第21讲 弯曲应力习题课概要

y
m
n
τmax z
FS h FS h 3 FS max 3 2 bh 8 I z 8 bh 12 3FS max 式中,A=bh,为矩形截面的面积. 2A
2
2
( Stresses in Beams) 截面静矩的计算方法
S z A ydA A y
A为截面面积
中性轴 z 不是横截面的对称轴时(参见图c)，其横截面
上最大拉应力值和最大压应力值为
t,max
Myt ,max Iz
c,max
Myc,max Iz
( Stresses in Beams)
复习——横力弯曲时的 正应力与切应力
一、横力弯曲(Nonuniform bending)
M ( x) y Iz
当梁上有横向力作用时,横截面上既又 弯矩又有剪力.梁在此 种情况下的弯曲称为横力弯曲(Nonuniform bending) 横力弯曲时,梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力使横 截面发生翘曲,横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力,纯 弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立. 虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异,但进一步的分析表明, 工程中常用的梁,纯弯曲时的正应力计算公式,可以用于计算 横力弯曲时横截面上的正应力. 等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为
力的值max为
Mymax M M max Iz I z Wz y max
式中，Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数(section
modulus in bending)，其单位为m3。 b o d z
h
o
z
y
y
( Stresses in Beams)
z
y 为截面的形心坐标
2、工字形截面梁（工-section beam)
A
y
研究方法与矩形截面同,切应力的计算公式亦为
b
x
H h
z
o
FS S I zb
* z
假设求应力的点到中性轴的距离为y.
B y
( Stresses in Beams)
FS S z I zd
* z
*
z
y
O
d —— 腹板的厚度【切应力当地宽度】
( Stresses in Beams)
第21讲 弯曲应力习题课
教学基本要求与教学重点： 【1】复习弯曲正应力、切应力与各符号的意义 【2】会用弯曲正应力与切应力强度条件进行强度分析 【重点】 【3】掌握提高梁强度的主要措施 教学安排： 【1】复习——弯曲正应力与切应力及梁的强度分析 【2】课堂练习1、2、3、4、5【课堂练习，教师提示】 思考题1、2、3、4【课堂讨论，教师归纳】 【3】课外作业
M max max [ ] W
( Stresses in Beams)
四、弯曲切应力
Iz
b
FS S z I zb
*
整个横截面对中性轴的惯性矩 矩型截面的宽度
y
A
*
z
S
* z
距中性轴为y的横线以外部分横截面面积对中性轴的静
矩
1、矩形截面梁的切应力沿截面高度的变化规律
沿截面高度的变化由静矩 S * 与y之间的关系确定 z
( Stresses in Beams)
S z * y1dA
* A
z
2
b h 2 y1bdA ( y ) y 2 4 * FS S z FS h2 ( y2 ) I zb 2Iz 4
h/ 2 *
y1
y A1
O B1 A
x
d y1
m1
B
可见,切应力沿 截面高度按抛物线规律变化. y=±h/2(即在横截面上距中性轴最远处) τ=0 y=0(即在中性轴上各点处),切应力达到最大值

M ( x) y Iz
( Stresses in Beams)
二、正应力公式的应用范围
1、 在弹性范围内 3、平面弯曲 4、直梁
M ( x) y Iz
2、具有切应力的梁跨长与截面高度之比要求大于5
l 5 h
三、正应力强度条件：
梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力 数学表达式（Mathematical formula)
( Stresses in Beams) 复习——纯弯曲正应力公式
实验
变 形 几 何 关 系 物 理 关 系 静 力 关 系
观察变形 提出假设
平面假设 单向受力假设 中性层、中性轴
变形的分布规律

y

y
应力的分布规律
E
1

建立公式
M EI z
中性轴过横截面形心
My Iz
EIz称为抗弯刚度 (Flexural rigidity)
S —— 距中性轴为y的横线以外部分的
横截面面积A*对中性轴的静矩.
A
*
y
max
(a)腹板上的切应力沿腹板高度按二次 抛物线规律变化. (b)最大切应力也在中性轴上.这也是整 个横截面上的最大切应力. z
2 2 FS BH h ( B b) Izb 8 8
τmax τmax
在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切. z (a)沿宽度kk’上各点处的切应力均 假设 汇交于o’Leabharlann Baidu.
(b)各点处切应力沿y方向的分量沿宽 度相等.
( Stresses in Beams)
复习：弯曲正应力与切应力
M ( x) y Iz
Mymax M M max Iz I z Wz y max
FS S I zb
* z
max
FS S
* z max
Izd
• 河海大学材料力学\材料力学.exe
o
τmin y
max min
FS bh
( Stresses in Beams)
max
式中
FS S
* z max
τmax
Izd
τ
z
max
o τmin y d
S
* z max ——
中性轴任一边的半个横截面面
积对中性轴的静矩.
3、圆截面梁(Beam of circular cross section)
( Stresses in Beams) 直梁纯弯曲时中性层的曲率为
M EI z
1
上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。显然，由于纯弯曲时， 梁的横截面上的弯矩M 不随截面位置变化，故知对于等截
面的直梁包含在中性层内的那根轴线将弯成圆弧。
弯曲正应力计算公式：
E
y

My Iz
( Stresses in Beams) 中性轴z为横截面的对称轴时，横截面上最大拉、压应