注：(1)构成：二阶行列式含有两行，两列。
横排的数构成行，纵排的数构成列。
行列式中的数（）称为行列式的元素。
自考04184线性代数(经管类)讲义
自考高数线性代数课堂笔记第一章行列式线性代数学的核心内容是：研究线性方程组的解的存在条件、解的结构以及解的求法。
所用的基本工具是矩阵，而行列式是研究矩阵的很有效的工具之一。
行列式作为一种数学工具不但在本课程中极其重要，而且在其他数学学科、乃至在其他许多学科（例如计算机科学、经济学、管理学等）都是必不可少的。
1.1行列式的定义（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义（1）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。
注意：在线性代数中，符号不是绝对值。
例如，且；（2）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。
（主对角线减次对角线的乘积）例如（3）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为例如=0三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。
我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。
例如：（1）=1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0（2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如例1a为何值时，[答疑编号10010101：针对该题提问]解因为所以8-3a=0，时例2当x取何值时，[答疑编号10010102：针对该题提问]解：解得0<x<9所以当0<x<9时，所给行列式大于0。
第一章1,2,3节线性代数教案
第一章 行列式主要内容：排列N 阶行列式行列式的性质 行列式的计算 行列式展开定理 Cramer 法则§1.1 二阶与三阶行列式一、二阶行列式二元线性方程组11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩(1)(2)用消元法解：22(1):a ⨯1122112222122,a a x a a x b a +=12(2):a ⨯1221112222212,a a x a a x b a +=两式相减消去2x 得：112212*********();a a a a x b a a b -=- 类似地，消去1x 得：112212212112121(),a a a a x a b b a -=- 所以当112212210a a a a -≠时，方程组的有解：122122*********b a a b x a a a a -=-，112121*********.a b b ax a a a a -=- (3)引入行列式记号11122122a a a a 11221221a a a a =-，其中称ij a 为二阶行列式的元素， i 为行标，j为列标，其计算遵循对角线法则，即主对角线元素乘积减去副对角线元素的乘积。
从而上面二元线性方程组的解122122*********b a a b x a a a a -=-，112121211221221a b b ax a a a a -=-可以表示为：112222111122122,b a b a x a a a a = 111122211122122a b a b x a a a a =(4) 例1：求解二元线性方程组1212321221x x x x -=⎧⎨+=⎩解：由于323(4)70,21D -==--=≠ 112212(2)14,11D -==--= 231232421,21D ==-=- 因此，11142,7D x D === 22213.7D x D -===- 二、三阶行列式三元线性方程组111122133121122223323113223333a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ (5) 同样可以用消元法求解，分析其解的结构后引入三阶行列式记号：111213212223313233a a a a a a a a a =112233122331132132a a a a a a a a a ++112332122133132231a a a a a a a a a ---，其计算遵循对角线法则。
线性代数第一章教案
线性代数教案第一章 行列式行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问题：(1) 行列式的定义；(2) 行列式的基本性质及计算方法；(3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)．本章的重点是行列式的计算，要求在理解n 阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n 阶行列式．计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法．行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件．重点：行列式性质；行列式的计算。
难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。
§1.1 二阶与三阶行列式行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题．设有二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22221211112111b x a x a b x a x a (1)用加减消元法容易求出未知量x 1，x 2的值，当a 11a 22 – a 12a 21≠0 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=211222112112112211222112122211a a a a a b b a x a a a a b a a b x (2)这就是一般二元线性方程组的公式解．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源．我们称4个数组成的符号2112221122211211a a a a a a a a -=为二阶行列式．它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素．从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号．根据定义，容易得知(2) 中的两个分子可分别写成222121212221a b a b b a a b =-，221111211211b a b a a b b a =-，如果记22211211a a a a D =，2221211a b a b D =，2211112b a b a D =则当D ≠0时，方程组(1) 的解(2)可以表示成2221121122212111a a a a a b a b DD x ==， 2221121122111122a a a a b a b a D D x ==， (3) 象这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆．首先(3) 中分母的行列式是从(1) 式中的系数按其原有的相对位置而排成的．分子中的行列式，x 1的分子是把系数行列式中的第1列换成(1)的常数项得到的，而x 2的分子则是把系数行列式的第2列换成常数项而得到的．例1 用二阶行列式解线性方程组⎩⎨⎧=+=+231422121x x x x 解：这时 0214323142≠=⨯-⨯==D ，5243132411-=⨯-⨯==D ，3112221122=⨯-⨯==D ，因此，方程组的解是2511-==D D x ，2322==D D x ， 对于三元一次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (4)作类似的讨论，我们引入三阶行列式的概念．我们称符号312213332112322311322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++= (5)为三阶行列式，它有三行三列，是六项的代数和．这六项的和也可用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素的乘积取正号，从右上角到左下角三个元素的乘积取负号．例2 532134212- 1062012242301325)4(123223)4(211532=-+--+==⨯⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯⨯-+⨯⨯+⨯⨯=令 333231232221131211a a a a a aa a a D = 3332323222131211a a b a a b a a b D =，3333123221131112a b a a b a a b a D =，3323122221112113b a a b a a b a a D =． 当 D ≠0时，(4)的解可简单地表示成D D x 11=，D Dx 22=，DD x 33= (6)它的结构与前面二元一次方程组的解类似．例3 解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=+-423152302321321321x x x x x x x x x 解：28231523112=---=D ， 132345211101=---=D ， 472415131022=--=D ， 21431123123=-=D ． 所以，281311==D D x ，284722==D D x ，43282133===D D x ．例4 已知010100=-a bb a，问a ，b 应满足什么条件？(其中a ，b 均为实数)． 解：2210100b a a b b a +=-，若要a 2+b 2=0，则a 与b 须同时等于零．因此，当a =0且b =0时给定行列式等于零．为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n 阶行列式的概念，为此，先介绍排列的有关知识．§1.2 排列在n 阶行列式的定义中，要用到排列的某些知识，为此先介绍排列的一些基本知识． 定义1 由数码1，2，…，n 组成一个有序数组称为一个n 级排列．例如，1234是一个4级排列，3412也是一个4级排列，而52341是一个5级排列．由数码1，2，3组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3!=6个．数字由小到大的n 级排列1234…n 称为自然序排列．定义2 在一个n 级排列i 1i 2…i n 中，如果有较大的数 i t 排在较小的数 i s 的前面(i s <i t )， 则称i t 与i s 构成一个逆序，一个n 级排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记作N (i 1i 2…i n )．例如， 在4 级排列3412中， 31，32，41，42，各构成一个逆序数，所以，排列3412的逆序数为N (3412)=4．同样可计算排列52341的逆序数为N (52341)=7．容易看出， 自然序排列的逆序数为0．定义3 如果排列i 1i 2…i n 的逆序数N (i 1i 2…i n )是奇数，则称此排列为奇排列，逆序数是偶数的排列则称为偶排列．例如，排列3412是偶排列．排列52341是奇排列． 自然排列123…n 是偶排列． 定义4 在一个n 级排列i 1…i s …i t …i n 中， 如果其中某两个数i s 与i t 对调位置，其余各数位置不变，就得到另一个新的n 级排列i 1…i t …i s …i n ，这样的变换称为一个对换，记作(i s ，i t )．如在排列3412中，将4与2对换， 得到新的排列3214． 并且我们看到：偶排列3412经过4与2的对换后，变成了奇排列3214． 反之，也可以说奇排列3214经过2与4的对换后，变成了偶排列3412．一般地，有以下定理：定理1 任一排列经过一次对换后，其奇偶性改变．证明：首先讨论对换相邻两个数的情况，该排列为：a 1a 2…a l i jb 1b 2…b mc 1c 2…c n将相邻两个数i 与j 作一次对换，则排列变为a 1a 2…a l j ib 1 b 2…b mc 1c 2…c n显然对数a 1，a 2，…a l ，b 1，b 2，…，b m 和c 1c 2…c n 来说，并不改变它们的逆序数．但当i<j 时， 经过i 与j 的对换后，排列的逆序数增加1个；当i >j 时，经过i 与j 的对换后，排列的逆序数减少1个．所以对换相邻两数后，排列改变了奇偶性．再讨论一般情况，设排列为a 1a 2…a l ib 1b 2…b m jc 1c 2…c n将i 与j 作一次对换，则排列变为a 1a 2…a l jb 1b 2…b m ic 1 c 2…c n这就是对换不相邻的两个数的情况．但它可以看成是先将i 与b 1对换，再与b 2对换，…，最后与b m 的对换，即i 与它后面的数作m 次相邻两数的对换变成排列a 1a 2…a lb 1b 2…b m i jc 1…c n然后将数j 与它前面的数i ，b m …，b 1作m +1次相邻两数的对换而成．而对换不相邻的数i 与j (中间有m 个数)，相当于作2m +1次相邻两数的对换．由前面的证明知，排列的奇偶性改变了2m +1次，而2m +1为奇数，因此，不相邻的两数i ，j 经过对换后的排列与原排列的奇偶性不同．定理2 在所有的n 级排列中(n ≥2)，奇排列与偶排列的个数相等，各为2!n 个．证明：设在n !个n 级排列中，奇排列共有p 个，偶排列共有q 个．对这p 个奇排列施以同一个对换，如都对换(1，2)，则由定理1知p 个奇排列全部变为偶排列，由于偶排列一共只有q 个，所以p ≤q ；同理将全部的偶排列施以同一对换(1，2)，则q 个偶排列全部变为奇排列，于是又有q ≤p ，所以q = p ，即奇排列与偶排列的个数相等．又由于n 级排列共有n !个，所以q + p = n !，2!n p q ==．定理3 任一n 级排列i 1i 2…i n 都可通过一系列对换与n 级自然序排列12…n 互变，且所作对换的次数与这个n 级排列有相同的奇偶性．证明：对排列的级数用数学归纳法证之． 对于2级排列，结论显然成立．假设对n –1级排列，结论成立，现在证明对于n 级排列，结论也成立．若i n =n ，则根据归纳假设i 1i 2…i n –1是n –1级排列，可经过一系列对换变成12…(n –1)，于是这一系列对换就把i 1i 2…i n 变成12…n ．若i n ≠n ，则先施行i n 与n 的对换，使之变成i 1'i 2'…'i 'n –1n ，这就归结成上面的情形．相仿地，12…n 也可经过一系列对换变成i 1i 2…i n ，因此结论成立．因为12…n 是偶排列，由定理1可知，当i 1i 2…i n 是奇(偶)排列时，必须施行奇(偶)数次对换方能变成偶排列，所以，所施行对换的次数与排列i 1i 2…i n 具有相同的奇偶性．思考：1．决定i 、j 的值，使 (1) 1245i 6j 97为奇排列； (2) 3972i 15j 4为偶排列．2．排列n (n –1)(n –2)…321经过多少次相邻两数对换变成自然顺序排列？§1.3 n 阶行列式本节我们从观察二阶、三阶行列式的特征入手．引出n 阶行列式的定义． 已知二阶与三阶行列式分别为2112221122211211a a a a a a a a -=312213332112322311322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++= 其中元素a ij 的第一个下标i 表示这个元素位于第i 行，称为行标，第二个下标j 表示此元素位于第j 列，称为列标．我们可以从中发现以下规律：(1) 二阶行列式是2！项的代数和，三阶行列式是3！项的代数和；(2) 二阶行列式中每一项是两个元素的乘积，它们分别取自不同的行和不同的列，三阶行列式中的每一项是三个元素的乘积，它们也是取自不同的行和不同的列；(3) 每一项的符号是：当这一项中元素的行标是按自然序排列时，如果元素的列标为偶排列，则取正号；为奇排列，则取负号．作为二、三阶行列式的推广我们给出n 阶行列式的定义．定义1 由排成n 行n 列的n 2个元素a ij (i ，j =1，2，…，n )组成的符号nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211称为n 阶行列式．它是n !项的代数和，每一项是取自不同行和不同列的n 个元素的乘积，各项的符号是：每一项中各元素的行标排成自然序排列，如果列标的排列为偶排列时，则取正号；为奇排列，则取负号．于是得nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211＝∑n j j j 21n n nj j j j j j N a a a 212121)()1(- (1)其中∑nj j j 21表示对所有的n 级排列j 1j 2…j n 求和．(1)式称为n 阶行列式按行标自然顺序排列的展开式．)(21)1(n j j j N -n nj j j a a a 2121称为行列式的一般项．当n =2、3时，这样定义的二阶、三阶行列式与上面§1.1中用对角线法则定义的是一致的．当n =1时，一阶行列为|a 11|= a 11．如当n =4时，4阶行列式44342414434241333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a 表示4！=24项的代数和，因为取自不同行、不同列4个元素的乘积恰为4！项．根据n 阶行列式的定义，4阶行列式为44342414434241333231232221131211 a a a a a a a a a a a a a a a a ∑-４４４＝j j j j j j j j j j j N a a a a 213214321321)()1( 例如a 14a 23a 31a 42行标排列为1234，元素取自不同的行；列标排列为4312，元素取自不同的列，因为N (4312)=5，所以该项取负号，即–a 14a 23a 31a 42是上述行列式中的一项．为了熟悉n 阶行列式的定义，我们来看下面几个问题． 例1 在5阶行列式中，a 12a 23a 35a 41a 54这一项应取什么符号？解：这一项各元素的行标是按自然顺序排列的，而列标的排列为23514． 因 N (23514)=4，故这一项应取正号．例2 写出4阶行列式中，带负号且包含因子a 11a 23的项． 解：包含因子a 11a 23项的一般形式为４４j j j j N a a a a 34332311)13()1(-按定义，j 3可取2或4，j 4可取4或2，因此包含因子a 11a 23的项只能是a 11a 23a 32a 44或a 11a 23a 34a 42但因 N (1324)=1为奇数N (1342)=2为偶数所以此项只能是 –a 11a 23a 32a 44．例3 计算行列式hgvuf e y x d c b a 0000解 这是一个四阶行列式，按行列式的定义，它应有4!=24项．但只有以下四项adeh ，adfg ，bceh ，bcfg不为零．与这四项相对应得列标的4级排列分别为1234，1243，2134和2143，而N (1234)=0，N (1243)=1，N (2134)=1和N (2143)=2，所以第一项和第四项应取正号，第二项和第三项应取负号，即hgvuf e y x d c b a 0000= adeh –adfg –bceh +bcfg例4 计算上三角形行列式nnnn a a a a a a D 21221211 000=其中a ii ≠０ (i =1， 2，…， n )．解：由n 阶行列式的定义，应有n !项，其一般项为nnj j j a a a 2121但由于D 中有许多元素为零，只需求出上述一切项中不为零的项即可．在D 中，第n 行元素除a nn 外，其余均为０．所以j n =n ；在第n –1行中，除a n –1n –1和a n –1n 外，其余元素都是零，因而j n –1只取n –1、n 这两个可能，又由于a nn 、a n –1n 位于同一列，而j n =n ．所以只有j n –1 = n –1．这样逐步往上推，不难看出，在展开式中只有a 11a 22…a nn 一项不等于零．而这项的列标所组成的排列的逆序数是N (12…n )=0故取正号．因此，由行列式的定义有nnnn a a a a a a D 2122121100==a 11a 22…a nn 即上三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积．同理可求得下三角形行列式nnn n a a a a a a021222111=a 11a 22…a nn 特别地，对角形行列式nna a a 0002211=a 11a 22…a nn 上(下)三角形行列式及对角形行列式的值，均等于主对角线上元素的乘积．例5 计算行列式0000001121n n n a a a - 解 这个行列式除了a 1n a 2n –1…a n 1这一项外，其余项均为零，现在来看这一项的符号，列标的n 级排列为n (n –1)…21，N (n (n –1)…21)= (n –1)+ (n –2)+…+2+1=2)1(-⋅n n ，所以 0000000001121n n na a a -=11212)1()1(n n n n n a a a --- 同理可计算出000112222111211n n na a a a a a a -=nnnn n nn na a a a a a 112121000-- =11212)1()1(n n n n n a a a --- 由行列式的定义，行列式中的每一项都是取自不同的行不同的列的n 个元素的乘积，所以可得出：如果行列式有一行(列)的元素全为0，则该行列式等于0．在n 阶行列式中，为了决定每一项的正负号，我们把n 个元素的行标排成自然序排列，即n nj j j a a a 2121．事实上，数的乘法是满足交换律的，因而这n 个元素的次序是可以任意写的，一般地，n 阶行列式的项可以写成n n j i j i j i a a a 2211 (2)其中i 1i 2…i n ，j 1 j 2…j n 是两个n 阶排列，它的符号由下面的定理来决定．定理1 n 阶行列式的一般项可以写成n n n n j i j i j i j j j N i i i N a a a 22112121)()()1(+- (3)其中i 1i 2…i n ，j 1j 2…j n 都是n 级排列．证明：若根据n 阶行列式的定义来决定(2)的符号，就要把这n 个元素重新排一下，使得它们的行标成自然顺序，也就是排成''2'121n nj j j a a a (4)于是它的符号是)'''(21)1(n j jj N -现在来证明(1)与(3)是一致的．我们知道从(2)变到(4)可经过一系列元素的对换来实现．每作一次对换，元素的行标与列标所组成的排列i 1i 2…i n ，j 1j 2…j n 就同时作一次对换，也就是N (i 1i 2…i n )与N (j 1j 2…j n )同时改变奇偶性，因而它的和N (i 1i 2…i n )+N (j 1j 2…j n )的奇偶性不改变．这就是说，对(2)作一次元素的对换不改变(3)的值，因此在一系列对换之后有)'''()'''()12()()(21212121)1()1()1(n n n n j j j N j j j N n N j j j N i i i N -=--++＝这就证明了(1)与(3)是一致的．例如，a 21a 32a 14a 43是4阶行列式中一项，它和符号应为(–1)N (2314)+N (1243)= (–1)2+1= –1．如按行标排成自然顺序，就是a 14a 21a 32a 43，因而它的符号是(–1)N (4123)=(–1)3= –1同样，由数的乘法的交换律，我们也可以把行列式的一般项n nj j j a a a 2121中元素的列标排成自然顺序123…n ，而此时相应的行标的n 级排列为i 1i 2…i n ，则行列式定义又可叙述为∑-n n n i i i n i i i i i i N nnn n nna a a a a a a a a a a a 21212121)(212222111211)1(＝．思考题：1．如果n 阶行列式所有元素变号，问行列式的值如何变化？ 2．由行列式的定义计算f (x )=xx x x x111123111212-中x 4与x 3的系数，并说明理由．§1.4 行列式的性质当行列式的阶数较高时，直接根据定义计算n 阶行列式的值是困难的，本节将介绍行列式的性质，以便用这些性质把复杂的行列式转化为较简单的行列式(如上三角形行列式等)来计算．将行列式D 的行列互换后得到的行列式称为行列式D 的转置行列式，记作D T ，即若nnn n n n a a a a a a a a a D212222111211=， 则nnnn n n Ta a a a a a a a a D 212221212111=．反之，行列式D 也是行列式D T 的转置行列式，即行列式D 与行列式D T 互为转置行列式．性质１ 行列式D 与它的转置行列式D T 的值相等．证：行列式D 中的元素a ij (i ， j =1， 2， …，n )在D T 中位于第j 行第i 列上，也就是说它的行标是j ， 列标是i ，因此，将行列式D T 按列自然序排列展开，得∑-=nn n j j j nj j j j j j N T a a a D 21212121)()1(这正是行列式D 按行自然序排列的展开式．所以D =D T ．这一性质表明，行列式中的行、列的地位是对称的，即对于“行”成立的性质，对“列”也同样成立，反之亦然．性质２ 交换行列式的两行(列)，行列式变号． 证：设行列式)()(21212111211行行s i a a a a a a a a a a a a D nnn n sn s s in i i n= 将第i 行与第s 行(1≤i ＜s ≤n )互换后，得到行列式)()(212121112111行行s i a a a a a a a a a a a a D nnn n in i i sn s s n=显然，乘积n s i nj sj ij j a a a a 11在行列式D 和D 1中，都是取自不同行、不同列的n 个元素的乘积，根据§3 定理１，对于行列式D ，这一项的符号由)()1(1)1(n s i j j j j N n s i N +-决定；而对行列式D 1，这一项的符号由)()1(1)1(n s i j j j j N n i s N +-决定．而排列1…i …s …n 与排列1…s …i …n 的奇偶性相反，所以)()1(1)1(n s i j j j j N n s i N +-= –)()1(1)1(n s i j j j j N n i s N +-即D 1中的每一项都是D 中的对应项的相反数，所以D = –D 1．例１ 计算行列式53704008000051753603924--=D 解：将第一、二行互换，第三、五行互换，得504008053070392417536)1(2---=D 将第一、五列互换，得120!5543215084000753004392067531)1(3-=-=⋅⋅⋅⋅-=---=D 推论 若行列式有两行(列)的对应元素相同，则此行列式的值等于零． 证：将行列式D 中对应元素相同的两行互换，结果仍是D ，但由性质２有D = –D ， 所以D =0．性质３ 行列式某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．即nnn n in i i n nn n n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a211111211211111211= 证：由行列式的定义有 左端＝∑-nn i n j j j nj ij j j j j N a ka a 21121)()1(1)( ＝∑-nn i n j j j nj ij j j j j N a a a k211211)()1(＝右端．此性质也可表述为：用数k 乘行列式的某一行(列)的所有元素，等于用数k 乘此行列式． 推论：如果行列式中有两行(列)的对应元素成比例，则此行列式的值等于零． 证：由性质３和性质２的推论即可得到．性质４ 如果行列式的某一行 (列)的各元素都是两个数的和，则此行列式等于两个相应的行列式的和，即nnn n in i i n nn n n in i i n nnn n in in i i i i n a a a c c c a a a a a a b b b a a a a a a c b c b c b a a a21211121121211121121221111211+=+++证：左端＝∑+-nn i i n j j j nj ij ij j j j j j N a c b a a 212121)()1(21)(＝∑-nn i n j j j nj ij j j j j j N a b a a 21212121)()1(∑-+nn i n j j j nj ij j j j j j N a c a a 21212121)()1( ＝nnn n in i i n nn n n in i i n a a a c c c a a a a a a b b b a a a212111211212111211+＝右端．性质5 把行列式的某一行 (列)的所有元素乘以数k 加到另一行(列)的相应元素上，行列式的值不变．即nn n n sn s s ini i na a a a a a a a a a a a D21212111211=nnn n sn in s i s i in i i na a a a ka a ka a a a a a a a2122112111211+++ 证：由性质４右端=nn n n in i i in i i n a a a ka ka ka a a a a a a21212111211+nnn n sn s s ini i n a a a a a a a a a a a a21212111211=k ⋅０ +nnn n sn s s ini i n a a a a a a a a a a a a21212111211=左端 作为行列式性质的应用，我们来看下面几个例子．例2 计算行列式3111131111311113=D解：这个行列式的特点是各行４个数的和都是６，我们把第２、３、４各列同时加到第１列，把公因子提出，然后把第１行×(–1)加到第２、３、４行上就成为三角形行列式．具体计算如下：4826200002000020111163111131111311111631161316113611163=⨯====D例3 计算行列式011212120112110-----=D解：13211021102011)112121110011112121011110------=-----------=D 4)2()2()1(12420021102011)1(22042002110211=-⨯-⨯-⨯-=------=-⨯------=例4 试证明：011=++++=cb adb a dcd a c b d c b aD １１证：把２、３列同时加到第４列上去，则得0111111)(11=+++=++++++++++++=a dd cc b b ad c b a dc b a adb c b a d c d c b a c b d c b a b a D １１１１例5 计算n +1阶行列式xa a a a x a a a a x a a a a x D n n n 321212121= 解：将D 的第２列、第３列、…、第n+1列全加到第１列上，然后从第１列提取公因子∑=+ni iax 1得xa a a x a a a x a a a a x D n n n ni i 32222111111)(∑=+==nni i a x a a a a a x a a a x a x ------+∑= 2312212111010010001)( =)())()((211n ni ia x ax a x a x ---+∑=例6 解方程0)1(11111)2(111112111111111111=------xn xn x x解法一：×(–a 1) ×(–a 2) …… ×(–a n )=-⨯------)1( )1(11111)2(111112111111111111xn xn x x])2][()3[()1)(()2(00)3(000001000000011111x n x n x x xn xn x x------=------所以方程的解为x 1=0， x 2=1， …， x n –2=n –3， x n –1=n –2．解法二：根据性质２的推论，若行列式有两行的元素相同，行列式等于零．而所给行列式的第１行的元素全是１，第２行，第３行，…第n 行的元素只有对角线上的元素不是１，其余均为１．因此令对角线上的某个元素为１，则行列式必等于零．于是得到1–x =1 2–x =1 … (n –2)–x =1 (n –1)–x =1有一成立时原行列式的值为零．所以方程的解为x 1=0， x 2，=1，…， x n –2=n –3， x n –1=n –2．例7 计算n 阶行列式),2,1( 321213132n i a x xa a a a x a a a a x a a a a xD i n nn =≠= 解：将第1行乘以(–1)分别加到第２、３、…、n 行上得nn a x xa a x xa a x x a a a a x D ------= 0000001312132 从第一列提出x –a 1，从第二提出x –a 2，…，从第n 列提出x –a n ，便得到10101010011)())((3322121----------=nn n a x a a x a a x a a x x a x a x a x D 由,1111a x a a x x-+=-并把第２、第３、…、第n 列都加于第1列，有 100010000101)())((3322121nn n i i in a x a a x a a x a a x a a x a x a x D ----+---=∑= )1)(())((121∑=-+---=ni iin a x a a x a x a x 例8 试证明奇数阶反对称行列式000021212112=---=n nnn a a a a a a D证：D 的转置行列式为00021212112nnnn T a a a a a a D ---=从D T 中每一行提出一个公因子(–1)，于是有D a a a a a a D n n nnnnT )1(000)1(21212112-=----=，但由性质1知道D T =D∴ D =(–1)n D又由n 为奇数，所以有D = –D ， 即 2D =0， 因此 D =0．思考题：1．证明下列各题：222333111)(111c c b b a a c b a c c b b a a ++=． 2．计算下列n 阶行列式：111110000000002211n n a a a a a a ---；§1.5 行列式按一行(列)展开本节我们要研究如何把较高阶的行列式转化为较低阶行列式的问题，从而得到计算行列式的另一种基本方法——降阶法．为此，先介绍代数余子式的概念．定义 在n 阶行列式中，划去元素a ij 所在的第i 行和第j 列后，余下的元素按原来的位置构成一个n –1阶行列式，称为元素a ij 的余子式，记作Ｍij ．元素a ij 的余子式Ｍij 前面添上符号(–1)i+j 称为元素a ij 的代数余子式，记作A ij ．即A ij ＝(–1)i +j M ij ．例如：在四阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a aa a a a D = 中a 23的余子式是M 23=444241343231141211a a a a a a a a a 而 A 23=(–1)2+3M 23= –444241343231141211a a a a a a a a a 是a 23的代数余子式． 定理１ n 阶行列式D 等于它的任意一行(列)的元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即D =a i 1A i 1+a i 2A i 2+…+a in A in (i =1，2，…，n )或 D =a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a nj A nj (j=1，2，…，n )．证明：只需证明按行展开的情形，按列展开的情形同理可证． 1°先证按第一行展开的情形．根据性质４有nnn n n nnnn n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a D2122221112112122221112110000000++++++++++==nnn n nnnn n n n nnn n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a21222211212222112212222111+++= 按行列式的定义∑-=nn n j j j nj j j j j j N nnn n na a a a a a a a a a21212121)(212222111)1(0111111112)(1121221)1(A a M a a a a nn n j j j nj j j j j N ==-=∑同理12121212122212212212222112)1(00)1(00A a M a a a a a a a a a a a a a a a nnn n nnnn n n =-=-=… … …n n n n n nn n nnn nnn nnn n n n A a M a a a a a a a a a a a a a a a 1111111122121121222211)1(00)1(00=-=-=----所以 D =a 11A 11+a 12A 12+…+a 1n A 1n ．2°再证按第i 行展开的情形将第i 行分别与第i –1行、第i –2行、…、第１行进行交换，把第i 行换到第１行，然后再按１°的情形，即有22121111112111211211)1()1()1()1()1(i i i i i i nnn n nini i i M a M a a a a a a a a a a D +-+----+--=-=inin i i i i in n in i A a A a A a M a +++=--+++- 221111)1()1(定理２ n 阶行列式D 中某一行(列)的各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即：a i 1A s 1+a i 2A s 2+…+a in A sn =0 (i ≠s )或 a 1j A 1t +a 2j A 2t +…+a nj A nt =0 (j ≠t )．证：只证行的情形，列的情形同理可证．考虑辅助行列式)()(212121112111行行s i a a a a a a a a a a a a D nnn n in i i in i i n= 这个行列式的第i 行与第s 列的对应元素相同，它的值应等于零，由定理1将D 1按第s 行展开，有D 1= a i 1A s 1+a i 2A s 2+…+a in A sn =0 (i ≠s )．定理１和定理２可以合并写成a i 1A s 1+a i 2A s 2+…+a in A sn =⎩⎨⎧≠=)(0)(s i s i D或 a 1j A 1t +a 2j A 2t +…+a jn A nt =⎩⎨⎧≠=)(0)(t j t j D定理1表明，n 阶行列式可以用n –1阶行列式来表示，因此该定理又称行列式的降阶展开定理．利用它并结合行列式的性质，可以大大简化行列式的计算．计算行列式时，一般利用性质将某一行(列)化简为仅有一个非零元素，再按定理1展开，变为低一阶行列式，如此继续下去，直到将行列式化为三阶或二阶．这在行列式的计算中是一种常用的方法．例１ 计算行列式 511242170131312-----=D解：D 的第四行已有一个元素是零，利用性质５，有( 1 3323111)1(013321831311112113214-⨯⨯----=----=-=+D8525534)1(25503401111 11-=--=---=+例２ 计算n 阶行列式abb a a bab a D 000000000000=解：按第一列展开得nn n n n n n b a bb aa bab b a b b ab a a b a a D 1111111)1()1( 000000000)1(00000000)1(+-+-++-+=-+=-+-=例３ 计算yy x xD -+-+=1111111111111111，其中 xy ≠０．解：根据定理1，把行列式适当地加一行一列，然后利用性质５，有yy x x y y xx D ------=-⨯-+-+=00100010001000111111)1(111111110111101111011111第2列提出因子x ，第3列提出–x ，第4列提出y ，第5列提出–y ，得加到各 行11 1 1 1100000100000101111110101001001010001111111)()(2222⨯⨯⨯⨯=--=--------=y x y y x x y x y y x x y y x x D例４ 试证∏≤<≤-----=ni j j i n nn n n nna a a a a a a a a a a a a a 111312112232221321)(1111(1) 式中左端叫范德蒙行列式．结论说明，n 阶范德蒙行列式之值等于a 1， a 2， …， a n ，这n 个数的所有可能的差a i –a j (1≤j<i ≤n )的乘积．证明：用数学归纳法1°当n=2时，计算２阶范德蒙行列式的值：122111a a a a -=可见n=2时，结论成立．2°假设对于n –1阶范德蒙行列式结论成立，来看n 阶范德蒙行列式：把第n –1行的(–a 1)倍加到第n 行，再把第n –2行的(–a 1)倍加到第n –1行，如此继续作，最后把第1行的(–a 1)倍加到第2行，得到211231132211212312321221131211312112232221223222132100011111111-----------------------=n nn n n n n n nn n n nn n n n n n n n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a)()()()()()(1213231222113312211312a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n ---------=---223223211312111)())((------=n nn n nn a a a a a a a a a a a a后面这个行列式是n –1阶范德蒙行列式，由归纳假设得∏≤<≤----=ni j j i n nn n na a a a a a a a 22232232)(111于是上述n 阶范德蒙行列式等于∏≤<≤----ni j j in a aa a a a a a 211312)()())(( ∏≤<≤-ni j j ia a１＝)(。
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(am1 am2 amn )
两个连加号可交换
mn
nm
aij aij
i1 j1
j1 i1
3、连乘号
n
ai a1 a2 an表示n个数a1, a2ห้องสมุดไป่ตู้,, an之积.
i 1
n
特别, k 1 2 n n! k 1
读作n的阶乘或 n阶乘.对任意数 b, 有
n
n
(bai ) bn ai.
a11
a22 a32
a23 a33
a21
a12 a32
a13 a33
a31
a12 a22
a13 a23
说明要计算一个三阶行列式，可以拆成三个二阶行列式来
计算，但是要注意在第二个二阶行列式前面的系数 a21
的前面必须取“—”号！能否推广？
这就涉及到余子式和代数余子式的问题了。
三、n阶行列式
a11 a12 a1n
1 01
因此，当a=0且b=0时，上式为零.
二、二阶行列式与三阶行列式的关系
先来观察三阶行列式的定义：
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
由(2) a11 (1) a21 得到 (a11a22 a12a21)x2 a11b2 a21b1
当a11a22 a12a21 0时,得方程的唯一解 :
x1
a22b1 a11a22
a12b2 a12a21
,
x2
a11b2 a11a22
a21b1 a12a21
如何记忆呢？
一、二阶行列式与三阶行列式
def
: 记Dn
a21
a22
a2n
an1 an2 ann 它由n行, n列元素(共n2个元素)组成, 称之为n阶行列式.
Dn通常简记为
aij
.
n
def : 一阶行列式D1 a a. 注意: 它不是指单个数a的绝对值。 例如： 5 5
四、余子式、代数余子式
def : 在Dn中划去元素aij所在第i行和第j列后剩下的n 1行和n 1
（优选）自考线性代数教案第 一章行列式
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预备知识
一、连加号与连乘号
1、连加号
n
ai a1 a2 an表示n个数a1, a2 ,an之和。
i 1
n
n
对任意数 b， 有（bai ) b ai.这就是说，公因数可从 连加号中提出来 .
b1 a12
x1
b1a22 a11a22
b2a12 a12a21
b2 a11
a22 a12
a21 a22
a11 b1
x2
a11b2 a21b1 a11a22 a12a21
a21 a11
b2 a12
a21 a22
2、三阶行列式
a11 a12 a13 def : 三阶行列式定义为D3 a21 a22 a23
三、数学归纳法
假设要证明的公式为P(n),那么, P(1)正确是归纳的基础. 归纳假设就是"如果P(k )正确".从这个"假设"出发, 能证明 P(k 1)也正确, 那么就完成了归纳证明. 证出的结论是: 对于任何正整数n,公式P(n)都正确.
不过,归纳基础根据题目的意思,不一定要从n 1开始, 可以从任意一个正整数n0开始.
列元素，按原来的相对顺序组成一个n 1阶行列式，记为Mij ,即
a11 a1, j1
a1, j1 a1n
Mij
ai1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1
ai1, j1
ai1,n ai1,n
an1 an, j1 an, j1 ann
称Mij为元素aij的余子式; 令Aij (1)i j M ij , 称Aij为元素aij的代数余子式(i, j 1,2,, n)
i 1
i 1
这说明，公因数从连乘号中提出来后要乘n次。
二、充分必要条件
设A, B表示两个命题 如果A B 则A是B的充分条件. 如果A B 则A是B的必要条件.
如果A B 则A是B的充要条件.
命题A与B之间存在4种可能性： A是B的充分非必要条件，A是B的必要非充分条件， A是B的充要条件，A是B的无关的条件。
a31 a32 a33 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
三阶行列式表示3! 6项的代数和,每一项都是取自不同的行 和不同的列的乘积并适当附上正号或负号.对于更高阶的 行列式也有类似的特点.
记忆方法：用对角线法来记忆三阶行列式中每一项前面的正、
第一章 行列式
知识结构
行列式
行列式的定义 二阶行列式与三阶行列式 n 阶行列式
行列式按行按列展开
行列式的性质 行列式的性质与计算
行列式的计算
克拉默法则
1.1 行列式的定义
首先看一个线性方程组：
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
b1 b2
(1) (2)
如何求解？
由(1) a22 (2) a12 得到 (a11a22 a12a21)x1 a22b1 a12b2
1、二阶行列式定义
def
: 我们引入记号D2
a11 a21
称之为二阶行列式.
a12 a22
a11a22 a12a21,
二阶行列式等于它的左上角到右下角的两个元素的 乘积减去从左下角到右上角的两个元素的乘积。
其中a11, a12, a21, a22的下标代表了元素所在 的位置. 前面方程的求解公式可以改写为
i 1
i 1
n
例如： i2 12 22 n2
i 1
n 3i 3 n i 3(1 2 n) 3n(n 1)
i 1
i 1
2
2、双重连加号
mn
m
aij (ai1 ai2 ain )
i1 j1
i 1
(a11 a12 a1n ) (a21 a22 a2n )
负号。
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
1 23 例1: 4 0 5 1 0 6 2 5 (-1) 4 0 3
1 0 6 3 0 (1) 5 0 1 2 4 6 -58
a b0 例2 : 若 b a 0 0,则a与b满足什么条件？
1 01
a b0 解: b a 0 a2 b2