行列式的几种解法

行列式的几种计算方法

［摘要］行列式是线性代数的一个重要内容，是讨论线性方程组的一个有力工具,在很多数学分支中都有着广泛的应用，然而行列式的计算灵活多变，具有一定的规律和技巧，常用的方法有定义法，化三角形法，降阶法等，本文结合教学实践，从实例出发，在以上三种方法的基础上，探讨并给出行列式的其他几种计算方法

[Abstract] is an important content of linear algebra, a powerful tool in the discussion of linear equations, have been widely used in many branches of mathematics, however Determinant flexible, with a certain regularity andtechniques commonly used method defined law, of triangle reduction method, teaching practice, starting from the instance, on the basis of the above three methods discussed and given several calculation methods determinant

[关键词］：行列式线性代数计算方法规律性技巧性

[[Keyword]: the determinant linear algebra calculation method regularity skills

(l)定义法

根据行列式的定义D。一艺(一l)r(Jl;2”·“，。，iaZ，…a，，，我们可以利用定义直接计算低阶稀疏行列j一JZ‘“J.式，其中r(j，jZ…]。)是jl]2…j。的逆序数.

(2)降阶法

①一般降阶法

n阶行列式D等于它的任一行(列)各元素与其对应代数余子式乘积的和，即D一艺a，，A、，，~1，2，一，，或D一万aij浅，，j一1，2，…，n.行列式按一行(列)展开能将高阶行列式转化为若干低阶行列式计算，称为降阶法.这是一种计算数字行列式的常用方法.值得注意的是，在使用时应先利用行列式的性质，将某行(列)元素尽可能多地变成零，然后再展开，计算才能更方便，对一些特殊构造的行列式可利用普拉斯定理降阶计算，此法中由于，级行列式D的第i行构成的k级子式C个，所以对一般行列式能降阶却不能减少计算量。

②递推降阶法

设n阶行列式D一}氏了}，认。，欲求其值，由于交换行列式的两行(列)，行列式只改变符号，故不妨设

我们由一个矩阵分块乘法的等式有

其中E为单位阵，A为可逆阵

这样把计算n阶行列式D的问题转化为计算，一1阶行列式}a1}N一MB}的问题，且这个n一1

阶行列式可以从D的元素有规律地快速计算出来.

显然经降阶法计算,D变成了一个3阶行列式，再用降阶法，这里a- = 2井0.以通过D的元素很有规律地用2阶行列式表达，即n一1阶行列式

这样把计算n阶行列式D的问题转化为计算，一1阶行列式}a1}N一MB}的问题，且这个n一1阶行列式可以从D的元素有规律地快速计算出来. 显然经降阶法计算,D变成了一个3阶行列式，再用降阶法，这里a = 2不等于0.以通过D

(3)升阶法

有些行列式适当地升高一阶反而容易求其值，这种方法称为升阶法(也称加边法)一般来说，此法在保持行列式值不变的情况下增加一行一列(增加的一行一列的元素一般是由1和0组成)以便于计算.例如

(4)拆开法(分裂行列式法)

把某一行(列)的元素写成两数和的形式，再利用行列式性质将原行列式写成两个行列式的和，使问题简化以利于计算.例

对上面的第1个行列式，将第n列乘(一b)加到其余各列上，对第2个行列式按第，列展开，最后可得:

这样我们得一个递推公式：

如果将第一列对b按类似方法拆项，又可得到另一递推公式联立上述两递推公式

（5)目标行列式法

将行列式化为一些已知其计算方法和结论的行列式来计算的方法称为目标行列式法.常见的有化为三角形行列式和n级范德蒙行列式.

(6)乘积法

根据普拉斯定理，所得行列式乘法运算规则下

.

两个行列式的乘积可以象矩阵的乘法一样来计算，假若两个行列式的阶数不同，只要把它们的阶数化为相同，就可以应用公式.这种方法的关键是寻找有特殊结构的行列式去乘原行列式，从而简化原行列式的计算，这也是较为常用的

方法. 行列式的计算方法多种多样，当行列式的阶数较高时，还有计算软件协助计算.因此，在计算行列式时，往往根据行列式自身的特点选择特定的方法进行计算，而且不仅仅局限于某一种算法，而是多种法综合运用，求出其值

7、待定系数法

此方法是数学中的重要方法，它是对数学问题，根据求解问题的固有特征，可转化为一个含有待定系数的恒等式，然后利用恒等式性质求出未知系数，从而获得问题解决的方法，用待定系数法求行列式的思想是：若行列式中含有未定元x，则行列式一定是关于x 的一个多项式，且当取某些值，如x=a 能够使行列式的值为零，根据多项式整除理论,则行列式一定可以被x- a 这个线性因子整除，即行列式的表达式里应该含有该因子，如果可以找出行列式的所有因子，求出待定常数即可得到

行列式的值。

解:D-显然是一个关于xf}]n-1次的多项式，小妨记为f(x);且当}1,2,w,n- 1时，根据行列式「愈胜质，都有:f}x)= 0 ,即(x- 1),(x- 2), } } },(x- n+1嘟是f(x)fl5因f且h_质，所以它们的乘积也

是f(x)的因子，通过比较的系数，知

8、软件法

对于阶数n已知的行列式的n算或一此稍复杂的行列式的n算，我们还可借助于一此数学软件来进行求解

一是借助于EXCEL进行行列式的计算:如计算行列式

的值，可按下列步骤进行求解:

第一步:打开一个EXCEL文档，选择相邻的两行两列的四个的空中元格，在其

中分别依次输入行列式; 的四个元索-1-2,2,3

第二步:选定存放结果的中元格，点击“插入”菜中中的“f函数”，打

开粘贴函数的窗曰，在窗曰中选择“数学与三角函数”中的MDETERM雨箭.单击

第三步:在编辑栏内函数的括号内输入要计算的中元格，按下Enter键即可得到所求行列式的值

此法则适用于训算低阶行列式的值(如2阶、3阶行列式的值)，即