行列式的几种解法
求解行列式的若干方法
求解行列式的若干方法一、矩阵的行列式的基本定义行列式是以n阶方阵A=[a1,a2,a3,…an] 为参数，为定义a1,a2,a3,…an 线性相关性的函数。
它称为行列式又称为阵列式，记作|A|或det A。
二、行列式的四则运算法以n阶方阵A，B为例，记|A|=a，|B|=b，行列式满足下面的法则：（1）交换行（列）：|A|= -|A'| ；（4）把存在因子分解：|A|= |A'| * |A''|。
三、行列式解法法（1）基本思想：用行列式的四则运算法把行列式分割成较小的子矩阵，最终分解成只有一项的1x1的方阵，此时，行列式的值就求得了。
（2）实施步骤：1. 找出行列式某行（列）的第一项不为零的行列(r,s)，将这两项的所在的行（列）和其余的行（列）外的元素全部给"抹去"成新的矩阵；2. 令，行列式的记号变成，其中，为原行列式A中第r行（列）抹去后元素组成的矩阵，为原行列式A第r行（列）第s个元素；3. 如果新行列式A1的阶数>1，则重复第一步，令A1的矩阵的行列式变成。
令A1的第一行（列）第一个非零元素的行（列）及其余列（行）外的元素成新的矩阵，及抹去后原矩阵A1的第一行（列）第一个非零元素；4. 如此反复，最终，A1,A2,A3,…,An可以减少到一项元素，行列式的值就可求出；设有A为3阶方阵：[1,2,-3;2,1,3;3,2,1]步骤1：A的第一列第一个非零元素为1，第一行第一个非零元素的行=1，把第一行与第一列的行和元素外的元素抹去，有：A1=|-3|= -3步骤2：A1的值令为A[1]=-3，则A的值：四、Gauss-Jordan 消去法将一个n阶方阵A，转换为 n阶单位方阵1. 首先将一个方阵A与单位方阵合并成一个新的方阵H；2. 使用行列式的基本四则运算法，把H分解成上三角A1和下三角A2矩阵的叠加；3. 把A1及A2的元素分别乘以一个常数因子，使得所有非零元素都变成1；4. 将A1和A2叠加起来，即可得到一个n阶单位方阵，此时的A的行列式的值就求出来了。
八大类型行列式及其解法
八大类型行列式及其解法一、行列式的定义行列式是一个重要的线性代数概念，用于刻画矩阵的性质和求解线性方程组。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)或|A|。
行列式的定义如下：对于2阶方阵A = [a11 a12] ，其行列式定义为det(A) = a11 * a22 - a12 * a21。
对于3阶及以上的方阵，行列式的定义并不直观，可以通过划线法、拉普拉斯展开等方法进行计算。
接下来，我们将介绍八大类型的行列式及其解法。
二、二阶行列式二阶行列式的计算非常简单，直接应用行列式的定义即可。
对于2阶方阵A =[a11 a12；a21 a22] ，其行列式计算公式为：det(A) = a11 * a22 - a12 * a21。
三、对角行列式对角行列式是指所有非对角元素都为0的行列式。
对于n阶对角行列式A =diag(a1, a2, …, an)，其行列式计算公式为：det(A) = a1 * a2 * … * an。
四、三角行列式三角行列式是指所有主对角线以下元素为0的行列式。
对于n阶上三角行列式A，其行列式计算公式为：de t(A) = a11 * a22 * … * ann。
五、上三角行列式上三角行列式是指所有主对角线及以上元素为0的行列式。
对于n阶上三角行列式A，其行列式计算公式为：det(A) = a11 * a22 * … * ann。
六、下三角行列式下三角行列式是指所有主对角线及以下元素为0的行列式。
对于n阶下三角行列式A，其行列式计算公式为：det(A) = a11 * a22 * … * ann。
七、轮换行列式轮换行列式的计算是一种常用的方法，可以通过对行列式中元素的位置进行变换，从而简化计算过程。
对于n阶轮换行列式A，其行列式计算公式为：det(A) = a1 * a2 * … * an。
八、范德蒙行列式范德蒙行列式是一类特殊的行列式，可以应用于插值、多项式拟合等问题中。
对于n阶范德蒙行列式A，其行列式计算公式为：det(A) = Π i<j (xi - xj)。
行列式的求解方法
行列式的求解方法
行列式是线性代数中的一种非常重要的概念，它是由一个方阵所组成的一个数值。
计算行列式的主要方法有数学归纳法、按行（列）展开法、初等变换法等。
数学归纳法是一种基于数学归纳的方法，适用于递归定义的行列式计算。
具体做法是先将一些小规模的行列式的值求出，再利用这些小规模行列式的值求出更大规模的行列式。
按行（列）展开法也是求解行列式的一种主要方法。
该方法将一个行列式按照其中的某一行或某一列展开成一些小的行列式，通过递归地计算这些小行列式，最终计算出原始行列式的值。
初等变换法是一种求解行列式的简便方法。
该方法将一个矩阵通过一系列基本初等变换（交换行、交换列、加减倍数行、加减倍数列）转化为一个上（下）三角矩阵，从而求出行列式的值。
利用初等变换法求得的行列式的值，可以相对较快地得到行列式的一些性质，如行列式的奇偶性。
除了以上三种方法，还有伴随矩阵法、克莱姆法、Schur补等
方法来求解行列式。
其中，伴随矩阵法和Schur补法是求解高
维行列式时的常用方法，克莱姆法则适用于方程组解法中的行列式求解。
总而言之，行列式在线性代数中具有重要的地位，也是各种求解方法的一个基础，通过不同的方法可以求解不同大小、不同
类型的行列式，对于学习和应用线性代数都具有十分重要的意义。
行列式的性质及求解方法
行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。
一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。
1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。
- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。
- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。
- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。
计算行列式的方法
计算行列式的方法
计算行列式的方法有以下几种：
1. 代数余子式展开法：根据行列式的定义，可以将行列式转化为一系列元素相乘的和的形式。
通过选择一行或一列，在该行或该列的元素上除去所在行和所在列的元素，得到的余子式再乘以该元素的代数余子式，最后将所有元素相乘再求和，即可得到行列式的值。
2. 初等行变换法：通过对行（列）进行初等行变换，将行列式转化为上三角形矩阵或者对角矩阵，再计算对角元素的乘积即可得到行列式的值。
3. 克莱姆法则：对于n阶方阵，如果其中一个行（列）向量是常数向量，那么行列式的值为零。
如果矩阵的秩(rank)小于n，则行列式的值也为零。
如果秩等于n，则行列式的值等于解向
量的唯一性解的行列式的乘积。
4. 拓展拉普拉斯定理：对于n阶方阵，如果其中一行（列）全是零元素，那么行列式的值为零。
对于非零元素的行列式，可以选择行、列中的一个固定不变，然后计算每个代数余子式的值再与该行（列）元素相乘，最后相加得到行列式的值。
行列式的计算方法
行列式的计算方法①俞美华（东南大学成贤学院基础部，江苏南京210088）行列式的计算方法有很多种，这里主要讨论以下几种情况：化三角形法、拉普拉斯公式、范德蒙德行列式、伞形行列式、降阶展开法、数学归纳法、抽象行列式的计算.一、上（下）三角行列式的值等于主对角线元素的乘积a 11a 12…a 1n 0a 22…a 2n 00…a nnD ===a 11·a 22…a nn a 110…0a 21a 22…0a 1n a 2n …a nn例1.计算行列式D =1254021300420005解：这是个上三角行列式，利用公式得D =1254021300420005=1·2·4·5=40二、拟上（下）三角行列式等于副对角线元素的乘积，前面加上适当的正负号a 11a 12…a 1，n -1a 1，na 21a 22…a 2，n -10a n 10…00D =00…0a 1n 0…a 2，n -1a 2n a n 1a n 2…a n ，n -1a nn ==(-1)n (n -1)2·a 1n ·a 2，n -1…a n 1例2.计算行列式D =21134415301210042000-10000解：这是个拟上三角行列式，利用公式得D =21134415301210042000-10000=(-1)5×(5-1)2·4·3·1·2·（-1）=-24三、两个特殊的拉普拉斯展开式A *O B =A O*B =A B ，O A B *=*A B O =（-1）mn·A Bm ，n 分别是矩阵A ，B 的阶数.例3.计算行列式D =1200034000001120003500004解：利用拉普拉斯公式得D =1200034000001120003500004=1234·112035004=（-2）·1·3·4=-24.①基金项目：新工科背景下的应用型高校线性代数新形态教材建设研究（省级项目）。
行列式计算方法的研究
| | | | |
= [a +(n - 1)b](a - b)n-1
解法二：可将各行减去第 1 行，化为爪型行列
式，再化为上三角行列式。
1.3 降阶法
利用行列式按行（列）展开定理或拉普拉斯定
理将其降成低阶行列式计算。按行（列）展开前一
般需要利用行列式的性质将某行（列）化为只有一
个非零元素的行（列）。若行列式中出现大片的零
行列式是线性代数课程中的一个基本概念，也 是解决一些数学问题的重要工具。行列式的出现 源于线性方程组的求解，是由德国数学家莱布尼茨 和日本数学家关孝和发明的。后来，瑞士数学家克 莱姆对行列式的定义和展开法则作出了比较完整、 明确的阐述，并给出了现在所称的解线性方程组的 克莱姆法则 。 [1，2] 行列式在数学分析、几何学、运筹 学、线性方程组理论和二次型理论等多方面有着重 要的应用。除了数学学科上的应用之外，其在物理 学、力学、天文学以及其他技术学科中也有广泛应 用[3，4]。行列式的理论奠定了高等数学的理论基础， 同时也为数学在现实生活中的广泛运用提供了理 论依据，因此行列式的计算是线性代数教学中的重 要内容之一。其计算方法较多，技巧性较强。要想 掌握好行列式的计算，首先需具体分析所求行列式 的特点和元素的规律性，针对其特征采取适当的方 法。其次，通过做题不断总结，积累经验。本文通 过分析一些具体行列式的结构特点，介绍了常见的 9 种计算具体行列式的方法，给出了一些计算抽象 型行列式的技巧。
找出 n 阶行列式与较低阶行列式之间的递推关系
式 ，再 解 出 此 行 列 式 。 一 般 递 推 关 系 式 有 以 下 两
种情形:
（1）若 n 阶行列式满足 aDn + bDn-1 + c = 0 ，需再找 出 Dn 与 Dn-1 的另一个关系式，联立方程组解出 Dn ;
行列式计算中的复杂问题计算行列式主要有以下两方面的问题：第一...
行列式计算中的复杂问题计算行列式主要有以下两方面的问题：第一、字母行列式（以字母为元素的行列式）的计算，常用的有以下几种方法：1 定义法应用行列式的定义来计算其值的方法，称为定义法.2 标行列式法此法的具体做法是利用行列式的性质及其展开定理，将原行列式化为三角形行列式或范德蒙行列式.3 分裂行列式法此法的具体做法是，利用行列式的性质，将原行列式分成若干个易于计算的行列式之和.4 递推法利用行列式的性质，把给定的n阶行列式D。
用同样形式的n一1阶(或更低阶)的行列表示出来(即找出递推关系式)，然后根据递推关系式求出D).5 加边法(升阶法)此法是在原行列式的基础上增加一行一列即升一阶，且不改变原行列式的值(增加的一行一列一般由1和0组成).6 归纳法利用不完全归纳法寻找行列式的猜想值，再用数学归纳法给出这个猜想值的严格证明.7 利用拉普拉斯定理在计算行列式时，我们通常是按一行(列)展开，但假如行列式中某些行(列)含有很多0元素，我们按这些行(列)展开，计算要更简便些.8 分离线性因子法若行列式有一些元素是变量二(或参变量)的多项式，可将行列式看作一个多项式f(x)，然后利用行列式的性质，求出f(x)的互素的一次因式，使得.f(x )与这些一次因式的乘积g(x)只相差一个常数因子k，即f(x) = kg(x)，比较f(x)与g(x)的系数，确定k的值.这些方法都是求解某些特殊的字母行列式比较方便，对一般的字母行列式如何求解还很困难。
第二、高阶行列式的计算当行列式的阶数增大时，计算复杂度会成倍增大，如何针对不同类型的行列式，找到最快，最节省空间的计算方法，并开发出相应的计算机程序，是一个十分重要的问题。
对于某些典型的高阶行列式,可根据其特点采用多种解法计算如应用三角形法、加边法、递推法、数学归纳法、求根法等，对于一般的高阶方阵（一般在万阶上）一般要用外部存储的辅助或采用压缩方式存储。
常用的压缩方式为提取最多的公共元素，剩下的用链表或循环链表存储。
行列式计算的归纳
⾏列式计算的归纳线性代数真难，⽽且这个学期就要结课。
学到现在（矩阵的分块），个⼈感觉最难的还是⾏列式的计算。
哎哎。
不过好在这些东西很有套路性，经过⼀番学习后，我就来总结⼀下——⾏列式的分类第⼀类 范德蒙德⾏列式D n =a 10a 20⋯a n 0a 11a 21a n 1⋮⋮a 1n −1a 2n −1⋯a n n −1这个⾏列式的特点：某元素若是x 次幂，那么它下⽅的那个元素（若存在）就是x +1次幂。
为了消去这个x 与x −1的差距，不妨试试每⼀⾏减去上⼀⾏元素乘以a 1D n =11⋯10a 2−a 1a n −a 10a 2(a 2−a 1)a n (a n −a 1)⋮0a 2n −2(a 2−a 1)a n n −2(a n −a 1)按第⼀列展开D n −1=a 2−a 1⋯a n −a 1a 2(a 2−a 1)a n (a n −a 1)⋮a 2n −2(a 2−a 1)a n n −2(a n −a 1)提取公因式D n −1=(a 2−a 1)⋯(a n −a 1)1⋯1a 2⋯a n ⋯⋯⋯a 2n −2⋯a n n −2⼀直循环这个过程，直到⾏列式被彻底化⼲净，得到image也就是D n =∏1≤j <i ≤n (a i −a j )第⼆类 双对⾓线⾏列式||||||||D n =a 1b 1a 2b 2a 3b 3⋯⋯b n a n形如这种，主对⾓线以及紧挨着主对⾓线的那⼀条线（即次对⾓线）上有⾮零元素，还有⼀个⾮零元素被挤到⾓落（为什么有⼀个元素被挤到⾓落了？因为如果没有这个被挤到⾓落的元素话，这个⾏列式就是个三⾓⾏列式，太好算了hhh ），其它所有元素都为0。
解法：只需给第⼀列展开即可。
特别注意n∏i =1b i 的符号！D n =n∏i =1a i +(−1)n +1n∏i =1b i第三类 箭头⾏列式（⽖型⾏列式）此类⾏列式以形状酷似箭头⽽得名。
下⾯是⼀个箭头⾏列式。
行列式的计算方法
引言 (1)一、行列式的定义及性质 (2)（一）行列式的定义及相关公式 (2)(二)n级行列式的性质: (4)二、行列式的计算 (6)（一)行列式的基本计算方法 (6)1、定义法: (6)2、三角形法： (7)3、降阶法: (12)4、换元法： (14)5、递推法: (15)6、数学归纳法： (16)7、目标行列式法： (18)（二)行列式的辅助计算方法 (19)1、加边法： (19)2、析因子法： (21)3、连加法： (21)4、拆项法： (22)5、乘积法： (23)结束语 (24)参考文献： (26)行列式的计算方法摘要行列式是线性代数理论中极其重要的组成部分，是高等数学的一个基本的概念。
行列式产生于解线性方程组中，并且也是最早应用于解线性方程组中,并且在其他学科分支都有广泛的应用,可以说它是数学、物理学以及工科许多课程的重要学习工具.行列式也为解决实际问题带来了许多方便。
本文针对行列式这一数学工具，进行系统讨论，从不同的角度理解了行列式的定义，重点证明了行列式性质,介绍一些展开定理，总结了行列式的几种计算方法，如定义法、三角形法、降阶法、换元法、递推法、数学归纳法及目标行列式法.辅助方法有：加边法、析因子法、乘积法、连加法、拆项法等,并结合例题说明行列式计算的技巧性和灵活性。
关键词行列式，计算方法，线性方程组。
The Calculation of DeterminantLiuHui（College of Mathematics and Physics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China）Abstract The determinant is the extremely important constituent in the linear algebra theory, it is a basic concept of higher mathematics。
2-4行列式计算解析
例4 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
1 1
x1 Dn x12
x1n1
x2 x22 x2n1
证 用数学归纳法
1 “归纳法”之例
xn
x
2 n
( xi x j ). (1)
例 1 求解行列式 1 3 3 3 “降阶法”之例 3 2 3 3
D 3 3 3 3 333 9
解 注意到行列式的第 3行、第 3列元素全为 3，所 以可以用第3列的(1)倍加到其余各列上去，再行观察，
1 3 3 3 2 0 3 0 3 2 3 3 0 1 3 0 D 3 3 3 3 0 0 3 0 333 9 0 0 3 6
( xi x j ).
ni j1
例 5 计算下列 n 阶行列式 “分块矩阵法”之例
a
1
a A
1
a
解 将第 n 行依次换到第2行，再将第n列依次
换到第 2列，即得 a1
1a
A
a
a
利用分块矩阵行列式的性质
Akk
O AB
O Bp p
即得
a1
a
1a
a1 a
A
a
1a
a n 1b b b a
1 b b b
1 a b b
a (n 1)b 1 b a b
1 b b a
1b b b
第1行的 (-1) 倍分别加到 其余各行！
ab
a (n 1)b
0 a b
行列式的计算(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】行列式的计算方法摘要：行列式计算的技巧性很强．理论上，任何一个行列式都可以按照定义进行计算，但是直接按照定义计算而不借助于计算机有时是不可能的．本文在总结已有常规行列式计算方法的基础上，对行列式的计算方法和一些技巧进行了更深入的探讨．总结出“定义法”、“化三角形法”、“滚动消去法”、“拆分法”、“加边法”、“归纳法”、“降级法”、“特征值法”等十几种计算技巧和途径． 关键词： 行列式 计算方法行列式是研究某些数的“有规”乘积的代数和的性质及其计算方法.它起源于解线性方程, 以后逐步地应用到数学的其它领域.行列式的计算通常要根据行列式的具体特点,采用相应的计算方法. 这里介绍几种常见的,也是行之有效的计算方法. 1.对角线法则对角线法则是行列式计算方法中最为简单的一种，记忆起来很方便，但它只适用于二阶和三阶行列式，四阶及以上的行列式就不能采用此方法．2.定义法根据行列式定义可知，如果所求的行列式中含的非零元素特别少(一般不多于n 2个) ，可以直接利用行列式的定义求解，或者行列式的阶数比较低(一般是2阶或者3阶) ．如果对于一些行列式的零元素(若有)分布比较有规律，如上(下) 三角形行列式以及含零块形式的行列式可以考虑用定义法求解．例1 计算行列式004003002001000这是一个四级行列式，在展开式中应该有24!4=项．但是由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少了．我们具体地来看一下．展开式中项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的那些项；同理，只需考虑32=j ，23=j ，14=j 这些列指标的项．这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a 这一项，而6)4321(=τ，这一项前面的符号应该是正的． 所以原式=2443210004003002001000=⋅⋅⋅= 3.化为三角形计算法例2 计算行列式1078255133********-------解：1017008160017251307139124392602634260172513071391107825513315271391--=------=-------3122400021001725130713911017002100172513071391-=-----=----=这个例子尽管简单, 但化三角形这一方法, 在计算行列式中占有十分重要的地位,而化为三角形的方法又有很多种, 下面介绍的1、2、3、4这三种都可以作为化三角形的几种手段, 当然它们除化为三角形外, 还有其它的作用．3.1各行(或列)加减同一行(或列)的倍数适用于加减后某一行（列）诸元素有公共因子或者三角形的情形 例3 计算行列式nn n n n ny x y x y x y x y x y x y x y x y x d +++++++++=111111111212221212111解：当3≥n 时，各列减去第一列 得：0)()(1)()(1)()(1112112122121112111=--+--+--+=y y x y y x y x y y x y y x y x y y x y y x y x d n n n n n n之所以等于零，是因为有两列成比例． 另外，当2=n 时，))((1111121222122111y y x x y x y x y x y x --=++++这个例子还附带说明, 有时题目并没有指定级数, 而行列式之值与级数有关时, 还需进行讨论说明．3.2各行(或列)加到同一行(或列)上去适用于各列(行)诸元素之和相等的情况. 例4 计算行列式ab b b b b a b bb b a=∆解：把所有各列都加到第一列上去， 得：1)]()1([000001])1([111])1([)1()1()1(---+=---+=-+=-+-+-+=∆n b a b n a ba b a b b b b n a ab b b b a bb b b n a ab b b n a b b a b n a b b b b n a3.3 逐行(或列)相加减有一些行列式能通过逐行相加、减得到很多的零。
行列式计算方法
行列式计算方法1、 定义法：适用于0比较多的行列式．2、 按行（列）展开 ─ 降阶．适用于某行（列）0较多的行列式.3、 利用7条基本性质，化为三角形行列式4、 其他方法1）、析因子法例：计算221123122323152319x D x -=-解：由行列式定义知D 为x 的4次多项式．又，当1x =±时，1，2行相同，有0D =， 1x ∴=±为D 的根．当2x =±时，3，4行相同，有0D =， 2x ∴=±为D 的根．故D 有4个一次因式，1,1,2,2x x x x +-+-设 (1)(1)(2)(2),D a x x x x =+-+-令0x =，则112312231223152319D ==-， 即：1(1)2(2)12.a ⋅⋅-⋅⋅-=- 3.a ∴=-3(1)(1)(2)(2)D x x x x ∴=-+-+-2）、 ①、 可转为箭形行列式的行列式：箭形行列式：01211122000,0,1,2,3.0n n i nna b b b c a D c a a i n c a +=≠=箭形行列式解法：把所有的第1i +列(1,2)i n =的iic a -倍加到第1列，得： 11201()ni in n i ib c D a a a a a +==-∑某些行列式（关于对角线对称的行列式）可转为箭形行列式计算，例如12111111)1111na a a a +++ 12)n a x x xa xb xxxa方法：第2至第n 行分别减去第1行，转为箭形行列式，自己练习． ②、 么型的行列式：112232111231,0, 1,2,3.n i n n n n na b a ba D a i nb a bc c c c a ----=≠=解法：第1列的11b a -加于第2列；第2列的22b a -加于第3列；……；第1n -列的11n n b a ---加于第n 列，即可变为三角形行列式。
n行列式解法
n行列式解法
n行列式是一个方阵，其有n行n列。
我们可以使用不同的方法来解决n行列式问题。
1. 全展开法：对于一个n行列式，我们可以使用全展开法来求解。
即将该行列式按照任意一行或一列展开为n个n-1阶行列式的乘积之和。
这样我们就可以逐步求解出所有的n-1阶行列式，直到得到1阶行列式为止。
2. 克拉默法则：对于一个n行n列的线性方程组，我们可以使用克拉默法则来求解n行列式。
该方法利用了行列式的性质，通过求解系数矩阵的各个子行列式来得到未知数的值。
3. 初等变换法：对于一个n行n列的行列式，我们可以利用初等变换法来求解。
通过对行列式进行一系列的初等行变换或初等列变换，将其转化为一个简单的行列式，从而求解出行列式的值。
这些方法都可以用来解决n行列式的问题，具体选择哪种方法取决于具体情况和个人偏好。
希望以上能对您有所帮助！如果有任何其他问题，请随时提问。
行列式的计算方法常见
用数k乘以某一行， 等于用数k乘以此行 列式。
交换任意两行，行列 式的值不变。
范德蒙德行列式定义及性质
若某一行全为0，则此行列式为0。
若某一行是两组数的和，则此行列式可以拆分为两个行列式的和，其中每个行列 式分别由这两组数构成。
雅可比行列式定义及性质
01
02
03
行列式的计算方法常见
目录
• 行列式基本概念与性质 • 二阶与三阶行列式计算 • 高阶行列式计算技巧 • 克拉默法则与拉普拉斯展开定理 • 范德蒙德行列式和雅可比行列式 • 线性方程组与矩阵方程求解方法
01
行列式基本概念与性质
行列式定义及表示方法
行列式的定义
行列式是数学中的一个重要概念，它是一个数表，由n行n列元素按一定规则排列而成。行列式表示了线性方程 组系数矩阵的一种性质，可以用来判断线性方程组是否有解，以及解的唯一性雅可比行列式是 向量微积分中的一个重 要概念，特别是在求解 重积分和偏微分方程的 变量替换时。对于一个 从n维欧氏空间到n维欧 氏空间的函数映射，其 雅可比矩阵是一个n×n 的矩阵，其元素为函数 的偏导数。雅可比行列 式则是这个矩阵的行列 式。
性质：雅可比行列式具 有以下性质
若函数映射是可逆的， 则其雅可比行列式不等 于0。
拉普拉斯展开定理内容和证明
拉普拉斯展开定理（Laplace's Expansion Theorem）是行列式计算 中的一个重要定理。
证明过程可以通过数学归纳法和行列式的性 质进行，具体步骤包括验证n=1和n=2时的 基本情况，以及假设n-1时定理成立，推导n 时的情况。
它表明，在n阶行列式中，任意取定k行（列 ），由这k行（列）元素所组成的一切k阶子 式与其代数余子式的乘积之和等于行列式的 值。
行列式的计算方法
行列式的计算方法1 引言行列式的计算是《线性代数》和《高等代数》的一个重要内容．同时也是工程应用中具有很高价值的数学工具，本文针对几种常见的类型给出了计算行列式的几种典型的方法．2 一般行列式的计算方法2.1 三角化法利用行列式的性质把原来的行列式化为上(下)三角行列式，那么，上(下)三角行列式的值就是对角线各项的积．例 1 计算行列式12311212332125113311231 ------=n n n n n nn n n n D对这个行列式的计算可以用三角化方法将第1行乘以(-1)加到第2,3,n 行，得0001002000200010001231 ---=n n n n D再将其第1,2,1, -n n 列通过相邻两列互换依次调为第n ,,2,1 列，则得102001321)1(2)1(--=-n n D n n=)!1()1(2)1(---n n n2.2 加边法有时为了便于计算行列式，特意把行列式加边升阶进行计算，这种方法称之为升阶法．它的一般方法是：nn n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a D 321333323122322211131211==nnn n n n na a ab a a a b a a a b 212222121121110001(n b b b ,,21任意数)例如下面的例题： 例2 计算行列式nn a a a a D ++++=11111111111111111111321现将行列式n D 加边升阶，得na a a D +++=111011101110111121第1行乘以(-1)加到第1,3,2+n 行，得na a a D10001001001111121----=第2列乘以11a 加到第1列，第3列乘以21a 加到第1列，依次下去直到第1+n 列乘以n a 1加到第1列，得)11(00011111121211∑∑==+=+=ni in nni ia a a a a a a a D2.3 降阶法利用按一行(列)展开定理或Laplace 展开定理将n 阶行列式降为阶较小且容易计算的行列式来计算行列式的方法称为降阶法． 例 3 计算nD 222232222222221=解 首先我们应考虑D 能不能化为上(下)三角形式,若将第一行乘以(-2)加到第n ,3,2 行，数字反而复杂了，要使行列式出现更多的“0”，将D 的第一行乘以(-1)加到第第n ,3,2 行，得2001010100012221-=n D这样仍然不是上（下）三角行列式，我们注意到，第二行除了第一项是1，后面的项全是0，这样我们按第二行展开，降阶得到：201222)1(21--=+n D)!2(2--=n2.4 对于所谓二条线的行列式，可直接展开降阶，再利用三角或次三角行列式的结果直接计算. 例4 计算行列式nnn n n a b b a b a b a D 112211--=解 按第1列展开，得11221111221)1(--+---+=n n n n nn n n b a b ab b a b a b a a Dn n n b b b a a a 21121)1(+-+=2.5 递推法通过降阶等途径，建立所求n 阶行列式n D 和比它低阶的但是结构相同的行列式之间的关系，并求得n D 的方法叫递推法．当n D 与1-n D 是同型的行列式，可考虑用递推法．例 5 计算n 级行列式 2112000002100012100012------=n D 对于形如这样的三角或次三角行列式，按第1行(列)或第n 行(列)展开得到两项的递推关系式，再利用变形递推的技巧求解．解 按第1行展开，得210120000012000011)1)(1(2211-------+=+-n n D D212---=n n D D 直接递推不易得到结果，变形得1221121232211=---=-==-=-=------D D D D D D D D n n n n n n于是 1)1(2)1(21121+=-+=-+==+=+=--n n n D D D D n n n例6 计算n 2级行列式nnn n n n nnn d c d c d c b a b a b a D 111111112----=对于形如这样的所谓两条线行列式,可直接展开得到递推公式． 解 按第1行展开，得)1(1111111121111111112nn n n n nn n n n n nn c d c d c b a b a b d c d c b a b a a D ----+-----+=1111111111111111---------=n n n n nn n n n n nn d c d c b a b a c b d c d c b a b a d a)1(2)(--=n n n n n D c b d a)1(22)(--=n n n n n n D c b d a D)2(21111))((-------=n n n n n n n n n D c b d a c b d a)())((11111111c b d a c b d a c b d a n n n n n n n n ---=----2.6 连加法 例 7 计算mx x x x m x x x x m x D n n n n ---=212121这种行列式的特点是：各行元素之和都相等.先把第2列到第n 列元素同时加到第1列，并提出公因式，得mx x x m x x x m x D n n n ni i n ---=∑=2221111)(然后将第1行乘以(-1)加到第n ,3,2行，得mm x x m x D n ni i n ---=∑=001)(21)()(11m x m ni i n --=∑=-2.7 乘积法根据拉普拉斯定理,所得行列式乘法运算规则如下：nnn nnn n n nn n n c c c c b b b b a a a a 111111111111=⋅ (其中tj ni it ij b a c ∑==1)两个行列式的乘积可以像矩阵的乘法一样来计算,假若两个行列式的阶数不同，只要把它们的阶数化为相同就可以应用上面的公式了．这种方法的关键是寻找有特殊结构的已知行列式去乘原行列式，从而简化原行列式的计算,这也是较为常用的方法．例 8 计算行列式 ab c db a dc cd a bd c b aD =解 取行列式 1111111111111111------=H显然 0≠H ,由行列式的乘法规则：=DH ⋅ab c d ba d c c d a bd c b a 1111111111111111------ H d c b a d c b a d c b a d c b a d c b a ))()()()((+---+--++--++++=等式两边消去,H 得=D ))()()()((d c b a d c b a d c b a d c b a d c b a +---+--++--++++2.8 对称法这是解决具有对称关系的数学问题的常用方法． 例 9 计算n 阶行列式βαβααββααββα++++=1010001000 n D解 按第1行展开，得21)(---+=n n n D D D αββα即 )(211----=-n n n n D D D D αβα由此递推，即得 nn n D D βα=--1因为n D 中αβ与对称，又有 nn n D D αβ=--1当 βα≠ 时，从上两式中消去1-n D ，得 11n n n D αβαβ++-=-当 βα= 时，1-+=n nn D D ββ)(21--++=n n n D ββββ 222-+=n n D ββ11)1(D n n n-+-=ββ )()1(1βαββ++-=-n n nnn β)1(+= 2.9 数学归纳法当n D 与1-n D 是同型的行列式，可考虑用数学归纳法． 例 10 计算n 级行列式ααααcos 2100cos 210001cos 210001cos =n D解 当2=n 时，ααcos 211cos 2=D αα2cos 1cos 22=-=结论成立，假设对级数小于n 的行列式结论成立，则n D 按第n 行展开，得21cos 2---=n n n D D D α由假设αααααααsin )1sin(cos )1cos(])1cos[()2cos(2-+-=--=-=-n n n n D n代入前一式，得]sin )1sin(cos )1[cos()1cos(cos 2αααααα-+---=n n n D nαααααn n n cos sin )1sin(cos )1cos(=---=故对一切自然数n ，结论成立．2.10 拆项法这是计算行列式常用的方法．一般地，当行列式的一列(行)或一列(行)以上的元素能有规律地表示为两项或多项和的形式，就可以考虑用拆为和的方法来进行计算．例 11 在平面上，以点),(),(),(233332332232222221311211x x x x M x x x x M x x x x M ------，，为顶点的三角形面积D S =，其中11121323233322222321212131x x x x x x x x x x x x D ------= )1()1()1()1()1()1(11121323222121332211------=x x x x x x x x x x x x )1()1()1()1()1()1()1()1()1(21323222121332211332211------+--+--+--=x x x x x x x x x x x x x x x x x x解 第1行拆为)1()1()1(11111121111)1)(1)(1(21332211321321232221321321------+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x D32112132332121))()()(1)(1)(1(21x x x x x x x x x x x x +-------=232221321111x x x x x x )]1)(1)(1([))()((21321321121323----⋅---=x x x x x x x x x x x x 3 分块矩阵行列式的计算方法我们学习了矩阵的分块，知道一个矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡B A 00通过分块若能转化成对角矩阵或上（下）三角矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡B C A 0，那么行列式B A B C A B A ⋅==000，其中B A ，分别是r s ，阶可逆矩阵，C 是s r ⨯阶矩阵，0是n s ⨯阶矩阵．可以看出，这样可以把r s +阶行列式的计算问题通过矩阵分块转化为较低阶的s 阶和r 阶行列式计算问题，下面先根据上面的途径给出计算公式．设矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=B C D A b b c c b b c c d d a a d d a a G rr r rsr r s sr s ss s r s 1111111111111111其中B A ，分别是s 阶和r 阶的可逆矩阵，C 是s r ⨯阶矩阵，D 是r s ⨯阶矩阵，则有下面公式成立． C DB A B BCD A G 1--⋅==或C DA B A BCD A G 1--⋅==下面推导公式，事实上，当0≠A 时，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡---D BCA D A B C D A E CA E 1100 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡---B C C DB A B C D A E DB E 0011 上面两式两边同取行列式即可得出上面的公式．例 12 计算 8710650143102101=D这道题的常规解法是将其化为上三角行列式进行计算，若用前面介绍的公式则可以直接得出结果．令 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=8765B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001C ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321D 则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001'A ，由公式(1) 知原行列式D CA B A BCD A 1--⋅==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=43211001100187651001 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=432187651 4444==0这个题还有个特点，那就是C A =，如果我们把公式变形，即D CA B A BCD A 1--⋅=D ACA AB D CA B A 11)(---=-=当C A =时，D ACA AB 1--CD AB D CAA AB -=-=-1，所以当C A =时，我们有CD AB BCD A -=，这样例题就可以直接写出答案了．参考文献:[1] 北京大学数学系，高等代数[M] (第三版)．北京：高等教育出版社，2003，9．[2] 张禾瑞，高等代数[M] (第四版)．北京：高等教育出版社，1997．[3] 丘维生，高等代数[M]．北京:高等教育出版社，1996，12．[4] 杨子胥，高等代数[M]．山东：山东科学技术出版社，2001，9．[5] 王萼芳，高等代数题解[M]．北京：北京大学出版社，1983，10．[6] Gelfand I M, Kapranov M M and Celvinskij A V. 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行列式方程有无穷多解解题方法
行列式方程有无穷多解解题方法行列式是高等代数里根本而重要的内容之一，是讨论线性方程组理论的有力工具，在求逆矩阵、求矩阵的秩、判断向量组的线性相关性等很多方面都有应用，懂得如何计算行列式就显得尤为重要.本文阐述行列式的根本性质，然后介绍一些具体的解题技巧及行列式的简单应用.1引言行列式起源于1757年，是马拉普斯研究解含两个和三个未知量的线性方程组而建立的，本文主要探讨行列式的解题方法以及它的简单应用.而行列式的解题方法并不是唯一的，本文主要针对行列式的特点，应用行列式的性质，给出了计算行列式的常用方法，同时介绍了行列式的几个简单应用.2行列式的定义和性质2.1行列式的定义定义n级行列式用符号表示，它代表n！项的代数和，这些项是一切可能的取自D中不同行不同列的n个元素的乘积的符号为r，即当r排列时该项的符号为正.2.2行列式的性质性质1行与列互换，行列式的值不变.性质2某行的公因子可以提到行列式符号外.性质3如果某行的所有元素都可以写成两项的和，那么该行列式可以写成两个行列式的和；这两个行列式的这一行的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行的元素与原行列式相同.性质4两行对应元素相同，行列式的值为零.性质5两行对应元素成比例，行列式的值为零.性质6某行的倍数加到另一行，行列式的值不变.性质7交换两行的位置，行列式的值变号.3行列式的解法3.1定义法对于含零元素较多的行列式，可以直接利用n阶行列式的定义来计算.3.2化三角形法化三角形法是先利用行列式的性质将原行列式作某种保值变形，化为上三角形行列式，再利用上三角形行列式的特点，求出值.3.3按行或列展开法这种方法又叫降阶法，主要思想是将一个n阶行列式化为n个n-1阶行列式的和，假设继续使用按行展开法，可以将n阶行列式降阶直至化为许多个2阶行列式计算.为了减少计算量，我们往往选择零元素较多的行或列展开，一般情况是利用行列式的性质先将选择的行或列化为只有一个非零元素.3.4加边法加边法又叫升阶法，主要思路是将一个n阶行列式升级为n+1阶行列式，即在原来的行列式上添加一行与一列使其升阶，从而构造一个容易计算的新的行列式，进而求出原来的行列式的值.当然，这个加边过程要求行列式的值不变，而且新的行列式要比原来的行列式好计算.一般，利用升阶法计算的行列式都具有一个明显的特征：除对角线元素外，其余元素都相同.3.5利用范德蒙行列式计算范德蒙行列式是一类特殊的行列式，利用范德蒙行列式公式计算某些行列式时，要求行列式必须具有范德蒙行列式的特点，或类似于范德蒙行列式的特点，这样也可以将所给的行列式化为范德蒙行列式，然后再利用公式计算出结果.3.6递推法递推法是应用行列式的性质，把一个n阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式的线性关系式，这种关系式称为递推关系式.根据递推关系式及某个低阶初始行列式的值，便可递推求得所给n阶行列式的值，这种计算行列式的方法我们称之为递推法.3.7析因法如果行列式D中有一些元素是变数x的多项式，那么可以将行列式D当作一个多项式f，然后对行列式施行某些变换，求出f的互素的一次因式，使得f与这些因式的乘积g只相差一个常数因子C，根据多项式相等的定义，比拟f与g的某一项的系数，求出C值，便可求得D=Cg.那在什么情况下才能用呢？要看行列式中的两行，假设x等于某一数a时，使得两行相同，根据行列式的性质，可使得D=0.那么x-a便是一个一次因式，再找其他的互异数使得D=0，即得到与D阶数相同的互素一次因式，那么便可用此法.3.8数学归纳法数学归纳法也是计算n级行列式的主要方法之一，特别是用来证明n阶行列式的值，一般情况下当与是同型的行列式时，可考虑用数学归纳法求之，这里主要是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜测值再用数学归纳法给出猜测的证明。
行列式的若干解法
例1计算行列式D nn 1行列式的若干解法一、定义法注意到“上下三角形”行列式的值等于对角线元素的乘积，由行列式的定义可直接计算元素非常稀疏或本身就是上下三角形式的简单行列式.0 1 02 0 00 0 00 0 n(n 1)( n 2) 解:D n不为零的项一般表示为ai n-1 a2n 2玄“1咼“n!,故D n （ 1）2n!.二、行列式在初等变换下的性质行列式经初等行变换和初等列变换，行列式值的变化有一定规律：1 •行列式的行列互换（即方阵转置），行列式不变；2•互换行列式中的两行或者两列，行列式反号；3 •行列式中某行各元同时乘以一个数等于行列式乘以这个数；4.行列式中某行（列）各元同时乘以一个数，加到另外一行（列）上，行列式不变；5 •行列式的某两行或者某两列成比例，行列式为零；6.行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和时，行列式可拆成另两个行列式的和；7 •行列式各行或各列若线性相关，行列式为零.一些特征明显的行列式可以直接用行列式的性质求解.例2 一个n阶行列式D n a ij的元素满足a j a j「i,j 1,2, , n,则称为反对称行列式，证明：奇阶数行列式为零.证明：由a ij a ji 知a ii a，即 a 0,i 1,2, n .故行列式可表示为0 a12 a13 a1 na12 0a23 a2nD n a13 a23 0 a3n 5a1 n a2n a3n0 由行列式的性质A0 a12 a13a12 0 a23D n a13 a23 0a1n a2n a3n 当n为奇数时，得D n三、高斯消元法a1n 0 a12a2n a12 0a3n (1)n a13 a23a1n a2nD n，因而得D n 0.913 a1na23 92n0 93n丄n f1 D n93n 0O（ n!），对n >4的非稀疏方阵换过程可用解线性方程组的算法（高斯消元法）数阶复杂度降低到了多项式阶复杂度.1 1 23 3 7例3计算行列式D 2 0 43 5 74 4 10 严格描述，其复杂度为0（n3）,由原来的指3 19 52 1 .14 610 2由行列式的定义，计算一般n阶行列式的值的复杂度为并不实用，因此有必要寻找更好的方法. 用行（列）初等变换将方阵化为上（下）三角形状, 是计算行列式的基本方法.原则上，每个行列式都可利用行列式在初等变换下的性质化为三角形行列式•这个变解：这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算.2 313 214 315 41D —11 20 12 02 10 23 1 | 1 1 20 2 0 2 04 1 0 0 15 3 0 2 12 2 0 0 23 4 0 5 21-12-314 3 0 2 0 4 -15 2 3 0 0-10-20 0 1-120 0 2 2 -2 112 30 3 0 40 0 1 00 0 0 10 0 0 2112321126根据行列式的性质，把第2,3,…,a (n 1)b b b b a (n 1)b a b b D a (n 1)b baba (n 1)b bb a1b b0 a b0 a (n 1)b 00 a b1 1 b a b b b b [a (n1)b] 1b a b1 bbab[a (n 1)b] (a b)n1]Laplace1)A nn C mnBmmA nJ |B mmA nn 0 C ^nmB □mmA nnB mm3)B mmA nnCmn(1)mnAmmC nmBmmA nn 0(1)mn A nJ |Bmm1 2( 1)(112 3 1 0 2 0 4 1 0 0 10 2 0 0 01 0 00 06四、行列初等变换成上下三角形式但对于阶数高的行列式，高斯消元法仍然有着较高的复杂度，且仅适用于数值行列式的计算，难以推广到含参数行列式. 因此，对元素排列较有规律的行列式，应利用行列式的性质将其变形成三角形行列式，而不是直接使用解线性方程组的高斯消元法.a b b L bb a b Lb例4计算n 阶行列式Db b a L bM M M Mb b b Lan 列都加到第1列上，行列式不变，得五、展开法Laplace 展开的四种特殊情形:应用行列式的Laplace展开，把一个阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等）的线性递推关系式•根据递推关系式及某个低阶初始解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等,10 1M M0 0D n 1与D n具有相同D n ( + )D n-厂D n-2D n-D n-1= D n——Dn-2=(D n-1—D n—2)或D n-D n—1= D n——D n- 2 (D n——D n— 2)D n —(D n―(D((D D=n)冋样有：D n —(—)(D_ 2( D—D)'(D n- 3—D n—4)()]n L L (1)'(D n- 3—D n—4)()]n L L ⑵行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给n阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法.［注意］用此方法一定要看Laplace展开后的行列式是否具有较低阶的相同结构•如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法.例5证明如下行列式:0 L 0 0LOOL 0 0M MM0 L 1证明：n 1 n 1D n ,其中［分析］虽然这是一道证明题，但我们可以直接求出其值，从而证之.此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素都为零,这种行列式称"三对角”行列式.从行列式的左上方往右下方看，即知的结构.因此可考虑利用递推关系式计算.证明：按第1列展开，再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有:这是由D-1和D-2表示D的递推关系式.若由上面的递推关系式从n阶逐阶往低阶递推，计算较繁，注意到上面的递推关系式是由n-1阶和n-2阶行列式表示n阶行列式，因此，可考虑将其变形为：n 1 n 1由（1）（2）式可解得：D n ------------------- 证毕.现可反复用低阶代替高阶，有:因此当时a n a n 2 a n 3 a2a1 x［分析］对一时看不出从何下手的行列式，可以先对低阶情况求值, 利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值,再用数学归纳法给出猜想的证明.解: 当n 2时, D2 x(xa2 a2 印a2x2a1x a2假设n k时，有D k a1x k 2a2x a k 1X a k则当n k 1时，把D k 1按第一列展开，D k 1 xD k a k 1 x(x k a〔x a2x k a k 1X a k ) a k 1a k X a k由此，对任意的D n a1x n 1a n22xa n 1x a n .六、加边法有时为了计算方法称为加边法.当然，加边后所得的高一阶行列式要较易计算. 加边法适用于某有一个相同的字母，也可用于其列（行）的元素分别为n-1个元素的倍数的情况.加边法的一般做法是：an L a nD n a21 L a2nM Ma n1L a nn 特殊情况取a1a2L a n1 加边法能否顺利应用，关键是观察每1 a1 L a n 1 0 L 0 0 a11 L a1n D LM M M M M M例7计算n阶行列式: 例6计算行列式DX/2 X%x 22 1 NX 2 %x 2 %x 2%x 2X n 2 1:分析］我们先把主对角线的数都减1,这样我们就可明显地看出第一行为X 1与1 0 X 1 x2 1 X 2 X 1X 2 LL D n0 x 2x 1 X ； 1 L M M MX n X 1X n X 2LX n %X X 2X(i r i 11 X 1 X2 L X 1 1 0 L X 2 0 1 L M M MX n 00 LX n 0 0 M1n2 Xii 1X 1 X 2 L X n C1X i Ci 11 0L0 (i 1,L ,n)0 0 1 L 0MM MMn1 X 2i 13) DD *X 1,X 2,…,X n 相乘，第二行为 X 2与X 1,X 2,…,X n 相乘， ..... ,第n 行为 X n 与 X 1,X 2,…,X n 相乘.这样就知道了该行列式每行有相同的因子X 1,X 2,…,X n ,从而就可考虑此法.解：对行列式各行（列）和相等，且除对角线外其余元素都相同的行列式，在“加边法”的 框架下，有针对此种问题的特殊解法.1） 在行列式D 的各元素中加上一个相同的元素x ,使新行列式D *除主对角线外，其余 元素均为0;2） 计算D *的主对角线各元素的代数余子式A i （i 1,2丄n ）;nXA ji,j 1例8 •求下列n 阶行列式的值:1,L , n)2 X n1 1 L 1 1 L1 2 n2 n 1 M M 1 1解：在D n的各元素上加上（1）后，则有:(D n)*M2 nn(n 1)(1厂(1 n)nn(n 1)Al ( 1)F (1 n)n 1，其余的为零.D n (D n)*nj 1n Nj(11)(1) (1n)( 1)n ((1) (1n)［点评］诸如此类的特殊行列式称为“范式”，常见的范式还有“鸡爪”（除第一行、第一列、主对角线外全为零）、反对称方阵等，这些范式都有“专用”的解法•掌握这些范式，不仅是为了更容易求出满足这些范式的行列式的值，更是为了给解一般行列式提供变换的目标和方向，争取把一般行列式变换到这些已知容易求解的范式.如果不知道这些范式，就只能盲目的寻找各种变成“最终范式”一一上下三角行列式的变换方式，从而加大了解题的难度.七、拆行（列）法而其他各行（列）的元素与原行列式的对应行容易求得行列式的值.（列）相同，禾U用行列式的这一性质，有时较a12 L a1na22 L a2n1M Ma n2L a nn 且满足a j a ji ,i, j 1,2丄，n,对任意数b,求n阶行列式a11 b a12 b La21ba22b L M Ma n1b a n2 b Lam ba2n bM9nn b［分析］该行列式的每个元素都是由两个数的和组成，且其中有一个数是常数b,显然用拆行（列）法.可以首先举一些例子进行试验，发现待求行列式总是等于1，因此求值问题转化为证明问题，对解题过程更有启发. 注意到条件中给出了一个反对称方阵的行列式，但暂时不知道该如何应用，在解题过程中要时刻注意题目条件.解：又A1n A2,n 1Hi b a *2 b a ?i b a ?2 bM Ma 11 a 12L a 1nba 21 a 22La2n b M MMa n1a n2L a nnba 1nba 11 a 12b L a 1nb a 2nba 21 a 22b L a 2nbMMMMa nnba n1a n2b L a nnba 11b Lnb1a 12La 21b L a 2n bb1 a22LMMM M Ma n1b L an nb1a n2Lb 3]2b L a i nb b a 22b L a 2nbMMMb a n2 b L a nnba i2L a 21 a 22 LM Ma n1 a n2L1 La 1 n1 a 12 La 1na 2nba 211 L a 2nLb1 a22L a 2nM M MMM MMa nna n11 La nn1a n2La nnan a 12a 1n又令Aa 21a 22a 2n且 aij a ji , i,j 1,2丄,na n1 a n2 a nn有：A 1,且 A ' A*由 A 1=Ar |A|得: A _1 A 1AA *= A "* ' 又(A )1 '(A 1)(A) 1 (A)A *也为反对称矩阵又A j （i, j1,2丄，n ）为A *的元素n有A j 0i 1,j 1n从而知：D n 1 bA j 1i 1,j 1［点评］求解到中途时，发现待解行列式的一部分变成了一个新行列式的代数余子式之和的形式，很容易联想到伴随方阵与逆矩阵行列式的关系， 此时应用题目中反对称方阵的条件、转置方阵的性质，易得结论.a n1ba n2ba ina 2nMa nnn 1 bA 2i L i 1nbA ii i 1n1 bA ji,j 1a ix a 11 na ixx1D n 1 M Mna i1 nx a 2a i1 x a 2a 2 L a na 2 La nnMM(ai 1a 3 L a na 3 Lx1 1 a 1 x a2 a 2 LLa n a n x) M M MM1 a 2a 3 L a n1 a 2a 3 Lx令:此题也提醒我们在解行列式时，应注意与后续章节(如矩阵)的关联. 八、多项式法如果行列式D 中有一些元素是变数 x (或某个参变数) 的多项式，那么可以将行列式 D 当作一个多项式f(x)，然后对行列式施行某些变换，求出 f(x)的互素的一次因式，使得 f(x)与这些因式的乘积 g(x)只相差一个常数因子 C,比较f(x)与g(x)的某一项的系数，求出C 值, 便可求得D=Cg(x).具体地说，若行列式中存在两个同时含变量 x 的行(列)，若x 等于某一数a i 时，使得两行相同，根据行列式的性质，可得D=0 •那么x a i 便是一个一次因式.由此便可找出行列式(多项式)的若干因式•如果行列式的最高次数与这些因式乘积的次数相等， 那么行列式与这些因式的乘积便成比例(只差-一个常数因子)•例10求如下行列式的值：xaa 2La na xa 2 L a nD n 1M M MMaa 2 a 3 L a naa 2 a 3Lx［分析］根据该行列式的特点， 当 x a.i1,2,L ,n 时，有D n 1 0 .但大家认真看下，该行列式 D n+1是一个 n+1次多项式， 而这时我们只找出了n 个一次因式x 3i . i 1,2丄，n ,那么能否用多项式法呢？我们再仔细看一下，每行的元素的和数都是n一样的，为：a i x ，那么我们从第2列开始到第n+1列都加到第1列，现提出公因式i 1a i x ，这样行列式的次数就降了一次.i 1解:n1 a a2 La n1 x a2 L a nD n 1M M MM1 a2 a3 L a n1 a2 a3 Lx显然当：x a i .i 1,2,L , n 时， D n 110.又D n 1'为n 次多项式.I设D n iC(x aj(x a ?)L (x a n )例11计算n 阶行列式n 1 n 1 L (a 1) a n 2n 2L(a 1)aMM L a 1aL 1 1 / 八n 1 n 1(a 1) a (a 1) aMM a 1 a 11D n 1 (x aj(xa 2)L(x a n ) 因此得：D n 1n( i 11a i x)D n 1n(i 1a i x)(x aj(x a 2)L (x a .)又D n l'中X 的最高次项为x n，系数为1 , C=1 九、Van derm onde 行歹U 式法范德蒙行列式：1 1 11 %X 2 X 3 X n22 2 2X 1X 2X 3X nn 1 n 1 n 1 n 1X 1X 2 X 3 X n (x 为)1 j i n(aA、1(a n 2)n 1(an 1) 2(a n 2)n2D nMMa n 1 a n 21 1(a 八n 1 n 1) (a n 2)n1L(a 八n 2 n 1) (a n 2)n 2LD nM Ma n 1a n 2 L11L解显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它 化为范德蒙行列式的类型.先将的第n 行依次与第n-1行，n-2行，…，2行，1行对换，再将得到到的新的行列式 的第n 行与第n-1行， 对换，这样，共经过( n-2行，…，2行对换，继续仿此作法, n-1) + (n-2) + …+2+1=n (n-1 ) /2直到最后将第 次行对换后，得到n 行与第n-1行 D n (n(n 1)1)h(a (a M n 2 n 1)n 1n 1)(a (a M n 2)nn 2)nM (a 1)n(a 1)nM n 2 a n 1a上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式得:E n AB E m BAn(n 1) D n ( 1)F n(n 1) [(a n i) (a n j)] ( 1产 n (i i n j)［分析］从某种意义上说，范德蒙行列式也是上文中提到的一种“范式” 项式乘积的行列式都与范德蒙行列式存在某种关联. ，很多类似多例12计算如下行列式的值: D n ［分析］显然若直接化为三角形行列式， 意到从第1列开始；每一列与它一列中有 n-1列开始乘以一1加到第n 列，第n-2列乘以一1加到第n-1列，一直到第一列乘以一 加到第2列•然后把第1行乘以-1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多 了. 计算很繁， n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第 1解:所以我们要充分利用行列式的性质.注1 1 1 L2 1 1 LD n 311 L M M M n 1 n 1 L1 1 1 1 n 1 n1 M M 1 1 (i 2,L , n) rr ;1 1 L 0 0 L 0 0 L M M n 0 L 1 1 0 n n 0 M M 0 01 A - rnn1) 1 n(n n 2 (n 1) n 1n 2 (i 2,L,n)〔 ［问题推广］ 本题中，显然是 L n0 L 00 10 L 0n2 0 L n 0 M MM M n 2 0 L 0 0 n 1 n L(n 1)(n 2)(n)n 1 ( 1)^^ n(n 1)10 inu M n 2 0 n 0 L0 LM n L0 L0 n n 0 M M 0 0 0 01,2，…，n-1,n 这n 个数在循环，那么如果是 a o ,a 1,…，a n-2 ,a n-1 这 n 个无规律的数在循环，行列式该怎么计算呢？把这种行列式称为“循环行列式” a 。
行列式的若干解法讲解
行列式的若干解法一、定义法注意到“上下三角形”行列式的值等于对角线元素的乘积，由行列式的定义可直接计算元素非常稀疏或本身就是上下三角形式的简单行列式．例1 nn D n 000000100200100-=计算行列式 .解： n D 不为零的项一般表示为！１ｎ－１n a a a a nn n n =--1122 ,故!)1(2)2)(1(n D n n n ---=.二、行列式在初等变换下的性质行列式经初等行变换和初等列变换，行列式值的变化有一定规律： 1．行列式的行列互换（即方阵转置），行列式不变； 2．互换行列式中的两行或者两列，行列式反号；3．行列式中某行各元同时乘以一个数等于行列式乘以这个数；4．行列式中某行（列）各元同时乘以一个数，加到另外一行（列）上，行列式不变； 5．行列式的某两行或者某两列成比例，行列式为零；6．行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和时，行列式可拆成另两个行列式的和；7．行列式各行或各列若线性相关，行列式为零．一些特征明显的行列式可以直接用行列式的性质求解．例 2 一个n 阶行列式ij n a D = 的元素满足,,,2,1,,n j i a a ji ij =-=则称为反对称行列式，证明：奇阶数行列式为零.证明： 由 ji ij a a -=知ii ii a a -=，即n i a ii ,2,1,0==.故行列式可表示为000321323132231211312 nn nn nn n a a a a a a a a a a a a D ------= , 由行列式的性质'A A =，000)1(0000321323132231211312321323132231211312 nn n n nnn n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D -------=------=()n n D 1-=. 为奇数时，得当n , n n D D -=因而得0=n D .三、高斯消元法由行列式的定义，计算一般n 阶行列式的值的复杂度为(!)O n ，对n ≥4的非稀疏方阵并不实用，因此有必要寻找更好的方法．用行（列）初等变换将方阵化为上（下）三角形状，是计算行列式的基本方法．原则上，每个行列式都可利用行列式在初等变换下的性质化为三角形行列式．这个变换过程可用解线性方程组的算法（高斯消元法）严格描述，其复杂度为3()O n ，由原来的指数阶复杂度降低到了多项式阶复杂度．例3 计算行列式2101044614753124025973313211----------=D . 解： 这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算．()()()()()()()()()()2313214315412311231112310010202041020410010202153021530022200222D +---↔----------------- ()()()()()()43523421-12-31112310204-10304100-10-200102001-12000100022-200026+++---------()()524112310204112(1)(1)(6)12 001020001000006+----=-⋅---=----．四、行列初等变换成上下三角形式但对于阶数高的行列式，高斯消元法仍然有着较高的复杂度，且仅适用于数值行列式的计算，难以推广到含参数行列式．因此，对元素排列较有规律的行列式，应利用行列式的性质将其变形成三角形行列式，而不是直接使用解线性方程组的高斯消元法．例4 计算n 阶行列式a b b b b a bb D bb ab b b ba=. 解： 这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得ab b b abb b a b b b b n a ab b b n a b abbn a b b a b n a b b b b n a D1111])1([)1()1()1()1( -+=-+-+-+-+=[]])(])1([00000001)1(1---+=----+=n b a b n a ba b a b a bb b b n a .五、Laplace 展开法Laplace 展开的四种特殊情形： 1）0nn nn mm mn mm A A B C B =⋅ 2）0nn nm nn mm mm A C A B B =⋅3）0(1)nn mn nn mm mmmnA AB BC =-⋅ 4）(1)0nm nn mn nn mm mmC A A B B =-⋅应用行列式的Laplace 展开，把一个n 阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等）的线性递推关系式．根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给n 阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法．［注意］用此方法一定要看Laplace 展开后的行列式是否具有较低阶的相同结构．如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法．例5 证明如下行列式：0001000101n D αβαβαβαβαβαβ++=++11,n n n D αβαβαβ++-=≠-证明 ：其中［分析］虽然这是一道证明题，但我们可以直接求出其值，从而证之．此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素都为零，这种行列式称“三对角”行列式．从行列式的左上方往右下方看，即知1n D -与n D 具有相同的结构．因此可考虑利用递推关系式计算．证明：按第1列展开，再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有：12n n n D D D αβαβ=－－（＋）－这是由D n-1 和D n-2表示D n 的递推关系式．若由上面的递推关系式从n 阶逐阶往低阶递推，计算较繁，注意到上面的递推关系式是由n-1阶和n-2阶行列式表示n 阶行列式，因此，可考虑将其变形为：11212n n n n n n D D D D D D αβαββα－－－－－－＝－＝（－） 或 11212n n n n n n D D D D D D βααβαβ－－－－－－＝－＝（－）现可反复用低阶代替高阶，有：23112233422221[()()](1)n n n n n n n n n n nD D D D D D D D D D αβαβαβαβαβαβαβααββ-+--+=－－－－－－－－－＝（－）＝（－）＝（－）＝＝（－）=同样有：23112233422221[()()](2)n n n n n n n n n n nD D D D D D D D D D βαβαβαβαβααβαββαβα-+--+=－－－－－－－－－＝（－）＝（－）＝（－）＝＝（－）=因此当αβ≠时由（1）（2）式可解得：11n n n D αβαβ++-=-证毕．例6 计算行列式 x a a a a a x xx D n n n +---=--1232100000100001. ［分析］对一时看不出从何下手的行列式，可以先对低阶情况求值，利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明．解：当2=n 时，21221222)(1a x a x a a x x a x a x D ++=++=+-= 假设k n =时，有k k k k k k a x a x a x a x D +++++=---12211则当1+=k n 时，把1+k D 按第一列展开，得11221111)(+---++++++++=+=k k k k k k k k k a a x a x a x a x x a xD D 12111k k k k k x a x a x a x a +-+=+++++由此，对任意的正整数n ，有n n n n n n a x a x a x a x D +++++=---12211 .六、加边法有时为了计算行列式，特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这种计算行列式的方法称为加边法．当然，加边后所得的高一阶行列式要较易计算．加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母，也可用于其列（行）的元素分别为n-1个元素的倍数的情况．加边法的一般做法是：1111111111121221222121111100000n n nn n n n n n nnn nnnn nna a a a a ab a a a a D a a b a a a a a a b a a === 特殊情况取121n a a a ==== 或 121n b b b ====加边法能否顺利应用，关键是观察每行或每列是否有相同的因子． 例7 计算n 阶行列式：21121221221221212111n n x x x x x x x x x x D x x x x x ++=+［分析］ 我们先把主对角线的数都减1，这样我们就可明显地看出第一行为x 1与x 1,x 2,…, x n 相乘，第二行为x 2与x 1,x 2,…, x n 相乘，……，第n 行为x n 与 x 1,x 2,…, x n 相乘．这样就知道了该行列式每行有相同的因子x 1,x 2,…, x n ，从而就可考虑此法．解：11112122112121221222121212121211(1,,)(1,,)110110001010011101001001001i i i i nn n n n n n nn nin i ni i n i n r x r c x c i n x xx x x x x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x +++==+=-+=+-=+-+-+=+∑∑对行列式各行（列）和相等，且除对角线外其余元素都相同的行列式，在“加边法”的框架下，有针对此种问题的特殊解法．1）在行列式D 的各元素中加上一个相同的元素x ，使新行列式*D 除主对角线外，其余元素均为0；2）计算*D 的主对角线各元素的代数余子式(1,2,)ii A i n =;3)*,1niji j D D xA==-∑例8 .求下列n 阶行列式的值：111211212111n n n D n --=-解：在n D 的各元素上加上(1)-后，则有：(1)2*0002020()(1)(1)20n n n n n n D n n ---==-⋅--又(1)1212,11(1)(1)n n n n n n A A A n ---====-⋅-，其余的为零．(1)2*,1,11(1)(1)122(1)12()(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)n n nnnn n ij i n i i j i n n n n nn n n n D D A n A n n n n --+==-----∴=+=-⋅-+=-⋅-+-⋅⋅-=-⋅-∑∑［点评］诸如此类的特殊行列式称为“范式”，常见的范式还有“鸡爪”（除第一行、第一列、主对角线外全为零）、反对称方阵等，这些范式都有“专用”的解法．掌握这些范式，不仅是为了更容易求出满足这些范式的行列式的值，更是为了给解一般行列式提供变换的目标和方向，争取把一般行列式变换到这些已知容易求解的范式．如果不知道这些范式，就只能盲目的寻找各种变成“最终范式”——上下三角行列式的变换方式，从而加大了解题的难度．七、拆行（列）法由行列式的性质知道，若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，则该行列式可拆成两个行列式的和，这两个行列式的某行（列）分别以这两数之一为该行（列）的元素，而其他各行（列）的元素与原行列式的对应行（列）相同，利用行列式的这一性质，有时较容易求得行列式的值．例9 设n 阶行列式：1112121222121n n n n nna a a a a a a a a =且满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=对任意数b ，求n 阶行列式111212122212?n n n n nn a b a b a b a b a b a b a b a ba b++++++=+++[分析]该行列式的每个元素都是由两个数的和组成，且其中有一个数是常数b ，显然用拆行（列）法．可以首先举一些例子进行试验，发现待求行列式总是等于1，因此求值问题转化为证明问题，对解题过程更有启发．注意到条件中给出了一个反对称方阵的行列式，但暂时不知道该如何应用，在解题过程中要时刻注意题目条件．解：1112111121121212222122222212122n n n n n n n n n nn n n nn n nn a b a b a b a a b a b b a b a b a b a b a b a a b a b b a b a b D a b a ba b a a b a b b a ba b++++++++++++++==++++++++11121111121212222122221212111n n n n n n n n nn n nn n nn a a a b a b a b a a a a a b a b a b a a ba a ab a b a b a a ++++=++++11121111121212222122221212111111n n n n n n n n nnn nnn nna a a a a a a a a a a a a ab ba a a a a a a =+++21111nni i i i b A b A ===+++∑∑,11nij i j b A ==+∑A 又令＝111212122212n n n n nna a a a a a a a a ,,1,2,,i j j ia a i j n=-=且 ':1,A A A ∴==-有且 11A A A A A A⋅=＊－－＊由＝得：1A A ∴＊－＝'1''11()()()A A A A A ---===-=-＊＊又（） *A ∴也为反对称矩阵又(,1,2,,)ij A i j n =为*A 的元素1,10nij i j A ==∴=∑有从而知：1,111nn ij i j D bA ===+=∑［点评］求解到中途时，发现待解行列式的一部分变成了一个新行列式的代数余子式之和的形式，很容易联想到伴随方阵与逆矩阵行列式的关系，此时应用题目中反对称方阵的条件、转置方阵的性质，易得结论．此题也提醒我们在解行列式时，应注意与后续章节（如矩阵）的关联．八、多项式法如果行列式D 中有一些元素是变数x （或某个参变数）的多项式，那么可以将行列式D 当作一个多项式f(x)，然后对行列式施行某些变换，求出f(x)的互素的一次因式，使得f(x)与这些因式的乘积g(x)只相差一个常数因子C ，比较f(x)与g(x)的某一项的系数，求出C 值，便可求得D=Cg(x)．具体地说，若行列式中存在两个同时含变量x 的行（列），若x 等于某一数a 1时，使得两行相同，根据行列式的性质，可得D=0．那么x -a 1便是一个一次因式．由此便可找出行列式（多项式）的若干因式．如果行列式的最高次数与这些因式乘积的次数相等，那么行列式与这些因式的乘积便成比例（只差一个常数因子）．例10 求如下行列式的值：12121123123n nn n x a a a a x a a D a a a a a a a x+=[分析] 根据该行列式的特点，当.1,2,,i x a i n ==时，有10n D +=．但大家认真看一下，该行列式D n+1是一个n+1次多项式，而这时我们只找出了n 个一次因式.1,2,,i x a i n -=,那么能否用多项式法呢？我们再仔细看一下，每行的元素的和数都是一样的，为：1ni i a x =+∑，那么我们从第2列开始到第n+1列都加到第1列，现提出公因式1ni i a x =+∑，这样行列式的次数就降了一次．解：1211221211232312323111()11ni n i nn ini nn n i i nn i n i ni i a xa a a a a a a xxa a xa a D a x a a a a x a a a a a xa xa a x==+===++==+++∑∑∑∑∑令：122'123231111n nn n a a a x a a D a a a a a x+=显然当：.1,2,,i x a i n ==时，'10n D +=．又'1n D +为n 次多项式．'112()()()n n D C x a x a x a +∴=---设又'1n D +中x 的最高次项为nx ，系数为1，∴C=1'112()()()n n D x a x a x a +∴=---因此得：'111121()()()()()nn i n i ni n i D a x D a x x a x a x a ++===+=+---∑∑九、Vandermonde 行列式法 范德蒙行列式：1232222123111111231111()n n i j j i nn n n n nx x x x x x x x x x x x x x ≤<≤----=-∏例11 计算n 阶行列式11112222(1)(2)(1)(1)(2)(1)1211111n n n n n n n n n a n a n a a a n a n a a D a n a n a a ---------+-+--+-+-=-+-+-11112222(1)(2)(1)(1)(2)(1)1211111n n n n n n n n n a n a n a a a n a n a a D a n a n a a ---------+-+--+-+-=-+-+-解 显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型．先将的第n 行依次与第n-1行，n-2行，…,2行，1行对换，再将得到到的新的行列式的第n 行与第n-1行，n-2行，…,2行对换，继续仿此作法，直到最后将第n 行与第n-1行对换，这样，共经过（n-1）+（n-2）+…+2+1=n （n-1）/2次行对换后，得到(1)2222211111111121(1)(1)(2)(1)(1)(2)(1)n n n n n n n n n n n a n a n a aD a n a n a a a n a n a a ----------+-+-=--+-+--+-+-上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式得：n m n m E AB E BAλλλ--=-(1)(1)2211(1)[()()](1)()nn n n n j i nj i nD a n i a n j i j --≤<≤≤<≤=--+--+=--∏∏［分析］从某种意义上说，范德蒙行列式也是上文中提到的一种“范式”，很多类似多项式乘积的行列式都与范德蒙行列式存在某种关联．例12 计算如下行列式的值：12312341345121221n n n n D n n n -=--[分析]显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质．注意到从第1列开始；每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n-1列开始乘以－1加到第n 列，第n-2列乘以－1加到第n-1列，一直到第一列乘以－1加到第2列．然后把第1行乘以－1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了．解：11(2,,)(2,,)1111111111121111100031111201111100010000001000020011(1)20002000011(1)()2i in n i n r r i n r r n n n D n n n n n n nn n n n n n nn nn n n nn n n n ===+--=-----++----+=⋅-----+=⋅⋅-()(1)(2)12(1)12(1)(1)12n n n n n n n -----⋅-+=⋅⋅-[问题推广]本题中，显然是1,2，…，n-1,n 这n 个数在循环，那么如果是a 0,a 1,…,a n-2,a n-1这n 个无规律的数在循环，行列式该怎么计算呢？把这种行列式称为“循环行列式”．从而推广到一般，求下列行列式：0121101223411230(,0,1,,1)n n n n i a a a a a a a a D a c i n a a a a a a a a ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=∈=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦解：令 0121101223411230n n n a a a a aa a a A a a a a a a a a ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦首先注意，若u 为n 次单位根（即u n=1），则有：1011110212123111120101120112123011101(1,n n n n n n n n n n n n nn n n n n n a a u a u u a a u a u A u u u u a a u a uu a a u a u a a u a u a u a u a u a u a u a u a u a -----+-----------⎡⎤+++⎡⎤⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅==∴=⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦++++++=++++这里用到等）12011122111201111()1()()n n n n n n n n n u a a u a u u u u a u u f u f u a a u a u u u --------⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+++⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⋅=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中2122cossin 1,1(0)1,,,,n k n k kw n nw w k n w w w ππ-=∴=≠<<设+i 为n 次本原单位根有:于是：互异且为单位根()2011(1)01101011001111,(0,1,,1)(,,,)(,,,)((),(),,())()(,,,)(j jj n n j i j j n n n n n w w j n w w w w w w A w f w w Aw Aw Aw Aw f w w f w w f w w f w w w w f w -------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⋅=⋅==⎡⎤⎢⎥=⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦记：方阵则由上述知：故）122(1)0111(1)(1)1111(,,,)11n n n n n n w w w w w w w ww w ------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦显然为范德蒙行列式110A (1)()()(1)()()n n n w w w f f w f w A w A D f f w f w --∴≠=⋅⋅⋅⋅=⋅∴==⋅⋅⋅从而有： 又例12中，循环的方向与该推广在方向上相反 所以例12与11120'102n n n n a a a a a a D a a a ---=相对应(1)(2)'21n n n n D D --而与只相差（－）个符号(1)(2)'1201,121(1)2(1)()(),,)(1,2,,)1,()123(1)12n n n n n k n n n D f f w f w a a a n u w f u u u nu f n -----+⋅⋅⋅⋅==≠=++++=+++=即得：=(-1)从而当（时对单位根总有：21()()1()1n f u uf u u u u n nnf u u-∴-=++++-=--∴=-1211111()1,11(1)111 n n k n k n k k x x w x x x x x w n--=-=-=-=++++-=-==∏∏而又令则有：＋＋＋(1)(2)'12(1)(2)1221(1)1211(1)2(1)12(1)()()(1)111()()2111(1)(1)2(1)1(1)21(1)2n n n n n n n n n n n n k k n n nn n n D f f w f w n n n w wwn n nw n n nn n ----------=---=⋅⋅⋅⋅+=⋅⋅-⋅⋅⋅⋅---+-⋅⋅=-+-⋅⋅=+=-⋅⋅∏从而有：(-1)(-1)与例12的答案一致．［点评］例12本身并不困难，但在“循环行列式”的推广中，运用了多项式单位根的相关理论，是比较难以想到的．由上述问题的求解可知，行列式的求值有时需要综合利用多种方法，上例就用到了Vandermonde 行列式和多项式理论．十、矩阵理论法有些行列式通过“矩阵”一章与行列式相关的某些等式，可以快速求解．引理：设A 为n m ⨯型矩阵，B 为m n ⨯型矩阵，n E ，m E 分别表示n 阶，m 阶单位矩阵，则有det()det()nmE BA E BA =证明：00n n n m m m E A E E AB A B E B E E λλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭两边取行列式得： 00nn nn n m m m m mE A E E A E AB AE AB E BE B E BE E λλλλ-===--n E AB λ=- 又11n n nm m m E E A E A BE B BA E E λλλλ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭同样两边取行列式有：11n n n nmmmmE E A E A E ABE BE BBA E E λλλλλ-==-+()11nn m n m m m E BA E E BA E BA λλλλλλλ-=-+=-=- 得证．那么对于,A B 分别是n m ⨯和m n ⨯矩阵，0λ≠能否得到：n m n m E AB E BA λλλ-+=+答案是肯定的．证：00n n n m m m E A E E AB A B E B E E λλ-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴ 有：nn mE AE AB BE λλ-=+ 又 11n nnm m m E E A E A BE B BA E E λλλλ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1nn m n m m m E A E BA E E BA BE λλλλλ--∴=+=+ n m n m E AB E BA λλλ-∴+=+即得：对,A B 分别为n m ⨯和m n ⨯矩阵，0λ≠时，有：n m nmE AB E BA λλλ-=则当1λ=时，有：nmE AB E BA =∴引理得证．例13 计算如下行列式的值：1231231233123n n n n n a b a a a a a b a a D a a a b a a a a a a b++=++解：令矩阵1231231233123n n n n a b a a a a a ba a A a a ab a a a a a a b++=++则可得：()123123121233123111,,,n nn n n n na a a a a a a a A bE bE a a a a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭11n n n bE B C ⨯⨯=+ 其中 ()()1112111,,,,Tn n n B C a a a ⨯⨯==那么根据上面所提到的引理可得：111n n n n n D bE BC b b C B -⨯⨯=+=+又 ()11121111,,,n n n n i i C B a a a a ⨯⨯=⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭∑可得：11()nn n i i D b a b -==+∑［点评］例13还可用加边法解决，不过这里的解法显然更简洁，且其中蕴含的理论更深刻．十一、高等数学法有些行列式可以看成函数，运用高等数学的求导、积分等方法解决． 例14 求下列行列式的值：...........................n x y y y z x y yD z z x y z z z x=解：把n D 看作是x 的函数（即x 的n 次多项式），记作()n D x ，按Taylor 公式在z 处展开：()2'()''()()()()()()...1!2!!n n n n n n D z D z D z D x D z x z x z n =+-+-++，则 ......()=.....................n zy y y z z y yD z z z z y z z z z将()n D z 第一列减去第二列，第二列减去第三列，……，第n-1列减去第n 列，则有0..,00...0()...............00 0...0n z yy z y y D z z y y z--=- 故有1()()k k D z z z y -=-，1,2,...,k n = （*）将()n D z 对x 求导，结果是n 个行列式之和，而每个行列式是由()n D x 对每一行求导而其余各行不变得到的．例如，对第一行求导得到100...0........................z x y yz z x y z z z x将上述行列式按第一行展开，得到1()n D x -．类似地，对任意的第k 行求导，同样得到1()n D x -．因此1'()()n n D x nD x -=．类似地有12'()(1)()n n D x n D x --=-，……，21'()2()D x D x =，1'()1D x =（由于1()D x x =）取x z =处地导数，由（*）得1'()()n n D z nz z y -=-，2''()(1)()n n D z n n z z y -=--，……，(1)()(1)...2n nD z n n z -=-，()()(1)...1!n n D z n n n =-=代入Taylor 展开式，得12!()()()()...()1!!n n n n n n D x z z y z z y x z x z n --=-+--++- 当y z =时，上式简化为1()0...0()()n n n D x ny x y x y -=+++-+-1()[(1)]n x y x n y -=-+-当y z ≠时，上式简化为1()[()()()...()]()1!n n n n n z n y D x z y z y x z x z x z z y z y-=-+--++----- [()()]()n n z y z y x z x z z y z y=-+----- ()()n n z x y y x z z y---=-总结行列式问题变化多端，但方法和范式只有若干种．对于正常难度的问题，首先运用初等变换的方式看能否容易地变成各种已知解法的“范式”；若不易求出，则应对低阶情况下的行列式进行试验，尝试找出规律，再用数学归纳法证明，或利用初等变换、多项式法等，向结论“靠拢”．。
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行列式的几种计算方法
［摘要］行列式是线性代数的一个重要内容，是讨论线性方程组的一个有力工具,在很多数学分支中都有着广泛的应用，然而行列式的计算灵活多变，具有一定的规律和技巧，常用的方法有定义法，化三角形法，降阶法等，本文结合教学实践，从实例出发，在以上三种方法的基础上，探讨并给出行列式的其他几种计算方法
[Abstract] is an important content of linear algebra, a powerful tool in the discussion of linear equations, have been widely used in many branches of mathematics, however Determinant flexible, with a certain regularity andtechniques commonly used method defined law, of triangle reduction method, teaching practice, starting from the instance, on the basis of the above three methods discussed and given several calculation methods determinant
[关键词］：行列式线性代数计算方法规律性技巧性
[[Keyword]: the determinant linear algebra calculation method regularity skills
(l)定义法
根据行列式的定义D。
一艺(一l)r(Jl;2”·“，。
，iaZ，…a，，，我们可以利用定义直接计算低阶稀疏行列j一JZ‘“J.式，其中r(j，jZ…]。
)是jl]2…j。
的逆序数.
(2)降阶法
①一般降阶法
n阶行列式D等于它的任一行(列)各元素与其对应代数余子式乘积的和，即D一艺a，，A、，，~1，2，一，，或D一万aij浅，，j一1，2，…，n.行列式按一行(列)展开能将高阶行列式转化为若干低阶行列式计算，称为降阶法.这是一种计算数字行列式的常用方法.值得注意的是，在使用时应先利用行列式的性质，将某行(列)元素尽可能多地变成零，然后再展开，计算才能更方便，对一些特殊构造的行列式可利用普拉斯定理降阶计算，此法中由于，级行列式D的第i行构成的k级子式C个，所以对一般行列式能降阶却不能减少计算量。
②递推降阶法
设n阶行列式D一}氏了}，认。
，欲求其值，由于交换行列式的两行(列)，行列式只改变符号，故不妨设
我们由一个矩阵分块乘法的等式有
其中E为单位阵，A为可逆阵
这样把计算n阶行列式D的问题转化为计算，一1阶行列式}a1}N一MB}的问题，且这个n一1
阶行列式可以从D的元素有规律地快速计算出来.
显然经降阶法计算,D变成了一个3阶行列式，再用降阶法，这里a- = 2井0.以通过D的元素很有规律地用2阶行列式表达，即n一1阶行列式
这样把计算n阶行列式D的问题转化为计算，一1阶行列式}a1}N一MB}的问题，且这个n一1阶行列式可以从D的元素有规律地快速计算出来. 显然经降阶法计算,D变成了一个3阶行列式，再用降阶法，这里a = 2不等于0.以通过D
(3)升阶法
有些行列式适当地升高一阶反而容易求其值，这种方法称为升阶法(也称加边法)一般来说，此法在保持行列式值不变的情况下增加一行一列(增加的一行一列的元素一般是由1和0组成)以便于计算.例如
(4)拆开法(分裂行列式法)
把某一行(列)的元素写成两数和的形式，再利用行列式性质将原行列式写成两个行列式的和，使问题简化以利于计算.例
对上面的第1个行列式，将第n列乘(一b)加到其余各列上，对第2个行列式按第，列展开，最后可得:
这样我们得一个递推公式：
如果将第一列对b按类似方法拆项，又可得到另一递推公式联立上述两递推公式
（5)目标行列式法
将行列式化为一些已知其计算方法和结论的行列式来计算的方法称为目标行列式法.常见的有化为三角形行列式和n级范德蒙行列式.
(6)乘积法
根据普拉斯定理，所得行列式乘法运算规则下
.
两个行列式的乘积可以象矩阵的乘法一样来计算，假若两个行列式的阶数不同，只要把它们的阶数化为相同，就可以应用公式.这种方法的关键是寻找有特殊结构的行列式去乘原行列式，从而简化原行列式的计算，这也是较为常用的
方法. 行列式的计算方法多种多样，当行列式的阶数较高时，还有计算软件协助计算.因此，在计算行列式时，往往根据行列式自身的特点选择特定的方法进行计算，而且不仅仅局限于某一种算法，而是多种法综合运用，求出其值
7、待定系数法
此方法是数学中的重要方法，它是对数学问题，根据求解问题的固有特征，可转化为一个含有待定系数的恒等式，然后利用恒等式性质求出未知系数，从而获得问题解决的方法，用待定系数法求行列式的思想是：若行列式中含有未定元x，则行列式一定是关于x 的一个多项式，且当取某些值，如x=a 能够使行列式的值为零，根据多项式整除理论,则行列式一定可以被x- a 这个线性因子整除，即行列式的表达式里应该含有该因子，如果可以找出行列式的所有因子，求出待定常数即可得到
行列式的值。
解:D-显然是一个关于xf}]n-1次的多项式，小妨记为f(x);且当}1,2,w,n- 1时，根据行列式「愈胜质，都有:f}x)= 0 ,即(x- 1),(x- 2), } } },(x- n+1嘟是f(x)fl5因f且h_质，所以它们的乘积也
是f(x)的因子，通过比较的系数，知
8、软件法
对于阶数n已知的行列式的n算或一此稍复杂的行列式的n算，我们还可借助于一此数学软件来进行求解
一是借助于EXCEL进行行列式的计算:如计算行列式
的值，可按下列步骤进行求解:
第一步:打开一个EXCEL文档，选择相邻的两行两列的四个的空中元格，在其
中分别依次输入行列式; 的四个元索-1-2,2,3
第二步:选定存放结果的中元格，点击“插入”菜中中的“f函数”，打
开粘贴函数的窗曰，在窗曰中选择“数学与三角函数”中的MDETERM雨箭.单击
第三步:在编辑栏内函数的括号内输入要计算的中元格，按下Enter键即可得到所求行列式的值
此法则适用于训算低阶行列式的值(如2阶、3阶行列式的值)，即
卞对角线的元素的乘积减去辅(或次)对角线上的元素的乘积，其重要思想是根据2阶、3阶行列式的定义来计算行列式的值
例2.1
(主对角线上的元索为一1和3，车南9、对角线法则对角线上的元素为-2和2)
10、滚动消去法
当行列式何两行的值比较接近时一，可采用让邻行中的某一行减或者一加上另一行的若干倍，这种方法叫作滚动消去法。
一般利用此方法后，最好在化简后行列式的第一行或者一列能产生较多的零，以便利用降级法来心方。
例3 计算行列式D
解，从第二行开始何行减去上一行，有
11、归纳法
先通过计算一些初始行列式，找出它们的结果与级数之间的关系，用不完全归纳法对尽可能的结果提出猜想，然后用数学归纳法证明其猜想成立。
结束语
在学习中能够有效地运用科学思维和科学方法是学生进行创新实践的关键。
如何培养学生的科学素养，养成良好的科学精神，是每一个教育者不断追求的目的。
本文从物理学的教育入手，提出了通过马克思主义哲学的指导，科学精神与人文精神的结合，物理学研究方法的培养三种途径来提高对学生科学精神的培养。
通过文章的论述，我们发现这三种途径的实现都有赖于物理学史在教育教学过程的渗透。
最后需要指出的是科学精神是探究新知识的动力，真正要发现新知识还需要实际的动手操作，只有教会学生“知行合一”才能够达到教育的真正目的
参考文献
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