数学-高二-必修5人教A版 第一章章末复习课

第一章章末复习课

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[警示·易错提醒]

1．三角形解的个数的确定(易错点)

已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理．

(1)利用正弦定理讨论：若已知a、b、A，由正弦定理a

sin A＝b

sin B，

得sin B＝b sin A

a.若sin B＞1，无解；若sin B＝1，一解；若sin B＜1，

两解．

(2)利用余弦定理讨论：已知a、b、A.由余弦定理a2＝c2＋b2－2cb cos A，即c2－(2b cos A)c＋b2－a2＝0，这是关于c的一元二次方

程．若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形一解；若方程有两不同正数解，则三角形有两解．2．三角形形状的判定方法

判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如：a＝2R sin A，a2＋b2－c2＝2ab cos C等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系

进行判断．此时注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系．如：

sin A＝sin B⇔A＝B；sin (A－B)＝0⇔A＝B；sin 2A＝sin 2B⇔A

＝B或A＋B＝π

2等；二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如：

sin A＝

a

2R(R为△ABC外接圆半径)，cos A＝

b2＋c2－a2

2bc等，通过代数

恒等变换求出三条边之间的关系进行判断．

3.解三角形应用题的基本思路

解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解决．其基本解题思路是：首先分析此题属于哪种类型的问题(如测量距离、高度、角度等)，然后依题意画出示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答．解题时还要注意近似计算的要求．

专题一利用正、余弦定理解三角形(自主研析)

[例1]△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c.

已知c＝2，C＝π3.

(1)若△ABC的面积等于3，求a，b；

(2)若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积．

[自主解答] (1)由余弦定理得a 2＋b 2－ab ＝4.又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4. 联立方程组⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，

解得a ＝2，b ＝2.

(2)由正弦定理已知条件可化为b ＝2a ，

联立方程组⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，

解得a ＝233，b ＝433

， 所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233

. 归纳升华

正、余弦定理应用需注意的三个方面

(1)正弦定理和余弦定理提示了三角形边角之间的关系，解题时要根据题目条件恰当地实现边角的统一．

(2)统一为“角”后，要注意正确利用三角恒等变换及诱导公式进行变形；统一为“边”后，要注意正确利用配方、因式分解等代数变换方法进行变形．

(3)求值时注意方程思想的运用．

[变式训练] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，

a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝

b sin B .

(1)求角B 的大小；

(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .

解：(1)由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2.

由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .

故cos B ＝22

，因此B ＝45°. (2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos45°＋cos 30°sin 45°＝ 2＋64

. 故a ＝b ×sin A sin B

＝1＋ 3. 由已知得，C ＝180°－45°－75°＝60°，

c ＝b ×sin C sin B ＝2×sin 60°sin 45°

＝ 6. 专题二 判断三角形的形状问题

[例2] 已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a 3＋b 3－c 3

a ＋

b －c

＝c 2，且a cos B ＝b cos A ，试判断△ABC 的形状． 解：由a 3＋b 3－c 3

a ＋

b －c

＝c 2， 得a 3＋b 3－c 3＝c 2(a ＋b )－c 3，

所以a 2＋b 2－ab ＝c 2，

所以cos C＝1

2>0，

又因为C∈(0°，180°)，所以C＝60°.

由a cos B＝b cos A，得2R sin A cos B＝2R sin B cos A(R为△ABC 外接圆的半径)，

所以sin(A－B)＝0，

又因为A－B∈(－180°，180°)，

所以A－B＝0°，所以A＝B＝C＝60°，

所以△ABC为等边三角形．

归纳升华

利用正、余弦定理判断三角形形状的方法主要有两种方法：方法一，通过边之间的关系判断形状；方法二，通过角之间的关系判断形状．

利用正、余弦定理可以将已知条件中的边、角互化，把条件转化为边的关系或转化为角的关系．

[变式训练]在△ABC中，若(a2＋b2)·sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A ＋B)，请判断三角形的形状．

解：因为(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，

所以(a2＋b2)(sin A cos B－cos A sin B)＝

(a2－b2)(sin A cos B＋cos A sin B)，

所以2b2sin A cos B－2a2cos A sin B＝0，