弹性力学总结与复习思考题(土木)
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（2）《弹性力学》中应用了哪些基本假定？ 这些基本假定在建立弹性力学基本方程时的作用是什么？ 举例说明哪些使用了这些基本假定？
（3）弹性力学中应力分量的正负是如何规定的？与材料力学中有何 不同？
应力正负号的规定： 正应力—— 拉为正，压为负。 剪应力—— 坐标正面上，与坐标正向一致时为正； 坐标负面上，与坐标正向相反时为正。
（平面应力情形） （2-23） （3）边界条件：
l(x)s m(xy)s X m(y)s l(xy)s Y
（2-18）
3. 常体力下平面问题求解的基本方程与步骤： 直角坐标下
（1） 先由方程（2-27）求出应力函数： (x, y)
x44 2x24y2y44 0
4 0
(2-27)
（2） 然后将 (x, y) 代入式（2-26）求出应力分量： x,y,xy
（2）总势能
2. 变分方程与变分原理 位移变分方程； 虚功方程； 最小势能原理；
3. 求解弹性力学问题的变分法 （1） Ritz 法； （2）最小势能原理； 如何设定位移函数？
4. Ritz 法解题步骤：
（1）假设位移函数，使其位移边界条件；
（2） 计算形变势能 U ；
（3）代入Ritz 法方程求解待定系数； （4）回代求解位移、应力等。 5. 最小势能原理解题步骤： （1）假设位移函数，使其位移边界条件； （2） 计算系统的总势能 ；
弹力: （内容）弹性体在外力或温度作用下的应力、变形、位移等分布规律。
（任务）解决弹性体的强度、刚度、稳定性问题。
2. 弹性力学与材力、结力课程的区别
（1）研究对象 材力： 结力： 弹力：
（2）研究方法 材力：
杆件（直杆、小曲率杆） 杆件系统（或结构） 一般弹性实体结构： 三维弹性固体、板状结构、杆件等
求解方法
函数解 精确解； 近似解；（如：基于能量原理的解）
数值解（如：有限差分法、有限单元法等）
实验方法
二、弹性力学平面问题的求解
1. 平面问题的求解方法 （1）按未知量的性质分：
按位移求解； 按应力求解；
逆解法；
（2）按采用的坐标系分： 直角坐标解答； 极坐标解答；
半逆解法；
2. 平面问题按应力求解的基本方程
说明：
（1）平衡方程
x xyX0
x y
(2-2)
yxy Y0
x y
（1）对应力边界问题，且为单连 通问题，满足上述方程的解 是唯一正确解。
（2）对多连通问题，满足上述方 程外，还需满足位移单值条 件，才是唯一正确解。
（2）相容方程（形变协调方程）
y 2 2 x 2 2 (x y) (1) X x Y y
比例常数 —— 弹性常数（E、μ） 脆性材料—— 一直到破坏前，都可近似为线弹性的； 塑性材料—— 比例阶段，可视为线弹性的。 作用： 可使求解方程线性化 （物理方程）
3. 均匀性假定
假定整个物体是由同一种材料组成 的，各部分材料性质相同。
作用：
弹性常数（E、μ）等——不随位置坐标而变化； 取微元体分析的结果可应用于整个物体。
（平衡方程、几何方程、物理方程）
4. 各向同性假定
假定物体内一点的弹性性质在所有各个方向都相同。 作用： 弹性常数（E、μ）——不随坐标方向而变化；
金属 —— 上述假定符合较好；
木材、岩石 —— 上述假定不符合，称为各向异性材料；
符合上述4个假定的物体，称为理想弹性体。
5. 小变形假定
（物理方程）
x
2
y2
Xx
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
x2
Yy
xy
2
xy
(2-26)
（3） 再让 x,y,xy满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。
l(x)s m(xy)s X m(y)s l(xy)s Y
（2-18）
us u
（2-17）
vs v
三、弹性力学问题求解的能量法
1. 基本概念与基本量
（1）形变势能U、比能U 1；
材力中规定使得单元体顺时针的剪应力τ为正，反之为负。
（1）《弹性力学》与《材料力学）、《结构力学》课程的异同。 1. 研究内容
材力: （内容）杆件在外力或温度作用下的应力、变形、材料的宏观力学性质、 破坏准则等。 （任务）解决杆件的强度、刚度、稳定性问题。
结力: （内容）杆件系统（杆系结构）在外力或温度作用下的应力、变形、位 移等变化规律。 （任务）解决杆系的强度、刚度、稳定性问题。
《弹性力学》课程总结与复习
一、弹性力学问题研究的基本框架：
基本假设与基本量
5个基本假设；
基本量：ui,ij,ij
基本原理 平衡原理 （单元体） 能量原理 （整体）
弹
平衡微分方程
性 力
控制微分方程 几何方程
学 基本方程
物理方程
问
题
应力边界条件
边界条件
位移边界条件
混合边界条件
求解方法
—— 数学上构成偏微分方程的定解问题
（3） 由最小势能原理确定待定系数； （4）回代求解位移、应力等。
四、其它问题
二、试题形式
（1）一点应力状态分析；
简单叙述、计算题；
（2）应力边界条件的列写； （圣维南原理的应用）
各章节的复习思考题
第一章 绪 论
（1）《弹性力学》与《材料力学）、《结构力学》课程的异同。 （从研究对象、研究内容、研究方法等讨论）
借助于直观和实验现象作一些假定，如平面假设等，然 后由静力学、几何关系、物理方程三方面进行分析。
结力： 弹力：
与材力类同。
仅由静力平衡、几何方程、物理方程三方面分析，放弃了 材力中的大部分假定。
弹性力学中的基本假定
1. 连续性假定
整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何空隙。 该假定在研究物体的宏观力学特性时，与工程实际吻合较好；研究
假定位移和形变是微小的，即物体受力后物体内各点位移远远小 物体的原来的尺寸。
作用：
1, 1
建立方程时，可略去高阶微量； 可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。
使求解的方程线性化。 （平衡方程、几何方程、物理方程）
第二章 平面问题的基本理论
（1）两类平面问题的特点？（几何、受力、应力、应变等）。
（2）试列出两类平面问题的基本方程，并比较它们的异同。
物体的微观力学性质时不适用。
作用： 使得σ、ε、u 等量表示成坐标的连续函数。
(x,y,z) xx(x,y,z)
uu(x,y,z)
lim 保证
s
Q 中极限的存在。
s0 s
（平衡方程、几何方程、物理方程）
2. 线弹性假定
假定物体完全服从虎克（Hooke）定律，应力与应变间成线性比例 关系（正负号变化也相同）。
（3）弹性力学中应力分量的正负是如何规定的？与材料力学中有何 不同？
应力正负号的规定： 正应力—— 拉为正，压为负。 剪应力—— 坐标正面上，与坐标正向一致时为正； 坐标负面上，与坐标正向相反时为正。
（平面应力情形） （2-23） （3）边界条件：
l(x)s m(xy)s X m(y)s l(xy)s Y
（2-18）
3. 常体力下平面问题求解的基本方程与步骤： 直角坐标下
（1） 先由方程（2-27）求出应力函数： (x, y)
x44 2x24y2y44 0
4 0
(2-27)
（2） 然后将 (x, y) 代入式（2-26）求出应力分量： x,y,xy
（2）总势能
2. 变分方程与变分原理 位移变分方程； 虚功方程； 最小势能原理；
3. 求解弹性力学问题的变分法 （1） Ritz 法； （2）最小势能原理； 如何设定位移函数？
4. Ritz 法解题步骤：
（1）假设位移函数，使其位移边界条件；
（2） 计算形变势能 U ；
（3）代入Ritz 法方程求解待定系数； （4）回代求解位移、应力等。 5. 最小势能原理解题步骤： （1）假设位移函数，使其位移边界条件； （2） 计算系统的总势能 ；
弹力: （内容）弹性体在外力或温度作用下的应力、变形、位移等分布规律。
（任务）解决弹性体的强度、刚度、稳定性问题。
2. 弹性力学与材力、结力课程的区别
（1）研究对象 材力： 结力： 弹力：
（2）研究方法 材力：
杆件（直杆、小曲率杆） 杆件系统（或结构） 一般弹性实体结构： 三维弹性固体、板状结构、杆件等
求解方法
函数解 精确解； 近似解；（如：基于能量原理的解）
数值解（如：有限差分法、有限单元法等）
实验方法
二、弹性力学平面问题的求解
1. 平面问题的求解方法 （1）按未知量的性质分：
按位移求解； 按应力求解；
逆解法；
（2）按采用的坐标系分： 直角坐标解答； 极坐标解答；
半逆解法；
2. 平面问题按应力求解的基本方程
说明：
（1）平衡方程
x xyX0
x y
(2-2)
yxy Y0
x y
（1）对应力边界问题，且为单连 通问题，满足上述方程的解 是唯一正确解。
（2）对多连通问题，满足上述方 程外，还需满足位移单值条 件，才是唯一正确解。
（2）相容方程（形变协调方程）
y 2 2 x 2 2 (x y) (1) X x Y y
比例常数 —— 弹性常数（E、μ） 脆性材料—— 一直到破坏前，都可近似为线弹性的； 塑性材料—— 比例阶段，可视为线弹性的。 作用： 可使求解方程线性化 （物理方程）
3. 均匀性假定
假定整个物体是由同一种材料组成 的，各部分材料性质相同。
作用：
弹性常数（E、μ）等——不随位置坐标而变化； 取微元体分析的结果可应用于整个物体。
（平衡方程、几何方程、物理方程）
4. 各向同性假定
假定物体内一点的弹性性质在所有各个方向都相同。 作用： 弹性常数（E、μ）——不随坐标方向而变化；
金属 —— 上述假定符合较好；
木材、岩石 —— 上述假定不符合，称为各向异性材料；
符合上述4个假定的物体，称为理想弹性体。
5. 小变形假定
（物理方程）
x
2
y2
Xx
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
x2
Yy
xy
2
xy
(2-26)
（3） 再让 x,y,xy满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。
l(x)s m(xy)s X m(y)s l(xy)s Y
（2-18）
us u
（2-17）
vs v
三、弹性力学问题求解的能量法
1. 基本概念与基本量
（1）形变势能U、比能U 1；
材力中规定使得单元体顺时针的剪应力τ为正，反之为负。
（1）《弹性力学》与《材料力学）、《结构力学》课程的异同。 1. 研究内容
材力: （内容）杆件在外力或温度作用下的应力、变形、材料的宏观力学性质、 破坏准则等。 （任务）解决杆件的强度、刚度、稳定性问题。
结力: （内容）杆件系统（杆系结构）在外力或温度作用下的应力、变形、位 移等变化规律。 （任务）解决杆系的强度、刚度、稳定性问题。
《弹性力学》课程总结与复习
一、弹性力学问题研究的基本框架：
基本假设与基本量
5个基本假设；
基本量：ui,ij,ij
基本原理 平衡原理 （单元体） 能量原理 （整体）
弹
平衡微分方程
性 力
控制微分方程 几何方程
学 基本方程
物理方程
问
题
应力边界条件
边界条件
位移边界条件
混合边界条件
求解方法
—— 数学上构成偏微分方程的定解问题
（3） 由最小势能原理确定待定系数； （4）回代求解位移、应力等。
四、其它问题
二、试题形式
（1）一点应力状态分析；
简单叙述、计算题；
（2）应力边界条件的列写； （圣维南原理的应用）
各章节的复习思考题
第一章 绪 论
（1）《弹性力学》与《材料力学）、《结构力学》课程的异同。 （从研究对象、研究内容、研究方法等讨论）
借助于直观和实验现象作一些假定，如平面假设等，然 后由静力学、几何关系、物理方程三方面进行分析。
结力： 弹力：
与材力类同。
仅由静力平衡、几何方程、物理方程三方面分析，放弃了 材力中的大部分假定。
弹性力学中的基本假定
1. 连续性假定
整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何空隙。 该假定在研究物体的宏观力学特性时，与工程实际吻合较好；研究
假定位移和形变是微小的，即物体受力后物体内各点位移远远小 物体的原来的尺寸。
作用：
1, 1
建立方程时，可略去高阶微量； 可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。
使求解的方程线性化。 （平衡方程、几何方程、物理方程）
第二章 平面问题的基本理论
（1）两类平面问题的特点？（几何、受力、应力、应变等）。
（2）试列出两类平面问题的基本方程，并比较它们的异同。
物体的微观力学性质时不适用。
作用： 使得σ、ε、u 等量表示成坐标的连续函数。
(x,y,z) xx(x,y,z)
uu(x,y,z)
lim 保证
s
Q 中极限的存在。
s0 s
（平衡方程、几何方程、物理方程）
2. 线弹性假定
假定物体完全服从虎克（Hooke）定律，应力与应变间成线性比例 关系（正负号变化也相同）。