参数方程与普通方程的互化
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y=t2+1/t2
x sin
(2)
y
cos2
步骤：（1）消参； （2）求定义域。
（1）（x-2）2+y2=9 （2）y=1- 2x2（- 1≤x≤1） （3）x2- y=2（X≥2或x≤- 2）
2.求参数方程
x
y
|
cos
2 1 (1 2
sin
2
sin )
|, (0
2
)
表示
（
）
（（（（DABC））））抛抛双双物物曲曲线线线线的的的的一一一一部部支支分分，，，，这这这这支支部部过过分分点点过过（（（（1–，1–12，1112，，）12）1：））；； 2
参数方程和普通方程的互化：
（1）普通方程化为参数方程需要引入参数
如：①直线L 的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程
x
y
t, 2t
（t为参数）
2.
②在普通方程xy=1中，令x = tan,可以化为参数方程
x tan ,
y
cot .
（为参数）
（2）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程
一、曲线的参数方程
在过去的学习中我们已经掌握了一些求曲
线方程的方法，在求某些曲线方程时，直 接确定曲线上的点的坐标x,y的关系并不容 易，但如果利用某个参数作为联系它们的 桥梁，那么就可以方便地得出坐标x,y所要 适合的条件，即参数可以帮助我们得出曲 线的方程f(x,y)＝0。下面我们就来研究求曲 线参数方程的问题。
例4 求椭圆 x2 y2 1的参数方程。 94
(1)设x=3cos，为参数；
(2)设y=2t，t为参数.
解（1）把 x 3cos 带入椭圆方程，得到 9cos2 y2 1
94
y2 4 1 cos2 4sin2 y 2sin
于是
y 2sin
由参数
的任意性，可取x
y
3cos
如：①参数方程
x a r cos , y b r sin.
消去参数
可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.
②参数方程
x
t,
（t为参数）
y 2 t 4.
通过代入消元法消去参数t ,
可得普通方程：y=2x-4 （x≥0）
注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保 持一致。
,
2sin
因此椭圆的参数方程为
（ 为参数）
（2）把 y 2t 代入椭圆方程，得
x2 4t 2
1 x2 9 1 t 2 , x 3
1 t2
94
因此椭圆的参数方程为
x 3
1t2 ,
y 2t
和
x 3 1 t 2
（t为参数）
y 2t
思考：为什么（2）中的两个参数方 程合起来才是椭圆的参数方程？
分析 一般思路是：化参数方程为普通方程
求出范围、判断。
解
∵x2=
(c
os
2
sin )2
2
=1+sin=2y，
普通方程是x2=2y，为抛物线。
∵
x | cos sin | 2 sin( ) ，又0<<2，
22
24
0<x 2 ，故应选（B）
说明 这里切不可轻易去绝对值讨论，平方法
是最好的方法。
x t
且以
y
t
2
代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.
注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值
范围保持一致。否则，互化就是不等价的.
小结
普通方程
引入参数 消去参数
参数方程
（2）把 x sin cos 平方后减去 y 1 sin2
得到 x2 y x sin cos
2 sin
因为 x 2, 2
4
所以
因此，与参x2 数 方y 程x等 价2, 的2普通方程是
练习、1.将下列参数方程化为普通方程：
x 2 3cos
(1)
y
3sin
x=t+1/t
(3)
将曲线的参数方程化为普通方程，有利 于识别曲线的类型。
曲线的参数方程和普通方程是曲线
方程的不同形式。一般地，可以通过消
去参数而从参数方程得到普通方程。如
果知道变数x,y中的一个与参数t的关系，
例如 x f t ，把它代入普通方程，求
出另一个变数与参数的关系 y gt
那么
x f t
y
gt
源自文库
就是曲线的参数方程。
3、参数方程和普通方程 的互化
由参数方程
x y
cos sin
3,
(
为参数)直接判断点M的轨迹的
曲线类型并不容易，但如果将参数方程转化为熟悉的普通
方程，则比较简单。
由参数方程得：
cos sin
x y
3,sin2
cos2
(x
3)2
y2
1
所以点M的轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆。
练习: 曲线y=x2的一种参数方程是（ ）.
A 、
x y
t2 t4
B 、
x y
sin sin
t
2
t
C、x t y t
D、
x y
t t
2
分析: 在y=x2中，x∈R, y≥0，在A、B、C中，x,y的范围都
发生了变化，因而与 y=x2不等价； 而在Ｄ中，
x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，
例3、把下列参数方程化为普通方程， 并说明它们各表示什么曲线？
(1)x= t 1 (t为参数) y 1 2 t
(2)xy=s1insinc2os (为参数).
解：(1)因为x t 1 1所以 t x 1 代入 y 1 2 t 所以普通方程是y 2x （3 x 1) 这是以（1，1）为端点的一条射线（包括端点）
x sin
(2)
y
cos2
步骤：（1）消参； （2）求定义域。
（1）（x-2）2+y2=9 （2）y=1- 2x2（- 1≤x≤1） （3）x2- y=2（X≥2或x≤- 2）
2.求参数方程
x
y
|
cos
2 1 (1 2
sin
2
sin )
|, (0
2
)
表示
（
）
（（（（DABC））））抛抛双双物物曲曲线线线线的的的的一一一一部部支支分分，，，，这这这这支支部部过过分分点点过过（（（（1–，1–12，1112，，）12）1：））；； 2
参数方程和普通方程的互化：
（1）普通方程化为参数方程需要引入参数
如：①直线L 的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程
x
y
t, 2t
（t为参数）
2.
②在普通方程xy=1中，令x = tan,可以化为参数方程
x tan ,
y
cot .
（为参数）
（2）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程
一、曲线的参数方程
在过去的学习中我们已经掌握了一些求曲
线方程的方法，在求某些曲线方程时，直 接确定曲线上的点的坐标x,y的关系并不容 易，但如果利用某个参数作为联系它们的 桥梁，那么就可以方便地得出坐标x,y所要 适合的条件，即参数可以帮助我们得出曲 线的方程f(x,y)＝0。下面我们就来研究求曲 线参数方程的问题。
例4 求椭圆 x2 y2 1的参数方程。 94
(1)设x=3cos，为参数；
(2)设y=2t，t为参数.
解（1）把 x 3cos 带入椭圆方程，得到 9cos2 y2 1
94
y2 4 1 cos2 4sin2 y 2sin
于是
y 2sin
由参数
的任意性，可取x
y
3cos
如：①参数方程
x a r cos , y b r sin.
消去参数
可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.
②参数方程
x
t,
（t为参数）
y 2 t 4.
通过代入消元法消去参数t ,
可得普通方程：y=2x-4 （x≥0）
注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保 持一致。
,
2sin
因此椭圆的参数方程为
（ 为参数）
（2）把 y 2t 代入椭圆方程，得
x2 4t 2
1 x2 9 1 t 2 , x 3
1 t2
94
因此椭圆的参数方程为
x 3
1t2 ,
y 2t
和
x 3 1 t 2
（t为参数）
y 2t
思考：为什么（2）中的两个参数方 程合起来才是椭圆的参数方程？
分析 一般思路是：化参数方程为普通方程
求出范围、判断。
解
∵x2=
(c
os
2
sin )2
2
=1+sin=2y，
普通方程是x2=2y，为抛物线。
∵
x | cos sin | 2 sin( ) ，又0<<2，
22
24
0<x 2 ，故应选（B）
说明 这里切不可轻易去绝对值讨论，平方法
是最好的方法。
x t
且以
y
t
2
代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.
注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值
范围保持一致。否则，互化就是不等价的.
小结
普通方程
引入参数 消去参数
参数方程
（2）把 x sin cos 平方后减去 y 1 sin2
得到 x2 y x sin cos
2 sin
因为 x 2, 2
4
所以
因此，与参x2 数 方y 程x等 价2, 的2普通方程是
练习、1.将下列参数方程化为普通方程：
x 2 3cos
(1)
y
3sin
x=t+1/t
(3)
将曲线的参数方程化为普通方程，有利 于识别曲线的类型。
曲线的参数方程和普通方程是曲线
方程的不同形式。一般地，可以通过消
去参数而从参数方程得到普通方程。如
果知道变数x,y中的一个与参数t的关系，
例如 x f t ，把它代入普通方程，求
出另一个变数与参数的关系 y gt
那么
x f t
y
gt
源自文库
就是曲线的参数方程。
3、参数方程和普通方程 的互化
由参数方程
x y
cos sin
3,
(
为参数)直接判断点M的轨迹的
曲线类型并不容易，但如果将参数方程转化为熟悉的普通
方程，则比较简单。
由参数方程得：
cos sin
x y
3,sin2
cos2
(x
3)2
y2
1
所以点M的轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆。
练习: 曲线y=x2的一种参数方程是（ ）.
A 、
x y
t2 t4
B 、
x y
sin sin
t
2
t
C、x t y t
D、
x y
t t
2
分析: 在y=x2中，x∈R, y≥0，在A、B、C中，x,y的范围都
发生了变化，因而与 y=x2不等价； 而在Ｄ中，
x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，
例3、把下列参数方程化为普通方程， 并说明它们各表示什么曲线？
(1)x= t 1 (t为参数) y 1 2 t
(2)xy=s1insinc2os (为参数).
解：(1)因为x t 1 1所以 t x 1 代入 y 1 2 t 所以普通方程是y 2x （3 x 1) 这是以（1，1）为端点的一条射线（包括端点）