最新2矩阵典型习题解析
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2 矩阵
矩阵是学好线性代数这门课程的基础,而对于初学者来讲,对于矩阵的理解是尤为的重要;许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难,这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候,我们才会发现,原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙!于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时,那么一切问题都会变得那么的简单!
2.1 知识要点解析
2.1.1 矩阵的概念
1.矩阵的定义
由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==组成的m 行n 列的矩形数表
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 2
1
22221
11211
称为m×n 矩阵,记为n m ij a A ⨯=)( 2.特殊矩阵
(1)方阵:行数与列数相等的矩阵;
(2)上(下)三角阵:主对角线以下(上)的元素全为零的方阵称为上(下)
三角阵;
(3)对角阵:主对角线以外的元素全为零的方阵; (4)数量矩阵:主对角线上元素相同的对角阵;
(5)单位矩阵:主对角线上元素全是1的对角阵,记为E ; (6)零矩阵:元素全为零的矩阵。 3.矩阵的相等 设mn ij mn ij b B a A )(;
)(==
若 ),,2,1;,,2,1(n j m i b a ij ij ===,则称A 与B 相等,记为A=B 。
2.1.2 矩阵的运算
1.加法
(1)定义:设mn ij mn ij b B A A )(,)(==,则mn ij ij b a B A C )(+=+= (2)运算规律
① A+B=B+A ;
②(A+B )+C =A +(B+C )
③ A+O=A
④ A +(-A )=0, –A 是A 的负矩阵
2.数与矩阵的乘法
(1)定义:设,)(mn ij a A =k 为常数,则mn ij ka kA )(= (2)运算规律 ① K (A+B ) =KA+KB , ② (K+L )A =KA+LA ,
③ (KL ) A = K (LA )
3.矩阵的乘法
(1)定义:设.)(,)(np ij mn ij b B a A ==则
,)(mp ij C C AB ==其中∑==
n
k kj
ik ij b a
C 1
(2)运算规律
①)()(BC A C AB =;②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( (3)方阵的幂
①定义:A n ij a )(=,则K
k A A A =
②运算规律:n m n m A A A +=⋅;mn n m A A =)( (4)矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。
①BA AB ≠
②;00,0===B A AB 或不能推出
③k k k B A AB ⋅≠)( 4.矩阵的转置
(1)定义:设矩阵A =mn ij a )(,将A 的行与列的元素位置交换,称为矩阵A
的转置,记为nm a A ji T )(=,
(2)运算规律
①;)(A A T T = ②T T T B A B A +=+)(; ③;)(T T KA kA =
④T T T A B AB =)(。
(3)对称矩阵与反对称矩阵
若,A A T =则称A 为对称阵;
A A T -=,则称A 为反对称阵。
5.逆矩阵
(1)定义:设A 为n 阶方阵,若存在一个n 阶方阵B ,使得AB=BA=E ,
则称A 为可逆阵,B 为A 的逆矩阵,记作1-=A B 。
(2)A 可逆的元素条件:
A 可逆0≠⇔A
(3)可逆阵的性质
①若A 可逆,则A -1也可逆,且(A -1)-1 =A ; ②若A 可逆,k ≠0,则kA 可逆,且1
11)(--=
A k
kA ; ③若A 可逆,则A T 也可逆,且T T A A )()(11--=; ④若A ,B 均可逆,则AB 也可逆,且111)(---=A B AB 。 (4)伴随矩阵
①定义:T n ij A A )(*=,其中ij A 为ij a 的代数余子式, ②性质:
i )E A A A AA ==**; ii )1
*-=n A A ;
iii )A A
A n 2
**)(-=;
iv )若A 可逆,则*A 也可逆,且A A
A A 1)()(*11*==-- ③用伴随矩阵求逆矩阵公式:*
11A A
A =
- 2.1.3 方阵的行列式
1.定义:由n 阶方阵A 的元素构成的n 阶行列式(各元素的位置不变)叫
做方阵A 的行列式,记为A 或detA 。
2.性质:
(1)A A T =,
(2)A k kA n =,
(3)B A AB =,
(4)A
A 11=
- 3.特殊矩阵的行列式及逆矩阵
(1) 单位阵E :E E E ==-1;
1;
(2) 数量矩阵kE :;n k kE =当E k
kE k 1)(,01=≠-时 (3)对角阵:
;,*
212
1n n λλλλλλ
=Λ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=Λ则
若021≠n λλλ ,则⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=Λ-n λλλ11
12
11
4. 上(下)三角阵
设nn nn a a a A a a a A
221122
11
,*
=⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝
⎛=则 若0≠A ,则1-A 仍为上(下)三角阵
2.1.4 矩阵的初等变换与初等矩阵
1.矩阵的初等变换 (1)定义:以下三种变换
①交换两行(列);
②某行(列)乘一个不为零的常数k ;
③某行(列)的k 倍加到另一行(列)上去,称为矩阵的初等变换。
2.初等矩阵
(1)定义:将n 阶单位阵E 进行一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵;
交换i ,j 两行(列),记为E (i, j );
第i 行(列)乘以不为零的常数k 记为E(i(k));