数字信号处理总结

X (e jw ) =
n=−∞ n =−∞
n = −∞
∑
∞
x ( n )z − n
∑
∞
x( n)e − jwn即：序列在单位圆上的
等于序列的FT zT 等于序列的 几种特殊序列的 3、 、 ⑴ 有限长序列
x x ( n) = {0 ( n )
n1 ≤ n ≤ n2 其它
z 变换的收敛域
一般情况下：收敛域为： 一般情况下：收敛域为： 当 n1 ≥ 0 当 n2 ≤ 0 ⑵ 右边序列 收敛域： 收敛域：
拉氏变换与Z ⑴ 拉氏变换与Z变换
X (z)
z = e ST
z = e sT sT =Hale Waihona Puke BaiduX (e ) = 1 s = 1nz T
S平面与Z平面是多值映射关系 平面与Z
X ( z ) z =eST 1 ∞ 2π = ∑ Xa s − j k T k =−∞ T
∞
2π X a jΩ − j k T
采样序列在单位圆上的Z变换， 采样序列在单位圆上的Z变换，就等于其理想采样信 号的傅立叶变换 序列的傅氏变换与Z ⑶ 序列的傅氏变换与Z变换
ˆ X ( z) z =e jω = X (e jω ) = X a ( jΩ)
Ω=ω / T
1 ∞ ω − 2π k = ∑ Xa j T k =−∞ T
连续信号的付氏变换与序列的Z ∞ ⑵ 连续信号的付氏变换与序列的Z变换
1 ˆ X ( z ) | z = e jΩ T = X ( e j Ω T ) = X a ( j Ω ) = T
jΩ T k = −∞
∑
2π X a jΩ − j k T
X (e
1 )= T
k = −∞
∑
1 0
n≥0
x(n) = e(σ + jw) n = eσ n cos( wn) + jeσ n sin( wn)
x(n) = Asin(wn + ϕ)
③ 任意序列表示 ∞
x ( n) =
k =−∞
∑ x(k )δ (n − k )
N 为整数，则称序列 为整数，
④ 周期序列
x(n) = x(n + N )
序列的能量： ⑤ 序列的能量：
E =
n = −∞
∑ | x(n) |
+∞
2
序列间的运算： ⑥ 序列间的运算： x ( n) + y ( n) = {x ( n) + y ( n)}
x (n)i y ( n) = {x ( n)i y ( n)}
ax ( n) = {ax ( n)}
2.3 离散时间系统 ① 系统 y ( n) = T [ x( n)] ② 线性系统 T [ax1 (n) + bx2 (n)] = aT [ x1 (n)] + bT [ x2 (n)] ③ 非移变系统 y ( n − k ) = T [ x ( n − k )] ④ 线性非移变系统 y ( n) = x ( n) * h( n) 离散卷积运算步骤：折叠移位，相乘，相加。 离散卷积运算步骤：折叠移位，相乘，相加。 ⑤ 离散卷积运算的基本规律 交换律： ⑴ 交换律： y ( n) = x ( n) * h( n) = h( n) * x (n) 结合律： ⑵ 结合律： y (n) = [ x1 (n)* x2 (n)]* h(n)
M
=A
−k
∏ (1 − c z
r =1 N r k =1 k
M
−1
) )
∏ (1 − d z
−1
② 系统稳定性与系统函数的关系 一个稳定的因果系统的系统函数的收敛域是： 一个稳定的因果系统的系统函数的收敛域是：
Rx − <| z |≤ ∞
0 < Rx − < 1
③ 系统的频率响应
H (e ) =
jw n =−∞
）和连续 ）和离散
①连续傅里叶变换（FT）：连续时间，连续频率的傅里叶变换 ； 连续傅里叶变换（ ） 连续时间， ②傅里叶级数（FS）：连续时间，离散频率的傅里叶变换 ； 傅里叶级数（ ）：连续时间， ）：连续时间
序列的傅里叶变换（ ③ 序列的傅里叶变换 （ DTFT） ： 离散时 间 ， ） 连续频率的傅里叶变换； 连续频率的傅里叶变换； 离散傅里叶变换（ ④ 离散傅里叶变换（DFT）：离散时间， 离散 ） 离散时间， 频率的傅里叶变换。 频率的傅里叶变换。
N −1 k =0
k =−∞
∑ X (w − kw )
s
⑷ 抽样与内插
2.7、z变换 、 变换
1、定义： X ( z ) = 、
的收敛域： zT的收敛域：使 X ( z ) 收敛的 z 值 Rx − <| z |< Rx + 2、序列的 zT与FT的关系：当 r = 1 时，则有： 、 的关系： 的关系 则有：
r =−∞
∑X
∞
a
( jΩ − jr Ω s )
③ ④
奈奎斯特抽样定理 Ω s ≥ 2Ω0 频率归一化
jw
⑤信号重建 H ( jΩ ) = {T 0
∞
1 ∞ w 2π X (e ) |w=ΩT = ∑ X a ( j − jr ) T r =−∞ T T
|Ω |≤ |Ω | > Ω Ω
s s
2 2
Ak x( z ) = ∑ 1 − d k z −1 k =1
n
r
Ak = x( z )(1 − d k z −1 ) z =dk
1 a u ( n) ← → 1 − az −1
−a nu (− n − 1) ← → 1 1 − az −1
| z |> a
| z |> a
③
留数定理法
5、 Z变换的性质与定理 6、 Z变换与拉氏变换的关系
⑥ 离散时间信号的取样 ∞ x 时域表示： ⑴ 时域表示： p (n) = x(n)i p(n) = ∑ x( Nk )δ (n − kN ) ⑵ 序列恢复： ⑶ 序列恢复： 频域表示： 频域表示： p ( w) = 1 X N
sin[(π )(t − nT )] T xa (t ) = ∑ x ( nT ) (π )(t − nT ) n =−∞ T
= [ x1 ( n ) * h ( n )]* x2 ( n )
分配律： ⑶ 分配律：
y (n) = x(n) *[h1 (n) + h2 (n)]
= x(n) * h1 ( n) + x( n) * h2 ( n)
⑥ 稳定系统
⑦ 因果系统 h( n) = 0 n < 0 2.4、 2.4、线性非移变系统的差分方程
X ( z) =
∞ n=−∞
z
−1
的幂级数， 的幂级数， 即
x(n) z −n = ⋯ + x(−1) z + x(0) z 0 + x(1) z −1 + x(2) z −2 + ⋯ ∑
所以只要在给定的收敛域内， X(z)展成幂级 所以只要在给定的收敛域内，把X(z)展成幂级 则级数的系数就是序列x(n) x(n)。 数，则级数的系数就是序列x(n)。 ② 部分分式法
0 <| z |< ∞
0 <| z |≤ ∞ 0 ≤| z |< ∞
x(n) = {
x(n) 0
n ≥ n1 其它
| z |> Rx −
特例： 特例：因果序列 n1 ≥ 0 的右边序列 收敛域： 收敛域：Rx − <| z |≤ ∞ ⑶ 左边序列
x ( n) = {
x(n) 0
n ≤ n2 其它
收敛域： 收敛域： | z |< Rx +
n =−∞
⑵ 正弦或复指数信号通过线性非移变系统
x ( n) = e
y ( n) = e
2.6、 2.6、连续时间信号的取样 ① 理想抽样
ɶ xa (t ) = xa (t ) p (t ) =
jw0 n
jw0 n
H (e
jw0
)
n =−∞
∑ x (t )δ (t − nT )
a
∞
② 频谱周期延拓
ɶ ( jΩ) = 1 Xa T
2.8、 2.8、系统函数 Y ( z) H ( z) = ① 定义 X ( z) 从差与方程来看： 从差与方程来看：∑ ak y(n − k ) = ∑ br x(n − r )
k =0
−r
N
M
r =0
Y ( z) = H ( z) = X ( z)
∑b z ∑a z
k =0 k r =0 N r
：
n =−∞
1 x ( n) = 2π
⑵物理定义： 物理定义：
+∞
的频谱， X (e jw ) 表示序列 x(n) 的频谱，w
−∞
∫
X (e jw )e jwn dw
X jw 为数字域频率， 为数字域频率， (e ) 是以 2π 为周期的连续函数。
FT性质 ② FT性质 ③ 离散时间系统的频率响 应 ∞ jw 定义： ⑴ 定义： H (e ) = ∑ h(n)e − jwn
3.1 引言 ① 四种傅立叶变换 连续傅立叶变换（FT） ⑴ 连续傅立叶变换（FT） 傅里叶级数（FS） ⑵ 傅里叶级数（FS） 序列的傅里叶变换（DTFT） ⑶ 序列的傅里叶变换（DTFT） 离散傅里叶变换（DFT） ⑷ 离散傅里叶变换（DFT） ② 说明 ：⑴、⑵、⑶三种变换总有一个域不 是离散的。 是离散的。
4、逆z变换 定义： ⑴ 定义：若 X ( z ) = 则：x(n) =
1
n =−∞
∑ x (n) z
c
∞
−n
Rx − <| z |< Rx +
2π j ∫
X ( z ) z n −1dz
c ∈ ( Rx − , Rx + )
⑵ 逆z变换求法： 变换求法： ① 幂级数法 因为x(n) x(n)的 因为x(n)的Z变换定义为
数字信号处理
电子与通信工程系 数字信号处理精品课团队
1、绪论 、 2、离散时间信号和离散时间系统 、
2.1、概述 、
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 离散时间信号 数字信号 连续时间系统 离散时间系统 模拟系统 数字系统
2.2 离散时间信号
定义： 注意： ① 定义： = {x( n)} ，−∞< n < +∞ 注意：为整 x n 的非整数点， 没有定义。 数，对于 n 的非整数点， x(n) 没有定义。 常见序列： ② 常见序列： n=0 1 单位取样序列： ⑴ 单位取样序列： δ (n) = {0 n ≠ 0 ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ 单位阶跃序列： u(n) = { n < 0 单位阶跃序列： 0≤ n 矩形序列： 矩形序列： RN (n) = {10 其它≤ N −1 实指数序列： 实指数序列：x(n) = a n 复指数序列和正弦序列： 复指数序列和正弦序列：
⑷
双边序列
n = −∞ ~ +∞ ，序列都有非零值。 序列都有非零值。
收敛域： 收敛域： Rx − <| Z |< Rx + ; ⑸ 总结
结论： 结论： 为有理分式的收敛域以极点为边界（ ①序列ZT为有理分式的收敛域以极点为边界（包括 序列 为有理分式的收敛域以极点为边界 0,∞）； ）； ②收敛域内不能包括任何极点，可以包含零点； 收敛域内不能包括任何极点，可以包含零点； ③相同的零极点分别可能对应不同的收敛域，即：不 相同的零极点分别可能对应不同的收敛域， 同的序 列可能有相同的ZT； 列可能有相同的 ； 平面。 ④收敛域汇总：右外、左内、双环、有限长Z平面。 收敛域汇总：右外、左内、双环、有限长 平面
n =−∞
∑ | h( n) | < ∞
∞
∑a
k =0
N
k
y ( n − k ) = ∑ br x (n − r )
r =0
M
2.5、离散时间信号和系统的频域表示 2.5、 离散时间信号的Fourier Fourier变换 ①离散时间信号的Fourier变换 ∞ ⑴定义 jw X (e ) = ∑ x (n)e − jwn
四种傅里叶变换
时间函数 连续和非周期 连续和周期（ 连续和周期（ Tp ） 离散（Ｔ）和非周期 离散（Ｔ）和非周期 （Ｔ） 离散（Ｔ）和周期 离散（Ｔ）和周期 （Ｔ） 频域函数 非周期和连续 非周期和离散（ 非周期和离散（ Ω 0 =
2π T 2π 周期（ 周期（ Ω 0 = T
2π Tp
）
周期（ 周期（ Ωs =
∑
M
∞
h(n)e − jwn
④ 系统零报点对系统频率响应的影响
H ( z) = A
∏ (1 − c z
r =1 N r k =1
−1
)
(1 − d k z −1 ) ∏
H (e jw ) = Ae jw ( N − M )
∏ (e ∏ (e
k =1 r =1 N
M
jw
− cr ) − dk )
jw
第3章 离散傅立叶变换 章
x(n) 为周期
ɶ 序列，且最小周期为 N ，记为 x(n) 序列，
2π ⑴ 当 为整数时，序列是周期性的， 为整数时，序列是周期性的，且周期是 w 2π 2π 为有理数时，序列是周期性的， ⑵ w 为有理数时，序列是周期性的，且周期大于 w
2π w
对于 σ = 0 的复指数序列和正弦序列
⑶
2π 为无理数时，序列是非周期的。 为无理数时，序列是非周期的。 w