2011西城高三期末(数学文)有答案
北京市西城区2011届高三模拟数学(文)试题及答案
北京市西城区2011 年高三一模试卷数学（文科）2011.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分 .在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项 .1. 已知全集U{1,2,3,4,5} ，会合 A{2,5} ， B{4,5} ，则e U( A B) 等于（ A）{1,2,3,4}（ B）{1,3}（ C）{2,4,5}（ D）{5}2. 函数y2x lg x 的定义域是（ A）0,2（ B）(0, 2)（ C）0,2（ D）1,2 3. 为了获得函数y sin x cos x 的图像，只要把y sin x cos x 的图象上全部的点（ A）向左平移个单位长度（ B）向右平移个单位长度44（ C）向左平移个单位长度（ D）向右平移个单位长度2124. 设a log2 3， b log 4 3 ，c，则2（ A）a c b（ C）b ca[ 来（ D）c b a （ B）c a b源: 学&科&网]5．一个棱锥的三视图如下图，则这个棱锥的体积是（A）6（B）12（C）24（D）363343正 (主 )视图侧(左)视图34俯视图6．关于平面和异面直线 m,n ，以下命题中真命题是（ A）存在平面，使 m， n（ B）存在平面，使 m， n（ C）存在平面，知足 m， n //（ D）存在平面，知足 m //， n //7. 右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5 次综合测评中的甲成绩，此中一个数字被污损. 则甲的均匀成绩超出乙9 8 8 3 3 7乙的均匀成绩的概率为2 1 099（A ）2（B ）7（C ）4（D ）95105108．某次测试成绩满分为150 分，设 n 名学生的得分分别为 a 1 ,a 2 , , a n （ a i N ，1 i n ），b k （ 1 k150 ）为 n 名学生中得分起码为 k 分的人数 . 记 M 为 n 名学生的均匀成绩 . 则 b 1 b 2 b 150 b 1 b 2 b 150（A ） Mn（B ） M 150b 1 b 2b150b 1 b 2b150 （C ） Mn（D ） M150第Ⅱ卷（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分.9. 若复数 (1 i)(1 ai) 是纯虚数，则实数 a 等于 ______.10. 设向量 a(1,sin) ， b (1,cos ) ，若 a b3 ______.，则 sin 2511. 双曲线 C :x 2y21的离心率为 ______；若椭圆x 2y 2 1(a 0) 与双曲线 C 有同样2a 2的 焦点，则 a ______.12. 设不等式组2 x 2,2y 表示的地区为 W ,2圆 C : ( x2)2 y 24 及其内部地区记为D .若向地区 W 内投入一点，则该点落在地区 D内的概率为 _____.13. 阅读右边程序框 图，则输出的数据 S 为 _____.14. 已知数列 { a n } 的各项均为正整数， S n 为其前 n 项和，关于 n 1,2,3,，有3a n 5, a n为奇数，an 1a n,，2k a n 为偶数 . 此中 k 为使 a n 1为奇数的正整数当 a 3 5时， a 1 的最小值为 ______；当 a1 1 时， S1S2S20______.三、解答题：本大题共6小题，共 80 分。
北京市西城区(北区)2011--2012学年度高二第二学期(文)期末考试试题答案
北京市西城区（北区）2011 — 2012学年度第二学期学业测试高二数学（文科）参考答案及评分标准 2012.7一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. C ；2. D ；3. B ；4. A ；5. C ；6. D ；7. B ；8. D . 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. x ∃∈R ，20x≤； 10. 9-； 11. c a b <<； 12. 24； 13.1,0e； 14. ①、③. 注：第13题第一个空2分，第二个空3分；第14题少选得2分，多选和错选均不得分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.（如有其他方法，仿此给分） 15.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为集合{|||2}{|2,A x x x x =≥=≥或2}x ≤-， ………………………… 2分集合{|(6)(3)0}{|36}B x x x x x =-+<=-<<， ………………………… 4分 所以 {|32,AB x x =-<≤-或26}x ≤<. ………………………… 7分（Ⅱ）解：因为 A B =R ，所以 22a ≥， ………………………… 11分解得 1a ≥. ………………………… 13分 注：第（Ⅱ）问中没有等号扣2分. 16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意，得2214a a a =，即2111()(3)a d a a d +=+， ………………………… 2分所以2(2)2(23)d d +=+，解得 2d =，或0d =（舍）， ………………………… 4分所以 1(1)2n a a n d n =+-=. ………………………… 6分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ），得21(1)2(1)2n n n S na d n n n n n -=+=+-=+， ………………………… 8分 所以2111(1)n S n n n n ==++.则12111n nT S S S =+++1111223(1)n n =+++⨯⨯+ ………………………… 9分11111(1)()()2231n n =-+-++-+ ………………………… 11分 111n =-+ 1nn =+， 所以数列1{}n S 的前n 项和1n n T n =+. ………………………… 13分 17.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：因为2()af x x x=+是奇函数． 所以()()f x f x -=-，其中x ∈R 且0x ≠. ………………………… 2分 即22a ax x x x -+=--, 其中x ∈R 且0x ≠. 所以0a =. ………………………… 6分 （Ⅱ）解：32()1af x x '=-. ………………………… 8分 因为()f x 在区间[2,)+∞上单调递增, 所以 32()10af x x '=-≥在[2,)+∞上恒成立，………………………… 9分 即312a x ≤在[2,)+∞上恒成立， 因为312y x =在[2,)+∞上的最小值min 4y =， 所以 4a ≤．验证知当4a ≤时，()f x 在区间[2,)+∞上单调递增. ………………………… 13分 18.（本小题满分13分）解：设仓库地面的长为(0) m x x >，宽为(0)m y y >，则有375xy =，所以25y x=． ………………………… 2分则仓库屋顶的面积为2m xy ，墙壁的面积为26()m x y +．所以仓库的总造价5004006()W xy x y =+⨯+， ………………………… 5分 将25y x =代入上式，整理得25125002400()W x x=++． ………………………… 7分 因为0x >，所以25125002400()12500240036500W x x =++≥+⨯=， ………………… 10分 且当25x x =，即5x =时，W 取得最小值36500． 此时255y x==． ………………………… 12分答：当仓库地面的长为5 m ，宽为5 m 时，仓库的总造价最低，最低造价为36500元. ………… 13分 19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：函数()f x 的定义域是{|0}x x >. ………………………… 1分对()f x 求导数，得22(2)()2(2)a x a x af x x a x x-++'=-++=. ………………………… 3分由题意，得0a >，且()1f a '=，解得2a =. ………………………… 5分 （Ⅱ）解：由()0f x '=，得方程22(2)0x a x a -++=，一元二次方程22(2)0x a x a -++=存在两解11x =，22ax =， ………………………… 6分 当20x ≤时，即当0a ≤时，随着x 的变化，()f x 与()f x '的变化情况如下表：即函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.所以函数()f x 在1x =存在极小值(1)1f a =--； ………………………… 8分当201x <<时，即当02a <<时，随着x 的变化，()f x 与()f x '的变化情况如下表：即函数()f x 在(0,)2，(1,)+∞上单调递增，在(,1)2上单调递减.所以函数()f x 在1x =存在极小值(1)1f a =--，在2ax =存在极大值2()ln 224a a a f a a =--；………………………… 10分 当21x =时，即当2a =时，因为22(1)()0x f x x-'=≥（当且仅当1x =时等号成立）， 所以()f x 在(0,)+∞上为增函数，故不存在极值； …………………………12分当21x >时，即当2a >时，随着x 的变化，()f x 与()f x '的变化情况如下表：即函数()f x 在(0,1)，(,)2+∞上单调递增，在(1,)2上单调递减.所以函数()f x 在1x =存在极大值(1)1f a =--，在2ax =存在极小值2()ln 224a a a f a a =--；综上，当0a ≤时，函数()f x 存在极小值(1)1f a =--，不存在极大值；当02a <<时，函数()f x 存在极小值(1)1f a =--，存在极大值 2()ln 224a a a f a a =--；当2a =时，函数()f x 不存在极值；当2a >时，函数()f x 存在极大值(1)1f a =--，存在极小值2()ln 224a a a f a a =--.…………………………14分20.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为21123+222(221)n n n n a a a a n b -+++=⋅-+，所以111(221)a b =-+，2212+2(2221)a a b =⋅-+，解得 1a b =，22a b =. ………………………… 3分（Ⅱ）证明：当2n ≥时，由21123+222(221)n n n n a a a a n b -+++=⋅-+， ○1得22111231+222[(1)221]n n n n a a a a n b ----+++=-⋅-+， ○2将○1，○2两式相减，得 1112(221)[(1)221]n n n n n n a n b n b ---=⋅-+--⋅-+,化简，得n a nb =，其中2n ≥. ………………………… 5分因为1a b =，所以 n a nb =，其中*n ∈N . ………………………… 6分因为 11222(2)2n n n n a a a ba n ---==≥为常数，所以数列{2}n a 为等比数列. ………………………… 8分（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得22n na b =， ………………………… 9分所以248211(1)111111111122(1)1242212n n n na a a ab bb b b -++++=+++=⨯=--， ……… 11分 又因为111a b=， 所以不等式24821111n a a a a ++++1c a >化简为11(1)2n c b b ->，当0b >时，考察不等式11(1)2n cb b ->的解， 由题意，知不等式112nc ->的解集为*{|3,}n n n ≥∈N ，因为函数11()2xy =-在R 上单调递增，所以只要求 3112c ->且2112c -≤即可，解得3748c ≤<； ………………………… 13分当0b <时，考察不等式11(1)2n cb b->的解，由题意，要求不等式112n c -<的解集为*{|3,}n n n ≥∈N ，因为23111122-<-，所以如果3n =时不等式成立，那么2n =时不等式也成立， 这与题意不符，舍去. 所以0b >，3748c ≤<. ………………………… 14分。
北京市西城区(北区)2011--2012学年度高二第二学期(文)期末试题答案
北京市西城区（北区）2011 — 2012学年度第二学期学业测试高二数学（文科）参考答案及评分标准 2012.7一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. C ；2. D ；3. B ；4. A ；5. C ；6. D ；7. B ；8. D . 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. x ∃∈R ，20x≤； 10. 9-； 11. c a b <<； 12. 24； 13.1,0e； 14. ①、③. 注：第13题第一个空2分，第二个空3分；第14题少选得2分，多选和错选均不得分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.（如有其他方法，仿此给分） 15.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为集合{|||2}{|2,A x x x x =≥=≥或2}x ≤-， ………………………… 2分集合{|(6)(3)0}{|36}B x x x x x =-+<=-<<， ………………………… 4分所以 {|32,A B x x =-<≤- 或26}x ≤<. ………………………… 7分 （Ⅱ）解：因为 A B =R ，所以 22a ≥， ………………………… 11分解得 1a ≥. ………………………… 13分 注：第（Ⅱ）问中没有等号扣2分. 16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意，得2214a a a =，即2111()(3)a d a a d +=+， ………………………… 2分所以2(2)2(23)d d +=+，解得 2d =，或0d =（舍）， ………………………… 4分所以 1(1)2n a a n d n =+-=. ………………………… 6分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ），得21(1)2(1)2n n n S na d n n n n n -=+=+-=+， ………………………… 8分 所以2111(1)n S n n n n ==++.则12111n nT S S S =+++ 1111223(1)n n =+++⨯⨯+ ………………………… 9分 11111(1)()()2231n n =-+-++-+ ………………………… 11分111n =-+1n n =+， 所以数列1{}nS 的前n 项和1n n T n =+. ………………………… 13分 17.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：因为2()af x x x=+是奇函数． 所以()()f x f x -=-，其中x ∈R 且0x ≠. ………………………… 2分 即22a ax x x x -+=--, 其中x ∈R 且0x ≠. 所以0a =. ………………………… 6分 （Ⅱ）解：32()1af x x '=-. ………………………… 8分 因为()f x 在区间[2,)+∞上单调递增, 所以 32()10af x x '=-≥在[2,)+∞上恒成立， ………………………… 9分 即312a x ≤在[2,)+∞上恒成立， 因为312y x =在[2,)+∞上的最小值min 4y =， 所以 4a ≤．验证知当4a ≤时，()f x 在区间[2,)+∞上单调递增. ………………………… 13分 18.（本小题满分13分）解：设仓库地面的长为(0) m x x >，宽为(0)m y y >，则有375xy =，所以25y x=． ………………………… 2分则仓库屋顶的面积为2 m xy ，墙壁的面积为26()m x y +．所以仓库的总造价5004006()W xy x y =+⨯+， ………………………… 5分 将25y x =代入上式，整理得25125002400()W x x=++． ………………………… 7分 因为0x >，所以25125002400()12500240036500W x x =++≥+⨯=， ………………… 10分 且当25x x =，即5x =时，W 取得最小值36500． 此时255y x==． ………………………… 12分 答：当仓库地面的长为5 m ，宽为5 m 时，仓库的总造价最低，最低造价为36500元. ………… 13分 19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：函数()f x 的定义域是{|0}x x >. ………………………… 1分对()f x 求导数，得22(2)()2(2)a x a x af x x a x x-++'=-++=. ………………………… 3分由题意，得0a >，且()1f a '=，解得2a =. ………………………… 5分（Ⅱ）解：由()0f x '=，得方程22(2)0x a x a -++=，一元二次方程22(2)0x a x a -++=存在两解11x =，22ax =， ………………………… 6分 当20x ≤时，即当0a ≤时，随着x 的变化，()f x 与()f x '的变化情况如下表：即函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.所以函数()f x 在1x =存在极小值(1)1f a =--； ………………………… 8分当201x <<时，即当02a <<时，随着x 的变化，()f x 与()f x '的变化情况如下表：即函数()f x 在(0,)2，(1,)+∞上单调递增，在(,1)2上单调递减.所以函数()f x 在1x =存在极小值(1)1f a =--，在2ax =存在极大值2()ln 224a a a f a a =--；………………………… 10分 当21x =时，即当2a =时，因为22(1)()0x f x x-'=≥（当且仅当1x =时等号成立）， 所以()f x 在(0,)+∞上为增函数，故不存在极值； …………………………12分当21x >时，即当2a >时，随着x 的变化，()f x 与()f x '的变化情况如下表：即函数()f x 在(0,1)，(,)2+∞上单调递增，在(1,)2上单调递减.所以函数()f x 在1x =存在极大值(1)1f a =--，在2ax =存在极小值2()ln 224a a a f a a =--；综上，当0a ≤时，函数()f x 存在极小值(1)1f a =--，不存在极大值；当02a <<时，函数()f x 存在极小值(1)1f a =--，存在极大值 2()ln 224a a a f a a =--；当2a =时，函数()f x 不存在极值；当2a >时，函数()f x 存在极大值(1)1f a =--，存在极小值2()ln 224a a a f a a =--.…………………………14分20.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为21123+222(221)n n n n a a a a n b -+++=⋅-+ ， 所以111(221)a b =-+，2212+2(2221)a a b =⋅-+，解得 1a b =，22a b =. ………………………… 3分 （Ⅱ）证明：当2n ≥时，由21123+222(221)n n n n a a a a n b -+++=⋅-+ ， ○1得22111231+222[(1)221]n n n n a a a a n b ----+++=-⋅-+ ， ○2将○1，○2两式相减，得 1112(221)[(1)221]n n n n n n a n b n b ---=⋅-+--⋅-+,化简，得n a nb =，其中2n ≥. ………………………… 5分因为1a b =，所以 n a nb =，其中*n ∈N . ………………………… 6分因为 11222(2)2n n n n a a a ba n ---==≥为常数，所以数列{2}n a 为等比数列. ………………………… 8分（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得22n na b =， ………………………… 9分所以248211(1)111111111122(1)1242212n n n na a a ab b b b b -++++=+++=⨯=-- ， ……… 11分 又因为111a b=， 所以不等式24821111n a a a a ++++1c a >化简为11(1)2n c b b ->，当0b >时，考察不等式11(1)2n cb b ->的解， 由题意，知不等式112n c ->的解集为*{|3,}n n n ≥∈N ，因为函数11()2xy =-在R 上单调递增，所以只要求 3112c ->且2112c -≤即可，解得3748c ≤<； ………………………… 13分当0b <时，考察不等式11(1)2n cb b->的解，由题意，要求不等式112n c -<的解集为*{|3,}n n n ≥∈N ，因为23111122-<-，所以如果3n =时不等式成立，那么2n =时不等式也成立， 这与题意不符，舍去. 所以0b >，3748c ≤<. ………………………… 14分。
北京西城区2011届高三第一学期期末考试(数学理)
北京市西城区2010—2011学年度高三第一学期期末考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知全集U =R ，集合{10}A x x =+<，{30}B x x =-<，那么集合()U C A B =（ ）A ．{13}x x -≤<B ．{13}x x -<<C ．{1}x x <-D ．{3}x x >2．已知点(1,1)A -，点(2,)B y ，向量=(1,2)a ，若//AB a ，则实数y 的值为 （ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 3．已知ABC ∆中，1,a b ==45B =，则角A 等于（ ）A ．150B ．90C ．60D ．30 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是（ ） A ．cos ρθ= B ．sin ρθ=C ．cos 1ρθ=D ．sin 1ρθ=5．阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间11[,]42内，则输入的实数x 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞- B ．[2,1]--C ．[1,2]-D ．[2,)+∞6．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0852=+a a ，则下列式子中数值不能确定的是（ ）A ．35a a B ．35S S C ．nn a a 1+ D ．nn S S 1+ 7．如图，四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，BD =BD CD ⊥．将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，则下列结论正确的是（ ） A ．A C BD '⊥B ．90BAC '∠=C ．CA '与平面A BD '所成的角为30D ．四面体A BCD '-的体积为138．对于函数①1()45f x x x =+-，②21()log ()2x f x x =-，③()cos(2)cos f x x x =+-，判断如下两个命题的真假：命题甲：()f x 在区间(1,2)上是增函数；命题乙：()f x 在区间(0,)+∞上恰有两个零点12,x x ，且121x x <． 能使命题甲、乙均为真的函数的序号是A ．①B ．②C ．①③D ．①②第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．i 为虚数单位，则22(1i)=+______． 10．在5(2)x +的展开式中，2x 的系数为_____．11．若实数,x y 满足条件10,2,1,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为_____．ABCD12．如图所示，过圆C 外一点P 做一条直线与圆C 交于A B ，两点，2BA AP =，PT 与圆C 相切于T 点．已知圆C 的半径为2，30CAB ∠=,则PT =_____．13．双曲线22:1C x y -=的渐近线方程为_____；若双曲线C 的右顶点为A ，过A 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线交于,P Q 两点，且2PA AQ =，则直线l 的斜率为_____．14．在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”．则坐标原点O 与直线20x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是____；圆221x y +=上一点与直线20x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2()22sin f x x x =-．（Ⅰ）若点(1,P 在角α的终边上，求()f α的值；（Ⅱ）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的值域．16．（本小题满分13分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ，11ACC A 均为正方形，∠=90BAC ,点D 是棱11B C 的中点．（Ⅰ）求证：1A D ⊥平面11BB C C ；（Ⅱ）求证：1//AB 平面1A DC ； （Ⅲ）求二面角1D A C A --的余弦值．17．（本小题满分13分） 一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6． （Ⅰ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；（Ⅱ）若从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率；（Ⅲ）若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X ，求随机变量X 的分布列． 18．（本小题满分13分）已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点为2(3,0)F ，离心率为e ．（Ⅰ）若2e =，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y kx =与椭圆相交于A ，B 两点，,M N 分别为线段22,AF BF 的中点．若A BC C 1B 1A 1D坐标原点O 在以MN 为直径的圆上，且2322≤<e ，求k 的取值范围． 19．（本小题满分14分） 已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R ． （Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围．20．（本小题满分14分）已知数列}{n a ，{}n b 满足n n n a a b -=+1，其中1,2,3,n =．（Ⅰ）若11,n a b n ==，求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若11(2)n n n b b b n +-=≥，且121,2b b ==．（ⅰ）记)1(16≥=-n a c n n ，求证：数列}{n c 为等差数列； （ⅱ）若数列}{na n中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．求首项1a 应满足的条件．参考答案（理科） 2011．1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．i - 10．80 11．412．3 13．0x y ±=，3± 142注：13、14题第一问2分，第二问3分． 三、解答题：（本大题共6小题，共80分．若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分．） 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为点(1,P 在角α的终边上，所以sin 2α=-，1cos 2α=， ………………2分所以22()22sin cos 2sin f αααααα=-=- ………………4分21()2(3222=-⨯-⨯-=-． ………………5分（Ⅱ）2()22sin f x x x =-cos 21x x =+- ………………6分2sin(2)16x π=+-， ………………8分因为[,]63x ππ∈-，所以65626πππ≤+≤-x ， ………………10分所以1sin(2)126x π-≤+≤， ………………11分所以()f x 的值域是[2,1]-． ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为侧面11ABB A ，11ACC A 均为正方形， 所以11,AA AC AA AB ⊥⊥,所以1AA ⊥平面ABC ，三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱． ………………1分 因为1A D ⊂平面111A B C ，所以11CC A D ⊥， ………………2分 又因为1111A B AC =，D 为11B C 中点，所以111A D B C ⊥． ……………3分 因为1111CC B C C =,所以1A D ⊥平面11BB C C ． ……………4分 （Ⅱ）证明：连结1AC ，交1A C 于点O ，连结OD ， 因为11ACC A 为正方形，所以O 为1AC 中点，又D 为11B C 中点，所以OD 为11AB C ∆中位线， 所以1//AB OD ， ………………6分 因为OD ⊂平面1A DC ，1AB ⊄平面1A DC ， 所以1//AB 平面1A DC ． ………………8分（Ⅲ）解： 因为侧面11ABB A ，11ACC A 均为正方形， 90BAC ∠=， 所以1,,AB AC AA 两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系A xyz -． 设1AB =，则111(0,10),(1,0,0),(0,0,1),(,,1)22C B AD ，．1111(,,0),(0,11)22A D AC ==-，， ………………9分 设平面1A DC 的法向量为=()x,y,z n ，则有1100A D AC ⋅=⎧⎨⋅=⎩n n ，00x y y z +=⎧⎨-=⎩， x y z =-=-， 取1x =，得(1,1,1)=--n ． ………………10分又因为AB ⊥平面11ACC A ，所以平面11ACC A 的法向量为(1,00)AB =，，………11分cos ,3AB AB AB⋅〈〉===n n n ， ………………12分 因为二面角1DA C A --是钝角， 所以，二面角1D A C A --的余弦值为3-． ………………13分17．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设先后两次从袋中取出球的编号为,m n ，则两次取球的编号的一切可能结果),(n m 有6636⨯=种， ………………2分其中和为6的结果有(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)，共5种， 则所求概率为536． ………………4分 （Ⅱ）每次从袋中随机抽取2个球,抽到编号为6的球的概率152613C p C ==．………………6分所以，3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率为2223122(1)3()()339C p p -=⨯=． ………………8分（Ⅲ）随机变量X 所有可能的取值为3,4,5,6． (9)分33361(3)20C P X C ===， 23363(4)20C P X C ===， 243663(5)2010C P X C ====，2536101(6)202C P X C ====． ………………12分所以，随机变量X 的分布列为:分18、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意得3c c a=⎧⎪⎨=⎪⎩a = ………………2分结合222a b c =+，解得212a =，23b =． ………………3分所以，椭圆的方程为131222=+y x ． ………………4分（Ⅱ）由22221,,x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得222222()0b a k x a b +-=．设1122(,),(,)A x y B x y ．所以2212122220,a b x x x x b a k-+==+， ………………6分 依题意，OM ON ⊥，易知，四边形2OMF N 为平行四边形，所以22AF BF ⊥， ………………7分 因为211(3,)F A x y =-，222(3,)F B x y =-，所以222121212(3)(3)(1)90F A F B x x y y k x x ⋅=--+=++=． ………………8分即222222(9)(1)90(9)a a k a k a --++=+-， ………………9分 将其整理为 4222424218818111818a a k a a a a -+==---+-． ………………10分因为2322≤<e，所以a ≤<21218a ≤<． ………………11分 所以218k ≥，即2(,(,]44k ∈-∞-+∞． ………………13分 19．（本小题满分14分）解：2()(21)f x ax a x '=-++(0)x >． ………………2分 （Ⅰ）(1)(3)f f ''=，解得23a =． ………………3分（Ⅱ）(1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >． ………………5分 ①当0a ≤时，0x >，10ax -<，在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞． ………………6分 ②当102a <<时，12a>，在区间(0,2)和1(,)a +∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a +∞，单调递减区间是1(2,)a．…………7分③当12a =时，2(2)()2x f x x -'=， 故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞．………8分④当12a >时，102a <<， 在区间1(0,)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是1(0,)a 和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a． ………9分（Ⅲ）由已知，在(0,2]上有max max ()()f x g x <． ………………10分 由已知，max ()0g x =，由（Ⅱ）可知， ①当12a ≤时，()f x 在(0,2]上单调递增， 故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+， 所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1ln 212a -<≤．……………11分 ②当12a >时，()f x 在1(0,]a 上单调递增，在1[,2]a上单调递减， 故max 11()()22ln 2f x f a a a==---．由12a >可知11ln ln ln 12ea >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<，所以，22ln 0a --<，max ()0f x <， ………………13分 综上所述，ln 21a >-． ………………14分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当2≥n 时，有121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-1121n a b b b -=++++ …………2分2(1)11222n n n n -⨯=+=-+． ………………3分又因为11=a 也满足上式，所以数列}{n a 的通项为2122n n na =-+．……………4分 （Ⅱ）（ⅰ）因为对任意的n ∈*N 有5164321n n n n n n n b b b b b b b ++++++====， …………5分所以 1656161661626364n n n n n n n n n n c c a a b b b b b b ++--++++-=-=+++++111221722=+++++=(1)n ≥，所以数列}{n c 为等差数列． ………………7分 （ⅱ）设)0(6≥=+n a c i n n ，（其中i 为常数且}6,5,4,3,2,1{∈i ），所以1666661626364657(0)n n n i n i n i n i n i n i n i n i c c a a b b b b b b n +++++++++++++++-=-=+++++=≥所以数列}{6i n a +均为以7为公差的等差数列． ………………9分设6777(6)7766666666i i k i i k i ii k a a a a k f k i i k i k i k+++--+====+++++， （其中i k n +=6)0(≥k ，i 为}6,5,4,3,2,1{中的一个常数），当76i i a =时，对任意的i k n +=6有n a n 76=； ………………10分当76i ia ≠时， 17771166()()6(1)666(1)6i i k k ii ia a i f f a k i k i k i k i +---=-=--++++++ 76()()6[6(1)](6)i i a k i k i -=-+++………………11分①若76i ia >，则对任意的k ∈N 有k k f f <+1，所以数列}6{6i k a i k ++为单调减数列；②若76i ia <，则对任意的k ∈N 有k k f f >+1，所以数列}6{6i k a i k ++为单调增数列；………………12分综上：设集合741111{}{}{}{}{}{}632362B =--74111{,,,,}63236=--，当B a ∈1时，数列}{na n中必有某数重复出现无数次． 当B a ∉1时，}6{6ik a ik ++ )6,5,4,3,2,1(=i 均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列}{na n中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次……14分。
西城,5文科
北京市西城区2011年高三二模试卷数学（文科） 2011.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{0,1}A =,{1,0,3}B a =-+，且A B ⊆，则a 等于 （A ）1（B ）0（C ）2- （D ）3-2.已知i 是虚数单位，则复数2z 12i+3i =+所对应的点落在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限4.在ABC ∆中，“0AB BC ⋅=”是“ABC ∆为直角三角形”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件5．一个几何体的三视图如图所示，则其体积等于（A ）2 （B ）1（C ）16（D ）236.函数sin ()y x x =π∈R 的部分图象如图所示，设O 为坐标原点，P 是图象的最高点，B 是图象与x 轴的交点，则tan OPB ∠=正(主)视图俯视图侧(左)视图（A ）10 （B ）8（C ）87（D ）477．若2a >，则函数3()33f x x ax =-+在区间(0,2)上零点的个数为 （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个（D ）3个8．已知点(1,0),(1,0)A B -及抛物线22y x =，若抛物线上点P 满足PA m PB =，则m 的最大值为 （A ）3（B ）2（C（D第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 已知}{n a 为等差数列，341a a +=，则其前6项之和为_____.10．已知向量=a，+=a b ，设a 与b 的夹角为θ，则θ=_____. 11.在ABC ∆中，若2B A =，:a b =A =_____.12．平面上满足约束条件2,0,60x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩的点(,)x y 形成的区域为D ，则区域D 的面积为________；设区域D 关于直线21y x =-对称的区域为E ，则区域D 和区域E 中距离 最近的两点的距离为________.13.定义某种运算⊗，a b ⊗的运算原理如右图所示.则0(1)⊗-=______；设()(0)(2)f x x x x =⊗-⊗.则(1)f =______. 14.数列{}n a 满足11a =，11n n n a a n λ+-=+，其中λ∈R ，12n =，，．给出下列命题：①λ∃∈R ，对于任意i ∈*N ，0i a >；②λ∃∈R ，对于任意2()i i ≥∈*N ，10i i a a +<；③λ∃∈R ，m ∈*N ，当i m >（i ∈*N ）时总有0i a <.其中正确的命题是______.（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知函数1)43()sin x f x xπ+-=. （Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）若()2f x =，求s i n 2x 的值.16.（本小题满分13分）如图，菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠=,ACBD O =.将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B ACD -,点M 是棱BC的中点，DM =.（Ⅰ）求证：//OM 平面ABD ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面MDO ； （Ⅲ）求三棱锥M-17.（本小题满分13分）由世界自然基金会发起的“地球1小时”活动，已发展成为最有影响力的环保活动之一，今年的参与人数再创新高.然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问.对此，某新闻媒体进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n 个人，已知从“支持”态度的人中抽取了45人，求n 的值；（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有1人20岁以下的概率；（Ⅲ）在接受调查的人中，有8人给这项活动打出的分数如下:9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2.把这8个人打出的分数看作一个总体，从中任取1个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率.ABCCMOD18.（本小题满分14分）设函数()e xf x =，其中e 为自然对数的底数. （Ⅰ）求函数()()eg x f x x =-的单调区间；（Ⅱ）记曲线()y f x =在点00(,())P x f x （其中00x <）处的切线为l ，l 与x 轴、y 轴所围成的三角形面积为S ，求S 的最大值.19.（本小题满分14分）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设过椭圆顶点(0,)B b ，斜率为k 的直线交椭圆于另一点D ，交x 轴于点E ，且,,BD BE DE 成等比数列，求2k 的值.20.（本小题满分13分）若函数)(x f 对任意的x ∈R ，均有)(2)1()1(x f x f x f ≥++-，则称函数)(x f 具有性质P .（Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质P ，并说明理由.①(1)xy a a =>； ②3y x =.（Ⅱ）若函数)(x f 具有性质P ，且(0)()0f f n ==（2,n >n ∈*N ），求证：对任意{1,2,3,,1}i n ∈-有()0f i ≤；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对任意[0,]x n ∈均有0)(≤x f .若成立给出证明，若不成立给出反例.北京市西城区2011年高三二模试卷参考答案及评分标准数学（文科） 2011.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 3 10. 120 11. 3012. 1；13. 1；1- 14. ①③注：12、13题第一问2分，第二问3分.14题只选出一个正确的命题给2分，选出错误的命题即得0分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分） 解：解：（Ⅰ）由题意，sin 0x ≠， ……………2分所以，()x k k ≠π∈Z . ……………3分 函数()f x 的定义域为{,}x x k k ≠π∈Z . ……………4分（Ⅱ）因为()2f x =1)2sin 43x x π+-=， ……………5分1)2sin 223x x x +-=， ……………7分 1cos sin 3x x -=， ……………9分 将上式平方，得11sin 29x -=， ……………12分所以8sin 29x =. ……………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为点O 是菱形ABCD 的对角线的交点，所以O 是AC 的中点.又点M 是棱BC 的中点，所以OM 是ABC ∆的中位线，//OM AB . ……………2分 因为OM ⊄平面ABD ,AB ⊂平面ABD ，所以//OM 平面ABD . ……………4分 （Ⅱ）证明：由题意，3OM OD ==,因为DM =所以90DOM ∠=，OD OM ⊥. ……………6分 又因为菱形ABCD ，所以OD AC ⊥. …………7分 因为OMAC O =,所以OD ⊥平面ABC ， ……………8分 因为OD ⊂平面MDO ，所以平面ABC ⊥平面MDO . ……………9分（Ⅲ）解：三棱锥M ABD -的体积等于三棱锥D ABM -的体积. ……………10分由（Ⅱ）知，OD ⊥平面ABC ，所以3OD =为三棱锥D ABM -的高. ……………11分ABM ∆的面积为11sin1206322BA BM ⨯⨯=⨯⨯=， ……………12分所求体积等于13ABM S OD ∆⨯⨯=……………13分17.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意得80010080045020010015030045n++++++=， ……………2分 所以100n =. ……………3分 （Ⅱ）设所选取的人中，有m 人20岁以下，则2002003005m=+，解得2m =.………5分也就是20岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作A 1，A 2；B 1，B 2，B 3， 则从中任取2人的所有基本事件为 (A 1,B 1)，(A 1, B 2)，(A 1, B 3)，(A 2 ,B 1)，(A 2 ,B 2)，(A 2 ,B 3)，(A 1, A 2)，(B 1 ,B 2)，(B 2 ,B 3)，(B 1 ,B 3)共10个. ………7分其中至少有1人20岁以下的基本事件有7个：(A 1, B 1)，(A 1, B 2)，(A 1, B 3)，(A 2 ,B 1)，(A 2 ,B 2)，(A 2 ,B 3)，(A 1, A 2)， …………8分所以从中任意抽取2人，至少有1人20岁以下的概率为710. ……………9分 （Ⅲ）总体的平均数为1(9.48.69.29.68.79.39.08.2)98x =+++++++=，………10分 那么与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数只有8.2， ……………12分ABCMOD所以该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率为81. ……………13分18.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知()e e xg x x =-，所以()e e xg x '=-， ……………2分 由()e e 0xg x '=-=，得1x =， ……………3分 所以，在区间(,1)-∞上，()0g x '<，函数()g x 在区间(,1)-∞上单调递减； ……………4分 在区间(1,)+∞上，()0g x '>，函数()g x 在区间(1,)+∞上单调递增； ……………5分 即函数()g x 的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞. （Ⅱ）因为()e xf x '=，所以曲线()y f x =在点P 处切线为l ：000ee ()x x y x x -=-. ……………7分切线l 与x 轴的交点为0(1,0)x -，与y 轴的交点为000(0,e e )xxx -， ……………9分 因为00x <，所以002000011(1)(1)e (12)e 22x x S x x x x =--=-+， ……………10分 0201e (1)2x S x '=-， ……………12分在区间(,1)-∞-上，函数0()S x 单调递增，在区间(1,0)-上，函数0()S x 单调递减.……………13分所以，当01x =-时，S 有最大值，此时2eS =， 所以，S 的最大值为2e. ……………14分 19、（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由已知2c =，2c a =. ……………2分解得2,a c ==， ……………4分 所以2221b a c =-=， 椭圆的方程为2214xy +=. ……………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得过B 点的直线为1y kx =+，由221,41,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(41)80k x kx ++=， ……………6分 所以2814D kx k=-+，所以221414D k y k -=+， ……………8分 依题意0k ≠，12k ≠±. 因为,,BD BE DE 成等比数列，所以2BE BD DE =， ……………9分 所以2(1)D D b y y =-，即(1)1D D y y -=， ……………10分当0D y >时，210D D y y -+=，无解， ……………11分 当0D y <时，210D D y y --=，解得12D y -=， ……………12分所以221414k k -=+，解得2k =所以，当,,BD BE DE成等比数列时，2k =……………14分 20.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：①函数)1()(>=a a x f x具有性质P . ……………1分111(1)(1)2()2(2)x x x x f x f x f x a a a a a a-+-++-=+-=+-，因为1>a ，1(2)0x a a a+->， ……………3分 即)(2)1()1(x f x f x f ≥++-， 此函数为具有性质P .②函数3)(x x f =不具有性质P . ……………4分 例如，当1x =-时，(1)(1)(2)(0)8f x f x f f -++=-+=-，2()2f x =-， ……………5分所以，)1()0()2(-<+-f f f ， 此函数不具有性质P . （Ⅱ）假设)(i f 为(1),(2),,(1)f f f n -中第一个大于0的值， ……………6分则0)1()(>--i f i f ， 因为函数()f x 具有性质P ，所以，对于任意n ∈*N ，均有(1)()()(1)f n f n f n f n +-≥--，所以0)1()()2()1()1()(>--≥≥---≥--i f i f n f n f n f n f ， 所以()[()(1)][(1)()]()0f n f n f n f i f i f i =--+++-+>，与0)(=n f 矛盾，所以，对任意的{1,2,3,,1}i n ∈-有()0f i ≤. ……………9分（Ⅲ）不成立.例如2()()x x n x f x x x -⎧=⎨⎩为有理数，为无理数. ……………10分证明：当x 为有理数时，1,1x x -+均为有理数，222(1)(1)2()(1)(1)2(112)2f x f x f x x x x n x x x -++-=-++---++-=，当x 为无理数时，1,1x x -+均为无理数，22)1()1()(2)1()1(222=-++-=-++-x x x x f x f x f所以，函数)(x f 对任意的x ∈R ，均有)(2)1()1(x f x f x f ≥++-，即函数)(x f 具有性质P . ……………12分 而当],0[n x ∈（2n >）且当x 为无理数时，0)(>x f .所以，在（Ⅱ）的条件下，“对任意[0,]x n ∈均有0)(≤x f ”不成立.……………13分 （其他反例仿此给分. 如()()0()1x x f x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，()()0()1x x f x ⎧=⎨⎩为整数为非整数，2()()0()x x f x x⎧=⎨⎩为整数为非整数，等.）。
北京市西城区高三数学模拟 文 新人教A版
北京市西城区2011年高三一模试卷 数 学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{2,5}A =，{4,5}B =，则()U A B ð等于（A ）{1,2,3,4}（B ）{1,3}（C ）{2,4,5}（D ）{5}2.函数lg y x 的定义域是 （A ）(]0,2（B ）(0,2)（C ）[]0,2（D ）[]1,23.为了得到函数x x y cos sin +=的图像，只需把x x y cos sin -=的图象上所有的点（A ）向左平移4π个单位长度 （B ）向右平移4π个单位长度 （C ）向左平移2π个单位长度（D ）向右平移2π个单位长度4. 设2log 3a =，4log 3b =，12c =，则 （A ）a c b <<（B ）c a b <<（C ）b c a <<（D ）c b a <<5．一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是 （A ）6 （B ）12 （C ）24 （D ）366．对于平面α和异面直线,m n ，下列命题中真命题是 （A ）存在平面α，使m α⊥，α⊥n （B ）存在平面α，使α⊂m ，α⊂n （C ）存在平面α，满足m α⊥，//n α （D ）存在平面α，满足//m α，//n α7. 右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的 成绩，其中一个数字被污损.则甲的平均成绩超过正(主)视图 俯视图侧(左)视图乙的平均成绩的概率为 （A ）52 （B ）107 （C ）54 （D ）109 8．某次测试成绩满分为150分，设n 名学生的得分分别为12,,,n a a a （i a ∈N ，1i n ≤≤），k b （1150k ≤≤）为n 名学生中得分至少为k 分的人数.记M 为n 名学生的平均成绩.则（A ）12150b b b M n +++= （B ）12150150b b b M +++=（C ）12150b b b M n +++> （D ）12150150b b b M +++>第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 若复数(1i)(1i)a ++是纯虚数，则实数a 等于______. 10.设向量(1,sin )θ=a ，b (1,cos )θ=，若35⋅=a b ，则θ2sin =______. 11.双曲线22:12x C y -=的离心率为______；若椭圆2221(0)x y a a +=>与双曲线C 有相同的焦点，则a =______. 12. 设不等式组22,22x y -≤≤⎧⎨-≤≤⎩表示的区域为W ,圆:C 22(2)4x y -+=及其内部区域记为D .若向区域W 内投入一点，则该点落在区域D 内的概率为_____.13. 阅读右侧程序框图，则输出的数据S 为_____. 14. 已知数列{}n a 的各项均为正整数，n S 为其前n 项和，对于1,2,3,n =，有1135,2n n n nn n k k a a a a a a +++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数.其中为使为奇数的正整数，,， 当53=a 时，1a 的最小值为______；当11=a 时，1220S S S +++=______.三、解答题：本大题共6小题，共80分。
北京西城区2011届高三第一学期期末考试数学(理)试题及答案
北京市西城区2010—2011学年度高三第一学期期末考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知全集U =R ，集合{10}A x x =+<，{30}B x x =-<，那么集合()U C A B =（ ）A ．{13}x x -≤<B ．{13}x x -<<C ．{1}x x <-D ．{3}x x >2．已知点(1,1)A -，点(2,)B y ，向量=(1,2)a ，若//ABa ，则实数y 的值为 （ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 3．已知ABC ∆中，1,a b =45B =，则角A 等于 （ ）A ．150B ．90C ．60D ．304．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是（ ）A ．cos ρθ=B ．sin ρθ=C ．cos 1ρθ=D ．sin 1ρθ=5．阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间11[,]42内，则输入的实数x 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞-B ．[2,1]--C ．[1,2]-D ．[2,)+∞6．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0852=+a a ，则下列式子中数值不能确定的是（ ）A ．35a a B ．35S S C ．nn a a 1+ D ．nn S S 1+ 7．如图，四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，BD =BD CD ⊥．将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，则下列结论正确的是（ ） A ．A C BD '⊥B ．90BA C'∠=C ．CA '与平面A BD '所成的角为30D ．四面体A BCD '-的体积为138．对于函数①1()45f x x x =+-，②21()log ()2xf x x =-，③()cos(2)cos f x x x =+-， 判断如下两个命题的真假：命题甲：()f x 在区间(1,2)上是增函数；命题乙：()f x 在区间(0,)+∞上恰有两个零点12,x x ，且121x x <． 能使命题甲、乙均为真的函数的序号是A ．①B ．②C ．①③D ．①②第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．i 为虚数单位，则22(1i)=+______．10．在5(2)x +的展开式中，2x 的系数为_____．AB CD11．若实数,x y 满足条件10,2,1,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为_____．12．如图所示，过圆C 外一点P 做一条直线与圆C 交于A B ，两点，2BA AP =，PT 与圆C 相切于T 点．已知圆C 的半径为2，30CAB ∠= ,则PT =_____．13．双曲线22:1C x y -=的渐近线方程为_____；若双曲线C 的右顶点为A ，过A 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线交于,P Q 两点，且2PA AQ =，则直线l 的斜率为_____．14．在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”．则坐标原点O与直线20x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是____；圆221x y +=上一点与直线20x y +-上一点的“折线距离”的最小值是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2()22sin f x x x =-．（Ⅰ）若点(1,P 在角α的终边上，求()f α的值；（Ⅱ）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的值域．16．（本小题满分13分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ，11ACC A 均为正方形，∠=90BAC,点D 是棱11B C 的中点． （Ⅰ）求证：1A D ⊥平面11BB C C ；（Ⅱ）求证：1//AB 平面1A DC ； （Ⅲ）求二面角1D AC A --的余弦值．17．（本小题满分13分） 一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6． （Ⅰ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；（Ⅱ）若从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率；（Ⅲ）若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X ，求随机变量X 的分布列． 18．（本小题满分13分）已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点为2(3,0)F ，离心率为e ．A BC C 1B 1A 1D（Ⅰ）若2e =，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y kx =与椭圆相交于A ，B 两点，,M N 分别为线段22,AF BF 的中点．若坐标原点O 在以MN 为直径的圆上，且2322≤<e ，求k 的取值范围．19．（本小题满分14分） 已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R ． （Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围．20．（本小题满分14分） 已知数列}{n a ，{}n b 满足n n n a a b -=+1，其中1,2,3,n = ． （Ⅰ）若11,n a b n ==，求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若11(2)n n n b b b n +-=≥，且121,2b b ==．（ⅰ）记)1(16≥=-n a c n n ，求证：数列}{n c 为等差数列； （ⅱ）若数列}{na n中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．求首项1a 应满足的条件．参考答案（理科） 2011．1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案A C D CB D B D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．i - 10．80 11．412．3 13．0x y ±=，3± 142注：13、14题第一问2分，第二问3分． 三、解答题：（本大题共6小题，共80分．若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分．） 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为点(1,P 在角α的终边上，所以sin 2α=-，1cos 2α=， ………………2分所以22()22sin cos 2sin f αααααα=-=- ………………4分21(2(3222=-⨯-⨯-=-． ………………5分（Ⅱ）2()22sin f x x x =-cos21x x =+- ………………6分2sin(2)16x π=+-， ………………8分因为[,]63x ππ∈-，所以65626πππ≤+≤-x ， ………………10分所以1sin(2)126x π-≤+≤， ………………11分所以()f x 的值域是[2,1]-． ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为侧面11ABB A ，11ACC A 均为正方形， 所以11,AA AC AA AB ⊥⊥,所以1AA ⊥平面ABC ，三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱． ………………1分 因为1A D ⊂平面111A B C ，所以11CC A D ⊥， ………………2分又因为1111A B AC =，D 为11B C 中点， 所以111A D B C ⊥． ……………3分 因为1111CC B C C = ,所以1A D ⊥平面11BB C C ． ……………4分 （Ⅱ）证明：连结1AC ，交1AC 于点O ，连结OD ， 因为11ACC A 为正方形，所以O 为1AC 中点，又D 为11B C 中点，所以OD 为11ABC ∆中位线， 所以1//AB OD ， ………………6分 因为OD ⊂平面1A DC ，1AB ⊄平面1A DC ， 所以1//AB 平面1A DC ． ………………8分（Ⅲ）解： 因为侧面11ABB A ，11ACC A 均为正方形， 90BAC ∠=， 所以1,,AB AC AA 两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系A xyz -．设1AB =，则111(0,10),(1,0,0),(0,0,1),(,,1)22C B AD ，．1111(,,0),(0,11)22A D AC ==- ，， ………………9分 设平面1A DC 的法向量为=()x,y,z n ，则有1100A D A C ⋅=⎧⎨⋅=⎩n n ，00x y y z +=⎧⎨-=⎩， x y z =-=-， 取1x =，得(1,1,1)=--n ． ………………10分 又因为AB ⊥平面11ACC A ，所以平面11ACC A 的法向量为(1,00)AB =，，………11分cos ,AB AB AB⋅〈〉===n n n ， ………………12分 因为二面角1D AC A --是钝角， 所以，二面角1D AC A --的余弦值为 ………………13分 17．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设先后两次从袋中取出球的编号为,m n ，则两次取球的编号的一切可能结果),(n m 有6636⨯=种， ………………2分其中和为6的结果有(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)，共5种， 则所求概率为536． ………………4分 （Ⅱ）每次从袋中随机抽取2个球,抽到编号为6的球的概率152613C p C ==．………………6分所以，3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率为2223122(1)3()()339C p p -=⨯=． ………………8分（Ⅲ）随机变量X 所有可能的取值为3,4,5,6． (9)分33361(3)20C P X C ===， 23363(4)20C P X C ===，243663(5)2010C P X C ====，2536101(6)202C P X C ====． ………………12分所以，随机变量X 的分布列为:X 3 45 6P120 320 310 12………………13分18、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意得3c c a=⎧⎪⎨=⎪⎩a = (2)分结合222a b c =+，解得212a =，23b =． ………………3分所以，椭圆的方程为131222=+y x ． ………………4分 （Ⅱ）由22221,,x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得222222()0b a k x a b +-=．设1122(,),(,)A x y B x y ．所以2212122220,a b x x x x b a k -+==+， ………………6分依题意，OM ON ⊥，易知，四边形2OMF N 为平行四边形，所以22AF BF ⊥， ………………7分因为211(3,)F A x y =- ，222(3,)F B x y =-，所以222121212(3)(3)(1)90F A F B x x y y k x x ⋅=--+=++=． ………………8分 即 222222(9)(1)90(9)a a k a k a --++=+-， ………………9分将其整理为 4222424218818111818a a k a a a a -+==---+-． ………………10分因为2322≤<e ，所以a ≤<21218a ≤<． ………………11分所以218k ≥，即(,](]44k ∈-∞-+∞ ． ………………13分 19．（本小题满分14分）解：2()(21)f x ax a x'=-++(0)x >． ………………2分（Ⅰ）(1)(3)f f ''=，解得23a =． ………………3分 （Ⅱ）(1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >． (5)分①当0a ≤时，0x >，10ax -<，在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞． ………………6分②当102a <<时，12a >， 在区间(0,2)和1(,)a +∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a +∞，单调递减区间是1(2,)a．…………7分③当12a =时，2(2)()2x f x x-'=， 故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞．………8分④当12a >时，102a <<， 在区间1(0,)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是1(0,)a 和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a． ………9分（Ⅲ）由已知，在(0,2]上有max max ()()f x g x <． ………………10分 由已知，max ()0g x =，由（Ⅱ）可知，①当12a ≤时，()f x 在(0,2]上单调递增， 故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+， 所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1ln 212a -<≤．……………11分 ②当12a >时，()f x 在1(0,]a 上单调递增，在1[,2]a上单调递减， 故max 11()()22ln 2f x f a a a==---． 由12a >可知11ln ln ln 12ea >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<，所以，22ln 0a --<，max ()0f x <， ………………13分 综上所述，ln 21a >-． ………………14分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当2≥n 时，有121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++- 1121n a b b b -=++++ …………2分2(1)11222n n n n -⨯=+=-+． ………………3分又因为11=a 也满足上式，所以数列}{n a 的通项为2122n n na =-+．………………4分（Ⅱ）（ⅰ）因为对任意的n ∈*N 有5164321n n n n n n n b b b b b b b ++++++====，………………5分所以 1656161661626364n n n n n n n n n n c c a a b b b b b b ++--++++-=-=+++++111221722=+++++=(1)n ≥， 所以数列}{n c 为等差数列． ………………7分 （ⅱ）设)0(6≥=+n a c i n n ，（其中i 为常数且}6,5,4,3,2,1{∈i ），所以1666661626364657(0)n n n i n i n i n i n i n i n i n i c c a a b b b b b b n +++++++++++++++-=-=+++++=≥所以数列}{6i n a +均为以7为公差的等差数列． ………………9分设6777(6)7766666666i i k i i k i i i k a a a a k f k i i k i k i k+++--+====+++++， （其中i k n +=6)0(≥k ，i 为}6,5,4,3,2,1{中的一个常数），当76i i a =时，对任意的i k n +=6有n a n 76=； ………………10分 当76i ia ≠时， 17771166()()6(1)666(1)6i i k k ii ia a i f f a k i k i k i k i+---=-=--++++++ 76()()6[6(1)](6)i i a k i k i -=-+++………………11分①若76i ia >，则对任意的k ∈N 有k k f f <+1，所以数列}6{6i k a i k ++为单调减数列； ②若76i ia <，则对任意的k ∈N 有k k f f >+1，所以数列}6{6ik a i k ++为单调增数列； ………………12分综上：设集合741111{}{}{}{}{}{}632362B =-- 74111{,,,,}63236=--，当B a ∈1时，数列}{na n中必有某数重复出现无数次． 当B a ∉1时，}6{6ik a ik ++ )6,5,4,3,2,1(=i 均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最 多出现一次，所以数列}{na n中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次……14分。
北京西城区2011届高三第一学期期末考试文数试题及答案
北京市西城区2010—2011学年度高三第一学期期末考试数学（文）试题第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{1}A x x =≥-，{3}B x x =<，那么集合A B = （ ）A ．{13}x x -≤<B ．{13}x x -<<C ．{1}x x <-D ．{3}x x >2．下列函数中，图象关于坐标原点对称的是（ ） A ．lg y x = B ．cos y x =C ．||y x =D ．sin y x = 3．若a b >，则下列不等式正确的是（ ）A ．11a b< B ．33a b > C ．22a b > D ．a b > 4．命题“若a b >，则1a b +>”的逆否命题是 （ ）A ．若1a b +≤，则a b >B ．若1a b +<，则a b >C ．若1a b +≤，则a b ≤D ．若1a b +<，则a b <5．设{}n a 是等差数列，若24a =，57a =，则数列{}n a 的前10项和为 （ ）A ．12B ．60C ．75D ．1206．阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间11[,]42内，那么输入实数x 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞-B ．[2,1]--C ．[1,2]-D ．[2,)+∞7．如图，四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，BD =BD CD ⊥，将四边形ABCD沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平 面A BD '⊥平面BCD ，则下列结论正确的是 （ ）A ．A C BD '⊥B ．90BA C'∠=C ．A DC '∆是正三角形D ．四面体A BCD '-的体积为138．设函数121()log ()2xf x x =-，2121()log ()2xf x x =-的零点分别为12,x x ，则（ ）A ．1201x x <<B ．121x x =C ．1212x x <<D ．122x x ≥第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．i 为虚数单位，则22(1i)=+______． 10．已知1==a b ，12⋅=a b ，则平面向量a 与b 夹角的大小为______． 11．若实数,x y 满足条件10,2,1,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为______．12．在ABC ∆中，若3a b ==，3B 2π∠=，则c =____． 13．已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2，它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______；渐近线方程为_______．14．在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形；④到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．其中正确的命题是____________．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2()22sin f x x x =-． （Ⅰ）求()6f π的值；（Ⅱ）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的最大值和最小值．16．（本小题满分13分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ，11ACC A均为正方形，90BAC ∠=，D 为BC 中点．（Ⅰ）求证：1//A B 平面1ADC ；（Ⅱ）求证：11C A B C ⊥．17．（本小题满分13分） 对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：AB CD C 1A 1B 1（Ⅰ）求出表中,M p 及图中a 的值；（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率．18．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1x y C a b+= （0>>b a ）的一个焦点坐标为(1,0)，且长轴长是短轴长（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，椭圆C 与直线1y kx =+相交于两个不同的点,A B ，线段AB的中点为P ，若直线OP 的斜率为1-，求△OAB 的面积．19．（本小题满分14分）已知函数()ln f x ax x =+()a ∈R ．（Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设2()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围．20．（本小题满分14分） 已知数列}{n a 的首项为1，对任意的n ∈*N ，定义n n n a a b -=+1． （Ⅰ） 若1n b n =+，求4a ；（Ⅱ） 若11(2)n n n b b b n +-=≥，且12,(0)b a b b ab ==≠．（ⅰ）当1,2a b ==时，求数列{}n b 的前3n 项和；（ⅱ）当1a =时，求证：数列}{n a 中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次．参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案A DBC C B B A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．i - 10．6011．412 13．(2,0)±0y ±= 14．①③④注：13题第一问2分，第二问3分；14题①③④选对其中两个命题得2分，选出错误的命题即得0分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分． 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()6f π22sin 36ππ- ………………2分 321241=-⨯=． ………………4分（Ⅱ）()f x cos21x x =+- ………………6分2sin(2)16x π=+-． ………………8分因为[,]62x ππ∈-，所以65626πππ≤+≤-x ， ………………10分所以 1sin(2)126x π-≤+≤， ………………11分所以()f x 的最大值为1 ，最小值为2-． ………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）连结1AC ，设1AC 交1AC 于点O ，连结OD ． ………………2分 因为11ACC A 为正方形，所以O 为1AC 中点， 又D 为BC 中点，所以OD 为1A BC ∆的中位线，所以1//A B OD ． ………………4分 因为OD ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ， 所以1//A B 平面1ADC ． ………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，11C A CA ⊥ ………………7分 因为侧面11ABB A 是正方形，1AB AA ⊥，且90BAC ∠=， 所以AB ⊥平面11ACC A ． 又11//AB A B ，所以11A B ⊥平面11ACC A ． ………………9分 又因为1C A ⊂平面11ACC A ，所以111A B C A ⊥． ………………10分 所以111C A A B C ⊥平面． ………………12分 又1B C ⊂平面11A B C ，所以11C A B C ⊥． ………………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，100.25M=， 所以40M =． ………………2分 因为频数之和为40，所以1024240m +++=，4m =． ………………3分40.1040m p M ===． ………………4分 因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以240.12405a ==⨯．……………6分（Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组[10,15)内的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人． ………8分 （Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有26m +=人， 设在区间[20,25)内的人为{}1234,,,a a a a ，在区间[25,30)内的人为{}12,b b ．ABCDC 1A 1B 1O则任选2人共有1213141112232421(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a b a b a a a a a b2234(,),(,)a b a a ，3132414212(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b b b 15种情况，………10分而两人都在[25,30)内只能是()12,b b 一种， ………………12分 所以所求概率为11411515P =-=．（约为0.93） ………………13分 18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意得1,c a ==， ………………2分 又221a b -=，所以21b =，22a =． ………………3分所以椭圆的方程为2212x y +=． ………………4分 （Ⅱ）设(0,1)A ，11(,)B x y ，00(,)P x y ，联立2222,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩消去y 得22(12)40k x kx ++=……（*）， ………………6分解得0x =或2412k x k =-+，所以12412kx k =-+， 所以222412(,)1212k k B k k--++，2221(,)1212k P k k -++， ………………8分 因为直线OP 的斜率为1-，所以112k-=-， 解得12k =（满足（*）式判别式大于零）． ………………10分 O 到直线1:12l y x =+ ………………11分AB ==………………12分所以△OAB 的面积为1223=． ………………13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知1()2(0)f x x x'=+>， ……………2分 (1)213f '=+=．故曲线()y f x =在1x =处切线的斜率为3． ………………4分（Ⅱ）11'()(0)ax f x a x x x+=+=>． ………………5分①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，'()0f x >所以，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞． ………………6分②当0a <时，由'()0f x =，得1x a=-．在区间1(0,)a -上，()0f x '>，在区间1(,)a-+∞上()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a -，单调递减区间为1(,)a-+∞．………………8分（Ⅲ）由已知，转化为max max ()()f x g x <． ………………9分max ()2g x = ………………10分由（Ⅱ）知，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意． （或者举出反例：存在33(e )e 32f a =+>，故不符合题意．） ………………11分当0a <时，()f x 在1(0,)a -上单调递增，在1(,)a -+∞上单调递减，故()f x 的极大值即为最大值，11()1ln()1ln()f a a a-=-+=----， ………13分 所以21ln()a >---， 解得31e a <-． ………………14分 20．（本小题满分14分）（Ⅰ） 解：11a =,211123a a b =+=+=,322336a a b =+=+=4336410a a b =+=+=． ………………3分（Ⅱ）（ⅰ）解：因为11n n n b b b +-=（2n ≥）， 所以，对任意的n ∈*N 有5164321n n n n n n n b b b b b b b ++++++====， 即数列{}n b 各项的值重复出现，周期为6． ………………5分 又数列}{n b 的前6项分别为21,21,1,2,2,1，且这六个数的和为7． 设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则，当2()n k k =∈*N 时，36123456()7n k S S k b b b b b b k ==+++++=，当21()n k k =+∈*N 时，363123456616263()n k k k k S S k b b b b b b b b b ++++==++++++++123775k b b b k =+++=+ ， ………………7分所以，当n 为偶数时，372n S n =；当n 为奇数时，3732n n S +=．………………8分 （ⅱ）证明：由（ⅰ）知：对任意的n ∈*N 有6n n b b +=，又数列}{n b 的前6项分别为111,,,1,,b b b b ，且这六个数的和为222b b ++．设)0(6≥=+n a c i n n ，（其中i 为常数且}6,5,4,3,2,1{∈i ），所以1n n c c +-=66666162636465n i n i n i n i n i n i n i n i a a b b b b b b ++++++++++++++-=+++++222b b =++．所以，数列}{6i n a +均为以222b b ++为公差的等差数列． (10)分因为0b >时，2220b b ++>，0b <时，22220b b ++≤-<， ………………12分所以{6n i a +}为公差不为零的等差数列，其中任何一项的值最多在该数列中出现一次． 所以数列}{n a 中任意一项的值最多在此数列中出现6次，即任意一项的值不会在此数列中重复出现无数次． ………………14分。
北京市西城区2013—2014学年度高三第一学期期末数学(文)试题 含答案
北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2014.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|02}A x x =<<，0{|1}B x x =-≥，则集合A B =I （ ） （A ）(0,1) （B ）(0,1]（C ）(1,2)（D ）[1,2)2．已知命题p ：“x ∀∈R ，23x -<”，那么p ⌝是（ ） （A ）x ∀∈R ，23x ->， （B ）x ∀∈R ，23x -≥ （C ）x ∃∈R ，23x -< （D ）x ∃∈R ，23x -≥3．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,3)A ，(2,)B k -，若向量OA AB ⊥u u u r u u u r，则实数k =（ ）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）14．若坐标原点在圆22()()4x m y m -++=的内部，则实数m 的取值范围是（ ） （A ）11m -<<（B ）m -<（C ）m -<（D ）22m -<<5．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） （A ）34 （B ）45（C ）56（D ）16． 若曲线221ax by +=为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ,b 满足（ ） （A ）22a b > （B ）11a b< （C ）0a b << （D ）0b a <<7．定义域为R 的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，2()f x x x =-，则当[1,0]x ∈-时，()f x 的最小值为（ ） （A ）18-（B ） 14-（C ）0（D ）148.在平面直角坐标系xOy 中，记不等式组0,0,2x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤所表示的平面区域为D . 在映射,:u x y T v x y=+⎧⎨=-⎩的作用下，区域D 内的点(,)x y 对应的象为点(,)u v ，则由点(,)u v 所形成的平面区域的面积为（ ） （A ）2 （B ）4（C ）8（D ）16第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知复数z 满足2i=1iz +，那么||z =______．10．在等差数列{}n a 中，11a =，8104a a +=，则公差d =______；前17项的和17S =______．11．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若3a =，2b =，1cos()3A B +=， 则cos C =______；c = ______．13．设函数2log , 0,()4, 0,x x x f x x >⎧=⎨⎩≤ 则[(1)]f f -=______；若函数()()g x f x k =-存在两个零点，则实数k 的取值范围是______．14．设{(,)|(,)0}M x y F x y ==为平面直角坐标系xOy 内的点集，若对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +<，则称点集M 满足性质P . 给出下列三个点集：○1{(,)|cos 0}R x y x y =-=； ○2{(,)|ln 0}S x y x y =-=； 侧(左)视图○322{(,)|1}T x y x y =-=. 其中所有满足性质P 的点集的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()f x x ω=，π()sin()(0)3g x x ωω=->，且()g x 的最小正周期为π.（Ⅰ）若()2f α=，[π,π]α∈-，求α的值； （Ⅱ）求函数()()y f x g x =+的单调增区间.16．（本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示．（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a 的值； （Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；（Ⅲ）当2a =时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率．17．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF =3，G 和H 分别是CE 和CF 的中点. （Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；甲组乙组 891 a822 FG EH（Ⅱ）求证：平面BDGH //平面AEF ； （Ⅲ）求多面体ABCDEF 的体积. 18．（本小题满分13分）已知函数()()e xf x x a =+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当[0,4]x ∈时，求函数()f x 的最小值.19．（本小题满分14分）已知,A B 是抛物线2:W y x =上的两个点，点A 的坐标为(1,1)，直线AB 的斜率为(0)k k >.设抛物线W 的焦点在直线AB 的下方.（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）设C 为W 上一点，且AB AC ⊥，过,B C 两点分别作W 的切线，记两切线的交点为D . 判断四边形ABDC 是否为梯形，并说明理由.20．（本小题满分13分）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*0()n a n >∈N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数（如[2.5]2=）,记[]n n b a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T .（Ⅰ）若1114,2a q ==，求3T ；（Ⅱ）证明： n n S T =（1,2,3,n =L ）的充分必要条件为n a N *Î；（Ⅲ）若对于任意不超过2014的正整数n ，都有21n T n =+，证明：120122()13q <<.北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2014.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．D 3．A 4．C 5．B 6．C 7．A 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9 10． 18 3411． 12．13-13． 2- (0,1] 14．○1○3注：第10、12、13题第一问2分，第二问3分. 第14题若有错选、多选不得分，少选得2分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为π()sin()(0)3g x x ωω=->的最小正周期为π， 所以2||ωπ=π，解得2ω=． ……………… 3分由 ()f α=2α=，即 cos 22α=， ……………… 4分 所以 π22π4k α=±，k ∈Z . 因为 [π,π]α∈-，所以7πππ7π{,,,}8888α∈--. ……………… 6分（Ⅱ）解：函数 π()()2sin(2)3y f x g x x x =+=+-ππ2sin 2cos cos 2sin 33x x x =+- ……………… 8分1sin 2222x x =+ πsin(2)3x =+， ………………10分由 2πππ2π2π232k k x -++≤≤， ………………11分解得 5ππππ1212k k x -+≤≤． ………………12分所以函数()()y f x g x =+的单调增区间为5ππ[ππ]()1212k k k -+∈Z ,.…………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，得 11(889292)[9091(90)]33a ++=+++， ……………… 3分解得 1a =. ……………… 4分 （Ⅱ）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A ， ……………… 5分依题意 0,1,2,,9a =L ，共有10种可能. ……………… 6分 由（Ⅰ）可知，当1a =时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，所以当2,3,4,,9a =L 时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．… 7分所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率84()105P A ==． ……………… 8分 （Ⅲ）解：设“这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分”为事件B ，………… 9分当2a =时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有339⨯=种， 它们是：(88,90)，(88,91)，(88,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)， ………………10分所以事件B 的结果有7种，它们是：(88,90)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92). ……………… 11分因此这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率7()9P B =. ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥. ……………… 1分 又因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF I 平面ABCD BD =， 且AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥平面BDEF . ……………… 4分 （Ⅱ）证明：在CEF ∆中，因为,G H 分别是,CE CF 的中点，所以//GH EF ，又因为GH ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以//GH 平面AEF . ……………… 6分设AC BD O =I ，连接OH ，在ACF ∆中，因为OA OC =，CH HF =，所以//OH AF ，又因为OH ⊄平面AEF ，AF ⊂平面AEF ，所以//OH 平面AEF . ……………… 8分 又因为OH GH H =I ，,OH GH ⊂平面BDGH ，F B CGEAH D O所以平面//BDGH 平面AEF . ………………10分 （Ⅲ）解：由（Ⅰ），得 AC ⊥平面BDEF ，又因为AO =BDEF 的面积3BDEF S =⨯=Y 11分所以四棱锥A BDEF -的体积1143BDEF V AO S =⨯⨯=Y . ………………12分 同理，四棱锥C BDEF -的体积24V =.所以多面体ABCDEF 的体积128V V V =+=. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为()()e xf x x a =+，x ∈R ，所以()(1)e xf x x a '=++． ……………… 2分令()0f x '=，得1x a =--． ……………… 3分 当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：)……………… 5分故()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞．………… 6分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ），得()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞．所以当10a --≤，即1a -≥时，()f x 在[0,4]上单调递增，故()f x 在[0,4]上的最小值为min ()(0)f x f a ==； ……………… 8分 当401a <--<，即51a -<<-时，()f x 在(0,1)a --上单调递减， ()f x 在(1,4)a --上单调递增，故()f x 在[0,4]上的最小值为1min ()(1)e a f x f a --=--=-；………………10分当41a --≥，即5a -≤时，()f x 在[0,4]上单调递减，故()f x 在[0,4]上的最小值为4min ()(4)(4)e f x f a ==+. ………………12分所以函数()f x 在[0,4]上的最小值为1min4, 1,()e , 51,(4)e , 5.a a a f x a a a ---⎧⎪=--<<-⎨⎪+-⎩≥≤ ……13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：抛物线2y x =的焦点为1(0,)4. ……………… 1分由题意，得直线AB 的方程为1(1)y k x -=-， ……………… 2分 令 0x =，得1y k =-，即直线AB 与y 轴相交于点(0,1)k -. ……………… 3分 因为抛物线W 的焦点在直线AB 的下方， 所以 114k ->， 解得 34k <. 因为 0k >， 所以 304k <<. ……………… 5分 （Ⅱ）解：结论：四边形ABDC 不可能为梯形. ……………… 6分 理由如下：假设四边形ABDC 为梯形. ……………… 7分 由题意，设211(,)B x x ，222(,)C x x ，33(,)D x y ，联立方程21(1),,y k x y x -=-⎧⎨=⎩消去y ，得210x kx k -+-=，由韦达定理，得11x k +=，所以 11x k =-. ……………… 8分同理，得211x k=--. ……………… 9分 对函数2y x =求导，得2y x '=，所以抛物线2y x =在点B 处的切线BD 的斜率为1222x k =-， ……………… 10分抛物线2y x =在点C 处的切线CD 的斜率为2222x k=--. ………………11分 由四边形ABDC 为梯形，得//AB CD 或//AC BD . 若//AB CD ，则22k k=--，即2220k k ++=， 因为方程2220k k ++=无解，所以AB 与CD 不平行. ………………12分 若//AC BD ，则122k k-=-，即22210k k -+=， 因为方程22210k k -+=无解，所以AC 与BD 不平行. ……………13分 所以四边形ABDC 不是梯形，与假设矛盾.因此四边形ABDC 不可能为梯形. ……………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为等比数列{}n a 的114a =，12q =， 所以 114a =，27a =，3 3.5a =. ……………… 1分所以 114b =，27b =，33b =. ……………… 2分则 312324T b b b =++=. ……………… 3分（Ⅱ）证明：（充分性）因为 n a N *Î，所以 []n n n b a a == 对一切正整数n 都成立. 因为 12n n S a a a =+++L ，12n n T b b b =+++L ，所以 n n S T =. ……………… 5分（必要性）因为对于任意的n N *Î，n n S T =，当1n =时，由1111,a S b T ==，得11a b =； ……………… 6分 当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，1n n n b T T -=-，得n n a b =.所以对一切正整数n 都有n n a b =. ……………… 7分 因为 []n n b a Z =?，0n a >，所以对一切正整数n 都有n a N *Î. ……………… 8分 （Ⅲ）证明：因为 201421()n T n n =+≤，所以 113b T ==，120142(2)n n n b T T n -=-=≤≤. ……………… 9分 因为 []n n b a =，所以 1[3,4)a ∈，2014[2,3)(2)n a n ∈≤≤. ………………10分 由 21a q a =，得 1q <. ………………11分 因为 201220142[2,3)a a q =∈，所以 20122223qa >≥， 所以 2012213q<<，即 120122()13q <<. ………………13分。
2011届北京市西城区高三第一学期期末试卷
2011届北京市西城区高三第一学期期末试卷北京市西城区2010—2011学年度高三第一学期期末考试政治试题本试卷分第1卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
共100分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共50分）本卷共25小题，每小题2分，共50分。
在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。
网络已经成为越来越多中国人生活的一部分。
请回答1～3题。
1．春节快到了，家家户户开始准备年货，网购年货成为了人们的新选择，某调查公司对用户网上购买年货做了一个调查，结果如图。
由调查结果可知，在网上购买年货的客户群（）（）①人们面临着文化消费的多重选择②人们在实践中创造和发展文化③大众传媒的商业性影响越来越大④大众文化对社会发展产生影响A．①②B．③④C．①③D．②④价格变动关乎百姓生活。
请回答4～7题。
4．国家发改委公布了《关于居民生活用电实行阶梯电价的意见（征求意见稿）》，就居民用电实行阶梯电价向社会公开征求意见。
向社会公开征求意见，有利于（）①保障公民的质询权②坚持从群众来到群众中去的工作方法③增加政府工作透明度④公民直接参与管理国家和社会事务A．①③B．②④C．②③D．①④5．针对发改委的征求意见稿，某日报以“阶梯电价，对咱有好处吗？”、“阶梯电价，谁在获益？”等为题连续发文进行报导，产生了很大的社会反响。
这一做法（）①属于行政系统外部的监督②会削弱政府的权威和公信力③是以权力制约权力的体现④有利于提高行政水平减少失误A．①②B．③④C．②③D．①④6．CPI是反映消费者支付商品和劳务的价格变化情况的指标，上图为我国居民CPI走势图，下列说法正确的是（）A．A点和C点，物价总水平比较稳定，经济发展相对健康B．B点和D点，物价总水平偏高，适宜扩大财政支出C．A点和C点，物价总水平比较稳定，就业压力有所减缓D．B点和D点，物价总水平偏高，适宜控制货币流通量7．A点和C点的形成都与当时的金融危机有关，这一现象综合反映了（）A．区域经济一体化的影响B．经济全球化的影响C．政治多极化的影响D．贸易全球化的影响8．“货币是重要的，但其他因素，如财政政策，也是重要的”，这句话最符合的观点。
西城区高三试卷数学答案
一、选择题1. 答案：A解析：由指数函数的性质可知，当x增大时，y也会增大，故选A。
2. 答案：C解析：由对数函数的性质可知，当x增大时，y会减小，故选C。
3. 答案：D解析：由二次函数的性质可知，当x增大时，y会减小，故选D。
4. 答案：B解析：由三角函数的性质可知，当x增大时，y会增大，故选B。
5. 答案：C解析：由数列的性质可知，当n增大时，an会增大，故选C。
二、填空题6. 答案：2解析：由等差数列的性质可知，an = a1 + (n-1)d，代入an = 10，a1 = 2，d = 2，得n = 4。
7. 答案：-1解析：由等比数列的性质可知，an = a1 r^(n-1)，代入an = 1/2，a1 = 4，r = 1/2，得n = 3。
8. 答案：π/4解析：由三角函数的性质可知，sin(π/2 - x) = cosx，故sin(π/4) =cos(π/4)。
9. 答案：1/3解析：由指数函数的性质可知，a^0 = 1，故1/3 = 3^(-1)。
10. 答案：2解析：由对数函数的性质可知，log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)，代入log_2(8) = log_10(8) / log_10(2)，得log_2(8) = 3/2。
三、解答题11. 答案：（1）令f(x) = x^2 - 2ax + 1，则f'(x) = 2x - 2a。
由f'(x) = 0，得x = a。
当x < a时，f'(x) < 0，f(x)单调递减；当x > a时，f'(x) > 0，f(x)单调递增。
因此，f(x)在x = a处取得最小值，即f(a) = 1 - a^2。
（2）由（1）知，f(x)在x = a处取得最小值，故f(x)的最小值为1 - a^2。
12. 答案：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则an = a1 + (n-1)d。
北京市西城区2011年高三二模试卷数学(文科)
北京市西城区2011年高三二模试卷数学（文科） 2011.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{0,1}A =,{1,0,3}B a =-+，且A B ⊆，则a 等于 （A ）1（B ）0（C ）2- （D ）3-2.已知i 是虚数单位，则复数2z 12i+3i =+所对应的点落在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限4.在ABC ∆中，“0AB BC ⋅=”是“ABC ∆为直角三角形”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件5．一个几何体的三视图如图所示，则其体积等于（A ）2 （B ）1 （C ）16（D ）236.函数sin ()y x x =π∈R 的部分图象如图所示，设O 为坐标原点，P 是图象的最高点，B 是图象与x 轴的交点，则tan OPB ∠=正(主)视图俯视图侧(左)视图（A ）10 （B ）8 （C ）87（D ）477．若2a >，则函数3()33f x x ax =-+在区间(0,2)上零点的个数为 （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个（D ）3个8．已知点(1,0),(1,0)A B -及抛物线22y x =，若抛物线上点P 满足PA m PB =，则m 的最大值为 （A ）3（B ）2（C（D第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 已知}{n a 为等差数列，341a a +=，则其前6项之和为_____.10．已知向量(1=a，+=a b ，设a 与b 的夹角为θ，则θ=_____. 11.在ABC ∆中，若2B A =，:a b =A =_____.12．平面上满足约束条件2,0,60x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩的点(,)x y 形成的区域为D ，则区域D 的面积为________；设区域D 关于直线21y x =-对称的区域为E ，则区域D 和区域E 中距离 最近的两点的距离为________.13.定义某种运算⊗，a b ⊗的运算原理如右图所示.则0(1)⊗-=______；设()(0)(2)f x x x x =⊗-⊗.则(1)f =______. 14.数列{}n a 满足11a =，11n n n a a n λ+-=+，其中λ∈R ，12n = ，，．给出下列命题：①λ∃∈R ，对于任意i ∈*N ，0i a >；②λ∃∈R ，对于任意2()i i ≥∈*N ，10i i a a +<；③λ∃∈R ，m ∈*N ，当i m >（i ∈*N ）时总有0i a <.其中正确的命题是______.（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知函数1)43()sin x f x xπ+-=. （Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）若()2f x =，求s i n 2x 的值.16.（本小题满分13分）如图，菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠=,AC BD O = .将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B ACD -,点M 是棱BC的中点，DM =（Ⅰ）求证：//OM 平面ABD ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面M D O ； （Ⅲ）求三棱锥M A B D -17.（本小题满分13分）由世界自然基金会发起的“地球1小时”活动，已发展成为最有影响力的环保活动之一，今年的参与人数再创新高.然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问.对此，某新闻媒体进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n 个人，已知从“支持”态度的人中抽取了45人，求n 的值；（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有1人20岁以下的概率；（Ⅲ）在接受调查的人中，有8人给这项活动打出的分数如下:9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2.把这8个人打出的分数看作一个总体，从中任取1个数，求该数与总ABCCMOD体平均数之差的绝对值超过0.6的概率.18.（本小题满分14分）设函数()e x f x =，其中e 为自然对数的底数. （Ⅰ）求函数()()e g x f x x =-的单调区间；（Ⅱ）记曲线()y f x =在点00(,())P x f x （其中00x <）处的切线为l ，l 与x 轴、y 轴所围成的三角形面积为S ，求S 的最大值.19.（本小题满分14分）已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的焦距为2.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设过椭圆顶点(0,)B b ，斜率为k 的直线交椭圆于另一点D ，交x 轴于点E ，且,,BD BE DE 成等比数列，求2k 的值.20.（本小题满分13分）若函数)(x f 对任意的x ∈R ，均有)(2)1()1(x f x f x f ≥++-，则称函数)(x f 具有性质P .（Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质P ，并说明理由.①(1)x y a a =>； ②3y x =.（Ⅱ）若函数)(x f 具有性质P ，且(0)()0f f n ==（2,n >n ∈*N ），求证：对任意{1,2,3,,1}i n ∈- 有()0f i ≤；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对任意[0,]x n ∈均有0)(≤x f .若成立给出证明，若不成立给出反例.北京市西城区2011年高三二模试卷参考答案及评分标准数学（文科） 2011.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号 1 2 3 4 56 7 8 答案C B C A DBBC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 3 10. 120 11. 3012. 1；13. 1；1- 14. ①③注：12、13题第一问2分，第二问3分.14题只选出一个正确的命题给2分，选出错误的命题即得0分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分） 解：解：（Ⅰ）由题意，sin 0x ≠， ……………2分所以，()x k k ≠π∈Z . ……………3分 函数()f x 的定义域为{,}x x k k ≠π∈Z . ……………4分（Ⅱ）因为()2f x =1)2sin 43x x π+-=， ……………5分1)2sin 3x x x -=， ……………7分 1cos sin 3x x -=， ……………9分 将上式平方，得11sin 29x -=， ……………12分所以8sin 29x =. ……………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为点O 是菱形ABCD 的对角线的交点，所以O 是AC 的中点.又点M 是棱BC 的中点，所以OM 是ABC ∆的中位线，//OM AB . ……………2分 因为OM ⊄平面ABD ,AB ⊂平面ABD ，所以//OM 平面ABD . ……………4分 （Ⅱ）证明：由题意，3OM OD ==,因为DM =所以90DOM ∠= ，OD OM ⊥. ……………6分又因为菱形ABCD ，所以OD AC ⊥. …………7分 因为OM AC O = ,所以OD ⊥平面ABC ， ……………8分 因为OD ⊂平面MDO ，所以平面ABC ⊥平面MDO . ……………9分（Ⅲ）解：三棱锥M ABD -的体积等于三棱锥D ABM -的体积. ……………10分由（Ⅱ）知，OD ⊥平面ABC ，所以3OD =为三棱锥D ABM -的高. ……………11分ABM ∆的面积为11sin120632222BA BM ⨯⨯=⨯⨯⨯=， ……………12分所求体积等于132ABM S OD ∆⨯⨯=. ……………13分17.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意得80010080045020010015030045n++++++=， ……………2分所以100n =. ……………3分 （Ⅱ）设所选取的人中，有m 人20岁以下，则2002003005m=+，解得2m =.………5分也就是20岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作A 1，A 2；B 1，B 2，B 3， 则从中任取2人的所有基本事件为 (A 1,B 1)，(A 1, B 2)，(A 1, B 3)，(A 2 ,B 1)，(A 2 ,B 2)，(A 2 ,B 3)，(A 1, A 2)，(B 1 ,B 2)，(B 2 ,B 3)，(B 1 ,B 3)共10个. ………7分其中至少有1人20岁以下的基本事件有7个：(A 1, B 1)，(A 1, B 2)，(A 1, B 3)，(A 2 ,B 1)，(A 2 ,B 2)，(A 2 ,B 3)，(A 1, A 2)， …………8分所以从中任意抽取2人，至少有1人20岁以下的概率为710. ……………9分 （Ⅲ）总体的平均数为1(9.48.69.29.68.79.39.08.2)98x =+++++++=，………10分 那么与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数只有8.2， ……………12分 所以该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率为81. ……………13分18.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知()e e xg x x =-，ABCMOD所以()e e x g x '=-， ……………2分 由()e e 0x g x '=-=，得1x =， ……………3分 所以，在区间(,1)-∞上，()0g x '<，函数()g x 在区间(,1)-∞上单调递减； ……………4分 在区间(1,)+∞上，()0g x '>，函数()g x 在区间(1,)+∞上单调递增； ……………5分 即函数()g x 的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞. （Ⅱ）因为()e x f x '=，所以曲线()y f x =在点P 处切线为l ：000e e ()xxy x x -=-. ……………7分 切线l 与x 轴的交点为0(1,0)x -，与y 轴的交点为000(0,e e )xxx -， ……………9分 因为00x <，所以002000011(1)(1)e (12)e 22x x S x x x x =--=-+， ……………10分 0201e (1)2x S x '=-， ……………12分 在区间(,1)-∞-上，函数0()S x 单调递增，在区间(1,0)-上，函数0()S x 单调递减. ……………13分所以，当01x =-时，S 有最大值，此时2eS =， 所以，S 的最大值为2e. ……………14分 19、（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由已知2c =c a =. ……………2分解得2,a c = ……………4分 所以2221b a c =-=，椭圆的方程为2214x y +=. ……………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得过B 点的直线为1y kx =+，由221,41,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(41)80k x kx ++=， ……………6分 所以2814D k x k =-+，所以221414D k y k-=+， ……………8分依题意0k ≠，12k ≠±. 因为,,BD BE DE 成等比数列，所以2BE BD DE =， ……………9分 所以2(1)D D b y y =-，即(1)1D D y y -=， ……………10分当0D y >时，210D D y y -+=，无解， ……………11分当0D y <时，210D D y y --=，解得D y =， ……………12分所以22141142k k --=+224k +=，所以，当,,BD BE DE 成等比数列时，224k =……………14分 20.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：①函数)1()(>=a a x f x 具有性质P . ……………1分111(1)(1)2()2(2)x x x x f x f x f x a a a a a a-+-++-=+-=+-，因为1>a ，1(2)0x a a a+->， ……………3分 即)(2)1()1(x f x f x f ≥++-， 此函数为具有性质P .②函数3)(x x f =不具有性质P . ……………4分 例如，当1x =-时，(1)(1)(2)(0)8f x f x f f -++=-+=-，2()2f x =-， ……………5分所以，)1()0()2(-<+-f f f ， 此函数不具有性质P .（Ⅱ）假设)(i f 为(1),(2),,(1)f f f n - 中第一个大于0的值， ……………6分 则0)1()(>--i f i f ， 因为函数()f x 具有性质P ，所以，对于任意n ∈*N ，均有(1)()()(1)f n f n f n f n +-≥--， 所以0)1()()2()1()1()(>--≥≥---≥--i f i f n f n f n f n f ， 所以()[()(1)][(1)()]()0f n f n f n f i f i f i =--+++-+> ，与0)(=n f 矛盾，所以，对任意的{1,2,3,,1}i n ∈- 有()0f i ≤. ……………9分 （Ⅲ）不成立.例如2()()x x n x f x xx -⎧=⎨⎩为有理数，为无理数. ……………10分证明：当x 为有理数时，1,1x x -+均为有理数，222(1)(1)2()(1)(1)2(112)2f x f x f x x x x n x x x -++-=-++---++-=，当x 为无理数时，1,1x x -+均为无理数，22)1()1()(2)1()1(222=-++-=-++-x x x x f x f x f所以，函数)(x f 对任意的x ∈R ，均有)(2)1()1(x f x f x f ≥++-，即函数)(x f 具有性质P . ……………12分 而当],0[n x ∈（2n >）且当x 为无理数时，0)(>x f .所以，在（Ⅱ）的条件下，“对任意[0,]x n ∈均有0)(≤x f ”不成立.……………13分 （其他反例仿此给分. 如()()0()1x x f x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，()()0()1x x f x ⎧=⎨⎩为整数为非整数，2()()0()x x f x x⎧=⎨⎩为整数为非整数，等.）。
北京市西城区高三第一学期期末试数学文试题及谜底
（B） A 6
（C）{0,1, 2}
（B） x 0, 2x≤log2 x
（D） x 0, 2x≥log2 x
（C） sin A 3 3Байду номын сангаас
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，过力根管保据线护生0高不产中仅工资可艺料以高试解中卷决资配吊料置顶试技层卷术配要是置求指不，机规对组范电在高气进中设行资备继料进电试行保卷空护问载高题与中2带2资，负料而荷试且下卷可高总保中体障资配2料3置2试3时各卷，类调需管控要路试在习验最2；3大2对3限2设题度备到内进位来行。确调在保整管机使路组其敷高在设中正过资常程料工1试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且2作5尽5下2可2都2能护可地1以关缩正于小常管故工路障作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保连破护接坏进管范行口围整处，核理或对高者定中对值资某，料些审试异核卷常与弯高校扁中对度资图固料纸定试，盒卷编位工写置况复.进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高高方中等案资，，料要编试求写5卷、技重保电术要护气交设装设底备置备。高4动调、管中作试电线资，高气敷料并中课设试3且资件、技卷拒料中管术试绝试调路中验动卷试敷包方作技设含案，术技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷高三数学(文科)及答案
北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷高三数学（文科）2012.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．复数i (1i)⋅+=（ ） （A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -+ （D ）1i --2．若向量(3,1)=a ，(0,2)=-b ，则与2+a b 共线的向量可以是（ ） （A ）(3,1)- （B ）(1,3)-- （C ）(3,1)-- （D ）(1,3)-3.下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（ ） （A ）1y x=-（B ）||e x y = （C ）23y x =-+ （D ）cos y x =4．“直线l 的方程为0x y -=”是“直线l 平分圆221x y +=的周长”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件5．一个几何体的主视图和左视图如图所示，则这个 几何体的俯视图不可能．．．是（ ） （A ） （B ）（C ）（D ）主视图左视图6．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） （A ）3 （B ）6- （C ）10 （D ）15-7．已知0a b >>，给出下列四个不等式： ① 22a b >； ② 122a b ->； ③ a b a b ->-； ④ 3322a b a b +>．其中一定成立的不等式为（ ） （A ）①、②、③ （B ）①、②、④ （C ）①、③、④ （D ）②、③、④8．有限集合P 中元素的个数记作card()P .已知card()10M =，A M ⊆，B M ⊆，A B =∅ ，且card()2A =，card()3B =.若集合X 满足X M ⊆，且A X ⊄，B X ⊄，则集合X 的个数是（ ）（A ）672 （B ）640 （C ）384 （D ）352第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．函数2()log f x x =的定义域是______.10．双曲线221169xy-=的一个焦点到其渐近线的距离是______．11．若曲线3y x ax =+在原点处的切线方程是20x y -=，则实数a =______．12．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若5b =，4B π∠=，tan 2C =，则c =______．13．已知{}n a 是公比为2的等比数列，若316a a -=，则1a = ；22212111na a a +++= ______．14．设0λ>，不等式组 2,0,20x x y x y λλ≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩所表示的平面区域是W ．给出下列三个结论：① 当1λ=时，W 的面积为3； ② 0λ∃>，使W 是直角三角形区域； ③ 设点(,)P x y ,对于P W ∀∈有4yx λ+≤．其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数2()3sin sin cos f x x x x =+，π[,π]2x ∈.（Ⅰ）求2π()3f 的值；（Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）某种零件按质量标准分为5,4,3,2,1五个等级.现从一批该零件中随机抽取20个，对其等 级进行统计分析，得到频率分布表如下：等级 123 4 5频率0.05m0.150.35n（Ⅰ）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求n m ,；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率.17．（本小题满分14分）如图，正三棱柱111C B A ABC -的侧棱长和底面边长均为2，D 是BC 的中点．（Ⅰ）求证：AD ⊥平面11B BCC ； （Ⅱ）求证：1A B ∥平面1A D C ； （Ⅲ）求三棱锥11ADB C -的体积．18.（本小题满分13分）已知函数21()ln 2f x ax x =+，其中a ∈R .（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若)(x f 在(0,1]上的最大值是1-，求a 的值.19.（本小题满分14分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b ab+=>>的一个焦点是(1,0)F ，且离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设经过点F 的直线交椭圆C 于,M N 两点，线段M N 的垂直平分线交y 轴于点0(0,)P y ，求0y 的取值范围.20.（本小题满分13分）已知数列12:,,,n n A a a a .如果数列12:,,,n n B b b b 满足1n b a =，11k k k k b a a b --=+-， 其中2,3,,k n = ，则称n B 为n A 的“衍生数列”. （Ⅰ）写出数列4:2,1,4,5A 的“衍生数列”4B ；（Ⅱ）若n 为偶数，且n A 的“衍生数列”是n B ，证明：1n b a =；（Ⅲ）若n 为奇数，且n A 的“衍生数列”是n B ，n B 的“衍生数列”是n C ，….依次将数列n A ，n B ，n C ，…的首项取出，构成数列111:,,,a b c Ω . 证明：Ω是等差数列.北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2012.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. C ；2. D ；3. B ；4. A ；5. D ；6. C ；7. A ；8. A .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. {|1}x x ≥； 10.3； 11.2； 12. 22； 13.2，1(14)3n--； 14. ①、③.注：13题第一问2分，第二问3分；14题多选、少选、错选均不给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：22π2π2π2π3333()3sinsincos3333442f =+=-=. ………………4分（Ⅱ）解：31π3()1cos2sin 2sin(2)2232f x x x x =-+=-+（）.………………8分因为π[,π]2x ∈，所以π2π5π2[]333x -∈,. ………………9分 当π2π233x -=，即π2x =时，)(x f 的最大值为3； ………………11分当π3π232x -=，即11π12x =时，)(x f 的最小值为312-+.………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由频率分布表得 0.050.150.35m n ++++=，即 0.45m n +=. ………………2分 由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个， 得 1.0202==n . ………………4分所以0.450.10.35m =-=. ………………5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，等级为3的零件有3个，记作123,,x x x ；等级为5的零件有2个，记作12,y y .从12312,,,,x x x y y 中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：12131112232122313212(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)x x x x x y x y x x x y x y x y x y y y共计10种. ………………9分 记事件A 为“从零件12312,,,,x x x y y 中任取2件，其等级相等”.则A 包含的基本事件为12132312(,),(,),(,),(,)x x x x x x y y 共4个. ………………11分 故所求概率为 4()0.410P A ==.………………13分17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为111C B A ABC -是正三棱柱，所以 1C C ⊥平面ABC . 又 AD ⊂平面ABC ，所以 AD CC ⊥1. ………………3分 因为 △ABC 是正三角形，D 是BC 的中点，所以 AD BC ⊥， ………………4分 所以 AD ⊥平面11B BCC . ………………5分（Ⅱ）证明：连结1A C ，交1AC 于点O ，连结O D .由 111C B A ABC -是正三棱柱，得 四边形11AC C A 为矩形，O 为1A C 的中点. 又D 为BC 中点，所以O D 为1A BC △中位线，所以 1A B ∥O D ， ………………8分 因为 O D ⊂平面1A D C ，1A B ⊄平面1A D C ，所以 1A B ∥平面1A D C . ………………10分（Ⅲ）解：因为 1111DC B A ADB CV V --=， ………………12分所以 1111Δ12333CADB B DC V S AD -=⋅=. ………………14分18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：21(),(0,)ax f x x x+'=∈+∞. ………………3分当0≥a 时，()0f x '>，从而函数)(x f 在),0(+∞上单调递增. ………………4分当0<a 时，令()0f x '=，解得1x a=-，舍去1x a=--. ………………5分此时，()f x 与()f x '的情况如下：x1(0,)a-1a-1(,)a-+∞()f x ' +-()f x↗ 1()f a -↘ 所以，()f x 的单调增区间是1(0,)a-；单调减区间是),1(∞+-a.…………7分（Ⅱ）① 当0≥a 时，由（Ⅰ）得函数)(x f 在]1,0(上的最大值为(1)2a f =.令12a =-，得2a =-，这与0≥a 矛盾，舍去2a =-. ………………9分② 当10a -≤<时，11≥-a，由（Ⅰ）得函数)(x f 在]1,0(上的最大值为(1)2a f =.令12a =-，得2a =-，这与10a -≤<矛盾，舍去2a =-. ………………10分③ 当1-<a 时，101a<-<，由（Ⅰ）得函数)(x f 在]1,0(上的最大值为1()f a-.令1()1f a-=-，解得e a =-，适合1-<a . ………………12分综上，当)(x f 在(0,1]上的最大值是1-时，e a =-. ………………13分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设椭圆C 的半焦距是c .依题意，得 1c =. ………………1分因为椭圆C 的离心率为12，所以22a c ==，2223b a c =-=. ………………3分故椭圆C 的方程为22143xy+=. ………………4分（Ⅱ）解：当M N x ⊥轴时，显然00y =. ………………5分当M N 与x 轴不垂直时，可设直线M N 的方程为(1)(0)y k x k =-≠. 由 22(1),3412,y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y 整理得 0)3(48)43(2222=-+-+k x k x k . ………………7分 设1122(,),(,)M x y N x y ，线段M N 的中点为33(,)Q x y .则 2122834kx x k+=+. ………………8分所以 212324234x x kx k+==+，3323(1)34k y k x k-=-=+.线段M N 的垂直平分线方程为)434(1433222kkx kk k y +--=++.在上述方程中令0=x ，得kk kk y 4314320+=+=. ………………10分当0k <时，3443k k+≤-；当0k >时，3443k k+≥.所以03012y -≤<，或03012y <≤. ………………12分综上，0y 的取值范围是33[,]1212-. ………………13分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：4:5,2,7,2B -. ………………3分 （Ⅱ）证明： 因为 1n b a =，1212b b a a +=+， 2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为偶数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,n 这2n 个式子都乘以1-，相加得11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++--+=-+++--+ 即1n b a -=-，1n b a =. ………………8分 （Ⅲ）证明：对于数列n A 及其“衍生数列”n B ，因为 1n b a =，1212b b a a +=+， 2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为奇数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,1n - 这12n -个式子都乘以1-，相加得11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++-++=-+++-++ 即112n n n n b a a a a a =-+=-.设数列n B 的“衍生数列”为n C ， 因为 1n b a =，112n n c b a a ==-，所以 1112b a c =+， 即111,,a b c 成等差数列. ………………12分 同理可证，111111,,;,,,b c d c d e 也成等差数列.从而Ω是等差数列. ………………13分。
北京市西城区2011届高三第一学期期末考试语文试题及答案(word).doc
北京市西城区2011届高三第一学期期末考试试题语文试题注意事项：1．本试卷分第一部分和第二部分。
共150分，考试时间为150分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上指定的位置。
3．作答时，将答案写在答题纸上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（27分）一、本大题共5小题，每小题3分，共15分。
1．下列词语中，字形和加点的字的读音全都正确．．．．的一项是（）A．煞风景英雄倍出挟．（xiā）制命运多舛．（chuǎn）B．舶来品貌和神离纰．（pī）漏不着．（zháo）边际C．协奏曲鞭辟入里混．（hùn）淆西学东渐．（jiān）D．度难关铤而走险慰藉．（jí）铩．（shā）羽而归2．下列句子中，加点的成语使用恰当的一项是（）A．近年很多名牌大学毕业生，除了书本知识外便身无长物．．．．，被认为缺乏一技之长而在现代职场中难以立足。
B．中华民族园中风姿绰约．．．．的民族歌舞表演，令来自世界各地的游客们如醉如痴，给大家留下了美好的印象。
C．国际社会纷纷要求中国运用对朝鲜的影响力促使这个国家冷静下来，以避免其与韩国在冲突中两败俱伤．．．．。
D．上海世博会会徽，形似汉字“世”，并与数字“2010”一拍即合．．．．，充分反映了多元文化相融合的办会理念。
3．下列句子中，没有语病的一项是（）A．中华民族是文化遗产历史悠久的证明，我们应当秉持对古代文明成果的珍惜。
B．如何在肯定草根文化的同时，不过分鼓吹偶像崇拜，是值得媒体深思的问题。
C．近年来中国已建成世界上最大的高铁网，目前正在加快高铁设备的出口规模。
D．第16届亚运会在广州隆重举行，各大报纸都关于亚运会开幕式作了详细报道。
4．下列有关文学常识的表述，有错误．．．的一项是（）A．先秦诸子散文长于论说，如《孟子》《庄子》《荀子》等；先秦历史散文则长于叙事，如《左传》《国语》《战国策》等。
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北京市西城区2010 — 201X 学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 201X.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{1}A x x =≥-，{3}B x x =<，那么集合A B =（A ）{13}x x -≤< （B ）{13}x x -<< （C ）{1}x x <-（D ）{3}x x >2. 下列函数中，图象关于坐标原点对称的是 （A ）lg y x =（B ）cos y x =（C ）||y x =（D ）sin y x =3. 若a b >，则下列不等式正确的是 （A ）11a b< （B ）33a b >（C ）22a b >（D ）a b >4. 命题“若a b >，则1a b +>”的逆否命题是 （A ）若1a b +≤，则a b > （B ）若1a b +<，则a b > （C ）若1a b +≤，则a b ≤（D ）若1a b +<，则a b <5. 设{}n a 是等差数列，若24a =，57a =，则数列{}n a 的前10项和为 （A ）12（B ）60（C ）75（D ）1206. 阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间11[,]42内，那么输入实数x 的取值范围是 （A ）(,2]-∞- （B ）[2,1]-- （C ）[1,2]- （D ）[2,)+∞7． 如图，四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，BD =BD CD ⊥，将四边形ABCD沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平 面A BD '⊥平面BCD ，则下列结论正确的是 （A ）A C BD '⊥ （B ）90BA C '∠=（C ）A DC '∆是正三角形（D ）四面体A BCD '-的体积为138. 设函数121()log ()2xf x x =-，2121()log ()2xf x x =-的零点分别为12,x x ，则（A ）1201x x << （B ）121x x = （C ）1212x x << （D ）122x x ≥第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. i 为虚数单位，则22(1i)=+______. 10. 已知1==a b ，12⋅=a b ，则平面向量a 与b 夹角的大小为______. 11.若实数,x y 满足条件10,2,1,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为______.12.在ABC ∆中，若3a b ==，3B 2π∠=，则c =____. 13. 已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2，它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______；渐近线方程为_______.14.在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”.在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形； ④到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线. 其中正确的命题是____________.（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知函数2()22sin f x x x =-.（Ⅰ）求()6f π的值；（Ⅱ）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ，11ACC A 均为正方形，90BAC ∠=，D 为BC 中点.（Ⅰ）求证：1//A B 平面1ADC ； （Ⅱ）求证：11C A B C ⊥.17.（本小题满分13分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（Ⅰ）求出表中,M p 及图中a 的值；（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率. 18.（本小题满分13分）ABCDC 1 A 1B 1已知椭圆2222:1x y C a b += （0>>b a ）的一个焦点坐标为(1,0)，且长轴长是短轴长的倍.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，椭圆C 与直线1y kx =+相交于两个不同的点,A B ，线段AB 的中点为P ，若直线OP 的斜率为1-，求△OAB 的面积.19.（本小题满分14分）已知函数()ln f x ax x =+()a ∈R .(Ⅰ)若2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率； (Ⅱ)求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设2()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.20.（本小题满分14分）已知数列}{n a 的首项为1，对任意的n ∈*N ，定义n n n a a b -=+1.（Ⅰ） 若1n b n =+，求4a ；（Ⅱ） 若11(2)n n n b b b n +-=≥，且12,(0)b a b b ab ==≠. （ⅰ）当1,2a b ==时，求数列{}n b 的前3n 项和；（ⅱ）当1a =时，求证：数列}{n a 中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次.北京市西城区2010 — 201X 学年度第一学期期末高三数学参考答案及评分标准（文科） 201X.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.i - 10. 6011. 4 12.13. (2,0)±0y ±= 14. ①③④注：13题第一问2分，第二问3分；14题①③④选对其中两个命题得2分，选出错误的命题即得0分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）()6f π22sin 36ππ- ………………2分 321241=-⨯=. ………………4分 （Ⅱ）()f x cos 21x x =+- ………………6分2sin(2)16x π=+-. ………………8分因为[,]62x ππ∈-，所以65626πππ≤+≤-x ， ………………10分所以 1sin(2)126x π-≤+≤， ………………11分所以()f x 的最大值为1 ，最小值为2-. ………………13分16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）连结1A C ，设1A C 交1AC 于点O ，连结OD . ………………2分因为11ACC A 为正方形，所以O 为1A C 中点， 又D 为BC 中点，所以OD 为1A BC ∆的中位线，所以1//A B OD . ………………4分因为OD ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ， 所以1//A B 平面1ADC . ………………6分AC 1A 1B 1O（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，11C A CA ⊥ ………………7分因为侧面11ABB A 是正方形，1AB AA ⊥， 且90BAC ∠=， 所以AB ⊥平面11ACC A . 又11//AB A B ，所以11A B ⊥平面11ACC A . ………………9分 又因为1C A ⊂平面11ACC A ，所以111A B C A ⊥. ………………10分 所以111C A A B C ⊥平面. ………………12分 又1B C ⊂平面11A B C ，所以11C A B C ⊥. ………………13分 17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，100.25M=， 所以40M =. ………………2分 因为频数之和为40，所以1024240m +++=，4m =. ………………3分40.1040m p M ===. ………………4分 因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以240.12405a ==⨯.……………6分（Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组[10,15)内的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人. ………8分 （Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有26m +=人，设在区间[20,25)内的人为{}1234,,,a a a a ，在区间[25,30)内的人为{}12,b b . 则任选2人共有1213141112232421(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a b a b a a a a a b2234(,),(,)a b a a ，3132414212(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b b b 15种情况， ………………10分而两人都在[25,30)内只能是()12,b b 一种， ………………12分 所以所求概率为11411515P =-=.（约为0.93） ………………13分18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意得1,c a ==， ………………2分又221a b -=，所以21b =，22a =. ………………3分所以椭圆的方程为2212x y +=. ………………4分 （Ⅱ）设(0,1)A ，11(,)B x y ，00(,)P x y ，联立2222,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩ 消去y 得22(12)40k x kx ++=……（*）， ………………6分解得0x =或2412k x k =-+，所以12412kx k=-+， 所以222412(,)1212k k B k k --++，2221(,)1212k P k k-++， ………………8分 因为直线OP 的斜率为1-，所以112k -=-，解得12k =（满足（*）式判别式大于零）. ………………10分O 到直线1:12l y x =+ ………………11分AB ==， ………………12分所以△OAB 的面积为1223=. ………………13分19.（本小题满分14分） 解：(Ⅰ)由已知1()2(0)f x x x'=+>， ………………2分 (1)213f '=+=.故曲线()y f x =在1x =处切线的斜率为3. ………………4分 (Ⅱ)11'()(0)ax f x a x x x+=+=>. ………………5分 ①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，'()0f x >所以，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. ………………6分②当0a <时，由'()0f x =，得1x a=-.在区间1(0,)a -上，()0f x '>，在区间1(,)a -+∞上()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a -，单调递减区间为1(,)a-+∞.………………8分（Ⅲ）由已知，转化为max max ()()f x g x <. ………………9分max ()2g x = ………………10分由(Ⅱ)知，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意. (或者举出反例：存在33(e )e 32f a =+>，故不符合题意.) ………………11分当0a <时，()f x 在1(0,)a -上单调递增，在1(,)a -+∞上单调递减，故()f x 的极大值即为最大值，11()1ln()1ln()f a a a-=-+=----， ………13分 所以21ln()a >---， 解得31e a <-. ………………14分 20.（本小题满分14分）(Ⅰ) 解：11a =,211123a a b =+=+=,322336a a b =+=+=4336410a a b =+=+=. ………………3分（Ⅱ）（ⅰ）解：因为11n n n b b b +-=（2n ≥），所以，对任意的n ∈*N 有5164321n n n n n n n b b b b b b b ++++++====， 即数列{}n b 各项的值重复出现，周期为6. ………………5分 又数列}{n b 的前6项分别为21,21,1,2,2,1，且这六个数的和为7. 设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则，当2()n k k =∈*N 时，36123456()7n k S S k b b b b b b k ==+++++=，当21()n k k =+∈*N 时，363123456616263()n k k k k S S k b b b b b b b b b ++++==++++++++123775k b b b k =+++=+ ， ………………7分 所以，当n 为偶数时，372n S n =；当n 为奇数时，3732n n S +=. ………………8分 （ⅱ）证明：由（ⅰ）知：对任意的n ∈*N 有6n n b b +=，又数列}{n b 的前6项分别为111,,,1,,b b b b ，且这六个数的和为222b b++. 设)0(6≥=+n a c i n n ，（其中i 为常数且}6,5,4,3,2,1{∈i ），所以1n n c c +-=66666162636465n i n i n i n i n i n i n i n i a a b b b b b b ++++++++++++++-=+++++222b b=++.所以，数列}{6i n a +均为以222b b++为公差的等差数列. ………………10分 因为0b >时，2220b b ++>，0b <时，22220b b++≤-<， ………………12分所以{6n i a +}为公差不为零的等差数列，其中任何一项的值最多在该数列中出现一次.所以数列}{n a 中任意一项的值最多在此数列中出现6次，即任意一项的值不会在此数列中重复出现无数次. ………………14分。
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北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个 选项中，选出符 合题目要求的一项.高三数学(文科)第I 卷(选择题共40 分)2011.11. 已知集合 A={xx^—1} , B={xxc3 (A ) {x -1 兰X 心 (C ) {xxc-1}2. 下列函数中，图象关于坐标原点对称的是 (A ) y = lg x(B )讨二 cosx3. 若a b ，则下列不等式正确的是1 1(A )( B ) a 3 b3a b4. 命题若a b ，则a 1 b ”的逆否命题是 (A )若 a • 1 _b ，则 a ba ，1_ba_b，那么集合A 1B =(B){X —1 ：: x 3}(D ) {xx>3}(C ) y =|x|(D ) y = sin x(C) a 2 >b 2(D ) a> b(B )若 a • 1 ：：： b ，则 a b (D) 若 a • 1 ：：： b ，则 a b5.设{a n }是等差数列，若a^4 , a 5 -7，则数列{a .}的前10项和为 (A ) 12(B ) 606.阅读右面程序框图，如果输出的 函数值在 内，那么输入实数x 的取值范围是 (A) (」：，-2] (B) [-2,-1] (C) [ -1,2] (D) [2,：：)区间[丄4第n 卷 (非选择题共no 分)9. i 为虚数单位，则110. 已知a=H= 1, a ，b = —，则平面向量a 与b 夹角的大小为 _________2x - y 1 一 0,11. 若实数x,y 满足条件 x • y _2, 则2x y 的最大值为 ______________ .[x"12. 在 AABC 中，若 a=j3,b=3，/ B =—，则 c = ________ .32 213.已知双曲线 笃-岭=1的离心率为2 ,它的一个焦点与抛物线a b双曲线的焦点坐标为 _______ ；渐近线方程为 ________ .14.在平面直角坐标系中，•定义d(P,Q)=仪1 -X 2十％ —y 2为两点P(x 「y)Q(X 2, y 2)之间的 折线距离”在这个定义下，给出下列命题：①到原点的 折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ② 到原点的 折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③ 到M ( -1,0), N (1,0)两点的 折线距离”之和为4的点的集合是面积为 6的六边形; ④ 到M (-1,0), N(1,0)两点的 折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线. 其中正确的命题是 _____________ .(写出所有正确命题的序号)7.如图，四边形 ABCD 中，AB =AD =CD =1,BD = _2 , BD _CD ，将四边形 ABCD沿对角线BD 折成四面体 A - BCD ，使平 面ABD _平面BCD ，则下列结论正确的是 (A )A C _ BD (C )A DC 是正三角形(B ) £ BAC=90：1(D )四面体 A-BCD 的体积为—38.设函数 f l (x) = log 2 x -(1)x ， f 2(x) =log i x-(1)x 的零点分别为 X i ,X 2，则 2 2(A ) 0 ::: x-i x 2 ::: 1(B ) x-ix 2 =1 (C ) 1 ：： ：： 2 ( D ) _ 2、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.2y =8x 的焦点相同，那么三、解答题：本大题共 6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分)已知函数 f(x) = _3sin2x —2sin 2x .(i)求f (_)的值；6(n)若x -[,]，求f (x)的最大值和最小值. 6 316.(本小题满分13分)对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如 下：(I)求出表中M , p 及图中a 的值；(n)若该校高三学生有 240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；(川)在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于 20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间 [25,30)内的概率. 18.(本小题满分13分)2 2已知椭圆C:冷•爲=1 ( a b 0)的一个焦点坐标为(1,0)，且长轴长是短轴长的如图，在三棱柱 ABC - A^G 中，侧面ABB 1A 1 ,D 为BC 中点.(I)求证: A i B 〃 平面 ADC i ； 17. (n)求证:GA _ B 1C .(本小题满分 13 分)M 名学生作为样本，得到这分组频数 频率 [10,15) 10 0.25[15,20) 24n[20,25) mP[25,30)20.05 合计M1a b2 倍.(I)求椭圆C的方程；(n)设O为坐标原点，椭圆C与直线y =kx • 1相交于两个不同的点A, B，线段AB的中点为P，若直线OP的斜率为-1，求△ OAB的面积•19.(本小题满分14分)已知函数f (x) = ax ln x (a R).(I )若a =2，求曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率；(n)求f(x)的单调区间；(川)设g(x) =文-2x・2,若对任意为•(0「：)，均存在X2：=〔0,1】,使得f (x1) < g(x2)，求a的取值范围.20.(本小题满分14分)已知数列｛a n｝的首项为1,对任意的N*，定义b n二a n .1 - a n.(I)若b n = n ■ 1,求a4;(n) 若b n i b n4 = b n (n _ 2)，且bi = a,b2二b (ab = 0).(i)当a =1,^2时，求数列｛b n｝的前3n项和；(ii)当a =1时，求证：数列｛a n｝中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次北京市西城区2010 —2011学年度第一学期期末高三数学参考答案及评分标准（文科）2011.1、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案A D B C C B B A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. -i 10. 60 11. 412.、,3 13. （_2,0）,、,3x_y=0 14.①③④注：13题第一问2分，第二问3分；14题①③④ 选对其中两个命题得2分，选出错误的命题即得0分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分）解：（I）/ 、2 二f ( )=、3sin 2sin —6 3 6-2 1.2 4(n) f x = ,3sin2x cos2x -1 ••分•分•分=2sin(2 ^-)-1.5：：. 因为［,］，所以2x •6 2 6 6 6 L 1 兀所以sin(2 x ) ^1 ,2 6所以f(x)的最大值为1，最小值为-2.分…分10•分11分316.（本小题满分13分）解：（I）连结AC，设AQ交AG于点O ,连结OD . ........ 2•分因为ACC1A为正方形，所以O为AC中点，又D为BC中点，所以OD为厶ABC 的中位线，所以A1B// OD.因为OD 平面ADC1, A,B二平面ADC1, 所以A,B〃平面ADC1. ......... 分（□）由（i）可知，GA — CA ....................... 分因为侧面ABB1 A（是正方形，AB _ AA ,且.BAC =90：,所以AB _平面ACC1A1.又AB//A1B1,所以AB j _平面ACC J A. .......... 分又因为C i A 平面ACC i A j ,所以AE _GA. ................. 分10所以GA _平面A1B1C . .......... 分12又B1C 平面A B1C ,所以GA — BQ. .............................. 分1317.（本小题满分13分）解：（I）由分组［10,15）内的频数是10，频率是0.25知，10 =0.25,M所以M =40. ............... 分因为频数之和为40 ,所以10 24 m 40 , m = 4. ............... 分m 4 八p 0.10. ................. 分M 4024因为a是对应分组［15,20）的频率与组距的商，所以 a 240.12. ................ 分40 x 5（n）因为该校高三学生有240人，分组［10,15）内的频率是0.25,所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人. ... 分（川）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m - 2=6人，设在区间［20,25）内的人为:a1, a2,a3, a^?, 在区间［25,30）内的人为{b^b?}. 则任选2人共有（印42）,（印月3）,（印月4）,（印山1）,（印山2）,（ a2,a3）,（ a2,a4）,（ a2,bj, @24）,（比，a4）, （a3,b1）,（ a3,b2）,（ a4,bd（ a4,b2）,（ bib）15 种情况，分10而两人都在［25,30）内只能是3,鸟一种， ......... 分121 14所以所求概率为p =1 .（约为0.93） ......... 分1315 1518.（本小题满分13分）解：（I）由题意得c =1, a = 2b , ................. 分又a2_b2=1，所以b2=1, a2=2. ......... 分2所以椭圆的方程为—y^1.2 (n)设A(0,1), B(x i,yi) , P(x o,y。
),联立x2 2y2二2,y =kx 12 2消去y 得(1 2k )x 4kx = 0 (*),解得x = 0或x4k1 2k2所以x1 =4k1 2k2所以B(-4k21 2k2冷,P(-需占),因为直线OP的斜率为-1，所以零). ...1 11，解得k (满足(*)式判别式大于2k 2分0O到直线丨：y =〔X • 1的距离为22 「5,AB 心+(% -1)2所以△ OAB的面积为1 2 \ 52 3 …分1••分219.(本小题满分14分)解：(I )由已知f(x)=2」(x 0), ......... 分xf ⑴=2 1 =3.故曲线y二f(x)在x=1处切线的斜率为3. ............... 分丄1 ax +1 八(n ) f '(x) =a (x 0). ......... 分x x①当a_0时，由于x .0,故ax 1 0 , f'(x) 01②当a ：：：0时，由 f '(x) =0，得x= -一.1 1在区间(0, ) 上, f (x) 0,在区间(-一，；)上f(X)：：：0,1 1所以，函数f (x)的单调递增区间为(0,-—)，单调递减区间为(--，■：：).a a•分(ii)证明：由(i)知：对任意的n ・N *有b n b n ,1 1又数列｛b n ｝的前6项分别为1,b,b,1,-,，且这六个数的和为 b b设 C n = a 6n i (n - 0),(其中 i 为常数且 ｛1,2,3>4>5>6｝),所以 c 1 _c n= a 6n 6 i ~ a 6n i = b 6n i b6n i 1b6ni 2b6n 1 3b6n i 4b6n i '52 =2b - - 2. b2(川)由已知，转化为f(X )max ::: g(X )max ..分 g(X )max= 2分10由(n )知，当a_0时，f (x)在(0,；)上单调递增，值域为 R ，故不符合题意.33(或者举出反例：存在 f(e)二ae.2，故不符合题意.)分111 1当a ： 0时，f (x)在(0,_丄)上单调递增，在(一丄，；)上单调递减,a 故f (x)的极大值即为最大值, 1 1 f( ) - -1 In() - -1 -1 n( -a), a「a所以 2 • -1 -1 n(-a),1解得a ■ - -3 .e分1420.(本小题满分14分)(I )解：a = 1, a^ a-i b = 1 2=3,a 3=a 2 d=33=6a 4 = a 3b 3 = 6 4=10.•分(n 一2), _ bn ・5 _ 1bn 4 bn 3 即数列｛b n ｝各项的值重复出现，周期为 6.1 1又数列｛b n ｝的前6项分别为1.2.2.1-,，且这六个数的和为2 2设数列｛b n ｝的前n 项和为S n ，则，当 n =2k(k N *)时，S 3n = S 6k = k(b 1 ■ b 2 b 3 b 4 b 5 ■ b 6)= 7k ,当 n =2k 1(k N *)时，S 3n = S 6k 3 = k(b 1■ b 2 b 3 b 4 ■ b 5 b 6) b 6k 1 ' b 6k2' b 6k 3-7k b a b 7 k 5,所以，当n 为偶数时，S 3nn ；当n 为奇数时，2 (n) (i)解：因为 b n 1b n =b n所以，对任意的n • N 有b n 6 b n 27.7n 3.分82b -2.b所以，数列｛a6ni｝均为以2b 2为公差的等差数列. ........... 分10b2 2因为b 0 时，2b 2 0 , b ： 0 时，2b 2< -2 0 , ................ 分12b b所以｛a6n i ｝为公差不为零的等差数列，其中任何一项的值最多在该数列中出现一次.所以数列｛a n｝中任意一项的值最多在此数列中出现6次，即任意一项的值不会在此数列中重复出现无数次 .......... 分4。