定积分
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第九章 定积分
P.206 习题
1．按定积分定义证明：
)(a b k kdx b a
-=⎰
证明 对],[b a 的任一分割T ：b x x x a n =<<<=Λ10，其Riemann 和为
)()()()(1
11
11
a b k x x k x x
k x f n
i i i n
i i i
n i i
i
-=-=-=∆∑∑∑=-=-=ξ，所以当分割的模0
→T 时，积分和
∑
=∆n
i i i x f 1
)(ξ的极限为)(a b k -，从而)(a b k kdx b
a
-=⎰
2．通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集}{i ξ，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分：
⑴
⎰
10
3dx x
解 因为3)(x x f =在]1,0[连续，故3
x 在]1,0[的定积分存在。现在将]1,0[n 等分，
其分点为：n i x i =，n i ,,1,0Λ=，i ξ取为小区间],1[n
i n i -的右端点，于是Riemann 和为
)(41)1(4
111
1)()(2
241
34
131
∞→→
+⋅=
==∆∑∑∑
===n n n n i n n n
i x f n
i n
i n
i i i ξ，所以
4
1
10
3=
⎰
dx x ⑵
⎰
10
dx e x
解 因为x
e x
f =)(在]1,0[连续，故)(x f 在]1,0[的定积分存在。现在将]1,0[n 等
分，其分点为：n i x i =
，n i ,,1,0Λ=，i ξ取为小区间],1[n
i n i -的右端点，于是Riemann 和为
)(11)
1(111)(1
111
1
∞→-→--⋅===∆∑∑∑
===n e e e e n e n n e x f n
n
n i n
i n
i n
i
n
i i i ξ
（因为11lim
0-=-→x
x e x
，所以111
lim
1-=-∞→n
n e
n ）
，从而11
-=⎰e dx e x ⑶
⎰
b a
x dx e
解 因x
e x
f =)(在],[b a 连续，故)(x f 在],[b a 可积，将],[b a n 等分，其分点为：
)(a b n i a x i -+=，n i ,,1,0Λ=，i ξ取为小区间)](),(1[a b n
i
a a
b n i a -+--+的右
端点，于是Riemann 和
∑∑∑=-=-+=-=-=∆n
i i n
a
b a n
i a b n
i
a n
i i
i
e n a b e n a b e
x f 1
1
)(1
)(ξ
a b n
a b a b n
a b a
e e e
e e n
a b e -→--⋅
-=---1)
1(，)(∞→n
所以a b b a
x e e dx e -=⎰
⑷
⎰b
a x dx
2（b a <<0）
解 因21
)(x x f =在],[b a 连续，故)(x f 在],[b a 可积，对],[b a 的任一分割
},,,,{210b x x x x a T n ===Λ，取],[11i i i i i x x x x --∈=ξ（n i ,,1,0Λ=），于
是Riemann 和
b a x x x x x x x f n
i i i n
i i i i i n
i i i 1
1)11()(11
1111
-=-=-=∆∑∑∑
=-=--=ξ
所以
b a x dx b
a 1
12-=⎰
P.209 习题
1．计算下列定积分： ⑴
4)3()32(1
21
=+=+⎰
x x dx x
⑵ 12)arctan 2()121(12)1(1110102
1022
1
022-=+-=++-=+++-=+-⎰⎰⎰πx x dx x dx x x x x ⑶ 2ln |ln |ln ln ln ln 2
22
===⎰⎰
e e e e e e
x x
x d x x dx ⑷
1)(21)(21)1(212)1(211
01021021
0-+=+=-=-=------⎰⎰⎰e e e e de e dx e e dx e e x
x x x x x x x ⑸
3
3)(tan )1(sec tan 3030
2
30
2
π
π
π
π-
=-=-=⎰⎰
x x dx x xdx
⑹
344
)232()1
(
9
4
9
4
=
+=+
⎰x x x dx x x ⑺
⎰
+4
1x
dx
解 令t x =代入得，
3ln 24)11
1(2121202
04
-=+-=+=+⎰⎰
⎰
dx t t tdt x
dx ⑻ 3
2)
(ln 31ln )(ln )(ln 11
3
1212=
==⎰⎰e e
e e
e
e x x d x dx x x 2．利用定积分求极限： ⑴ )1)2(1(1lim )21(1lim
333
34+++=+++∞→∞→ΛΛn
n n n n n n
411)(lim 10313===⎰∑=∞→dx x n n
i n
i n ⑵ ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++++++∞→222)(1)2(1)1(1lim n n n n n n Λ ⎥⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡++++++=∞→222)1(1)21(1)11(11lim n n n n n n Λ