第21讲 弯曲应力习题课概要
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材料力学弯曲应力PPT课件
M
Fl
F 解：1.画梁的剪力图和弯矩图
按正应力计算
max
M max Wz
6F1l bh2
F1
bh2
6l
107 100 1502 109 6
3750N
3.75kN
按切应力计算
max 3FS / 2A 3F2 / 2bh
F2 2 bh / 3 2106 100150106 / 3 10000N 10kN 35
截面为bh=30 60mm2 的矩形
求:1截面竖放时距离中性层20mm 处的正应力和最大正应力max; (2) 截面横放时的最大正应力max
b
解: M Fa 5103 0.18 900Nm
竖放时
横放时
IZ
bh3 12
30 603 12
54cm 4
y 20mm : M y 33.3MPa
主要公式:
变形几何关系 y
物理关系 E
E y
静力学关系
1 M
EIZ
My
IZ
为曲率半径
1
为梁弯曲变形后的曲率
11
§5.2 纯弯曲时的正应力
弯曲正应力公式适用范围
弯曲正应力
My
IZ
•横截面惯性积 Iyz =0
•弹性变形阶段 ( p )
•细长梁的纯弯曲或横力弯曲近似使用
12
试校核梁的强度。
分析： 非对称截面,要寻找中性轴位置 作弯矩图,寻找需要校核的截面
要同时满足 t,max t , c,max c
25
例题
解：（1）求截面形心
52
z1 z
yc
80 2010 120 2080 80 20 120 20
刘鸿文材料力学讲义弯曲应力【圣才出品】
（3）确定许可载荷
Mmax W[σ]
四、弯曲切应力
分几种截面形状讨论弯曲切应力
1．矩形截面梁
（1）基本假设
切应力与剪力平行；切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离处切应力相等）。
（2）切应力计算公式
FS
S
z
Izb
FS 2Iz
h2 4
y
2
式中， Iz 为整个横截面对中性轴的惯性矩， Iz
bh3 12
（2）离中性轴最远处
（3）变截面梁要综合考虑 M 和 IZ
（4）脆性材料抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑，即
t,max t , c,max c
4．强度条件的应用
（1）强度校核
（2）设计截面
M max [σ] W
5 / 17
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（2）常见截面的 、 （ 为抗弯截面系数）
①圆截面
，
②矩形截面
，
③空心圆截面
，
式中， α d ，d为内径，D为外径。 D
④空心矩形截面
，
三、横力弯曲时的正应力 1．横力弯曲 （1）定义 横力弯曲又称剪切弯曲，其受力特点为横截面上既有弯矩又有剪力，相应的有正应力和
4 / 17
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（2）计算假设
AB 弦上各点的切应力作用线通过同一点 p；AB 弦上各点的切应力沿 y 轴的分量y 相等。
图 5-3
（3）计算公式
①对y 可用矩形截面梁的公式 ②最大切应力发生在中性轴上
y
FS
S
* z
Izb
max
4 3
FS R2
《工程力学》教学课件第十二章弯曲应力
简支梁
在均布载荷或集中力作用下，简支梁横截面上的正应力呈线 性分布，最大正应力出现在梁的中性层上。
悬臂梁
在自由端受到集中力或均布载荷作用时，悬臂梁横截面上的 正应力呈非线性分布，最大正应力出现在固定端附近。
叠加原理在复杂载荷下梁正应力计算中应用
叠加原理
当梁受到多个载荷作用时，可以将每个载荷单独作用时产生的弯曲变形和正应力进行叠加，从而得到梁在复杂载 荷作用下的总弯曲变形和正应力。
提高构件的弯曲疲劳强度。
06 弯曲应力实验测定方法
电阻应变片法测量原理及操作步骤
测量原理
基于电阻应变效应，通过测量应变片电阻值变化来推算 出试件应变，进而得到弯曲应力。
操作步骤
粘贴应变片、连接测量电路、加载试件、记录数据。
光弹性法测量原理及优缺点分析
01
02
03
测量原理
利用某些透明材料在偏振 光场中受力产生应力双折 射现象，通过光弹性仪器 分析得到应力分布。
其他截面形状（圆形、工字形等）梁剪应力计算方法
圆形截面梁
对于圆形截面梁，可以采用极坐标方法进行剪应力计算，或者将其等效为矩形截面进行 计算。
工字形截面梁
对于工字形截面梁，由于其截面形状复杂，一般采用数值方法进行剪应力计算，如有限 元法等。
剪应力对梁强度和稳定性影响分析
对强度的影响
剪应力过大会导致梁截面发生剪切破坏 ，从而降低梁的承载能力。
《工程力学》教学课件第十二章弯 曲应力
contents
目录
• 弯曲应力基本概念与原理 • 梁弯曲时正应力计算与分析 • 梁弯曲时剪应力计算与分析 • 弯曲变形与位移计算 • 弯曲强度条件与校核方法 • 弯曲应力实验测定方法
01 弯曲应力基本概念与原理
在均布载荷或集中力作用下，简支梁横截面上的正应力呈线 性分布，最大正应力出现在梁的中性层上。
悬臂梁
在自由端受到集中力或均布载荷作用时，悬臂梁横截面上的 正应力呈非线性分布，最大正应力出现在固定端附近。
叠加原理在复杂载荷下梁正应力计算中应用
叠加原理
当梁受到多个载荷作用时，可以将每个载荷单独作用时产生的弯曲变形和正应力进行叠加，从而得到梁在复杂载 荷作用下的总弯曲变形和正应力。
提高构件的弯曲疲劳强度。
06 弯曲应力实验测定方法
电阻应变片法测量原理及操作步骤
测量原理
基于电阻应变效应，通过测量应变片电阻值变化来推算 出试件应变，进而得到弯曲应力。
操作步骤
粘贴应变片、连接测量电路、加载试件、记录数据。
光弹性法测量原理及优缺点分析
01
02
03
测量原理
利用某些透明材料在偏振 光场中受力产生应力双折 射现象，通过光弹性仪器 分析得到应力分布。
其他截面形状（圆形、工字形等）梁剪应力计算方法
圆形截面梁
对于圆形截面梁，可以采用极坐标方法进行剪应力计算，或者将其等效为矩形截面进行 计算。
工字形截面梁
对于工字形截面梁，由于其截面形状复杂，一般采用数值方法进行剪应力计算，如有限 元法等。
剪应力对梁强度和稳定性影响分析
对强度的影响
剪应力过大会导致梁截面发生剪切破坏 ，从而降低梁的承载能力。
《工程力学》教学课件第十二章弯 曲应力
contents
目录
• 弯曲应力基本概念与原理 • 梁弯曲时正应力计算与分析 • 梁弯曲时剪应力计算与分析 • 弯曲变形与位移计算 • 弯曲强度条件与校核方法 • 弯曲应力实验测定方法
01 弯曲应力基本概念与原理
弯曲应力习题解答PPT文档共62页
弯曲应力习题解答
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
材料力学 弯曲应力PPT学习教案
115MPa 120MPa
第22页/共47页
2021/5/11
23
例5-5 T形截面铸铁梁的载荷和截面尺寸如图 所示。铸
铁的抗拉许用应力为[t]=30MPa，抗压许用应力为
[c]=160MPa。已知截面对形心轴z的惯性矩为Iz=763cm4，
且y1=52mm。试核核梁的强度。
F1
F2 =4KN
M
(KNm )
1.17
+
第17页/共47页
-
0.9
2021/5/11
18
210921/5/11
解：1. 确定约束力
FRA＝2.93kN FRB=5.07 kN
2. 画弯矩图，判断可 能的危险截面
MC＝1.17 kNm MB＝-0.9 kNm
FRA
M(KNm)
1.17
+
3.计算危险截面上的最大正应力
变形
平面假定
应变分布
物理关系 应力公式
应力分布 静力 方程
第4页/共47页
2021/5/11
5
1 、 变 形 几何 关系
建立坐标系： x——截 面 外 法 线 y——截 面 对 称 轴 z——中 性 轴
线 段 aa 正 应 变
o
o
r dq
y
a
a
dx
M
o y
a
o
M
a
＝(r y)dq rdq ＝ y
F 40
B
0
截面B－ B
12 0
20
y
C
z
0
12
2021/5/11
B
20
y
第15页/共47页
16
弯曲应力材料力学解析PPT学习教案
力
s T max
M max Iz
y1
=
2500 111108
5.16 102
116.2 106 Pa
116.2MPa
截面上缘受最大压应力
弯曲应 力
s C max
M max Iz
y2
2500 111108
1.84 102
41.4 106
Pa
41.4MPa
第7页/共27页
例 如图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷F=15kN作用。试计 弯曲应
(B
b)h2 ]
t min
FQ 8I zb
(BH2
Bh2 )
第12页/共27页
弯曲应 力
7.2.3 圆形截面梁
t max
FQ
S
* z
Izb
FQd 3 /12y (d 4 / 64)d
4 3
FQ A
式 中 ： A为 圆 截面 面积
对 于 等 直 杆 ，最大 切应力 的统一 表达式 为：
弯曲应 力
例7-5 螺栓压板夹紧装置如图所示。已知板长 3a=150mm，压板材料的弯曲许用应力为[σ]=140MPa 。试确定压板传给工件的最大允许压紧力F。
解：压板可简化为图所示的外伸梁
作弯矩图如图所示。最大弯矩在截面B上
Mma MB Fa
Iz
3 x2 3 12
1.4 23 12
1.07cm4
Wz
O曲率中心
dq
M
m1 m2
y O1 a1
n1 dx
O2 dq
a2' a2 dl n2
sy M e2
e1
m2 x
2.物 理 关 系 (虎 克定 律)
弯曲应力习题答案
弯曲应力习题答案在材料力学中，弯曲应力是结构分析中的一个重要概念，它涉及到梁或板在受到弯曲作用时内部产生的应力。
以下是一些弯曲应力习题的答案示例：习题一：简单梁的弯曲应力计算问题描述：一根长为 \( L \) 米，截面为矩形的梁，宽 \( b \) 米，高 \( h \) 米，材质为钢，弹性模量 \( E \) 为 \( 200 \) GPa。
梁的一端固定，另一端自由，中间受到一个集中力 \( P \) 的作用。
解答：1. 首先，确定梁的截面惯性矩 \( I \)：\[ I = \frac{b \cdot h^3}{12} \]2. 根据梁的受力情况，计算梁的弯曲应力 \( \sigma \)：\[ \sigma = \frac{M \cdot c}{I} \]其中 \( M \) 是弯矩，对于集中力 \( P \) 作用在梁的中点，弯矩 \( M \) 为 \( \frac{PL}{4} \)。
3. 将弯矩代入弯曲应力公式中：\[ \sigma = \frac{P \cdot L \cdot c}{4 \cdot I} \] 其中 \( c \) 是梁截面上距离中性轴的距离，对于矩形截面，\( c = \frac{h}{2} \)。
4. 将已知数值代入公式，计算出弯曲应力。
习题二：悬臂梁的弯曲应力分析问题描述：一根悬臂梁，长度 \( L \) 米，材料的弹性模量 \( E \) 为 \( 200 \) GPa，梁的一端固定，另一端受到一个向下的集中力 \( P \)。
解答：1. 悬臂梁在末端受到集中力作用时，最大弯矩 \( M \) 出现在梁的末端，其值为 \( P \cdot L \)。
2. 假设梁的截面为圆形，半径 \( r \)，则截面惯性矩 \( I \) 为： \[ I = \frac{\pi r^4}{4} \]3. 计算弯曲应力 \( \sigma \)：\[ \sigma = \frac{M}{I} = \frac{P \cdot L}{\frac{\pir^4}{4}} \]4. 将已知数值代入公式，计算出弯曲应力。
材料力学 弯曲应力PPT课件
弯曲强度校核仅满足正应力强度条件即可。 56 最新课件
弯曲应力/提高弯曲强度的措施
§5.6 提高弯曲强度的措施
57 最新课件
思考：设计梁的主要依据是什么？ 弯曲正应力的强度条件
max
Mmax[] Wz
提高弯曲强度的措施：
M ma , xW z， []
58 最新课件
弯曲应力/提高弯曲强度的措施
一.合理安排梁的受力情况，尽量减小Mmax值
Wz Iz y max
则公式变为： max Mmax
Wz 25 最新课件
弯曲应力/横力弯曲时的正应力
常见截面Wz的计算如下：
矩形截面
竖放：
z
Wz 1 bh2
h
6
b
平放：
b z´ h
Wz 1 hb2 6
26 最新课件
弯曲应力/横力弯曲时的正应力
圆形截面
d
实心：
z
Wz
d3
32
空心：
D dz
Wz D3(14)
32
27 最新课件
三. 弯曲正应力计算练习
简支梁如图所示，截面尺寸如图，单位 为mm，求1-1截面上1、2两点正应力的大小， 并求此截面上的最大正应力。
1 q=60kN/m
180 30
A 1m
B
12
Z
120
2m
1
28 最新课件
1 q=60kN/m
180 30
A 1m
B
12
Z
2m
对比横力弯曲正应力和切应力的分布：
正应力的最大值发生在横截面的上下边缘， 该处的切应力为零；切应力的最大值发生在中性 轴上，该处的正应力为零。对于横截面上其余各 点，同时存在正应力和切应力。
材料力学之弯曲应力讲义
M
ss
Q
s
t
t
②带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上 述相同；还有一个可能危险的点，在Q和M均很大的截面 的腹、翼相交处。（以后讲）
M
s
Q
t
s t
2、正应力和剪应力强度条件：
max
M max Wz
max
Qmax
S
z max
b Iz
3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：
校核强度
Lmax 28.2 L
ymax 46.2 y
T字头在上面合理。
二、梁的合理截面 （一）矩形木梁的合理高宽比
h 北宋李诫于1100年著«营造法式 »一书中指出:
R
矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5
b 英(T.Young)于1807年著«自然哲学与机械技术讲义 »一书中指出:
104.2MPa
求曲率半径
+
M
q L2
8
M1 Mmax
x
1
EIz M1
2005.83210 194.4m 60
§5－3 梁横截面上的剪应力
一、 矩形截面梁横截面上的剪应力
x
dx
图a y
M(x)
Q(x)+d Q(x)
图b
Q(x) dx M(x)+d M(x)
z
s
t1 t
x
y s1 图c
1、两点假设： ①剪应力与剪力平行； ②矩中性轴等距离处，剪应力
4
R; (R D1 / 2)
a
z
Wz 2
Hale Waihona Puke bh2 6(R)3
6
材料力学第6章-弯曲应力概要
Iz
21
M y 正应力在横截面上的分布规律
I
22
6.1.2 横截面上的正应力公式 3. 正应力公式使用注意点
M y
Iz
（1）弹性范围内使用
M y
Iz
（2）由所考虑位置处拉
压性质直接确定应力正负
纯弯曲
M (x)y
Iz
横力弯曲
（3）L/h﹥5时，横力弯曲梁的
A
y dA
E
Sz
0
x Sz 0 重要结论：中性轴必定过形心
E E y
2) 第二式：
M y
z dA
A
E
A
y zdA
E
I yz
0
平面弯曲条件： I yz 0 y轴是形心主惯性轴
弯曲发生在各截面的形心主惯性轴 y 所组成的平面内
19
2. 正应力公式推导
y
静力学关系 ( 横截面上轴力、弯矩与正
（4）ρ/h≥5的曲梁弯曲正应力计算可近似 用公式，其误差在工程允许的范围内
M EI W W
23
M (x)y Iz
分析和讨论
梁在有的区段是中性层上侧受拉而下侧受 压，有的区段则是上侧受压而下侧受拉。这 种情况与弯矩图有什么规律性的联系？
M M
x
x
结论 弯矩坐标向上为正的规定使弯矩图始终画在梁的受压
确定中性轴位置 中性层曲率表达式及正应力表达式
15
2. 正应力公式推导
d y
几何关系 ( 平截面假设 )
mn dx d mn ( y)d
z
dx
dx
x
mn mn ( y)d d
mn
d
y
d y
m' n'
21
M y 正应力在横截面上的分布规律
I
22
6.1.2 横截面上的正应力公式 3. 正应力公式使用注意点
M y
Iz
（1）弹性范围内使用
M y
Iz
（2）由所考虑位置处拉
压性质直接确定应力正负
纯弯曲
M (x)y
Iz
横力弯曲
（3）L/h﹥5时，横力弯曲梁的
A
y dA
E
Sz
0
x Sz 0 重要结论：中性轴必定过形心
E E y
2) 第二式：
M y
z dA
A
E
A
y zdA
E
I yz
0
平面弯曲条件： I yz 0 y轴是形心主惯性轴
弯曲发生在各截面的形心主惯性轴 y 所组成的平面内
19
2. 正应力公式推导
y
静力学关系 ( 横截面上轴力、弯矩与正
（4）ρ/h≥5的曲梁弯曲正应力计算可近似 用公式，其误差在工程允许的范围内
M EI W W
23
M (x)y Iz
分析和讨论
梁在有的区段是中性层上侧受拉而下侧受 压，有的区段则是上侧受压而下侧受拉。这 种情况与弯矩图有什么规律性的联系？
M M
x
x
结论 弯矩坐标向上为正的规定使弯矩图始终画在梁的受压
确定中性轴位置 中性层曲率表达式及正应力表达式
15
2. 正应力公式推导
d y
几何关系 ( 平截面假设 )
mn dx d mn ( y)d
z
dx
dx
x
mn mn ( y)d d
mn
d
y
d y
m' n'
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( Stresses in Beams)
复习：弯曲正应力与切应力
M ( x) y Iz
Mymax M M max Iz I z Wz y max
FS S I zb
* z
max
FS S
* z max
Izd
• 河海大学材料力学\材料力学.exe
中性轴 z 不是横截面的对称轴时(参见图c)，其横截面
上最大拉应力值和最大压应力值为
t,max
Myt ,max Iz
c,max
Myc,max Iz
( Stresses in Beams)
复习——横力弯曲时的 正应力与切应力
一、横力弯曲(Nonuniform bending)
M ( x) y Iz
o
τmin y
max min
FS bh
( Stresses in Beams)
max
式中
FS S
* z max
τmax
Izd
τ
z
max
o τmin y d
S
* z max ——
中性轴任一边的半个横截面面
积对中性轴的静矩.
3、圆截面梁(Beam of circular cross section)
S —— 距中性轴为y的横线以外部分的
横截面面积A*对中性轴的静矩.
A
*
y
max
(a)腹板上的切应力沿腹板高度按二次 抛物线规律变化. (b)最大切应力也在中性轴上.这也是整 个横截面上的最大切应力. z
2 2 FS BH h ( B b) Izb 8 8
τmax τmax
( Stresses in Beams) 复习——纯弯曲正应力公式
实验
变 形 几 何 关 系 物 理 关 系 静 力 关 系
观察变形 提出假设
平面假设 单向受力假设 中性层、中性轴
变形的分布规律
y
y
应力的分布规律
E
1
建立公式
M EI z
中性轴过横截面形心
My Iz
EIz称为抗弯刚度 (Flexural rigidity)
y
m
n
τmax z
FS h FS h 3 FS max 3 2 bh 8 I z 8 bh 12 3FS max 式中,A=bh,为矩形截面的面积. 2A
2
2
( Stresses in Beams) 截面静矩的计算方法
S z A ydA A y
A为截面面积
在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切. z (a)沿宽度kk’上各点处的切应力均 假设 汇交于o’点.
(b)各点处切应力沿y方向的分量沿宽 度相等.
z
y 为截面的形心坐标
2、工字形截面梁（工-section beam)
A
y
研究方法与矩形截面同,切应力的计算公式亦为
b
x
H h
z
o
FS S I zb
* z
假设求应力的点到中性轴的距离为y.
B y
( Stresses in Beams)
FS S z I zd
* z
*
z
y
O
d —— 腹板的厚度【切应力当地宽度】
力的值max为
Mymax M M max Iz I z Wz y max
式中，Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数(section
modulus in bending)，其单位为m3。 b o d z
h
o
z
y
y
( Stresses in Beams)
M max max [ ] W
( St曲切应力
Iz
b
FS S z I zb
*
整个横截面对中性轴的惯性矩 矩型截面的宽度
y
A
*
z
S
* z
距中性轴为y的横线以外部分横截面面积对中性轴的静
矩
1、矩形截面梁的切应力沿截面高度的变化规律
沿截面高度的变化由静矩 S * 与y之间的关系确定 z
( Stresses in Beams)
第21讲 弯曲应力习题课
教学基本要求与教学重点： 【1】复习弯曲正应力、切应力与各符号的意义 【2】会用弯曲正应力与切应力强度条件进行强度分析 【重点】 【3】掌握提高梁强度的主要措施 教学安排： 【1】复习——弯曲正应力与切应力及梁的强度分析 【2】课堂练习1、2、3、4、5【课堂练习，教师提示】 思考题1、2、3、4【课堂讨论，教师归纳】 【3】课外作业
当梁上有横向力作用时,横截面上既又 弯矩又有剪力.梁在此 种情况下的弯曲称为横力弯曲(Nonuniform bending) 横力弯曲时,梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力使横 截面发生翘曲,横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力,纯 弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立. 虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异,但进一步的分析表明, 工程中常用的梁,纯弯曲时的正应力计算公式,可以用于计算 横力弯曲时横截面上的正应力. 等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为
( Stresses in Beams) 直梁纯弯曲时中性层的曲率为
M EI z
1
上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。显然，由于纯弯曲时， 梁的横截面上的弯矩M 不随截面位置变化，故知对于等截
面的直梁包含在中性层内的那根轴线将弯成圆弧。
弯曲正应力计算公式：
E
y
My Iz
( Stresses in Beams) 中性轴z为横截面的对称轴时，横截面上最大拉、压应
M ( x) y Iz
( Stresses in Beams)
二、正应力公式的应用范围
1、 在弹性范围内 3、平面弯曲 4、直梁
M ( x) y Iz
2、具有切应力的梁跨长与截面高度之比要求大于5
l 5 h
三、正应力强度条件：
梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力 数学表达式（Mathematical formula)
( Stresses in Beams)
S z * y1dA
* A
z
2
b h 2 y1bdA ( y ) y 2 4 * FS S z FS h2 ( y2 ) I zb 2Iz 4
h/ 2 *
y1
y A1
O B1 A
x
d y1
m1
B
可见,切应力沿 截面高度按抛物线规律变化. y=±h/2(即在横截面上距中性轴最远处) τ=0 y=0(即在中性轴上各点处),切应力达到最大值