上海民办新复兴初级中学数学一元二次方程(培优篇)(Word版 含解析)

上海民办新复兴初级中学数学一元二次方程（培优篇）（Word 版

含解析）

一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）

1．如图1，平面直角坐标系xOy 中，等腰ABC ∆的底边BC 在x 轴上，8BC =，顶点A 在y 的正半轴上，2OA =，一动点E 从(3,0)出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止．另一动点F 从点C 出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O 停止．已知点E 、F 同时出发，以EF 为边作正方形EFGH ，使正方形EFGH 和ABC ∆在BC 的同侧．设运动的时间为t 秒（0t ≥）．

（1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；

（2）设正方形EFGH 与ABC ∆重叠面积为S ，请问是存在t 值，使得9136S =

？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，取AC 的中点D ，连结OD ，当点E 、F 开始运动时，点M 从点O 出发，以每秒25OD DC CD DO ---运动，到达点O 停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．

【答案】（1）t=1；（2）存在，143t =，理由见解析；（3）可能，3455

t ≤≤或4533

t ≤≤或35t ≤≤理由见解析 【解析】

【分析】

（1）用待定系数法求出直线AC 的解析式，根据题意用t 表示出点H 的坐标，代入求解即可；

（2）根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136

S =，故t ﹥4,用待定系数法求出直线AB 的解析式，求出点H 落在BC 边上时的t 值，求出此时重叠面积为

169﹤9136，进一步求出重叠面积关于t 的表达式，代入解t 的方程即可解得t 值；

（3）由已知求得点D （2，1），

AC=

结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长．

【详解】

（1）由题意，A(0，2)，B(-4，0)，C(4，0)，

设直线AC 的函数解析式为y=kx+b ，

将点A 、C 坐标代入，得：

402k b b +=⎧⎨=⎩，解得：122

k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AC 的函数解析式为122

y x =-+， 当点H 落在AC 边上时，点E(3-t ，0)，点H （3-t ，1），

将点H 代入122

y x =-+，得： 11(3)22

t =--+，解得：t=1； （2）存在，143t =，使得9136

S =． 根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136S =

，故t ﹥4， 设直线AB 的函数解析式为y=mx+n ，

将点A 、B 坐标代入，得：

402m n n -+=⎧⎨=⎩，解得：122

m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AC 的函数解析式为122

y x =+， 当t ﹥4时，点E （3-t ，0）点H （3-t ，t-3），G(0，t-3)， 当点H 落在AB 边上时，将点H 代入122y x =

+，得： 13(3)22t t -=-+，解得：133

t =； 此时重叠的面积为221316(3)(

3)39t -=-=， ∵169﹤9136，∴133

﹤t ﹤5， 如图1，设GH 交AB 于S ，EH 交AB 于T,

将y=t-3代入122y x =+得：1322t x -=+， 解得：x=2t-10，

∴点S(2t-10，t-3)， 将x=3-t 代入122y x =+得：11(3)2(7)22

y t t =-+=-， ∴点T 1(3,(7))2t t --，

∴AG=5-t ，SG=10-2t ，BE=7-t ，ET=1(7)2

t -， 211(7)24BET S BE ET t ∆=

=-, 21(5)2

ASG S AG SG t ∆==- 所以重叠面积S=AOB BET ASG S S S ∆∆∆--=4-

21(7)4t --2(5)t -=2527133424t t -+-， 由2527133424t t -+

-=9136得：1143t =，29215t =﹥5(舍去)， ∴143

t =；

（3）可能，35

≤t≤1或t=4． ∵点D 为AC 的中点，且OA=2,OC=4，

∴点D （2，1），AC=255

易知M 点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动；

当0﹤t ﹤

12时，M 在线段OD 上，H 未到达D 点，所以M 与正方形不相遇； 当12﹤t ﹤1时， 12+12÷（1+4）=35

秒， ∴t =

35时M 与正方形相遇，经过1÷（1+4）=15秒后，M 点不在正方行内部，则

3455t ≤≤； 当t=1时，由（1）知，点F 运动到原E 点处，M 点到达C 处；

当1≤t≤2时，当t=1+1÷（4-1）=43秒时，点M 追上G 点，经过1÷（4-1）=13

秒，点M 都在正方形EFGH 内（含边界），

4533t ≤≤ 当t=2时，点M 运动返回到点O 处停止运动，

当 t=3时，点E 运动返回到点O 处, 当 t=4时，点F 运动返回到点O 处,

当35t ≤≤时，点M 都在正方形EFGH 内（含边界），

综上，当

3455t ≤≤或4533

t ≤≤或35t ≤≤时，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）．

【点睛】

本题考查了一次函数与几何图形的综合，涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．

2．如图，在四边形ABCD 中，9054ABC BCD AB BC cm CD cm ∠=∠=︒===，，点P 从点C 出发以1/cm s 的速度沿CB 向点B 匀速移动，点M 从点A 出发以15/cm s 的速度沿AB 向点B 匀速移动，点N 从点D 出发以/acm s 的速度沿DC 向点C 匀速移动．点P M N 、、同时出发，当其中一个点到达终点时，其他两个点也随之停止运动，设移动时间为ts ．

（1）如图①，

①当a 为何值时，点P B M 、、为顶点的三角形与PCN △全等?并求出相应的t 的值； ②连接AP BD 、交于点E ，当AP BD ⊥时，求出t 的值；

（2）如图②，连接AN MD 、交于点F ．当3

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a t ==，时，证明：ADF CDF S S ∆∆=．