第五章向量数与空间解析几何

第五章 向量代数与空间解析几何

本章主要知识点 ◆ 矢量运算 ◆ 平面方程 ◆ 直线方程 ◆ 常见曲面及方程

第一节 向量代数

【主要考点】

（1） 理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，，会球单位向量‘方向余弦、向量在坐标轴 上的投影。

（2） 掌握向量的线性运算，、向量的数量积与向量积的计算方法。 （3） 掌握二向量平行、垂直的条件。

【考点精要】 一、空间直角坐标系

从空间某定点O 做三条互相垂直的数轴，都以O 为原点，有相同的长度单位，分别称

为x 轴，y 轴，z 轴，符合右手法则，这样就建立了空间直角坐标系，称O 为坐标原点。

1. 两点间的=距离

设点()1111,,z y x M ，),,(2222z y x M 为空间两点，则这两点间的距离可以表示为

21221221221)()()(z z y y x x M M d -+-+-==

2. 定比分点公式

),,(z y x M 是AB 的分点：λ=MB

AM

点B A ,的坐标为),,(),,,(222111z y x B z y x A 则

λ

λλλλλ++=++=++=

1,1,12

12121z z z y y y x x x

当M 为中点时，

2

,2,22

12121z z z y y y x x x +=+=+=

二、向量

1.向量的基本概念

（1） 向量的定义 既有大小，又有方向的概量，称为向量或矢量。

（2） 向量的模 向量的大小称为向量的模，用|a |→

AB 或表示向量的模。

（3） 单位向量 模为1的向量称为单位向量。

（4） 零向量 模为0的向量称为零向量，零向量的方向是任意的。 （5） 向量的相等 大小相等且方向相同的向量称为相等的向量。 （6） 自由向量 在空间任意地平行移动后不变的向量，称为自由向量。 （7） 向径 终点为P 的向量→

OP 称为点P 的向径，记为→

OP 。

2.向量的线性运算 （1）向量的加法

①三角形法则 若将向量a 的终点与向量b 的起点放在一起，则以a 的起点为点，

以b 的终点为中点的向量称为向量a 与b 的和向量，记为a+b 。这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则。

② 平行四边形法则 将两个向量a 和b 的起点放在一起，并以a 和b 为邻边作平行四边形，则从起点到对角顶点的向量称为 a + b 。这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则。

向量的加法满足下列运算律 交换律：a + b=b + a

结合律：（a + b ） + c=a + (b + c) （2）向量与数的乘法运算

实数λ与向量a 的乘积是一个向量，称为向量a 与数λ的乘积，记作λa ，并且规定：

①|λa |=|λ||a |;

②当λ>0时，λa 与a 的方向相同；当λ<0时，λa 与a 的方向相反; ③当λ=0时，λa 零向量。

设λ，μ都是实数，向量与数的乘法满足下列运算律： 结合律：λ（μa ）=（λμ）a=μ（λa ）

分配律：（λ+μ）a=λa +μa ，λ（a + b ） =λa +μa 向量的加法运算和向量与数的乘法运算统称为向量的线性运算。

（3）求与a 同向的单位向量的方法 设向量a 是一个非零向量，则与a 同向的单位向量 a

a

e a =

(4)负向量 当λ= -1时，记（-1）a=-a ，则-a 与a 的方向相反，模相等，-a 称为向 量a 的负向量。

（5）向量的减法 两向量的减法（即向量的差）规定为a – b= a +（-1）b

向量的减法也可以按三角形法则进行，只要把a 与b 的起点放在一起，a – b 即是以b 的终点为起点，以a 的终点为终点的向量。 3.向量的坐标表示

（1）基本单位向量i,j,k 分别为与x 轴，y 轴，z 轴同向的单位向量。 （2）向径的坐标表示 点P(321,,a a a )的向径→

OP =k a j a i a 321++或简记为

→

OP {}321,,a a a =

（3）→

21M M 的坐标表示 设以()1111,,z y x M 为起点，以()2222,,z y x M 为终点的向量

→21M M 的坐标表达式为→

21M M k z z j y y i x x )()()(121212-+-+-=

（4）向量a =k a j a i a 321++的模|a |2

32221a a a ++=

4.坐标表示下列向量的线性运算

设a =k a j a i a 321++，b =k b j b i b 321++,则有

(1) a + b =

k b a j b a i b a ）（）（）（332211+++++ (2) a -b =

k b a j b a i b a ）（）（）（332211-+-+- (3) λa=λ(k a j a i a 321++)=k a j a i a 321λλλ++

4.向量的数量积

（1）定义 设向量a,b 之间的夹角为）（πθθ≤≤0，则|a | |b |θcos 为向量a 与b 的数量积，记作a ﹒b ,即a ﹒b=|a ||b |θcos . 向量的数量积又称“点积”或“内积”. 向量的数量积还满足下列运算律: 交换律：a ﹒b=b ﹒a

分配律：(a +b )﹒ c =结合律：λa ﹒c +b ﹒c 结合律：λ(a ﹒b )=(λa )﹒ b (其中λ为常数).

（2）数量积的坐标表示.

设a=a 1i +a 2j +a 3k ,则a ﹒b=a 11b +a 22b +a 33b . (3)向量a 与b 的夹角余弦

设a =a 1i +a 2j +a 3k , b =b 1i +b 2j +b 3k ,则

)0(cos 23

222123

22

21

332211πθθ≤≤++++++=⋅=

b

b b a

a a

b a b a b a b

a b

a

(4) 向量的方向余弦

设向量a =a 1i +a 2j +a 3k 与x 轴，y 轴，z 轴的正向夹角分别为

),,,0(,,πγβαγβα≤≤称其为向量a 的三个方向角，并称γβαcos ,cos ,cos 为a

的方向余弦，向量a 的方向余弦的坐标表示为