2018 年全国高中数学联合竞赛A 卷试题及解析(含一试及加试)
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1 x 2 f (2 ) 1 ，则不等式组 的解集为_________ ． 1 f ( x) 2
6．设复数 z 满足 z 1 ，使得关于 x 的方程 zx 2 2 zx 2 0 有实裉，则这样的复数 z 的和为 _________． 7．设 O 为△ABC 的外心，若 AO AB 2 AC ，则 sin BAC 的值为_________ ． 8．设整数数列 a1 , a2 , 这样的数列的个数为_ 二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
即P(2,J). 进而自 Xp =IPU I= I,IPSl=2得 U(2, 2), S(4, I)， 代入梢囚C的方程知
1·
5. 设／（x）是定义在E R 上的以2 为周期的偶函数，在区间［O, 1）上严·格边减， 11 < x <2 且满足 ！（ 的＝I, /(2肯）＝ 2， 则不 等式组 的解集为 11 三／（x）三 2
三、 （本题满分 50 分）设 n，k，m 是正整数，满足 k 2 ，且 n m
2k 1 n ．设 A 是{1, 2, k
, m}
n 的 n 元子集．证明：区间 0, 中的每个整数均可表示为 a a ，其中 a, a A ． k 1
四、 （本题满分 50 分）数列 {an } 定义如下： a1 是任意正整数，对整数 n 1 ， an 1 是与 ai 互素， 且不等于 a1 , a2 ,
则这样的数列的个数为 解：设句 ＝ a,.. ,-a， ε ｛ l, 2}(i = 1, 2 ， …· ， 9），贝lj有 2a, = a10 -a， ＝ 乌＋b 2 ＋ …＋句， 答案：80.
② b主 ＋飞＋与＝ as -a2 = as-as =bs +b6 +b1 . 用I表示b2.句句 中值为2的项数．由②知， f 也是马 、 马 ， b7 中值为2的项敛， 2 2 其中Iζ｛0.1. 2. 3｝.因此 b2 , b3 ， … ．鸟的取法数为（C�) 2 + (C �）2 ÷（C;) ÷（C!) = 20. 取定 b2 、鸟，… ， b7 后 ， 任意指定钱 ， 鸟的值，有22 =4种方式． 最后囱①知，应 !fJl b， ε ｛ I. 2｝使得 纠 ＋ bz 十 ··＋ b， 为偶敛，这样的鸟的取法是 。
I� f(x ） 三 2 钟 ！（宵 － 2）三／（x）�／（ 8-2 叶 ，
而I＜π － 2 < 8-2r. < 2 ， 故原不等式组成立当且仅当xE［肯 － 2, 8-2肯｝． 6.设复数z满足l= I=I ， 使得关于，y的方程 x' + 2:x+2 =0有实根 ， 则这样
＝
ຫໍສະໝຸດ Baidu
的复数z的和为 答案：
①
JI在 一 的，并且确定了孩数 a1 的值，进而数列鸟， b2 …· ， 乌唯 一 对应 一个满足条件的 数列。， .a2 . 纷J二可知，满足条件的数列的个数为20x4=80.
二、解答题：本大题共3 ,J、题，满分56分 ． 解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤
9.
（本题满分 16 分〉己知定义 在ER＋ 上的函数／（ λ· ）为 ＜ x 三9, [ llog1 x -11, ： ｛ ／（ λ ） ＝ 「 14--,/x, x>9. 设。 b.c 是三个互不相同的实数，满足／ （a)= /(b)= f(c ） ，求。be 的取值范围 ．
| log3 x 1|, 0 x 0 9． （本题满分 16 分）己知定义在及 R+上的函数 f x 为 f x = ，设 a,b,c 4 x , x 9
, a10 满足 a10 3a1 , a1 a3 2a5 ，且 ai 1 {1 ai , 2 ai } ，i=l，2，…，9，则
是三个互不相同的实数，满足 f (a) f (b) f (c) ，求 abc 的取值范围．
10． （本题满分 20 分）己知数列 a1 , a2 , a3 表示数列的前 n 项和。证明：
满足：对任意正整数 n，有 an 2Sn an 1 ，其中 Sn
（1 ）对任意正整数 n,有 an 2 n ； （2 ）对任意正整数 n,有 an an +1 1 ． 11． （本题满分 20 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设 AB 是抛物线 y 2 4 x 的过点 F（1,0）的 弦，△AOB 的外接圆交抛物线于点 P（不同于点 O，A，B） ．若 PF 平分 APB ．求 PF 的所有 可能值．
分别是F；、凡，椭l2ll c 的弦 ST 与 UV 分别 －＇￥· 行于 x 剿l与y轴 ， 且相交子点P. 己 知线段PU,PS ‘ PV 、 PT 的长分另lj为L 2. 3. 6 ， 则 MF., 凡的朋积为 答案： -Jl5. 解： 由对称性 ， 不妨设 P （，飞·，，， )'p ）在第 一 象限，则由条件知
二、 （本题满分 40 分）如图，△ABC 为锐角三角形，AB<AC，M 为边 BC 的中点，点 D 和 E 分 别为△ABC 的外接圆上弧 BAC 和弧 BC 的中点， F 为△ABC 内切圆在 AB 边上的切点， G 为 AE 与 BC 的交点，N 在线段 EF 上，满足 NB⊥AB 证明：若 BN=EM 则 DF⊥FG． （答题时请将图 画在答卷纸上）
1. 设织合 A= {I, 2, 3、
2018年全国高中数学联合竞赛一试（A卷） 参考答案及评分标准
,99｝‘B={2xjxE A}, C={xl2xε斗 ， 则B门C的元
素个数为 答案：24.
故B门C的元素个数为24.
11 3 991 解：由条件知，snc={2, 4, G， … ， 19S}nj-, I,-. 2， … ， －�＝｛2, 4,6， … ， 48}, 12 2 2 I
, ＝ z. 和为
－ 1＋ 一一一一一 ＋ 一一一一一 ＝－－
./1<
•
_,.J..../1<:
综上，满足条件的所有复数
2 7.设。为D.ABC 的外心，若 A0=AB+2AC ，则 sinLBAC 的值为 一一一一一 答案：子
伞
-1+.Jisi
-1-.Jisi
3．
II r,
解：不失 一 般性 ， 设 t:,.ABC 的外接凶半径 R=2. 白条件知 ， 故 AC ＝ 工 BO=I. 2
2018 年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）
一、填空题：本大题共 8 小题，毎小题 8 分，满分 64 分． 1． 设集合 A 1, 2,3,...,99 ， 则 B C 的元素个数为_________． C {x | 2 x A} ， B {2 x | x A} ， 2．设点 P 到平面 的距离为 3 ，点 O 在平面 上，使得直线与 所成角不小于 30°且不大于 60°，则这样的点 O 所构成的区域的面积为_________． 3．将 1 ，2，3，4，5，6 随机排成一行，记为 a，b，c，d，e，f，则 abc def 是偶数的概率为 _________．
° 角不小于 30 且不大于 60 。 ’ 则这样的点 Q 所构成的区域的面积为
2.设点P到平丽α的距离为 -13 ，点 Q在平丽α上 ， 使得直线 PQ 与。所成
．
答案：如
即 OQ E [I, 3］ ， 放所求的区域面积为 1r. 3 2 -1r · I 2 = 81r .
3. 将 I, 2, 3, 4. 5, 6 随机排成 一 行 ，
－
f·
ax' +2ax+2 =0 ，
bλ·2
解：设： =a+bi(a,bER.a＇ 十以＝1) .
将j京方程改为（α ＋ bi)x＇ 十2（。 － bi)x+2 =0，分离实部与�部后等价于
①
② -2bx=0. 辛!rb=O ， 则。＇ ＝I，但当 a=I 时 ， ①无实数解 ， 从而 <7 ＝叶 ， 此时存在实 数 λ·＝ － ！土 -/3满足①、②，故＝＝ － 1满足条件． 着 bzO，贝I］囱②知xε｛O. 2｝，但显然 x=O 不满足①，故只能是x=2 ， 代 入①隅。＝ 丁 ’进而 b ＝± 子 ， 相应有 ＝＝�
, an 的最小正整数．证明：每个正整数均在数列{an } 中出现．
说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准填空题只设8分和0分两档：其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次． 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一 个档次，第 10 、 11小题5分为一 个档次，不得增加其他中间档次 ． 一、填空题：本六题共8小题 ， 每小题8分 ， 满分64分．
Xp ={-(I PT 扣I)= 2,
4在平面直角坐标系 xOy 中 ， 椭圆C：毛 的左、右焦点 4 ＋ t=l(a>b>O） b’
。
I
YP = {-(IPVI-IPUI) =I,
l l l l , , 4·-::-+4·-,-= 16·-::-+ =l，解待。 2 =20 b ' =5. 血 ＇ ---cα＇ b ＇ι b' 从而 s6PF,F, = I矶l·IYPI＝汇F )lp = JIS.
2AC= AO-AB= BO,
①
取 AC 的中点M
OM 的同侧 ．
且B与A位于直线 AI/C l 于是cosζ BOC= cos (90° ＋ζlv!OC) = -sin LMOC = －－一＝－－－ oc 4
，
，
则 OA! J_ AC ，结合①知 O.M J_ BO
1£!::.BOC 中 ， 由余弦定理得 BC
2018 年全国高中数学联合竞赛加试试题（A 卷）
一、 （本题满分 40 分） 设 n 是正整数，a1 , a2 ,
ai Ai ， i 1, 2,
, n ，且
, an ，b1 , b2 ,
, bn ， A， B 均为正实数， 满足 ai bi ，
b1b2 a1a2
bn B ．证明： an A (b1 +1)(b2 +1) (a1 +1)(a2 +1) (bn 1) B +1 (an 1) A+1
2
＝」OB 斗 OC -20B-OC·cost:.BOC ＝在毛 ，
2
BC J飞白 ：进而在 ！：：.ABC c户，国 iE ！安定理布sin.L归 C ＝ 一－ ＝ 二二－ ． 2R 4 ＝ = 8. 设整数数列 a.,a2, ··,a,0 满足。” 3a., a2 + a8 2as ， 且 。，＋， ε ｛l+a,.2+a，｝、i = l. 2、…， 9 '
1- -'
再结合 f(x） 以2为周期可知 ， ［I, 2］是 ！（ λ ）的严格递增区间． 注意到 所以
解：由 f(x） 为f间组数及在［O. J ］上严格递减知， ！（λ ）在［－ 1, O］上严格递增 ，
答案·［ 肯 － 2、 8-2肯］．
f（ 肯 － 2）＝！（肯）＝I 、 ／（8- 2肯）＝J(-2宵）＝／（2宵）= 2'
主．
解：设们在平面。上的射影为。白条件知， 立 ＝ tanLOQP ｜丘♂ I ' OQ I 3
ε
i己为 a, b,c, d, e,f ，则。be ÷d吃f ；是偶数的
概率为 答案： 解：先考虑。 bc+def ：为奇数的俏况，此时 abc、 d吃f 一 奇一 ｛间，若 abc 为奇敛，
10
则。 ， b,c 为l, 3, 5 的排列 ， 避而 d‘ e,f 为2,4,6的排列，这样有3！×31=36种情况， 由对称性可知 ， 使 abc+def 为奇数的情况数为 36 × 2 =72 种．从而 abc+d，电f 为偶 72 72 9 ＝I－一一＝一． 数的概率为I－一 ' 6 720 JO
x2 y 2 4． 在平面直角坐标系中， 椭圆 C： 2 2 1(a b 0) 的左右焦点分别为 F1 ，F2 椭圆 C 的弦 ST a b
与 UV 分别平行于 x 轴与 y 轴，且相交于 P，己知线段 PU，PS，PV，PT 的长分别为 1，2， 3，6，则△PF1F2 的面积为：_________． 5．设 f ( x) 是定义在 R 上的以 2 为周期的偶函数，在区间[0,1]上严格递减，且满足 f ( ) 1 ，
6．设复数 z 满足 z 1 ，使得关于 x 的方程 zx 2 2 zx 2 0 有实裉，则这样的复数 z 的和为 _________． 7．设 O 为△ABC 的外心，若 AO AB 2 AC ，则 sin BAC 的值为_________ ． 8．设整数数列 a1 , a2 , 这样的数列的个数为_ 二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
即P(2,J). 进而自 Xp =IPU I= I,IPSl=2得 U(2, 2), S(4, I)， 代入梢囚C的方程知
1·
5. 设／（x）是定义在E R 上的以2 为周期的偶函数，在区间［O, 1）上严·格边减， 11 < x <2 且满足 ！（ 的＝I, /(2肯）＝ 2， 则不 等式组 的解集为 11 三／（x）三 2
三、 （本题满分 50 分）设 n，k，m 是正整数，满足 k 2 ，且 n m
2k 1 n ．设 A 是{1, 2, k
, m}
n 的 n 元子集．证明：区间 0, 中的每个整数均可表示为 a a ，其中 a, a A ． k 1
四、 （本题满分 50 分）数列 {an } 定义如下： a1 是任意正整数，对整数 n 1 ， an 1 是与 ai 互素， 且不等于 a1 , a2 ,
则这样的数列的个数为 解：设句 ＝ a,.. ,-a， ε ｛ l, 2}(i = 1, 2 ， …· ， 9），贝lj有 2a, = a10 -a， ＝ 乌＋b 2 ＋ …＋句， 答案：80.
② b主 ＋飞＋与＝ as -a2 = as-as =bs +b6 +b1 . 用I表示b2.句句 中值为2的项数．由②知， f 也是马 、 马 ， b7 中值为2的项敛， 2 2 其中Iζ｛0.1. 2. 3｝.因此 b2 , b3 ， … ．鸟的取法数为（C�) 2 + (C �）2 ÷（C;) ÷（C!) = 20. 取定 b2 、鸟，… ， b7 后 ， 任意指定钱 ， 鸟的值，有22 =4种方式． 最后囱①知，应 !fJl b， ε ｛ I. 2｝使得 纠 ＋ bz 十 ··＋ b， 为偶敛，这样的鸟的取法是 。
I� f(x ） 三 2 钟 ！（宵 － 2）三／（x）�／（ 8-2 叶 ，
而I＜π － 2 < 8-2r. < 2 ， 故原不等式组成立当且仅当xE［肯 － 2, 8-2肯｝． 6.设复数z满足l= I=I ， 使得关于，y的方程 x' + 2:x+2 =0有实根 ， 则这样
＝
ຫໍສະໝຸດ Baidu
的复数z的和为 答案：
①
JI在 一 的，并且确定了孩数 a1 的值，进而数列鸟， b2 …· ， 乌唯 一 对应 一个满足条件的 数列。， .a2 . 纷J二可知，满足条件的数列的个数为20x4=80.
二、解答题：本大题共3 ,J、题，满分56分 ． 解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤
9.
（本题满分 16 分〉己知定义 在ER＋ 上的函数／（ λ· ）为 ＜ x 三9, [ llog1 x -11, ： ｛ ／（ λ ） ＝ 「 14--,/x, x>9. 设。 b.c 是三个互不相同的实数，满足／ （a)= /(b)= f(c ） ，求。be 的取值范围 ．
| log3 x 1|, 0 x 0 9． （本题满分 16 分）己知定义在及 R+上的函数 f x 为 f x = ，设 a,b,c 4 x , x 9
, a10 满足 a10 3a1 , a1 a3 2a5 ，且 ai 1 {1 ai , 2 ai } ，i=l，2，…，9，则
是三个互不相同的实数，满足 f (a) f (b) f (c) ，求 abc 的取值范围．
10． （本题满分 20 分）己知数列 a1 , a2 , a3 表示数列的前 n 项和。证明：
满足：对任意正整数 n，有 an 2Sn an 1 ，其中 Sn
（1 ）对任意正整数 n,有 an 2 n ； （2 ）对任意正整数 n,有 an an +1 1 ． 11． （本题满分 20 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设 AB 是抛物线 y 2 4 x 的过点 F（1,0）的 弦，△AOB 的外接圆交抛物线于点 P（不同于点 O，A，B） ．若 PF 平分 APB ．求 PF 的所有 可能值．
分别是F；、凡，椭l2ll c 的弦 ST 与 UV 分别 －＇￥· 行于 x 剿l与y轴 ， 且相交子点P. 己 知线段PU,PS ‘ PV 、 PT 的长分另lj为L 2. 3. 6 ， 则 MF., 凡的朋积为 答案： -Jl5. 解： 由对称性 ， 不妨设 P （，飞·，，， )'p ）在第 一 象限，则由条件知
二、 （本题满分 40 分）如图，△ABC 为锐角三角形，AB<AC，M 为边 BC 的中点，点 D 和 E 分 别为△ABC 的外接圆上弧 BAC 和弧 BC 的中点， F 为△ABC 内切圆在 AB 边上的切点， G 为 AE 与 BC 的交点，N 在线段 EF 上，满足 NB⊥AB 证明：若 BN=EM 则 DF⊥FG． （答题时请将图 画在答卷纸上）
1. 设织合 A= {I, 2, 3、
2018年全国高中数学联合竞赛一试（A卷） 参考答案及评分标准
,99｝‘B={2xjxE A}, C={xl2xε斗 ， 则B门C的元
素个数为 答案：24.
故B门C的元素个数为24.
11 3 991 解：由条件知，snc={2, 4, G， … ， 19S}nj-, I,-. 2， … ， －�＝｛2, 4,6， … ， 48}, 12 2 2 I
, ＝ z. 和为
－ 1＋ 一一一一一 ＋ 一一一一一 ＝－－
./1<
•
_,.J..../1<:
综上，满足条件的所有复数
2 7.设。为D.ABC 的外心，若 A0=AB+2AC ，则 sinLBAC 的值为 一一一一一 答案：子
伞
-1+.Jisi
-1-.Jisi
3．
II r,
解：不失 一 般性 ， 设 t:,.ABC 的外接凶半径 R=2. 白条件知 ， 故 AC ＝ 工 BO=I. 2
2018 年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）
一、填空题：本大题共 8 小题，毎小题 8 分，满分 64 分． 1． 设集合 A 1, 2,3,...,99 ， 则 B C 的元素个数为_________． C {x | 2 x A} ， B {2 x | x A} ， 2．设点 P 到平面 的距离为 3 ，点 O 在平面 上，使得直线与 所成角不小于 30°且不大于 60°，则这样的点 O 所构成的区域的面积为_________． 3．将 1 ，2，3，4，5，6 随机排成一行，记为 a，b，c，d，e，f，则 abc def 是偶数的概率为 _________．
° 角不小于 30 且不大于 60 。 ’ 则这样的点 Q 所构成的区域的面积为
2.设点P到平丽α的距离为 -13 ，点 Q在平丽α上 ， 使得直线 PQ 与。所成
．
答案：如
即 OQ E [I, 3］ ， 放所求的区域面积为 1r. 3 2 -1r · I 2 = 81r .
3. 将 I, 2, 3, 4. 5, 6 随机排成 一 行 ，
－
f·
ax' +2ax+2 =0 ，
bλ·2
解：设： =a+bi(a,bER.a＇ 十以＝1) .
将j京方程改为（α ＋ bi)x＇ 十2（。 － bi)x+2 =0，分离实部与�部后等价于
①
② -2bx=0. 辛!rb=O ， 则。＇ ＝I，但当 a=I 时 ， ①无实数解 ， 从而 <7 ＝叶 ， 此时存在实 数 λ·＝ － ！土 -/3满足①、②，故＝＝ － 1满足条件． 着 bzO，贝I］囱②知xε｛O. 2｝，但显然 x=O 不满足①，故只能是x=2 ， 代 入①隅。＝ 丁 ’进而 b ＝± 子 ， 相应有 ＝＝�
, an 的最小正整数．证明：每个正整数均在数列{an } 中出现．
说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准填空题只设8分和0分两档：其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次． 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一 个档次，第 10 、 11小题5分为一 个档次，不得增加其他中间档次 ． 一、填空题：本六题共8小题 ， 每小题8分 ， 满分64分．
Xp ={-(I PT 扣I)= 2,
4在平面直角坐标系 xOy 中 ， 椭圆C：毛 的左、右焦点 4 ＋ t=l(a>b>O） b’
。
I
YP = {-(IPVI-IPUI) =I,
l l l l , , 4·-::-+4·-,-= 16·-::-+ =l，解待。 2 =20 b ' =5. 血 ＇ ---cα＇ b ＇ι b' 从而 s6PF,F, = I矶l·IYPI＝汇F )lp = JIS.
2AC= AO-AB= BO,
①
取 AC 的中点M
OM 的同侧 ．
且B与A位于直线 AI/C l 于是cosζ BOC= cos (90° ＋ζlv!OC) = -sin LMOC = －－一＝－－－ oc 4
，
，
则 OA! J_ AC ，结合①知 O.M J_ BO
1£!::.BOC 中 ， 由余弦定理得 BC
2018 年全国高中数学联合竞赛加试试题（A 卷）
一、 （本题满分 40 分） 设 n 是正整数，a1 , a2 ,
ai Ai ， i 1, 2,
, n ，且
, an ，b1 , b2 ,
, bn ， A， B 均为正实数， 满足 ai bi ，
b1b2 a1a2
bn B ．证明： an A (b1 +1)(b2 +1) (a1 +1)(a2 +1) (bn 1) B +1 (an 1) A+1
2
＝」OB 斗 OC -20B-OC·cost:.BOC ＝在毛 ，
2
BC J飞白 ：进而在 ！：：.ABC c户，国 iE ！安定理布sin.L归 C ＝ 一－ ＝ 二二－ ． 2R 4 ＝ = 8. 设整数数列 a.,a2, ··,a,0 满足。” 3a., a2 + a8 2as ， 且 。，＋， ε ｛l+a,.2+a，｝、i = l. 2、…， 9 '
1- -'
再结合 f(x） 以2为周期可知 ， ［I, 2］是 ！（ λ ）的严格递增区间． 注意到 所以
解：由 f(x） 为f间组数及在［O. J ］上严格递减知， ！（λ ）在［－ 1, O］上严格递增 ，
答案·［ 肯 － 2、 8-2肯］．
f（ 肯 － 2）＝！（肯）＝I 、 ／（8- 2肯）＝J(-2宵）＝／（2宵）= 2'
主．
解：设们在平面。上的射影为。白条件知， 立 ＝ tanLOQP ｜丘♂ I ' OQ I 3
ε
i己为 a, b,c, d, e,f ，则。be ÷d吃f ；是偶数的
概率为 答案： 解：先考虑。 bc+def ：为奇数的俏况，此时 abc、 d吃f 一 奇一 ｛间，若 abc 为奇敛，
10
则。 ， b,c 为l, 3, 5 的排列 ， 避而 d‘ e,f 为2,4,6的排列，这样有3！×31=36种情况， 由对称性可知 ， 使 abc+def 为奇数的情况数为 36 × 2 =72 种．从而 abc+d，电f 为偶 72 72 9 ＝I－一一＝一． 数的概率为I－一 ' 6 720 JO
x2 y 2 4． 在平面直角坐标系中， 椭圆 C： 2 2 1(a b 0) 的左右焦点分别为 F1 ，F2 椭圆 C 的弦 ST a b
与 UV 分别平行于 x 轴与 y 轴，且相交于 P，己知线段 PU，PS，PV，PT 的长分别为 1，2， 3，6，则△PF1F2 的面积为：_________． 5．设 f ( x) 是定义在 R 上的以 2 为周期的偶函数，在区间[0,1]上严格递减，且满足 f ( ) 1 ，