定积分

第九章 定积分

P.206 习题

1．按定积分定义证明：

)(a b k kdx b a

-=⎰

证明 对],[b a 的任一分割T ：b x x x a n =<<<=Λ10，其Riemann 和为

)()()()(1

11

11

a b k x x k x x

k x f n

i i i n

i i i

n i i

i

-=-=-=∆∑∑∑=-=-=ξ，所以当分割的模0

→T 时，积分和

∑

=∆n

i i i x f 1

)(ξ的极限为)(a b k -，从而)(a b k kdx b

a

-=⎰

2．通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集}{i ξ，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分：

⑴

⎰

10

3dx x

解 因为3)(x x f =在]1,0[连续，故3

x 在]1,0[的定积分存在。现在将]1,0[n 等分，

其分点为：n i x i =，n i ,,1,0Λ=，i ξ取为小区间],1[n

i n i -的右端点，于是Riemann 和为

)(41)1(4

111

1)()(2

241

34

131

∞→→

+⋅=

==∆∑∑∑

===n n n n i n n n

i x f n

i n

i n

i i i ξ，所以

4

1

10

3=

⎰

dx x ⑵

⎰

10

dx e x

解 因为x

e x

f =)(在]1,0[连续，故)(x f 在]1,0[的定积分存在。现在将]1,0[n 等

分，其分点为：n i x i =

，n i ,,1,0Λ=，i ξ取为小区间],1[n

i n i -的右端点，于是Riemann 和为

)(11)

1(111)(1

111

1

∞→-→--⋅===∆∑∑∑

===n e e e e n e n n e x f n

n

n i n

i n

i n

i

n

i i i ξ

（因为11lim

0-=-→x

x e x

，所以111

lim

1-=-∞→n

n e

n ）

，从而11

-=⎰e dx e x ⑶

⎰

b a

x dx e

解 因x

e x

f =)(在],[b a 连续，故)(x f 在],[b a 可积，将],[b a n 等分，其分点为：

)(a b n i a x i -+=，n i ,,1,0Λ=，i ξ取为小区间)](),(1[a b n

i

a a

b n i a -+--+的右

端点，于是Riemann 和

∑∑∑=-=-+=-=-=∆n

i i n

a

b a n

i a b n

i

a n

i i

i

e n a b e n a b e

x f 1

1

)(1

)(ξ

a b n

a b a b n

a b a

e e e

e e n

a b e -→--⋅

-=---1)

1(，)(∞→n

所以a b b a

x e e dx e -=⎰

⑷

⎰b

a x dx

2（b a <<0）

解 因21

)(x x f =在],[b a 连续，故)(x f 在],[b a 可积，对],[b a 的任一分割

},,,,{210b x x x x a T n ===Λ，取],[11i i i i i x x x x --∈=ξ（n i ,,1,0Λ=），于

是Riemann 和

b a x x x x x x x f n

i i i n

i i i i i n

i i i 1

1)11()(11

1111

-=-=-=∆∑∑∑

=-=--=ξ

所以

b a x dx b

a 1

12-=⎰

P.209 习题

1．计算下列定积分： ⑴

4)3()32(1

21

=+=+⎰

x x dx x

⑵ 12)arctan 2()121(12)1(1110102

1022

1

022-=+-=++-=+++-=+-⎰⎰⎰πx x dx x dx x x x x ⑶ 2ln |ln |ln ln ln ln 2

22

===⎰⎰

e e e e e e

x x

x d x x dx ⑷

1)(21)(21)1(212)1(211

01021021

0-+=+=-=-=------⎰⎰⎰e e e e de e dx e e dx e e x

x x x x x x x ⑸

3

3)(tan )1(sec tan 3030

2

30

2

π

π

π

π-

=-=-=⎰⎰

x x dx x xdx

⑹

344

)232()1

(

9

4

9

4

=

+=+

⎰x x x dx x x ⑺

⎰

+4

1x

dx

解 令t x =代入得，

3ln 24)11

1(2121202

04

-=+-=+=+⎰⎰

⎰

dx t t tdt x

dx ⑻ 3

2)

(ln 31ln )(ln )(ln 11

3

1212=

==⎰⎰e e

e e

e

e x x d x dx x x 2．利用定积分求极限： ⑴ )1)2(1(1lim )21(1lim

333

34+++=+++∞→∞→ΛΛn

n n n n n n

411)(lim 10313===⎰∑=∞→dx x n n

i n

i n ⑵ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++++++∞→222)(1)2(1)1(1lim n n n n n n Λ ⎥⎥

⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣

⎡++++++=∞→222)1(1)21(1)11(11lim n n n n n n Λ