定积分

第九章 定积分P.206 习题1．按定积分定义证明：)(a b k kdx b a-=⎰证明 对],[b a 的任一分割T ：b x x x a n =<<<=Λ10，其Riemann 和为)()()()(11111a b k x x k x xk x f ni i i ni i in i ii-=-=-=∆∑∑∑=-=-=ξ，所以当分割的模0→T 时，积分和∑=∆ni i i x f 1)(ξ的极限为)(a b k -，从而)(a b k kdx ba-=⎰2．通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集}{i ξ，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分：⑴⎰103dx x解 因为3)(x x f =在]1,0[连续，故3x 在]1,0[的定积分存在。

现在将]1,0[n 等分，其分点为：n i x i =，n i ,,1,0Λ=，i ξ取为小区间],1[ni n i -的右端点，于是Riemann 和为)(41)1(41111)()(224134131∞→→+⋅===∆∑∑∑===n n n n i n n ni x f ni ni ni i i ξ，所以41103=⎰dx x ⑵⎰10dx e x解 因为xe xf =)(在]1,0[连续，故)(x f 在]1,0[的定积分存在。

现在将]1,0[n 等分，其分点为：n i x i =，n i ,,1,0Λ=，i ξ取为小区间],1[ni n i -的右端点，于是Riemann 和为)(11)1(111)(11111∞→-→--⋅===∆∑∑∑===n e e e e n e n n e x f nnn i ni ni nini i i ξ（因为11lim0-=-→xx e x，所以111lim1-=-∞→nn en ），从而11-=⎰e dx e x ⑶⎰b ax dx e解 因xe xf =)(在],[b a 连续，故)(x f 在],[b a 可积，将],[b a n 等分，其分点为：)(a b n i a x i -+=，n i ,,1,0Λ=，i ξ取为小区间)](),(1[a b nia ab n i a -+--+的右端点，于是Riemann 和∑∑∑=-=-+=-=-=∆ni i nab a ni a b nia ni iie n a b e n a b ex f 11)(1)(ξa b na b a b na b ae e ee e na b e -→--⋅-=---1)1(，)(∞→n所以a b b ax e e dx e -=⎰⑷⎰ba x dx2（b a <<0）解 因21)(x x f =在],[b a 连续，故)(x f 在],[b a 可积，对],[b a 的任一分割},,,,{210b x x x x a T n ===Λ，取],[11i i i i i x x x x --∈=ξ（n i ,,1,0Λ=），于是Riemann 和b a x x x x x x x f ni i i ni i i i i ni i i 11)11()(111111-=-=-=∆∑∑∑=-=--=ξ所以b a x dx ba 112-=⎰P.209 习题1．计算下列定积分： ⑴4)3()32(121=+=+⎰x x dx x⑵ 12)arctan 2()121(12)1(111010210221022-=+-=++-=+++-=+-⎰⎰⎰πx x dx x dx x x x x ⑶ 2ln |ln |ln ln ln ln 222===⎰⎰e e e e e ex xx d x x dx ⑷1)(21)(21)1(212)1(211010210210-+=+=-=-=------⎰⎰⎰e e e e de e dx e e dx e e xx x x x x x x ⑸33)(tan )1(sec tan 30302302ππππ-=-=-=⎰⎰x x dx x xdx⑹344)232()1(9494=+=+⎰x x x dx x x ⑺⎰+41xdx解 令t x =代入得，3ln 24)111(212120204-=+-=+=+⎰⎰⎰dx t t tdt xdx ⑻ 32)(ln 31ln )(ln )(ln 1131212===⎰⎰e ee eee x x d x dx x x 2．利用定积分求极限： ⑴ )1)2(1(1lim )21(1lim33334+++=+++∞→∞→ΛΛnn n n n n n411)(lim 10313===⎰∑=∞→dx x n ni ni n ⑵ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++∞→222)(1)2(1)1(1lim n n n n n n Λ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++=∞→222)1(1)21(1)11(11lim n n n n n n Λ21)1(11)1(1lim 10212=+=+=⎰∑=∞→dx x n ni ni n ⑶ ⎪⎭⎫⎝⎛+++++∞→2222212111lim n n n n n Λ 4111)(11lim )(11)2(111111lim 10212222π=+=+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++=⎰∑=∞→∞→x n n i n nn n n n i n n Λ⑷ ππππππ2sin 1sin lim 1sin 2sinsin 1lim 101===⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++⎰∑=∞→∞→xdx n n i n n n n n n i n n Λ 3．证明：若f 在],[b a 上可积，F 在],[b a 上连续，且除有限个点外有)()(x f x F ='，则有)()()(a F b F dx x f ba-=⎰证 设除有限个点：m y y y ,,,21Λ外有)()(x f x F ='. 对于],[b a 的任一分割T '，设T 是分割T '添加分点m y y y ,,,21Λ后所得到的分割，设T 的分点为：n x x x ,,,21Λ. 在每个小区间],[1i i x x -上对)(x F 使用Lagrange 中值定理，则分别存在),(1i i i x x -∈ξ，使得∑∑∑===-∆=∆'=-=-ni i i n i i i n i i i x f x F x F x F a F b F 1111)()()]()([)()(ξξ所以⎰∑=∆=-=→'bani iiT dx x f x f a F b F )()(lim)()(1||||ξ.P.215 习题1．证明：若T '是T 增加若干个分点后所得的分割，则∑∑∆≤'∆''TiiT iixx ωω.证 不失一般性，这里只证明T '是T 增加一个分点的情形.在T 上增加一个新分点，它必落在T 的某一个小区间k ∆内，而且将k ∆分为两个新的小区间，记为k ∆'与k ∆''. 但T 的其它小区间没有改变，仍是新分割T '所属的小区间，从而∑∆Tii xω与∑''∆'T iix ω的差别仅仅是∑∆Tiixω中的k k x ∆ω一项换成了∑''∆'T iix ω中的k kx '∆'ω与k k x ''∆''ω两项（这里k ω'与k ω''分别是f 在k ∆'与k ∆''上的振幅，显然k k ωω≤'，k k ωω≤''），所以0)()()()()(≥''∆'-+'∆'-=''∆''+'∆'-''∆+'∆=''∆''+'∆'-∆='∆'-∆∑∑'k k k k k k k k k k k kk k k k kkkT iiTiix x x x x x x x xx x ωωωωωωωωωωωω即∑∑∆≤'∆''TiiT iixx ωω2．证明：若f 在],[b a 上可积，],[],[b a ⊂βα，则f 在],[βα上也可积. 证 因f 在],[b a 上可积，所以对任给的0>ε，存在分割T ，使得εω<∆∑Tii x. 设T '是T 增加分点α，β后所得的分割，于是有εωω<∆≤'∆'∑∑'Ti i T i i x x . 记T '限制在区间],[βα上的分割为1T ，则有εωωω<∆≤'∆'≤'∆'∑∑∑'TiiT iiT iixx x 1，所以由定理9.3’，f 在],[βα上可积.3．设f 、g 均为定义在],[b a 上的有界函数. 证明：若仅在],[b a 中有限个点处)()(x g x f ≠，则当f 在],[b a 上可积时，g 在],[b a 上也可积，且⎰⎰=babadx x g dx x f )()( 证 设f 在],[b a 上可积，⎰=badx x f J )(，在],[b a 中有限个点：n x x x ,,,21Λ处，)()(x g x f ≠，令|})()({|max 1k k nk x g x f M -=≤≤. 因f 在],[b a 上可积，对任给的0>ε，存在0>δ（不妨设nM 41<δ），使得当分割T 的模δ<||||T 时，2|)(|εξ<-∆∑J x f Ti i .2||||2|)()(|εξξ<≤∆-∑T nM x f g Ti i i从而|)(||)()(||)(|J x f x f x g J xg Ti i Ti i Ti i Tii-∆+∆-∆≤-∆∑∑∑∑ξξξξεεε=+<22所以⎰⎰==b abadx x f J dx x g )()(4．设f 在],[b a 上有界，],[}{b a a n ⊂，c a n n =∞→lim . 证明：若f 在],[b a 上只有na （Λ,2,1=n ）为其间断点，则f 在],[b a 上可积.证 设ω为f 在],[b a 上的振幅，对任给的0>ε，取},,6min{0c b a c --<<ωεδ则f 在],[δ-c a 上只有有限个间断点，于是f 在],[δ-c a 上可积，从而存在区间],[δ-c a 的分割1T ，使得f 在],[δ-c a 上的振幅和31εω<'∆'∑T i i x ；同样，f 在],[b c δ+上只有有限个间断点，f 在],[b c δ+上也可积，存在区间],[b c δ+的分割2T ，使得f 在],[b c δ+上的振幅和32εω<''∆''∑T i i x . 最后把分割1T 和2T 与小区间],[δδ+-c c 合并，构成区间],[b a 的分割T ，f 在],[b a 上的振幅和εεεεδωωωω=++<⋅+''∆''+'∆'≤∆∑∑∑333211T i i T i i Ti i x x x所以f 在],[b a 上可积.5．证明：若f 在区间∆上有界，则)(sup x f M Ix ∈=，)(inf x f m Ix ∈=，证明|)()(|sup )(inf )(sup ,x f x f x f x f x x x x ''-'=-∆∈'''∆∈∆∈证明方法与P.22，第16题相同.P.222 习题1．证明：若f 与g 都在],[b a 上可积，则⎰∑=∆=→b ani iiiT dx x g x f x g f )()()()(lim1||||ηξ，其中i i ηξ,是T 所属小区间i ∆中的任意两点，n i ,,2,1Λ=.证 因为⎰∑=∆=→b ani iiiT dx x g x f x g f )()()()(lim1||||ξξ，于是对任给的0>ε，存在01>δ，当1||||δ<T 时，2|)()()()(|1εξξ<-∆⎰∑=ban i i i i dx x g x f x g f .因为f 在],[b a 上可积，所以有界，即存在0>M ，使得对任何],[b a x ∈都有M x f ≤|)(|. 又因为g 在],[b a 上可积，故存在02>δ，当2||||δ<T 时，使得g 在],[b a 上的振幅和Mx Ti i 2εω<∆∑.现在取},m in{21δδδ=，当δ<||||T 时，|)()()()(|1⎰∑-∆=bani i i i dx x g x f x g f ηξ|)()()()(||)()()()(|111⎰∑∑∑-∆+∆-∆≤===bani i i i n i i i i n i i i i dx x g x f x g f x g f x g f ξξξξηξεεεξξω=+<-∆+∆<⎰∑∑==22|)()()()(|11bani i i i n i i i dx x g x f x g f x M所以⎰∑=∆=→bani i i i T dx x g x f x g f )()()()(lim1||||ηξ2．不求出定积分的值，比较下列各对定积分的大小. ⑴⎰10dx x 与⎰12dx x解 因为在)1,0(上x 与2x 都连续，且2x x >，所以⎰⎰>1210dx x dx x⑵⎰20πdx x 与⎰20sin πdx x解 因为在)2,0(π上x 与x sin 都连续，且x x sin >，所以⎰⎰>2020sin ππdx x dx x3．证明下列不等式： ⑴2sin 2112202πππ<-<⎰x dx证 因为在)2,0(π上，1sin 211212<-<x ，所以2sin 211112<-<x从而2sin 2112202πππ<-<⎰x dx⑵ e dx e x <<⎰1021证 因为在)1,0(上，e ex <<21，所以e dx e x <<⎰121⑶ 2sin 120ππ<<⎰dx x x 证 因为在)2,0(π上，1sin 2<<xxπ（P.125，习题7⑵），所以2sin 120ππ<<⎰dx x x ⑷ 6ln 34<<⎰e edx x x e证 设xx x f ln )(=，先求f 在)4,(e e 上的最大值和最小值.因为xx x x xx x x x x 2ln 2ln 211)ln (-=-='，得稳定点2e x =. 计算在稳定点和区间端点处的函数值ee f 1)(=，ee ef 24ln )4(=，ee f 2)(2=. 比较可知f 在)4,(e e 上的最大值为e e f 2)(2=，最小值为e e f 1)(=，所以f 在)4,(e e 上e x x e 2ln 1<<，从而 6ln 34<<⎰e edx x x e4．设f 在],[b a 上连续，且)(x f 不恒等于零，证明0)(2>⎰b adx x f证 设有],[0b a x ∈，使得0)(0≠x f ，于是0)(02>x f . 因为f 在],[b a 上连续，由连续函数的局部保号性，存在0x 的某邻域),(00δδ+-x x （当a x =0或b x =0时，则为右邻域或左邻域），使得在其中02)()(022>>x f x f . 从而 ⎰⎰⎰⎰++--++=b x x x x ab adx x f dx x f dx x f dx x f δδδδ0000)()()()(22220)(2)()(020220000>=>≥⎰⎰+-+-δδδδδx f dx x f dx x f x x x x 5．设f 与g 都在],[b a 上可积，证明)}(),({max )(],[x g x f x M b a x ∈=， )}(),({min )(],[x g x f x m b a x ∈=在],[b a 上也都可积.证 因为|])()(|)()([21)}(),({max )(],[x g x f x g x f x g x f x M b a x -++==∈， |])()(|)()([21)}(),({min )(],[x g x f x g x f x g x f x m b a x --+==∈，所以)(x M ，)(x m 在],[b a 上也都可积.6．试求心形线)cos 1(θ+=a r ，πθ20≤≤上各点极径的平均值.解 所求平均值为a ad a d a =⋅=+=+⎰⎰ππθθπθθπππ22)cos 1(2)cos 1(2120207．设f 在],[b a 上可积，且在],[b a 上满足0|)(|>≥m x f . 证明f1在],[b a 上也可积.证 因f 在],[b a 上可积，对任给的0>ε，存在分割T ，使得εω2m x Ti f i<∆∑. 对于分割T 所属的每一个小区间i ∆，f1在i ∆上的振幅 2,,1|)(||)(||)()(|sup |)(1)(1|sup m x f x f x f x f x f x f fi x x x x f ii iωω≤''⋅''-''=''-'=∆∈'''∆∈'''所以εωωω<∆=∆≤∆∑∑∑Ti f i Ti fi Ti fix m x m x 2211，因此f1在],[b a 上可积. 8．证明积分第一中值定理中的中值点),(b a ∈ξ 证 反证法. 假设对任何),(b a x ∈，都有μ=-≠⎰b a dx x f ab x f )(1)(. 则由f 在],[b a 的连续性，知对任何),(b a x ∈，恒有μ>)(x f （或μ<)(x f ），从而有μ)()(a b dx x f b a->⎰（或μ)()(a b dx x f b a-<⎰），这与μ=-⎰b adx x f a b )(1矛盾.类似地可证明定理9.8的情形.9．证明：若f 与g 都在],[b a 上可积，且)(x g 在],[b a 上不变号，m M ,分别为)(x f 在],[b a 上的上、下确界，则必存在某实数μ（M m ≤≤μ），使得⎰⎰=bab adx x g dx x g x f )()()(μ证 不妨设0)(≥x g ，],[b a x ∈. 于是)()()()(x Mg x g x f x mg ≤≤，],[b a x ∈，从而⎰⎰⎰≤≤bab ab adx x g M dx x g x f dx x g m )()()()(.若0)(=⎰b adx x g ，则由上式知0)()(=⎰badx x g x f ，于是对任何μ，结论都成立. 若)(>⎰b adx x g ，则M dxx g dxx g x f m b ab a≤≤⎰⎰)()()(，令⎰⎰=b ab adxx g dxx g x f )()()(μ，知⎰⎰=b ab adx x g dx x g x f )()()(μ，且M m ≤≤μ.10．证明：若f 在],[b a 上连续，且0)()(==⎰⎰bab adx x xf dx x f ，则在),(b a 内至少存在两点21,x x ，使0)()(21==x f x f . 又若0)(2=⎰b adx x f x ，这时f 在),(b a 内是否至少有三个零点？证 由积分第一中值定理（习题8），存在),(1b a x ∈，使得⎰=b adx x f x f )()(1，所以有0)(1=x f .令)()()(1x f x x x g -=，则0)()()(1=-=⎰⎰⎰bab ab adx x f x dx x xf dx x g ，g 在],[b a 上连续.假设对任何),(1x a x ∈，及),(1b x x ∈都有0)(≠x g ，则由g 在),(b a 上连续，知g 在),(1x a 上恒正（或恒负），在),(1b x 上恒负（或恒正），从而f 在),(1x a 上恒负（或恒正），在),(1b x 上恒负（或恒正），于是0)(1<⎰x adx x f 且0)(1<⎰b x dx x f ，所以0)(<⎰b a dx x f （或0)(1>⎰x adx x f 且0)(1>⎰b x dx x f ，0)(>⎰b adx x f ），这与0)(=⎰b adx x f 矛盾，故至少存在一点),(2b a x ∈，12x x ≠，使得0)(2=x g ，从而0)(2=x f .11．设f 在],[b a 上二阶可导，且0)(>''x f . 证明： ⑴ ⎰-≤+b a dx x f ab b a f )(1)2(⑵ 又若0)(≤x f ，],[b a x ∈，则又有⎰-≥b adx x f a b x f )(2)(，],[b a x ∈.证 ⑴ 由P.149公式（5），对任何],[,1b a x x ∈有，))(()()(111x x x f x f x f -'+≥，取21ba x +=，并在],[b a 上积分，得 ))(2()2()2())(2()(a b ba f dxb a x b a f a b b a f dx x f b a b a-+=+-+'+-+≥⎰⎰ 所以⎰-≤+b a dx x f ab b a f )(1)2( ⑵12．证明：⑴ n n n ln 11211)1ln(+<+++<+Λ ⑵ 1ln 1211lim =+++∞→nn n Λ 证 ⑴ 因为xx f 1)(=单调递减，所以有kdx k dx x dx k k k k k k k k 1111111111=<<+=+⎰⎰⎰+++ 取1,,2,1-=n k Λ，依次相加，得∑⎰∑⎰∑-=-=+-=<==<+111111111ln 1111n k n n k k k n k k n dx x dx x k 所以n n n ln 11211)1ln(+<+++<+Λ ⑵ 因为n nn ln 11211)1ln(+<+++<+Λ，所以n n n n n n ln ln 1ln 1211ln )1ln(+<+++<+Λ，从而1ln 1211lim =+++∞→nn n Λ P.233 习题1．设f 为连续函数，v u ,为可导函数，且可实行复合u f ο与v f ο. 证明：)())(()())(()()()(x u x u f x v x v f dt t f dxd x v x u '-'=⎰ 证 ))()(()()()()()(⎰⎰⎰+=x v a ax u x v x u dt t f dt t f dx d dt t f dx d )())(()())(()()()()(x v x v f x u x u f dt t f dxd dt t f dx d x v a a x u '+'-=+=⎰⎰ 2．设f 在],[b a 上连续，⎰-=x adt t x t f x F ))(()(. 证明)()(x f x F =''，],[b a x ∈.证 ))(())(())()(()('-'='-='⎰⎰⎰⎰xaxaxax adt t tf dt t f x dt t tf dt t xf x F⎰⎰=-+=x axadt t f x xf x xf dt t f )()()()(所以)())(()(x f dt t f x F x a='=''⎰3．求下列极限：⑴ 11cos lim cos limcos 1lim 20020020===→→→⎰⎰x xdt t dt t x x xx x x ⑵ 022lim2lim2lim)(lim2222222222022===⋅=∞→∞→∞→∞→⎰⎰⎰⎰x x x x xt x xxxt x x t xt x xee edte ee dt e dtedt e4．计算下列定积分⑴ 72cos 72cos cos 22sin cos 207206205=-=-=⎰⎰πππx x d x dx x x⑵⎰-1024dx x解 令t x sin 2=，233)2cos 1(2cos 4460602102+=+==-⎰⎰⎰πππdt t dt t dx x ⑶⎰-a dx x a x 0222（0>a ）解 t a x sin =，⎰⎰⎰=⋅⋅=-202242022222cos sin cos cos sin ππdt t t adt t a t a t a dx x a xa16)1634()sin sin (442042024a a dt t dt t a πππππ=-=-=⎰⎰(这里用了P.227,公式（12）)⑷⎰⎰+-=+-1023210232]43)21[(1)1(1dx x dx x x34)]43)21[(21(34)]43)21[(21(3412121212=+--=+--=⎰x x x x d解法2：令t x tan 2321=-， 3421234cos 234sec 134)1(160610232=⋅⋅=⋅==+-⎰⎰⎰-πππdt t dt t dx x x 解法3：令x t x x -=+-12⎰⎰-+-⋅---=+-21223210232)12()1(2)121(1)1(1dt t t t t t t dx x x 34)1()1(2)1(122212222122=+-+-=+--=⎰⎰t t t t d dt t t t⑸4arctan arctan 1111010210π-==+=+⎰⎰-e e de e dx e e x x x x x ⑹ 4sin arctan sin 1sin sin 1cos 20202202ππππ==+=+⎰⎰x x x d dx x x ⑺121211arcsin arcsin 102121010-=-+=--=⎰⎰ππxdx xxx x dx x⑻⎰⎰⎰-==20202020cos sin sin sin ππππdx x e xe de x dx x e x xx x⎰⎰-+=--=20220202sin 1sin cos πππππdx x e e dx x e xe e x x x所以 )1(21sin 220+=⎰ππe dx x e x⑼eeeee ex x x x dx x dx x dx x 1111111)1(ln )1(ln ln ln |ln |-+--=+-=⎰⎰⎰ee 22121-=+-= ⑽⎰1dx ex解 令t x =，2)1(2)(221101010=+-=-==⎰⎰e e e te dt t e dx et t t x⑾⎰+-a dx xa xa x 02（0>a ） 解⎰⎰--=+-a adx xa x a x dx xa xa x 02222令t x sin =，于是⎰⎰-=+-202202cos cos sin sin πdt t a ta ta a ta dx xa xa x a)324()sin (sin 32323-=-=⎰ππa dt t t a⑿⎰+20cos sin cos πθθθθd解 ⎰+=201cos sin cos πθθθθd I ，⎰+=202cos sin sin πθθθθd I2cos sin sin cos 2021πθθθθθπ=++=+⎰d I I0)cos ln(sin cos sin )cos (sin cos sin sin cos 20202021=+=++=+-=-⎰⎰πππθθθθθθθθθθθd d I I以上两式相加得，41π=I5.设f 在[]a a ,-上可积.证明:(1) 若f 为齐函数,则⎰-=aadx x f ;0)((2) 若f 为偶函数,则.)(2)(0dx x f dx x f aaa⎰⎰-=证明 因为=⎰-aa dx x f )(⎰-+)(adx x f ⎰adx x f 0)(对右边第一个做积分变换x=-t ，得⎰-=0)(adx x f ⎰=--0)(a dt t f ⎰=-adt t f 0)(⎰-adx x f 0)(于是=⎰-aadx x f )(⎰+-0)(adt x f ⎰adx x f 0)(=dx x f x f a ⎰-+0)]()([ （1）若f 为齐函数，则f(x)+f(-x)=0,所以⎰-=a adx x f ;0)((2) 若f 为偶函数, f(x)+f(-x)=2f(x), 所以.)(2)(0dx x f dx x f aa a ⎰⎰-=6.设f 为()+∞∞-,上以p 为周期的连续函数.证明对任何实数a,恒有dx x f dx x f ppa a⎰⎰=+0)()(.证明 令F(a)=dx x f pa a⎰+)(,则）（a F '=()()f a p f a +- =0.从而F(a)=c(常数),令a=0,得(0)c f ==dx x f p⎰)(,所以dx x f dx x f p pa a⎰⎰=+0)()(7.设f 为连续函数.证明: (1)⎰=2/0)(sin πdx x f ⎰2/0)(cos πdx x f .(2)⎰=π)(sin dx x xf ⎰ππ)(sin 2dx x f .证明 (1)应做代换x=,2t -π则dx=-dt,于是有⎰=2/0)(sin πdx x f ⎰=02/)(cos πdt t f ⎰2/0)(cos πdx x f(2)令x=,t -π则dx=-dt,从而⎰=π)(sin dx x xf dtt f t )(sin )(0⎰--ππ=dx x xf dx x f ⎰⎰-πππ)(sin )(sin 由此得⎰=π)(sin dx x xf ⎰ππ)(sin 2dx x f总练习题1．证明：若ϕ在],0[a 上连续，f 二阶可导，且0)(≥''x f ，则有))(1())((100⎰⎰≥aa dt t a f dt t f a ϕϕ 证 设⎰=adt t a c 0)(1ϕ，要证：)())((0c af dt t f a ≥⎰ϕ.因为0)(≥''x f ，由P.149，公式（5），有))(()()(c x c f c f x f -'+≥令)(t x ϕ=代入，得))()(()())((c t c f c f t f -'+≥ϕϕ在],0[a 上积分，得)()()()()())((0c af a c c f dt t c f c af dt t f aa =⋅'-'+≥⎰⎰ϕϕ2．证明下列命题：⑴若f 在],[b a 上连续增，⎪⎩⎪⎨⎧=∈-=⎰ax a f b a x dtt f a x x F x a)(],()(1)(则F 为],[b a 上的增函数 证 因为)()()(lim )(1lim )(lim a F a f x f dt t f ax x F a x x a ax ax ===-=+++→→→⎰，所以F 在a x =连续.因为f 在],[b a 上连续增，所以))(()()(a x x f dt x f dt t f xax a -=≤⎰⎰，于是对任何),(b a x ∈，有0)()())(()(2≥---='⎰a x dtt f a x x f x F xa，从而F 在),(b a 增，又因F 在a x =和b x =连续，所以F 为],[b a 上的增函数.⑵ 若f 在),0[∞+上连续，且0)(>x f ，则⎰⎰=x ax adt t f dtt tf x )()()(ϕ为),0(∞+上的严格增函数. 如果要使ϕ在),0[∞+上为严格增，试问应补充定义?)0(=ϕ证 ),0(∞+∈∀x ，22))(())()()(())(()()()()()(⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-='xxx xxx dt t f dt t tf dt t f x x f dt t f dtt tf x f dt t f x xf x ϕ0))(())()()((200>-=⎰⎰xx dt t f dt t f t x x f所以ϕ在),0(∞+上为严格增. 要使ϕ在),0[∞+上为严格增，应使ϕ在0=x 处右连续，故应补充定义0)()(lim )()(lim )(lim )0(0====+++→→→⎰⎰x f x xf dtt f dt t tf x x x ax ax x ϕϕ 3．设f 在),0[∞+上连续，且A x f x =+∞→)(lim ，证明A dt t f x xx =⎰+∞→0)(1lim证 因为A x f x =+∞→)(lim ，于是存在0>N ，使得f 在),[∞+N 上有界. 又f 在],0[N 上连续，从而f 在],0[N 上有界，所以f 在),0[∞+上有界. 设M x f ≤|)(|.将积分⎰xdt t f x0)(1写成两项： ⎰⎰⎰+=xx x x dt t f xdt t f x dt t f x )(1)(1)(100 对上式右端第一项，有01|)(|1|)(1|00→=⋅≤≤⎰⎰xMM x x dt t f x dt t f x x x ，（+∞→x ） 对第二项用积分第一中值公式，存在),(x x ∈ξ，使得)()(1)(1ξf x x xdt t f x x x -=⎰ 当+∞→x 时，有+∞→x ，于是+∞→ξ，从而A f x f x x x dt t f x x x x x x =-=-=+∞→+∞→+∞→⎰)()11(lim )()(1lim )(1limξξ所以A dt t f x dt t f x dt t f x xxx x x x x =+=⎰⎰⎰+∞→+∞→+∞→)(1lim )(1lim )(1lim004．设f 是定义在),(∞+-∞上的一个连续周期函数，周期为p ，证明⎰⎰=+∞→px x dt t f p dt t f x 00)(1)(1lim 证 对任何0>x ，存在自然数n 与),0(p x ∈'，使得x np x '+=. 于是有])()()([1)(1)1(200⎰⎰⎰⎰-+++'+=np P n p p p x dt t f dt t f dt t f x np dt t f x Λ⎰'+'++x np np dt t f x np )(1⎰⎰'+'++'+=x np np pdt t f xnp x np dtt f n )(1)(0所以，⎰⎰⎰'++∞→+∞→+∞→'++'+=x np np n pn x x dt t f x np x np dt t f n dt t f x )(1lim )(lim )(1lim 0而0)(1lim )(1lim )(1lim 00='+=+'+='+⎰⎰⎰'+∞→'+∞→'++∞→x n x n x np np n ds s f x np ds np s f x np dt t f x np ⎰⎰='++∞→ppn dt t f p x np dtt f n 0)(1)(lim所以⎰⎰=+∞→px x dt t f p dt t f x 00)(1)(1lim5．证明：连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数；连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数.证 f 的一切原函数可写作C dt t f x F x +=⎰)()(若f 为奇函数，则)()()()()(0x F C ds s f C ds s f C dt t f x F xx x =+=+--=+=-⎰⎰⎰-所以f 的一切原函数)(x F 为偶函数. 若f 为偶函数，则C ds s f C ds s f C dt t f x F xx x +-=+--=+=-⎰⎰⎰-0)()()()(当且仅当0=C 时，)(x F 为奇函数.6.证明施瓦茨不等式(Schwarz):若f 和g 在上可积,则(dx x f ba⎰)()2dx x g dx x f baba)()(22⎰⎰⋅≤.证明 若f(x)与g(x)可积,则22(),(),()()f x g x f x g x -都可积,且对任何实数t,[tf(x)-g(x)]2也可积,又[tf(x)-g(x)]20≥,故2[()()]0batf x g x -≥⎰由此推出关于的二次三项式非正,即(dx x f ba⎰)()2dx x g dx x f baba)()(22⎰⎰⋅≤.7.利用施瓦茨不等式证明: (1)若f 在[]b a ,上可积,则(dx x f ba⎰)()2dx x f a b ba⎰-≤)()(2.(2)若f[]b a ,在上可积,且f(x)>≥m ,则dx x f ba⎰)(2)()(1a b dx x f ba-≥⋅⎰; (3) 若f,g都在[]b a ,上可积,则有闵可夫斯基(Minkowski)不等式:[dx x g x f ba2))()((⎰+]21≤[dxx f ba)(2⎰]21+[dxx gba)(2⎰]21证明(1) 根据施瓦茨不等式,有2[()]b af x dx =⎰2[()1]b af x dx ⋅⎰2221()()()b bbaaadx f x dx b a f x dx ≤⋅=-⎰⎰⎰(2)由f(X)可积,且f(x)≥m>0知,1()f x 可积,,于是根据施瓦茨不等式,有2221()()()()()bbb aaa af x dx dx dx b a f x ⋅≥==-⎰⎰⎰⎰(3)根据施瓦茨不等式,有dxx g x f ba2))()((⎰+=12222222()2()()()()2[()()]()bbbbbbbaaaaaaaf x dx f xg x dx g x dx f x dx f x dx g x dx g x dx ++≤+⋅+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰故[dx x g x f ba2))()((⎰+]21≤[dxx f ba)(2⎰]21+[dxx gba)(2⎰]218.证明:若f 在[]b a ,上连续,且f(x)>0,则ln(dx x f a b ba⎰-)(1)⎰-≥badx x f a b )(ln 1证明 将进行n 等分,得分割T={01,,,n x x x K },取,且i i x ξ=,记()(1,2,,)i i f y i n ξ==K ,于是由平均不等式1111ln (ln ln )1211()ni n i b ab any y y b ann b a ni ii y y y f x eeb a nξ⋅=--⋅++--=∑+++∆=≥==-∑K K由教材例2知lnf(x)可积,所以令0,T →,两边取极限,1ln ()1()baf x dx b b a a f x dx e b a-⎰≥-⎰于是有 ln(dx x f a b ba⎰-)(1)⎰-≥badx x f a b )(ln 19.设f 为()+∞,0上的连续减函数,f(x)>0;又设an=dx x f k f nnk ⎰∑-=11)()(.证明{ a n}为收敛数列.证明 因f(x)为()0,+∞内的连续函数,所以 a n =111111111()()()()()()(1)()0nn n n n nk kk k k k k f k f x dx f k f x dx f k f k k k f n --+=====-=-≥-+-=>∑∑∑∑∑⎰⎰所以数列{a n }有下界,又因111(1)()(1)(1)0n n n n nna a f n f x dx f n f n dx +++-=+-≤+-+=⎰⎰(()(1))f x f n ≥+可见{ a n }为递减数列,由单调有界定理知{ a n }收敛。