2016-2017学年甘肃兰州新区舟曲中学高二下学期期末考试数学(理)试题

新舟中学2016—2017学年度第二学期期末考试
高二年级 数学(理科)试卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上)
1．已知集合A ＝{－2，－1,0,1,2}，{}
21B x x =-<<，则A ∩B ＝ ( )
A ．{－1,0,1}
B ．{0,1}
C ．{－1,0}
D ．{0,1,2} 2.i 是虚数单位，=
( )
A ．
B ．
C ．
D ．
3.为了得到函数cos(21)y x =+的图象，只需将函数cos 2y x =的图象上所有的点 ( ) A ．向左平移
12个单位长度 B ．向右平移1
2
个单位长度 C ．向左平移1个单位长度 D ．向右平移1个单位长度
4.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是 ( )
A ．0.42
B ．0.28 C.0.3 D ．0.7
5. 等差数列{}n a 中，23439a a a =+=，，则8a 的值为 ( )
A ． 8
B ．9 C. 10 D ．11
6．已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝
( )
A ．30° B．45° C ．60° D ．120°
7.已知一个几何体的正视图、侧视图、俯视图都是腰长为1的等腰直角三角形
（如图所示），则该几何体的体积是 ( )
A ．1
B ．
12 C ．13 D ．16
8.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a 、b 分
别为2、1，则输出的n = ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
9. 设是m,n 两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题正确的是 ( )
A ．//m α，//n β且//αβ，//m n
B ．m α⊥，n β⊥且αβ⊥，m n ⊥ C. m α⊥，n β⊂，m n ⊥，则αβ⊥ D ．m α⊂，n α⊂，//m β，//n β则//αβ
10 已知实数y x ,满足24
122x y x y x y +≥⎧⎪
-≥⎨⎪-≤⎩
，则2
z x y
=+的最小值是 ( ) A. 4-
B. 2-
C. 2
D. 4
11.设双曲线 22
21(0)9
x y a a -=>的一条渐近线方程
为
，则a=
( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
12. 下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是 ( ) A ．1
y x
=
B ．
y= C ．y=lg x D ．y=|x|﹣1
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知α∈（，π），且sin α
=，则tan α的值为 ．
14．已知m ∈R ，向量a ＝(m ，1)，b
＝(2，－6)，且
，则m ＝ ．
15． 已知扇形的半径为6，圆形角为120°，则扇形的弧长为 ． 16.．二项式6
2
1()x x -
的展开式中的常数项为 ． 三 解答题（本大题共6小题，共70分）
17．(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c. (1)A=45°,B=60°,a=2,求b 的值
(2)若△ABC 的面积为32，
2,3c A π
==
，求,a b 的值；
18. (本小题满分12分)如图，三棱锥P­ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC ＝3，∠ACB ＝π
2，AC=2.
D ，
E 分别为线段AB ，BC 上的点，且CD ＝DE ＝2，CE ＝2EB ＝2. 证明：(1)求三棱锥P­ABC 的体积； (2)证明DE ⊥平面PCD .
19. (本小题满分12分)某校高三共有900名学生，高三模拟考之后，为了了解学生学习情
况，用分层抽样方法从中抽出若干学生此次数学成绩，按成绩分组，制成如下的频率分布表：组号第一组第二组第二组第四组
分组[70，80) [80，90) [90，100) [100，110)
频数 6 4 22 20
频率0.06 0.04 0.22 0.20
组号第五组第六组第七组第八组
分组[110，120) [120，130) [130，140) [140，150]
频数18 a 10 5
频率 b 0.15 0.10 0.05
(1)若频数的总和为c，试求a，b，c的值；
(2)估计该校本次考试的数学平均分.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆方程为
2
2
2
41(0)
y
x a
a
+=>
，其离心率为
3
2，直线
（1）求椭圆的方程；
(2) 当直线与椭圆有公共点时，求实数的取值范围
21（本小题满分12分）已知点1
(2,+2ln 2)2
在函数f(x)＝a
x ＋2ln x 的图象上
(1)求参数a 的值； (2讨论函数f(x)的单调性
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. (本小题满分10分)已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩
⎨⎧=+=θθ
sin 2cos 21y x （θ
为参数）．
（1）将圆C 的参数方程转化为直角坐标方程；
（2）以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程.
新舟中学2016—2017学年度第二学期期末考试
高二年级数学（理科） 参考答案（评分标准）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．3
4
-
14 .3 15. 16. 15
三、解答题
17.解：（1）b=………………………6分
（2）3a =
，1b =………………………12分
18.（1）-P ABC V =3………………………6分
（2）证明：由PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ， 得PC ⊥DE
由CE ＝2，CD ＝DE ＝2，得△CDE 为等腰直角三角形， 故CD ⊥DE.
由PC∩CD ＝C ，DE 垂直于平面PCD 内两条相交直线， 故DE ⊥平面PCD. ………………………12分 19. 解：(1)因为频率和为
1，所以b ＝0.18，
又因为频率＝频数
样本容量
，所以c ＝100，a ＝15. ………………6分
(2)根据频率分布表估计该校本次考试的数学平均分为75×0.06＋85×0.04＋95×0.22＋105×0.2＋115×0.18＋125×0.15＋135×0.1＋145×0.05＝110……12分
20. 解：（1）设22
241(0)y x a a
+=>
，
，2
2
2
c a b =-,
32c a =
,3
1,2
a c ∴==.椭
圆方程为
……………….6分
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C
A
A
C
B
A
D
B
B
C
C
D
（2） ………………..12分
21.解：(1)1a
=……4分
(2) f(x)的定义域为(0，＋∞)，()f x '＝
2x －1x 2，
所以当0<x<12时，()f x '<0，当x>1
2
时，()f x '>0，
故函数f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，＋∞上单调递增．…
…………………12分
22
解：圆C 的参数方程为12cos 2sin x y θ
θ
=+⎧⎨=⎩（θ为参数）
∴普通方程为22(1)4x y -+=，…………………………………………………5分 ∴圆C 的极坐标方程为：22(cos 1)(sin )4ρθρθ-+=整理得
22cos 3ρρθ-=．…………………………………………………10分。