概率论3讲第三章 随机事件的概率教学内容

P (A )3 g 9 04 50 .0 3 1 6 9 3 g 9 21 4 2 6
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为了计算各种复杂事件的概率, 同时为 了揭露概率的本质, 在古典概型的情形 下, 证明如下定理.
定理 两个互斥事件A与B的和事件的概 率, 等于事件A与事件B的概率之和, 即
P(A+B)=P(A)+P(B)
概率的这种定义, 称为概率的古典定义
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例1 从一批由90件正品, 3件次品组成的 产品中, 任取一件产品, 求取得正品的概 率.
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解 设想把这些产品进行编号. 比如, 把90 件正品编为1#,2#,...,90#, 把3件次品依次 编成91#,92#,93#. 则所有可能的试验结 果的全体为U={1,2,...,93}, 其中i表示"取 得编号为i的一件产品"(i=1,2,...,93), 是两 两互斥的, 出现的可能性相等. 取得正品 就是事件A={1,2,...,90}出现, 所以取得正 品的概率为
90g3 P(A1) 93g92
3g90 P(A2) 93•92
P(A) P(A1 A2) PA1P(A2)
90g3 3g90 45 93g92 93•92 713
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例4 从0,1,2,3这四个数字中任取三个进 行排列. 求"取得的三个数是三位数且是 偶数"的概率.
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于是, 所要的概率可规定为
区 区间 间 [120,,32)的 的长 长度 度 23012
1 2
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又如, 设一个粒子位于容积为V的容器内 各点处的可能性相等, 即位于容器内的 任何部分的可能性与这部分的容积成比 例. 于是, 这粒子位于这容器内体积为v 的一个部分区域D内的概率可规定为
概率论第3讲
第三章 随机事件的概率
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随机事件虽然有偶然性的一面, 即它在 一次试验中, 可能发生, 也可能不发生; 但是在大量重复试验中, 人们还是可以 发现它是有内在规律性的, 即它出现的 可能性的大小是可以"度量"的. 随机事 件的概率就是用来计量随机事件出现的 可能性大小的一个数字, 它是概率论中 最基本的概念之一.
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例如, 在一个均匀陀螺的圆周上均匀地 刻上区间[0,3)上的诸数字, 旋转这陀螺. 要合理地规定"陀螺停下时其圆周与桌 面接触点的刻度间位 12,于 2上 区 "的概
率, 由于陀螺及刻度的均匀性, 它停下时 其圆周上各点与桌面接触的可能性相等百度文库 即接触点的刻度位于在[0,3)内的一个区 间上的可能性与这区间的长度成比例.
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解 事件A表示"排成的数是三位数且是偶 数"; 事件A0表示"排成的数是末位为0的 三位数"; 事件A2表示"排成的数是末位 为2的三位数". 由于三位数的首位数不 能为零, 所以
P (A 0)4 3 3 2 1 2 P (A 2 )4 2 3 2 2 1 显然, A0, A2互斥. 由上述定理得
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证 设U={e1,e2,...,en},
A { e k 1 ,e k 2 , L ,e k r } ,B { e l 1 ,e l 2 , L ,e l s }
因此 P(A)r, P(B)s.
n
n
按互斥性, A与B没有共同元素, 所以
A B { e k 1 ,e k 2 , L ,e k r ,e l 1 ,e l 2 ,L ,e l s } ,
P(A)90300.968 93 31
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例2 从例1的这批产品中, 接连抽取两件 产品, 第一次抽出后的产品并不放回去, 求第一次取得次品且第二次取得正品的 概率.
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解 设想将这些产品按例1的办法编号, 抽 到的结果可用一对有序数组(i,j)表示, i,j 表示第一,第二次取得的产品的号数. 所 有试验结果可由所有这种数组的全体表 示, 共有9392种. 事件A表示"第一次取 得次品且第二次取得正品", 可由i取91到 93且j取1到90的数组表示, 共有390种. 因此
从而
P (A B )r srs P (A ) P (B ) n nn
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例3 对于例2中的试验, 求"取得两件产品 为一件正品, 一件次品"的概率.
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解 设事件A为"取得两件产品为一件正品,
一件次品"; 事件A1为"第一次取得正品, 而且第二次取得次品, 事件A2为"第一次 取得次品且第二次取得正品". 则A1,A2互 斥, 且A=A1+A2. 因此
区 容域 器 D的 的容 容积 积 Vv
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以上两个例子中, 都以等可能性为基础, 借助于几何上的度量(长度,面积,体积或 容积等)来合理地规定概率, 用这种方法 规定的概率称为几何概率.
5 P (A )P (A 0A 2)P (A 0) P (A 2) 1 2
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第二节 几何概率
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对于试验的可能结果有无穷多个的情形, 概率的古典定义显然是不适用了. 为了 克服这个局限性, 我们仍以等可能性为 基础把这个定义作必要的推广, 使得推 广后的定义能适用于有无穷多个不同试 验结果且各个基本事件具有等可能性的 情形.
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第一节 古典概型 概率的古典定义
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讨论一类简单的随机试验, 其特征是: (1) 可能的试验结果的个数是有限的. 把 这些试验结果记作e1,e2,...,en, 其全体记 作U={e1,e2,...,en}; (2) 两两互斥的诸基本事件 {e1},{e2},...,{en}出现的可能性相等.
这时, 称所讨论的问题是古典概型的.
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对于古典概型的情形, 设所有可能的试 验结果的全体为U={e1,e2,...,en}, 事件
A{ek1,ek2,L,ekr}
其中k1,k2,...,kr为1,2,...,n中指定的r个不 同的数, 则定义事件A的概率为
P(A)
r n
A中包含的试验结果数 的个 总的试验结果的个数