第3章 近独立粒子的量子统计习题解答
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第3章近独立粒子的量子统计（最该然统计理论Ⅱ）
习题解答
3-1 一系统由两个独立粒子组成,每个粒子可处于能量为E
E2,
,0的任一状态中,系统与大热源相平衡.试分别写出下列条件下系统的配分函数:
(1)粒子是可分辨的;
(2)粒子是不可分辨的Bose子;
(3) 粒子是不可分辨的Fermi子.
【解】：(1)、粒子可分辨，系统与大热源相平衡.，说明系统温度一定，而系统能量不没限制，所以粒子在能级上的各种可能的分布为：
用系统配分函数∑-
=
s
E s
eβ
Z可得;
()()(
)()()()()()
(
)
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
β
4
3
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
1
Z
-
-
-
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+
=
(2)、粒子是不可分辨的Bose子，量子态上对粒子数没有限制。系统与大热源相
平衡.，说明系统温度一定，而系统能量不没限制，所以粒子在能级上的各种可
能的分布为：
用系统配分函数∑-
=
s
E s
eβ
Z可得;E
E
E
E e
e
e
eβ
β
β
β4
3
2
2
1
Z-
-
-
-+
+
+
+
=
（3）、粒子是不可分辨的Fermi子，每个量子态上最多容纳一个粒子。系统与大
热源相平衡.，说明系统温度一定，而系统能量不没限制，所以粒子在能级上的
各种可能的分布为：
2E
E
系统 0 E E 2E 4E 2E 2E 3E 3E
能级
2E
E
系统 0 2E 4E E 2E 3E
能级
系统 E 2E 3E
能级
2E
E
用系统配分函数∑-=s
E s e βZ 可得;
E E E e e e βββ32Z ---++=
3-2 试证明:对于理想Bose 气体和理想Fermi 气体有下列关系:
U PV 32
=,
而对于光子气体有下列关系: U PV 3
1
=,
并分析两式不同的原因, 其中,P 、V 、U 分别为气体的压强、体积和内能. 【解】：（1）处在边长为L 的立方体中的理想Bose 气体和理想Fermi 气体，粒子的能量本征值为)()2(21222222z y x n n n n n n L
m m p z
y x ++== πε，z y x n n n ,,=0，±1，… 可记为)(2)2(,,2
2223
3
2
z y x l n n n m
a L V aV ++===- πε
所以U V a V V a P l l l l
l l
3232==∂∂-=∑∑εε，即：U PV 3
2
= （2）处在边长为L 的立方体中的光子气体，光子的能量本征值为
21
2
22)(2z y x n
n n n n n L
c cp z
y x ++== πε，z y x n n n ,,=0，±1，±2，…
可记为2
12
2233
1)(2,,z y x l n n n c h a L V aV ++===-πε
所以U V a V V a P l l l l
l l
3131==∂∂-=∑∑εε，即：U PV 3
1
= 两式不同的原因是：理想Bose 气体和理想Fermi 气体的粒子速度较低，属于非
相对论粒子，而光子速度很大，是相对论粒子。
3-3 电子气体中电子的质量为m , Fermi 能级为0E .求绝对零度下电子气体中电子的平均速度υ和电子气体的压强.
【解】(1)、对自由电子，考虑到自旋后，在体积V 内，动量大小在dp p p +→范围内的量子态密度()dp p V dp p D 2
38
π=
利用mv p =，可得到速率在dv v v +→范围内的量子态密度()dv v m V dv v D 2
33
8 π= 考虑到K T 0=时电子按速率的分布函数
()⎩
⎨⎧><=F F
v v v v v f ,0,1 F v 为K T 0=时电子的费米速