《三维设计》2015届高考数学
《三维设计》2015届高考数学苏教,理科大一轮复习配套讲义备考基础查清热点命题悟通：第五章 数 列必记知
第五章数列第一节数列的概念与简单表示法对应学生用书P671．数列的定义、分类与通项公式(1)数列的定义：①数列：按照一定顺序排列的一列数．②数列的项：数列中的每一个数．(2)数列的分类：分类标准类型满足条件有穷数列项数有限项数无穷数列项数无限(3)如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2．数列的递推公式如果已知数列{a n }的首项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(n ≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．1．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．2．易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．[试一试]1．已知数列{a n }的前4项为1,3,7,15，写出数列{a n }的一个通项公式为________． 答案：a n ＝2n －1(n ∈N *)2．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2·3n －1(n 为偶数)，2n －5(n 为奇数)，则a 4·a 3＝________.解析：a 4·a 3＝2×33·(2×3－5)＝54. 答案：541．辨明数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．2．明确a n 与S n 的关系a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)，S n －S n －1 (n ≥2).[练一练]1．(2013·南京、淮安二模)已知数列{a n }的通项为a n ＝7n ＋2，数列{b n }的通项为b n ＝n 2.若将数列{a n }，{b n }中相同的项按从小到大的顺序排列后记作数列{c n }，则c 9的值是________．解析：法一：由a n ＝7n ＋2，b n＝n 2列出部分项得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，b 3＝9，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 4＝16，⎩⎪⎨⎪⎧a 14＝100，b 10＝100，⎩⎪⎨⎪⎧a 17＝121，b 11＝121，⎩⎪⎨⎪⎧a 41＝289，b 17＝289，⎩⎪⎨⎪⎧a 46＝324，b 18＝324，易发现在数列{b n }中符合条件的数呈周期变化，且周期为7.每个周期内第3,4个数符合题意，故c 9在第5个周期的第3个数，即c 9＝(4×7＋3)2＝312＝961.法二：令a n ＝b m ，则7n ＋2＝m 2，即7(n －1)＝(m －3)(m ＋3)．易知m ＋3或m －3是7的整数倍，所以当m ＝3,4,10,11,17,18,24,25,31,32，…时满足等式，故c 9＝312＝961.答案：9612．(2014·苏锡常镇调研)设u (n )表示正整数n 的个位数，a n ＝u (n 2)－u (n )，则数列{a n }的前2 014项和等于________．解析：因为n 与n ＋10的个位数字相同且周期为10，又a 1＝0，a 2＝4－2＝2，a 3＝9－3＝6，a 4＝6－4＝2，a 5＝5－5＝0，a 6＝6－6＝0，a 7＝9－7＝2，a 8＝4－8＝－4，a 9＝1－9＝－8，a 10＝0，所以a 1＋a 2＋…＋a 10＝0，即a 1＋a 2＋…＋a 2 014＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝10.答案：10对应学生用书P67考点一由数列的前几项求数列的通项公式1.(2014· 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 …则第n (n ≥4)行从左向右的第4个数为________．解析：从数表可知，所有的数是由偶数组成的，第n 行有n 个偶数，从而前n －1行有1＋2＋…＋(n －1)＝n (n －1)2个偶数，第(n ≥4)行从左向右的第4个数是第n (n －1)2＋4个偶数，所以是n 2－n ＋8.答案：n 2－n ＋82．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…；(2)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…； (3)a ，b ，a ，b ，a ，b ，…(其中a ，b 为实数)； (4)9,99,999,9 999，….解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以通项公式a n ＝2(n ＋1)(n ∈N *)．(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式a n ＝(－1)n ×1n (n ＋1).(3)这是一个摆动数列，奇数项是a ，偶数项是b ，所以此数列的一个通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，b ，n 为偶数.(4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1 000－1，10 000－1，所以它的一个通项公式a n ＝10n －1.[备课札记] [类题通法]用观察法求数列的通项公式的技巧(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n＋1来调整．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．[n n n (1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n ＋b .[解] (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1. 当b ＝－1时，a 1适合此等式． 当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.[备课札记] [类题通法]已知数列{a n }的前n 项和S n ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：(1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．[针对训练]已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和满足S n >1，且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N *，求{a n }的通项公式．解：由a 1＝S 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)，解得a 1＝1或a 1＝2， 由已知a 1＝S 1>1，因此a 1＝2.又由a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝16(a n ＋1＋1)(a n ＋1＋2)－16(a n ＋1)·(a n ＋2)，得a n ＋1－a n －3＝0或a n ＋1＝－a n . 因为a n >0，故a n ＋1＝－a n 不成立，舍去． 因此a n ＋1－a n －3＝0.即a n ＋1－a n ＝3，从而{a n }是以公差为3，首项为2的等差数列，故{a n }的通项公式为a n＝3n －1.递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接，归纳起来常见的命题角度有：(1)形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n ； (2)形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n ；(3)形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n . 角度一 形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n1．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．解：(1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1. 当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1.即a n a n －1＝n ＋1n －1. ∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n －2a n －3·a n －1a n －2·a n a n －1＝1·31·42·53·64·…·n －1n －3·n n －2·n ＋1n －1＝n (n ＋1)2(n ≥2)当n ＝1时，a 1＝1.综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n (n ＋1)2.角度二 形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n 2．已知a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，求a n . 解：∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2， ∴a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n (3n ＋1)2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式，∴a n ＝32n 2＋n 2.角度三 形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n 3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，求a n . 解：∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3， 又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1－1.[备课札记] [类题通法]由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝f (n )·a n ，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，(如角度二)，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，(如角度三)转化为特殊数列求通项．对应学生用书P69[课堂练通考点]1．(2014·苏北四市质检)在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝3，当n ≥2时，a n ＋1是a n ·a n －1的个位数，则a 2 014＝________.解析：由题意，该数列除前2项外，从第3项往后是周期为6的周期数列，故a 2 014＝a 4＝8.答案：82．(2013·盐城三调)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6， x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，f (8)>f (7)，解得a ∈(2,3)．答案(2,3)3．已知数列{a n }满足a st ＝a s a t (s ，t ∈N *)，且a 2＝2，则a 8＝________. 解析：令s ＝t ＝2，则a 4＝a 2×a 2＝4，令s ＝2，t ＝4，则a 8＝a 2×a 4＝8. 答案：84．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n (a n ＋1)，记S n 为{a n }前n 项的和，则S 2 013＝____________.解析：由a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n (a n ＋1)可得该数列是周期为4的数列，且a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－1，a 4＝0.所以S 2 013＝503(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 2 013＝503×(－2)＋1＝－1 005.答案：－1 0055．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .求数列{a n }与{b n }的通项公式．解：∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋2n )－[2(n －1)2＋2(n －1)]＝4n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4也适合， ∴{a n }的通项公式是a n ＝4n (n ∈N *)． ∵T n ＝2－b n ，∴当n ＝1时，b 1＝2－b 1，b 1＝1.当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝(2－b n )－(2－b n －1)， ∴2b n ＝b n －1.∴数列{b n }是公比为12，首项为1的等比数列．∴b n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1.[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．(2013·盐城二调)数列{a n }满足a n ＋a n －1＝12(n ∈N *)，a 1＝1，S n 是{a n }的前n 项和，则S 21＝________.解析：这个数列为“等和数列”，分别计算数列的前几项可以发现该数列为周期数列，周期为2.故S 21＝(1－12)×10＋1＝6.答案：62．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 2等于________． 解析：由题可知S n ＝2(a n －1)， 所以S 1＝a 1＝2(a 1－1)，解得a 1＝2.又S 2＝a 1＋a 2＝2(a 2－1)，解得a 2＝a 1＋2＝4. 答案：43．设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n，记数列{a n }的前n 项之积为T r ，则T 2 013的值为________．解析：由a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2可知，数列{a n }是周期为3的周期数列，从而T 2 013＝(－1)671＝－1.答案：－14．若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为________．解析：∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n . 设{a n }的前k 项和数值最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k ＋1≤0，k ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3(k ＋1)≤0， ∴193≤k ≤223， ∵k ∈N *，∴k ＝7. ∴满足条件的n 的值为7. 答案：75．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则满足a nn ≤2的正整数n 的集合为________．解析：因为S n ＝2a n －1，所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1， 两式相减得a n ＝2a n －2a n －1， 整理得a n ＝2a n －1，所以{a n }是公比为2的等比数列， 又因为a 1＝2a 1－1， 解得a 1＝1，故{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. 而a nn ≤2，即2n －1≤2n ， 所以有n ＝1,2,3,4. 答案：{1,2,3,4}6．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第____________项．解析：令n －2n 2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，即(2n －5)(n －10)＝0.解得n ＝10或n ＝52(舍去)．∴a 10＝0.08.答案：107．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －3，则数列{a n }的通项公式为________．解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥28．数列{a n }满足：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3，把n 换成n －1得，a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＝(n －2)·3n ＋3，两式相减得a n ＝3n .答案：3n9．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且a n ＝a n －1a n －2(n ≥3)，则a 2 014＝________.解析：将a 1＝1，a 2＝2代入a n ＝a n －1a n －2得a 3＝a 2a 1＝2，同理可得a 4＝1，a 5＝12，a 6＝12，a 7＝1，a 8＝2，故数列{a n }是周期为6的周期数列，故a 2 014＝a 335×6＋4＝a 4＝1.答案：110．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n ＋20. (1)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)n 为何值时，该数列的前n 项和最小？解：(1)因为a n ＝n 2－21n ＋20＝⎝⎛⎭⎫n －2122－3614，可知对称轴方程为n ＝212＝10.5.又因n ∈N *，故n ＝10或n ＝11时，a n 有最小值，其最小值为112－21×11＋20＝－90.(2)设数列的前n 项和最小，则有a n ≤0，由n 2－21n ＋20≤0，解得1≤n ≤20，故数列{a n }从第21项开始为正数，所以该数列的前19或20项和最小．第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·南通期末)在数列{a n }中，a 1＝6且a n －a n －1＝a n －1n ＋n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，则这个数列的通项公式a n ＝________.解析：法一：由题意得a 1＝6，a 2＝12，a 3＝20，a 4＝30，…由此猜想出a n ＝(n ＋1)(n ＋2)．法二：由题意得a n n ＋1＝a n －1n ＋1，故数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n ＋1是以a 12＝3为首项，1为公差的等差数列，故a nn ＋1＝3＋1·(n －1)＝n ＋2，故a n ＝(n ＋1)(n ＋2)． 答案：(n ＋1)(n ＋2)2.(创新题)已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2(a n 为偶数)，a n －2n (a n 为奇数).若a 3＝1，则a 1的所有可能取值为________．解析：当a 2为奇数时，a 3＝a 2－4＝1，a 2＝5； 当a 2为偶数时，a 3＝12a 2＝1，a 2＝2；当a 1为奇数时，a 2＝a 1－2＝5，a 1＝7 或a 2＝a 1－2＝2，a 1＝4(舍去)； 当a 1为偶数时，a 2＝12a 1＝5，a 1＝10或a 2＝12a 1＝2，a 1＝4.综上，a 1的可能取值为4,7,10. 答案：4,7,103．(2013·南通一模)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝0，对任意正整数n ，m (n >m )满足a 2n －a 2m ＝a n －m a n ＋m ，则a 119＝________.解析：法一：采用特殊值法求出a 3，a 4，a 5，a 6分别为－1,0,1,0，由不完全归纳法得出a n 的周期为4，所以a 119＝a 29×4＋3＝－1.法二：令m ＝2，得a 2n －a 22＝a n －2·a n ＋2，即a 2n ＝a n －2·a n ＋2，所以奇数项成等比数列，偶数项均为0.再令m ＝1，得a 2n －a 21＝a n －1·a n ＋1，当n 为奇数时，a 2n ＝a 21；当n 为偶数时，a n －1·a n ＋1＝－1，故a 1＝－a 3＝a 5＝－a 7＝…，因此a n 的周期为4，所以a 119＝a 29×4＋3＝－1.答案：－14．(2013·扬州期末)若数列{a n }满足a 1为大于1的常数，a n ＋1－1＝a n (a n －1)(n ∈N *)，且1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 012＝2，则a 2 013－4a 1的最小值为________． 解析：因为a 1>1，易知对所有的n ∈N *，a n >1，对a n ＋1－1＝a n (a n －1)两边取倒数得1a n ＋1－1＝1a n (a n －1)＝1a n －1－1a n，所以1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 012＝1a 1－1－1a 2 013－1＝2.整理得a 2 013＝2－a 13－2a 1(由a 2 013>1得1<a 1<32)，所以a 2 013－4a 1＝2(3－2a 1)＋12(3－2a 1)－112≥22(3－2a 1)·12(3－2a 1)－112＝－72，当且仅当a 1＝54时取等号．故a 2 013－4a 1的最小值为－72. 答案：－72第二节等差数列及其前n 项和对应学生用书P691．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝(a 1＋a n )n2.1．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． [试一试]1．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝________. 解析：∵a 4＋a 8＝16， ∴a 6＝8，∴S 11＝11a 6＝88. 答案：882．(2013·重庆高考)已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________.解析：因为{a n }为等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，所以a 1(a 1＋4d )＝(a 1＋d )2，解得d ＝2a 1＝2，所以S 8＝64.答案：641．等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }是等差数列． 2．活用等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d ，(n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列. 3．用方程思想和化归思想在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解． [练一练]1．(2014·盐城摸底)已知等差数列{a n }满足a 3＋a 7＝10，则该数列的前9项和S 9＝________.解析：由题知，S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 3＋a 7)2＝45.答案：452．(2014·南京、盐城一模)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＝9，则其前9项和S 9的值为________．解析：由题知a 3＋a 5＋a 7＝3a 5＝9，则a 5＝3，所以S 9＝9a 5＝27. 答案：27对应学生用书P701.(2013·n n m －12，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________.解析：根据已知条件，得到a m 和a m ＋1，再根据等差数列的定义得到公差d ，最后建立关于a 1和m 的方程组求解．由S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，得a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3， 所以等差数列的公差为d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧a m ＝a 1＋(m －1)d ＝2，S m ＝a 1m ＋12m (m －1)d ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋m －1＝2，a 1m ＋12m (m －1)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，m ＝5. 答案：52．(2014·扬州调研)在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＝4，a 9＋a 10＝36，则S 10＝________. 解析：法一：由于a 1＋a 2＋a 9＋a 10＝2(a 1＋a 10)＝40， 故a 1＋a 10＝20，从而S 10＝10(a 1＋a 10)2＝100.法二：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝4，2a 1＋17d ＝36，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，从而S 10＝10a 1＋10×9d2＝100.答案：1003．设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，且满足a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7.(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)试求所有的正整数m ，使得a m a m ＋1a m ＋2为数列{a n }中的项．解：(1)由题意可设等差数列{a n }的通项公式 a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ≠0.由a 22＋a 23＝a 24＋a 25化简得2a 1＋5d ＝0.①又因为S 7＝7，所以a 1＋3d ＝1.② 由①②可知a 1＝－5，d ＝2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －7， 其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－6n .(2)因为a m a m ＋1a m ＋2＝(a m ＋2－4)(a m ＋2－2)a m ＋2＝a m ＋2－6＋8a m ＋2为数列{a n }中的项，则8a m ＋2为整数．又由(1)知a m ＋2＝2m －3为奇数，所以a m ＋2＝2m －3＝±1，解得m ＝1或2. 经检验，符合题意的正整数m ＝2.[备课札记] [类题通法]1．等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想．2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．[典例] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝12，a n ＝－2S n S n －1(n ≥2且n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列．(2)求S n 和a n .[解] (1)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2S n S n －1，① ∴S n (1＋2S n －1)＝S n －1.由上式知若S n －1≠0，则S n ≠0. ∵S 1＝a 1≠0，由递推关系知S n ≠0(n ∈N *)， 由①式得1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，其中首项为1S 1＝1a 1＝2，公差为2.(2)∵1S n ＝1S 1＋2(n －1)＝1a 1＋2(n －1)，∴S n ＝12n.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－12n (n －1)，当n ＝1时，a 1＝S 1＝12不适合上式，∴a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.[备课札记]解：(1)∵S n ＝S n －12S n －1＋1，∴1S n ＝2S n －1＋1S n －1＝1S n －1＋2. ∴1S n －1S n －1＝2. ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以12为首项，以2为公差的等差数列．(2)由(1)知1S n ＝12＋(n －1)×2＝2n －32，即S n ＝12n －32.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －32－12n －72 ＝－2⎝⎛⎭⎫2n －32⎝⎛⎭⎫2n －72； 当n ＝1时，a 1＝2不适合a n ， 故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2(n ＝1)，－2⎝⎛⎭⎫2n －32⎝⎛⎭⎫2n －72(n ≥2).[类题通法]1．解答题判断等差数列，常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．2．用定义证明等差数列时，常采用两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必须加上“n ≥2”，否则n ＝1时，a 0无定义．[针对训练]在数列{a n }中，a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n ＋3(n ≥2，且n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)设b n ＝a n ＋32n (n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列．解：(1)∵a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n ＋3(n ≥2，且n ∈N *)， ∴a 2＝2a 1＋22＋3＝1，a 3＝2a 2＋23＋3＝13. (2)证明：对于任意n ∈N *， ∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1＋32n ＋1－a n ＋32n＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )－3]＝12n ＋1[(2n ＋1＋3)－3]＝1， ∴数列{b n }是首项为a 1＋32＝－3＋32＝0，公差为1的等差数列．[典例] n 1352＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大时n ＝________.(2)设数列{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________. [解析] (1)a 1＋a 3＋a 5＝105⇒a 3＝35，a 2＋a 4＋a 6＝99⇒a 4＝33，则{a n }的公差d ＝33－35＝－2，a 1＝a 3－2d ＝39，S n ＝－n 2＋40n ，因此当S n 取得最大值时，n ＝20.(2)设两等差数列组成的和数列为{c n }，由题意知新数列仍为等差数列且c 1＝7，c 3＝21，则c 5＝2c 3－c 1＝2×21－7＝35.[答案] (1)20 (2)35[备课札记] [类题通法] 1．等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a n m －n ＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .2．求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[针对训练]1．设数列{a n }是公差d <0的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n ＝________.解析：由题意得S 6＝6a 1＋15d ＝5a 1＋10d ， 所以a 6＝0，故当n ＝5或6时，S n 最大． 答案：5或62．(2013·广东高考)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________.解析：因为a 3＋a 8＝10，所以3a 5＋a 7＝2(a 3＋a 8)＝20. 答案：20对应学生用书P71[课堂练通考点]1．(2013·南京、淮安二模)设数列{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和．若a 21＋a 22＝a 23＋a 24，S 5＝5，则a 7的值是________．解析：设数列{a n }的公差为d .由a 21＋a 22＝a 23＋a 24得a 21＋(a 1＋d )2＝(a 1＋2d )2＋(a 1＋3d )2，即8a 1d ＋12d 2＝0.因为d ≠0，所以a 1＝－32d .又由S 5＝5a 3＝5得a 3＝1，所以a 1＋2d ＝1，解得a 1＝－3，d ＝2，故－3＋(7－1)×2＝9.答案：92．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 11－a 8＝3，S 11－S 8＝3，则使a n >0的最小正整数n 的值是________．解析：∵a 11－a 8＝3d ＝3，∴d ＝1，∵S 11－S 8＝a 11＋a 10＋a 9＝3a 1＋27d ＝3， ∴a 1＝－8，∴a n ＝－8＋(n －1)>0， 解得n >9，因此使a n >0的最小正整数n 的值是10. 答案：103．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，则k ＝________. 解析：a 7－a 5＝2d ＝4，则d ＝2.a 1＝a 11－10d ＝21－20＝1， S k ＝k ＋k (k －1)2×2＝k 2＝9.又k ∈N *，故k ＝3.答案：34．已知一等差数列的前四项和为124，后四项和为156，各项和为210，则此等差数列的项数是________．解析：设数列{a n }为该等差数列， 依题意得a 1＋a n ＝124＋1564＝70.∵S n ＝210，S n ＝n (a 1＋a n )2，∴210＝70n2，∴n ＝6.答案：65．各项均为正数的数列{a n }满足a 2n ＝4S n －2a n －1(n ∈N *)，其中S n 为{a n }的前n 项和．(1)求a 1，a 2的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)当n ＝1时，a 21＝4S 1－2a 1－1， 即(a 1－1)2＝0，解得a 1＝1.当n ＝2时，a 22＝4S 2－2a 2－1＝4a 1＋2a 2－1＝3＋2a 2， 解得a 2＝3或a 2＝－1(舍去)． (2)a 2n ＝4S n －2a n －1，① a 2n ＋1＝4S n ＋1－2a n ＋1－1.②②－①得：a 2n ＋1－a 2n ＝4a n ＋1－2a n ＋1＋2a n ＝2(a n ＋1＋a n )，即(a n ＋1－a n )(a n ＋1＋a n )＝2(a n ＋1＋a n )． ∵数列{a n }各项均为正数， ∴a n ＋1＋a n >0，a n ＋1－a n ＝2，∴数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列． ∴a n ＝2n －1.[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2014·泰州模拟)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 9＋a 27＝12，则a 13＝________. 解析：等差数列{a n }中，由a 3＋a 9＋a 27＝12得3a 13＝12，所以a 13＝4. 答案：42．已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，S n ＝100，则n 的值为________． 解析：由S n －S n －3＝51得， a n －2＋a n －1＋a n ＝51， 所以a n －1＝17，又a 2＝3，S n ＝n (a 2＋a n －1)2＝100，解得n ＝10. 答案：103．(2014·镇江月考)已知等差数列{a n }中，a 4＋a 6＝10，前5项和S 5＝5，则其公差为________．解析：由a 4＋a 6＝10，得2a 5＝10，所以a 5＝5.由S 5＝5a 3＝5，得a 3＝1，所以d ＝a 5－a 32＝5－12＝2. 答案：24．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10>0并且S 11＝0，若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 构成的集合为________．解析：在等差数列{a n }中，由S 10>0，S 11＝0得， S 10＝10(a 1＋a 10)2>0⇒a 1＋a 10>0⇒a 5＋a 6>0， S 11＝11(a 1＋a 11)2＝0⇒a 1＋a 11＝2a 6＝0，故可知等差数列{a n }是递减数列且a 6＝0， 所以S 5＝S 6≥S n ，其中n ∈N *， 所以k ＝5或6. 答案：{5,6}5．(2013·南通二模)设等差数列{a n }的公差为正数，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝________.解析：由条件可知，a 2＝5，从而a 1＋a 3＝10，a 1a 3＝16，得a 1＝2，a 3＝8，公差为3，所以a 11＋a 12＋a 13＝2×3＋(10＋11＋12)×3＝105.答案：1056．(2013·常州质检)设s ，t 为正整数，两条直线l 1：t 2s x ＋y －t ＝0与l 2：t 2s x －y ＝0的交点是(x 1，y 1)，对于正整数n (n ≥2)，过点(0，t )和(x n －1,0)的直线与直线l 2的交点记为(x n ，y n )，则x n －y n ＝________(用s ，t ，n 表示)．解析：法一：点(x n ，y n )满足⎩⎪⎨⎪⎧tx ＋x n －1y ＝tx n －1，t 2s x －y ＝0，得到x n ＝2sx n －12s ＋x n －1，y n ＝tx n －12s ＋x n －1，所以x n －y n ＝(2s －t )x n －12s ＋x n －1.点(x 1，y 1)满足⎩⎨⎧t2sx ＋y －t ＝0，t2s x －y ＝0，解得x 1＝s ，y 1＝t 2，所以x 2＝23s ，y 2＝t 3；x 3＝12s ，y 3＝14t ；x 4＝25s ，y 4＝15t ，… 猜想：x n ＝2s n ＋1，y n ＝t n ＋1.所以x n －y n ＝2s n ＋1－tn ＋1＝2s －t n ＋1.法二：由法一知x 1＝s ，y 1＝t2，x n ＝2sx n －12s ＋x n －1，y n ＝tx n －12s ＋x n －1由2sx n ＋x n x n －1＝2sx n －1可化为2s x n －2s x n －1＝1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫2s x n 是以2sx 1＝2为首项，1为公差的等差数列．所以2s x n ＝2＋(n －1)，得x n ＝2s n ＋1，将其代入y n 得y n ＝tn ＋1，故x n －y n ＝2s －t n ＋1.答案：2s －t n ＋17．(2013·南京二模)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 7＝13，则S 6S 7＝________.解析：由S 3＝3a 2，S 7＝7a 4，S 3S 7＝13得9a 2＝7a 4＝7(a 2＋2d )，即a 2＝7d ，所以a 3＝8d ，a 4＝9d ，从而S 6＝3(a 3＋a 4)＝51d ，S 7＝7a 4＝63d ，故结果为1721.答案：17218．(2013·无锡期末)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－7n ，且满足16<a k ＋a k ＋1<22，则正整数k ＝________.解析：由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1S n －S n －1，n ≥2，可得a n ＝2n －8,16<a k ＋a k ＋1<22，即16<(2k －8)＋(2k－6)<22，所以7.5<k <9，又k ∈N *，所以k ＝8.答案：89．(2013·苏锡常镇、连云港、徐州六市调研(二))已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 3＝a 27，a 2＝a 4＋a 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求满足S n －2a n －20>0的所有正整数n 的集合．解：(1)由a 3＝a 27得a 1＋2d ＝(a 1＋6d )2.① 由a 2＝a 4＋a 6得a 1＋d ＝2a 1＋8d ，即a 1＝－7d .②将②代入①得－5d ＝d 2.所以d ＝－5或d ＝0(不符合题意．舍去)． 则a 1＝35.所以a n ＝35＋(n －1)(－5)＝－5n ＋40. (2)S n ＝(35－5n ＋40)n 2＝n (75－5n )2.不等式S n －2a n －20>0，即n (75－5n )2－2(－5n ＋40)－20>0，整理得n 2－19n ＋40<0. 所以19－2012<n <19＋2012.因为n ∈N *，则19－142≤n ≤19＋142， 即52≤n ≤332. 所以所求n 的集合为{3,4，…，16}．10．(2014·南京学情调研)已知数列{a n }的首项a 1＝a ，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1，a n ≠0，n ≥2，n ∈N *.(1)若数列{a n }是等差数列，求a 的值；(2)确定a 的取值集合M ，使a ∈M 时，数列{a n }是递增数列．解：(1)在S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1中分别令n ＝2，n ＝3及a 1＝a 得(a ＋a 2)2＝12a 2＋a 2，(a ＋a 2＋a 3)2＝27a 3＋(a ＋a 2)2.因为a n ≠0，所以a 2＝12－2a ，a 3＝3＋2a .因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋a 3＝2a 2， 即2(12－2a )＝a ＋3＋2a ，解得a ＝3.经检验a ＝3时，a n ＝3n ，S n ＝3n (n ＋1)2，S n －1＝3n (n －1)2满足S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1. 所以a ＝3.(2)由S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1得S 2n －S 2n －1＝3n 2a n ，即(S n ＋S n －1)(S n －S n －1)＝3n 2a n ， 故(S n ＋S n －1)a n ＝3n 2a n .因为a n ≠0，所以S n ＋S n －1＝3n 2(n ≥2)， ① 所以S n ＋1＋S n ＝3(n ＋1)2② ②－①得a n ＋1＋a n ＝6n ＋3(n ≥2)． ③ 所以a n ＋2＋a n ＋1＝6n ＋9.④④－③得a n ＋2－a n ＝6(n ≥2)，即数列a 2，a 4，a 6，…及数列a 3，a 5，a 7，…都是公差为6的等差数列． 因为a 2＝12－2a ，a 3＝3＋2a ，所以a n＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， n ＝13n ＋2a －6，n 为奇数且n ≥3，3n －2a ＋6，n 为偶数，要使数列{a n }是递增数列，须有a 1<a 2，且当n 为大于或等于3的奇数时，a n <a n ＋1，且当n 为偶数时，a n <a n ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <12－2a ，3n ＋2a －6<3(n ＋1)－2a ＋6(n 为大于或等于3的奇数)，3n －2a ＋6<3(n ＋1)＋2a －6(n 为偶数)，解得94<a <154.所以集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |94<a <154，当a ∈M 时，数列{a n }是递增数列． 第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2013·苏锡常镇、连云港、徐州六市调研(二))设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，已知S n T n ＝2n ＋14n －2，n ∈N *，则a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝________.解析：因为{a n }，{b n }是等差数列，故b 3＋b 18＝b 6＋b 15，所以a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝a 10＋a 11b 3＋b 18＝a 1＋a 20b 1＋b 20＝S 20T 20＝2×20＋14×20－2＝4178. 答案：41782．(2014·盐城二模)在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝21，记数列{1a n}的前n 项和为S n ，若S 2n ＋1－S n ≤m15对n ∈N *恒成立，则正整数m 的最小值为________．解析：由条件得公差d ＝21－54＝4，从而a 1＝1，所以a n ＝4n －3，数列{1a n}的前n 项和为S n ＝1＋15＋…＋14n －3.原不等式可化为14n ＋1＋14n ＋5＋…＋18n ＋1≤m 15，记f (n )＝14n ＋1＋14n ＋5＋…＋18n ＋1.因为f (n ＋1)－f (n )＝18n ＋9－14n ＋1<0，故f (n )为单调递减数列，从而f (n )max＝f (1)＝15＋19＝1445.由条件得m 15≥1445，解得m ≥143，故正整数m 的最小值为5.答案：53．(2014·南通一模)已知数列{a n }中，a 2＝1，前n 项和为S n ，且S n ＝n (a n －a 1)2.(1)求a 1；(2)求证：数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式；(3)设lg b n ＝a n ＋13n ，试问是否存在正整数p ，q (其中1<p <q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，请说明理由．解：(1)令n ＝1，则a 1＝S 1＝1(a 1－a 1)2＝0.(2)证明：由S n ＝n (a n －a 1)2，即S n ＝na n2，①得S n ＋1＝(n ＋1)a n ＋12.② ②－①得(n －1)a n ＋1＝na n ，③于是na n ＋2＝(n ＋1)a n ＋1. ④④－③得na n ＋2＋na n ＝2na n ＋1， 即a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1， 又a 1＝0，a 2＝1，a 2－a 1＝1，所以数列{a n }是以0为首项，1为公差的等差数列． 所以a n ＝n －1.(3)假设存在正整数数组(p ，q )使b 1，b p ，b q 成等比数列，则lg b 1，lg b p ，lg b q 成等差数列，于是2p 3p ＝13＋q 3q .所以q ＝3q (2p 3p －13)．(*)易知(p ，q )＝(2,3)为方程(*)的一组解． 当p ≥3，且p ∈N *时，2(p ＋1)3p ＋1－2p 3p ＝2－4p 3p ＋1<0，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2p 3p (p ≥3)为递减数列， 于是2p 3p －13≤2×333－13<0，所以此时方程(*)无正整数解．综上，存在唯一正整数数组(p ，q )＝(2,3)，使b 1，b p ，b q 成等比数列．4．(2013·南京、淮安二模)已知数列{a n }的各项都为正数，且对任意n ∈N *，a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋k (k为常数)．(1)若k ＝(a 2－a 1)2，求证：a 1，a 2，a 3成等差数列； (2)若k ＝0，且a 2，a 4，a 5成等差数列，求a 2a 1的值；(3)已知a 1＝a ，a 2＝b (a ，b 为常数)，是否存在常数λ，使得a n ＋a n ＋2＝λa n ＋1对任意n ∈N *都成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：当k ＝(a 2－a 1)2时，在a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋k 中，令n ＝1，得a 22＝a 1a 3＋(a 2－a 1)2， 即a 1a 3－2a 1a 2＋a 21＝0.因为a 1>0，所以a 3－2a 2＋a 1＝0， 即a 2－a 1＝a 3－a 2.故a 1，a 2，a 3成等差数列．(2)当k ＝0时，a 2n ＋1＝a n a n ＋2，n ∈N *.因为数列{a n }的各项都为正数，所以数列{a n }是等比数列． 设公比为q (q >0)．因为a 2，a 4，a 5成等差数列，所以a 2＋a 5＝2a 4， 即a 1q ＋a 1q 4＝2a 1q 3.因为a 1>0，q >0，所以q 3－2q 2＋1＝0. 解得q ＝1或q ＝1＋52(负根舍去)．所以a 2a 1＝q ＝1或a 2a 1＝q ＝1＋52.(3)存在常数λ＝a 2＋b 2－k ab ，使a n ＋a n ＋2＝λa n ＋1.证明如下：因为a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋k ，所以a 2n ＝a n －1a n ＋1＋k ，n ≥2，n ∈N *.所以a 2n ＋1－a 2n ＝a n a n ＋2－a n－1a n ＋1，即a n a n ＋2＋a 2n ＝a 2n ＋1＋a n －1a n ＋1.(*)由于a n >0，(*)式两边同除以a n a n ＋1 得a n ＋a n ＋2a n ＋1＝a n －1＋a n ＋1a n .所以a n ＋a n ＋2a n ＋1＝a n －1＋a n ＋1a n ＝…＝a 1＋a 3a 2，即当n ∈N *，都有a n ＋a n ＋2＝a 1＋a 3a 2a n ＋1. 因为a 1＝a ，a 2＝b ，a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋k ，所以a 3＝b 2－ka . 所以a 1＋a 3a 2＝a ＋b 2－ka b ＝a 2＋b 2－k ab.所以对任意n ∈N *，都有a n ＋a n ＋2＝λa n ＋1，此时λ＝a 2＋b 2－kab.第三节等比数列及其前n 项和对应学生用书P711．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n ＝q .(2)等比中项：如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.1．在等比数列中易忽视每项与公比都不为0.2．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误．[试一试]1．在1和9之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的和为________． 解析：设5个正数的公比为q (q >0)，所以q 4＝91＝9，即q ＝3，则中间3个数的和为q＋q 2＋q 3＝3＋3＋33＝3＋4 3.答案：3＋4 32．(2014·徐州摸底)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝18，S 3＝26，则{a n }的公比q ＝________.解析：由⎩⎨⎧a 3＝18，a 1＋a 2＋a 3＝26，q >0得18q 2＋18q＝8，即4q 2－9q －9＝0.所以(4q ＋3)(q －3)＝0.因为q >0，所以q ＝3.答案：31．等比数列的三种判定方法(1)定义：a n ＋1a n＝q (q 是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(2)通项公式：a n ＝cq n －1(c 、q 均是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (3)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． 2．等比数列的常见性质(1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k； (2)若数列{a n }、{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }、⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 、{a 2n }、{a n ·b n}、⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n bn (λ≠0)仍然是等比数列；(3)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k ；(4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ，当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不一定构成等比数列．3．求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n 项和的公式中联系着五个量：a 1，q ，n ，a n ，S n ，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a 1与q ，在解题中根据已知条件建立关于a 1与q 的方程或者方程组，是解题的关键．(2)分类讨论思想：在应用等比数列前n 项和公式时，必须分类求和，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q；在判断等比数列单调性时，也必须对a 1与q 分类讨论．[练一练]1．(2010·江苏高考)函数y ＝x 2(x >0)的图像在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．解析：切线斜率k ＝2a k ，切线方程为 y －a 2k ＝2a k (x －a k )， 即y ＝2a k x －a 2k ，令y ＝0，得x ＝a k2＝a k ＋1，所以{a n }是首项a 1＝16，公比q ＝12的等比数列，所以a n ＝(12)n －5，故a 1＋a 3＋a 5＝21.答案：212．已知数列{a n }是公比q ≠±1的等比数列，则在{a n ＋a n ＋1}，{a n ＋1－a n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n a n ＋1，{na n }这四个数列中，是等比数列的有________个．答案：3对应学生用书P72考点一等比数列的基本运算1.(2013·n 264解析：由a 6a 2＝q 4＝16，则q 2＝4，所以有a 4＝a 2q 2＝－8.答案：－82．(2014·扬州模拟)已知等比数列{a n }中，公比q >1，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则a 2 013＋a 2 014a 2 011＋a 2 012＝________.解析：因为{a n }为等比数列，故a 1a 4＝a 2a 3＝8，与a 1＋a 4＝9联立解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1.又q >1，故a 1＝1，a 4＝8，从而q ＝2，故a 2 013＋a 2 014a 2 011＋a 2 012＝q 2＝4. 答案：43．设等比数列{a n }的公比q <1，前n 项和为S n ，已知a 3＝2，S 4＝5S 2，求{a n }的通项公式．解：由题设知a 1≠0，S n ＝a 1(1－q n )1－q，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝2， ①a 1(1－q 4)1－q ＝5×a 1(1－q 2)1－q . ②由②式得1－q 4＝5(1－q 2)， 即(q －2)(q ＋2)(q －1)(q ＋1)＝0. 因为q <1，所以q ＝－1，或q ＝－2. 当q ＝－1时，代入①式得a 1＝2， 通项公式a n ＝2×(－1)n －1； 当q ＝－2时，代入①式得a 1＝12，通项公式a n ＝12×(－2)n －1.综上，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2×(－1)n －1，q ＝－1，12×(－2)n －1，q ＝－2.[备课札记] [类题通法]1．对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法，同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用．2．在涉及等比数列前n 项和公式时要注意对公比q 是否等于1进行判断和讨论．[典例] n n n n (1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． [解] (1)证明：∵a n ＋S n ＝n ， ① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.②②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1， ∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴a n ＋1－1a n －1＝12.∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1， ∴a 1＝12，c 1＝－12.又c n ＝a n －1，故{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)知c n ＝－12×⎝⎛⎭⎫12n －1＝－⎝⎛⎭⎫12n ∴a n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n.[备课札记]。
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“平面解析几何”类题目的审题技巧与解题规范[技法概述]在高考数学试题中，一些题目从已知到结论不易证明或解决，可采用逆向分析法，即从要证明的结论出发，逐步寻求每一步结论成立的充分条件．直至最后，把要证明的结论归结为一个明显成立的条件或已知定理为止，[适用题型]以下几种题型常用到此审题技巧与方法： (1)解析几何中证明不等式或定值问题； (2)函数、导数不等式中不等式的证明问题； (3)立体几何中线面平行与垂直问题．[典例] (2013·湖南高考)(本小题满分13分)过抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2，且k 1＋k 2＝2，l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .(1)若k 1>0，k 2>0，证明：FM ·FN <2p 2； (2)若点M 到直线l 的距离的最小值为755，求抛物线E 的方程．[解题流程]第一步 将l 方程联立抛物线方程消元后建立点A 、B 坐标关系x 1＋x 2，y 1＋y 2⇐⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡解：(1)由题意知，抛物线E 的焦点为F ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，p 2，直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋p 2.(1分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋p 2，x 2＝2py ，得x 2－2pk 1x －p 2＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实数根，而x 1＋x 2＝2pk 1，y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2)＋p ＝2pk 21＋p .2分 [失分警示]第二步 求FM ，FN ，FM ·FN ⇐⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫pk 1，pk 21＋p 2，同理可得点N 的坐标为⎝ ⎛⎪⎪pk 2，pk 22＋p 2， FN ＝(pk 2，pk 22).于是FM ·FN ＝p 2(k 1k 2＋k 21k 22). (3分) l 1，l 2是成失误只需类比即可得. 第三步逆推分析或直接据条件推证结论⇐⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡法一 要证FM ·FN ＜2p 2，只要证k 1k 2＋k 21k 22＜2再证－2＜k 1k 2＜1由k 1＞0，k 2＞0，k 1≠k 2，即证0＜k 1k 2＜1因k 1＋k 2＝2＞2k 1k 2，即0＜k 1k 2＜1成立法二 因为k 1＋k 2＝2，k 1>0，k 2>0，k 1≠k 2，所以0<k 1k 2<⎝ ⎛⎭⎪⎫k 1＋k 222＝1.故FM ·FN <p 2(1＋12)＝2p 2.(6分)忽视条件≠k 2，从而“＝”不成立.第四步 确定半径求圆M 方程⇐⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡(2)由抛物线的定义得|F A |＝y 1＋p 2，|FB |＝y 2＋p 2，所以|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝2pk 21＋2p ，从而圆M 的半径r 1＝pk 21＋p . （7分）故圆M 的方程为(x －pk 1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －pk 21－p 22＝(pk 21＋p )2，化简得x 2＋y 2－2pk 1x －p (2k 21＋1)y －34p 2＝0. (8分)[解答题规范专练] 平面解析几何 1.(2014·武汉模拟)设点P 是圆x 2＋y 2＝4上任意一点，由点P 向x 轴作垂线PP 0，垂足为P 0，且0MP ＝320PP . (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)与(1)中的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，若直线OA ，AB ，OB 的斜率成等比数列，求实数m 的取值范围．解：(1)设点M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则由题意知P 0(x 0,0)． 由0MP ＝(x 0－x ，－y )，0PP ＝(0，－y 0)，且0MP ＝320PP ， 得(x 0－x ，－y )＝32(0，－y 0)． 第五步 类比求圆N 方程并求圆M 、N 公共弦所在方程⇐⎣⎢⎢⎢⎢⎡同理可得圆N 的方程为x ＋y －2pk 2x －p (2k 22＋1)y －34p ＝0.(9分)于是圆M ，圆N 的公共弦所在直线l 的方程为(k 2－k 1)x ＋(k 22－k 21)y ＝0.又k 2－k 1≠0，k 1＋k 2＝2，则l 的方程为x ＋2y ＝0.(10分)M 的方N 的方程只，k 2调换即可，再次运算造成丢分.第六步 建立目标函数并求最值⇐⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡因为p >0，所以点d ＝|2pk 21＋pk 1＋p |5＝＝p ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k 1＋142＋785. (112k 21＋k 1中Δ＜0所以绝.第七步 确定所求方程⇐⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡故当k 1＝－14时，d 取最小值7p 85. (12分)由题设，7p 85＝755，解得p ＝8.故所求的抛物线E 的方程为x 2＝16y .(13分)∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0－x ＝0，－y ＝－32y 0，于是⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝23y .又x 20＋y 20＝4，∴x 2＋43y 2＝4.∴点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0. ∴Δ＝(8mk )2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0， 即3＋4k 2－m 2>0.(*)且⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－8mk3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k2.依题意，k 2＝y 1y 2x 1x 2，即k 2＝kx 1＋m x 1·kx 2＋m x 2.∴x 1x 2k 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.∴km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，即km ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8mk 3＋4k 2＋m 2＝0.∵m ≠0，∴k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 3＋4k 2＋1＝0，解得k 2＝34. 将k 2＝34代入(*)，得m 2<6.∴m 的取值范围是(－6，0)∪(0，6)．2．(2014·合肥模拟)已知椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长为4，且过点⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求椭圆的方程；(2)设A ，B ，M 是椭圆上的三点．若OM ＝35OA ＋45OB ，点N 为线段AB 的中点，C ⎝⎛⎭⎫－62，0，D ⎝⎛⎭⎫62，0，求证：|NC |＋|ND |＝2 2.解：(1)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，3a 2＋14b 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1， 所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 21＝1，x 224＋y 22＝1.由OM ＝35OA ＋45OB ，得M ⎝⎛⎭⎫35x 1＋45x 2，35y 1＋45y 2. 因为M 是椭圆C 上一点，所以⎝⎛⎭⎫35x 1＋45x 224＋⎝⎛⎭⎫35y 1＋45y 22＝1， 即⎝⎛⎭⎫x 214＋y 21⎝⎛⎭⎫352＋⎝⎛⎭⎫x 224＋y 22⎝⎛⎭⎫452＋2×35×45×⎝⎛⎭⎫x 1x 24＋y 1y 2＝1， 得⎝⎛⎭⎫352＋⎝⎛⎭⎫452＋2×35×45×⎝⎛⎭⎫x 1x 24＋y 1y 2＝1， 故x 1x 24＋y 1y 2＝0. 又线段AB 的中点N 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2222＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 222＝12⎝⎛⎭⎫x 214＋y 21＋12⎝⎛⎭⎫x 224＋y 22＋x 1x 24＋y 1y 2＝1， 从而线段AB 的中点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22在椭圆x 22＋2y 2＝1上． 又椭圆x 22＋2y 2＝1的两焦点恰为C ⎝⎛⎭⎫－62，0，D ⎝⎛⎭⎫62，0，所以|NC |＋|ND |＝2 2.3．(2014·哈师大附中模拟)已知点E (m,0)(m >0)为抛物线y 2＝4x 内一个定点，过E 作斜率分别为k1，k 2的两条直线交抛物线于点A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)若m ＝1，k 1k 2＝－1，求△EMN 面积的最小值；(2)若k 1＋k 2＝1，求证：直线MN 过定点． 解：(1)当m ＝1时，E 为抛物线y 2＝4x 的焦点， ∵k 1k 2＝－1，∴AB ⊥CD.设AB 的方程为y ＝k 1(x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －1)，y 2＝4x得k 1y 2－4y －4k 1＝0，y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4.∵M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，∴M ⎝⎛⎭⎫2k 21＋1，2k 1， 同理，点N (2k 21＋1，－2k 1)， ∴S △EMN ＝12|EM |·|EN |＝12⎝⎛⎭⎫2k 212＋⎝⎛⎭⎫2k 12·(2k 21)2＋(－2k 1)2。
《三维设计》2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套课时训练：(五十六) 双曲线
课时跟踪检测(五十六) 双曲线第Ⅰ组：全员必做题1．设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左，右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|＝( )A ．1或5B ．6C ．7D ．92．(2013·四川高考)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32 C ．1D. 33．(2013·深圳调研) 双曲线x 2－my 2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m ＝( )A.14B.12 C ．2D ．44. (2013·郑州模拟)如图所示，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A ，B ，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( )A.2＋1B.3＋1C.2＋12D.3＋125．(2013·武汉模拟)已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且1PF ·2PF ＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．86. (2013·惠州模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一个焦点与抛物线y2＝410x的焦点重合，且双曲线的离心率等于103，则该双曲线的方程为________．7．(2013·陕西高考) 双曲线x216－y2m＝1的离心率为54，则m等于________．8. (2013·石家庄模拟)F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点．若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为________．9．设A，B分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y＝33x－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使OM＋ON＝t OD，求t的值及点D的坐标．10. P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)上一点，M、N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为1 5.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足OC＝λOA＋OB，求λ的值．第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·河北省重点中学联考) 设F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°，且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线的离心率为()A.52 B.102C.53 D.1032．(2014·武汉模拟) 已知F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞b，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点．若|PF1|2|PF2|＝8a，则双曲线的离心率的取值范围是________．答案第Ⅰ组：全员必做题1．选C由渐近线方程3x－2y＝0，知ba＝32.又b2＝9，所以a＝2，从而|PF2|＝7.2．选B因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为y＝±3x，所以所求距离为32，故选B.3．选D双曲线方程可化为x2－y21m＝1，∴实轴长为2，虚轴长为2 1m ，∴2＝2⎝⎛⎭⎪⎫21m ，解得m ＝4. 4．选B 连接AF 1，依题意得AF 1⊥AF 2，∠AF 2F 1＝30°，|AF 1|＝c ，|AF 2|＝3c ，因此该双曲线的离心率e ＝|F 1F 2||AF 2|－|AF 1|＝2c3c －c＝3＋1，选B.5．选C 设c ＝a 2＋b 2，则c a ＝54， ∴a ＝45c ，∴b ＝c 2－a 2＝35c .∵1PF ·2PF ＝0(即PF 1⊥PF 2)， S △PF 1F 2＝9，∴|PF 1|·|PF 2|＝18. ∵⎩⎨⎧||PF 1|－|PF 2||＝2a ，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴⎩⎨⎧|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，两式相减得，2|PF 1|·|PF 2|＝4b 2，∴b 2＝9，∴b ＝3，∴c ＝5，a ＝4，∴a ＋b ＝7.6．解析：由已知可得抛物线y 2＝410x 的焦点坐标为(10，0)，a 2＋b 2＝10.又双曲线的离心率e ＝10a ＝103，∴a ＝3，b ＝1，∴双曲线的方程为x 29－y 2＝1. 答案：x 29－y 2＝17．解析：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝m ，e 2＝2516⇒2516＝16＋m16⇒m ＝9.答案：98．解析：如图，由双曲线定义得，|BF 1|－|BF 2|＝|AF 2|－|AF 1|＝2a ，因为△ABF 2是正三角形，所以|BF 2|＝|AF 2|＝|AB |，因此|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，且∠F 1AF 2＝120°，在△F 1AF 2中，4c 2＝4a 2＋16a 2＋2×2a ×4a ×12＝28a 2，所以e ＝7.答案：79．解：(1)由题意知a ＝23， ∴一条渐近线为y ＝b 23x .即bx －23y ＝0.∴|bc |b 2＋12＝ 3. ∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0. 将直线方程代入双曲线方程得 x 2－163x ＋84＝0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 2012－y 203＝1.∴⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3.∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)． 10．解：(1)由点P (x 0，y 0)(x ≠±a )在双曲线 x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b 2＝1. 由题意又有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a＝15， 可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2， 则e ＝c a ＝305.(2)联立⎩⎨⎧x 2－5y 2＝5b2y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5c2，x 1x 2＝35b 24.①设OC ＝(x 3，y 3)，OC ＝λOA ＋OB ，即⎩⎨⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2.化简得：λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2，又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )·(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2，得：λ2＋4λ＝0，解得λ＝0，或λ＝－4.第Ⅱ组：重点选做题1．选B 由题可知点A 在双曲线的右支上，则|AF 1|－|AF 2|＝2|AF 2|＝2a ，则|AF 2|＝a ，得|AF 1|＝3a ，由∠F 1AF 2＝90°，得(3a )2＋a 2＝(2c )2，则e ＝c a ＝102.2．解析：设|PF 2|＝y ，则(y ＋2a )2＝8ay ⇒(y －2a )2＝0⇒y ＝2a ≥c －a ⇒e ＝ca ≤3. 答案：(1,3]。
《三维设计》2015届高考数学苏教,理科大一轮复习配套讲义备考基础查清热点命题悟通：第七章 立 体 几 何
第七章立体几何第一节空间点、直线、平面之间的位置关系对应学生用书P941．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．作用：可用来证明点、直线在平面内．公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．作用：①可用来确定两个平面的交线；②判断或证明多点共线；③判断或证明多线共点．公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．作用：①用来确定一个平面；②证明点线共面．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 公理3及它的三个推论是确定点、线共面的依据． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 作用：判断空间两条直线平行的依据． 2．空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类：⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角：①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. (3)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．空间直线与平面，平面与平面之间的位置关系1．异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交．2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．[试一试]1．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；(3)设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上述命题中，真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．解析：由面面平行的判定定理可知，(1)正确．由线面平行的判定定理可知，(2)正确．对(3)来说，l只垂直于α和β的交线l，得不到l是α的垂线，故也得不出α⊥β.对(4)来说，l只有和α内的两条相交直线垂直，才能得到l⊥α.也就是说当l垂直于α内的两条平行直线的话，l不垂直于α.答案：(1)(2)2．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________．解析：b与α相交或b⊂α或b∥α都可以．答案：b与α相交或b⊂α或b∥α1．求异面直线所成角的方法(1)平移法：即选点平移其中一条或两条直线使其转化为平面角问题，这是求异面直线所成角的常用方法．(2)补形法：即采用补形法作出平面角．2．证明共面问题的两种途径(1)首先由条件中的部分线(或点)确定一个平面，再证其他线(或点)在此平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这两个平面重合．3．证明共线问题的两种途径(1)先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上．4．证明共点问题的常用方法先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．[练一练](2014·镇江期末)如图，在多面体ABC-DEFG中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1.(1)证明：四边形ABED是正方形；(2)判断B，C，F，G是否四点共面，并说明理由；(3)连结CF，BG，BD，求证：CF⊥平面BDG.解：(1)证明：⎭⎪⎬⎪⎫平面ABC ∥平面DEFG平面ABED ∩平面ABC ＝AB 平面ABED ∩平面DEFG ＝DE ⇒AB ∥DE . 同理AD ∥BE ，则四边形ABED 是平行四边形． 又AD ⊥AB ，AD ＝AB ，所以四边形ABED 是正方形． (2)取DG 的中点P ，连结P A ，PF . 在梯形EFGD 中，PF ∥DE 且PF ＝DE .又AB ∥DE 且AB ＝DE ，所以AB ∥PF 且AB ＝PF ，所以四边形ABFP 为平行四边形，则AP ∥BF .在梯形ACGD 中，AP ∥CG ，所以BF ∥CG ， 所以B ，C ，F ，G 四点共面．(3)证明：同(1)中证明方法知四边形BFGC 为平行四边形． 又有AC ∥DG ，EF ∥DG ，从而AC ∥EF .⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫AC ∥EF AC ⊥AD ⇒EF ⊥AD BE ∥AD⇒BE ⊥EF . 又BE ＝AD ＝2，EF ＝1，故BF ＝ 5.而BC ＝5，故四边形BFGC 为菱形，所以CF ⊥BG . 连结AE ，又由AC ∥EF 且AC ＝EF 知CF ∥AE . 在正方形ABED 中，AE ⊥BD ，故CF ⊥BD .⎭⎪⎬⎪⎫CF ⊥BGCF ⊥BD BG ∩BD ＝B ⇒CF ⊥平面BDG . 对应学生用书P95考点一 平面的基本性质及应用1．下列命题：(1)若m⊂α，m⊥β，则α⊥β；(2)若m⊂α，α∩β＝n，α⊥β，则m⊥n；(3)若m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则m∥n.其中真命题是________(填序号)．解析：(2)中，m∥n，m与n相交都有可能．答案：(1)(3)2．下列命题：①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．其中正确命题有________个．解析：对于①，未强调三点不共线，故①错误；②正确；对于③，三条直线两两相交，如空间直角坐标系，能确定三个平面，故③正确；对于④，未强调三点共线，则两平面也可能相交，故④错误．答案：23．如图，已知：E，F，G，H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，证明：EF，HG，DC三线共点．证明：连结C1B，HE，GF，如图所示．由题意知HC1綊EB，∴四边形HC1BE是平行四边形，∴HE∥C1B.又C1G＝GC，CF＝BF，故GF綊12C1B，∴GF∥HE，且GF≠HE，∴HG与EF相交，设交点为K，则K∈HG.又HG⊂平面D1C1CD，∴K∈平面D1C1CD.∵K∈EF，EF⊂平面ABCD，∴K∈平面ABCD.∵平面D1C1CD∩平面ABCD＝DC，∴K∈DC，∴EF，HG，DC三线共点．[备课札记][类题通法]1．证明共点问题的关键是先确定点后，再证明此点在第三条直线上，这个第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，可以利用公理3证明．2．证明过程中要注意符号语言表达准确，公理成立的条件要完善．[典例](1)β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是________．[解析]依据题意，b，c分别为a在α，β内的射影，可判断b，c相交、平行或异面均可．[答案]相交、平行或异面(2)已知空间四边形ABCD中，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边BC，CD 的中点．①求证：BC与AD是异面直线；②求证：EG与FH相交．[证明]①假设BC与AD共面，不妨设它们所共平面为α，则B，C，A，D∈α.所以四边形ABCD为平面图形，这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾．所以BC与AD 是异面直线．②如图，连结AC，BD，则EF∥AC，HG∥AC，因此EF∥HG；同理EH∥FG，则EFGH为平行四边形．又EG，FH是▱EFGH的对角线，所以EG与HF相交．[备课札记][类题通法]1．异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．2．客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．[针对训练]若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则下列结论正确的是________．(填写序号)①α内的所有直线与l异面②α内不存在与l平行的直线③α内存在唯一的直线与l平行④α内的直线与l都相交解析：如图，设l∩α＝A，α内直线若经过A点，则与直线l相交；若不经过点A，则与直线l异面．答案：②对应学生用书P96[课堂练通考点]1．(2014·泰州期末)在空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列四个命题：(1)若a∥b，b∥c，则a∥c；(2)若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；(3)若a∥γ，b∥γ，则a∥b；(4)若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号为________．解析：根据公理4“平行于同一条直线的两条直线互相平行”知(1)是正确的；根据线面垂直性质定理“同垂直一个平面的两条直线平行”知(4)是正确的；(2)(3)均不恒成立．故填(1)(4)．答案：(1)(4)2．已知m，n，l是三条直线，α，β是两个平面，下列命题中，正确命题的序号是________．(1)若l垂直于α内两条直线，则l⊥α；(2)若l平行于α，则α内有无数条直线与l平行；(3)若m∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；(4)若m⊥α，m⊥β，则α∥β.解析：(1)中只有当两条直线相交时，l⊥α才成立，所以(1)不正确；若l∥α，则过l任作平面β与α相交，则交线必与l平行，由于β的任意性，故(2)正确；(3)m与n可以平行可以异面，故(3)不正确；(4)正确．答案：(2)(4)3．(2013·南通三模)已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m，且l⊥n”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一)．解析：当l⊥α时，有l⊥m且l⊥n；当l⊥m且l⊥n时，由于m，n不一定相交，故l不一定垂直于α.答案：充分不必要4．设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．其中真命题的个数是________．解析：∵a⊥b，b⊥c，∴a与c可以相交、平行、异面，故①错．∵a，b异面，b，c异面，则a，c可能异面、相交、平行，故②错．由a，b相交，b，c相交，则a，c可以异面、相交、平行，故③错．同理④错，故真命题的个数为0.答案：05．(2014·苏州调研)设α，β为两个不重合的平面，m，n为两条不重合的直线，给出下列四个命题：(1)若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥α；(2)若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；(3)若m⊥n，m∥α，n∥β，则α⊥β；(4)若n⊂α，m⊂β，α与β相交且不垂直，则n与m不垂直．其中所有真命题的序号是________．解析：(1)(2)正确；(3)错误，α，β相交或平行；(4)错误，n与m可以垂直，不妨令n＝α∩β，则在β内存在m⊥n.答案：(1)(2)[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．(2013·苏锡常镇、连云港、徐州六市调研(一))已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题：(1)若l⊂β，且α⊥β，则l⊥α；(2)若l⊥β，且α∥β，则l⊥α；(3)若l⊥β，且α⊥β，则l∥α；(4)若α∩β＝m，且l∥m，则l∥α.则所有正确命题的序号是________．解析：对于(1)，若l⊂β，且α⊥β，则l⊥α或l∥α或l与α相交；对于(3)(4)，还可能l ⊂α；故(1)(3)(4)错误．答案：(2)2．(2013·南京三模)已知l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题：(1)若l∥m，n⊥m，则n⊥l；(2)若l∥m，m⊂α，则l∥α；(3)若l⊂α，m⊂β，α∥β，则l∥m；(4)若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γ.其中真命题是________(写出所有真命题的序号)．解析：(2)错误在于可能l⊂α；(3)错误在于可能l与m为异面直线．答案：(1)(4)3．(2014·广州模拟)若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一)．解析：若两直线为异面直线，则两直线无公共点，反之不一定成立．答案：充分不必要4．(2014·南京、盐城一模)下列四个命题：(1)过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；(2)过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；(3)如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行；(4)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．其中所有真命题的序号是________．解析：由有关定理、公理易知(1)(3)(4)正确．答案：(1)(3)(4)5．(2013·扬州三调)在所有棱长都相等的三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下列四个命题：(1)BC∥平面PDF；(2)DF∥平面P AE；(3)平面PDF⊥平面ABC；(4)平面PDF⊥平面P AE.其中正确命题的序号为________．解析：由条件可证BC∥DF，则BC∥平面PDF，从而(1)正确；因为DF与AE相交，所以(2)错误；取DF中点M(如图)，则PM⊥DF，且可证PM与AE不垂直，所以(3)错误；而DM⊥PM，DM⊥AM，则DM⊥平面P AE.又DM⊂平面PDF，故平面PDF⊥平面P AE，所以(4)正确．综上所述，正确命题的序号为(1)(4)．答案：(1)(4)6．(2013·南通二模)设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(填序号)．解析：因为当n⊥β，m⊥α时，平面α及β所成的二面角与直线m，n所成的角相等或互补，所以若m⊥n，则α⊥β，从而由①③④⇒②；同理若α⊥β，则m⊥n，从而有②③④⇒①.答案：①③④⇒②或②③④⇒①7.(2014·苏州调研)如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线P A垂直于圆O所在的平面，点M是线段PB的中点．有以下四个命题：(1)P A∥平面MOB；(2)MO∥平面P AC；(3)OC⊥平面P AC；(4)平面P AC⊥平面PBC.其中正确的是________(填序号)．解析：(1)因为P A在平面MOB内，所以(1)错误；(2)因为MO∥P A，MO⊄平面P AC，P A⊂平面P AC，所以MO∥平面P AC；(3)因为P A垂直于圆O所在的平面，所以P A⊥BC.又BC⊥AC，AC∩P A＝A，所以BC⊥平面P AC.因为空间内过一点作已知平面的垂线有且只有一条，所以OC⊥平面P AC不成立，(3)错误；(4)由(3)知BC⊥平面P AC，且BC⊂平面PBC，所以平面P AC⊥平面PBC.正确命题的序号是(2)(4)．答案：(2)(4)8．过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作________条．解析：如图，连结体对角线AC1，显然AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为 2.联想正方体的其他体对角线，如连结BD1，则BD1与棱BC，BA，BB1所成的角都相等，∵BB1∥AA1，BC∥AD，∴体对角线BD1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，同理，体对角线A1C，DB1也与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，过A点分别作BD1，A1C，DB1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条．答案：49.如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱有________条．解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条．答案：510.如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：还原成正四面体知GH 与EF 为异面直线，BD 与MN 为异面直线，GH 与MN 成60°角，DE ⊥MN .答案：②③④11．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB ，CD ，EF ，GH 在原正方体中互为异面的对数为________对．解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB ，CD ，EF 和GH 在原正方体中，显然AB 与CD ，EF 与GH ，AB 与GH 都是异面直线，而AB 与EF 相交，CD 与GH 相交，CD 与EF 平行．故互为异面的直线有且只有3对．答案：312．如图所示，正方体的棱长为1，B ′C ∩BC ′＝O ，则AO 与A ′C ′所成角的度数为________．解析：∵A ′C ′∥AC ，∴AO 与A ′C ′所成的角就是∠OAC . ∵OC ⊥OB ，AB ⊥平面BB ′CC ′， ∴OC ⊥AB .又AB ∩BO ＝B ， ∴OC ⊥平面ABO .又OA ⊂平面ABO ，∴OC ⊥OA . 在Rt △AOC 中，OC ＝22，AC ＝2， sin ∠OAC ＝OC AC ＝12，∴∠OAC ＝30°.即AO 与A ′C ′所成角的度数为30°. 答案：30°第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·苏锡常镇、连云港、徐州六市调研(二))在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角为α，β，则有cos 2α＋cos 2β＝1.类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，对角线AC 1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则________．解析：设长方体的棱长分别为a ，b ，c ，如图所示，所以AC 1与下底面所成角为∠C 1AC ，记为α，所以cos 2α＝AC2AC 21＝a 2＋b 2a 2＋b 2＋c2，同理cos 2β＝a 2＋c 2a 2＋b 2＋c 2，cos 2γ＝b 2＋c 2a 2＋b 2＋c2，所以cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2.答案：cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝22．如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G ，H 分别为F A ，FD 的中点．(1)求证：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？ 解：(1)证明：由题设知，FG ＝GA ，FH ＝HD ， 所以GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，故GH 綊BC .所以四边形BCHG 是平行四边形． (2)C ，D ，F ，E 四点共面．理由如下： 由BE 綊12AF ，G 是F A 的中点知，BE 綊GF ，所以EF 綊BG .由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，故EC 、FH 共面． 又点D 在直线FH 上，所以C ，D ，F ，E 四点共面．第二节直线、平面平行的判定与性质对应学生用书P961．直线与平面平行的判定定理和性质定理1．直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件．2．面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件．3．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交．[试一试]1．下列说法中正确的是________(填序号)．①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．解析：由线面平行的性质定理知①④正确；由直线与平面平行的定义知②正确；③错误，因为经过一点可作一直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面．答案：①②④2．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；②若m∥l，且m∥α，则l∥α；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；④若α∩β＝m ，β∩γ＝l ，γ∩α＝n ，且n ∥β，则l ∥m . 其中正确命题的个数是________．解析：易知①正确；②错误，l 与α的具体关系不能确定；③错误，以墙角为例即可说明；④正确，可以以三棱柱为例说明．答案：21．转化与化归思想——平行问题中的转化关系2．判断线面平行的两种常用方法面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：(1)利用线面平行的判定定理；(2)利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面． [练一练]1．a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出四个命题 ①⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β ②⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β③⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒a ∥α ④⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γα∥γ⇒α∥a 其中正确的命题是________(填序号)．解析：②正确．①错在α与β可能相交．③④错在a 可能在α内．答案：②2．如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件______时，有MN∥平面B1BDD1.解析：由平面HNF∥平面B1BDD1知，当M点满足在线段FH上有MN∥平面B1BDD1.答案：M∈线段FH对应学生用书P97线面平行、面面平行的基本问题考点一1①若m⊂α，l∩α＝A，A∉m，则l与m不共面；②若m，l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③若m，n是相交直线，m⊂α，m∥β，n⊂α，n∥β，则α∥β；④若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m.其中真命题有________个．解析：由异面直线的判定定理，易知①是真命题；由线面平行的性质知，存在直线l′⊂α，m′⊂α，使得l∥l′，m∥m′，∵m，l是异面直线，∴l′与m′是相交直线，又n⊥l，n⊥m，∴n⊥l′，n⊥m′，故n⊥α，②是真命题；由线面平行的性质和判定知③是真命题；满足条件l∥α，m∥β，α∥β的直线m，l或相交或平行或异面，故④是假命题．答案：32．(2014·济宁模拟)过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．解析：过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条．答案：6[备课札记][类题通法]解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽视．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．直线与平面平行的判定与性质考点二[典例](2013·新课标卷Ⅱ)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，求三棱锥C-A1DE的体积．[解](1)证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF .因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD . (2)因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD .由已知AC ＝CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB .又AA 1∩AB ＝A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1.由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22得∠ACB ＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3， 故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE ⊥A 1D . 所以VC -A 1DE ＝13×12×6×3×2＝1.[备课札记]在本例条件下，线段BC 1上是否存在一点M 使得DM ∥平面A 1ACC 1？ 解：存在．当M 为BC 1的中点时成立． 证明如下：连结DM ，在△ABC 1中， D ，M 分别为AB ，BC 1的中点 ∵DM 綊12AC 1，又DM ⊄平面A 1ACC 1AC 1⊂平面A 1ACC 1，∴DM ∥平面A 1ACC 1. [类题通法]证明线面平行的关键点及探求线线平行的方法(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线； (2)利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；(3)注意说明已知的直线不在平面内，即三个条件缺一不可． [针对训练]如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝DC ＝12AB ＝1，M 是PB 的中点．(1)求证：AM ＝CM ；(2)若N 是PC 的中点，求证：DN ∥平面AMC . 证明：(1)∵在直角梯形ABCD 中，AD ＝DC ＝12AB ＝1，∴AC ＝2，BC ＝2，∴BC ⊥AC ，又P A ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥P A ，又P A ∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥PC .在Rt △P AB 中，M 为PB 的中点，则AM ＝12PB ，在Rt △PBC 中，M 为PB 的中点， 则CM ＝12PB ，∴AM ＝CM .(2)如图，连结DB 交AC 于点F ， ∵DC 綊12AB ，∴DF ＝12FB .取PM 的中点G ，连结DG ，FM ， 则DG ∥FM ，又DG ⊄平面AMC ，FM ⊂平面AMC ， ∴DG ∥平面AMC .连结GN ，则GN ∥MC ，GN ⊄平面AMC ， MC ⊂平面AMC . ∴GN ∥平面AMC ， 又GN ∩DG ＝G ， ∴平面DNG ∥平面AMC ， 又DN ⊂平面DNG ， ∴DN ∥平面AMC .考点三平面与平面平行的判定与性质[典例]1111O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝ 2.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD-A1B1D1的体积．[解](1)证明：由题设知，BB1綊DD1，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1.又B D⃘平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.∵A1D1綊B1C1綊BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C.又A1B⃘平面CD1B1，∴A1B∥平面CD1B1.又∵BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1.(2)∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O是三棱柱ABD-A1B1D1的高．又∵AO＝12AC＝1，AA1＝2，∴A1O＝AA21－OA2＝1.又∵S△ABD＝12×2×2＝1，∴VABD-A1B1D1＝S△ABD×A1O＝1.[备课札记][类题通法]判断面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理；(2)面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)；(3)利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．[针对训练]如图，在直四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B，D1D，DA的中点．求证：(1)平面AD1E∥平面BGF；(2)D1E⊥AC.证明：(1)∵E，F分别是B1B和D1D的中点，∴D1F綊BE.∴四边形BED1F是平行四边形，∴D1E∥BF；又∵D1E⊄平面BGF，BF⊂平面BGF，∴D1E∥平面BGF.∵FG是△DAD1的中位线，∴FG∥AD1；又AD1⊄平面BGF，FG⊂平面BGF，∴AD1∥平面BGF.又∵AD1∩D1E＝D1，∴平面AD1E∥平面BGF.(2)连结BD，B1D1，∵底面是正方形，∴AC⊥BD.∵D1D⊥AC，D1D∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.∵D1E⊂平面BDD1B1，∴D1E⊥AC.对应学生用书P98[课堂练通考点]1．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥b，a∥α，则b∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b.其中真命题的个数是________．解析：对于①，若a∥b，b⊂α，则应有a∥α或a⊂α，所以①不正确；对于②，若a∥b，a∥α，则应有b∥α或b⊂α，因此②不正确；对于③，若a∥α，b∥α，则应有a∥b或a与b相交或a与b异面，因此③是假命题．综上，在空间中，以上三个命题都是假命题．答案：02．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________．解析：对于图形①，平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP；对于图形④，AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行．答案：①④3．(2014·南京学情调研)已知α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题：(1)若m∥n，n∥α，则m∥α；(2)若m⊥α，m⊥β，则α∥β；(3)若α∩β＝n，m∥α，m∥β，则m∥n；(4)若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n.其中是真命题的是________(填序号)．解析：对于(1)，由m∥n，n∥α得m∥α或m⊂α，故(1)错误；根据空间中直线与平面的平行、垂直关系进行一一判断．答案：(2)(3)(4)4.如图所示，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．解析：连结AM 并延长，交CD 于E ，连结BN ，并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E ，F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD .答案：平面ABC 、平面ABD5.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面EF A 1∥平面BCHG .证明：(1)∵GH 是△A 1B 1C 1的中位线， ∴GH ∥B 1C 1.又∵B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC . ∴B ，C ，H ，G 四点共面．(2)∵E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴EF ∥BC . ∵EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ， ∴EF ∥平面BCHG .∵A 1G 綊EB ，∴四边形A 1EBG 是平行四边形． ∴A 1E ∥GB .∵A 1E ⊄平面BCHG ，GB ⊂平面BCHG . ∴A 1E ∥平面BCHG .∵A 1E ∩EF ＝E ，∴平面EF A 1∥平面BCHG .[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·常州模拟)给出下列命题：(1)若线段AB 在平面α内，则直线AB 上的点都在平面α内； (2)若直线a 在平面α外，则直线a 与平面a 没有公共点；(3)两个平面平行的充分条件是其中一个平面内有无数条直线平行于另一个平面；(4)设a，b，c是三条不同的直线，若a⊥b，a⊥c，则b∥c.上述命题中，假命题的序号是________．解析：对于(1)，若线段AB在平面α内，则A，B∈α，故由公理1可得直线AB上的点都在平面α内；对于(2)，直线a在平面α外还包含直线a与平面α相交；对于(3)，两个平面平行，则一个平面内所有直线都平行于另一个平面，故其中一个平面内有无数条直线平行于另一个平面是其必要条件；对于(4)，b，c还可能相交或异面．故(2)(3)(4)为假命题．答案：(2)(3)(4)2．(2014·河北教学质量检测)已知α，β是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α.可以推出α∥β的是________(填写序号)．解析：对于②，平面α与β还可以相交；对于③，当a∥b时，不一定能推出α∥β，所以②③是错误的，易知①④正确．答案：①④3．(2014·南通一模)关于直线m，n和平面α，β有以下四个命题：(1)若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；(2)若m∥n，m⊂α，n⊥β，则α⊥β；(3)若α∩β＝m，m∥n，则n∥α且n∥β；(4)若m⊥n，α∩β＝m，则n⊥α或n⊥β.其中假命题的序号是________．解析：(1)中，m，n也可以相交，故(1)是假命题；(2)正确；(3)中，n还可以在α内或β内，故(3)是假命题；(4)中，只有当α⊥β时，命题才成立．故假命题的序号是(1)(3)(4)．答案：(1)(3)(4)4．(2014·南京一模)已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题：(1)若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β；(2)若l⊂α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；(3)若α∥β，l∥α，则l∥β；(4)若l⊥α，m∥l，α∥β，则m⊥β.其中真命题是________(填序号)．解析：(1)只有当l与m相交时，才可得到α∥β；(3)l可能在平面β内；(2)(4)正确．答案：(2)(4)5．(2013·盐城二调)已知l是一条直线，α，β是两个不同的平面．若从“①l⊥α；②l∥β；③α⊥β”中选取两个作为条件，另一个作为结论，试写出一个你认为正确的命题________(请用序号表示)．解析：由两个作为条件，另一个作为结论的所有可能情形有：①②→③；①③→②；②③→①.其中①③→②不正确，l还可以在平面β内；②③→①不正确，l还可以在平面α内，也可以平行于平面α；①②→③是正确命题．答案：①②→③6．(2014·惠州调研)已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的有________．①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若m⊥α，n⊥α，则m∥n.解析：若m∥α，n∥α，m，n可以平行，可以相交，也可以异面，故①不正确；若α⊥γ，β⊥γ，α，β可以相交，故②不正确；若m∥α，m∥β，α，β可以相交，故③不正确；若m⊥α，n⊥α，则m∥n，④正确．答案：④7．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q 是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面P AO.解析：假设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥P A.连结DB，因为P，O 分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，又D1B⊄平面P AO，QB⊄平面P AO，所以D1B∥平面P AO，QB∥平面P AO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面P AO.故Q满足条件Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面P AO.答案：Q为CC1的中点8．设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有________．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．。
《三维设计》2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套课时训练：(五十三) 圆的方程
课时跟踪检测(五十三) 圆的方程第Ⅰ组：全员必做题1. (2014·郑州第一次质检)以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＋2x ＝0B ．x 2＋y 2＋x ＝0C ．x 2＋y 2－x ＝0D ．x 2＋y 2－2x ＝02. (2013·东城二模)已知圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝1上一点P 到直线3x －4y －3＝0距离为d ，则d 的最小值为( )A ．1 B.45 C.25D ．23. (2014·温州模拟)已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 为切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A ．4B ．3C ．2D. 24．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝43 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝13 C ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43D ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝135．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π6. (2014·金华十校联考)已知圆C 的半径为1，圆心在第一象限，与y 轴相切，与x 轴相交于点A 、B ，且AB ＝3，则该圆的标准方程是________．7．已知圆C 的圆心与点M (1，－1)关于直线x －y ＋1＝0对称，并且圆C 与x －y ＋1＝0相切，则圆C 的方程为________．8. (创新题)已知直线2ax＋by＝1(a，b是实数)与圆O：x2＋y2＝1(O是坐标原点)相交于A，B两点，且△AOB是直角三角形，点P(a，b)是以点M(0,1)为圆心的圆M上的任意一点，则圆M的面积的最小值为________．9. 在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－3y＝4相切．(1)求圆O的方程；(2)圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使|P A|，|PO|，|PB|成等比数列，求PA·PB的取值范围．10. (2014·蚌埠质检)已知矩形ABCD的对角线交于点P(2,0)，边AB所在直线的方程为x－3y－6＝0，点(－1,1)在边AD所在的直线上．(1)求矩形ABCD的外接圆的方程；(2)已知直线l：(1－2k)x＋(1＋k)y－5＋4k＝0(k∈R)，求证：直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l的方程．第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·石家庄模拟)已知两点A(0，－3)、B(4,0)，若点P是圆Cx2＋y2－2y ＝0上的动点，则△ABP面积的最小值为()A．6 B.11 2C．8 D.21 22．(2014·北京东城区模拟)已知圆x2＋y2＝9与圆x2＋y2－4x＋4y－1＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为________．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．选D 抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，选项A 中圆的圆心坐标为(－1,0)，排除A ；选项B 中圆的圆心坐标为(－0.5，0)，排除B ；选项C 中圆的圆心坐标为(0.5,0)，排除C.2．选A ∵圆心C (－1,1)到直线3x －4y －3＝0距离为－－4－3|5＝2，∴d min ＝2－1＝1.3．选C 圆C 的方程可化为x 2＋(y －1)2＝1，因为四边形P ACB 的最小面积是2，且此时切线长为2，故圆心(0,1)到直线kx ＋y ＋4＝0的距离为5，即51＋k 2＝5，解得k ＝±2，又k ＞0，所以k ＝2.4．选C 由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23π，设圆心(0，a ), 半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43. 5．选B 设P (x ，y )，由题意知有，(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，整理得x 2－4x ＋y 2＝0，配方得(x －2)2＋y 2＝4.可知圆的面积为4π.6．解析：依题可设⊙C ：(x －1)2＋(y －b )2＝1(b ＞0)，且⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋b 2＝1，可解得b ＝12，所以⊙C 的标准方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1.答案：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝17．解析：所求圆的圆心为(－2,2)，设圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝r 2(r ＞0)，则圆心(－2,2)到直线x －y ＋1＝0的距离为r ，得r ＝322，故圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝92.答案： (x ＋2)2＋(y －2)2＝928．解析：因为直线与圆O 相交所得△AOB 是直角三角形，可知∠AOB ＝90°，所以圆心O 到直线的距离为12a 2＋b2＝22，所以a 2＝1－12b 2≥0，即－2≤b ≤ 2.设圆M 的半径为r ，则r ＝|PM |＝a 2＋(b －1)2＝12b 2－2b ＋2＝22(2－b )，又－2≤b ≤2，所以2＋1≥|PM |≥2－1，所以圆M 的面积的最小值为(3－22)π.答案：(3－22)π9．解：(1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，即r ＝|－4|1＋3＝2， 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4. (2)由(1)知A (－2,0)，B (2,0)．设P (x ，y )，则由|P A |，|PO |，|PB |成等比数列得， (x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2， 即x 2－y 2＝2.PA ·PB ＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)，由于点P 在圆O 内，故⎩⎨⎧x 2＋y 2＜4，x 2－y 2＝2，由此得y 2＜1，所以PA ·PB 的取值范围为 [－2,0)．10．解：(1)∵l AB ：x －3y －6＝0且AD ⊥AB ， ∴k AD ＝－3，点(－1,1)在边AD 所在的直线上， ∴AD 所在直线的方程是y －1＝－3(x ＋1)， 即3x ＋y ＋2＝0.由⎩⎨⎧x －3y －6＝0，3x ＋y ＋2＝0得A (0，－2)． ∴|AP |＝4＋4＝22，∴矩形ABCD 的外接圆的方程是(x －2)2＋y 2＝8.(2)证明：直线l 的方程可化为k (－2x ＋y ＋4)＋x ＋y －5＝0，l 可看作是过直线－2x ＋y ＋4＝0和x ＋y －5＝0的交点(3,2)的直线系，即l 恒过定点Q (3,2)，由|QP |2＝(3－2)2＋22＝5＜8知点Q 在圆P 内，所以l 与圆P 恒相交，设l 与圆P 的交点为M ，N ， |MN |＝28－d 2(d 为P 到l 的距离)，设PQ 与l 的夹角为θ，则d ＝|PQ |·sin θ＝ 5sin θ，当θ＝90°时，d 最大，|MN |最短．此时l 的斜率为PQ 的斜率的负倒数，即－12，故l 的方程为y －2＝－12(x －3)，即l ：x ＋2y －7＝0. 第Ⅱ组：重点选做题1.选B 如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，这时△ABP 的面积最小．直线AB 的方程为x 4＋y －3＝1，即3x －4y －12＝0，圆心C 到直线AB 的距离为d ＝|3×0－4×1－12|32＋(－4)2＝165， ∴△ABP 的面积的最小值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫165－1＝112.2．解析：由题易知，直线l 是两圆圆心连线构成线段的垂直平分线，两圆的圆心坐标分别是(0,0)，(2，－2)，于是其中点坐标是(1，－1)，又知过两圆圆心的直线的斜率是－1，所以直线l 的斜率是1，于是可得直线l 的方程为：y ＋1＝x －1，即x －y －2＝0.答案：x －y －2＝0。
《三维设计》2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套课时训练：(一) 集 合(含14年最新题及答案解析)
课时跟踪检测(一)集合第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·哈尔滨四校统考)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，xy∈A}，则B的所有真子集的个数为()A．512B．256C．255 D．2542．(2013·佛山一模)设全集U＝{x∈N*|x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则∁U(A∪B)等于()A．{1,4} B．{2,4}C．{2,5} D．{1,5}3．(2013·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则()A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．B⊆A D.A⊆B4．(2014·太原诊断)已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|y＝ln(x－2)}，则(∁R B)∩A＝()A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1<x≤2} D．{x|x<2}5．(2013·郑州质检)若集合A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，则满足条件的实数x有()A．1个B．2个C．3个D．4个6．(2014·湖北八校联考)已知M＝{a||a|≥2}，A＝{a|(a－2)(a2－3)＝0，a∈M}，则集合A的子集共有()A．1个B．2个C．4个D．8个7．(2014·江西七校联考)若集合P＝{x|3<x≤22}，非空集合Q＝{x|2a＋1≤x<3a－5}，则能使Q⊆(P∩Q)成立的所有实数a的取值范围为()A．(1,9) B．[1,9]C．[6,9) D．(6,9]8．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q＝()A．{x|0<x<1} B．{x|0<x≤1}C．{x|1≤x<2} D．{x|2≤x<3}9．已知全集U ＝{－2，－1,0,1,2}，集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2n －1，x ，n ∈Z ，则∁U A ＝________. 10．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________．11．已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，则m ＝________.12．设集合S n ＝{1,2,3，…，n }，若X ⊆S n ，把X 的所有元素的乘积称为X 的容量(若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X 的容量为奇(偶)数，则称X 为S n 的奇(偶)子集．则S 4的所有奇子集的容量之和为________．第Ⅱ组：重点选做题1．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}，B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a ＞0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，求实数a 的取值范围．2．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧ log 12(x ＋2)>－3x 2≤2x ＋15，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}． (1)求集合A ；(2)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．选C 由题意知当x ＝1时，y 可取1,2,3,4；当x ＝2时，y 可取1,2；当x ＝3时，y 可取1；当x ＝4时，y 可取1.综上，B 中所含元素共有8个，所以其真子集有28－1＝255个．选C.2．选B 由题意易得U ＝{1,2,3,4,5}，A ∪B ＝{1,3,5}，所以∁U (A ∪B )＝{2,4}．故选B.3．选B 集合A ＝{x |x ＞2或x ＜0}，所以A ∪B ＝{x |x ＞2或x ＜0}∪{x |－5＜x ＜5}＝R .4．选C 集合A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |x >2}，则(∁R B )∩A ＝{x |1<x ≤2}，选C.5．选B ∵A ＝{0,1,2，x }，B ＝{1，x 2}，A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴x 2＝0或x 2＝2或x 2＝x ，解得x ＝0或2或－2或1.经检验当x ＝2或－2时满足题意．6．选B |a |≥2⇒a ≥2或a ≤－2.又a ∈M ，(a －2)·(a 2－3)＝0⇒a ＝2或a ＝±3(舍)，即A 中只有一个元素2，故A 的子集只有2个．7．选D 依题意，P ∩Q ＝Q ，Q ⊆P ，于是⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1<3a －5，2a ＋1>3，3a －5≤22，解得6<a ≤9，即实数a 的取值范围是(6,9]．8．选B 由log 2x <1，得0<x <2，所以P ＝{x |0<x <2}；由|x －2|<1，得1<x <3，所以Q ＝{x |1<x <3}．由题意，得P －Q ＝{x |0<x ≤1}．9．解析：因为A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2n －1，x ，n ∈Z ， 当n ＝0时，x ＝－2；n ＝1时不合题意；n ＝2时，x ＝2；n ＝3时，x ＝1；n ≥4时，x ∉Z ；n ＝－1时，x ＝－1；n ≤－2时，x ∉Z .故A ＝{－2,2,1，－1}，又U ＝{－2，－1,0,1,2}，所以∁U A ＝{0}．答案：{0}10．解析：∵1∉{x |x 2－2x ＋a >0}，∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}，即1－2＋a ≤0，∴a ≤1.答案：(－∞，1]11．解析：A ＝{－1,2}，B ＝∅时，m ＝0；B ＝{－1}时，m ＝1；B ＝{2}时，m ＝－12. 答案：0,1，－1212．解析：∵S 4＝{1,2,3,4}，∴X ＝∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}．其中是奇子集的为X ＝{1}，{3}，{1,3}，其容量分别为1,3,3，所以S 4的所有奇子集的容量之和为7.答案：7第Ⅱ组：重点选做题1．解：A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}＝{x |x ＞1或x ＜－3}，函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1的对称轴为x ＝a ＞0，f (－3)＝6a ＋8＞0，根据对称性可知，要使A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有f (2)≤0且f (3)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4－4a －1≤0，9－6a －1＞0，所以⎩⎨⎧ a ≥34，a ＜43，即34≤a ＜43.故实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫34，43.2．解：(1)解不等式log 12(x ＋2)>－3得：－2<x <6.①解不等式x 2≤2x ＋15得：－3≤x ≤5.② 由①②求交集得－2<x ≤5，即集合A ＝(－2,5]．(2)当B ＝∅时，m ＋1>2m －1，解得m <2；当B ≠∅时，由⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1>－2，2m －1≤5解得2≤m ≤3，故实数m 的取值范围为(－∞，3]．。
《三维设计》2015届高考数学(苏教,理科)大一轮解答题规范专练：三角函数、解三角形4
解答题规范专练(二) 三角函数、解三角形1. (2014·西安一模)已知函数f(x)＝ sin 2x －cos2x － , x ∈R.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)设△ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 且c ＝ , f(C)＝0, sin B ＝2sin A, 求a, b 的值.2. (2014·石家庄模拟)已知f(x)＝4cos xcos －2.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间 上的最大值和最小值.3. (2014·苏州模拟)已知A, B, C 是△ABC 的三个内角, 向量m ＝(sin A －sin B, sin C), 向量n ＝( sin A －sin C, sin A ＋sin B), 且m ∥n.(1)求角B ；(2)若sin A ＝ , 求cos C 的值.答 案1. 解: (1)∵f(x)＝ sin 2x － － ＝sin －1,∴函数f (x )的最小正周期是T ＝2π2＝π. (2)∵f(x)＝sin －1, 且f(C)＝0,∴f(C)＝sin －1＝0,即sin(2C － )＝1,∵0<C<π, ∴0<2C<2π,∴－ <2C － < ,∴2C － ＝ , ∴C ＝ .∵sin B ＝2sin A,∴由正弦定理得 ＝ , ①由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos ,即a2＋b2－ab ＝3, ②由①②解得a ＝1, b ＝2.2. 解：(1)因为f(x)＝4cos xcos －2＝4cos x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x －2 ＝3sin 2x ＋2cos 2x －2＝3sin 2x ＋cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1. 所以f (x )的最小正周期是T ＝2π2＝π. (2)因为－ ≤x ≤ , 所以－π6≤2x ＋π6≤2π3. 于是当2x ＋ ＝ , 即x ＝ 时,f (x )取得最大值1；当2x ＋ ＝－ , 即x ＝－ 时, f(x)取得最小值－2.3. 解: (1)依题意得sin2A －sin2B ＝sin C ·( sin A －sin C)＝ sin Asin C －sin2C, 由正弦定理得, a2－b2＝ ac －c2,∴a 2＋c 2－b 2＝2ac .由余弦定理知, cos B ＝ ＝ ,∴B ＝π4. (2)∵sin A ＝ , ∴sin A< , ∴A<B.又B ＝ , ∴A< , ∴cos A ＝ ,∴cos C ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π4－A ＝cos 3π4cos A ＋sin 3π4sin A ＝－210.。
《三维设计》2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套课时训练：(五) 函数的单调性与最值
课时跟踪检测(五) 函数的单调性与最值第Ⅰ组：全员必做题1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |2．若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f (1)＝( )A ．－7B ．1C ．17D ．253.(创新题)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．124．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，x ＋c ，x <1，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上递增”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．(2014·长春调研)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (－x )＝0，且在(－∞，0)上单调递增，如果x 1＋x 2<0且x 1x 2<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．可能为0B ．恒大于0C ．恒小于0D ．可正可负6．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)，若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝__________. 7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．8．使函数y ＝2x ＋k x －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是________．9．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．10．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0. (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．第Ⅱ组：重点选做题1．设函数f (x )定义在R 上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12 B ．f ⎝⎛⎭⎫12<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫13 C ．f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13<f (2) D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫132．若函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)在区间(a,3a －1)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．选D y ＝x ＋1是非奇非偶函数，A 错；y ＝－x 3是减函数，B 错；y ＝1x在(0，＋∞)上为减函数，C 错；y ＝x |x |为奇函数，当x ≥0时，y ＝x 2为增函数，由奇函数性质得y ＝x |x |在R 上为增函数，故选D.2．选D 依题意，知函数图像的对称轴为x ＝－－m 8＝m 8＝－2，即 m ＝－16，从而f (x )＝4x 2＋16x ＋5，f (1)＝4＋16＋5＝25.3．选C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.4．选A 若函数f (x )在R 上递增，则需log 21≥c ＋1，即c ≤－1.由于c ＝－1⇒c ≤－1，但c ≤－1 ⇒/c ＝－1，所以“c ＝－1”是“f (x )在R 上递增”的充分不必要条件．故选A. 5．选C 由x 1x 2<0不妨设x 1<0，x 2>0.∵x 1＋x 2<0，∴x 1<－x 2<0.由f (x )＋f (－x )＝0知f (x )为奇函数．又由f (x )在(－∞，0)上单调递增得，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，所以f (x 1)＋f (x 2)<0.故选C.6．解析：由反比例函数的性质知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (2)＝2.即⎩⎨⎧ 1a －2＝12，1a －12＝2， 解得a ＝25. 答案：257.解析：g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.如图所示，其递减区间是[0,1)． 答案：[0,1)8．解析：由y ＝log 3(x －2)的定义域为(2，＋∞)，且为增函数，故在(3，＋∞)上是增函数．又函数y ＝2x ＋k x －2＝2(x －2)＋4＋k x －2＝2＋4＋k x －2，使其在(3，＋∞)上是增函数， 故4＋k <0，得k <－4.答案：(－∞，－4)9．解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2 ＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1.综上所述知0<a ≤1.10．解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0， 所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0， 因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数．∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得， f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2.∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.第Ⅱ组：重点选做题1．选C 由f (2－x )＝f (x )可知f (x )的图像关于直线x ＝1对称，当x ≥1时，f (x )＝ln x ，可知当x ≥1时f (x )为增函数，所以当x <1时f (x )为减函数，因为⎪⎪⎪⎪12－1<⎪⎪⎪⎪13－1<|2－1|，所以f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)．故选C.2．解析：由于f (x )＝|log a x |(0<a <1)的递减区间是(0,1]，所以有0<a <3a －1≤1，解得12<a ≤23. 答案：⎝⎛⎦⎤12，23。
【三维设计】2015届高考数学大一轮复习配套讲义(备考基础查清+热点命题悟通)第十四章 矩阵与变换
第十四章 矩阵与变换第一节矩阵及其变换1．乘法规则(1)行矩阵[a11 a12]与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤b11b21的乘法法则：[a11 a12]⎣⎢⎡⎦⎥⎤b11b21＝[a11b11＋a12b21]．(2)二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a11 a12a21 a22与列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0y0的乘法规则：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a11 a12a21 a22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0y0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a11x0＋a12y0a21x0＋a22y0. (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵，其乘法法则如下：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a11 a12a21 a22⎣⎢⎡⎦⎥⎤b11 b12b21 b22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a11b11＋a12b21 a11b12＋a12b22a21b11＋a22b21 a21b12＋a22b22. (4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律，即(AB)C ＝A(BC)． (5)AkAl ＝Ak ＋l ，(Ak)l ＝Akl(其中k ，l ∈N*)． 2．常见的平面变换(1)恒等变换：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，该变换把点(x ，y)变成(x ，y)，故矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001表示恒等变换．(2)反射变换：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x y ，该变换把点(x ，y)变成(－x ，y)，故矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1表示关于y 轴的反射变换；类似地，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0， 11 0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0， －1－1 0分别表示关于x 轴、直线y ＝x 和直线y ＝－x 的反射变换．(3)伸缩变换：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤100k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ky ，该变换把点(x ，y)变成点(x ，ky)，在此变换中，点的横坐标不变，纵坐标变成原来的k 倍，故矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1， 00 k 表示y 轴方向上的伸缩变换；类似地，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤s 001可以用来表示水平伸缩变换．(4)旋转变换：把点A(x ，y)绕着坐标原点逆时针旋转α角的变换，对应的矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α. (5)切变变换：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 s 01⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋sy y 表示的是沿x 轴的切变变换．沿y 轴的切变变换对应的矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0t1.(6)投影变换：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0，该变换把所有横坐标为x 的点都映射到了点(x,0)上，因此矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0表示的是x 轴上的投影变换．类似地，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 1表示的是y 轴上的投影变换．1．二阶矩阵的乘法运算律中，易忽视AB≠BA，AB ＝AC ⇒/ B ＝C ，但满足(AB)C ＝A(BC)． 2．易混淆绕原点逆时针旋转90°的变换与绕原点顺时针旋转90°的变换． [试一试]1．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－4 6，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤845 5，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 －23 1.求AB 和AC. 解：AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－4 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤8455＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －7－2 14， AC ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－4 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 －23 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －7－2 14.2．(2014·某某某某模拟)已知点A 在变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y y 作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点B ，若点B 的坐标为(－3,4)，求点A 的坐标．解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 2.设A(a ，b)，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，得⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－3，a ＋2b ＝4.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝3，即A(－2,3)．待定系数法在平面变换中的应用通过二阶矩阵与平面向量的乘法求出变换前与变换后坐标之间的变换公式，进而得到所求曲线(或点)，求解时应注意待定系数法的应用． [练一练]1．(2014·某某模拟)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 120 1，若矩阵AB 对应的变换把直线l ：x ＋y －2＝0变为直线l′，求直线l′的方程．解：易得AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 120 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 120 2，在直线l 上任取一点P(x′，y′)，经矩阵AB 变换为点Q(x ，y)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 120 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x′＋12y′ 2y′， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x′＋12y′，y ＝2y′，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x －14y ，y′＝y2，代入x′＋y′－2＝0中得x －14y ＋y2－2＝0，∴直线l′的方程为4x ＋y －8＝0. 对应学生用书P177考点一二阶矩阵的性质与运算[典例] 求使等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤243 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1成立的矩阵M. [解] 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤mn pq ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 43 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m －2n p －q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＝2，－2n ＝4，p ＝3，－q ＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－2，p ＝3，q ＝－5，即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －5.[备课札记][类题通法]1．矩阵相等实质上是矩阵对应元素相等，体现了方程思想，要注意矩阵对应元素相等． 2．矩阵的乘法只满足结合律，不满足交换律和消去律． [针对训练]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A2α＝β. 解：A2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3. 设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .由A2α＝β，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12， 从而⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2.解得x ＝－1，y ＝2，所以α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2.考点二平面图形的变换[典例] 在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标为A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)，求△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得到的图形△A′B′C′的面积，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2002，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0. 解：因为△ABC 在MN 作用下变换为 △A′B′C′， 且MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －22 0，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －22 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －22 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤04， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －22 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－24. 即A′(0,0)，B′(0,4)，C′(－2,4)． 可得S △A′B′C′＝4.所以△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得的图形的面积为4. [备课札记][类题通法]1．对于平面图形的变换要分清是伸缩、反射、还是切变变换．2．伸缩、反射、切变变换这三种几何变换称为初等变换，对应的变换矩阵为初等变换矩阵，由矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法对应于变换的复合，一一对应的平面变换都可以看作这三种初等变换的一次或多次的复合． [针对训练]在直角坐标系中，已知椭圆x2＋4y2＝1，矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤110，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 210，求椭圆x2＋4y2＝1，在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积． 解：MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 21 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2. 设(x0，y0)为椭圆x2＋4y2＝1上任一点，它在MN 的作用下所对应的点为(x ，y)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0y0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x02y0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x0，y ＝2y0，即⎩⎪⎨⎪⎧x0＝x ，y0＝y2.代入x20＋4y20＝1，得x2＋y2＝1，∴在矩阵MN 考点三矩阵变换的应用[典例] (2013·某某高考)已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201对应的变换作用下变为直线l′：x ＋by ＝1. (1)某某数a ，b 的值；(2)若点P(x0，y0)在直线l 上，且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0y0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0y0，求点P 的坐标．[解] (1)设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M(x ，y)在矩阵A 对应的变换作用下的像是M′(x′，y′)．由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x ＋2y ，y′＝y.又点M′(x′，y′)在l′上，所以x′＋by′＝1，即x ＋(b ＋2)y ＝1，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.(2)由A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0y0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0y0，得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝x0＋2y0，y0＝y0，解得y0＝0.又点P(x0，y0)在直线l 上，所以x0＝1.故点P 的坐标为(1,0)． [备课札记][类题通法]1．在解决通过矩阵进行平面曲线的变换时，变换矩阵可以通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前后的变量区别清楚，防止混淆． 2．曲线(或点)经过二阶矩阵变换后的曲线(或点)的求法，类似于平面解析几何中的代入法求轨迹，此类问题的关键是求对坐标之间的变换公式． [针对训练](2014·某某横山桥中学模拟)已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1，设曲线y ＝sin x 在矩阵MN 对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．解：由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 2 设所求曲线F 上任意一点的坐标为(x ，y)，y ＝sin x 上任意一点的坐标为(x′，y′)， 则MN ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y′＝12y.把⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x y′＝12y 代入y′＝sin x′，化简得y ＝2sin 2x.所以，曲线F 的方程为y ＝2sin 2x. 对应学生用书P178[课堂练通考点]1．(2014·某某模拟)将曲线xy ＝1绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，求所得曲线的方程． 解：由题意，得旋转变换矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 45° －sin 45°sin 45° cos 45°＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22－222222， 设xy ＝1上的任意点P′(x′，y′)在变换矩阵M 作用下为P(x ，y)，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22 －2222 22 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22x′－22y′，y ＝22x′＋22y′.得y22－x22＝1. 故将曲线xy ＝1绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，所得曲线的方程为y22－x22＝1.2．已知a ，b 为实数，如果A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 10b 所对应的变换T 把直线x －y ＝1变换为自身，试求a ，b 的值．解：设点(x ，y)是直线x －y ＝1上任意一点．在变换T 作用下的对应点为(x′，y′)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 10 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，∴⎩⎪⎨⎪⎧x′＝ax ＋y ，y′＝by.由题意x′－y′＝1，∴ax ＋y －by ＝1，即ax ＋(1－b)y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，1－b ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.3．已知△ABC 的三个顶点A(0,0)，B(4,0)，C(0,3)，△ABC 在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2对应的变换作用下变为△A′B′C′，求△A′B′C′的面积． 解：由题意⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤40＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤40， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎡⎦⎥⎤03＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤06， ∴A′(0,0)，B′(4,0)，C′(0,6)， ∴S △A′B′C′＝12×4×6＝12.[课下提升考能]1．设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 6 p －q p ＋q 5，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy －11 x ＋y ，若M ＝N ，求x ，y ，p ，q.解析：∵M ＝N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝6，x ＋y ＝5，p －q ＝－1，p ＋q ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝3，p ＝0，q ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，p ＝0，q ＝1.2．曲线C1：x2＋2y2＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201的作用下变换为曲线C2，求C2的方程．解：设P(x ，y)为曲线C2上任意一点，P′(x′，y′)为曲线C1上与P 对应的点，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x′＋2y′y ＝y′⇒⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x －2y ，y′＝y.∵P′是曲线C1上的点，∴C2的方程为(x －2y)2＋2y2＝1. 3．求出曲线y2＝4x 依次经过矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤t 001，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0作用下变换得到的曲线方程x2＝2y ，某某数t.解：由已知得BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤t00 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1t 0. 任取曲线y2＝4x 上一点P(x0，y0)，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P′(x′，y′)，即有⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1t 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0y0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，则有⎩⎪⎨⎪⎧－y0＝x′，tx0＝y′⇒⎩⎪⎨⎪⎧y20＝－x′2，2tx0＝2y′.∵P′在曲线x2＝2y 上，∴x′2＝2y′.即y20＝2tx0，① y20＝4x0，②比较①②得2t ＝4⇒t ＝2.4．已知曲线C ：x2＋y2＝1在矩阵M 对应的变换作用下得到曲线C′：x24＋y2＝1，求矩阵M.解：在曲线C 上任取一点P(x ，y)，点P 在矩阵M 作用下得点P′(x′，y′)， 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x′＝ax ＋by ，y′＝cx ＋dy.由题意⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x′，y ＝y′，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y′＝y ，∴a ＝2，b ＝0，c ＝0，d ＝1，∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001.5．如果曲线x2＋4xy ＋3y2＝1在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b1的作用下变换得到曲线x2－y2＝1，求a ＋b 的值．解：在曲线x2＋4xy ＋3y2＝1上任取一点P(x ，y)，设点P(x ，y)在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b1的作用下变换得到点P′(x′，y′)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′. 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋ay bx ＋y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y′，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x ＋ay ，y′＝bx ＋y.则(x ＋ay)2－(bx ＋y)2＝1.化简，得(1－b2)x2＋2(a －b)xy ＋(a2－1)y2＝1. 从而⎩⎪⎨⎪⎧1－b2＝1，2a －b ＝4，a2－1＝3.解得a ＝2，b ＝0，所以a ＋b ＝2.6．若一个变换所对应的矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 2，求抛物线y2＝－4x 在这个变换下所得到的曲线的方程．解：设P(x ，y)为y2＝－4x 上任意一点，P′(x′，y′)为变换后所得曲线上对应P 的点，由题意⎩⎪⎨⎪⎧x′＝－x ，y′＝2y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－x′，y ＝y′2.∴⎝⎛⎭⎪⎫y′22＝－4(－x′)，即y′2＝16x′.∴抛物线y2＝－4x 经变换后的曲线方程为y2＝16x.7．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a 0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b0，直线l1：x －y ＋4＝0经矩阵A 所对应的变换得到直线l2，直线l2又经矩阵B 所对应的变换得到直线l3：x ＋y ＋4＝0，求直线l2的方程． 解：BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤02b0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1a 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 00 b ， 设P(x ，y)是l1上的任意一点，其在BA 所对应的变换作用下的像为(x′，y′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 00 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2ax ，y′＝by.由题意可得，点(x′，y′)在直线l3上，所以2ax ＋by ＋4＝0即为直线l1：x －y ＋4＝0，故a ＝12，b ＝－1.此时B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1 0，同理可设Q(x0，y0)为l2上的任意一点，其在B 所对应的变换作用下的像为(x′0，y′0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 02－10⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0y0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′0y′0，得⎩⎪⎨⎪⎧x′0＝2y0，y′0＝－x0.，又(x′0，y′0)在直线l3上，所以2y0－x0＋4＝0，故直线l2的方程为2y －x ＋4＝0，即x －2y －4＝0.8．二阶矩阵M 对应变换将点(1,2)和(2,1)分别变换成(5,1)和(4，－1)． (1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 将圆x2＋y2＝1变换后的方程．解：(1)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤51和M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝5，c ＋2d ＝1，2a ＋b ＝4，2c ＋d ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝－1，d ＝1，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－1 1. (2)设点P(x ，y)是圆x2＋y2＝1上的任意一点，变换后的点为P′(x′，y′)，则M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x ＋2y ，y′＝－x ＋y ，从而⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x′－2y′，y ＝13x′＋y′，代入x2＋y2＝1并化简得(x′－2y′)2＋(x′＋y′)2＝9，即(x －2y)2＋(x ＋y)2＝9.第二节特征值与特征向量对应学生用书P1781．逆变换与逆矩阵(1)逆变换：设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝1，则称变换ρ可逆，并且称σ是ρ的逆变换． (2)逆矩阵：设A 是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B ，使得BA ＝AB ＝E2，则称矩阵A 可逆，或称矩阵A 是可逆矩阵，并且称B 是A 的逆矩阵． (3)逆矩阵的性质性质①：设A 是一个二阶矩阵，如果A 是可逆的，则A 的逆矩阵是唯一的．性质②：设A ，B 是二阶矩阵，如果A ，B 都可逆，则AB 也可逆，且(AB)－1＝B －1A －1.(4)定理：二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 可逆，当且仅当det A ＝ad －bc≠0.2．逆矩阵与二元一次方程组(1)定理：如果关于变量x ，y 的二元一次方程组(线性方程组)⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝e ，cx ＋dy ＝f的系数矩阵A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 可逆，那么该方程组有唯一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤e f . (2)推论：关于变量x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝0，cx ＋dy ＝0.其中a ，b ，c ，d 是不全为零的常数，有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝0.3．特征值和特征向量 设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，如果存在数λ以及非零向量ξ，使得Aξ＝λξ，则称λ是矩阵A 的一个特征值，ξ是矩阵A 的属于特征值λ的一个特征向量． 4．特征向量的性质 设λ1，λ2是二阶矩阵A 的两个不同特征值，ξ1，ξ2是矩阵A 的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，对于任意的非零平面向量α，设α＝t1ξ1＋t2ξ2(t1，t2为实数)，则对任意的正整数n ，有Anα＝t1λn 1ξ1＋t2λn 2ξ2.1．并不是每一个二阶矩阵都是可逆的：矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 可逆的充分必要条件是它对应的行列式|A|满足|A|＝ad －bc≠0，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d |A| －b |A|－c |A| a |A|. 2．不是每个矩阵都有特征值与特征向量，矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 有特征值λ的充分必要条件是方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0有解．3．属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线． [试一试]1．若矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 00 2，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 00 12，求矩阵MN 的逆矩阵．解：法一 ∵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 002为一伸缩变换对应的矩阵，∴M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 00 12.又∵N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 00 12也为一伸缩变换对应的矩阵，∴N －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32002.由矩阵的性质知(MN)－1＝N －1M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 00 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 00 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1. 法二：由已知，得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001∴MN 的逆矩阵是(MN)－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 1 2．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤122x 的一个特征值为3，求其另一个特征值． 解：矩阵M 的特征矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ－1 －2－2 λ－x ，其特征多项式为(λ－1)(λ－x)－(－2)×(－2)． 由题意：(3－1)(3－x)－4＝0， ∴x ＝1， ∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 221.由(λ－1)(λ－1)－(－2)×(－2)＝0，解得λ＝3或λ＝－1. 矩阵M 的另一个特征值为－1.1．求逆矩阵的常见方法 (1)待定系数法：设A 是一个二阶可逆矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，AB ＝BA ＝E2；(2)公式法：|A|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，有A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d |A| －b |A|－c |A| a |A|，当且仅当|A|≠0；(3)从几何变换的角度求解二阶矩阵的逆矩阵； (4)利用逆矩阵的性质(AB)－1＝B －1A －1. 2．求特征值和特征向量的方法(1)矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 的特征值λ满足(λ－a)(λ－d)－bc ＝0，属于λ的特征向量a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .(2)求特征向量和特征值的步骤：①解f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0得特征值；②解⎩⎪⎨⎪⎧λ－a x －by ＝0，－cx ＋λ－d y ＝0⇔(λ－a)x －by ＝0，取x ＝1或y ＝1，写出相应的向量．[练一练]1．给定矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，求A4B. 解：设A 的一个特征值为λ，由题知⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －21 λ－4＝0，得(λ－2)(λ－3)＝0，λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得A 的属于特征值2的特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21. 当λ1＝3时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－14⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得A 的属于特征值3的特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 由于B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤53＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝2α1＋α2，故A4B ＝A4(2α1＋α2)＝2(24α1)＋(34α2)＝32α1＋81α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6432＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤8181＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤145113.2．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，若矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值－1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，求矩阵A. 解：由矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3；由矩阵A 属于特征值－1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝(－1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1， 即⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝2，d ＝1，即矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 1. 对应学生用书P180考点一逆矩阵的求法[典例] (2013·某某高考)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤120 6，求矩阵A －1B.[解] 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12， 从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤120 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －20 3. [备课札记][类题通法]1．逆矩阵的求法常用待定系数法．2．若A ，B 两个矩阵均存在可逆矩阵，则有(AB)－1＝B －1A －1，若A ，B ，C 为二阶矩阵且A 可逆，则当AB ＝AC 时，有B ＝C ，即此时矩阵乘法的消去律成立． [针对训练](2014·宿迁模拟)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21－1 3将直线l ：x ＋y －1＝0变换成直线l′. (1)求直线l′的方程；(2)判断矩阵A 是否可逆？若可逆，求出矩阵A 的逆矩阵A －1；若不可逆，请说明理由． 解：(1)在直线l 上任取一点P(x0，y0)， 设它在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 1－1 3对应的变换作用下变为Q(x ，y)．∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0y0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x0＋y0，y ＝－x0＋3y0，即⎩⎪⎨⎪⎧x0＝3x －y 7y0＝x ＋2y7，又∵点P(x0，y0)在直线l ：x ＋y －1＝0上， ∴3x －y 7＋x ＋2y7－1＝0， 即直线l′的方程为4x ＋y －7＝0.(2)∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 2 1－13≠0，∴矩阵A 可逆．设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，∴AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋c ＝1，2b ＋d ＝0，－a ＋3c ＝0，－b ＋3d ＝1，解之得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝37，b ＝－17，c ＝17，d ＝27，∴A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤37 －1717 27.考点二二元一次方程组的矩阵解法[典例] 用矩阵方法求二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －5y ＝4，3x ＋y ＝6的解．[解] 已知方程组可以写为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －53 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤46，令M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －53 1，其系数行列式为⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 －53 1＝2×1－3×(－5)＝17≠0，所以M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤117 517－317 217，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝M －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤46＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20，即方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.[备课札记][类题通法]1．用矩阵方法求解二元一次方程组的关键是求解系数所对应的矩阵的逆矩阵．2．若系数矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则方程组的解可以表达成⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤e f . [针对训练]利用矩阵解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝2，4x ＋2y ＝3.解：方程组可写为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3142⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，因为系数行列式为3×2－4×1＝2≠0，所以方程组有唯一解．利用矩阵求逆公式得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3142－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －12－2 32， 因此原方程组的解为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －12－2 32⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1212，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝12.考点三二阶矩阵的特征值及特征向量[典例] (2014·某某质检)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －32 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤75.(1)求矩阵M 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量；(2)求M3α.[解] (1)矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－4 3－2 λ＋1＝λ2－3λ＋2，令f(λ)＝0，得λ1＝1，λ2＝2.当λ1＝1时，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋3y ＝0，－2x ＋2y ＝0，得一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.因此，矩阵M 属于特征值λ1＝1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11；当λ2＝2时，同理可得矩阵M 属于特征值λ2＝2的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.(2)设α＝mα1＋nα2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3n ＝7，m ＋2n ＝5，解得m ＝1，n ＝2.所以M3α＝M3(α1＋2α2)＝M3α1＋2M3α2＝λ31α1＋2λ32α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋2×23⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4933.[备课札记][类题通法]1．关于特征值问题的一般解法如下：给定矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，若有特征值λ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ－a －b －c λ－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0，即λ2－(a ＋d)λ＋(ad －bc)＝0.2．求Mnα，一般都是先求出矩阵M 的特征值与特征向量，将α写成t1α1＋t2α2.利用性质Mnα＝t1λn 1α1＋t2λn 2α2求解． [针对训练](2014·某某模拟)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2101，向量b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤102.求向量a ，使得A2a ＝b. 解：A2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2101⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 10 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 301，设a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，由A2a ＝b 得⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 301⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤102， 即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝10，y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.对应学生用书P181[课堂练通考点]1．(2014·某某质检)已知向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1m 01变换下得到的向量是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－1. (1)求m 的值；(2)求曲线y2－x ＋y ＝0在矩阵M －1所对应的线性变换作用下得到的曲线方程．解：(1)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1m 01⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－m －1，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－m －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－1，得m ＝1. (2)由(1)得M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 101，det M ＝1≠0，所以M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1.设曲线y2－x ＋y ＝0上任意一点(x ，y)在矩阵M －1所对应的线性变换作用下的像是(x′，y′)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －y y ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝x′，y ＝y′，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x′＋y′，y ＝y′，代入曲线y2－x ＋y ＝0得y′2＝x′.由(x ，y)的任意性可知，曲线y2－x ＋y ＝0在矩阵M －1所对应的线性变换作用下的曲线方程为y2＝x.2．(2014·某某质检)已知向量e1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是二阶矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a10b 的属于特征值λ1＝2的一个特征向量．(1)求矩阵M ；(2)若a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，求M10a.解：(1)依题意，Me1＝λ1e1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 10b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝2，b ＝2，∴a ＝1，b ＝2.∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1102.(2)由(1)知，矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝(λ－1)(λ－2)， ∴矩阵M 的另一个特征值为λ2＝1.设e2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 是矩阵M 属于特征值λ2＝1的一个特征向量，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤110 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝x ，2y ＝y ，取x ＝1，得e2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，∴a ＝e1＋e2，∴M10a ＝M10e1＋M10e2＝λ101e1＋λ102e2＝210⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋110⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0251 024.3．设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m00n ，若矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，属于特征值2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，某某数m ，n 的值．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 00 n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝1⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 00 n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，化简得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，0·n＝0，0·m＝0，n ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2.4．(2014·某某模拟)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2.求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵． 解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11可得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， 即c ＋d ＝6；由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤33cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，即3c －2d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，d ＝4.即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 32 4，A 的逆矩阵是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 －12－13 12. [课下提升考能]1．求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112的特征值及属于每个特征值的一个特征向量．解：特征多项式f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1－1 λ－2＝(λ－2)2－1＝λ2－4λ＋3，由f(λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝3，将λ1＝1代入特征方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＝0，－x －y ＝0，即x ＋y ＝0，可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1为属于特征值λ1＝1的一个特征向量，同理，λ2＝3时，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，－x ＋y ＝0，即x －y ＝0，所以可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤11为属于特征值λ2＝3的一个特征向量． 综上所述，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 112有两个特征值λ1＝1，λ2＝3；属于λ1＝1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，属于λ2＝3的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.2．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－2 －3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2312，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，求满足AXB ＝C 的矩阵X.解：AXB ＝C ，所以(A －1A)XB·B－1＝A －1CB －1而A －1AXB·B－1＝EXBB －1＝X(BB －1)＝X ， 所以X ＝A －1CB －1因为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 －22 1，B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －3－1 2，所以X ＝A －1CB －1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 －2 2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －3－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 －3 1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －3－1 2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 001.3．已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －2－2 1，a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，试计算M20α.解：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝(λ－1)2－4，令f(λ)＝0解得λ1＝3，λ2＝－1，对应的特征向量分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1和⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，而α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，所以M20α＝320⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＋2(－1)20⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤320＋2－320＋2.4．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 b ，A 的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.(1)求矩阵A ；(2)设向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，试计算A5β的值．解：(1)由题设条件可得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1a －1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤21， 即⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝4，－2＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4，∴矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－14.(2)矩阵A 的特征多项式方程为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －21 λ－4＝λ2－5λ＋6＝0，解得λ1＝2，λ2＝3.当λ2＝3时，可得特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.设β＝mα1＋nα2，则⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝7m ＋n ＝4解得m ＝3，n ＝1，∴A5β＝A5(3α1＋α2)＝3(A5α1)＋A5α2＝3(λ51α1)＋λ52α2＝3×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤435339.5．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7 －64 －3，向量ξ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤65.(1)求矩阵M 的特征值λ1，λ2和特征向量ξ1和ξ2；(2)求M6ξ的值．解：(1)M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7 －64 －3的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－7 6－4 λ＋3＝λ2－4λ＋3，令f(λ)＝0，得λ1＝1，λ2＝3.当λ1＝1时，得ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11；当λ2＝3时 ，得ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.(2)由ξ＝mξ1＋nξ2得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3n ＝6，m ＋2n ＝5，得m ＝3，n ＝1.M6ξ＝M6(3ξ1＋ξ2)＝3(λ61ξ1)＋λ62ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 1901 461.6．(2014·苏北四市调研)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 13，其中a ∈R ，若点P(1,2)在矩阵A 对应的变换作用下得到点P′(6,7)． (1)某某数a 的值与矩阵A ；(2)求矩阵A 的特征值及相应的特征向量．解：(1)由题意知，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋2a 7＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤67， ∴2＋2a ＝6，∴a ＝2，∴A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 213.(2)由(1)知，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2213，其特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －2－1 λ－3＝(λ－2)(λ－3)－2，令f(λ)＝0，即λ2－5λ＋4＝0，解得λ1＝1，λ2＝4.当λ1＝1时，设对应的特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 21 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋2n ＝m ，m ＋3n ＝n ，取n ＝1，则m ＝－2，故α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－21；当λ2＝4时，设对应的特征向量为β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 213⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝4x ，x ＋3y ＝4y ，取x ＝1，则y ＝1，故β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.∴矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1，属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.7．设M 是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿y 轴方向伸长为原来5倍的伸缩变换．(1)求直线4x －10y ＝1在M 作用下的方程； (2)求M 的特征值与相应的特征向量．解：(1)由题意得M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1005.设(x′，y′)是所求曲线上的任一点，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1005⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x ，y′＝5y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x′，y ＝15y′，代入4x －10y ＝1得，4x′－2y′＝1，所以所求曲线的方程为4x －2y ＝1. (2)矩阵M 的特征多项式f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 00 λ－5＝(λ－1)(λ－5)，令f(λ)＝0，所以M 的特征值为λ1＝1，λ2＝5.当λ1＝1时，由Mα1＝λ1α1，得特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10；当λ2＝5时，由Mα2＝λ2α2，得特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.8．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 244. (1)求矩阵A 的特征值及对应的特征向量； (2)计算矩阵An.解：(1)矩阵A 的特征方程为⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 －2－4 λ－4＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16＝0. 得矩阵A 的特征值为λ1＝8，λ2＝2. 当λ1＝8时，A 属于λ1的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11；当λ2＝2时，A 属于λ2的特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2.(2)设An ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cdAnα1＝8nα1，Anα2＝2nα2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤8n 8n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2n －2·2n ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8n ，c ＋d ＝8n ，a －2b ＝2n ，c －2d ＝－2·2n.解得a ＝2×8n＋2n 3，b ＝8n －2n 3，c ＝2×8n－2n ＋13，d ＝8n ＋2n ＋13.故An ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2×8n＋2n 3 8n －2n32×8n－2n ＋13 8n ＋2n ＋13.。
【三维设计】2015届高考数学大一轮(夯基保分卷+提能增分卷)第七章 直线、平面垂直的判定与性质配套
课时跟踪检测(四十二) 直线、平面垂直的判定与性质(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页)第Ⅰ卷：夯基保分卷1．在空间中，给出下面四个命题：①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；②若平面外两点到平面的距离相等，则过两点的直线必平行于该平面；③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④若两个平面相互垂直，则一个平面内的任意一条直线必定垂直于另一个平面内的无数条直线．其中正确的命题是________(填序号)．2．(2014·某某一调)已知平面α，β，γ，直线l，m满足α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m，那么：①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(填序号)．3．(2014·某某期末)给出下列四个命题：(1)“直线a∥直线b”的必要不充分条件是“a平行于b所在的平面”；(2)“直线l⊥平面α”的充要条件是“l垂直于平面α内的无数条直线”；(3)“平面α∥平面β”是“α内有无数条直线平行于平面β”的充分不必要条件；(4)“平面α⊥平面β”的充分条件是“有一条与α平行的直线l垂直于β”．上述命题中，所有真命题的序号为________．4.如图，直三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．5.如图所示，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)6．假设平面α∩平面β＝EF，AB⊥α，CD⊥β，垂足分别为B，D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，现有下面四个条件：①AC⊥α；②AC与α，β所成的角相等；③AC与BD在β内的射影在同一条直线上；④AC ∥EF.其中能成为增加条件的是________．(把你认为正确的条件序号都填上)7．(2014·某某学情调研)如图，已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，D为BC的中点．(1)若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；(2)求证：A1B∥平面ADC1.8．如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC＝CA＝3，AD＝CD＝1.(1)求证：BD⊥AA1；(2)若E为棱BC的中点，求证：AE∥平面DCC1D1.第Ⅱ卷：提能增分卷1．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，已知E，F，G分别为棱AB，AC，A1C1的中点，∠ACB ＝90°，A1F⊥平面ABC，CH⊥BG，H为垂足．求证：(1)A1E∥平面GBC；(2)BG⊥平面ACH.2．(2014·苏锡常镇一调)如图1所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD 为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE＝4.如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连结AB，设点F是AB的中点．(1)求证：DE⊥平面BCD；(2)在图2中，若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥BDEG的体积．3．(2014·某某模拟)如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点．(1)求四棱锥PABCD的体积；(2)求证：PA∥平面MBD；(3)试问：在线段AB上是否存在一点N，使得平面P⊥平面PQB？若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．答 案 第Ⅰ卷：夯基保分卷 1．解析：易知①④正确；对于②，过两点的直线可能与平面相交；对于③，垂直于同一条直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面．答案：①④2．解析：由条件知α⊥γ，γ∩α＝m ，l ⊂γ，l ⊥m ，则根据面面垂直的性质定理有l ⊥α，即②成立；又l ⊂β，根据面面垂直的判定定理有α⊥β，即④成立．答案：②④3．解析：(1)是既不充分也不必要条件；(2)是充分不必要条件，即“直线l ⊥平面α”可得“l 垂直于平面α内的无数条直线”，反之不成立；(3)(4)正确．答案：(3)(4)4．解析：设B1F ＝x ，因为AB1⊥平面C1DF ，DF ⊂平面C1DF ，所以AB1⊥DF.由已知可以得A1B1＝2，设Rt △AA1B1斜边AB1上的高为h ，则DE ＝12h.又2×2＝h 22＋22，所以h ＝233，DE ＝33.在Rt △DB1E 中，B1E ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝66.由面积相等得66× x2＋⎝⎛⎭⎪⎫222＝22x ，得x ＝12. 答案：125．解析：由定理可知，BD ⊥PC.∴当DM ⊥PC(或BM ⊥PC)时，即有PC ⊥平面MBD.而PC ⊂平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD.答案：DM ⊥PC(或BM ⊥PC 等)6．解析：如果AB 与CD 在一个平面内，可以推出EF 垂直于该平面，又BD 在该平面内，所以BD ⊥EF.故要证BD ⊥EF ，只需AB ，CD 在一个平面内即可，只有①③能保证这一条件． 答案：①③7．证明：(1)因为AB ＝AC ，D 为BC 的中点，所以AD ⊥BC.因为平面ABC ⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC ，AD ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面BCC1B1.因为DC1⊂平面BCC1B1，所以AD ⊥DC1.(2)法一：连结A1C ，交AC1于点O ，连结OD ，则O 为A1C 的中点．因为D 为BC 的中点，所以OD ∥A1B.因为OD ⊂平面ADC1，A1B ⊄平面ADC1，所以A1B ∥平面ADC1.法二：取B1C1的中点D1，连结A1D1，D1D ，D1B ，则D1C1綊BD.所以四边形BDC1D1是平行四边形．所以D1B ∥C1D.因为C1D ⊂平面ADC1，D1B ⊄平面ADC1，所以D1B ∥平面ADC1.同理可证A1D1∥平面ADC1.因为A1D1⊂平面A1BD1，D1B ⊂平面A1BD1，A1D1∩D1B＝D1，所以平面A1BD1∥平面ADC1.因为A1B ⊂平面A1BD1，所以A1B ∥平面ADC1.8．证明：(1)在四边形ABCD 中，因为BA ＝BC ，DA ＝DC ，所以BD ⊥AC.又因为平面AA1C1C ⊥平面ABCD ，且平面AA1C1C∩平面ABCD ＝AC ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面AA1C1C.又因为AA1⊂平面AA1C1C ，所以BD ⊥AA1.(2)在△ABC 中，AB ＝AC ，E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC.在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CA ＝3，DA ＝DC ＝1，所以∠ACB ＝60°，∠ACD ＝30°，所以DC ⊥BC ，所以AE ∥DC.因为DC ⊂平面DCC1D1，AE ⊄平面DCC1D1，所以AE ∥平面DCC1D1.第Ⅱ卷：提能增分卷1．证明：(1)取BC 的中点M ，连结EM ，GM.因为EM ＝12AC ，EM ∥AC ，且A1G ＝12AC ，A1G ∥AC ，所以A1G ∥EM ，A1G ＝EM.所以四边形A1GME 是平行四边形，所以A1E ∥GM.又A1E ⊄平面GBC ，GM ⊂平面GBC ，所以A1E ∥平面GBC.(2)在三棱柱ABCA1B1C1中，G ，F 分别为A1C1，AC 的中点，所以A1G ＝FC 且A1G ∥FC ，所以四边形A1FCG 为平行四边形，所以A1F ∥CG.因为A1F ⊥平面ABC ，所以CG ⊥平面ABC. 因为AC ⊂平面ABC ，所以CG ⊥AC.因为CB ⊥AC ，CG ，CB ⊂平面CBG ，CG∩CB＝C.所以AC ⊥平面BCG.又因为BG ⊂平面BCG ，所以AC ⊥BG.因为CH ⊥BG ，且AC∩CH＝C ，AC ，CH ⊂平面ACH ，故BG ⊥平面ACH.2．解：(1)证明：在题图1中，因为AC ＝6，BC ＝3，∠ABC ＝90°，所以∠ACB ＝60°.因为CD 为∠ACB 的平分线，所以∠BCD ＝∠ACD ＝30°，所以CD ＝2 3.又因为CE ＝4，∠DCE ＝30°，所以DE ＝2.则CD2＋DE2＝CE2，所以∠CDE ＝90°，即DE ⊥CD.在题图2中，因为平面BCD ⊥平面ACD ，平面BCD∩平面ACD ＝CD ，DE ⊂平面ACD ，所以DE ⊥平面BCD.(2)在题图2中，因为EF ∥平面BDG ，EF ⊂平面ABC ，平面ABC∩平面BDG ＝BG ， 所以EF ∥BG.因为点E 在线段AC 上，CE ＝4，点F 是AB 的中点，所以AE ＝EG ＝CG ＝2.过点B 作BH ⊥CD 交于点H. 因为平面BCD ⊥平面ACD ，BH ⊂平面BCD ，所以BH ⊥平面ACD.由条件得BH ＝32. 又S △DEG＝13S △ACD ＝13×12AC·CD·sin 30°＝3， 所以三棱锥BDEG 的体积为V ＝13S △DEG·B H ＝13×3×32＝32. 3．解：(1)因为Q 为AD 的中点，△PAD 为正三角形，所以PQ ⊥AD.因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD ＝AD ，PQ ⊂平面PAD ，所以PQ ⊥平面ABCD. 因为AD ＝4，所以PQ ＝2 3.所以四棱锥PABCD 的体积V ＝13SABCD·PQ＝13×42×23＝3233. (2)证明：连结AC 交BD 于点O ，连结MO.由四边形ABCD 为正方形知点O 为AC 的中点，又因为M 为PC 的中点，所以MO ∥PA.因为MO ⊂平面MBD ，PA ⊄平面MBD ，所以PA ∥平面MBD.(3)存在点N ，当N 为AB 中点时，平面P ⊥平面PQB.证明如下：因为四边形ABCD 是正方形，Q 为AD 的中点，所以BQ ⊥NC.由(1)知，PQ ⊥平面ABCD ，NC ⊂平面ABCD ，所以PQ ⊥NC.又BQ∩PQ＝Q ，所以NC ⊥平面PQB.因为NC ⊂平面P ，所以平面P ⊥平面PQB.。
《三维设计》2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套课时训练：(五十五) 椭 圆
课时跟踪检测(五) 椭 圆 (分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页) 第Ⅰ卷：夯基保分卷1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为( )A.14B.12C ．2D ．42．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．53．(2013·石家庄模拟) 中心在坐标原点的椭圆，焦点在x 轴上，焦距为4，离心率为22，则该椭圆的方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 28＝1 C.x 212＋y 24＝1D.x 28＋y 24＝14．已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，若1PF ·2PF ＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( )A.12B.23C.13D.535．若方程x 2|a |－1＋y 2a ＋3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．6. (2013·辽宁高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫55a ，22a 在椭圆上．(1)求椭圆的离心率；(2)设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点，若点Q 在椭圆上且满足|AQ |＝|AO |，求直线OQ 的斜率．8. (2014·黄山模拟)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点．若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．第Ⅱ卷：提能增分卷1. (2014·长春调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，右焦点到直线x ＋y ＋6＝0的距离为2 3.(1)求椭圆的方程；(2)过点M (0，－1)作直线l 交椭圆于A ，B 两点，交x 轴于N 点，且满足NA ＝－75NB ，求直线l 的方程．2．已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且AP＝2PB.(1)求椭圆的方程；(2)求m的取值范围．3．(2014·兰州模拟)已知椭圆方程为y22＋x2＝1，斜率为k(k≠0)的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0，m)．(1)求m的取值范围；(2)求△MPQ面积的最大值．答案第Ⅰ卷：夯基保分卷 1．选D 由题意可得，1m ＝12，所以m ＝4，选D.2．选A 由题意知|OM |＝12|PF 2|＝3， ∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.3．选D 依题意，2c ＝4，c ＝2，又e ＝c a ＝22，则a ＝22，b ＝2，所以椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.4．选D ∵1PF ·2PF ＝0，∴1PF ⊥2PF ， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝655c ＝2a ，∴e ＝c a ＝53.5．解析：因为方程x 2|a |－1＋y 2a ＋3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，所以|a |－1＞a ＋3＞0，解得－3＜a ＜－2. 答案： (－3，－2)6．解析：设椭圆的右焦点为F 1，在△ABF 中，由余弦定理可解得|BF |＝8，所以△ABF 为直角三角形，又因为斜边AB 的中点为O ，所以|OF |＝c ＝5，连接AF 1，因为A ，B 关于原点对称，所以|BF |＝|AF 1|＝8，所以2a ＝14，a ＝7，所以离心率e ＝57.答案：577．解：(1)因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫55a ，22a 在椭圆上，故a 25a 2＋a 22b 2＝1，可得b 2a 2＝58.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝38，所以椭圆的离心率e ＝64.(2)设直线OQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx .设点Q 的坐标为(x 0，y 0)． 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0.x 20a 2＋y 20b 2＝1.消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.①由|AQ |＝|AO |，A (－a,0)及y 0＝kx 0得，(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0. 而x 0≠0，故x 0＝－2a 1＋k 2.代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2·a 2b 2＋4.由(1)知a 2b 2＝85，故(1＋k 2)2＝325k 2＋4， 即5k 4－22k 2－15＝0，可得k 2＝5. 所以直线OQ 的斜率k ＝±5.8．解：(1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)， 因为|PF 2|＝|F 1F 2|， 所以(a －c )2＋b 2＝2c . 整理得2(c a )2＋ca －1＝0.即2e 2＋e －1＝0，所以e ＝12或－1(舍)．(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2， 直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )． A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c ).消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y ＝－3c ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c )， 所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫335c ＋3c 2＝165c .于是|MN |＝58|AB |＝2c . 圆心(－1，3)到直线PF 2的距离 d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2.因为d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|MN |22＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16.整理得7c 2＋12c －52＝0，得c＝－267(舍)，或c ＝2.所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：(1)设椭圆的右焦点为(c,0)(c ＞0)，则|c ＋6|2＝23，c ＋6＝±26，c ＝6或c ＝－36(舍去)．又离心率c a ＝32，6a ＝32，故a ＝22，b ＝a 2－c 2＝2，故椭圆的方程为x 28＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N (x 0,0)，因为NA ＝－75NB ，所以(x 1－x 0，y 1)＝－75(x 2－x 0，y 2)，y 1＝－75y 2.①易知当直线l 的斜率不存在或斜率为0时，①不成立， 于是设直线l 的方程为y ＝kx －1(k ≠0)， 联立方程，得⎩⎨⎧y ＝kx －1，x 2＋4y 2＝8.消去x 得(4k 2＋1)y 2＋2y ＋1－8k 2＝0，② 因为Δ＞0，所以直线与椭圆相交，于是y 1＋y 2＝－24k 2＋1，③y 1y 2＝1－8k 24k 2＋1， ④由①③得，y 2＝54k 2＋1，y 1＝－74k 2＋1， 代入④整理得8k 4＋k 2－9＝0，k 2＝1，k ＝±1， 所以直线l 的方程是y ＝x －1或y ＝－x －1.2．解：(1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2， 所以椭圆的方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，得⎩⎨⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m .则(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0， Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)＞0. 由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk2＋k 2，x 1x 2＝m 2－42＋k 2.又由AP ＝2PB ，即(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )， 得－x 1＝2x 2，故⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22， 可得m 2－42＋k 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2mk 2＋k 22，整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2，又9m 2－4＝0时不符合题意，所以k 2＝8－2m29m 2－4＞0，解得49＜m 2＜4，此时Δ＞0，解不等式49＜m 2＜4得23＜m ＜2或－2＜m ＜－23， 所以m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2.3．解：(1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 22＋x 2＝1，可得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2.可得y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2.设线段PQ 的中点为N ， 则点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－kk 2＋2，2k 2＋2， 由题意有k MN ·k ＝－1，可得m －2k 2＋2k k 2＋2·k ＝－1，可得m ＝1k 2＋2，又k ≠0，所以0<m <12.(2)设椭圆的焦点为F ，则S △MPQ ＝12·|FM |·|x 1－x 2|＝2m (1－m )3， 所以△MPQ 的面积为 2m (1－m )3⎝ ⎛⎭⎪⎫0<m <12.设f (m )＝m (1－m )3，则f ′(m )＝(1－m )2·(1－4m )． 可知f (m )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12上递减．所以，当m ＝14时， f (m )有最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝27256.即当m ＝14时，△MPQ 的面积有最大值3616.。
《三维设计》2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套课时训练：(五十八) 曲线与方程
课时跟踪检测(五十八)曲线与方程第Ⅰ组：全员必做题1. 长为3的线段AB的端点A，B分别在x轴，y轴上移动，AC＝2CB，则点C的轨迹是()A．线段B．圆C．椭圆D．双曲线2. 已知定点A(2,0)，它与抛物线y2＝x上的动点P连线的中点M的轨迹方程为()A．y2＝2(x－1) B．y2＝4(x－1)C．y2＝x－1 D．y2＝12(x－1)3．(2014·长春模拟) 设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A.4x221－4y225＝1 B.4x221＋4y225＝1C.4x225－4y221＝1 D.4x225＋4y221＝14．(2014·银川模拟)已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是() A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝05．(2013·焦作模拟)设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，P A是圆的切线，且|P A|＝1，则P点的轨迹方程为()A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝26．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是____________．7．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________________．8．(2013·武汉调研)动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则动点P的轨迹方程为________．9．(2013·大连模拟) 设A，B分别是直线y＝22x和y＝－22x上的动点，且|AB|＝2，设O为坐标原点，动点P满足OP＝OA＋OB.(1)求点P的轨迹方程；(2)过点(3，0)作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1，l2与点P的轨迹的相交弦分别为CD，EF，设CD，EF的弦中点分别为M，N，求证：直线MN恒过一个定点．10. (2013·广州模拟)如图，已知抛物线P：y2＝x，直线AB与抛物线P交于A，B两点，OA⊥OB，OA＋OB＝OC，OC与AB交于点M.(1)求点M的轨迹方程；(2)求四边形AOBC的面积的最小值．第Ⅱ组：重点选做题1．方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( )A ．两条直线B ．两条射线C ．两条线段D ．一条直线和一条射线2．(2014·余姚模拟)已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线答 案第Ⅰ组：全员必做题1．选C 设C (x ，y )，A (a,0)，B (0，b )，则a 2＋b 2＝9①又AC ＝2CB ，所以(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3x ，b ＝32y ，②代入①式整理可得：x 2＋y 24＝1. 2．选D 设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋22，y ＝y 02.所以⎩⎨⎧x 0＝2x －2，y 0＝2y .由于y 20＝x 0，所以4y 2＝2x －2.即y 2＝12(x －1)．3．选D ∵M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为椭圆．∴a＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214， ∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y 221＝1.4．选D 设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0.5.选D 如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)．连接MA ，则MA ⊥P A ，且|MA |＝1，又∵|P A |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|P A |2＝2，即|PM |2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2.6．解析：设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|F A |＋|FB |，∴|F A |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．答案：x 24＋y 23＝1(y ≠0)7．解析：如图，|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x ＞3)．答案：x 29－y 216＝1(x ＞3)8．解析：由抛物线定义知点P 的轨迹是以F (2,0)为焦点的抛物线，设抛物线的方程为y 2＝2px ，从而可知p ＝4，所以动点P 的轨迹方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x9．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，∵OP ＝OA ＋OB ，∴x ＝x 1＋x 2，y ＝y 1＋y 2，∵y 1＝22x 1，y 2＝－22x 2，∴x ＝x 1＋x 2＝2(y 1－y 2)，y ＝y 1＋y 2＝22(x 1－x 2)．∵|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2， ∴12x 2＋2y 2＝2，∴点P 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，直线l 1的方程为x －3＝ky .由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝ky ，x 24＋y 2＝1得(k 2＋4)y 2＋23ky －1＝0，∴y 1＋y 2＝－23k k 2＋4，x 1＋x 2＝83k 2＋4. ∴M 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43k 2＋4，－3k k 2＋4， 同理可得N 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43k 24k 2＋1，3k 4k 2＋1. ∴直线MN 的斜率k MN ＝3k 4k 2＋1＋3k k 2＋443k 24k 2＋1－43k 2＋4＝5k 4(k 2－1). ∴直线MN 的方程为y ＋3k k 2＋4＝5k 4(k 2－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －43k 2＋4. 整理化简得4k 4y ＋(43－5x )k 3＋12k 2y －16y ＋(－20x ＋163)k ＝0，∴x ＝435，y ＝0，∴直线MN 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫435，0. 10．解：(1)设M (x ，y )，A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)，∵OA ＋OB ＝OC ，∴M 是线段AB 的中点．∴x ＝y 21＋y 222＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 22，① y ＝y 1＋y 22.②∵OA ⊥OB ，∴OA ·OB ＝0.∴y 21y 22＋y 1y 2＝0.依题意知y 1y 2≠0，∴y 1y 2＝－1.③把②、③代入①得：x ＝4y 2＋22，即y 2＝12(x －1)．∴点M 的轨迹方程为y 2＝12(x －1)．(2)依题意得四边形AOBC 是矩形，∴四边形AOBC 的面积为S ＝|OA ||OB |＝(y 21)2＋y 21·(y 22)2＋y 22 ＝(y 21＋1)(y 22＋1)(y 1y 2)2 ＝y 21y 22＋y 21＋y 22＋1 ＝2＋y 21＋y 22.∵y 21＋y 22≥2|y 1y 2|＝2，当且仅当|y 1|＝|y 2|时，等号成立，∴S ≥2＋2＝2.∴四边形AOBC 的面积的最小值为2.第Ⅱ组：重点选做题1．选D 原方程可化为⎩⎨⎧ 2x ＋3y －1＝0，x －3≥0或x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线．2．选D 由已知得|MF |＝|MB |.由抛物线定义知，点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，故选D.。
《三维设计》2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套课时训练：(四十四) 空间几何体的表面积与体积
课时跟踪检测(四十四) 空间几何体的表面积与体积第Ⅰ组：全员必做题1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积为( ) A ．48(3＋3) B ．48(3＋23) C ．24(6＋2)D ．1442．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．33．(2013·深圳调研)如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积、体积分别是( )A ．32π，128π3B ．16π，32π3 C ．12π，16π3D ．8π，16π34.(2014·南昌第一次模拟)已知正三角形ABC 三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，点E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是( )A.7π4 B ．2π C.9π4D ．3π5．(2013·洛阳统考)如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( ) A ．64＋32π B ．64＋64π C ．256＋64πD ．256＋128π(第5题图)(第6题图)6．某几何体的三视图如上图所示，则其体积为________．7．(2014·杭州模拟)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________cm3.(第7题图)(第8题图)8.(创新题)如上图所示，在三棱锥D-ABC中，已知BC⊥AD，BC＝2，AD＝6，AB＋BD＝AC＋CD＝10，则三棱锥D-ABC的体积的最大值是________．9．一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为3、宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S.10．(2014·徐州质检)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝5，BB 1＝BC ＝6，D ，E 分别是AA 1和B 1C 的中点．(1)求证：DE ∥平面ABC ； (2)求三棱锥E -BCD 的体积．第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·昆明调研)如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边长均为1，则该几何体的表面积为( )A ．1＋ 2B ．2＋2 2 C.13 D ．2＋ 22．(2014·绍兴模拟)已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD 是边长为2的正方形，则这个正四面体的体积为________．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．选A S 底＝6×34×42＝243，S 侧＝6×4×6＝144，∴S 全＝S 侧＋2S 底＝144＋483＝48(3＋3)．2．选A 设圆台较小底面半径为r ， 则另一底面半径为3r .由S ＝π(r ＋3r )·3＝84π，解得r ＝7.3．选C 根据三视图可知，该几何体是一个半球，且半径为2，故其表面积S ＝12(4×π×22)＋π×22＝12π，体积V ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫43×π×23＝16π3.4．选C 由题意知，正三角形ABC 的外接圆半径为22－12＝3，则AB ＝3，过点E 的截面面积最小时，截面是以AB 为直径的圆，截面面积S ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝9π4，选C.5．选C 依题意，该几何体是一个正四棱柱及一个圆柱的组合体，其中正四棱柱的底面边长是8、侧棱长是4，圆柱的底面半径是4、高是4，因此所求几何体的体积等于π×42×4＋82×4＝256＋64π，选C.6．解析：易知原几何体是底面圆半径为1，高为2的圆锥体的一半，故所求体积为V ＝12×13×(π×12)×2＝π3.答案：π37．解析：根据三视图，几何体是一个三棱柱削去一个三棱锥，体积V ＝12×3×4×5－13×12×4×3×3＝24 cm 3.答案：248．解析：由题意知，线段AB ＋BD 与线段AC ＋CD 的长度是定值，因为棱AD 与棱BC 相互垂直．设d 为AD 到BC 的距离．则V D －ABC ＝AD ·BC ×d ×12×13＝2d ， 当d 最大时，V D －ABC 体积最大， ∵AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝10， ∴当AB ＝BD ＝AC ＝CD ＝5时， d 有最大值42－1＝15. 此时V ＝215. 答案：2159．解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为3，所以V ＝1×1×3＝ 3.(2)由三视图可知，该平行六面体中，A 1D ⊥平面ABCD ，CD ⊥平面BCC 1B 1，所以AA 1＝2，侧面ABB 1A 1，CDD 1C 1均为矩形．S ＝2×(1×1＋1×3＋1×2)＝6＋2 3.10．解：(1)证明：如图，取BC 的中点G ，连接AG ，EG ，因为E 是B 1C 的中点，所以EG ∥BB 1，且EG ＝12BB 1.由题意知，AA 1綊BB 1.而D 是AA 1的中点，所以EG 綊AD . 所以四边形EGAD 是平行四边形． 所以ED ∥AG .又DE ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ， 所以DE ∥平面ABC .(2)因为AD ∥BB 1，所以AD ∥平面BCE .所以V E -BCD ＝V D -BCE ＝V A -BCE ＝V E -ABC . 由(1)知，DE ∥平面ABC ，所以V E -BCD ＝V E -ABC ＝V D -ABC＝13AD ·12BC ·AG ＝16×3×6×4＝12. 第Ⅱ组：重点选做题1．选D 依题意得，题中的几何体是底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱锥P -ABCD (如图)，其中底面边长为1，PD ＝1，PD ⊥平面ABCD ，S △P AD ＝S △PCD ＝12×1×1＝12，S △P AB＝S △PBC ＝12×1×2＝22，S 四边形ABCD ＝12＝1，因此该几何体的表面积为2＋2，选D.2．解析：由题意知BD 为实长，即正四面体的边长为22，所以S ＝34·(22)2＝23，h ＝(22)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2632＝433，故V ＝13·S ·h ＝13×23×433＝83. 答案：83。
【三维设计】2015届高考数学大一轮(夯基保分卷+提能增分卷)第一章 命题及其关系、充分条件与必要条
课时跟踪检测(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件第Ⅰ组：全员必做题1．设集合M ＝{x|0<x≤3}，N ＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的____________条件．2．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是________________________．3．(2013·某某二模)命题“若实数a 满足a≤2，则a2<4”的否命题是________命题(填“真”或“假”)．4．“a>0”是“a2＋a≥0”的____________条件．5．设向量a ＝(2，x －1)，b ＝(x ＋1,4)，则“x＝3”是“a∥b”的____________条件．6．下列命题中为真命题的是________．(填写序号)①命题“若x>y ，则x>|y|”的逆命题②命题“x>1，则x2>1”的否命题③命题“若x ＝1，则x2＋x －2＝0”的否命题④命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题7．已知条件p ：x≤1，条件q ：1x<1，则綈p 是q 的__________条件(填“必要不充分”“充分不必要”“充要”或“既不充分也不必要”)．8．(2013·某某一模)若“x2－2x －3>0”是“x<a”的必要不充分条件，则实数a 的最大值为________．9．在命题p 的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，真命题的个数记为f(p)，已知命题p ：“若两条直线l1：a1x ＋b1y ＋c1＝0，l2：a2x ＋b2y ＋c2＝0平行，则a1b2－a2b1＝0”．那么f(p)＝________.10．(2014·某某模拟)有下列几个命题：①“若a>b ，则a2>b2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．11．下列命题：①若ac2>bc2，则a>b ；②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件；④若f(x)＝log2x ，则f(|x|)是偶函数．其中正确命题的序号是________．12．已知α：x≥a，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值X 围为________．第Ⅱ组：重点选做题1．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪ y ＝x2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x|x ＋m2≥1}．若“x∈A”是“x ∈B”的充分条件，某某数m 的取值X 围．2．已知集合A ＝{x|x2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x|x<0}，若命题“A∩B＝∅”是假命题，某某数m 的取值X 围．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．解析：M ＝{x|0<x≤3}，N ＝{x|0<x≤2}，所以N M ，故a ∈M 是a ∈N 的必要不充分条件． 答案：必要不充分2．解析：否命题既否定题设又否定结论．答案：若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数3．解析：原命题的否命题是“若实数a 满足a>2，则a2≥4”，这是真命题．答案：真4．解析：a>0⇒a2＋a≥0；反之a2＋a≥0⇒a≥0或a≤－1，不能推出a>0.答案：充分不必要5．解析：当a ∥b 时，有2×4＝(x －1)(x ＋1)，解得x ＝±3，所以x ＝3⇒a ∥b ，但a ∥b ⇒/ x ＝3，故“x＝3”是“a∥b”的充分不必要条件．答案：充分不必要6．解析：对于①，其逆命题是：若x>|y|，则x>y ，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y ；对于②，否命题是：若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x ＝－5，x2＝25>1；对于③，其否命题是：若x≠1，则x2＋x －2≠0，由于x ＝－2时，x2＋x －2＝0，所以是假命题；对于④，若x2>0，则x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题． 答案：①7．解析：由x>1得1x <1；反过来，由1x<1不能得知x>1，即綈p 是q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要8．解析：由x2－2x －3>0得x>3或x<－1，从而a≤－1，即实数a 的最大值为－1. 答案：－19．解析：原命题p 显然是真命题，故其逆否命题也是真命题．而其逆命题是：若a1b2－a2b1＝0，则两条直线l1与l2平行，这是假命题，因为当a1b2－a2b1＝0时，还有可能l1与l2重合，逆命题是假命题，从而否命题也为假命题，故f(p)＝2.答案：210．解析：①原命题的否命题为“若a≤b 则a2≤b2”错误．②原命题的逆命题为：“x，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”正确．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”正确．答案：②③11．解析：对于①，ac2>bc2，c2>0，∴a>b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°⇒/ 30°＝150°，所以②错误；对于③，l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A1C2≠A2C1， 所以③正确；④显然正确．答案：①③④12．解析：α：x≥a，可看作集合A ＝{x|x≥a}，∵β：|x －1|<1，∴0<x<2，∴β可看作集合B ＝{x|0<x<2}．又∵α是β的必要不充分条件，∴B A ，∴a≤0.答案：(－∞，0]第Ⅱ组：重点选做题1．解：y ＝x2－32x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，∴716≤y≤2， ∴A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ 716≤y≤2. 由x ＋m2≥1，得x≥1－m2，∴B ＝{x|x≥1－m2}． ∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m2≤716， 解得m≥34或m≤－34， 故实数m 的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 2．解：因为“A∩B＝∅”是假命题，所以A∩B≠∅.设全集U ＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m ＋6)≥0}，则U ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m|m≤－1或m ≥32. 假设方程x2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x1，x2均非负，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，x1＋x2≥0x1x2≥0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，4m≥0，2m ＋6≥0⇒m≥32. 又集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪ m ≥32关于全集U 的补集是{m|m≤－1}， 所以实数m 的取值X 围是{m|m≤－1}．。
【三维设计】2015届高考数学一轮复习 第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件 理 新人教A版
本例中条件若变为“A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，C＝{8,9}现从 中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成 一个含有两个元素的集合”，则可以组成多少个集合？
1 解：(1)选集合 A，B，有 C1 C 4 3＝12； 1 (2)选集合 A，C，有 C1 C 4 2 ＝ 8； 1 (3)选集合 B，C，有 C1 3C2＝6；
故可以组成 12＋8＋6＝26 个集合．
[类题通法]
在解决综合问题时，可能同时应用两个计数原理，即分 类的方法可能要运用分步完成，分步的方法可能会采取分类 的思想求．分清完成该事情是分类还是分步，“类”间互相 独立，“步”间互相联系．
[针对训练]
上海某区政府召集 5 家企业的负责人开年终总结经验交流会， 其中甲企业有 2 人到会，其余 4 家企业各有 1 人到会，会上推 选 3 人发言，则这 3 人来自 3 家不同企业的可能情况的种数为 ________．
解析：当 x＝2 时，x≠y，点的个数为 1×7＝7(个)；当 x≠2 时， x＝y，点的个数为 7×1＝7(个)，则共有 14 个点，故选 B .
5. 现有 4 种不同颜色对如图所示的四个部分进行着 色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色， 则不同的着色方法共有多少种？
解：先给最上面的一块着色，有 4 种方法，再给中间左边一 块着色，有 3 种方法，再给中间右边一块着色，有 2 种方法， 最后再给下面一块着色，有 2 种方法，根据分步乘法计数原 理，共有 4×3×2×2＝48 种方法．
C．10 种 D．11 种 解析：设四位监考教师分别为 A，B，C，D，所教班分别为
a，b，c，d，假设 A 监考 b，则余下三人监考剩下的三个班， 共有 3 种不同方法，同理 A 监考 c，d 时，也分别有 3 种不 同方法，由分类加法计数原理共有 3＋3＋3＝9(种)． 答案：B
《三维设计》2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套课时训练：(四十一) 直接证明和间接证明
课时跟踪检测(四十一) 直接证明和间接证明第Ⅰ组：全员必做题1．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理数根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个偶数2．(2014·银川模拟)设a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a >b ，a <b 及a ＝b 中至少有一个成立；③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立，其中正确判断的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．33．设f(x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为负值B ．恒等于零C ．恒为正值D ．无法确定正负4.(创新题)在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．－12B ．－32 C.12 D.325．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( )A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形6．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a ，b 的大小关系为________．7．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|<12.那么他的反设应该是________．8．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图像上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图像上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________．9．若a ＞b ＞c ＞d ＞0且a ＋d ＝b ＋c ， 求证：d ＋a ＜b ＋c .10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图像与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a 是f (x )＝0的一个根；(2)试比较1a 与c 的大小；(3)证明：－2<b <－1.第Ⅱ组：重点选做题1．设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则( ) A ．M ＝1B ．M <1C ．M >1D ．M 与1大小关系不定2．已知函数y ＝f (x )的定义域为D ，若对于任意的x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2，则称y ＝f (x )为D 上的凹函数．由此可得下列函数中的凹函数为( )A ．y ＝log 2xB ．y ＝xC ．y ＝x 2D ．y ＝x 3答 案第Ⅰ组：全员必做题1．选B “至少有一个”的否定为“都不是”．故选B.2．选C ①②正确；③中，a ≠b ，b ≠c ，a ≠c 可以同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3，故正确的判断有2个．3．选A 由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0，故选A.4．选D 据已知定义可得不等式x 2－x －a 2＋a ＋1≥0恒成立，故Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)≤0，解得－12≤a ≤32， 故a 的最大值为32.5．选D 由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，得⎩⎪⎨⎪⎧ A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1.那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为180°相矛盾． 所以假设不成立，又显然△A 2B 2C 2不是直角三角形．所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．6．解析：a ＝3＋22，b ＝2＋7两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，显然，6＜7.∴a ＜b .答案：a ＜b7．答案：“∃x 1，x 2∈[0,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|则|f (x 1)－f (x 2)|≥12”8．解析：由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n ， ∴c n 随n 的增大而减小．∴c n ＋1<c n .答案：c n ＋1<c n9．证明：要证d ＋a ＜b ＋c ，只需证(d ＋a )2＜(b ＋c )2， 即a ＋d ＋2ad ＜b ＋c ＋2bc ， 因a ＋d ＝b ＋c ，只需证ad ＜bc ，即ad ＜bc ，设a ＋d ＝b ＋c ＝t ，则ad －bc ＝(t －d )d －(t －c )c ＝(c －d )(c ＋d －t )＜0， 故ad ＜bc 成立，从而d ＋a ＜b ＋c 成立．10．解：(1)证明：∵f (x )的图像与x 轴有两个不同的交点， ∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根，又x 1x 2＝c a ，∴x 2＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ≠c ，∴1a 是f (x )＝0的一个根． (2)假设1a <c ，又1a >0，由0<x <c 时，f (x )>0， 知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >0与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0矛盾，∴1a ≥c ，又∵1a ≠c ，∴1a >c .(3)证明：由f (c )＝0，得ac ＋b ＋1＝0，∴b ＝－1－ac .又a >0，c >0，∴b <－1.二次函数f (x )的图像的对称轴方程为x ＝－b 2a ＝x 1＋x 22<x 2＋x 22＝x 2＝1a ，即－b 2a <1a .又a >0，∴b >－2，∴－2<b <－1.第Ⅱ组：重点选做题1．选B ∵210＋1>210,210＋2>210，…，211－1>210，∴M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1<1210＋1210＋…＋1210＝1.210个2．选C 可以根据图象直观观察；对于C 证明如下：欲证f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2， 即证⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222<x 21＋x 222.即证(x 1＋x 2)2<2x 21＋2x 22. 即证(x 1－x 2)2>0.显然成立．故原不等式得证．。
【三维设计】2015届高考数学大一轮复习配套讲义(备考基础查清+热点命题悟通)第十二章 数学归纳法
[类题通法]
用数学归纳法证明等式应注意的问题
(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值n0的值．
(2)由n＝k到n＝k＋1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n＝k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．
＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)>0，
得ak＋1<ak＋2，
即当n＝k＋1时，an<an＋1也成立．
根据(1)和(2)，可知an<an＋1对任何n∈N*都成立．
[备课札记]
把题设条件中的“an≥0”改为“当n≥2时，an<－1”，其余条件不变，求证：当n∈N*时，an＋1<an.
证明：(1)当n＝1时，∵a2是a ＋a2－1＝0的负根，
答案：2k
考点一
用数学归纳法证明等式
1.求证：1－ ＋ － ＋…＋ － ＝ ＋ ＋…＋ (n∈N*)．
证明：(1)当n＝1时，左边＝1－ ＝ ，
右边＝ ＝ .左边＝右边．
(2)假设n＝k时等式成立，即1－ ＋ － ＋…＋ － ＝ ＋ ＋…＋ ，
则当n＝k＋1时，
＋
＝ ＋
＝ ＋ ＋…＋ ＋ .
即当n＝k＋1时，等式也成立．
以下用数学归纳法加以证明：
①n＝3时，结论成立，
②设当n＝k时， ＋ ＋ ＋…＋ > ，
则n＝k＋1时， ＋ ＋ ＋…＋
＝ ＋
> ＋
> ＋ －
＝ ＋
＝ ＋ .
由k≥3可知3k2－7k－3>0，
即 ＋ ＋ ＋…＋ > .
综合①②可得，
《三维设计》2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套课时训练：(五十四) 直线与圆、圆与圆的位置关系
课时跟踪检测(五十四)直线与圆、圆与圆的位置关系(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页)第Ⅰ卷：夯基保分卷1. 圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为()A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能2. 圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是()A．相离B．相交C．外切D．内切3. (2013·安徽高考)直线x＋2y－5＋5＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为()A．1 B．2C．4 D. 4 64．过点(1,1)的直线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝9相交于A，B两点，则|AB|的最小值为()A．2 3 B．4C．2 5 D．55．(2013·福建模拟) 已知直线l：y＝－3(x－1)与圆O：x2＋y2＝1在第一象限内交于点M，且l与y轴交于点A，则△MOA的面积等于________．6．以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0公共弦为直径的圆的方程为______________．7. 已知圆C的圆心与点P(－2,1)关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，求圆C的方程．8. 已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2013·枣庄月考)已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝22时，求直线l的方程．2．(2013·湛江六校联考)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．3．(2013·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．答案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．选C∵圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，∴圆心为(1，－2)，半径r＝3.又圆心在直线2tx－y－2－2t＝0上，∴圆与直线相交．2．选B圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径为r1＝1，圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径r2＝2，故两圆的圆心距|O1O2|＝5，而r2－r1＝1，r1＋r2＝3，则有r2－r1<|O1O2|<r1＋r2，故两圆相交．3．选C依题意，圆的圆心为(1,2)，半径r＝5，圆心到直线的距离d＝|1＋4－5＋5|＝1，所以结合图形可知弦长的一半为r2－d2＝2，故弦长为4.54．选B由圆的几何性质可知，当点(1,1)为弦AB的中点时，|AB|的值最小，此时|AB|＝2r2－d2＝29－5＝4.5．解析：依题意，直线l：y＝－3(x－1)与y轴的交点A的坐标为(0，3)．由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，y ＝－3(x －1)得， 点M 的横坐标x M ＝12，所以△MOA 的面积为S ＝12|OA |×x M ＝12×3×12＝34. 答案：346．解析：法一：将两圆方程相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0. 由⎩⎨⎧4x ＋3y －2＝0，x 2＋y 2－12x －2y －13＝0.解得两交点坐标A (－1,2)，B (5，－6)．∵所求圆以AB 为直径，∴所求圆的圆心是AB 的中点M (2，－2)，圆的半径为r ＝12|AB |＝5，∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.法二：易求得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ≠－1)，则圆心为－12λ－122(1＋λ)，－16λ－22(1＋λ).∵圆心在公共弦所在直线上，∴4×－12λ－122(1＋λ)＋3－16λ－22(1＋λ)－2＝0，解得λ＝12.故所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0.答案：x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝07．解：设点P 关于直线y ＝x ＋1的对称点为C (m ，n )，则由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋n 2＝－2＋m 2＋1，n －1m ＋2·1＝－1⇒⎩⎨⎧ m ＝0，n ＝－1.故圆心C 到直线3x ＋4y －11＝0的距离d ＝|－4－11|9＋16＝3， 所以圆C 的半径的平方r 2＝d 2＋|AB |24＝18. 故圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝18.8．解：(1)圆心C (1,2)，半径为r ＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x ＝3.由圆心C (1,2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知，此时，直线与圆相切．当直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0. 由题意知|k －2＋1－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝34. 故方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.故过M 点的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0.(2)由题意有|a －2＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝0或a ＝43. 第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切．则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧ |CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.2．解：假设存在斜率为1的直线l ，满足题意，则OA ⊥OB .设直线l 的方程是y ＝x ＋b ，其与圆C 的交点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.①由⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0.消去y 得，2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0，∴x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝12(b 2＋4b －4)，②y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝12(b 2＋4b －4)－b 2－b ＋b 2＝12(b 2＋2b －4)．③把②③式代入①得，得b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1或b ＝－4，且b ＝1或b ＝－4都使得Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)>0成立．故存在直线l 满足题意，其方程为y ＝x ＋1或y ＝x －4.3．解：(1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3， 由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34， 故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1.设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋(2a －3)2≤3.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ；由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为[0，125].。
【三维设计】2015届高考数学大一轮复习配套讲义(备考基础查清+热点命题悟通)第十三章 几何证明选讲
第十三章 几何证明选讲第一节相似三角形的判定及有关性质1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等． 推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． 2．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例． 3．相似三角形的判定与性质 (1)判定定理：内容判定定理1 两角对应相等的两个三角形相似判定定理2 两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似 判定定理3三边对应成比例的两个三角形相似(2)性质定理：内容性质定理1 相似三角形对应高、中线、角平分线和它们周长的比都等于相似比 性质定理2 相似三角形的面积比等于相似比的平方结论 相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方射影定理直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项1．在使用平行线截割定理时易出现对应线段、对应边对应顺序混乱，导致错误． 2．在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角对应失误． [试一试]1．如图，F 为▱ABCD 的边AD 延长线上的一点，DF ＝AD ，BF 分别交DC ，AC 于G ，E 两点，EF ＝16，GF ＝12，则BE 的长为________．解析：由DF ＝AD ，AB ∥CD 知BG ＝GF ＝12，又EF ＝16知EG ＝4，故BE ＝8.答案：82．在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAC ＝∠ADC ，AC ＝8，BC ＝16，则CD 的长为________． 解析：∵∠BAC ＝∠ADC ，∠C ＝∠C ， ∴△ABC ∽△DAC ，∴BC AC ＝ACCD，∴CD ＝AC2BC ＝8216＝4.答案：41．判定两个三角形相似的常规思路 (1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例； (3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．2．借助图形判断三角形相似的方法 (1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例； (3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边． [练一练]1．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且ADDB ＝2，那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC ＝AD2AB2.∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23，∴S △ADE S △ABC ＝49，∴S △ADE S 四边形DBCE ＝45. 答案：452．如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D 点，BC2＝BD·AB，则∠ACB ＝______. 解析：在△ABC 与△CBD 中， 由BC2＝BD·AB， 得BC BD ＝ABBC，且∠B ＝∠B ， 所以△ABC ∽△CBD.则∠ACB ＝∠CDB ＝90°. 答案：90° 对应学生用书P172考点一平行线分线段成比例定理的应用1.如图，在▱ABCD 中，E 是BC 上一点，BE ∶EC ＝2∶3，AE 交BD 于F ，则BF ∶FD 等于________．解析：∵AD ＝BC ，BE ∶EC ＝2∶3， ∴BE ∶AD ＝2∶5. ∵AD ∥BC ，∴BF ∶FD ＝BE ∶AD ＝2∶5.即BF ∶FD ＝25.答案：252.(2014·某某调研)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，则BF ＝________. 解析：由DE ∥BC 得 DE BC ＝AE AC ＝35，∵DE ＝6， ∴BC ＝10.又因为DF ∥AC ， 所以BF BC ＝BD AB ＝CE AC ＝25，即BF ＝4. 答案：43.如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，则EF BC ＋FGAD ＝________.解析：由平行线分线段成比例定理得 EF BC ＝AF AC ，FG AD ＝FC AC， 故EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋FC AC ＝ACAC＝1. 答案：1[备课札记][类题通法]比例线段常用平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的.考点二相似三角形的判定及性质[典例] (2013·某某高考)如图，弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P.已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.[解析] 由PE ∥BC 知，∠A ＝∠C ＝∠PED.在△PDE 和△PEA 中，∠APE ＝∠EPD ，∠A ＝∠PED ，故△PDE ∽△PEA ，则PD PE ＝PEPA ，于是PE2＝PA·PD＝3×2＝6，所以PE ＝ 6.[答案] 6 [备课札记][类题通法] 1．判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边． 2．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等． [针对训练](2014·某某质检)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________.解析：由于∠B ＝∠D ，∠AEB ＝∠ACD ，所以△ABE ∽△ADC ，从而得AB AD ＝AEAC ，解得AE ＝2，故BE ＝AB2－AE2＝4 2. 答案：4 2考点三射影定理的应用[典例] 如图所示，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 是∠ABC 的平分线，交AD 于F ，求证：DF AF ＝AEEC .[证明] 由三角形的内角平分线定理得， 在△ABD 中，DF AF ＝BDAB ，①在△ABC 中，AE EC ＝ABBC ，②在Rt △ABC 中，由射影定理知， AB2＝BD·BC，即BD AB ＝ABBC .③由①③得：DF AF ＝ABBC ，④由②④得：DF AF ＝AEEC.[备课札记][类题通法]1．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”． 2．证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法． [针对训练]在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶9，则tan ∠BCD ＝________. 解析：由射影定理得 CD2＝AD·BD， 又BD ∶AD ＝1∶9，令BD ＝x ，则AD ＝9x(x>0)． ∴CD2＝9x2， ∴CD ＝3x.Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝13.答案：13对应学生用书P172[课堂练通考点]1．如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF ＝12 cm ，则BC 的长为________ cm.解析：⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED⇒E 为AD 中点，M 为BC 的中点．又EF ∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm ，∴BC ＝2MC ＝24 cm. 答案：242.如图，在△ABC 中，F 为边AB 上的一点，BF AF ＝mn (m ，n>0)，取CF 的中点D ，连结AD 并延长交BC 于点E.则BEEC＝________.解析：如图，作FG ∥BC 交AE 于点G ，则FG CE ＝FD DC ＝1，BE FG ＝AB AF ＝m ＋nn .两式相乘即得BE EC ＝m ＋nn .答案：m ＋nn3．在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AE ∶EB ＝1∶2，DE 与AC 交于点F ，若△AEF 的面积为6 cm2，则△ABC 的面积为________ cm2. 解析：令E ＝a ，EF ＝b ，则12ab ＝6.由题意知EB ＝2a. DF ＝3b.∴S △ABC ＝12·AB·DE＝12×3a×4b＝12×12ab ＝12×6＝72.答案：724．如图，在四边形ABCD 中，E 是AB 上一点，EC ∥AD ，DE ∥BC ，若S △BEC ＝1，S △ADE ＝3，则S △CDE ＝________. 解析：∵EC ∥AD ，∴S △DCE ∶S △ADE ＝EC ∶AD ，∵DE ∥BC ，∴S △BCE ∶S △CDE ＝BC ∶ED ，又因为∠ECB ＝∠DEC ＝∠ADE ，∠BEC ＝∠EAD ，∴△BEC ∽△EAD ，∴EC ∶AD ＝BC ∶ED.∴S △DCE ∶S △ADE ＝S △BCE ∶S △CDE ，于是S △CDE ＝ 3. 答案： 35．(2013·某某高考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，求ED 的长________．解析：∵tan ∠BCA ＝BA BC ＝33，所以∠BCA ＝30°，∠ECD ＝90°－∠BCA ＝60°.在Rt △BCE 中，CE ＝BC·cos∠BCA ＝3cos 30°＝332.在△ECD 中，由余弦定理得ED ＝CE2＋CD2－2CE·CD·cos∠ECD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3322＋32－2×332×3×12＝212.答案：212[课下提升考能]1.如图，已知▱ABCD 中，G 是DC 延长线上一点，AG 分别交BD 和BC 于E ，F 两点，证明：AF·AD＝AG ·BF. 证明：因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以AB ∥DC ，AD ∥BC.所以△ABF ∽△GCF ，△GCF ∽△GDA. 所以△ABF ∽△GDA. 从而有AF AG ＝BF AD，即AF·AD＝AG·BF.2．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，点D 在BC 上且CD ＝1，若∠CAD ＝∠B ，求BD 的长． 解：作出图形(如图)，依题意， 有tan ∠CAD ＝tan ∠B ， 即12＝21＋BD. 故BD ＝3.3.已知△ABC 中，BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ，BF 和CE 相交于点P ，求证：(1)△BPE ∽△CPF ； (2)△EFP ∽△BCP.证明：(1)∵BF ⊥AC 于点F ， CE ⊥AB 于点E ， ∴∠BFC ＝∠CEB. 又∵∠CPF ＝∠BPE ，∴△CPF ∽△BPE.(2)由(1)得△CPF ∽△BPE ，∴EP FP ＝BPCP.又∵∠EPF ＝∠BPC ， ∴△EFP ∽△BCP.4.如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，过A 作AH ∥BE.连结ED 并延长交AB 于F ，交AH 于H.如果AB ＝4AF ，EH ＝8，求DF 的长．解：∵AH ∥BE ，∴HF HE ＝AFAB .∵AB ＝4AF ，∴HF HE ＝14，∵HE ＝8，∴HF ＝2. ∵AH ∥BE ，∴HD DE ＝ADDC .∵D 是AC 的中点，∴HDDE＝1.∵HE ＝HD ＋DE ＝8，∴HD ＝4， ∴DF ＝HD －HF ＝4－2＝2.5．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的三等分点，AE 的延长线交BC 于F ，求S △BEFS 四边形DEFC的值．解：过D 点作DM ∥AF 交BC 于M ，因为DM ∥AF ， 所以BF BM ＝BE BD ＝13，因为EF ∥DM ， 所以S △BEF S △BDM ＝19，即S △BDM ＝9S △BEF ， 又S △DMC S △BDM ＝23， 即S △DMC ＝23S △BDM ＝6S △BEF ，所以S 四边形DEFC ＝14S △BEF ， 因此S △BEF S 四边形DEFC ＝114.6.如图，在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AD 上的一点，延长BE 交AC 于点F.若AE AD ＝14，求AFAC 的值．解：如图，过点A 作AG ∥BC ，交BF 的延长线于点G. ∵AE AD ＝14，∴AE ED ＝13. 又∵△AGE ∽△DBE ，∴AG BD ＝AE ED ＝13. ∵D 为BC 中点，BC ＝2BD ， ∴AG BC ＝16. ∵△AGF ∽△CBF ， ∴AF FC ＝AG BC ＝16， ∴AF AC ＝17. 7.如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，DE ＝12CD ，BE 与AD 交于点F.(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积． 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠BAF ＝∠BCD ，∵AB ∥CD ，∴∠ABF ＝∠CEB ， ∴△ABF ∽△CEB.(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF. ∴S △DEF S △CEB ＝(DE CE )2，S △DEF S △ABF ＝(DEAB)2. 又DE ＝12CD ＝12AB ，∴CE ＝DE ＋CD ＝DE ＋2DE ＝3DE. ∴S △DEF S △CEB ＝(DE CE )2＝19，S △DEF S △ABF ＝(DE AB )2＝14. ∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8. ∴平行四边形ABCD 的面积S ＝S △ABF ＋S △CEB －S △DEF ＝8＋18－2＝24.8.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AB 于E ，求证： (1)AB·AC＝BC·AD； (2)AD3＝BC·CF·BE.证明：(1)在Rt △ABC 中，AD ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12AB·AC＝12BC·AD.∴AB·AC＝BC·AD.(2)Rt △ADB 中，DE ⊥AB ，由射影定理可得 BD2＝BE·AB，同理CD2＝CF·AC，∴BD2·CD2＝BE·AB·CF·AC. 又在Rt △BAC 中，AD ⊥BC ，∴AD2＝BD·DC，∴AD4＝BE·AB·CF·AC，又AB·AC＝BC·AD.即AD3＝BC·CF·BE.第二节直线与圆的位置关系对应学生用书P1731．圆周角定理(1)圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(2)圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．2．圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理1：圆内接四边形的对角互补．定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．(2)判定判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．3．圆的切线性质及判定定理(1)性质：性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．(2)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．4．与圆有关的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．1．易混圆心角与圆周角，在使用时注意结合图形作出判断．2．在使用相交弦定理、割线定理、切割线定理时易出现比例线段对应不成比例而失误． [试一试]1.如图，P 是圆O 外一点，过P 引圆O 的两条割线PB 、PD ，PA ＝AB ＝5，CD ＝3，则PC 等于________． 解析：设PC ＝x ，由割线定理知 PA·P B ＝PC·PD.即5×25＝x(x ＋3)，解得x ＝2或x ＝－5(舍去)． 故PC ＝2. 答案：22.如图，EB ，EC 是⊙O 的两条切线，B ，C 是切点，A ，D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，则∠BAD 等于________． 解析：由已知，显然△EBC 为等腰三角形， 因此有∠ECB ＝180°－∠E2＝67°，因此∠BCD ＝180°－∠ECB －∠DCF ＝81°. 而由A ，B ，C ，D 四点共圆， 得∠BAD ＝180°－∠BCD ＝99°. 答案：99°1．与圆有关的辅助线的五种作法 (1)有弦，作弦心距．(2)有直径，作直径所对的圆周角． (3)有切点，作过切点的半径． (4)两圆相交，作公共弦． (5)两圆相切，作公切线． 2．证明四点共圆的常用方法(1)利用圆内接四边形的判定定理，证明四点组成的四边形的对角互补； (2)证明它的一个外角等于它的内对角； (3)证明四点到同一点的距离相等．当证明四点共圆以后，圆的各种性质都可以得到应用．3．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比，由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用． [练一练]1．(2014·荆州模拟)如图，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，过PA 的中点M 作割线交⊙O 于点B 和C ，若∠BMP ＝110°，∠BPC ＝30°，则∠MPB ＝________.解析：由切割线定理得，MA2＝MB·MC，又MA ＝MP ，故MP2＝MB·MC，即MB MP ＝MPMC ，又∠BMP ＝∠PMC.故△BMP ∽△PMC ，所以∠MPB ＝∠MCP ，所以30°＋∠MPB ＋∠MCP ＝∠AMB ＝180°－110°＝70°，所以∠MPB ＝20°. 答案：20° 2．(2014·某某一模)如图，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于点A ，点B ，且PB ＝7，C 是圆上一点，使得BC ＝5，∠BAC ＝∠APB ，则AB ＝________.解析：由PA 为圆O 的切线可得，∠PAB ＝∠ACB ，又∠BAC ＝∠APB ，于是△APB ∽△CAB ，所以PB AB ＝AB BC，而PB ＝7，BC ＝5，故AB2＝PB·BC＝7×5＝35， 即AB ＝35.答案：35对应学生用书P174考点一 圆周角、弦切角和圆的切线问题1.(2013·某某高考)如图， △ABC 为圆的内接三角形， BD 为圆的弦，且BD ∥AC. 过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F.若AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝ 5，则线段CF 的长为________．解析：因为AE 是圆的切线，且AE ＝6，BD ＝5，由切割线定理可得EA2＝EB·ED，即36＝EB·(EB＋5)，解得EB ＝4.又∠BAE ＝∠ADB ＝∠ACB ＝∠ABC ，所以AE ∥BC.又AC ∥BD ，所以四边形AEBC 是平行四边形，所以AE ＝BC ＝6，AC ＝EB ＝4.又由题意可得△CAF ∽△CBA ，所以CA CB ＝CF CA ，CF ＝CA2CB ＝166＝83. 答案：832．(2013·某某高考)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上．延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E.若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝________.解析：连结OC ，则OC ⊥CE ，∠OCA ＋∠ACE ＝90°，∵∠OAC ＝∠OCA ，∴∠OAC ＋∠ACE ＝90°.易知Rt △ACB ≌Rt △ACD ，则∠OAC ＝∠EAC.∴∠EAC ＋∠ACE ＝90°，∴∠AEC ＝90°，在Rt △ACD 中，由射影定理得：CD2＝ED·AD ①，又CD ＝BC ，AD ＝AB ，将AB ＝6，ED ＝2代入①式，得CD ＝ 12＝2 3，∴BC ＝2 3.答案：2 33.(2014·某某模拟)如图所示，⊙O 的两条切线PA 和PB 相交于点P ，与⊙O 相切于A ，B 两点，C 是⊙O 上的一点，若∠P ＝70°，则∠ACB＝________.解析：如图所示，连结OA ，OB ，则OA ⊥PA ，OB ⊥PB.故∠AOB ＝110°，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝55°. 答案：55°[备课札记][类题通法]1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角.考点二 圆内接四边形的性质及判定[典例] (2014·某某模拟)如图，AB 是⊙O 的直径，G 是AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点G 作AG 的垂线，交直线AC 于点E ，交直线AD 于点F ，过点G 作⊙O 的切线，切点为H.(1)求证：C ，D ，E ，F 四点共圆；(2)若GH ＝6，GE ＝4，求EF 的长．[解] (1)证明：连结DB ， ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，在Rt △ABD 与Rt △AFG 中，∠ABD ＝∠AFE ，又∠ABD ＝∠ACD ，∴∠ACD ＝∠AFE ，∴C ，D ，E ，F 四点共圆．(2) ⎭⎪⎬⎪⎫C ，D ，E ，F 四点共圆⇒GE·GF＝GC·GD GH 切⊙O 于点H ⇒GH2＝GC·GD ⇒GH2＝GE·GF， 又GH ＝6，GE ＝4，∴GF ＝9，EF ＝GF －GE ＝5.[备课札记][类题通法]证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段X 角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．[针对训练] 如图所示，在四边形ABCP 中，线段AP 与BC 的延长线交于点D ，已知AB ＝AC 且A ，B ，C ，P 四点共圆．(1)求证：PC AC ＝PD BD； (2)若AC ＝4，求AP·AD 的值．解：(1)证明：因为点A ，B ，C ，P 四点共圆，所以∠ABC ＋∠APC ＝180°，又因为∠DPC ＋∠APC ＝180°，所以∠DPC ＝∠ABC ，又因为∠D ＝∠D ，所以△DPC ∽△DBA ，所以PC AB ＝PD BD，又因为AB ＝AC ，所以PC AC ＝PD BD. (2)因为AB ＝AC ，所以∠ACB ＝∠ABC ，又∠ACD ＋∠ACB ＝180°，所以∠ACD ＋∠ABC ＝180°.由于∠ABC ＋∠APC ＝180°，所以∠ACD ＝∠APC ，又∠CAP ＝∠DAC ，所以△APC ∽△ACD ，所以AP AC ＝AC AD，所以AP·AD＝AC2＝16. 考点三 与圆有关的比例线段[典例] (2014·某某模拟)如图，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，△ACD 的外接圆交BC 于点E ，AB ＝2AC.(1)求证：BE ＝2AD ；(2)当AC ＝1，EC ＝2时，求AD 的长．[解] (1)证明：连结DE ，因为四边形ACED 是圆的内接四边形，所以∠BDE ＝∠BCA ， 又∠DBE ＝∠CBA ，所以△BDE ∽△BCA ，所以BE BA ＝DE CA， 而AB ＝2AC ，所以BE ＝2DE.又CD 是∠ACB 的平分线，所以AD ＝DE ，从而BE ＝2AD.(2)由已知得AB ＝2AC ＝2，设AD ＝t(0<t<2)，根据割线定理得，BD·BA＝BE·BC，即(AB －AD)·BA＝2AD·(2AD＋CE)，所以(2－t)×2＝2t(2t ＋2)，即2t2＋3t －2＝0，解得t ＝12，即AD ＝12. [备课札记][类题通法] 1．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．2．相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识与圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．[针对训练](2014·某某模拟)如图，已知⊙O 和⊙M 相交于A ，B 两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为弧BD 的中点，连结AG 分别交⊙O ，BD 于点E ，F ，连结CE.求证：(1)AG·EF＝CE·GD；(2)GF AG ＝EF2CE2. 证明：(1)连结AB ，AC ，∵AD 为⊙M 的直径，∴∠ABD ＝90°，∴AC 为⊙O 的直径，∴∠CEF ＝∠AGD ＝90°.∵G 为弧BD 的中点，∴∠DAG ＝∠GAB ＝∠ECF.∴△CEF ∽△AGD ，∴CE AG ＝EF GD，∴AG·EF＝CE·GD. (2)由(1)知∠DAG ＝∠GAB ＝∠FDG ，又∠G ＝∠G ，∴△DFG ∽△ADG ，∴DG2＝AG·GF.由(1)知EF2CE2＝GD2AG2，∴GF AG ＝EF2CE2. 对应学生用书P175[课堂练通考点]1．(2014·某某模拟)如图，PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°得到OD ，则PD 的长为________．解析：∵PA 切⊙O 于点A ，B 为PO 的中点，∴∠AOB ＝60°，∴∠POD ＝120°.在△POD 中，由余弦定理，得PD2＝PO2＋DO2－2PO·DO·cos∠POD ＝4＋1－4×(－12)＝7，故PD ＝7.答案：72．(2014·江南十校联考)如图，在圆的内接四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，∠ABD ＝30°，∠BDC ＝45°，AD ＝1，则BC ＝________.解析：连结AC.因为∠ABC＝90°，所以AC为圆的直径．又∠ACD＝∠ABD＝30°，所以AC＝2AD＝2.又∠BAC＝∠BDC＝45°，故BC＝ 2.答案： 23．(2014·某某模拟)如图，已知AB是⊙O的一条弦，点P为AB上一点，PC⊥OP，PC交⊙O 于C，若AP＝4，PB＝2，则PC的长是________．解析：如图，延长CP交⊙O于点D，因为PC⊥OP，所以P是弦CD的中点，由相交弦定理知PA·PB＝PC2，即PC2＝8，故PC＝2 2.答案：2 24．(2013·新课标卷Ⅰ)如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．解：(1)证明：如图，连结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，则∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG＝32.设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于32.[课下提升考能]1．(2013·某某高考)如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连结AE，BE.证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.证明：(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝π2；又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝π2，从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB ＝∠CEB. (2)由BC ⊥CE ，EF ⊥AB ，∠FEB ＝∠CEB ，BE 是公共边，得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，所以BC ＝BF.类似可证，Rt △ADE ≌Rt △AFE ，得AD ＝AF.又在Rt △AEB 中，EF ⊥AB ，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.2．(2013·某某高考)如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC.求证：AC ＝2AD.证明：连结OD.因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，所以∠ADO ＝∠ACB ＝90°.又因为∠A ＝∠A ，所以Rt △ADO ∽Rt △ACB.所以BC OD ＝AC AD. 又BC ＝2OC ＝2OD ，故AC ＝2AD.3．(2014·哈师大模拟)如图，圆O 的半径OC 垂直于直径AB ，弦CD 交半径OA 于E ，过D 的切线与BA 的延长线交于M.(1)求证：MD ＝ME ；(2)设圆O 的半径为1，MD ＝3，求MA 及CE 的长．解：(1)证明：连结OD ，∵∠CEO ＋∠ECO ＝90°，∠MDE ＋∠EDO ＝90°，又∠EDO ＝∠ECO ， ∴∠CEO ＝∠MDE ＝∠MED ，∴MD ＝ME.(2)∵MD2＝MA·MB，∴3＝MA·(MA＋2)，∴MA ＝1.∵在Rt △MDO 中，MO ＝2，MD ＝3，∴∠MOD ＝60°，∴∠COD ＝150°，∴∠ECO ＝15°，CE ＝OC cos ∠ECO ＝1cos 15°＝6－ 2. 4．(2014·某某模拟)如图，已知PE 切⊙O 于点E ，割线PBA 交⊙O 于A ，B 两点，∠APE 的平分线和AE ，BE 分别交于点C ，D.求证：(1)CE ＝DE ；(2)CA CE ＝PE PB.证明：(1)∵PE 切⊙O 于点E ，∴∠A ＝∠BEP. ∵PC 平分∠APE ，∴∠A ＋∠CPA ＝∠BEP ＋∠DPE.又∠ECD ＝∠A ＋∠CPA ，∠EDC ＝∠BEP ＋∠DPE ，∴∠ECD ＝∠EDC ，∴EC ＝ED.(2)∵∠PDB ＝∠EDC ，∠EDC ＝∠ECD ，∴∠PDB ＝∠PCE.又∠BPD ＝∠EPC ，∴△PBD ∽△PEC ，∴PE PB ＝PC PD. 同理△PDE ∽△PCA ，∴PC PD ＝CA DE ，∴PE PB ＝CA DE .又DE ＝CE ，∴CA CE ＝PE PB. 5．如图所示，直线AB 过圆心O ，交圆O 于A ，B 两点，直线AF 交圆O 于点F(不与B 重合)，直线l 与圆O 相切于点C ，交直线AB 于点E ，且与AF 垂直，交AF 的延长线于点G ，连结AC.求证：(1)∠BAC ＝∠CAG ；(2)AC2＝AE·AF.证明：(1)连结BC ，因为AB 是直径，所以∠ACB ＝90°，所以∠ACB ＝∠AGC＝90°.因为GC 切圆O 于点C ，所以∠GCA ＝∠ABC ，所以∠BAC ＝∠CAG.(2)连结CF ，因为EC 切圆O 于点C ，所以∠ACE ＝∠AFC.又∠BAC ＝∠CAG ，所以△ACF ∽△AEC ，所以AC AE ＝AF AC，所以AC2＝AE·AF. 6．(2013·新课标卷Ⅱ)如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC·AE＝DC·AF，B ，E ，F ，C 四点共圆．(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值．解：(1)证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC FA ＝DC EA，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EFA.因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE ＝∠DBC ，故∠EFA ＝∠CFE ＝90°.所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)如图，连结CE ，因为∠CBE ＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE.由DB ＝BE ，有CE ＝DC ，又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.。
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“概率与统计”类题目的审题技巧与解题规范
[技法概述]
在高考的实际综合应用问题中，题目中的图表、数据包含着问题的基本信息，也往往暗示着解决问题的目标和方向，在审题时，要认真观察分析图表、数据的特征和规律，为问题解决提供有助的方法．
[适用题型]
在高考中以下几种题型常用到此审题方法：
(1)概率与统计部分；
(2)回归分析与统计案例；
(3)算法与程序框图.
[典例](2013·湖南高考)(本题满分12分)某人在如图所示的直角边
长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形
的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该
种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系
如下表所示：
米．
(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；
(2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．
[解题流程] [失分警示]
第一步
由图表确定总株数及内部株数，边界株数．
⎣⎢⎢
⎡
解：(1)所种作物总株数N ＝1＋2＋3
＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.
⇐ 第二步
计算事件基本数及所求事件数． ⎣⎢
⎢⎢
⎢⎡
从三角形地块的内部和边界上分别
随机选取一株的不同结果有C 13C 112＝36种，
选取的两株作物恰好“相近”的不同结
果有3＋3＋2＝8种. (3分)
⇐ 结合图形准确计算“相近”的结果易忽视某一类导致结果计算出错
第三步 求概率．
⎣
⎢⎢⎡
故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为836＝29.(5分)
⇐ 第四步 求年收获量Y 取值的概率． ⎣
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢
⎢⎡
(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收
获量Y 的分布列.因为P (Y ＝51)＝P (X ＝1)，P (Y ＝48)＝P (X ＝2)， (6分)P (Y ＝45)＝P (X ＝3)，P (Y ＝42)＝P
(X ＝4)， (7分)所以只需求出P (X ＝k )(k ＝1，2，3，4)即可.记n k 为其“相近”作物恰有k 株的作物株数
(k ＝1，2，3，4)，则n 1＝2，n 2＝4，n 3＝6，n 4＝3. 由P (X ＝k )＝n k N 得P (X ＝1)＝215
，
P (X ＝2)＝415，P (X ＝3)＝615＝25，P (X ＝4)＝315＝15.(9分)
转化变量间关系如P (Y ＝51)＝P (X ＝1)是关
键.对Y 的每个取值相对应的概率求法易失误
⇐
概率与统计
1．(2014·武昌模拟)某市准备从7名报名者(其中男4人，女3人)中选3人参加三个副局长职务竞选．
(1)设所选3人中女副局长人数为X ，求X 的分布列；
(2)若选派三个副局长依次到A ，B ，C 三个局上任，求A 局是男副局长的情况下，B 局为女副局长的概率．
解：(1)依题意，X 可取0,1,2,3，
P (X ＝0)＝C 34C 37＝435，P (X ＝1)＝C 13C 2
4
C 37＝1835，
P (X ＝2)＝C 23C 14C 37＝1235，P (X ＝3)＝C 33
C 37＝135
，
故X 的分布列为
(2)记D ＝“A 局是男副局长”，E ＝“B 局是女副局长”，则P (E |D )＝3×56×5＝1
2.
第五步
写出Y 的分布列．
故所求的分布列为
(7分)
2
15
415
25
15
P 42
45 48 51 Y ⇐
第六步 求期望．
⎣⎢⎢
⎢⎢⎡
所求的数学期望为E (Y )＝51×215＋48×415＋45×25＋42×15＝34＋64＋90＋425＝46.(12分) ⇐
计算期望法由于不细心、易算错，导致丢2分
2.某单位举行一次全体职工的象棋比赛(实行三局两胜制)，甲、乙两人进入决赛．
已知甲、乙两人平时进行过多次对弈，其中记录了30局的对弈结果如右表：
根据表中的信息，预测在下列条件下的比赛结果：
(1)在比赛时由掷硬币的方式决定谁先，试求甲在第一局获胜的概率； (2)若第一局由乙先，以后每局由负者先． ①求甲以二比一获胜的概率；
②若胜一局得2分，负一局得0分，用ξ表示甲在这场比赛中所得的分数，试求ξ的分布列与数学期望E (ξ)．
解：根据题中表格的信息可知，若甲先，则甲获胜的概率是23，乙获胜的概率是1
3；若乙
先，则甲获胜的概率是35，乙获胜的概率是2
5
.
(1)甲在第一局获胜的概率是P 1＝12×23＋12×35＝19
30
.
(2)①若甲以二比一获胜，则甲胜第一局和第三局，或甲胜第二局和第三局． 所以，甲以二比一获胜的概率是 P 2＝35×25×23＋25×23×35＝825
.
②由题意知，ξ的所有可能取值为0,2,4，则 P (ξ＝0)＝25×13＝2
15
；
P (ξ＝2)＝35×25×13＋25×23×25＝14
75；
P (ξ＝4)＝35×35＋825＝17
25.
所以ξ的分布列为
E (ξ)＝0×215＋2×1475＋4×
1725＝232
75
.
3．(2013·成都模拟)某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下：
试根据图表中的信息解答下列问题：
(1)求全班的学生人数及分数在[70,80)之间的频数；
(2)为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于[70,80)，[80,90)和[90,100]分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选3人进行交流，求交流的学生中成绩位于[70,80)分数段的人数X 的分布列和数学期望．
解：(1)由茎叶图可知，分数在[50,60)上的频数为4，频率为0.008×10＝0.08，故全班的学生人数为40.08
＝50.
分数在[70,80)之间的频数等于50－(4＋14＋8＋4)＝20.
(2)按分层抽样原理，三个分数段抽样数之比等于相应人数之比．
又[70,80)，[80,90)和[90,100]分数段人数之比等于5∶2∶1，由此可得抽出的样本中分数在[70,80)之间的有5人，分数在[80,90)之间的有2人，分数在[90,100]之间的有1人．
从中任取3人，共有C 38＝56种不同的结果．
被抽中的成绩位于[70,80)分数段的学生人数X 的所有取值为0,1,2,3. 它们的概率分别是：
P (X ＝0)＝C 3356＝156，P (X ＝1)＝C 15C 2356＝1556，P (X ＝2)＝C 25C 1
356＝3056＝1528，P (X ＝3)＝C 3556＝10
56＝528
.
∴X 的分布列为
∴X 的数学期望为E (X )＝0×156＋1×1556＋2×1528＋3×528＝10556＝158
.。