高等数学偏导数

授课单元7教案

课题1 偏导数

一、复习

x处的导数，y=f(x)的导数

一元函数y=f(x)在

二、偏导数的概念、

我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自变量的变化率。

例如，一定量的理想气体P ，体积V ，热力学温度T 的关系式为常数）R V RT

P (,= （1）当温度不变时（等温过程），压强P 关于体积V 的变化率为2T V

RT )(-=为常数dV dP （2）当体积V 不变时（等容过程），压强P 关于温度T 的变化率为

V R

dT

dP V =

=常数)(

. 这种变化率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概念，对此给出如下定义。 1、z=f(x,y)在),(00y x 处的偏导数 （1） z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对x 的偏导数

设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某一邻域内有定义, 当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量∆x 时, 相应地函数有增量

f (x 0+∆x , y 0)-f (x 0, y 0).

如果极限

x

y x f y x x f x ∆-∆+→∆)

,(),(lim

00000

存在,

则称此极限为函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对x 的偏导数, 记作

),(00y x x z ∂∂,

)

,(00y x x

f

∂∂, )

,(00y x x

z '

, 或),(00y x f x '.

即 x

y x f y x x f y x f x x ∆-∆+='

→∆)

,(),(lim

),(00000

00

（2）z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对y 的偏导数

)

,(00y x y

z ∂∂=

)

,(00y x y

f ∂∂=)

,(00y x y

z '

=),(00y x f y '=y

y x f y y x f y ∆-∆+→∆)

,(),(lim

00000

2、偏导函数（简称偏导数） (1)z =f (x , y )对自变量x 的偏导函数

如果函数z =f (x , y )在区域D 内每一点(x , y )处对x 的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x 、y 的函数, 它就称为函数z =f (x , y )对自变量x 的偏导函数, 记作

x z ∂∂= x f ∂∂= 'x z =),(y x f x

'x

y x f y x x f x ∆-∆+=→∆),(),(lim 0.

(2) z =f (x , y )对y 的偏导函数

y z ∂∂=y f

∂∂= 'y z =),(y x f y '=y

y x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim 0

说明

（1）由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数并不需要新的方法求

x

z ∂∂时，把y 视为常数

而对x 求导；求

y

z

∂∂时，把x 视为常数而对y 导，这仍然是一元函数求导问题 （2）偏导数的概念还可推广到二元以上的函数. 例如三元函数u =f (x , y , z )在点(x , y , z )处对x 的偏导数定义为 x

z y x f z y x x f z y x f x x ∆-∆+=→∆)

,,(),,(lim

),,(0

例 求z =x 2sin 2y 的偏导数. 解

y x x

z 2sin 2=∂∂, y x y z 2cos 22=∂∂

例 求z =x 2+3xy +y 2在点(1, 2)处的偏导数. 解

y x x

z 32+=∂∂, y x y z 23+=∂∂. 823122

1=⋅+⋅=∂∂==y x x z , 722132

1=⋅+⋅=∂∂==y x y

z 例 设f(x,y)= ,求)0,1(x f '

解 如果先求偏导数),(y x f x '是比较复杂的，但是若先把函数中的y 固定在y = 0，则有 f (x ，0) = 2ln x ，从而x

x f x 2

)0,(=

'，)0,1(x f '=2 说明 求z=f(x,y)在),(00y x 处的偏导数方法

（1）0

0),(),(00y y x x x x y x f y x f =='='

, 0

0),(),(00y y x x y y y x f y x f =='

='

（2）0

]),([

),(000x x x y x f dx d y x f =='

, 0]),([),(000y y y y x f dy

d y x f =='

.

例 设)1,0(≠>=x x x z y , 求证: z

y

z x x z y x 2ln 1=∂∂+∂∂

证

1-=∂∂y yx x

z , x x y z y ln =∂∂ ，z x x x x x yx y x y z x x z y x y y y y 2ln ln 1ln 11=+=+=∂∂+∂∂-. 例 求222z y x r ++=的偏导数. 解

r x z y x x x r =++=∂∂222; r

y z y x y y r =++=∂∂222.

例 已知理想气体的状态方程为pV =RT (R 为常数),求证:

1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂p

T

T V V p . 证 因为V RT p =

, 2V RT V p -=∂∂; p RT V =, p R T V =∂∂; R

pV T =, R V p T =∂∂;

所以

12-=-=⋅⋅-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂pV RT R

V p R V RT p T T V V p .

)ln(2

2

arctan

y x e x

y +