第6章刚体的平面运动习题解答080814

第六章 刚体的平面运动

本章要点

一、刚体平面运动的描述

1 刚体的平面运动方程：)(t x x A A =，)(t y y A A =，)(t ϕϕ=.

2 平面图形的运动可以看成是刚体平移和转动的合成运动：刚体的平面运动（绝对运动）便可分解为随动坐标系（基点）的平移（牵连运动）和相对动坐标系（基点）的转动（相对运动）。其平移部分与基点的选取有关，而转动部分与基点的选取无关。因此，以后凡涉及到平面图形相对转动的角速度和角加速度时，不必指明基点，而只说是平面图形的角速度和角加速度即可。 二、平面运动刚体上点的速度

1 基点法：平面图形内任一点B 的速度，等于基点A 的速度与B 点绕基点转动速度的矢量和，即

BA A B v v v +=，

其中BA v 的大小为ωAB

v BA =，方向垂直于AB ，指向与图形的转动方向相一致。 2投影法

速度投影定理：在任一瞬时，平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等，即

AB A AB B v v ][][=

3瞬心法

任意瞬时平面运动图形上都存在速度为零的点，称为该平面图形的瞬时速度中心，简称瞬心。

平面图形上各点速度在某瞬时绕瞬心的分布与绕定轴转动时的分布相同，但有本质区别。绕定轴转动时，转动中心是一个固定不动的点，而速度瞬心的位置是随时间而变化的。

面图形内任意一点的速度，其大小等于该点到速度瞬心的距离乘以图形的角速度，即

ωCM v M =，

其方向与CM 相垂直并指向图形转动的一方。若在某瞬时，0=ω，则称此时刚体作瞬时平移，瞬时平移刚体的角加速度不为零。 解题要领：

1 建立平面运动刚体的运动方程时要注意选取合适的点为基点，以使问题简单，。

2 由于在基点建立的是平移坐标系，因此，相对基点的角速度就是相对惯性坐标系的角速度。

3 平面运动刚体上点的速度计算的3种方法各有所长：基点法包含刚体运动的速度信息，但过程繁杂；速度投影法能快捷地求出一点的速度，但失去角速度信息；瞬心法简单明了和直观是

常用的方法。

4 当用基点法时，要注意基点的速度矢和相对基点的速度矢组成速度平行四边形的两边，对角向才是这一点的速度矢。速度基点法能且只能解2个未知量，因此，在涉及的3个速度中至少有一个速度的大小和方向都是已知的，在画速度平行四边形时先画这个速度。

5 应用速度投影法时，要注意投影是有正负的，两点的速度必须协调，符合刚体的定义。

6 在找速度瞬心时，作速度矢量时要注意各速度的协调，同一刚体上的两点速度方向可以确定速度瞬心的位置。

三、平面运动刚体上点的加速度

平面图形上任意一点的加速度，等于基点的加速度与该点绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和，即

n

t BA BA A B a a a a ++=，

进一步，当基点A 和所求点B 都作曲线运动时，它们的加速度也应分解为切向加速度和法向加速度，上式写为

n

t

t

n

n

t

BA BA A A B B a a a a a a +++=+， 其中 B

B

n

B

v a ρ2=

，A

A

n A

v a ρ2=

，2ωAB a n BA =，αAB a t

BA =，B A ρρ,分别为B A ,点的曲率半径。

特殊地，当刚体作瞬时平移时，0=n

BA a ，有加速度投影定理 AB A AB B ][][a a =. 解题要领

1 加速度基点法一般涉及6个加速度矢量，其中3个法向加速度是与速度或角速度有关，这可以通过速度分析求得，而t

BA a 的方向与B A ,垂直为已知，剩下5个因素中只可以存在2个未知量。

2 一般选加速度的大小和方向都已知的一点为基点。

3 加速度基点法最多涉及6个矢量，应通过列投影式解代数方程求解。投影式中等号一边是B 点加速度的投影，另一边是基点A 的加速度和相对于基点加速度投影的代数和，千万不能写成“平衡方程”的形式。

4 加速度投影定理只在刚体作瞬时平移时成立。

5 可以证明刚体作平面运动时也存在加速度瞬心，即加速度为零的点，但这必须在角速度和角加速度皆已知的情况下才能确定，因此无助于解题，所以没有“加速度瞬心法”。

第七章 刚体的平面运动 习题解答

6-1 椭圆规尺AB 由曲柄OC 带动，曲柄以角速度O

ω绕O 轴匀速转动，如图所示。如r AC BC OC ===，并取C 为基点，求椭圆规尺AB 的平面运动方程。 解：AB 杆作平面运动，设0=t 时，0=ϕ，则t 0ωϕ=。选AB 杆上的C 点位基点，建立平移坐标系y x C ''-，在图示坐标系中，AB 杆在固定坐标系xy O -的位置由坐标

),,(ϑC C y x 确定，所以AB 杆的平面运动方程为：

t r x C 0cos ω=，

t r y C 0sin ω=，

t 0ωϕθ==.

6-2 杆AB 的A 端沿水平线以等速v 运动，在运动时杆恒与一半圆周相切，半圆周半径为R ，如图所示。如杆与水平线的夹角为θ，试以角θ表示杆的角速度。

解： 解法一：杆AB 作平面运动。选取A 为基点，由速度基点法

CA A C v v v +=，

作图示几何关系，图中v v A =，解得

θθsin sin v v v A CA ==，

A B 杆的角速度为 θ

θ

ωcos sin 2R v AC v CA == （逆时针）. 解法二：在直角三角形△ACO 中，x

R

=

ϑsin ，对时间求导，得 x x

R 2

cos -=ϑϑ 其中，ϑ,R x v x

== ，解得A B 杆的角速度为 R

v ϑϑϑcos sin 2-= ，

（负号表示角速度转向与ϑ角增大的方向相反，即逆时针）

题6-1图

题 6-2图